Анализ и синтез механизмов

6 1 Побудування кінематичних діаграм.doc

6. Синтез кулачкового механізму
Триланковий механізм що складається із кулачка штовхача стояка та в
якому є вища кінематична пара називають кулачковим механізмом.
Основною перевагою кулачкових механізмів є їх кінематична
універсальність тобто можливість відтворення будь-якого наперед заданого
закону руху штовхача внаслідок вибору відповідного профілю кулачка.
Основна задача синтезу кулачкових механізмів – побудування профілю
кулачка за заданими законами руху початкової та веденої ланок. Одним з
параметрів що враховують при синтезі кулачкових механізмів є кут тиску α
який суттєво впливає на роботу механізму. Кут тиску – це кут між напрямком
нормалі до профілю кулачка в точці дотику із штовхачем та вектором
1. Побудування кінематичних діаграм швидкості та
переміщення штовхача
Проектування кулачкового механізму починають з побудування кінематичних
діаграм. В довільному масштабі креслимо задану діаграму прискорень штовхача
[pic] і методом графічного інтегрування послідовно будуємо діаграми
швидкостей[pic] і переміщень [pic]. Для цього вісь абсцис діаграми
прискорень поділимо на 24 рівних частини. Через точки поділу 1 2 24
проводимо вертикальні лінії які поділяють всю площу між кривою заданого
графіка та віссю абсцис на ряд вертикальних смуг. Замінюємо кожну смугу
(криволінійну трапецію) рівновеликим прямокутником із спільною основою на
осі абсцис. Проектуємо висоти одержаних прямокутників на вісь ординат.
Точки проекцій з’єднуємо з вибраним полюсом Ра взятим на
відстані На= мм на осі абсцис ліворуч від початку координат променями
Проводимо над діаграмою прискорень штовхача вісь абсцис майбутньої
діаграми швидкостей яку поділимо на такі ж 24 частини. З початку координат
О паралельно до відрізка (Ра) проводимо промінь [pic] до перетину його в
точці [pic] з ординатою що відділяє першу вертикальну смугу від другої. З
точки [pic]паралельно до відрізка (Ра) проводимо промінь [pic] до
перетину його з ординатою яка відділяє другу смугу від третьої. Далі
побудування проводимо аналогічно. Одержану ламану лінію [pic]замінюємо
плавною кривою яка і буде діаграмою швидкостей штовхача [pic].
Графічно інтегруючи діаграму швидкостей одержуємо діаграму переміщень
штовхача [pic]. Полюс побудування Рv вибираємо на осі абсцис діаграми
швидкостей ліворуч від початку координат на відстані Нv= мм.
Масштаби осі абсцис для всіх діаграм приймаємо однаковими. На осі
абсцис відкладаємо час t одного повного оберту кулачка (φ=3600). Якщо
кулачок обертається рівномірно (к=const) то кути повороту кулачка
пропорціональні до часу за який проходить обертання. Тоді масштаб осі
абсцис визначиться так:
Тут b – відрізок (мм) який відповідає часу одного повного оберту кулачка
[pic] - час одного повного оберту кулачка (с).
Визначення масштабів осей ординат діаграм прискорень швидкостей і
переміщень штовхача починаємо з масштабу [pic]. На діаграмі переміщень
штовхача визначаємо найбільшу ординату ymax (мм) яка відповідає
максимальному ходу штовхача Smax. Тоді
Визначимо інші масштаби:

Титул.doc

МНСТЕРСТВО ОСВТИ НАУКИ
МОЛОД ТА СПОРТУ УКРАНИ
ДЕРЖАВНИЙ ЗАКЛАД ОСВТИ
«КРИВОРЗЬКИЙ НАЦОНАЛЬНИЙ УНВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧНО ТА ПРИКЛАДНО МЕХАНКИ
«ТЕОРЯ МЕХАНЗМВ МАШИН»
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
«АНАЛЗ ТА СИНТЕЗ МЕХАНЗМВ»
ст. викл. Степанкіна .Б.

3 Силовий аналіз.doc

3. Силовий аналіз шарнірно-важільного механізму
Задачею силового дослідження є визначення реакцій у кінематичних парах
механізму який знаходиться під дією заданих зовнішніх сил. Закон руху
механізму тобто його початкової ланки при цьому вважається заданим ([pic]
Силове дослідження механізмів має важливе значення тому що знайдені
реакції необхідні для подальшого розрахунку ланок та елементів кінематичних
пар на міцність стійкість проти спрацювання довговічність і т.д.
Силовий розрахунок механізму для положення яке визначається кутом
[pic] 0 проводимо в порядку оберненому до порядку створення
механізму виділяючи статично визначені структурні групи Ассура.
Визначимо маси ланок механізму:
Тепер знайдемо сили ваги ланок механізму:
Визначимо моменти інерції ланок відносно осей що проходять через їх
центри ваги перпендикулярно до площини розташування механізму:
При виконанні силового аналізу користуються методом Даламбера згідно з
яким в загальному випадку механічна система є врівноваженою якщо до діючих
зовнішніх сил і реакцій в’язей додати сили інерції та пари сил інерції з
відповідними моментами.
Визначимо сили інерції ланок механізму:
Сили інерції мають напрямки протилежні до напрямків відповідних
прискорень центрів ваги ланок.
Визначимо моменти пар сил інерції:
Напрямки моментів сил інерції протилежні до напрямків відповідних
Накреслимо план положення механізму для кута [pic] 0 в масштабі
[pic] ммм на якому покажемо центри ваги ланок напрямки кутових
прискорень ланок сили ваги та напрямки моментів пар сил інерції.
Накреслимо також план швидкостей та план прискорень для даного положення
механізму в масштабах [pic] мс.мм та [pic] мс2.мм
Замінюємо моменти сил інерції відповідними парами сили яких
Сили пари інерції будемо прикладати на кінцях відповідної ланки
перпендикулярно до ланки так щоб напрямок обертання пари сил інерції
збігався з напрямком відповідного моменту сил інерції.
Накреслимо в масштабі [pic] ммм групу Ассура що складається
Покажемо зовнішні сили що діють на ланки цієї групи Ассура:
) сили ваги [pic] і [pic] які прикладемо у центрах ваги [pic] і
) силу корисного опору [pic] яку прикладемо до повзуна 5 протилежно
до напрямку його швидкості [pic].
Приєднаємо до діючих зовнішніх сил сили інерції:
) в центрах ваги [pic] і [pic] прикладемо сили інерції [pic] і [pic]
які за напрямками протилежні до відповідних прискорень [p
) в точках D і E прикладемо сили [pic]пари інерції з урахуванням
напрямку моменту [pic].
Тепер покажемо реакції в кінематичних парах від дії від’єднаних ланок:
) в шарнірі D – реакцію [pic] яку розкладемо на дві складових:
[pic] перпендикулярну до ланки DE і направлену в будь-який бік та [pic]
направлену вздовж ланки DE в будь-який бік;
) в шарнірі E прикладаємо реакцію [pic]перпендикулярно до напрямних
повзуна в будь-який бік.
Під дією таких сил і пар сил згідно із принципом Даламбера група
Ассура буде знаходитись у рівновазі.
Визначимо складову [pic] реакції в шарнірі D з умови рівноваги ланки
DE для чого складемо рівняння моментів відносно внутрішнього шарніру Е:
(Плечі сил та відстані вимірюємо на кресленні та підставляємо в
міліметрах. Якщо реакцію одержуємо зі знаком «мінус» то обов’язково на
кресленні при побудові силового многокутника змінюємо напрямок реакції на
протилежний тобто показуємо дійсний напрямок цієї реакції).
На основі принципу Даламбера складемо рівняння рівноваги у векторній
формі для системи сил що діє на виділену групу Ассура:
Складову [pic] реакції в шарнірі D та реакцію [pic] визначимо із цієї
умови рівноваги. Такому рівнянню графічно відповідає замкнений многокутник
сил який побудуємо в масштабі [pic].
В полі креслення оберемо довільну точку а від якої відкладемо відрізок
(ab) довільної довжини в дійсному напрямку сили [pic] який і зображає дану
силу. Визначимо масштаб креслення:
Обчислимо довжини відрізків якими зобразимо на кресленні інші відомі
Розв’язуємо векторне рівняння графічно відкладаючи послідовно згідно
із рівнянням (2) визначені відрізки у напрямках фактичної дії сил яким
вони відповідають. Одержимо незамкнений многокутник abcdefg. Щоб замкнути
многокутник проведемо через точку g лінію паралельну до реакції [pic] а
через точку а – лінію паралельну до реакції [pic] (лінію паралельну до
ланки DE). Точка перетину цих ліній – точка h. Одержуємо замкнений силовий
многокутник abcdefgha у якому відрізок (ha) зображує реакцію [pic] а
відрізок (gh) – реакцію[p відрізок (hb)
зображає повну реакцію [pic] в шарнірі D.
Обчислимо модулі знайдених реакцій:
Для визначення реакції [pic] у внутрішньому шарнірі Е розглянемо
рівновагу однієї з ланок наприклад повзуна 5 окремо. Складемо для нього
рівняння рівноваги у векторній формі:
Такому рівнянню відповідає замкнений многокутник defghd який одержимо
з’єднавши точки h і d. Відрізок (hd) зображає на кресленні реакцію [pic].
Визначимо її модуль:
Тепер накреслимо в масштабі [pic] ммм групу Ассура що
складається з ланок 2 і 3. Прикладемо до цієї групи Ассура всі діючі сили
) сили ваги [pic] і [pic] які відкладемо із центрів ваги [pic] і
) в точці D показуємо реакцію [pic] протилежну за напрямком до
знайденої реакції [p
які за напрямками протилежні до відповідних прискорень[p
) в точках А і В прикладемо сили [pic]пари інерції з урахуванням
) в точках С і D прикладемо сили [pic]пари інерції з урахуванням
) в шарнірі А – реакцію [pic] яку розкладемо на дві складових:
[pic] перпендикулярну до ланки АВ і направлену в будь-який бік та [pic]
направлену вздовж ланки АВ в будь-який бік;
) в шарнірі С показуємо реакцію [pic] яку також розкладемо на дві
складових: [pic] перпендикулярну до ланки СD і направлену в будь-який
бік та [pic] направлену вздовж ланки СD в будь-який бік.
Тангенціальні складові [pic] і [pic] реакцій визначимо із рівнянь
рівноваги у формі моментів сил відносно внутрішнього шарніру В: [pic].
(якщо складові реакцій у підрахунках виходять зі знаком «мінус» то
справжній їх напрямок - протилежний до попередньо вибраного; потрібно в
многокутнику сил відкладати їх за дійсним напрямком).
Складемо рівняння динамічної рівноваги сил у векторній формі:
Побудуємо замкнений силовий многокутник який відповідає цьому
рівнянню. Починаємо з відрізка (ab) що зображає складову [pic]: приймаємо
(ab)= мм і відкладаємо цей відрізок від довільної точки а
креслення у дійсному напрямку складової [pic].
Визначимо масштаб креслення:
Тоді інші відомі сили зобразяться на кресленні такими відрізками:
Тепер послідовно відкладаємо визначені відрізки згідно із рівнянням
(6) дотримуючись напрямків відповідних сил. Одержимо незамкнений
многокутник abcdefgh. Щоб замкнути його проведемо через точку а лінію
паралельну до складової [pic] реакції в шарнірі А (лінію паралельну до
ланки АВ) а через точку h – лінію паралельну до складової [pic] реакції в
шарнірі С (лінію паралельну до ланки СD). Точка перетину цих ліній – це
точка k. Тепер многокутник abcdefghka замкнений. В ньому відрізок (ka)
зображає складову [pic] а відрізок (hk) – складову [pic]. З’єднаємо на
кресленні силового многокутника точки k і b; відрізок (kb) зображає повну
реакцію [p відрізок (gk)
зображає повну реакцію [pic] в шарнірі С.
Для визначення реакції у внутрішньому шарнірі В розглянемо умову
рівноваги наприклад ланки АВ:
Такому рівнянню відповідає замкнений многокутник kbcdk який одержимо
з’єднавши точки d і k побудованого силового многокутника. Відрізок (dk)
зображає реакцію [pic] в шарнірі В.
Модулі знайдених реакцій обчислимо за формулами:
Тепер розглянемо кінетостатику початкової (ведучої) ланки. Накреслимо
основний механізм який складається із ведучої ланки – кривошипа 1 – та
стояка 6 в масштабі [pic] ммм. Кривошип
вважаємо однорідним диском центр мас якого [pic] співпадає з точкою О.
Прикладаємо до нього в точці О - силу ваги [pic] та реакцію стояка
[pic](у довільному напрямку) а в точці А - реакцію [pic] яка за
напрямком протилежна до визначеної реакції [pic] та зрівноважуючу силу
[pic]. Зрівноважуюча сила є рушійною силою тому вона прикладена у
кінематичній парі А перпендикулярно до кривошипа ОА в напрямку його
Визначимо зрівноважуючу силу з рівняння моментів відносно шарніру О
Для визначення реакції [pic]складемо та розв’яжемо графічно векторне
Побудуємо замкнений силовий многокутник. З довільної точки а креслення
відкладемо відрізок (ab)= мм що зображає зрівноважуючу силу
[pic] у напрямку дії цієї сили.
Обчислимо величини відрізків якими на кресленні будуть зображені інші
Розв’язуємо векторне рівняння відкладаючи послідовно згідно із
рівнянням (9) визначені відрізки у напрямках фактичної дії сил яким вони
відповідають. Одержимо незамкнений многокутник abcd. Щоб замкнути
многокутник з’єднаємо точки a і d. Відрізок (da) одержаного замкненого
силового многокутника abcda зображає реакцію [pic].
Визначимо величину цієї реакції:

План положений.frw

6 2 Визначення мінімального радіусу кулачка.doc

6.2. Визначення мінімального радіусу кулачка
Визначення геометричних розмірів кулачкового механізму при забезпеченні
його найменших габаритів високого ККД та відсутності заклинювання
зводиться до знаходження мінімального радіусу кулачка [pic]. При цьому
виходять з умови що вісь обертання кулачка лежить на прямій що проходить
через деяку точку D відрізка BD паралельно до нормалі проведеної до
профілю кулачка в точці його дотику зі штовхачем. Ця нормаль відхилена від
напрямку вектора швидкості точки В штовхача на кут тиску α.
При графічному способі визначення [pic] для механізму із штовхачем що
рухається поступально поруч із побудованими діаграмами характеристик руху
штовхача проводимо вертикальну вісь яка співпадає з лінією його руху. За
початкове положення штовхача приймаємо його нижнє положення В0.
Користуючись діаграмою переміщень штовхача [pic] будуємо на цій
вертикальній осі 24 положення штовхача одержуємо точки В0 В1 В2 В24.
Через ці точки проводимо горизонтальні допоміжні лінії на яких будуть
розташовані відрізки (BіDі).
Вісь абсцис діаграми швидкостей штовхача [pic] продовжуємо праворуч до
перетину з вертикальною віссю руху штовхача точку перетину позначаємо Р.
Через полюс Р проводимо пряму NN під кутом відрахованим від
горизонтальної осі проти напрямку обертання кулачка. Величина кута
визначається з формули:
З кінців ординат vі графіка швидкості штовхача для кожного моменту часу
проводимо горизонтальні промені до перетину з лінією NN. Ці точки перетину
потрібно спроектувати на відповідні горизонтальні допоміжні лінії
проведені через точки В1 В2 В24 так одержимо точки D1 D2 D24.
З’єднуємо точки D1 D2 D24 плавною кривою та одержуємо замкнену криву
– геометричне місце точок Dі відрізків (BіDі).
Маючи таку допоміжну криву визначаємо положення центру обертання
кулачка. Для пазового кулачкового механізму з кінематичним замиканням вищої
кінематичної пари в якому віддалення та наближення штовхача проходить під
дією профілю кулачка кут тиску α не повинен перевищувати значення αmax як
на профілі віддалення так і на профілі наближення штовхача. Тому до
допоміжної кривої необхідно провести два крайніх промені як дотичні під
заданим кутом тиску αmax до вертикального напрямку швидкості штовхача.
Перетин цих променів дає зону можливих положень центру обертання кулачка.
При проектуванні центрального кулачкового механізму із штовхачем який
рухається поступально центр обертання кулачка приймаємо в точці О перетину
дотичних променів. Вибраний центр обертання кулачка О з’єднуємо з точкою В0
і одержуємо мінімальний радіус кулачка [pic] в масштабі s.
При наявності ролика на кінці штовхача розрізняють теоретичний профіль
кулачка який є траєкторією руху центру ролика та дійсний профіль за яким
котиться ролик. Мінімальний радіус кулачка [pic] визначений як відрізок
(ОВ0) є радіусом теоретичного профілю.

Рычаг Жуковского.frw

Зміст.doc

Структурний аналіз шарнірно-важільного механізму
Кінематичний аналіз шарнірно-важільного механізму
1. Побудування планів положень ланок механізму
2. Кінематичне дослідження методом планів
2.1. Побудування планів швидкостей
2.2. Побудування планів прискорень
Силовий аналіз шарнірно-важільного механізму
Синтез планетарного механізму
Синтез кулачкового механізму
1. Побудування кінематичних діаграм швидкості та
переміщення штовхача
2. Визначення мінімального радіуса кулачка
3. Графічне побудування профілю кулачка

Бланк КП скор.doc

МНСТЕРСТВО ОСВТИ НАУКИ МОЛОД ТА СПОРТУ УКРАНИ
ДВНЗ «КРИВОРЗЬКИЙ НАЦОНАЛЬНИЙ УНВЕРСИТЕТ»
Кафедра Теоретичної та прикладної
Дисципліна «Теорія механізмів і
Спеціальність «Металургійне
НА КУРСОВИЙ ПРОЕКТ (РОБОТУ) СТУДЕНТА
(прізвище ім’я по батькові)
Тема проекту (роботи) «АНАЛЗ ТА СИНТЕЗ
Вихідні дані до проекту (роботи) 1) кінематичний аналіз: схема
) силовий аналіз: схема варіант
) планетарний механізм: тип
) кулачковий механізм: схема
Термін здачі студентом закінченого проекту
Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань що їх належить
Введення. Структурний аналіз шарнірно-важільного механізму. Кінематичний
аналіз шарнірно-важільного механізму. Силовий аналіз шарнірно-важільного
механізму. Важіль Жуковського. Синтез планетарного механізму. Синтез
кулачкового механізму.
Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових
Аркуш 1: «Кінематичний аналіз важільного та планетарного механізмів». Аркуш
: «Силовий аналіз важільного механізму». Аркуш 3: «Синтез кулачкового
Керівник проекту (роботи)__старший викладач Степанкіна
(посада прізвище ім’я по батькові підпис)
Зав. кафедри ТПМ д.т.н. професор Рудь

ПИТАННЯ ТММ.doc

ПИТАННЯ ДО СПИТУ З КУРСУ «ТЕОРЯ МЕХАНЗМВ ТА МАШИН»
Предмет ТММ. Основні поняття та визначення курсу ТММ: механізм
передавальний механізм машина машинний агрегат.
Класифікація механізмів.
Класифікація машин. Машини-автомати автоматичні лінії.
Основні задачі структурного аналізу механізмів. Основні поняття: ланка
рухома ланка нерухома ланка (стояк) кінематична пара елемент
Загальна класифікація кінематичних пар.
Класифікація кінематичних пар за проф. А.П.Малишевим.
Переваги та недоліки вищих та нижчих кінематичних пар.
Кінематичний ланцюг. Класифікація кінематичних ланцюгів.
Визначення механізму в структурному аналізі. Основна ознака існування
Структурна формула загального випадку кінематичного ланцюга (формула
Структурна формула плоских механізмів (формула Чебишева).
Пасивні умови в’язей (зайві в’язі).
Додаткові (місцеві) ступені свободи.
Заміна вищих кінематичних пар нижчими.
Класифікація плоских шарнірно-важільних механізмів за Ассуром-
Артоболевським. Групи Ассура. Основний принцип створення механізмів.
Класифікація груп Ассура. Групи Ассура класу їх види.
Групи Ассура V та вищих класів. Порядок групи Ассура.
Методика структурного аналізу плоских шарнірно-важільних механізмів.
Структурна формула механізму. Визначення класу механізму.
Основні задачі та методи кінематичного дослідження механізмів.
Побудування структурної та кінематичної схем механізму. Методика
побудування планів положень механізму.
Визначення траєкторій точок ланок механізму методом планів його
Кінематичне дослідження механізмів за допомогою діаграм.
Кінематичне дослідження механізмів за допомогою планів швидкостей:
методика побудування плану швидкостей.
Визначення лінійних та кутових швидкостей за допомогою плану
швидкостей. Теорема подібності картин відносних швидкостей точок ланок
механізму та її використання.
Кінематичне дослідження механізмів за допомогою планів прискорень:
методика побудування плану прискорень.
Визначення лінійних та кутових прискорень за допомогою плану
прискорень. Теорема подібності картин відносних прискорень точок ланок
Задачі силового (динамічного) аналізу механізмів динамічна модель
механізму ланка зведення.
Визначення сил інерції та моментів пар сил інерції ланок механізму.
Методика динамічного аналізу механізмів. Визначення реакцій у
кінематичних парах графо аналітичним методом на основі принципу Даламбера.
Визначення зрівноважуючої сили за допомогою теореми М..Жуковського про
Поняття про ланку зведення. Визначення зведеної сили та зведеного
динамічному аналізі механізмів.
Визначення зведених сил та моментів сил при динамічному аналізі
Визначення зведених мас та моментів інерції при динамічному аналізі
Механічні передачі. Основні кінематичні характеристики механічних
Класифікація механічних передач.
Механічні передачі обертального руху. Призначення та основні види.
Фрикційні передачі з жорсткими та гнучкими ланками. Кінематика
Зубчасті механізми: область використання переваги та недоліки.
Рядові зубчасті механізми їх кінематика.
Ступінчасті зубчасті механізми їх кінематика.
Зубчасті передачі: основна теорема зачеплення.
Евольвента кола та її властивості. Рівняння евольвенти.
Евольвентне зачеплення. Вихідний твірний контур лінія зачеплення кут
Основні геометричні параметри нормальних зубчастих коліс.
Методика побудування нормального евольвентного зачеплення.
Лінія зачеплення та її робоча ділянка дуга зачеплення коефіцієнт
Явище підрізання зуба. Мінімальна кількість зуб’їв зубчастого колеса.
Методи нарізання зуб’їв.
Коригування зубчастих коліс. Зміщення вихідного твірного контуру.
Верстатно-рейкове зачеплення: вихідний твірний контур та його
Геометричні характеристики прямозубих коліс.
Геометричні характеристики зубчастих передач із косими зуб’ями.
. Геометричні характеристики косозубих коліс.
Косозуба передача: лінія зачеплення дуга зачеплення коефіцієнт
перекриття робоча частина профілю зуба.
Конічна зубчаста передача: кінематика та геометричні характеристики.
Конічна зубчаста передача: еквівалентне зовнішнє циліндричне колесо
Гіперболоїдні та черв’ячні передачі.
Планетарні зубчасті механізми: область використання переваги та
недоліки особливості конструкції.
Планетарні зубчасті механізми: основні критерії існування.
Планетарні зубчасті механізми: загальна формула передаточного
відношення визначення передаточного відношення механізму за його
кінематичною схемою.
Планетарні зубчасті механізми: плани (картини) лінійних та кутових
Кулачкові механізми: загальні положення будова переваги та недоліки.
Класифікація кулачкових механізмів. Види штовхачів.
Види замикання кінематичної пари кулачок-штовхач порівняльна
характеристика цих видів.
Кінематика кулачкових механізмів. Кут тиску. Вибір закону руху
Побудування діаграм руху штовхача.
Профілювання кулачка: визначення мінімального радіусу кулачка.
Побудування профілю кулачка. Визначення радіусу ролика. Теоретичний та
дійсний профілі кулачка.
Основні періоди руху машини. Нерівномірність сталого руху.
Аналіз основних періодів руху машини.
Нерівномірність руху сталого режиму машини причини та способи його
Основне рівняння руху машини в диференціальній та енергетичній формах.
Способи зменшення нерівномірності руху машини.
Маховик та його розрахунок.
ККД машини. Визначення ККД при послідовному з’єднанні механізмів.
Тертя в кінематичних парах його види та характеристики. Коефіцієнт
тертя кут та конус тертя.
Тертя клинчастого повзуна. Зведений коефіцієнт тертя.

Введення.doc

Сучасне виробництво яке вирізняється високою механізацією та широким
застосуванням автоматизації припускає використання в усіх галузях
господарства великої кількості різних машин механізмів приладів та інших
Однією з головних частин кожної машини або приладу є передавальний
механізм призначений для перетворення виду руху змінення величини та
напряму швидкості виконавчого органу. Передавальні механізми машин та
приладів мають однакові для всіх механізмів або певних груп ознаки що дає
можливість розробити загальні методи їх дослідження та проектування.
Методи синтезу та аналізу схем є обов’язковою початковою складовою
частиною проектування будь-якого реального механізму.
Метою курсового проекту є закріплення теоретичних знань з курсу “Теорія
механізмів і машин” та набуття практичних навичок з проектування найбільш
поширених механізмів.
Завданням передбачене виконання кінематичного аналізу важільного
механізму синтез планетарного механізму синтез евольвентного зовнішнього
зачеплення та синтез кулачкового механізму.
Шестиланкові важільні механізми зокрема механізм заданої схеми
застосовують в металообробних транспортних та інших технологічних машинах
для перетворення обертального руху ведучої ланки в поступальний рух веденої
ланки. Першочерговим завданням при цьому є забезпечення заданого закону
руху вихідної ланки тому завданням передбачене визначення кінематичних
характеристик для всіх ланок та силовий аналіз механізму. Визначення
кінематичних характеристик в курсовому проекті досягається застосуванням
графічних та графоаналітичних методів що характеризується наочністю та
достатньою для практики точністю. х засвоєння створює передумови для
свідомого застосування в майбутньому більш сучасних та складних аналітичних
методів з використанням ПК.
Планетарний механізм призначається для зниження швидкості обертання при
передачі його від двигуна до вихідної (веденої) ланки. Метод проектування
за основними критеріями існування механізму використаний в курсовому
проекті дозволяє широко застосувати ПК для вирішення задачі мінімізації
габаритів планетарного редуктора.
Графічний синтез евольвентного зовнішнього зачеплення дозволяє
ознайомитись з вимогами державних стандартів зокрема з ДСТУ-13755-91
розрахувати геометричні параметри евольвентного профілю та визначити якісні
характеристики зачеплення за його графічним зображенням.
Синтез кулачкового механізму дозволяє ознайомитись з методом побудови
профілю кулачка щоб забезпечити задану діаграму прискорень і з методом
визначення мінімального радіуса кулачка за критерієм заданого кута тиску.

Титул (2).doc

МНСТЕРСТВО ОСВТИ НАУКИ
МОЛОД ТА СПОРТУ УКРАНИ
ДЕРЖАВНИЙ ЗАКЛАД ОСВТИ
«КРИВОРЗЬКИЙ НАЦОНАЛЬНИЙ УНВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧНО ТА ПРИКЛАДНО МЕХАНКИ
«ТЕОРЯ МЕХАНЗМВ ТА МАШИН»
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
«АНАЛЗ ТА СИНТЕЗ МЕХАНЗМВ»
ст. викл. Степанкіна .Б.

2 1 План положень.doc

2. Кінематичне дослідження шарнірно - важільного механізму
Кінематичний аналіз механізму проводять як при проектуванні існуючих
механізмів. Основною метою аналізу є визначення кінематичних характеристик
(переміщень траєкторій швидкостей прискорень) точок ланок механізму. В
ТММ для цього користуються відомими методами: експериментальними
аналітичними графічними та графоаналітичними.
1. Побудування планів положень ланок механізму
Для побудови планів положень задані: структурна схема механізму
розміри ланок координати елементів кінематичних пар утворених рухомими
ланками із стояком і закон руху початкової ланки.
Визначення положень рухомих кінематичних пар виконується способом
засічок. Виберемо на кресленні довільну точку в яку помістимо кінематичну
пару О утворену кривошипом ОА та стояком. Проведемо вісі координат Оху.
Кривошип ОА будемо зображувати на кресленні відрізком (ОА)= мм.
Тоді масштаб креслення визначається так:
де [pic] - дійсна довжина ланки ОА в метрах (ОА) – величина
відповідного відрізка на кресленні в міліметрах.
Обчислимо довжини відрізків якими зобразимо на кресленні ланки та
координати відповідних точок за формулами:
В масштабі наносимо положення нерухомої осі (точки С) згідно з заданими
її координатами. Для цього праворуч від точки О вздовж осі х відкладаємо
відрізок (хС). Далі від одержаної точки вертикально вниз відкладемо
відрізок (уС) і покажемо точку С.
з структури механізму видно що траєкторіями точок А В і D будуть
дуги радіусів ОА СВ СD з центрами в точках О і С відповідно. Траєкторія
точки Е співпадає з напрямком горизонтальної осі х напрямних повзуна.
Розхилом циркуля що дорівнює відрізку (ОА) креслимо коло з центром в
точці О – траєкторію точки А. Розхилами циркуля (ВС) та (СD) креслимо дуги
з центром в точці С – траєкторії точок В і D.
Визначимо початкове положення ланок механізму. Це таке положення при
якому повзун буде займати крайнє праве положення а кривошип ОА і шатун АВ
утворять одну лінію яка проходить через точку О. Визначимо величину
Розхилом циркуля (ОВ0) помістивши ніжку циркуля в точку О зробимо
засічку на дузі яка показує траєкторію точки В – одержимо точку В0.
Проведемо лінію (ОВ0); на перетині цієї лінії з траєкторією точки А
З’єднаємо точку В0 з точкою С і продовжимо промінь (СВ0) до перетину з
дугою яка показує траєкторію точки D - одержимо точку D0 і початкове
положення коромисла СD.
Розхилом циркуля (DЕ) помістивши ніжку циркуля в точку D0 зробимо
засічку на осі х яка показує траєкторію точки Е – одержимо точку Е0.
З’єднаємо точки D0 і Е0 – це початкове положення шатуна DЕ.
Початкове положення механізму відповідає куту [pic]. Поділимо коло
траєкторії точки А на 12 рівних частин починаючи від точки А0 – одержимо
променів з початком в точці О. Точки перетину цих променів з траєкторією
точки А позначимо А0 А1 А2 А12.
Побудуємо наступне положення механізму яке відповідає куту [pic].
Розхилом циркуля (АВ) помістивши ніжку циркуля в точку А1 робимо засічку
на дузі яка показує траєкторію точки В – одержимо точку В1. Проведемо
лінію (А1В1). З’єднаємо точки В1 і С та продовжимо промінь (СВ1) до
перетину з дугою яка показує траєкторію точки D - одержимо точку D1.
Розхилом циркуля (DЕ) помістивши ніжку циркуля в точку D1 зробимо засічку
на осі х – одержимо точку Е1. З’єднаємо точки D1 і Е1.
Далі таким же чином будуємо всі інші положення механізму.
Одержані точки – центри внутрішніх обертальних пар – креслимо як
шарніри; схематично зображуємо опори в точках О і С та повзун Е в крайньому
положенні. Над кресленням записуємо значення масштабу [pic]. Два положення
механізму які відповідають заданим кутам [pic] і [pic] на кресленні

Конспект лекцій ТММ.doc

Значення і зміст курсу теорії механізмів і машин
Машинобудування — основна галузь сучасної промислово розвинутої країни -
визначає рівень розвитку продуктивних сил суспільства становить фундамент
технічного прогресу всіх галузей народного господарства. У свою чергу
прогрес машинобудування визначається досконалістю машин які створюються.
Тому від інженера вимагаються глибокі теоретичні знання і досвід вміння не
тільки керувати складною технікою успішно її використовувати але й
забезпечувати її швидкий прогрес. Сучасний інженер повинен досконало
володіти методами розрахунку і конструювання нових швидкохідних
автоматизованих і високопродуктивних машин.Створення нових машин
базується на досягненнях багатьох фундаментальних і прикладних наук серед
яких важливе місце посідає теорія механізмів і машин.
Теорія механізмів і машин (ТММ) - наука про загальні методи дослідження
властивосте механізмів і машин та проектування їхніх схем.
У ТММ обрунтовується вибір оптимальних параметрів машин і механізмів
визначаються методи їхнього раціонального проектування. Якість машин і
механізмів які створюються значною мірою визначається повнотою розробки
і використання методів ТММ. Чим повніше будуть враховані при побудові
механізмів і машин кінематичні і динамічні окремих механізмів критерії
продуктивності надійності тим досконалішими будуть конструкції машин.
Тому ТММ є однією з основних загальноінженерних дисциплін що зебезпечує
необхідну теоретичну підготовку інженерів-механіків.
Базою ТММ є курси математики фізики хімії теоретичної механіки
електротехніки електроники вміння використовувати в інженерних
розрахунках електронно-обчислювальні машини (ЕОМ).
Задача курсу ТММ полягає у тому щоб підготувати студентів до слухання
курсів деталі машин технології машинобудування курсів з розрахунку і
конструювання тих чи інших спеціальних машин залежно від їхньої майбутньої
Курс ТММ можна поділити на дві частини: теорію механізмів і теорію
машин. Найбільш розвинута перша частина у якій вивчаються будова
кінематика і динаміка механізмів та методи їхнього проектування.
Проблеми теорії механізмів можна поділити на дві групи: перша — це
аналіз тобто дослідження існуючих механізмів; друга — синтез тобто
проектування нових механізмів які б виконували задані умови.
Рух механізмів залежить від їхньої будови і сил що діють на них. Тому
зручно при викладанні теорії механізмів проблеми аналізу механізмів у свою
чергу розбити на три частини:
) структурний аналіз;
) кінематичний аналіз;
) динамічний аналіз. ;
Структурний аналіз має за мету вивчення теорії будови механізмів їхнє
видозмінення та класифікацію. При кінематичному аналізі досліджується рух
тіл які утворюють механізми з геометричної точки зору тобто без
врахування сил що викликають рух цих тіл. Задача динамічного аналізу
механізмів — вивчення методів визначення сил що діють на тіла які
утворюють механізм і встановлення взаємозв'язків між рухом цих тіл силами
що на них діють і масами які ці ланки мають.
Задача синтезу механізмів полягає у розробці методів проектування
механізмів наперед вибраної структури за заданими кінематичними і
динамічними умовами. Проте поділ проблем теорії механізмів на аналіз і
синтез має суто методичне значення оскільки у практиці проектування
(синтезу) механізмів доводиться дуже часто використовувати аналіз
механізмів який дає змогу виявити найбільш вдалий (оптимальний) варіант
розв'язку задачі синтезу.
У теорії машин розглядаються загальні методи проектування схем машин як
сукупності окремих механізмів питання автоматичного керування і
регулювання машин. Обидві частини теорії механізмів і машин нерозривно
зв'язані між собою оскільки механізми складають як правило основу будь-
Механіка - одна з найдавніших наук..
Відомості про перші механізми губляться в глибині століть. Перші з них
- це майстерно виконані штучні механізми - пастки для відлову звірів про
що свідчать рисунки на скалах і стінах печер.
Особливого розквіту наука про механізми набула у стародавній Греції.
Архімед 287 - 212 pp. до н.е. не тільки заклав основи п’яти простих
машин - важеля клина ворота гвинта і блока а й працював в області
практичної механіки. Подалі вчення про механізми розвинув Арістотель -
людина енциклопедичних знань.
Епоха Відродження висунула титана Леонардо да Вінчі який створив
гідравлічні машини тангенціальну турбіну з кривими лопастями прядильну
машину волочильні верстати верстат для насічки напилків пристосування
для нарізки гвинтів розробив проект першого в світі екскаватора.
Розвиток цього курсу нерозривно пов’язаний з розвитком машинного
способу виробництва.
В окрему науку ТММ виділилася наприкінці ХУШ ст. коли почався
бурхливий розвиток промисловості в Англії Франції Німеччині. Засновником
російської школи ТМК є П.Л.Чебишов 82-894 -великий російський
Л.В.Ассур 1876-1920 - автор раціональної класифікації механізмів.
Слід згадати і внесок попередників цих учених: М.В.Ломоносова Л.Ейлера і
практиків-мєханіків .П.Кулібіна .. Ползунов К.Д.Фролова Ю.О. та
М.О.Черепанових А.Н.Нартова. Радянська школа ТММ продовжила традиції
російської школи О..Малишев .Л.Артоболевський С.М.Кожевников.
..Бруєвич. Л.Н.Решетов М.А.Скуридін та ін. і посідала ведуче місце у
світовій теорії механізмів і машин.
Основні поняття і визначення курсу теорії механізмів і машин
Кожний механізм або машина складається з окремих деталей. Деталлю називають
ту частину механізму або машини яка виготовлена без складальних операцій.
У стаціонарних машинах і механізмах є нерухомі деталі і деталі що
рухаються відносно нерухомих. У рухомих машинах і механізмах наприклад у
двигуні автомобіля нерухомими деталями умовно вважаються ті що постійно
зв'язані з корпусом автомобіля. Відповідно до цього у кривошипно-поршневому
двигуні (рис. 1.1 а): нерухомі деталі— корпус двигуна 4 підшипник
корінного (колінчастого) вала 0 циліндри 5 тощо; рухомі — корінний вал
шатун 2 поршні З клапани 6 тощо. На рис. 1.1 б зображено кінематичну
схему цього механізму (умовне зображення механізму в масштабі).
Кожна рухома деталь або група деталей які утворюють одну жорстку рухому
систему тіл мас назву рухомої лапки механізму або машини.
Наприклад шатун двигуна (рис. 1.1 в) буде однією рухомою ланкою хоч
він може складатися з ряду деталей (тіло шатуна 1 запресованої в нього
втулки 2 вкладиші 3 і 4 головка 5 болти 6 із гайками 7 шайбами і
шплінтами). Деталі які утворюють одну ланку іноді не мають жорсткого
зв'язку між собою (наприклад стрічка конвеєра з деталями які вона
переносить); тоді ознакою того що вони належать до однієї ланки буде
відсутність відносного руху деталей.
Усі нерухомі деталі утворюють одну нерухому систему тіл яка називається
нерухомою ланкою або стояком. Наприклад корпус двигуна підшипники
корінного вала тощо разом утворюють одну нерухому ланку або стояк.
Таким чином у будь-якому механізмі або машині маємо одну нерухому ланку
і одну або декілька рухомих ланок.
У механізмах або машинах ланки з'єднуються одна з одною так що завжди
забезпечується можливість їхнього відносного руху. Рухоме з'єднання двох
ланок які стикаються називається кінематичною парою.
Рух ланок відносно одна одної визначається формою елементів ланок якими
вони стикаються. Сукупність поверхонь ліній або точок які належать ланкам
і які стикаються при відносному русі ланок називають елементами
Зв'язана система ланок що входять у кінематичні пари утворює
кінематичний ланцюг. Таким чином колінчастий вал кривошипно-поршневого
двигуна разом з нерухомим підшипником утворює одну кінематичну пару О (рис.
1 б). Шатун з колінчастим валом утворює другу кінематичну пару А шатун
з поршнем — третю (шарнір В) поршень з циліндром — четверту а всі ці
ланки і кінематичні пари разом утворюють кінематичний ланцюг.
Механізм. В основі кожного механізму або машини лежить кінематичний
ланцюг. Виходячи з цього механізму можна дати таке визначення.
Механізм є кінематичний ланцюг з однією нерухомою ланкою призначений
виконувати цілком визначені доцільні рухи.
Визначення терміну "механізм" постійно змінюється оскільки змінюються
наші знання про самі механізми. Механізми що входять до складу сучасних
машин дуже різноманітні. Одні з них складаються тільки з твердих тіл
другі — з гідравлічних пневматичних електричних магнітних та інших
пристроїв. Такі механізми називають гідравлічними пневматичними
електричними тощо. Тепер дамо більш загальне визначення механізму.
Механізмом називають систему тіл призначену для перетворення руху
одного або кількох тіл у потрібні рухи інших тіл.
З цього визначення випливає що не можна називати механізмом пристрій у
якому немає перетворення механічного руху. Наприклад ротор електродвигуна
і підшипники у яких він обертається не утворюють механізму оскільки у
цьому випадку взаємодія магнітного поля і провідника з електричним струмом
надає необхідний рух без будь-якого проміжного перетворення механічного
У кожному механізмі є нерухома ланка (стояк) і рухома ланка або система
рухомих ланок. з рухомих ланок виділяють вхідні і вихідні ланки. Вхідною
(входом) називають ланку якій надається рух що перетворюється механізмом
у потрібний рух інших ланок. Вихідною (виходом) називають ланку що
здійснює рух для виконання якого призначений механізм. Решту рухомих ланок
механізму називають з'єднуючими або проміжними.
Як правило у механізмі є один вхід і один вихід. Вхідна ланка одержує
рух від двигуна а вихідна — зв'язана з робочим (виконавчим) органом
машини. Але можуть бути механізми в яких є кілька вхідних і вихідних
ланок. Наприклад у автомобільному диференціалі є один вхід — рух від
двигуна і два виходи — два колеса.
Терміни "вхідна ланка" і "вихідна ланка" введено в курс ТММ порівняно
недавно. Раніше ці ланки називали відповідно ведучими і веденими. Заміна
зумовлена тим що у динаміці механізмів розділення ланок ведеться за іншою
ознакою — за знаком елементарних робіт сил які діють на ланку. Ведучою
називають таку ланку для якої елементарна робота зовнішніх сил що
прикладаються до неї додатна. Веденою називають ланку для якої
елементарна робота зовнішніх сил що прикладені до неї від'ємна. Тому
вхідна ланка у деяких механізмах може бути як ведучою так і веденою.
Наприклад у механізмі кривошипно-поршневого двигуна колінчастий вал і
поршень залежно від співвідношення сил які діють на ланки механізму
можуть бути або ведучими або веденими.
З точки зору конструкції механізми поділяють на: важільні кулачкові
зубчасті зірчасті (цівкові) мальтійські храпові гвинтові клинові
фрикційні пасові ланцюгові гідравлічні пневматичні й електричні. Широко
використовуються комбіновані механізми: зубчасто-важільні кулачково-
зубчасті кулачково-важільні тощо.
За функціональним призначенням є механізми :
а) двигунів і перетворювачів; б) передавальні; в) виконавчі; г) керування
контролю і регулювання; д) подачі транспортування живлення і сортування
об'єктів які обробляються.
Машина. З розвитком машин зміст терміну "машина" також змінювався. Для
сучасних машин існує таке визначення: Машина є пристрій який виконує
механічний рух для перетворення енергії матеріалів та інформації з метою
заміни або полегшення фізичної або розумової праці людини.
Залежно від того які функції виконують машини їх можна розділити на:
а) енергетичні; б) транспортні; в) технологічні; г) контрольно-керуючі; д)
математичні; є) кібернетичні.
Енергетичною називають машину що призначена для перетворення будь-якого
виду енергії на механічну або навпаки. У першому випадку — це машина-
двигун у другому — машина-генератор. Прикладом енергетичних машин є
електродвигуни парові машини двигуни внутрішнього згоряння турбіни
генератори електричного струму тощо.
Транспортною називають машину що призначена для зміни положення
оброблюваного матеріалу предметів або людей. До транспортних машин
належать крани транспортери автокари автомобілі тепловози трактори
Технологічною називають машину у якій змінюються властивості стан
форма оброблюваного матеріалу або об'єкта. Це найрізноманітніший клас
машин до якого належать металорізальні верстати прокатні стани
металургійні текстильні поліграфічні сільськогосподарські машини машини
легкої та харчової промисловості та багато інших машин. Часто транспортні і
технологічні машини називають робочими.
Контрольно-керуючою називають машину що перетворює одержану контрольно-
вимірювальну інформацію для керування тією чи іншою машиною або
технологічним процесом. У сучасних машинах і технологічних лініях широко
застосовуються різні контрольно-вимірювальні пристрої або машини. Так для
автоматизації контролю розмірів поршневих кілець пальців шариків для
шарикопідшипників і багатьох інших об'єктів використовуються контрольно-
вимірювальні машини які здійснюють не тільки контроль розмірів але й їх
сортування за розмірами та іншими показниками.
Математичною називають машину що перетворює інформацію у вигляді різних
математичних образів які задано у формі чисел і алгоритмів. До цих машин
належать лічильно-обчислювальні машини механічні інтегратори
бухгалтерські та інші машини.
Кібернетичною називають машину яка замінює або імітує різні механічні
фізіологічні або біологічні процеси що властиві людині та живій природі і
яка має елементи штучного інтелекту.
Машина в якій перетворення енергії матеріалів та інформації
відбувається без втручання людини називається машиною-автоматом. Машини-
автомати не вимагають участі людини у технологічному процесі проте
вимагають присутності так званих операторів тобто людей які стежать за
роботою ма-шини-автомата визначають програми роботи і коректують у
необхідних випадках роботу механізмів.
з розвитком науки і техніки все ширше використовуються системи машин
автоматичної дії. Сукупність машин-автоматів з'єднаних між собою
автоматичними транспортними пристроями і призначених для виконання певного
технологічного процесу називається автоматичною лінією. Автоматичні лінії
лежать в основі цехів-автоматів і заводів-автоматів.
Сучасні розвинуті системи машин є комплексом машин різних класів. Так
автоматичні лінії містять у собі енергетичні машини у вигляді
електроприводу транспортні машини для переміщення деталей або
транспортерів технологічні машини які змінюють форму склад або структуру
оброблюваних об'єктів контрольно-керуючі машини які контролюють якість і
розміри виробу і регулюють режими руху двигунів і робочих органів логічні
(математичні) машини які підраховують кількість виробів. Така сукупність
машин називається машинним агрегатом. Машини особливо машини-автомати та
автоматичні лінії при вмілому їх використанні полегшують працю людини
сприяють підвищенню продуктивності праці забезпечують високу якість
виконання робочого процесу.
Кінематичні пари та їх класифікація
Кінематична пара є рухомим з'єднанням двох ланок які стикаються. Можливі
з'єднання ланок у кінематичні пари дуже різноманітні. Наприклад на рис.
1 зображено так звану одпорухому обертову (обертальну) кінематичну пару
в якій ланки А і В з'єднані за допомогою двох циліндричних поверхонь. Бурти
тіла А (вала) обмежують відносний поступальний рух тіл вздовж осі х — х
але не заважають їхньому відносному обертовому (обертальному) руху. На рис.
2 зображено схему іншого способу сполучення елементів ланок А і В. Ця
кінематична пара допускає відносне перекочування ковзання і вертіння.
Таким чином на відносний рух кожної ланки кінематичної пари накладаються
певні обмеження які залежать від способу сполучення ланок кінематичної
пари. Ці обмеження будемо називати умовами зв'язку в кінематичних парах.
Тверде тіло ABC (рис. 2.3) що вільно рухається у просторі має шість
ступенів вільності. Рух такого тіла можна розглядати як обертання навколо
осей х у z та ковзання вздовж цих самих осей. Таким чином тіло ABC
матиме шість видів незалежних можливих рухів: три обертові і три
Входження ланки у кінематичну пару з іншою ланкою накладає на відносні
рухи цих ланок певні умови зв'язку. Очевидно що число цих умов зв'язку
може бути тільки цілим і меншим за шість оскільки коли число умов зв'язку
дорівнює шести тіло втрачає відносну рухомість. Так само число умов
зв'язку не може бути меншим за одиницю бо у цьому випадку ланки не
стикаються тобто кінематична пара не існує. Маємо два тіла що вільно
рухаються у просторі.
Таким чином число умов зв'язку накладених на відносний рух кожної ланки
кінематичної пари змінюється у межах 1—5. Тоді число ступенів вільності Н
ланки кінематичної пари у відносному русі можна виразити рівнянням
де S — число умов зв'язку які накладає кінематична пара на відносний рух
З (2.1) випливає що число ступенів вільності Н ланки кінематичної пари у
відносному русі може змінюватися також від 1 до 5.
Можливі рухи які ще залишились можуть бути або незалежними один від
одного або зв'язаними один з одним будь-якими додатковими геометричними
умовами наприклад умовою що поворот ланки навколо осі на певний кут
зумовлює поступальне переміщення вздовж цієї самої осі на певну відстань
(гвинтова пара) і т. ін.
Решта незалежних можливих рухів характеризують число ступенів вільності
ланок кінематичної пари в їх відносному русі.
Класифікація кінематичних пар здійснюється за такими ознаками:
а) число умов зв'язку які накладаються кінематичною парою на відносний
б) форма елементів ланок що утворюють кінематичну пару;
в) спосіб замикання ланок.
Залежно від форми елементів кінематичні пари поділяються на нижчі і вищі.
Нижчими кінематичними парами називають такі пари у яких елементи
кінематичних пар стикаються поверхнями (див. рис. 2.4—2.10). Вищими
кінематичними парами називають такі пари в яких елементи кінематичних пар
стикаються по лінії або в точці (див. рис. 2.11 — 2.13). Слід зазначити що
лінії і точки можуть бути елементами нижчих кінематичних пар.
Нижчі кінематичні пари характеризуються тим що можуть передати більше
зусилля ніж вищі завдяки більшій площі контакту між ланками. Проте
витрати на тертя у таких парах більші порівняно з вищими (наприклад у
підшипниках кочення).
Нижчі пари мають властивість інверсії (оборотності руху) тобто характер
відносного руху ланок не змінюється від того яка ланка рухається А
відносно В чи В відносно А див. рис. 2.4—2.10). Вищі пари такої
властивості не мають. Для того щоб елементи кінематичних пар перебували у
постійному контакті пари повинні бути замкнутими. Замикання може бути
геометричним або силовим. Геометричне замикання здійснюється відповідною
геометричною формою елементів ланок кінематичної пари або конструкцією
Кінематичні ланцюги та їх класифікація
Кінематичним ланцюгом називається система ланок які зв'язані між собою
кінематичними парами. На рис. 2.15 зображено схему кінематичного ланцюга
складену з чотирьох ланок які утворюють три кінематичні пари. Ланки 1 і 2
належать до обертової пари А (V класу) ланки 2 З — до поступальної пари В
(V класу) ланки 3 4 — до обертової пари С (V класу).
Кінематичні ланцюги поділяються на прості і складні. Простим
кінематичним називається такий ланцюг у якого кожна ланка входить не
більше як до двох кінематичних пар (див. рис. 2.15). Складним кінематичним
називається ланцюг у якому є хоч одна ланка що входить більше ніж до двох
кінематичних пар (рис. 2.16 — ланка 3 входить у три кінематичні пари В С
У свою чергу прості і складні кінематичні ланцюги поділяються на
замкнуті й незамкнуті. У незамкнутому кінематичному ланцюгу є ланки що
входять тільки в одну кінематичну пару (рис. 2.15 2.16) у замкнутому
ланцюгу (рис. 2.17 2.18) кожна ланка входить не менше як у дві кінематичні
Отже на рисунках зображено: простий незамкнутий (2.15) складний
незамкнутий (2.16) простий замкнутий (2.17) складний замкнутий (2.18)
кінематичні ланцюги.
Залежно від форми руху ланок кінематичні ланцюги поділяються на плоскі і
просторові. Плоским називають ланцюг у якому всі точки ланок описують
траєкторії що лежать в одній або паралельних площинах. Просторовим
називають ланцюг у якого точки ланок рухаються у різних непаралель-них
площинах. Якщо точки ланок описують траєкторії на концентричних сферах то
ланцюг називають сферичним. Просторові кінематичні ланцюги використовуються
при проектуванні механізмів маніпуляторів і роботів.
Приклад такого механізму показано на рис. 2.19.
Структурні формули кінематичних ланцюгів
Основи теорії структури кінематичних ланцюгів закладені у праці видатного
російського вченого професора П. . Сомова опублікованій у 1887 p. і
розвинуті радянськими вченими. Будемо дотримуватися здебільшого методів
Раніше було встановлено що коли на рух ланки у просторі не накладено
ніяких умов зв'язку то вона має шість ступенів вільності. Тоді якщо число
ланок кінематичного ланцюга дорівнює к то загальне число ступенів
вільності які мали к ланок до їхнього з'єднання у кінематичні пари
дорівнюватиме 6с. Кожна кінематична пара накладає різне число зв'язків на
відносний рух ланок що залежить від класу пари (див. параграф 2.1).
Позначимо число пар класу що входять до складу ланцюга через Рі II —
р2 III — р3 IV — р4 V — р5. Клас кінематичної пари визначається числом
умов зв'язку які накладає кожна кінематична пара на відносний рух ланок
(див. табл. 2.1). Для визначення загального числа ступенів вільності ланок
кінематичного ланцюга треба з 6к ступенів вільності що їх ланки мали до
того як увійшли до кінематичної пари вилучити ті ступені вільності які
віднімають кінематичні пари. З табл. 2.1 видно що одна пара класу
накладає на відносний рух ланок одну умову зв'язку (S = 1) II класу — дві
(S = 2) і т. д. Тоді число ступенів вільності Н що їх має кінематичний
Оскільки в механізмах одна ланка нерухома то при вивченні руху всіх
ланок механізму їхні абсолютні переміщення розглядаємо як такі що
відбуваються відносно однієї з ланок прийнятої за нерухому. Якщо одна з
ланок кінематичного ланцюга буде нерухомою то загальне число ступенів
вільності ланок ланцюга зменшиться на шість тобто число ступенів вільності
(рухомості) відносно нерухомої ланки
Підставляючи у (2.4) замість H його вираз з (2.3) одержуємо
Якщо в (2.5) величину к -1 позначити п то
де п — число рухомих ланок кінематичного ланцюга.
Формула (2.6) має назву формули рухомості або структурної формули
кінематичного ланцюга загального вигляду.
Формула (2.6) вперше у дещо іншому вигляді була одержана професором П.
. Сомовим і розвинута професором А. П. Ма-лишевим а тому носить назву
формули Сомова—Малишева.
Ступінь рухомості плоского механізму
Це є структурна формула для плоских механізмів загального вигляду або
Таким чином ступені вільності кінематичного ланцюга відносно і стояка
визначають кількість початкових ланок механізму. Останні можуть збігатися
із вхідними ланками механізму а можуть і не збігатися.
Початкові ланки надалі будемо показувати круговими (або прямими)
Зайві ступені вільності і умови зв'язку
Під час дослідження структури механізмів можуть виявитися ступені вільності
та умови зв'язку що не впливають на рухомість механізму в цілому. Такі
ступені вільності і умови зв'язку називають зайвими. Як приклад схема
кулачкового механізму до складу якого входить стояк кулачок штовхач
ролик . Стояк і кулачок утворюють обертову пару V класу кулачок і ролик —
пару IV класу штовхач і стояк — поступальну пару V класу штовхач і ролик
— обертову пару V класу. Тоді виходячи з числа рухомих ланок і
кінематичних пар ступінь вільності механізму за формулою Чебишова
W=3п - 2р5 - р4 = 33 - 23 - 1 =2.
Проте очевидно що у цьому механізмі досить знати положення одного
кулачка щоб однозначно визначити положення штовхача тобто досить мати
одну початкову ланку а не дві як це випливає з формули Чебишова. В цьому
механізмі ролик створює зайвий ступінь вільності він може перекочуватися
і ковзати відносно кулачка що не впливає на характер руху штовхача. Ролик
є конструктивним елементом який введено для заміни тертя ковзання тертям
кочення тобто для зменшення опору сил тертя і зношення ланок. Кінематика
механізму не змінюється якщо ролик забрати і штовхач безпосередньо
з'єднати з кулачком у кінематичну пару IV класу.
Заміна вищих кінематичних пар нижчими
При структурному аналізі механізмів вищі кінематичні пари зручно замінити
нижчими. При цьому має задовольнятися умова структурної еквівалентності
тобто щоб замінний механізм мав таке саме число ступенів вільності і щоб
характер миттєвого відносного руху не змінився. Вища пара у плоских
механізмах еквівалентна одній умовній ланці і двом кінематичним парам V
Таким чином щоб замінити вищу кінематичну пару нижчою необхідно ввести
додатково умовну ланку з двома обертовими кінематичними парами V класу
центри шарнірів яких треба розмістити у центрах кривизни профілів ланок що
утворюють цю вищу пару і заново введену ланку слід з'єднати нижчими парами
з тими ланками які входили до складу вищої пари.
Основний принцип утворення механізмів
Основний принцип утворення механізмів який вперше було сформульовано у
14 р. російським вченим Л. В. Ассуром розкриває не тільки методику
утворення механізмів шляхом послідовного приєднання кінематичних ланцюгів
але й становить основу найраціональнішої класифікації механізмів. Цей
принцип полягає у тому що будь-який механізм можна одержати якщо до
початкової ланки (або початкових ланок) і стояка послідовно приєднувати
кінематичні ланцюги з нульовим ступенем вільності.
Справді як було показано вище до складу кожного механізму входять
нерухома ланка (стояк) початкові ланки тобто ланки закони руху яких
задано і від яких залежать закони руху всіх інших ланок. Отже приступаючи
до створення механізму необхідного ступеня вільності закріпляємо одну з
ланок (утворюємо стояк) і вводимо у кінематичні пари з цією ланкою
початкові ланки за кількістю ступенів вільності які повинен мати механізм.
При цьому кожна початкова ланка повинна мати тільки один ступінь вільності.
Назвемо умовно початкову ланку і стояк які утворюють кінематичну пару V
класу механізмом класу. На рис. 2.34 зображено механізми початкові
ланки яких утворюють із стояком обертову (рис. 2.34 б) або поступальну
(рис. 2.34 г) пару. Щоб одержати механізм потрібного ступеня вільності
необхідно до механізму (механізмів) класу приєднати систему ланок яка
становить один або кілька кінематичних ланцюгів з нульовим ступенем
вільності. Остання умова випливає з того що весь механізм повинен мати
ступінь вільності який дорівнює сумі ступенів вільності механізмів
Як приклад розглянемо плоский механізм зображений на рис. 2.34.
Ступінь вільності цього механізму можна визначити за формулою Чебишова:
W= 3n~2p5-p = 3-5-2-7-0=1
де число рухомих ланок п = 5 число пар V класу р5 = 7 і число пар IV класу
Якщо прийняти стояк 0 і ланку 1 за механізм класу (рис. 2.34'б) то
ланки 2—5 утворюють систему ланок що мають нульовий ступінь вільності (я =
Неважко побачити що кінематичний ланцюг з ланок 2—можна поділити на
два кінематичні ланцюги: один складений з ланок 2—3 (рис. 2.34 в) і
другий складений з ланок 5—6 (рис. 2.34 г).Кожний з цих кінематичних
ланцюгів складений з двох ланок і трьох кінематичних пар V класу має
ступінь вільності Wrp який дорівнює нулю. Розбити ці ланцюги на простіші
кінематичні ланцюги що мали б нульовий ступінь вільності неможливо.
Кінематичний ланцюг який після приєднання його вільними елементами пар
до інших ланок механізму не змінює його ступінь вільності і який не можна
роз'єднати на простіші кінематичні ланцюги нульового ступеня вільності
називається структурною групою або групою Ассура.
Таким чином плоский механізм (див. рис. 2.34 а) з одним ступенем
вільності можна розглядати як такий що утворений послідовним приєднанням
до механізму класу двох груп: групи 2—3 і групи 4—5. Тепер можна дати
таке визначення основному принципу утворення механізмів.
Будь-який механізм можна одержати якщо до механізму (механізмів)
класу послідовно приєднувати структурні групи.
При послідовному приєднанні груп необхідно керуватися певними
правилами. При утворенні механізму з одним ступенем вільності перша група
приєднується вільними елементами ланок до початкової ланки і стояка.
Наступні групи можуть приєднуватися до будь-яких ланок одержаного
механізму тільки так щоб ланки групи могли рухатися відносно одна одної.
Не можна групу вільними елементами приєднувати до одної ланки оскільки у
цьому випадку отримаємо нерухомий контур.
Структурні групи плоских механізмів задовольняють умову
Wrp = Зл - 2р5 - р4 = 0 (2.8)
структурні групи просторових механізмів —
Wzv = би - 5р5 - 4р4 - 3Л - 2р2 - а = 0.
Як плоскі так й просторові структурні групи використовуються не
тільки при структурному синтезі але й при аналізі механізмів.
Структурна класифікація плоских механізмів
У сучасному машинобудуванні особливо широко поширені плоскі механізми
ланки яких входять до пар IV і V класів. Розглянемо принципи їхньої
структурної класифікації.
Структурна класифікація механізмів основи якої було закладено Л. В.
Ассуром і далі розвинуто . . Артоболевським В. В. Добровольським та
іншими вченими є однією з найраціональніших класифікацій плоских
механізмів. Перевагою цієї класифікації є те що вона пов'язана з
методами кінематичного силового та динамічного дослідження механізмів.
В основу структурної класифікації механізмів покладено основний
принцип утворення механізмів. Нагадаємо що будь-який механізм можна
одержати шляхом приєднання до механізму класу структурних груп
умовою існування яких є рівність (2.8).
Усі кінематичні пари IV класу що входять до складу плоского
механізму можна замінити парами V класу тому залежність (2.8) можна
Характерно що до складу структурної групи може входити тільки парне
Вибираючи різні сполучення цих чисел які задовольняють умову (2.10)
можна дістати групи різного виду. Усі добуті таким способом групи можна
поділити на класи. Як буде показано далі поділ груп на класи зумовлений
методами кінематичного і силового аналізу властивими групам кожного класу.
Структурні групи і механізми II класу. Як видно з наведеного вище
найпростішою групою буде та група яка складається з двох ланок і трьох
кінематичних пар V класу (рис. 2.35).
Така група дістала назву структурної групи (групи Ассура) II класу II
порядку або двоповідкової групи. Порядок групи визначається кількістю
елементів пар якими група приєднується до основного механізму. У групі
зображеній на рис. 2.35 вільні елементи мають дві пари (А і О1) якими
група може приєднуватися до інших ланок.
Групи II класу бувають п'яти видів залежно від кількості обертових і
поступальних пар та їхнього взаємного розташування. Назвемо групу яка має
дві ланки і три обертові пари видом групи II класу.
Усі інші види груп II класу можна одержати заміною окремих обертових пар
поступальними. Якщо одну з крайніх обертових пар замінити поступальною
одержимо групу виду (рис. 2.35).
Механізми до складу яких входять тільки групи II класуназиваються
механізмами II класу. Більшість механізмів які застосовуються у сучасній
техніці належать до механізмів цього класу.
Клас групи визначається найвищим класом контуру що входить до її складу.
Клас механізму визначається найвищим класом груп що входять до його
складу. Наприклад якщо механізм утворений двома групами — групою III класу
і групою IV класу — то він належить до механізмів IV класу.
Склад і послідовність приєднання структурних груп механізму можна
виразити формулою будови механізму.
Приклади структурного аналізу плоских механізмів
снує певний порядок проведення структурного аналізу механізмів.
Визначають число ступенів вільності механізму (або кінематичного
ланцюга). Ланки які створюють зайві зв'язки і зайві ступені вільності при
структурному аналізі відкидають. Якщо є кінематичні пари IV класу то їх
треба замінити парами V класу (див. параграф 2.7) і окремо викреслити
структурну схему замінного механізму.
Виділяють початкові ланки кількість яких визначається числом ступенів
вільності механізму (кінематичного ланцюга). Нагадаємо що початкова ланка
і стояк утворюють механізм I класу.
Розбивають механізм на структурні групи. Відокремленняструктурної
групи частіше всього розпочинають з ланок і парнайвіддаленіших від
початкової ланки. Розпочинають із спроби від'єднати від механізму групи II
класу. Від'єднуючи структурні групи треба перевірити число ступенів
вільності W тієї частинимеханізму яка залишилась при цьому W змінюватися
не повинно. Групи відокремлюються до того часу поки не залишаться одна
початкова ланка і стояк (механізм класу) якщо W= 1чи кілька початкових
ланок кількість яких дорівнює одержаному числу ступенів вільності. Якщо
спроби відокремлення груп II класу не дадуть такого результату треба
переходити до спроб відокремлення груп III класу потім IV тощо.
Визначають клас і порядок структурних груп і клас механізму.
Записують формулу будови механізму.
Задачі і методи кінематичного дослідження механізмів
При кінематичному дослідженні механізму розглядається рух його ланок без
урахування сил які діють на них тобто розглядається рух ланок з
геометричної точки зору з урахуванням тільки фактора часу.
Як відомо будь-який рух тіла характеризується переміщенням його у
просторі швидкістю і прискоренням руху його точок. Звідси й випливають
основні задачі кінематичного дослідження механізмів:
) визначення положень ланок механізму побудова траєкторій його окремих
рухомих точок і знаходження переміщень окремих ланок;
) визначення швидкостей окремих точок і ланок механізму;
) визначення прискорень окремих точок і ланок механізму.
В результаті такого дослідження встановлюють відповідність кінематичних
параметрів (переміщень швидкостей і прискорень) заданим умовам роботи
механізму а також одержують вихідні дані для подальших розрахунків. Знання
кінематичних параметрів потрібні для визначення динамічних сил (сил
інерції моментів сил інерції) кінетичної енергії та потужності механізму.
Траєкторії окремих точок допомагають встановити картину взаємного положення
ланок під час руху машини і усунути можливість їх співударів. Дані
кінематичного дослідження дуже часто використовуються для розв'язання
оберненої задачі — синтезу механізмів.
Побудова положень ланок механізму і траєкторій окремих точок
Для розв'язання задачі про положення ланок механізму (планів механізму)
треба задати кінематичну схему механізму (розміри всіх його ланок) і закон
руху початкової (початкових) ланки. У практиці інженерних розрахунків при
кінематичному дослідженні механізмів як правило приймають рух початкової
ланки лінійним тобто рівномірним (1 = const або s1 = const). Наведений
рух як правило зумовлюється умовами роботи механізму і приблизно таким
він здійснюється на практиці. Це припущення не порушує загальності методів
дослідження оскільки за нерівномірного руху вони залишаються в силі. Крім
цього при кінематичному дослідженні всі ланки механізму умовно вважають
абсолютно твердими тілами тобто розміри ланок незмінні а зв'язки між ними
ідеальні (у кінематичних парах відсутні зазори) всі ланки виготовлені
абсолютно точно. Такі припущення дають змогу значно спростити методи
дослідження механізмів а одержані при цьому результати у багатьох випадках
мало відрізняються від дійсних.
Побудову положень ланок плоских механізмів можна здійснити методами
засічок кругових шаблонів і геометричних місць.
Метод засічок. Побудову положень ланок цим методом розглянемо на
прикладі кривошипно-повзункового механізму кінематична схема і закон руху
кривошипа ОА (1= const) якого задані (рис. 3.1).
Побудову здійснюватимемо у певному масштабі. Для цього скористаємося
масштабним коефіцієнтом під яким розуміють відношення фізичної величини
(шляху швидкості тощо) до довжини відрізка який цю величину зображає на
рисунку. Масштабний коефіцієнт який у подальшому будемо називати
масштабом" позначимо літерою з індексом тієї величини яка зображена
графічно. Наприклад при зображенні лінійних розмірів механізму масштаб
буде визначатися за формулою
де 10А — дійсна величина кривошипа ОА м; ОА — довжина відрізка ОА
(мм) де ОА = ОАі (і = 012 7).
Для знаходження положення всіх точок і ланок механізму методом дугових
засічок необхідно послідовно розглянути рух кожної ланки від початкової до
вихідної у такому порядку як вони приєднуються до механізму. Кривошип ОА
здійснює рівномірний обертовий рух (1) = const) навколо нерухомого центра
О. Шатун АВ здійснює складний рух: центр шарніра А рухається по колу
радіуса ОА центр шарніра В — по прямій разом із повзуном який зв'язаний
із шатуном АВ і рухається вздовж нерухомої напрямної.
За початкове положення механізму виберемо таке за якого кривошип і
шатун витягнуться в одну лінію ОА0В0. У центральному кривошипно-
повзунковому механізмі ця лінія збігається з напрямком руху центра шарніра
В. Далі поділимо траєкторію точки А на довільно вибране число рівних
частин наприклад 8як це показано на рис. 3.1 точки поділу позначимо А0
А1 А2 А7 у напрямку обертання кривошипа. Тобто перехід з одного
положення на друге здійснюється за час Т8 де Т- періодобертання кривошипа
(Т= 60п с; п — частота обертання кривошипа хв1). Положення точки В
знайдемо методом дугових засічок враховуючи що довжина шатуна АВ протягом
руху залишається незмінною. Для цього з одержаних точок А0 Аъ Аъ
А7 радіусом АВ зробимо дугові засічки на траєкторії точки В у результаті
чого знайдемо положення центрів шарніра В— В0 Вь В2 В7. З'єднавши
точки Аі- і Ві відрізками Aі і Ві одержимо положення шатуна АВ і повзуна
Таким самим способом побудуємо траєкторію точки С яка лежить на шатуні
АВ (див. рис. 3.1). Для цього з точок Аі зробимо на відповідних положеннях
шатуна АіВі дугові засічки радіуса AіСі. З'єднавши послідовно одержані
точки С плавною кривою одержимо траєкторію точки С. Через те що точка С
лежить на шатуні її траєкторію називають шатунною кривою. На рис. 3.2
показані приклади шатунних кривих які опишуть різні точки В С Е F G
К L) шатуна шарнірного чотириланкового механізму. Шатунні криві широко
використовуються у сучасній техніці для виконання певних рухів виконавчими
органами різних механізмів і машин при проектуванні механізмів з вистоями
заданими передаточними функціями тощо.
Якщо до складу механізму входять кілька груп то їхні плани будуються
аналогічно (рис. 3.3).
Спочатку будують ряд положень кривошипа ОА потім — ланок першої
приєднаної групи (шатуна АВ і повзуна В). Знаходять положення точки
під'єднаний С другої групи (шатуна CD і коромисла DE) потім дуговими
засічками — положення точки D яка лежить на дузі кола що побудоване
радіусом DE з центром у точці Е. Довжини ланок CD і DE під час руху також
не змінюються. Побудову планів положень механізму закінчують побудовою
положень ланок останньої групи. Початковим положенням кривошипа ОА
вибирають таке положення за якого одна з вихідних ланок (у нашому випадку
повзун В або коромисло DE) займатиме одне з крайніх (мертвих) положень.
Побудова діаграм переміщення. При дослідженні механізмів часто
недостатньо знайти тільки форму шляху — траєкторію руху точки; треба ще
знати характер зміни довжини пройденого шляху залежно від часу або кута
повороту кривошипа (узагальненої координати). Для цього будують діаграми
лінійних s = s(t) або кутових = (t) переміщень якщо ланка здійснює
Розглянемо побудову діаграми переміщень
повзуна В (рис. 3.4) для кривошипно-повзункового
механізму схема якого зображена на рис. 3.1.
Якщо рух початкової ланки прийнято
рівномірним то це означає що за рівні проміжки
часу кривошип повертатиметься на однакові кути;
переміщення повзуна будуть вимірювати відрізками
B0Bі (і = 0 1 2 п — положення механізму).
Будують прямокутну систему координат (див. рис. 3.4): на осі абсцис
відкладають відрізок [pic] який зображує у масштабі l= Tl (смм) період
Т с одного обороту кривошипа ОА (або кут φ= 2); на осі ординат — лінійні
переміщення повзуна В у масштабі s = Smax[Smax] де Smax— максимальний
хід повзуна В м; [Smах] — відрізок мм на діаграмі який зображує цей
Відрізок l ділять на таку кількість відрізків 0—1 1—2 7— 0 на яку
розбита траєкторія точки А (у даному випадку на 8). Точки 0 1 2
відповідають моментам часу коли механізм займатиме відповідно положення 0
2 Тоді на ординатах відкладають у вибраному масштабі s ммм
переміщення точки В від крайнього положення В0 за певні проміжки часу. Якщо
масштаби довжини (рис. 3.1) і переміщень (рис. 3.4) рівні то відрізки
—1 2—2 на діаграмі будуть відповідно рівні відрізкам В0В1 В0В2
на плані механізму. Одержані точки 0 1' 2' з'єднують плавною кривою
яка і буде діаграмою переміщень повзуна В — s = s(t).
Якщо ланка здійснює коливальний рух то як правило будують діаграму
кутових переміщень наприклад коромисла DE (див. рис. 3.3) залежно від
Дослідження руху механізмів методом кінематичних діаграм
Маючи діаграму (графік) переміщень будь-якої точки або ланки механізму як
функцію шляху s залежно від часу t методом графічного диференціювання можна
визначити швидкості і прискорення точки (ланки) рух якої визначають.
Для побудови діаграми швидкостей v = v(t) використовують залежність
Як відомо похідна функції s = s(t) у точці А визначається тангенсом
кута нахилу дотичної до цієї кривої s = s(t) проведеної через точку А.
З урахуванням масштабів побудови діаграми s = s(t) можна записати
Тоді залежність (3.2) набуде вигляду
де α — кут нахилу дотичної у точці А діаграми s = s(t); st — масштаби
діаграми по осях ординат і абсцис відповідно.
з залежності (3.3) видно що швидкість руху точки в будь-якому положенні
пропорційно зв'язана з тангенсом кута нахилу дотичної оскільки масштаби s
і t є величинами сталими.
Таким чином щоб побудувати діаграму швидкостей v = v(t) беруть ряд
точок на діаграмі s = s(t) і через них проводять дотичні. Знайшовши тангенс
кутів нахилу цих дотичних у відповідних положеннях будують діаграму [pic].
Ця діаграма одночасно буде діаграмою швидкостей у деякому масштабі який
можна знайти використовуючи залежність (3.3)
На практиці для побудови діаграм швидкостей і прискорень використовують
два методи — метод дотичних і метод хорд.
Метод хорд. Метод дотичних на практиці досить незручний оскільки дуже
важко проводити дотичні до кривих і досягти стабільних результатів. Тому на
практиці більшого поширення набув метод хорд який грунтується на відомій
теоремі про кінцевий приріст функції: якщо функція та її перша похідна
безперервні то на будь-якому інтервалі наприклад 0—1 (рис. 3.8 а) хорда
—1' яка стягує дугу паралельна дотичній до кривої s = s(t) хоча б в
одній точці що лежить у середині цього інтервалу. Тому при цьому методі на
діаграмі s = s(t) замість дотичних проводять хорди О—1' 1'—2' 2'—3'
(рис. 3.8 а) а на діаграмі v = v(t) (рис. 3.8 б) із точки Р1 — промені
Р11" Р12" Р13" які паралельні відповідним хордам до перетину з
віссю ординат v. Відрізки 0—1" 0—2" 0—3" у масштабі v отриманого за
(3.4) визначають значення швидкостей посередині відповідних інтервалів
часу. Для спрощення побудови діаграм відрізки 0—1" 0—2" 0—3"
відкладають посередині відповідних інтервалів часу. Точки 0 1" 2'
'" з'єднують плавною кривою і одержують з певною точністю діаграму
швидкостей v = v(t). Чим менший інтервал часу розглядається тобто чим
більше проведено хорд тим більше наближаються до заданої кривої. Особливу
увагу треба звернути на ділянку де крива яку диференціюють має
екстремум. У цьому місці криву треба розділити на менші ділянки (проміжки
Аналогічно методом хорд будують діаграму прискорень а = at) (рис. 3.8
в). Порівнюючи побудовані графіки переміщень швидкостей і прискорень
(рис. 3.8) між ними можна встановити такі залежності:
) зростанню ординат кривої що диференціюється відповідають додатні
значення ординат диференціальної кривої а зменшенню — від'ємні значення;
) при максимумі кривої що диференціюється диференціальна крива
переходить через нуль від додатних значень ординат до від'ємних а при
мінімумі — від від'ємних значень ординат до додатних;
)точці перегину кривої що диференціюється відповідає максимум або
мінімум на диференціальній кривій.
Дослідження руху механізмів методом планів швидкостей і прискорень
Розглянутий метод графічного дослідження механізмів при всій його
простоті та наочності не розв'язує цілком питання кінематики точки.
Побудовані діаграми переміщень швидкостей і прискорень дають уявлення лише
про скалярні кінематичні величини руху однієї точки (або ланки) напрямки ж
векторів цих величин залишаються невідомими. Кінематичні параметри
швидкості та прискорення можна визначати за допомогою графічного
диференціювання лише після того як побудовано траєкторію і графік
У практичному застосуванні при дослідженні руху механізмів досить точним
і зручним є графоаналітичний метод що грунтується на побудові планів
швидкостей і прискорень. Перевагою цього методу є те що в результаті
побудови планів одержують не тільки величини але й напрямки швидкості та
прискорення заданих точок механізму. Теоретичні основи побудови планів
швидкостей і прискорень розглядаються в курсі теоретичної механіки.
Плани швидкостей. Візьмемо будь-яке тіло К що здійснює плоский рух.
Положення твердого тіла у загальному випадку визначається трьома точками А
В С (рис. 3.9 а) які незмінно зв'язані з тілом і утворюють жорсткий
Нехай відомі швидкості vA vB vc відповідно точок А В С і положення
миттєвого центра швидкостей Р. Вектор швидкості будь-якої точки направлений
перпендикулярно до радіуса-вектора який з'єднує цю точку з точкою Р
vA[pic]PA vB [pic] РВ vc [pic] PC.
Швидкості точок пропорціональні радіусам-векторам
де — миттєва кутова швидкість тіла К.
Візьмемо тепер будь-яку довільну точку р на площині (рис. 3.9 б) і
побудуємо в деякому масштабі v з цієї точки вектори швидкостей точок А В
С З'єднавши прямими точки a b і с — кінці векторів швидкостей vA vB vc —
одержимо план швидкостей тіла ABC. Якщо таким чином побудувати вектори
швидкостей усіх крайніх точок тіла К і з'єднати їх між собою на плані
швидкостей отримаємо фігуру к яка буде подібна до тіла К. Отже планом
швидкостей будь-якого тіла (ланки) є геометричне місце кінців векторів
швидкостей крайніх точок тіла відкладених з однієї довільної точки що
називається полюсом плану швидкостей.
У зв'язку з тим що відрізки pa pb рс перпендикулярні до радіусів
відповідно РА РВ PC і пропорціональні їм вся фігура pabc подібна до
фігури РАВС і повернута відносно неї на 90° вбік миттєвого обертання. Це
характерно для фігури abc яка подібна до фігури АВС .
Звідси одержимо теорему подібності для планів швидкостей: план
швидкостей твердого тіла (ланки) подібний до тіла і повернутий відносно
нього на 90° у бік миттєвого обертання тіла.
Теорема подібності справедлива тільки для незмінної системи твердого
тіла (ланки) і ні в якому випадку для механізму в цілому що є змінною
системою. Для механізму який складається з системи ланок і який при русі
постійно змінює свою форму можна лише мати сукупність планів швидкостей
окремих ланок що побудовані з одного полюса спільного для всіх ланок.
Такий рисунок називають планом швидкостей механізму.
В основі методу векторних рівнянь лежить теорема про розклад складного
руху на два прості: переносний і відносний.
Для прикладу побудуємо план швидкостей кривошипно-повзункового механізму
(рис. 3.10) для якого задано кінематичну схему і закон руху кривошипа ОА
(1 = const). Якщо задано частоту обертання n1хв-1 то для визначення
кутової швидкості скористаємося залежністю [pic]
Розв'язування задачі розпочнемо з визначення швидкості точки А початкової
ланки: vA = 1 l0A (l0A — дійсна довжина кривошипа ОА м).
Вектор vА направлений перпендикулярно до кривошипа ОА в бік його руху.
Зобразимо вектор швидкості vA відрізком ра (рис. 3.10б) який у масштабі
визначає цю швидкість: vA = (pa)v.
Щоб знайти швидкість точки В яка є спільною для шатуна АВ і повзуна В
згадаємо теорему про розклад складного руху на переносний і відносний.
Шатун АВ здійснює складний рух який можна розкласти на два прості:
переносний (поступальний) зі швидкістю vA точки А і відносний (обертовий)
відносно точки А зі швидкістю vBA. Справді якщо надати кривошипу
елементарного переміщення dφ1 то центр шарніра А переміститься у точку А1
шарніра В — у точку В. При такому русі шатун АВ здійснює складний рух:
точка А рухається по дузі кола точка В — по прямій лінії. Нехай спочатку
всі точки шатуна АВ рухаються як точка А зі швидкістю vA при цьому вісь
шатуна займе положення [pic]. Потім прийнявши точку А1 за нерухомий центр
(полюс) повернемо шатун АВ так щоб точка В1 потрапила на свою дійсну
траєкторію х—хтобто у точку B1.[pic]
Отже при заміні дійсного руху шатуна АВ двома умовними що дають такий
самий кінцевий результат переміщення центр шарніра В набув послідовно дві
швидкості: при поступальному русі — vA при обертовому — відносну швидкість
vBA точки В відносно точки А яка невідома нам за величиною але
відома за напрямком (vBA 1 АВ). На основі цього запишемо векторне
рівняння для знаходження швидкості точки В:
Для визначення векторів швидкостей vB і vBA проведемо через точку а (рис.
10 б) лінію яка показує напрямок вектора відносної швидкості а з
полюса р — лінію паралельну руху повзуна В [pic]. Точка перетину цих ліній
визначить точку b — кінець векторів vB і vBA. Відрізок ab не тільки
визначає у масштабі величину (модуль) відносної швидкості vBA = (ав)v але
й одночасно він є планом швидкостей шатуна АВ. А тому точка С яка лежить
на ньому згідно з теоремою подібності на плані лежатиме на відрізку ab.
[pic] одержимо довжину відрізка
Відкладемо відрізок ас на плані швидкостей і з'єднавши точку с з полюсом
р отримаємо швидкість точки С: vc = (рс) v .
Планом швидкостей кривошипа ОА буде відрізок ра (точка О як нерухома
потрапила в полюс р) повзуна В — точка b (всі точки повзуна мають однакову
Знайшовши лінійні швидкості всіх ланок механізму можна встановити їхні
кутові швидкості. У даному випадку кутова швидкість шатуна АВ
Для визначення напрямку кутової швидкості 2 перенесемо вектор швидкості
vВА у точку В (рис. 3.10а) і розглянемо рух точки В відносно точки А у
напрямку швидкості. У нашому випадку кутова швидкість 2 направленаиза
рухом годинникової стрілки.
План прискорень. Плани прискорень будують аналогічно планам швидкостей.
Планом прискорень будь-якого твердого тіла (ланки) називають геометричне
місце кінців векторів прискорень крайніх його точок відкладених з однієї
довільної точки що називається полюсом плану прискорень.
Теорема подібності для планів прискорень формулюється так.
План прискорень будь-якого тіла (ланки) подібний до тіла і повернутий
відносно нього на деякий невизначений кут. А тому плани прискорень можна
побудувати тільки методом векторних рівнянь.
Розглянемо методику побудови планів прискорень на прикладі кривошипно-
повзункового механізму (див. рис. 3.10). Вихідними даними для побудови
плану прискорень є положення ланок механізму (план механізму) і план
швидкостей. Рівняння які використовуються при побудові плану прискорень
різняться тільки тим що повні прискорення точки розкладають на певні
складові. У даному випадку (рис. 3.11 а) повне прискорення точки А є
геометричною сумою нормального (доцентрового) і дотичного (тангенціального)
напрямку кутового прискорення 1 ланки 1. Модулі цих прискорень
находять із співвідношень
Якщо початкова ланка обертається рівномірно (1 = const) то[pic]dt=0 а
отже у даному випадку [pic] тобто прискорення точки [pic]
Прийнявши деяку точку ; за полюс плану прискорень (рис. 3.11 б)
відкладемо вектор який зображує нормальне прискорення точки А у вигляді
відрізка а. Тоді масштаб (масштабний коефіцієнт) прискорень знайдемо зі
Прискорення точки В знайдемо з рівняння аналогічного рівнянню (3.8):
аВ = аA + аВА (3.14)
де вектор прискорення аВ направлений уздовж напрямної х—х. Розкладаємо
відносне прискорення аВА на дві складові: [pic]. Тоді рівняння (3.14)
Вектор нормального прискорення [pic] направлений уздовж лінії ВА від
точки В до А а його модуль
На плані прискорень [pic] зображено відрізком an =[pic] який прикладено
своїм початком у точку а (згідно з правилом складання векторів). Через його
кінець (точку п) проведено лінію дотичного прискорення [pic]
направленого перпендикулярно до лінії АВ[pic] потім через полюс —
напрямок прискорення точки В ( х--х). Тоді точка перетину напрямків
прискорень аВ і [pic] визначить точку b — кінець векторів аВ і [pic].
З'єднавши точки а і b знайдемо вектор повного прискорення [pic] і тим
самим побудуємо план прискорень шатуна АВ.
Положення точки с на плані прискорень можна визначити методом подібності
склавши пропорцію (3.9) з якої можна визначити відрізок ас. Тоді
прискорення точки С становить [pic].
Модуль кутового прискорення ланки [pic]lAB. Для визначення напрямку 2
перенесемо вектор дотичного прискорення [pic] у точку В (рис. 3.11 а) і
спостерігатимемо в який бік цей вектор буде обертати шатун АВ відносно
вибраного полюса (точка А). У нашому випадку кутове прискорення 2
направлене проти руху годинникової стрілки. Отже рух шатуна АВ в цьому
положенні сповільнений оскільки кутова швидкість 2 має інший напрямок
Основні задачі динамічного дослідження механізмів
При кінематичному дослідженні механізмів наперед вважається що рух
початкової ланки заданий а рух інших ланок вивчається залежно від руху
цієї ланки. За цих умов сили які діють на ланки механізму не
враховувались. При динамічному дослідженні механізмів розглядається рух
ланок з урахуванням сил що діють на них.
Розрізняють дві основні задачі динаміки механізмів і машин.
Задано закон руху початкової ланки механізму; треба визначити зовнішні
сили які забезпечують цей рух.
Задано зовнішні сили що діють на ланки механізму; треба визначити закон
руху початкової ланки.
Перша задача має назву силового аналізу механізмів друга — динаміки
механізмів (машин). Крім цього як і в інших розділах теорії механізмів і
машин у динаміці можна виділити два класи задач — аналіз і синтез
механізмів і машин за заданими динамічними умовами. З цієї причини до
розділу динаміки включають ряд інших задач які мають важливе технічне
значення а саме: розрахунок маховика регуляторів швидкості зрівноваження
мас у механізмі визначення його коефіцієнта корисної дії (ККД)
дослідження коливань у машинах їхній віброзахист. У цьому розділі будемо
проводити всі дослідження без врахування сил тертя прийнявши ланки
механізмів за абсолютно тверді тіла.
Але перед тим як почати розв'язання задач динаміки необхідно
ознайомитися з силами що діють на ланки механізмів і машин.
Сили що діють у машинах
Як відомо з курсу теоретичної механіки під силою слід розуміти взаємодію
тіл при передачі або перетворенні руху. Л. Ейлер вважав: усе що спроможне
змінити абсолютний стан тіла називається силою. У динаміці механізмів і
машин під силою слід розуміти як причину змін механічного стану тіла так і
опори які при цьому виникають.
Зміну механічного стану тіла можна виразити у зміні його руху тобто в
прискоренні; у зміні його розмірів або деформації; у зміні його форми
наприклад кування. Кожну дію яка викликає ці зміни а також опори що
виникають при цьому називатимемо силою.
Сила не є якоюсь особливою категорією яка існує незалежно від матерії
або поза нею. Сила й матерія неподільні тому будь-яка сила безумовно має
матеріальне джерело.
Сили які діють у машинах поділяються на дві основні групи.
Рушійні сили Fp які діють у бік руху тіла тобто намагаються прискорити
Сили опору Fо які діють проти руху тіла тобто намагаються сповільнити
У свою чергу сили опору поділяються на сили корисного (або виробничого)
опору FK0 та сили шкідливого (або невиробничого) опоруFш.о..
Рушійні сили — це такі сили які приводять механізм або машину до руху.
Рушійними силами можуть бути тиск пари або газу тиск води повітря
електромагнітні сили сили пружності пружини сила тяжіння тощо.
Напрямки рушійної сили і швидкості точки в якій прикладена ця сила або
збігаються або утворюють гострий кут. Тому проекція вектора сили на
напрямок руху тіла завжди додатна що і визначає додатну роботу рушійних
сил. До сил корисного опору відносять технологічні опори руху на подолання
яких при виконанні технологічного процесу витрачається робота тобто для
здійснення якого і призначено машину або механізм. Прикладом може служити
опір різанню металів або вага вантажу який ми підіймаємо. Тут доречно
відзначити що при опусканні вантажу його вага вже буде рушійною силою.
Звідси випливає що в деяких машинах одну й ту саму силу не можна завжди
відносити до якої-небудь певної категорії.
Сила корисного опору направлена в протилежний руху бік або утворює з
напрямком швидкості тупий кут. Тому ця робота завжди від'ємна.
До сил шкідливого опору належать сили тертя в кінематичних парах а
також опір середовища. Щоправда є випадки коли силу тертя не можна
віднести до сил шкідливого опору. В гальмах наприклад або в місцях стику
приводних коліс локомотива з рейками автомобіля з поверхнею дороги тертя
Розрізняють також сили тяжіння ланок G сили інерції FiH і сили реакції
R в кінематичних парах. Проте ці сили не утворюють будь-якого нового класу.
Залежно від напрямку їх дії ці сили треба віднести до рушійних сил або сил
Сили тяжіння є результатом взаємодії ланок із Землею. У результаті того
що ця сила постійно спрямована в один бік а в машинах траєкторії точок як
правило замкнені робота сил тяжіння за період руху механізму дорівнює
нулю (без урахування витрат енергії на тертя). Всередині періоду руху ця
робота відрізняється від нуля.
Сили інерції з'являються при зміні швидкості за величиною або за
напрямком. При періодичному русі робота сил інерції за період руху також
дорівнює нулю (без урахування витрат енергії на тертя). Це пояснюється тим
що швидкості й прискорення точок рухомих ланок по закінченні кожного
періоду набирають початкових значень. Всередині періоду руху ця робота
відрізняється від нуля а самі сили інерції можуть набувати дуже великих
снують ще сили реакції які виникають при взаємодії ланок у місцях їх
стикання тобто в кінематичних парах. Такі сили є внутрішніми силами для
всього механізму в цілому хоча для кожної окремо взятої ланки вони будуть
зовнішніми. Робота сил реакцій ніколи не дорівнює нулю оскільки не
дорівнюють нулю сили тертя в кінематичних парах.
Усе досі сказане про сили стосується і моментів пар сил М тому що вони
характеризують дію сил при обертанні (М = Fr де F — сила r — плече цієї
сили відносно осі обертання).
Визначення сил інерції
Як відомо з теоретичної механіки у загальному випадку всі сили інерції
будь-якої ланки АВ (рис. 4.7) яка здійснює плоский складний рух і має
площину симетрії паралельну площині руху можуть бути зведені до головного
вектора сил інерції Fін який прикладаємо в центрі мас S (скорочено — сили
інерції) і до головного момента сил інерції Мін (скорочено — момент сил
Сила інерції визначається за формулою
де Fін — вектор сили інерції ланки АВ; т — маса ланки кг; as — вектор
повного прискорення центра мас S мс2.
Сила інерції ланки Fін спрямована протилежно вектору прискорення центра
Таким чином для визначення сили інерції Fін ланки треба знати її масу й
вектор повного прискорення as центра мас. Як видно з (4.2) сила інерції
має одиницю вимірювання кілограм-метр на секунду в квадраті (кг мс2)
тобто вимірюється у ньютонах (Н).
Момент Мін сил інерції спрямований протилежно кутовому прискоренню є і
може бути визначений за формулою
де Js — момент інерції ланки відносно осі яка проходить через центр мас і
перпендикулярна до площини руху ланки; — кутове прискорення ланки.
Момент інерції Js має одиницю вимірювання кг м2 кутове прискорення —
радс2 тому момент Мін сил інерції вимірюють у кг м2с2 = Н м.
Силу інерції Fін і момент сил інерції Мін можна замінити однією
рівнодіючою силою Fн' що дорівнює за величиною силі інерції Fiн (рис.
8) лінія дії якої зміщена відносно центра мас S на відстань h =МінF'iн
тобто момент сил інерції (Мін = Fін h) замінюємо парою сил.
У деяких випадках усі сили інерції ланки замінюють силами інерції мас
які розміщують у вибраних точках що мають назву точки заміщення.
Силовий розрахунок плоских механізмів без урахування сил тертя
Основні задачі силового розрахунку. Визначення сил які діють на ланки
механізмів має велике практичне значення для розрахунків ланок на
міцність жорсткість вібростійкість зносостійкість довговічність для
визначення втрат енергії на тертя а також для підрахунку енергетичного
балансу машини та виконання інших подібних розрахунків.
Основними задачами силового розрахунку механізмів є: по-перше
визначення зовнішніх невідомих сил що діють на ланки механізмів; по-друге
визначення сил взаємодії ланок у місцях їх стикання тобто реакцій у
кінематичних парах; по-третє визначення зрівноважувальної сили або
зрівноважувального моменту сил.
При розв'язанні задач силового розрахунку механізмів припускається що
закон руху початкової ланки задано; так само припускається що маси і
моменти інерції ланок відомі. Отже завжди можна визначити ті сили інерції
які необхідні для розв'язання задач силового розрахунку. В першому
наближенні силовий розрахунок проводять без урахування сил тертя в
Найпростішим випадком силового розрахунку механізмів є рівновага тобто
коли ланки механізму перебувають у стані спокою або рівномірному
прямолінійному русі. У цих випадках не виникають динамічні сили (сили
інерції). Тому для розв'язання такої задачі досить звичайних рівнянь
статики. У загальному випадку — при наявності прискорень — виникають сили
інерції і рівнянь статики тут мало. Щоб розв'язати задачу про знаходження
сил використовують принцип Даламбера згідно з яким рухома система тіл
перебуває в кожний момент часу в рівновазі під дією зовнішніх сил куди
включають і сили інерції.
Таким чином користуючись принципом Даламбера можна задачу динаміки
розв'язати методами статики якщо умовно віднести до зовнішніх сил і сили
(моменти сил) інерції які виникають при русі ланок з прискоренням і діють
на елементи кінематичних пар як додаткові сили. Проте треба твердо
пам'ятати що сили інерції які докладаємо до ланок умовні. Вони діють на
іншу ланку яка спричиняє прискорений рух даної ланки. Так і розуміють
характер сил інерції.
Розв'язання задачі динаміки методами статики називають кінетостатичним
Статична визначеність структурної групи. Як відомо з курсів теоретичної
механіки і опору матеріалів задача про знаходження сил легко розв'язується
для статично визначених систем. Статично визначеною системою називають таку
систему в якій кількість невідомих сил дорівнює числу рівнянь рівноваги
які можна скласти для їх знаходження.
Тому перш ніж приступати до розв'язання задачі знаходження невідомих
сил треба з'ясувати для яких кінематичних ланцюгів дотримується умова
статичної визначеності.
Для прикладу розглянемо плоский механізм до складу якого входить п
рухомих ланок р5 пар п'ятого класу і р4 пар четвертого класу. Нехай будуть
відомі всі зовнішні сили (включаючи сили інерції) які діють на ланки
механізму. Треба визначити реакції в кінематичних парах. Для кожної ланки
плоского механізму можна скласти три рівняння а для п ланок — 3п рівнянь.
Будь-яка сила характеризується трьома параметрами: величиною (модулем)
напрямком і точкою прикладання. Розглянемо які з цих параметрів відомі а
які невідомі для сил реакцій у різних кінематичних парах плоских
Сили реакцій (сили взаємодії) між двома тілами (ланками) які стикаються
при відсутності тертя завжди напрямлені нормально до стичних поверхонь.
Тому в обертовій кінематичній парі (рис. 4.9 а) реакція R21 яка
прикладена до ланки 2 зі сторони ланки 1 буде завжди проходити через центр
шарніра О. Величина і напрямок дії цієї сили R21 невідомі тому що вони
залежать від сил які прикладені до ланок 1 і 2.
Сказане повністю стосується і реакції Rl2 яка прикладена до ланки 1 зі
сторони ланки 2 тому що сили взаємодії зв 'язані між собою третім законом
Ньютона: R2l = - Rl2.
У поступальній парі (рис. 4.9 б) результуюча реакція R21 буде напрямлена
перпендикулярно до осі руху х—х ланок цієї пари при цьому невідомими
лишаються її величина і точка прикладання С.
У вищій парі IV класу (рис. 4.9 в) реакція R2l напрямлена вздовж
спільної нормалі п—п (без урахування тертя) і прикладена в точці дотику С.
Тому в такій кінематичній парі відомі точка прикладання і напрямок сили
реакції. Невідомою є її величина.
Тоді для плоского кінематичного ланцюга кількість невідомих
дорівнюватиме 2р5 + р4.
Кінематичний ланцюг буде статично визначений коли число невідомих
параметрів дорівнює числу рівнянь тобто в нашому випадку повинна
дотримуватись рівність
п - 2р5 -р4 = 0. (4.4)
Вираз який знаходиться в лівій частині рівності (4.4) вказує на число
ступенів вільності плоского кінематичного ланцюга (2.7).
Значить статично визначеними є кінематичні ланцюги з нульовим ступенем
вільності. Такими кінематичними ланцюгами є структурні групи (2.15). Звідси
випливає що структурні групи є статично визначеними а тому при силовому
розрахунку доцільно розглядати рівновагу окремих структурних груп.
Умова (4.4) справедлива для плоскої системи зовнішніх сил які діють на
ланки механізму. При просторовому розташуванні сил число рівнянь статики і
число невідомих складових реакцій мають задовольняти умову (2.16). Треба
зауважити що для статичної визначеності плоский механізм не повинен мати
зайвих зв'язків. Наявність таких зв'язків збільшує число невідомих
складових реакцій і для їх визначення додатково до рівнянь статики треба
скласти рівняння деформацій.
Методика і порядок силового розрахунку механізмів. На підставі
сказаного раніше можна викласти методику силового розрахунку механізмів.
При силовому розрахунку механізм розбивають на структурні групи тобто на
статично визначені ланцюги до яких прикладають усі зовнішні сили
включаючи сили (моменти сил) інерції дію основного механізму на ланки
групи замінюють реакціями. Під дією всіх цих сил група перебуває в
рівновазі а тому можна скласти відповідну кількість рівнянь рівноваги
розв'язуючи які відносно невідомих складових реакцій знаходимо їх. При
цьому на відміну від кінематичного дослідження механізмів силовий
розрахунок починають з останньої від початкової ланки приєднаної
структурної групи і закінчують силовим розрахунком початкової (початкових)
Таким чином силовий розрахунок механізмів зводиться до розрахунку
окремих структурних груп. Це ще раз підтверджує значимість структурної
класифікації Л. В. Ассура.
Перейдемо до силового розрахунку структурних груп II класу. При цьому
вважатимемо що всі зовнішні сили які діють на ланки груп відомі і для
кожної ланки зведені до однієї рівнодіючої сили Fі; і одного рівнодіючого
моменту пари сил Mі де і = 1 2 3 — номери ланок. Таке спрощення не
впливає на методику силового розрахунку структурної групи проте дозволяє
звернути увагу на особливості силового розрахунку груп окремих видів який
не залежить від кількості сил їхньої величини від механізму до складу
якого входить ця група.
СИЛОВИЙ АНАЛЗ ПЛОСКИХ МЕХАНЗМВ
При проектуванні механізмів велике значення має їх силове дослідження
головними задачами якого є визначення сил інерції ланок реакцій у всіх
кінематичних парах зрівноважуючої сили або зрівноважуючого моменту сил
тертя і т.д. Знання цих сил необхідне для розрахунку на міцність ланок
механізму і встановлення їх раціональних конструкцій визначення к.п.д.
механізму і його працездатності призначення необхідної потужності двигуна
а також для вирішення задач регулювання.
Сили діючі в механізмі
Сили діючі в механізмі діляться на дві основні групи: активні сили і
реакції в'язів. До активних сил відносяться:
Рушійна сила тобто сила що приводить машину в рух. Напрям
рушійної сили або співпадає з напрямом руху або складає з ним гострий кут.
Робота рушійної сили завжди позитивна.
Сили корисного опору тобто сили на подолання яких витрачається
робота для виконання якої призначена машина.
Сили шкідливого опору тобто сили на подолання яких витрачається
додаткова робота. До них відносяться сили опору середовища сили тертя і
Напрям сил опору - або протилежний з напрямом руху або складає з ним
тупий кут. Робота сил опору завжди негативна.
Сили інерції тобто сили протидії прискоренню тіла. Ці сили
переносяться з прискорюючого тіла на прискорюване і зрівноважуються всією
рештою зовнішніх сил діючих на тіло.
Сили ваги. Робота сил ваги може бути як позитивна так і негативна.
До сил реакцій в'язів відносяться реакції в кінематичних парах тобто
сили взаємодії що знаходяться в з'єднанні ланок. Ці сили є внутрішніми по
відношенню до всього механізму в цілому і зовнішніми по відношенню до
Як відомо з теоретичної механіки елементарні сили інерції
розподілені по всій ланці що скоює плоский рух можна привести до
головного вектора сил інерції і до головного моменту сил інерції.
Значення сили інерції ланки визначається по формулі
[pic] - абсолютне прискорення центру мас ланки.
Момент сил інерції ланки рівний:
[pic] - кутове прискорення ланки.
Знак мінус в приведених формулах указує на те що сила інерції
направлена протилежно прискоренню а момент - протилежно кутовому
Розглянемо визначення сил інерції для трьох різних випадків плоского
Сили інерції поступально рухомої ланки (мал. 1)
При поступальному руху всі точки ланки описують однакові траєкторії і
в даний момент мають однакові швидкості і прискорення. В цьому випадку сила
інерції як рівнодіюча паралельних сил прикладена в центрі мас ланки і
Сили інерції ланки що обертається навколо нерухомої
Система сил інерції ланки що знаходиться в нерівномірному
обертальному русі навколо нерухомої осі приводиться до сили інерції [pic]
прикладеної в центрі мас протилежно прискоренню [pic] і моменту сил
інерції Мі направленому протилежно кутовому прискоренню ланки тобто
Сила інерції [pic] і момент [pic] можуть бути замінені однією
рівнодіючою силою рівною [pic] і прикладеною в точці К званої центром
Рівняння моментів щодо точки А
Якщо від точки А відкласти відрізок рівний [pic]
то одержимо К - центр гойдання в якій може бути прикладена результуюча
Якщо [pic] то Мі=0. Якщо центр мас співпадає з центром
Сили інерції ланки що знаходиться в складному
плоскому русі (рис.3)
Система сил інерції ланки що знаходиться в складному плоскому русі
приведена до сили інерції Фі і моменту Мі може бути замінена однією
результуючою силою рівною Фі і прикладеною в точці Т. Для того щоб знайти
положення точки Т представимо момент Мі у вигляді пари сил причому вектор
кожної з сил вибираємо рівним силі інерції Фі. Тоді плече пари буде рівне
Згідно мал. 3 дві рівні і протилежно направлені сили [pic]
прикладені в одній точці S взаємно урівноважаться і залишиться одна
прикладена в точці Т рівнодіюча Фі яка замінює систему Фі та Мі.
Умова статичної визначності кінематичної
Під дією на ланки механізму різних сил в кінематичних парах
виникають сили взаємодії або реакції.
Надалі ці реакції визначатимемо без урахування сил тертя а також
вважаючи що тиск в кінематичних парах розподіляється рівномірно по всій
поверхні. Через це в обертальній парі V класу сила реакції проходить через
центр шарніра. Величина і напрям цієї реакції залежать від величин і
напряму діючих сил. Реакція в поступальній парі У класу направлена
перпендикулярно направляючою а величина і точка додатку її залежать від
величин і напряму діючих сил.
Якщо n - число рухомих ланок то для них можна написати 3n рівнянь
рівноваги. Число невідомих яке треба визначити для р5 пар Vкласу 2р5 .
Отже рівняння статичної визначності кінематичного ланцюга можна записати
Це рівняння співпадає із структурною формулою групи Ассура. Таким
чином всі структурні групи є статично визначними системами. Тому при
визначенні реакцій в кінематичних парах механізм розбивають на групи і
розглядають їх послідовно починаючи з останньої тобто найвіддаленішої від
провідної ланки групи.
КНЕТОСТАТИЧНИЙ РОЗРАХУНОК ПЛОСКИХ МЕХАНЗМВ З НИЖЧИМИ
Знаючи активні сили діючі на ланки механізму і сили інерції цих
ланок можна виробити кінетостатичний розрахунок механізму тобто визначити
реакції в його кінематичних парах і рушійний момент (або рушійну силу) на
Вказану задачу вирішують або аналітично або графоаналітичним методом
за допомогою побудови планів сил. Для цього механізм розчленовують на
структурні групи які є статично визначними і ведуть послідовно розрахунок
для цих груп починаючи з групи найвіддаленішої від провідної ланки.
Обмежимося розглядом механізмів II класу. В цьому випадку задача зводиться
до розрахунку двухповодкових груп (діад) і провідної ланки.
Діада першого вигляду (ООО). Ця діада містить три обертальні пари.
Всі задані сили діючі на ланку 2 діади (мал. 4а) разом з приєднаними до
них силами інерції цієї ланки можна привести до однієї сили прикладеної в
довільно вибраній точці ланки і до однієї пари. Вказану силу і момент
вказаної пари позначимо відповідно через [pic] і М2.
Аналогічно задані сили діючі на ланку 3 разом з приєднаними до них
силами інерції ланки 3 можна привести до однієї сили [pic] і до одного
моменту М3. Доповнивши ці сили реакціями [pic] і [pic]ланок 1 і 4 з якими
сполучені відповідно ланки 2 і 3 діади одержимо урівноважену систему сил.
Відомими є сили і моменти [p визначенню підлягають
реакції [pic] і[pic] в шарнірах А і С а також реакція [pic] в шарнірі В.
Ми дійшли відомої із загальної механіки задачі про рівновагу трьохшарнірної
арки. При аналітичному рішенні задачі координатні осі вибираємо так щоб
одна з них проходила через центри крайніх шарнірів а інша була
перпендикулярна лінії АС. Реакції в шарнірах розкладаємо на компоненти
уздовж цих осей і складаємо рівняння рівноваги спочатку для всієї діади в
цілому а потім для однієї з її ланок. З цих рівнянь знаходимо проекції
шуканих реакцій на координатні осі після чого неважко визначити і самі
При використовуванні методу планів сил поступаємо трохи інакше.
Реакції в крайніх шарнірах розкладаємо на складові [pic] і [pic] уздовж
відповідних ланок і [pic] і [pic] перпендикулярно цим ланкам. Розглядаючи
рівновагу ланки 2 складаємо рівняння моментів щодо центру середнього
З цього рівняння знаходимо величину [pic]. Далі складаємо рівняння
моментів для ланки 3 щодо того ж центру В:
і з цього рівняння знаходимо величину [pic].
Тепер розглянемо рівновагу всієї системи в цілому. Оскільки головний
вектор урівноважених сил рівний нулю то
Користуючись цим векторним рівнянням будуємо замкнутий багатокутник
сил званий планом сил. Для цього від довільної точки а (мал. 4б) у
вибраному масштабі [pic] відкладаємо вектор [pic] від його кінця b -
вектор [pic]і т.д. у вказаній рівнянням послідовності. Провівши з точок е і
а прямі паралельні відповідно [pic] і [pic] одержуємо в точці f перетину
цих прямих кінець сили [pic] і початок сили [pic] звідки модулі цих сил
визначаються відрізками (ef) і (fa) тобто
Повні реакції в шарнірах А і С визначаються відрізками (df) і (fb)
Щоб визначити реакцію в середньому шарнірі В напишемо у векторній
формі умову рівноваги сил для ланки 2:
З цього рівняння виходить що тиску (реакції) [pic] ланки 3 на ланку 2
відповідає в плані сил вектор [pic] а тиску [pic] ланки 2 на ланку 3
згідно закону рівності дії і протидії вектор [pic]=-[pic]. Тому модуль
сили тиску в шарнірі B визначається так:
Силу [pic] і момент М2 діючі на ланку 2 можна було б заздалегідь
привести до однієї рівнодіючої; аналогічно можна було б поступити з силою
[pic] і моментом М3. Проте така операція не внесла б особливих спрощень в
подальше рішення задачі а в деяких випадках вона явно недоцільна .
Діада другого вигляду (ООП). Ця діада містить дві обертальні і
крайню поступальну кінематичні пари (мал. 5а). Як і у попередньому
випадку визначаємо заздалегідь сили [pic] і [pic] а також моменти М2 і
М3. Реакцію в шарнірі А розкладаємо на два компоненти [pic] і [pic]
уздовж ланки 2 і перпендикулярно до цієї ланки.
Реакція в поступальній парі складається з сили [pic]
перпендикулярної до направляючої kl поступальної пари і прикладеної в
довільній крапці C (звичайно цю точку вибирають в центрі повзуна) і
реактивного моменту М43. Склавши рівняння моментів для ланки 2 щодо
центру В знаходимо величину [pic]. Після цього переходимо до побудови
замкнутого багатокутника сил для всієї системи для чого користуємося
Від довільної крапки а (мал. 5б) відкладаємо вектор [pic] з його
кінця - вектор [pic] і з крапки с - вектор [pic]. Провівши від точок d і
а прямі паралельні відповідно [pic] і [pic] одержимо в точці е перетину
цих прямих кінець сили [pic]і початок сили [pic] тобто [pic] і [pic].
Рівняння рівноваги сил для ланки 2 має вигляд
Реактивний момент M43 визначаємо з рівняння моментів для ланки 3 щодо
центру В. Силу [pic] і момент M43 можна звичайно привести до однієї сили.
Задача декілька спрощується якщо ланка 3 складається з одного
повзуна (точки В і С зливаються) і задані сили діючі на повзун
приводяться разом з силами інерції повзуна до однієї сили прикладеної в
центрі шарніра В. В цьому випадку М3 =0 і M43 = 0.
Діада третього вигляду (ОПО). Така діада містить крайні обертальні і
середню поступальну кінематичні пари (мал. 6а). Для кинетостатічного
розрахунку діади сили [pic] і [pic] а також моменти М2 і М3 повинні бути
заздалегідь визначені. Реакції [pic] і [pic] крайніх шарнірів розкладаємо
на компоненти [pic] і [pic] уздовж осі Х що проходить через центри
шарнірів і [pic] і [pic] перпендикулярно до цієї осі. Склавши рівняння
моментів для всієї діади щодо точки С знаходимо величину [pic]. Потім
будуємо замкнутий багатокутник цих сил виходячи з векторного рівняння
Якщо сили брати у вказаній цим рівнянням послідовності то вектори
[pic] і [pic] виявляться направленими в плані сил по одній прямій. З
довільного центру а (мал. 6б) проводимо вектор [pic] з його кінця вектор
[pic] і з кінця останнього - вектор [pic]. Провівши через точки d і а
прямі паралельні відповідно осям x і y одержимо в точці е перетину цих
прямих кінець вектора [pic] і початок вектора [pic]. Для знаходження кінця
вектора [pic] і початку вектора [pic] звернемося до умов рівноваги сил для
ланки 2. До розглянутих сил [pic] [pic] і моменту М2 приєднуємо діючі з
боку ланки 3 реактивну силу [pic] перпендикулярну до направляючої kl
поступальної пари (прикладемо цю силу в центрі В повзуна) і реактивний
момент М32. Тоді маємо
Вектори [p залишається з кінця
c вектора [pic] провести пряму перпендикулярну kl до перетину в деякій
точці f з прямої ае паралельної осі х. Точка f є кінцем векторів [pic] і
[pic] а також початком вектора [pic]. Таким чином
Реактивний момент М32 визначаємо з рівняння моментів для ланки 2 щодо
центру А. Силу [pic] і момент М32 можна привести до однієї сили.
Часто ланка 3 складається з одного повзуна (точки В і С зливаються) а
ланка 2 перетворюється на кулісу вісь якої проходить через центр шарніра
В. В цьому випадку вісь х співпадає з віссю куліси. Якщо задані сили діючі
на повзун приводяться разом з силами інерції до однієї сили що проходить
через центр шарніра В то М3 = 0 і М32 = 0.
При кинетостатічному розрахунку діад другого і третього видів так
само як і при розрахунку діади першого вигляду можна обійтися без побудови
планів сил скориставшись аналітичним методом. Для цього від векторних
рівнянь рівноваги даних систем сил слід перейти до рівнянь рівноваги цих
сил в проекціях на відповідним чином вибрані координатні осі.
Зусилля в кінематичних парах решти двох видів двухповодкових груп
визначаються методами аналогічними розглянутим вище. Тому на розрахунку
діад четвертого і п'ятого видів зупинятися не будемо.
Силовий розрахунок механізму класу. Після силового розрахунку всіх груп
Ассура які входять до складу механізму переходимо до силового розрахунку
початкової ланки. Ця ланка входить зі стояком до обертової або поступальної
пари V класу. Розглянемо перший випадок. Нехай на початкову ланку (рис.
15 а) діють задані сили Fl і момент Мх (включаючи і сили інерції). Крім
цього на кривошип у точці А діє реакція Rl2 з боку ланки 2 групи Ассура
приєднаної до нього. Ця реакція дорівнює за величиною реакції R2U але
направлена в протилежний бік. Реакція R2l вже визначена при силовому
розрахунку приєднаної структурної групи тобто Rl2 = -R2i. Крім цього у
кінематичній парі О на кривошип діє сила реакції Rl0 з боку стояка. Цю
реакцію треба визначити. Проте як випливає з формули (4.4) кривошип 1 під
дією прикладених до нього сил у тому числі й сил інерції не перебуває в
рівновазі тому що при одній рухомій ланці й одній парі V класу число
рівнянь рівноваги яке можна скласти буде на одиницю більше числа
невідомих що треба визначити тобто
Для того щоб була рівновага необхідно додатково ввести силу або пару
сил які зрівноважують усі сили прикладені до початкової ланки. Цю силу
називають зрівноважувальною силою а момент пари сил — зрівноважувальним
моментом. Умовимось зрівноважувальну силу позначати F3f> а
зрівноважувальний момент Мзр. [pic]
Точка прикладання і напрямок зрівноважувальної сили (моменту) мають бути
задані або визначені з конструкції приводу початкової ланки.
Наприклад якщо вал кривошипа 1 зв'язаний з двигуном за допомогою муфти
то треба прикласти до кривошипа зрівноважувальний момент Мзр. Якщо цей
вал з'єднаний з двигуном за допомогою зубчастої передачі то до кривошипа
треба прикласти зрівноважувальну силу яка діятиме вздовж нормалі до
профілю зубців (вздовж лінії зачеплення див. розділ 9). Залежно від того
що діє — сила F3p (і як вона прикладена) чи момент Мзр — реакція Rxo в
кінематичній парі D буде різна.
Зрівноважувальна сила або зрівноважувальний момент є такою силою або
моментом який необхідно прикласти до початкової ланки щоб вона рухалася
за заданим законом (як правило рух початкової ланки приймають
рівномірним). У робочих машинах зрівноважувальну силу (момент) можна уявити
як якусь ідеальну (умовну) рушійну силу яку треба прикласти до початкової
ланки щоб дотриматися заданого закону руху; у машинах-двигунах навпаки
ця сила уявляється як якась ідеальна сила опору. Проте реальні сили які
прикладені до початкової ланки як правило відрізняються від
зрівноважувальної сили (моменту) а тому дійсний рух початкової ланки
відрізнятиметься від заданого.
Провідна ланка 1 механізму (мал. 7а) в більшості випадків утворює з
нерухомою ланкою (стійкою О) обертальну пару і є кривошипом. Хай всі задані
сили діючі на ланку 1 разом з приєднаними до них силами інерції цієї
ланки приводяться до сили [pic] і моменту М1. Крім того на ланку 1 діють:
реакція [pic] з боку ланки 2 яка повинна бути заздалегідь визначена при
розрахунку приєднаної до ланки 1 структурної групи реакція [pic] стояка і
нарешті обертаючий момент або момент рушійних сил МД який забезпечує рух
провідної ланки по заданому закону і по відношенню до інших сил даної
системи є зрівноважуючим моментом Мзр. Реакція [pic] і момент рушійних сил
МД підлягають визначенню. Складаємо рівняння рівноваги для ланки 1:
З першого рівняння визначаємо МД (або Мзр). Друге рівняння
використовуємо для побудови плану сил (мал. 7б) з якого знаходимо
Якщо на провідну ланку діє не зрівноважуюча пара сил Mзр а
зрівноважуюча сила [pic] що залежить від конструкції пристрою що
сполучає провідну ланку з валом двигуна то лінія дії цієї сили теж
визначувана конструкцією приводного пристрою наперед відома (мал. 7в)
і залишається знайти тільки величину [pic]. Позначаючи через h плече сили
[pic] щодо центру О маємо
Друге рівняння в даному випадку приймає вигляд
Відповідно до цього рівняння будуємо план сил (мал. 7 г) з якого
знаходимо реакцію нерухомого шарніра
Розрахунком провідної ланки і визначенням зрівноважуючого моменту або
зрівноважуючої сили закінчується кинетостатічний розрахунок всього
Група Ш модифікації (мал. 8)
Рівняння рівноваги сил діючих на групу
Тангенціальну складову в шарнірі А знайдемо з рівняння моментів щодо
Дуже часто [pic] або настільки мала з порівнянню з іншими силами що
нею нехтують. Тому реакція в шарнірі В повинна бути рівна і протилежна
направлена реакції в поступальній парі що витікає з умови рівноваги
а реакція [pic] повинна проходити через точку В.
Будуємо план сил що відповідає рівновазі групи згідно векторному
оскільки це доведено на мал. 8. З плану сил знаходимо величини і
напрями реакцій в шарнірах А і В.
Важіль М. . Жуковського
У тому разі коли нема потреби робити повний силовий розрахунок
механізму в результаті якого визначаються реакції в кінематичних парах
(наприклад розрахунок потужності двигуна) задача зводиться тільки до
визначення зрівноважувальної сили або зрівноважувального моменту який
прикладають до початкової ланки. Реакції в кінематичних парах можуть
залишатися невідомими як внутрішні сили для всього механізму в цілому. У
таких випадках для знаходження зрівноважувальної сили користуються методом
(правилом) так званого жорсткого важеля М. . Жуковського. Правило М. .
Жуковського грунтується на використанні принципу можливих переміщень: якщо
на будь-яку механічну систему діє ряд сил то приєднавши до заданих сил
сили інерції і надавши всій системі можливих для даного її положення
переміщень дістанемо ряд елементарних робіт сума яких дорівнює нулю.
Для механізму в якому ланки здійснюють визначений рух можливі
переміщення стають дійсними переміщеннями. Тодіякщо на ланки механізму
діє ряд сил Fh F2 F2 F принцип можливих переміщень можна виразити
Fldslcosai + F2ds2cosa2 + +Fndsncosαn = 0 (4.36)
де ds — дійсне нескінченно мале переміщення точки прикладання сили Fі(i=
3 я); αі— кут між напрямком сили Fі і напрямком переміщення точки
прикладання сили. Поділивши рівняння (4.36) на dt дістанемо
де vі= dsі dt — швидкість точки прикладання сили Fі; Pі — миттєва
потужність що розвивається силою Fі.
Рівняння (4.37) показує що принцип можливих переміщень можна виразити
через суму миттєвих потужностей сил що діють на ланки механізму.
Для окремо взятої ланки АВ (рис. 4.25 а) на яку діє сила Fі прикладена
в точці С (швидкості точок А і В задані точка Р — миттєвий центр
швидкостей) миттєва потужність що розвиває ця сила
може бути виражена по-іншому. Для цього побудуємо повернутий на 90° проти
миттєвого обертання ланки АВ план швидкостей цієї ланки (рис. 4.25 б) у
точку с якого прикладемо силу Fі і запишемо момент сили Fі відносно полюса
де hі — плече сили Fі відносно полюса р; рс — відрізок на плані
швидкостей який у масштабі v визначає швидкість точки С тобто vc =
(pc)v. Тоді помноживши ліву й праву частини (4.38) на v дістанемо
Такі самі вирази можна записати і для сил що діють на інші ланки
механізму. Просумувавши їх дістанемо рівняння яке буде тотожне рівнянню
(4.37) сума членів якого дорівнює нулю тобто [pic]
Рівняння (4.40) і є записане в математичній формі правило важеля М. .
Жуковського яке можна сформулювати так.
Переносимо всі задані сили що діють у даний момент часу на ланки
механізму в тому числі й сили інерції в однойменні точки повернутого
плану швидкостей не змінюючи при цьому величину і напрямок сили.
Розглядаємо повернутий план швидкостей як деякий жорсткий важіль який
перебуває в рівновазі відносно полюса плану швидкостей під дією всіх
прикладених сил. Тоді сума моментів усіх цих сил включаючи
зрівноважувальну силу відносно полюса плану швидкостей дорівнює нулю.
Така геометрична інтерпретація принципу можливих переміщень дуже зручна
для розв'язування задач динаміки механізмів. Метод цей дістав назву методу
М. . Жуковського за ім'ям великого російського механіка який його
запропонував а важіль яким користуються у цьому методі названо важелем
Метод Жуковського можна застосувати для знаходження значення будь-якої
сили якщо задано точку прикладання і напрямок цієї сили а також задано
значення напрямки і точки прикладання всіх інших сил. Справді у цьому
випадку в рівнянні (4.40) буде тільки одне невідоме значення шуканої сили
яка з нього визначається.
Якщо на ланки механізму крім сил Fі діють ще пара сил моментом яких є
Mі то при використанні правила Жуковського кожний момент Мі (рис. 4.26)
розкладають на пару сил Fі' які прикладають у дві точки наприклад А і В.
Величину й напрямок кожної сили F'і визначають за
умови що [pic]де[pic]li-плече сил Fі що дорівнює в нашому випадку
(рис. 4.26) довжині ланки A(lі= lAB). При цьому напрямок моменту пари сил
Fі повинен збігатися з напрямком моменту Мі. Треба мати на увазі що
напрямок цього моменту сил Fі на важелі Жуковського може не збігатися з
напрямком моменту Мі на схемі механізму. Це буває тоді коли положення
точок А і В на ланці та на плані швидкостей (а і в) не збігаються.
Передачами в машинах називають пристрої які служать для передачі або
перетворення механічного руху. У загальному випадку передачі можуть
виконувати ряд функцій: а) розподіляти енергію між механізмами; б)
знижувати або підвищувати швидкість ланок; в) перетворювати рух (наприклад
обертовий у поступальний або навпаки); г) регулювати швидкість; д)
здійснювати пуск зупинку і реверсування машини; є) захищати деталі машин
Використання передач зумовлено здебільшого різницею швидкостей
виконавчих (робочих) органів машин і приводних двигунів інколи
необхідністю одним двигуном приводити у рух декілька механізмів змінювати
швидкість машини при сталій швидкості вибраного двигуна передавати рух на
Для передачі руху від двигуна до виконавчого механізму використовують
різні передаточні механізми: електричні механічні гідравлічні й
пневматичні. Далі розглядаємо здебільшого механічн передачі і в першу чергу
передачі обертового руху які найпоширеніші в техніці оскільки обертовий
рух можна здійснити найпростішими способами.
Механічні передачі класифікують так:
а) за фізичними умовами передачі руху: передачі тертям (фрикційні
пасові канатні); передачі зачепленням однієї ланки з іншою (зубчасті
гвинтові цівкові ланцюгові важільні тощо);
б) за способом з'єднання вхідної та вихідної ланок: передачі з
безпосереднім дотиком вхідної та вихідної ланок (фрикційні зубчасті
гвинтові тощо); передачі з проміжною гнучкою ланкою яка з'єднує вхідну та
вихідну ланки (пасові канатні ланцюгові).
У сучасних машинах поряд з механічними передачами широко використовують
інші види передач — електричні гідравлічні та пневматичні. Електричні
гідравлічні а також фрикційні передачі дають змогу здійснювати
безступінчасте регулювання швидкості яке набуває все більшого значення у
сучасній техніці. Такі передачі дозволяють використовувати робочі машини
при оптимальних значеннях швидкостей руху в точній відповідності до вимог
технологічного процесу спрощують і полегшують керування машиною.
При проектуванні машин і приладів вибір виду передач залежить від
конкретних умов проектування та вимог до приводу машини чи приладу. Основні
вимоги до передач: надійність і необхідна довговічність; простота
конструкції; компактність і невеликі габаритні розміри; малий опір руху
особливо в момент пуску двигуна; порівняно висока точність перетворення
руху; можливість одержання найменшого зведеного до вала двигуна моменту
інерції обертових ланок (при частих пусках і реверсах приводу зменшення
зведеного моменту інерції дає можливість прискорити перехідні процеси
розбігу що має важливе значення); безшумність дії і висока вібростійкість
а також простота керування (у тому числі автоматичного і дистанційного).
При виборі передачі враховуються технологічні вимоги що ставляться до
машини наприклад сталість передаточного відношення безступінчастість
регулювання швидкості коефіцієнт корисної дії (ККД) маса можлива
точність і вартість виготовлення передачі.
Виходячи з конкретних вимог до приводу машини нерідко виявляється
доцільним використовуючи позитивні властивості різних передач створювати
передачі комбінованого типу (гідромеханічні електропневматичні
електрогідравлічні тощо). Особливістю гідравлічних і пневматичних передач є
їхня здатність розвивати великі зусилля при відносно малих значеннях
питомого тиску рідини або повітря. Недолік цих видів передач — відносно
мала швидкість рідини або повітря у трубопроводах.
Основні характеристики передач
Основними характеристиками передач є передаточне відношення міжосьова
Передаточним відношенням називають відношення кутових швидкостей двох
ланок (як правило вхідної й вихідної):
де [pic] — кутова швидкість ланки відповідно k (наприклад вхідної) і l
(наприклад вихідної).
Знак "+" передаточного відношення приймають при однакових напрямках
обертання ланок k і l (рис. 8.1 а) а знак "—" — при різних їх напрямках
обертання (рис. 8.1 б). ндекс kl передаточного відношення показує
напрямок в якому воно визначається. Зрозуміло що справедлива і обернена
Передаточне відношення можна виразити через діаметри фрикційних котків
зубчастих коліс шківів число зубців.
Так для фрикційних передач (див. рис. 8.1) якщо не врахувати ковзання
котків можна вважати що колові швидкості обох ланок рівні між собою ( v1=
v2) де vl =[p v2 = [pic]. Тоді [pic] або якщо врахувати що [pic] то
де п1 п2 — частота обертання вхідного і вихідного котків обхв; d1 і d2 —
Якщо позначити потужність на вхідному валу через Р1 а на вихідному валу
через Р2 то ККД передачі визначають співвідношенням
Тоді знаючи потужність на вході (наприклад потужність двигуна) і ККД
передачі можна визначити потужність на виході:
Відомо що потужність Р=М де М- обертовий момент; — кутова швидкість.
Тоді можна записати М22 = М11 звідки обертовий момент на вихідному валу
Значення ККД окремих передач наведено в довідниках.
Важливою характеристикою передач є міжосьова відстань aw =О1О2.
Для передачі зображеної на рис. 8.1 а можна записати
де r1r2 — радіуси котків (r =d2).
нші формули для визначення передаточного відношення і міжосьової
відстані буде наведено при розгляді відповідних передач.
Механізми в яких рух між ланками передається за рахунок сил тертя
називають фрикційними механізмами або фрикційними передачами. На рис. 8.2
зображено основні види фрикційних механізмів. Передача руху від вхідної
ланки (котка) 7 і до вихідної ланки (котка) 2 (рис. 8.2 а) здійснюється
силою тертя Ff що створюється притисканням однієї ланки до іншої деякою
За характером руху вхідної й вихідної ланок фрикційні передачі
поділяють на передачі для перетворення: обертового руху в обертовий (рис.
2 а—в); обертового в поступальний і навпаки (рис. 8.2 г—е).
Позитивними якостями фрикційних передач є простота конструкції
безшумність роботи можливість здійснення передач із плавною
(безступінчастою) зміною передаточного відношення можливість
проковзування фрикційних котків при перевантаженнях що запобігає поломкам
деталей механізмів які приводяться в рух.
Недоліками фрикційних передач є: несталість передаточного відношення в
результаті проковзування котків; необхідність у великих зусиллях
притискання котків для забезпечення достатньої сили тертя що викликає
великі навантаження на вали та їх опори; обмежена потужність яка
передається (для циліндричної фрикційної передачі — до 10 кВт); підвищене
спрацювання котків в результаті якого виникає значний шум порівняно
низький ККД (для передач звичайного типу = 08—09).
Фрикційні варіатори швидкості
Передачі що забезпечують плавну (безступінчасту) зміну кутової швидкості
вихідної ланки при сталій швидкості вхідної називають варіаторами
швидкості або просто варіаторами. Широко розповсюджені фрикційні
варіатори які використовуються у металорізальних верстатах ковальсько-
пресовому обладнанні машинах текстильної паперової хімічної харчової
промисловості на транспорті у механізмах приладів тощо. Зокрема деякі
типи варіаторів використовують у приладобудуванні для виконання
математичних операцій (інтегрування логарифмування піднесення до
квадрата диференціювання тощо).
Використання варіаторів як безступінчастих регуляторів швидкості (за
необхідності — з програмним керуванням) значно зростає у зв'язку з
можливістю їх використання для автоматизації керування виробничими
процесами оскільки вони легко вписуються у сучасні системи автоматичного
На рис. 8.3 показано основні кінематичні схеми фрикційних варіаторів
швидкості. Робота варіаторів характеризується тим що при сталій кутовій
швидкості С0[ вхідної ланки кутова швидкість со2 вихідної ланки змінюється
в межах [pic] Тоді передаточне відношення змінюється у діапазоні від [pic]
Основною характеристикою будь-якого варіатора є діапазон регулювання D =
отахгтш = LaJLm- Для більшої частини варіаторів D ≤ 6 для деяких може
Розглянемо роботу деяких варіаторів швидкості. У лобовому фрикційному
варіаторі (рис. 8.3 а) диск 2 жорстко зв'язаний : віссю 02 обертається у
нерухомому підшипнику ролик 1 може переміщатися вздовж осі 0. Точка М
контакту може займата різні положення які визначаються положеннями ролика
тобто відстанню r2. Передаточне відношення такої передачі
У зв'язку з тим що r2 можна плавно змінювати передаточне відношення
(8.11) також змінюється плавно.
Фрикційні передачі з гнучкими ланками
У таких передачах рух між вхідною та вихідною ланками здійснюється за
рахунок тертя проміжної гнучкої ланки зі шківом (рис. 8.4). Гнучка ланка
як правило виконується у вигляді нескінченного (замкнутого) паса стрічки
каната або нитки. Відповідно такі передачі називають пасовими стрічковими
У машинах і приладах поширені пасові передачі зі сталим передаточним
відношенням (рис. 8.4 а) рідше — з регульованим безступінчасто (рис.
4 б) або ступінчасто (рис. 8.4 в) передаточними відношеннями.
Передаточн відношення таких передач визначають за формулами наведеними
для фрикційних передач (8.9) де d1 d2 — діаметри шківів; — коефіцієнт
відносного ковзання паса ( = 0005—0020). Рекомендується брати для
силових передач і 5 для малонавантажених і = 8—10; для механізмів
приладів і 16. Для підвищення точності передаточного відношення в
передачах можна використовувати зубчасті паси (рис. 8.4 г).
Позитивними якостями пасових передач що визначають галузі їхнього
використання є: а) можливість передачі руху на значні відстані; б)
плавність і безшумність роботи; в) здатність полегшувати ударні
навантаження і захищати інші механізми від перевантаження; г) можливість
роботи завдяки еластичному зв'язку і проковзуванню паса на високих
швидкостях; д) мала вартість.
Недоліками пасових передач є: а) значні габарити (в кілька разів
більші ніж у зубчастих); б) відносне ковзання паса; в) підвищені сили
що діють на вали та опори оскільки для передачі руху за рахунок сил
тертя треба створити значні сили натягу паса; г) як правило необхідність
оснащення пристроями для натягу паса; д) необхідність оберігати пас від
попадання на нього мастила; є) мала довговічність пасів у швидкохідних
Зубчастою (зубчатою) передачею називають триланковий механізм у якому два
рухомі зубчасті (зубчаті) колеса (або рухоме колесо і рейка) утворюють із
нерухомою ланкою обертову (або обертову і поступальну) пару а між собою —
вищу пару. У таких механізмах передача руху здійснюється механічним
зачепленням — зубів вхідного колеса за зуби вихідного колеса замість сил
тертя як це має місце у фрикційних передачах. Обидва колеса (рис. 9.1)
мають виступи (зуби) і западини такої форми що зуби одного колеса входять
у западини другого утворюючи при цьому вищу кінематичну пару. Кожний зуб
колеса можна розглядати як окремі кулачки.
Зубчасте колесо передачі з меншим числом зубів (при їх рівності — вхідне
зубчасте колесо) називають шестірнею друге зубчасте колесо передачі —
У найпростішому випадку зубчасту передачу можна уявити собі як два
циліндричні котки (поверхні) з радіусами rw1 і rw2 що котяться один по
одному без ковзання маючи точку дотику П. Поверхні що перекочуються
відносно одна одної без ковзання називаються початковими відповідно й
кола радіусами rw1 і rw2 називають так само.
Точку Я дотику цих кіл називають полюсом зубчастого зачеплення а лінію
що проходить через точку П паралельно осям обертання коліс і яка є миттєвою
віссю відносних швидкостей зубчастих коліс
називають полюсною лінією. Початкові поверхні
зубчастих коліс є аксоїдами у відносному русі (ак-
соїдами називають поверхні які описує миттєва
вісь відносного руху коліс передачі у системі
координат кожного з коліс).
Відстань між осями обертання двох зубчастих
коліс що перебувають у зачепленні називають
міжосьовою відстанню. Як видно з рис. 9.1
Передаточне відношення кутових швидкостей
зубчастих коліс виражається як і у фрикційних
Якщо виразити довжину початкового кола через початковий крок pw тобто
[pic] і підставити значення радіусів початкових кіл [pic] у залежність
(9.2) то можна записати передаточне відношення через числа зубів коліс:
Знак "+" приймають для внутрішнього зачеплення а "-" — для зовнішнього.
Коловим кроком зубчастого зачеплення р називають відстані між
однойменними точками профілів двох сусідніх зубів (рис 9.1) виміряних по
будь-якому колу. Коловий крок
де d — діаметр кола на якому виміряний крок; z — число зубів колеса.
Значення кроку р залежить від діаметра (радіуса) кола на якому його
виміряють а тому щоб розрізняти значення кроку на різних колах вказують
нижні індекси як це наприклад виконано для початкового кроку pw.
Зубчасті передачі складають найбільш розповсюджену й важливу групу
механічних передач. їх використовують у багатьох галузях і за різних умов
роботи: від годинників і приладів до найскладніших машин для передачі
колових сил від міліньютонів до кількох меганьютонів для моментів до
7 Н м і потужностей від безмежно малих до десятків тисяч кіловат з
коловими швидкостями від 2 мхв до 140 мс з діаметрами від частки
міліметра до 10 м і більше. Особливо доцільне використання зубчастих
передач коли необхідно забезпечити стале передаточне відношення або
передати великі потужності. Отже зубчасті передачі порівняно з іншими
механічними передачами мають важливі переваги: а) малі габарити; б)
в) високу надійність у роботі та простоту в обслуговуванні;
г) сталість передаточного відношення через відсутність проковзування; д)
можливість використання у широкому діапазоні моментів швидкостей і
передаточних відношень.
До недоліків зубчастих передач можна віднести: вимоги високої точності
виготовлення шум при роботі з великими швидкостями обертання коліс і
можливість появи вібрацій та ударних навантажень при недостатній точності
виготовлення неможливість плавного регулювання передаточного відношення.
Типи зубчастих передач
Залежно від розміщення осей валів між якими здійснюється передача
обертового руху зубчасті передачі поділяються на три типи:
* передачі циліндричними зубчастими колесами між паралельними валами;
* передачі конічними зубчастими колесами між валами осі яких
* передачі гіперболоїдними зубчастими колесами між валами осі яких
При паралельних осях зубчастих коліс маємо плоский зубчастий
механізм. Якщо зуби в циліндричних колесах розміщені паралельно осі колеса
то такі зуби називають прямими а саме колесо — прямозубим (рис. 9.2 а).
Це найпростіший і найпоши реніший вид зубчастих коліс. Проте їх слід
використовувати при малих колових швидкостях коліс (v 3—6 мс) і не дуже
великих навантаженнях. Це пояснюється тим що зуби в такій передачі входять
у контакт відразу по всій своїй довжині. Тому незначні помилки при
виготовленні коліс та деформації деталей передачі супроводжуються шумом що
часто призводить до порушення рівномірного лінійного контакту і погіршення
плавності роботи передачі. Отже такі передачі працюють із шумом мають
невисоку плавність роботи і малу несучу здатність. При великих колових
швидкостях (v > З мс) і великих навантаженнях використовують косозубі
(тангенціальні) колеса (рис. 9.2 б) в яких зуби розміщені по гвинтовій
лінії тобто під кутом до твірної початкового циліндра. Передачі з
косозубими колесами характеризуються високою плавністю зачеплення і меншим
шумом при роботі мають високу несучу здатність. Це пояснюється тим що
зубці входять у зачеплення поступово і в зачепленні перебуває кілька пар
зубів. Основним недоліком ко-созубих передач є наявність осьових сил які
діють як на самі колеса так і на опори їхніх валів або осей. Як видно з
рис. 9.3 а величина осьової Fz залежить від кута нахилу зуба (Fz = F tg
де F — колова сила — складова нормальної сили Fn що діє на зуб при
Для того щоб позбутися осьових навантажень на зубчасті колеса
використовують шевронні зубчасті колеса (рис. 9.2 в) в яких гвинтові
лінії зубів спрямовано в протилежні боки симетрично середині колеса. При
такому розміщенні зубів осьові сили Fz взаємно зрівноважуються всередині
колеса (рис. 9.3 б). Проте треба зазначити що виробництво шевронних коліс
значно складніше та дорожче ніж простих косозубих а тому їх
використовують лише в дуже відповідальних випадках.
Внутрішнє та рейкове зачеплення (див. рис. 92 г д) — це різновиди
передач циліндричними зубчастими колесами. У першому випадку зуби одного
колеса нарізані на внутрішній поверхні циліндричного тіла у другому —
колесо перетворилось у рейку. При цьому рейку можна розглядати як зубчасте
колесо діаметром що прямує до нескінченності. Рейкове зачеплення
використовують для перетворення обертового руху в поступальний або навпаки.
Для передачі обертання між валами осі яких перетинаються
використовують конічні колеса (рис. 9.2 є—ж). Найчастіше їх використовують
із кутом перетину між осями валів (міжосьовим кутом) Σ = 90°. Таку передачу
називають ортогональною. Якщо поверхні зубців паралельні твірним початкових
конусів то такі зубчасті колеса називають прямозубими (рис. 9.2 є). Вони
мають усі переваги та недоліки властиві пря-мозубим циліндричним зубчастим
передачам. Для забезпечення кращих умов роботи за великих швидкостей і
навантажень у конічних колесах доцільно використовувати гвинтові або косі
зуби (рис. 9.2 є). Такі передачі працюють більш плавно і безшумно.
Шевронні конічні зубчасті колеса не використовують через їх
нетехнологічність. На практиці широке розповсюдження одержали конічні
колеса з криволінійним зубом (рис. 9.2 ж) лінії зуба яких — дуга кола
евольвента циклоїдні криві. Такі колеса нарізати простіше ніж косозубі.
Для передачі обертання між валами осі яких схрещуються можна
використовувати гіперболоїдні зубчасті колеса в основу цих коліс покладені
гіперболоїди обертання (рис. 9.2 з) твірні яких — прямі лінії. Якщо
уздовж твірних ЕЕ (рис. 9.2 и) нарізати зуби матимемо гіперболоїдні
зубчасті колеса які дають змогу передавати обертовий рух між осями що
схрещуються. Внаслідок того що такі зубчасті колеса важко виготовляти на
практиці розповсюджені їх спрощені варіанти одержані вирізанням різних
ділянок гіперболоїдів. Якщо вирізати з гіперболоїда частину його горловини
дістанемо циліндричні зубчасті колеса 7—2 на віддаленні від горловини —
конічні зубчасті колеса 3—4. Такі зубчасті передачі називають у першому
випадку гелікоїдними або гвинтовими (рис. 9.2 ї) у другому — гіпоїдними
(рис. 9.2 і). Окремим випадком передач гвинтовими колесами є черв'ячна
передача (рис. 9.2 й). На черв'яку 1 кут нахилу зубів дуже великий тому
зуб встигає кілька разів обвити тіло черв'яка; на черв'ячному колесі 2 цей
кут відповідно малий і таке колесо нагадує звичайне косозубе колесо.
Черв'як може бути циліндричним (рис. 9.2 и) або глобоїдним (рис. 9.2 к).
Геометричні параметри циліндричногозубчастого колеса
Основні параметри зубчастих коліс розглянемо на прикладі циліндричного
зубчастого колеса (рис. 9.4 а).
Зубчасте колесо складається з тіла зубчастого колеса 1 і зубчастого
вінця 2. Зубчастий вінець складається із зубів 3 і западин 4. Циліндрична
поверхня що відокремлює зуби від тіла зубчастого колеса називається
поверхнею западин 5 (рис.9.4 б). Поверхня що обмежує зуби з
протилежного від тілазубчастого колеса боку називається поверхнею вершин
Частина поверхні западин зубчастого колеса що належить зубумає назву
основи зуба 7 а частина поверхні вершин що належить зубу — вершини зуба
Поверхня яка обмежує зуб із боку западин називається бічною. Вона
складається з головної 9 (рис. 9.4 в) і перехідної 10 [pic]
поверхонь. Головною будемо називати частину бічної поверхні яка при
взаємодії з такою самою поверхнею зуба іншого колеса може передавати рух із
заданими швидкостями. Поверхні елементів вищої кінематичної пари що
забезпечують заданий рух називаються спряженими поверхнями. Перехідна
поверхня з'єднує головну поверхню з поверхнею западин. Частина головної
поверхні що взаємодіє з поверхнею зуба спряженого зубчастого колеса
називається активною поверхнею зуба.
Враховуючи те що зубчасті передачі циліндричними колесами плоскі всі її
геометричні параметри можна розглядати в торцевому перетині
(перпендикулярному до осі колеса). Тому замість поверхні западин
розглядають коло западин поверхні вершин — коло вершин головної та
перехідної поверхонь зуба — головний і перехідний профілі зуба активної
поверхні зуба — активний профіль зуба.
Розміри зубчастих коліс зручно задавати в частках певної лінійної
величини що пов'язана із зубом. Коловий крок для цієї функції не
підходить оскільки є ірраціональним числом. Такою величиною вибрано модуль
т зубчастого колеса який є відношенням колового кроку р до числа . Отже
Модуль вимірюється у міліметрах і є величиною стандартною. Щоб пояснити
вибір цієї величини виразимо довжину деякого кола діаметром d (рис. 9.5)
через число зубів колеса z-
або з урахуванням (9.5) маємо
d = mz або [pic](9.6)
Модуль т для одного й того самого колеса так само як і крок р залежить
від діаметра кола до якого він належить. Прийнято коло для якого
знаходять стандартне значення модуля називати ділильним. З урахуванням
(9.5) можна сказати шо ділильним називається коло діаметр якого
визначають добутком модуля на число його зубів.
У країнах з дюймовою системою одиниць вимірювання замість модуля т
використовується пітч п = zd" де діаметр d ділильного (пітчевого) кола
виражається в дюймах. За пітчем можна розрахувати модуль мм: т = 254 п.
Зубчасті колеса метричної та пітчевої систем невзаємозамінні оскільки
стандартним модулям відповідають нестандартні пітчі і навпаки.
Ділильна поверхня 11 ділить зуб на дві частини (рис. 9.4 г): ділильну
ніжку 12 і ділильну головку 13.
Висота ділильної ніжки
де r d — відповідно радіус і діаметр ділильного кола; ra da — радіус і
діаметр кола вершин; rf df — радіус і діаметр кола западин.
Лінія 14 перетину бічної поверхні зуба з ділильною поверхнею (рис. 9.4
г) називається лінією зуба. Залежно від розташування лінії зуба відносно
осі колеса як уже зазначалось розрізняють прямий зуб (прямозубі колеса)
лінія якого лежить в осьовій площині зубчастого колеса і косий зуб
(косозубі або шевронні колеса) лінія якого є гвинтовою лінією сталого
кроку. Залежно від напрямку гвинтової лінії косозубі колеса можуть бути
Зубчаста рейка 2 (рис. 9.6) — це сектор циліндричного зубчастого колеса
ділильний радіус якого нескінченно великий. В результаті цього ділильна
поверхня (коло) поверхні вершин і запа
дин відповідно головні бічні поверхні є паралельними площинами тобто
головний бічний профіль прямолінійний.
Для зубчастого колеса 2 із внутрішніми зубами (рис. 9.7) формули (9.4)
(9.5) набувають вигляду
Для позначення геометричних і кінематичних параметрів зубчастих коліс і
зубчастої передачі використовується система цифрових і літерних індексів
— зуборізного інструмента та верстатного зачеплення;
— шестірні черв'яка;
— колеса черв'ячного колеса;
а — поверхні або кола вершин і головки зуба; f — поверхні або кола западин
і ніжки зуба; b — основної поверхні (кола); w — початкової поверхні
початкового кола або загального випадку передачі;
e — зовнішнього торцевого перерізу конічного зубчастого колеса;
і — внутрішнього торцевого перерізу конічного зубчастого колеса;
т — середнього перерізу конічного зубчастого колеса; х — основного
перерізу або довільно назначеного перерізу; у — довільно назначеного
концентричного кола; с — плоского колеса;
v — еквівалентного циліндричного колеса; п — нормального перетину; t —
р — нижньої точки активного профілю;
— кола загострення вершин та западин.
Основна теорема зубчастого зачеплення
Однією з найважливіших умов роботи зубчастого зачеплення є збереження за
час контакту пари зубів заданого передаточного відношення тобто щоб
початкові кола котились одне по одному без ковзання. Необхідно встановити
яким вимогам повинні задовольняти спряжені профілі зубів щоб забезпечити
Розглянемо пару зубчастих коліс (рис. 9.8) що перебувають у зачепленні.
Нехай перше колесо є вхідним і обертається навколо нерухомої осі О1 зі
сталою швидкістю 1 а друге — вихідне його кутова швидкість 2 вісь
обертання — О2. Точку контакту зубів позначимо через К а її відстані від
осей обертання — відповідно R і R2. При таких параметрах швидкість точки К
першого колеса vк1 =1R1 і спрямована перпендикулярно до радіуса
другого колеса vк2 =2R2 і перпендикулярна до радіуса R2.
Розкладаємо вектори цих швидкостей на дві складові які спрямуємо вздовж
спільної нормалі N—N проведеної до профілів зубів через точку К і вздовж
спільної дотичної t—t що також проходить через точку К.
Розглянемо складові швидкості точки К на спільну нормаль [pic] і [pic]
та встановимо зв'язок між ними. Ці складові повинні бути рівними між собою
(vnk1=vnk2); в інших випадках якщо [pic] зуб першого колеса повинен
проникнути в зуб іншого колеса що неможливо; якщо [pic] зуб першого
колеса повинен відставати від зуба другого колеса і тим самим повинен
порушуватися контакт але цьому заважають зовнішні сили. Отже для
забезпечення безперервного контакту пари зубів необхідно щоб проекції
швидкостей точки контакту зубів на спільну нормаль були рівні між собою.
з подібності трикутників О1В1К і КК'1К1 та ОгВ2К і КК'2К2 складемо
Враховуючи що в цих рівностях ліві сторони тотожні справедлива
звідки можна записати залежність для передаточного відношення:
Нормаль N—N перетинає лінію центрів 002 у точці Л яка
називається полюсом зубчастого зачеплення. з подібності трикутників ОіВ1П
Тоді рівняння (9.11) можна записати у вигляді
Рівність (9.13) виражає зміст основної теореми зачеплення (теореми
Вілліса) яка формулюється так: активні профілі зубів двох коліс повинні
бути побудовані так щоб нормаль у точці їх дотику в будь-який момент
зачеплення проходила через точку П (полюс зачеплення) що ділить лінію
центрів у відношенні обернено пропорційному передаточному відношенню.
Відстань між точками О1 і 02 визначає міжосьову відстань
При змінному значенні передаточного відношення і12 полюс зачеплення П
займає на лінії центрів 0101 змінне положення що спостерігається в
зубчастих механізмах із некруглими колесами (рис. 9.9). При сталому
значенні і12 полюс зачеплення завжди знаходиться в одній і тій самій точці
Якщо кутові швидкості 1 і 2 мають різні знаки то і12 0 і полюс
зачеплення П лежить між точками 0 і 02. Цей вид зачеплення називається
зовнішнім. Якщо кутові швидкості 1 і 2 мають один знак то і12 > 0 і
полюс зачеплення П лежить за межами відрізка O102 (див. рис. 9.7). Такий
вид зачеплення називають внутрішнім.
Якщо при передачі обертового руху між осями 01 і 02 (див. рис. 9.8)
передаточне відношення стале (і12 = const) то полюс зачеплення займає
постійне положення яке задовольняє умову (9.13). Відрізки 0П і 02П є
радіусами початкових кіл rw1 і rw2 а ρ1 і ρ2 — радіусами основних кіл.
Теоретично для забезпечення основної теореми зачеплення профілі зубів
можна побудувати різними кривими. У техніці (особливо в машинобудуванні)
найбільш поширений евольвентний профіль зубів рідше використовується
циклоїдне зачеплення (здебільшого в приладобудуванні та годинниковій
Властивості й рівняння евольвенти кола
Для побудови головного профілю зубів циліндричних зубчастих коліс що
використовуються в машинобудуванні найперше застосовується евольвентний
профіль. Плоскою евольвентою кола називають траєкторію будь-якої точки
наприклад А (рис. 9.11) прямої лінії яка перекочується без ковзання по
колу радіуса таке коло називають еволютою або основним колом а пряму
Побудова евольвенти кола зображена на рис.
11. Проводимо до основного кола твірну пряму
яка дотикається до нього у точці A0. Потім
перекочуємо твірну пряму по основному колу без
ковзання. Для цього від точки A0 відкладаємо на
твірній прямій ряд однакових відрізків A0—1
—2 2—3 і т. д. На основному колі від цієї ж
точки відкладаємо дуги А0 - 1 1 - 2' 2' - З'
і т. д. що дорівнюють цим відрізкам.
При перекочуванні прямої по колу без ковзання точка 1 збігається з точкою
точка 2 — з точкою 2' і т. д. Проведемо через точки 1 2' 3' і т. д.
дотичні до кола (для точної побудови дотичної слід спочатку провести радіус
у відповідну точку а потім провести до нього перпендикуляр) і відкладаємо
на них з точок дотику відрізки 1—А1 2'—А2 3'—А3 і т. д. що дорівнюють
відповідно відрізкам прямої А0—1 А0—2 А0—3 і т. д. (або дугам А0 -1 A0
-2' А0-3' і т. д.). З'єднуючи точки А0 А1 А2 і т. д.плавною кривою
одержуємо евольвенту.
Широке використання евольвенти при проектуванніпрофілів зубів
пояснюється низкою важливих властивостей.Відмітимо основні властивості
Твірна пряма завжди нормальна до евольвенти. Дійсно точка дотику твірної
прямої з основним колом є при утворенні евольвенти миттєвим центром
обертання твірної прямої а тому відповідні відрізки (1—А1 2'—А2 3'—А3 і
т. д.) є миттєвими радіусами кривизни евольвенти. Оскільки радіус кривизни
завжди розміщений нормально до кривої то твірна пряма завжди нормальна до
Евольвента є кривою без перегинів що дуже важливо при виготовленні
різального інструмента.
Форма евольвенти залежить тільки від радіуса основного кола тобто не
залежить від параметрів спряженого колеса — це дає змогу використовувати
евольвентні зубчасті колеса в коробках передач тобто у механізмах зі
змінними зубчастими колесами у яких з одним колесом можуть входити у
зачеплення колеса з різним числом зубів.
Евольвента починається на основному колі і завжди розташована за його
Радиус кривизни на початку евольвенти (на основному колі) дорівнює
нулю а радиус основного кола проведений через початок евольвенти є
плавним продовженням
евольвенти всередині основного кола.
Дві евольвенти одного основного кола є еквідистантними
(рівновіддаленими) кривими а відстань між ними по спільній нормалі є
евольвентним кроком ра і дорівнює довжині дуги кола між початками кривих
тобто дорівнює основному кроку рв.
Евольвента має дві гілки. Додатну гілку одержуємо при перекочуванні
твірної прямої проти руху годинникової стрілки від'ємну — при
перекочуванні за рухом годинникової стрілки.
Рівняння евольвенти одержуємо з умови перекочування твірної прямої по
основному колу без ковзання. Для цього розглянемо деяке довільне положення
твірної прямої (рис. 9.12) яке відповідає точці Y евольвенти. Нехай
координатами точки Y евольвенти будуть: rу — радіус-вектор і — кут
відхилення радіуса-вектора rу від радіуса rA проведеного через початок
евольвенти А. Проводимо через точку У дотичну до основного кола радіуса rb
. Точка дотику М є для евольвенти у точці Y центром кривизни а відрізок
MY— її миттєвим радіусом кривизни. Точку дотику М з'єднаємо з центром
основного кола О і позначимо кут між променями ОМ і О Y через ау. Цей кут
називається кутом профілю — гострий кут між дотичною до профілю у
відповідній точці Y і радіусом-вектором цієї точки rу . Очевидно що цей
кут дорівнює куту MOY оскільки лінія ОМ і дотична у точці Y паралельні
з трикутника OMY маємо
ry = rb cos ay (9.19)
Оскільки евольвента одержана перекочуванням твірної прямої відносно
основного кола без ковзання то MY = MA. Bpaховуючи що MY = rbtgay і MA =
Розв'язуючи це рівняння відносно маємо
Вираз tgay - ау скорочено позначають знаком invay і читають "інволюта
invay = tgαy - αy. (9.20)
Кут він позначає кут між
радіусами проведеними через початок евольвенти А і точку Y. Для інволютної
функції складено таблиці з яких за значеннями кута ау можна визначити
функцію invαy або навпаки.
Рівняння (9.19) і (9.20) є рівняннями евольвенти кола у параметричному
Теоретичні вихідний і твірний контури
Одним із багатьох важливих факторів які лежать в основі досягнень сучасної
техніки є взаємозамінність тобто здатність спряжених деталей з'єднуватись
одна з одною без спеціальної пригонки або підбору. Взаємозамінність можлива
лише на базі стандартизації тобто при суворій регламентації форми
розмірів якості й точності різних деталей та виробів.
Зубчасте колесо — одна із найскладніших і точних деталей машин; для його
виготовлення вимагається спеціальне дороге обладнання різальний та
вимірювальний інструмент. Тому стандартизація параметрів зубчатого
зачеплення важлива як з технічної так і з економічної точки зору.
За базу при стандартизації зубчастих коліс можна прийняти різні
параметри. На основі багаторічної практики при стандартизації коліс і
зуборізного інструменту в усіх країнах світу приймають параметри зубчастої
рейки з прямолінійним профілем (рис. 9.13).Рейковий профіль який покладено
в основу стандарту називається теоретичним вихідним контуром (ТВК) або
коротко — вихідним контуром. Параметри вихідного контуру стандартизовані
(ГОСТ 13755—68). Це прямобічний рейковий контур із рівномірно розташованими
симетричними зубами трапецієподібної форми; перехід від профіля зуба до
лінії западин викреслений дугою кола. За базу для визначення елементів
зубів та їх розмірів вибирають ділильну пряму (площину) яка
перпендикулярна до осей симетрії зубів рейки і товщина зуба на ній
дорівнює ширині западини (s = = e = р2). Частина зуба що знаходиться між
ділильною поверхнею і поверхнею вершин називається ділильною головкою
зуба; а частина зуба між ділильною поверхнею і поверхнею западин —
ділильною ніжкою зуба.
Відстань між однойменними профілями сусідніх зубів по ділильній або будь-
якій іншій паралельній прямій називають кроком р вихідного контуру:
Висота ділильної головки зуба вихідного контуру
де ha — коефіцієнт висоти головки зуба (відношення висоти головки зуба до
модуля: h*a = ha т).
Ділильна ніжка зуба [pic] вища від головки на величину с = с*т —
радіальний зазор де с — коефіцієнт радіального зазору (с* = ст). Отже
коефіцієнт висоти ніжки зуба
[pic] а висота ділильної ніжки зуба
Кут α між бічною стороною та віссю зуба називається кутом профілю
ГОСТ 13755—68 регламентує параметри вихідного контуру:
h* = 10; с* = 024; α = 20°. При цьому висота зуба
Прямолінійний профіль вихідного контуру плавно спряжений з лінією його
западин дугою радіуса
де ρ*f — коефіцієнт радіуса перехідної кривої [pic].
Геометричні параметри різального інструменту визначаються вихідним
твірним (виробничим) контуром (ВТК) або коротко — твірним контуром (рис.
14). Вихідним твірним рейковим контуром називають контур зубів рейки
який ніби заповнює западини теоретичного вихідного профілю як відливка
заповнює форму. При цьому між лінією западин твірного контуру й лінією
вершин вихідного зберігається радіальний зазор с = с*т для того щоб
поверхня западин різального інструменту не брала участі в процесі різання.
У межах цього зазору зберігається також перехід по дузі кола від профілю
зуба до лінії западин ВТК.
Отже вихідний твірний контур має ділильну ніжку такої самої форми і
розмірів як і вихідний контур. Для одержання радіального зазору в
зубчастому зачепленні ділильна головка твірного контуру виготовляється
вищою за головку вихідного контуру на величину с. Отже ділильна пряма
твірного контуру ділить зуб по висоті на дві рівні частини а повна висота
h = (2h*a +c*)m. (9.27)
Колесо із зовнішніми зубами нарізане твірним рейковимконтуром при
збереженні на ділильному колі теоретичної товщини зуба s = т2 і
теоретичного радіального зазору с*т у западині рейки називають твірним
зубчастим колесом. Таке колесо є різальним інструментом при зубодовбанні.
Деякі відомості про способи_нарізання зубчастих коліс
Зубчасті колеса можна виготовляти різними способами: різанням литвом
пластичною деформацією (штамповка або накатка). Найточніші зубчасті колеса
одержують різанням із використанням доводкових операцій.
снують два принципово різні способи нарізання зубів: копіювання та
Спосіб копіювання. При цьому способі зубчасті колеса нарізають
інструментом профіль якого точно збігається з профілем западин колеса що
нарізається тобто профіль інструмента копіюється на колесі (рис. 9.15 а
б в). нструментом може бути модульна (дискова або пальцьова) фреза.
Обертаючись фреза пересувається вздовж зуба. За кожний хід фрези
нарізається одна западина. Після цього заготовка повертається на кутовий
крок = 2z- За допомогою цього методу можна нарізати прямозубі косозубі
та шевронні зубчасті колеса для останніх заготовка в процесі нарізання
повертається на відповідний кут.
Використовують також інструмент що обробляє всі западини одночасно —
протяжки зубодовбальні головки тощо.
Основний недолік способу копіювання полягає в тому що різальний
інструмент є фасонним тобто має криволінійні різальні кромки і при його
виготовленні неминучі похибки які передаються колесу що нарізається. Крім
цього при використанні набору модульних фрез доводиться навмисно вносити
ще й додаткові похибки за таких причин: діаметр основного кола за
евольвентою якого обкреслений профіль зубів визначається модулем т і
числом зубів z колеса що нарізується. Очевидно що для кожного сполучення
т і z треба мати окрему фрезу; оскільки в стандарті більше 50 модулів а
число зубів які використовуються перевищує 100 то в універсальному
комплекті повинно бути понад 5000 фрез. Для скорочення номенклатури
інструменту діапазон чисел z розбивають на інтервали і в межах кожного
інтервалу використовують одну і ту саму фрезу для нарізання коліс із
різними числами зубів. Для кожного модуля комплект складається із 8—15
Через низьку точність коліс і малу продуктивність процесу нарізання
методом копіювання доцільно цей метод використовувати лише в
індивідуальному або дрібносерійному виробництві для виготовлення
малонавантажених і тихохідних передач.
Шліфувальні круги різці й протяжки профілюють для кожного конкретного
колеса і похибки викликані невідповідністю інструменту числу зубів
колеса що нарізаються у цьому випадку відсутні.
Недоліком методу копіювання є також те що для реалізації будь-якої зміни
в геометри зубів необхідно виготовляти спеціальний інструмент що пов'язано
зі значними трудовими і матеріальними затратами.
Процес нарізання зубів протяжками та зубодовбальними головками
продуктивний але через складність і високу вартість інструменту доцільно
такий процес використовувати лише в масовому виробництві.
Спосіб обкатки (огинання). При цьому способі в основу геометрії
інструменту покладено так зване твірне колесо або рейку бічні поверхні
зубів яких мають різальні кромки.
При нарізанні зубів твірному колесу (інструменту) і колесу (заготовці)
що нарізається надають такого відносного руху який би мали ці колеса
перебуваючи в зачепленні один з одним. Зачеплення твірного колеса з
оброблюваним колесом називають верстатним зачепленням. Отже у верстатному
зачепленні відтворюється перекочування без ковзання початкових поверхонь
інструменту й колеса що нарізається — чим і пояснюється назва способу
На рис. 9.15 г зображено нарізання зубів евольвентним твірним колесом
(зуборізним довбачем). Довбач здійснює поступальний рух паралельно осі
колеса (заготовки) що нарізається. Одночасно довбачу та заготовці надають
обертового руху з тим самим відношенням швидкостей які б мали довбач і
колесо знаходячись у зачепленні. Тоді профіль зуба виходить як огинаюча
всіх положень різальної кромки довбача (рис. 9.15 є). Особливість цього
методу полягає в тому що він дає можливість нарізати колеса з внутрішніми
зубами (рис. 9.15 д).
Оскільки для будь-якого зубчастого колеса можна спроектувати спряжену з
колесом зубчасту рейку то замість колеса-інструмента може бути
інструментом також рейка яка називається інструментальною рейкою або
гребінкою. У процесі нарізання рейка здійснює вздовж осі заготовки зворотно-
поступальний рух (рис. 9.15 є). Заготовка має подвійний рух у
горизонтальній площині: обертовий навколо своєї осі і поступальний вздовж
рейки. Отже заготовка здійснює рух колеса відносно рейки і профілі зубів
колеса одержують процесом обкатки. Весь цей процес здійснюється на
спеціальних зубодовбальних верстатах.
Гребінка — найпростіший а тому найточніший інструмент рейкового типу.
Проте число зубів гребінки обмежене оскільки довгі гребінки важко
виготовляти а число зубів коліс що нарізаються частіше всього більше від
числа зубів гребінки то процес обкатки не може бути безперервним. Після
того як заготовка перекотилась по всій довжині гребінки процес обкатки
припиняється заготовку повертають у вихідне положення і продовжують
обкатку. Таке періодичне переривання зменшує точність і продуктивність
зубонарізання ускладнює верстат.
Для того щоб зробити процес обкатки безперервним використовують
черв'ячні фрези. Черв'ячна фреза (рис. 9.16 б) — це гвинт із
трапецієподібною нарізкою (рис. 9.16 в) профіль якої У нормальному
перетині такий самий як і профіль твірної рейки. Для утворення різальних
кромок уздовж осі прорізані канавки (рис. 9.16 б). Зачеплення фрези з
колесом що нарізається аналогічне зачепленню черв'яка з черв'ячним
колесом (рис. 9.16 а). При цьому фреза та заготовка одержують обертовий
рух який бивони мали перебуваючи в зачепленні. Щоб нарізати зуб по всій
ширині зубчастого вінця фреза (або заготовка) крім обертання одержує
подачу вздовж осі колеса. Фреза встановлюється відносно заготовки так щоб
її витки у місці знімання стружки були паралельні твірній циліндра-
заготовки (рис. 9.16 в) тобто вісь фрези повинна утворювати з торцевою
поверхнею заготовки кут який дорівнює куту підйому середньої лінії
гвинтової поверхні витків фрези.
Останніми роками поширився новий метод обкатки — накатка зубчастих коліс
у холодному (для дрібномодульних коліс от m ≤ 2 мм) або гарячому стані
який полягає у наступному. нструменту у вигляді зубчастого колеса і
заготовці надають на верстаті такі відносні рухи ніби вони перебувають у
дійсному зачепленні. При цьому завдяки пластичній деформації інструмент
формує на заготовці зуби евольвентного профілю.
Значною перевагою всіх методів обкатки є висока продуктивність велика
точність і мала кількість інструменту. Одним інструментом (даного модуля)
можна нарізати зубчасті колеса з будь-яким числом зубів та змінювати
геометрію зубчастих коліс.
На рис. 9.16 г д зображені схеми нарізання конічних зубчастих коліс. У
першому випадку (рис. 9.16 г) показано нарізання коліс на зубостругальному
верстаті у другому — на фрезерних верстатах за допомогою обертової
При зубоструганні різальний інструмент відносно колеса що нарізується
здійснює два основні рухи: технологічний який забезпечує зрізання й
виведення матеріалу з об'єму що займає западина і рух огинання який
забезпечує відповідне профілювання бічних поверхонь зубів. Для нарізання
використовують два різці які здійснюють зворотно-поступальний рух вздовж
твірних конуса западин. Кожний із різців обробляє одну бічну поверхню зуба.
Сформувавши один зуб різці відводять заготовка повертається на кутовий
крок і процес нарізання повторюється.
Розрахунок геометричних параметрів циліндричних прямозубих зубчастих коліс
з умови верстатного зачеплення
Розглянемо зачеплення зубчастого колеса що нарізається з прямозубою
твірною рейкою в процесі якого на заготовці формуються зуби відповідної
геометрії та розмірів . Картину зачеплення будемо розглядати в торцевому
перетині (рис. 9.17 а). У рейковому зачепленні рейка здійснює поступальний
рух а колесо — обертовий. Такі ж рухи повинні виконувати ланки верстатного
зачеплення. Необхідну швидкість v0 руху твірної рейки яка спрямована
паралельно ділильній прямій визначають із співвідношення
де і — кутова швидкість заготовки; rі — радіус ділильного кола
зубчастого колеса що нарізається. У цій формулі й далі індекс 0
позначає параметри ріжучого інструменту а індекс і = 1 або і = 2 —
відповідно шестірні або колеса. ндекс і можна опустити коли його значення
з формули (9.28) випливає що при нарізанні зубчастого колеса рейковим
інструментом ділильне коло є центроїдою у відносному русі твірного контуру
і торцевого перетину заготовки. накше кажучи в процесі нарізання деяка
лінія твірного контуру що дотикається ділильного кола перекочується по
ньому без ковзання. Така пряма твірного контуру називається початковою. На
рис. 9.17 а ділильна пряма 1 знаходиться навідстані хіт від ділильного
кола а значить від початкової прямої 2. Ця відстань називається зміщенням
вихідного твірного контуру де хі = хітт — коефіцієнт зміщення. Зміщення
вважається додатним якщо ділильна пряма і ділильне коло не перетинаються
Зубчасті колеса зуби яких утворені при х = 0 тобто коли початкова пряма
твірного контуру є його ділильною прямою називаються зубчастими колесами
без зміщення (інколи — нульовими). При х 0 одержуємо зубчасті колеса із
Розрахунок геометричних параметрів циліндричної прямозубої зубчастої
передачі з умови щільного зачеплення двох коліс
При щільному зачепленні зубчастих коліс (без бічного зазору між зубами) що
нарізані зі зміщенням твірного контуру mxі центроїдами у відносному русі
будуть початкові кола радіусів rw1 і rw2 . Радіуси цих кіл можна
визначити з трикутників О1В1П і О2В2П(рис. 9.18):
де аw — кут зачеплення.
Кутом зачеплення називають кут між лінією зачеплення В1Вг і прямою
перпендикулярною до лінії центрів. Цей кут чисельно дорівнює куту профілю
зубів кожного з коліс передачі у точці що лежить на початковому колі.
Маючи на увазі що aw = rw1 + rw2 та враховуючи формули (9.6) і
Тут а — ділильна міжосьова відстань що дорівнює сумі радіусів ділильних
кіл зубчастих коліс.
Різниця міжосьової aw і ділильної а відстаней називається сприймальним
(видимим) зміщенням і позначається
де у — коефіцієнт сприймального зміщення що виражається залежністю
На рис. 9.18 сприймальне зміщення ту визначається найменшою відстанню
між ділильними колами. Зокрема якщо х1 = х2 = 0 або х1 = —х2 то aw = а.
Особливості геометрії косозубих циліндричних передач
Раніше розглядались здебільшого зачеплення прямозубими циліндричними
колесами. У таких передачах контакт між зубами проходить по прямій
паралельній осям обертання причому зуби одночасно по всій довжині входять
у зачеплення й одночасно виходять із нього. Картина зачеплення у будь-якій
площині перпендикулярній до осі обертання коліс однакова за геометрією і
часом. Тому неточності які завжди мають місце при виготовленні зубчастих
коліс (наприклад неточність профілю несталість кроку та ін.) а також
деформації та спрацювання деталей погіршують їх роботу (збільшується шум
зменшується довговічність передачі тощо). Крім цього плавність роботи у
прямозубих передач порівняно невелика.
Для усунення вказаних недоліків як уже зазначалось на практиці часто
використовують косозубі або шевронні циліндричні передачі (рис. 9.2 б в).
Бічну поверхню косого зуба утворює пряма AB1 поверхні N (рис. 9.21 а) яка
обкочується без ковзання відносно основного циліндра радіуса rb. Пряма АВ1
утворює з твірною АВ основного циліндра кут . Цей кут називають кутом
нахилу зубів. Кожна точка прямої АВ1 описує таку ж евольвенту як і точка
А утворюючи при цьому не циліндричну а гвинтову лінійчату евольвентну
Картина зачеплення зубів у косозубій передачі в будь-якому перетині як і
в прямозубій передачі однакова. Проте на відміну від прямозубої передачі
зачеплення у всіх перетинах відбувається несинхронно у часі тобто зуби
входять у зачеплення не зразу по всій довжині а поступово.
Косозубі циліндричні зубчасті колеса нарізаються рейками лінії зубів
яких складають з віссю колеса що нарізається кут . На рис. 9.21 б
зображено план косозубої вихідної твірної рейки на якій нанесені лінії
зубів. При такому розташуванні ліній зубів їх крок можна вимірювати у трьох
плоских перетинах рейки:
а) перетин 1—1 нормальний до теоретичної лінії зубів у якому вимірюють
б) перетин 2—2 перпендикулярний до осі зубчастого колесащо нарізається
рейкою (торцевий перетин) у якому вимірюють торцевий крок рп;
в) перетин З—З (осьовий перетин) площиною паралельноюосі зубчастого
колеса що нарізається рейкою у якомувимірюють осьовий крок рх.
Контур зубчастої рейки в нормальному перетині і є тим вихідним твірним
контуром розміри якого залежать від розрахункового модуля т. Тому
з рис. 9.21 б легко одержати значення торцевого і осьового кроків
зубів залежно від нормального:
де тt і тх — відповідно торцевий і осьовий модулі
які визначаються формулами
Для розрахунку геометричних параметрів косозубих
зубчастих коліс важливо визначити параметри
торцевого контуру косозубої рейки оскільки цей
контур профілює евольвенту зубчастого колеса.
На рис. 9.22 накладено профілі зуба косозубої рейки в торцевому
(контурна лінія) і нормальному (штрихова лінія) перетинах. Товщина зуба і
ширина западини рейки у її ділильній площині рівні між собою причому в
Кут профілю αt торцевого перетину рейки визначається з умови що розмір
Н від ділильної прямої до точки перетину бічних профілів зуба у будь-якому
перетині один і той самий. Тоді можна записати
Геометричні та кінематичні умови існування передачі
Профілі зубів їх розташування відносно ділильного кола розміри зубів за
висотою та їх товщина на кожному зубчастому колесі а отже і властивості
самої передачі однозначно визначаються сукупністю значень трьох величин:
коефіцієнтів зміщень x1 x2 і кута нахилу лінії зуба (. Вибір потрібних
значень цих величин для конкретної зубчастої передачі (z1 z2 m) — один із
перших і важливих етапів її проектування. Невдалий вибір цих параметрів
(х1 х2() може призвести до погіршення кінематичних і міцністних
характеристик передачі або навіть до неможливості перетворення руху за
Розглянемо явища при яких неможлива реалізація запланованих
кінематичних функцій передачі і виведемо залежності які описують їх. Ці
залежності дозволяють сформулювати умови які повинні задовольняти вибрані
значення х1 х2 і ( щоб вказані явища були відсутні тобто сформулювати
умови існування передачі. До таких умов належать:
) забезпечення плавності роботи зубчастої передачі;
) усунення підрізання зубів;
) усунення загострення зубів;
) усунення інтерференції зубів.
Коефіцієнт перекриття
Плавність роботи зубчастої передачі характеризується коефіцієнтом
перекриття. Для його визначення розглянемо пару зубчастих коліс які
перебувають у зачепленні. Нехай зубчасті колеса обертаються так як
показано на рис. 9.23. Зуби при цьому будуть стикатися між собою по
загальній нормалі NN проведеній через точки контакту зубів. Причому зуби
входять у контакт у точці H2 а виходять з контакту у точці H1. Ці два
положення бічних профілів зубів зображено на рисунку: для шестірні —
лініями 1 для колеса — лініями 2. Лінія NN називається лінією зачеплення.
Частину цієї лінії між точками дотику В1 і В2 з основними колами як уже
відомо називають теоретичною лінією зачеплення а відрізок qa= Н1Н2 що
відсікається від лінії зачеплення колами виступів активною лінією
зачеплення. Активна лінія зачеплення є геометричним місцем точок контакту
двох спряжених профілів. За межами лінії НН2 контакт між зубами відсутній
оскільки він лежить за межами габаритів зубчастих коліс. Чим більша довжина
активної лінії зачеплення відносно кроку евольвентного зачеплення ра тим
вища плавність роботи передачі.
Під кроком евольвентного зачеплення розуміють відстань між двома
контактними точками однойменних головних профілів двох сусідніх зубів.
Оскільки однойменні профілі двох сусідніх зубів є еквідистантними кривими
відстань між якими визначається основним коловим кроком рb маємо
Точки Нх і H2 визначають також величину активного (робочого) профілю
зубів. Оскільки за межами лінії НН2 контакту між зубами коліс немає точка
Н2 є найближчою до центра обертання О1 точкою контакту профілю зуба
шестірні а найвідда-ленішою від центра O1 є точка H1. Отже частина
бічного профілю зуба шестірні [pic] є активною у колеса активним є профіль
[pic] (на рис. 9.23 активні профілі зубів позначені подвійними лініями).
Характерно що довжина активного профілю на головці зуба більша ніж на
спряженій ніжці зуба [pic]. Нерівності ділянок профілів які проходять
контактні точки ніжки та головки зуба за однакові проміжки часу (у полюсі
зачеплення П точки e і f збігаються) вказує на наявність відносного
ковзання зубів причому ніжка зуба перебуває у більш напруженому стані і
більше спрацьовується.
Плавність робота зубчастої передачі характеризується повним коефіцієнтом
перекриття під яким розуміють відношення кута перекриття (( до кутового
де ((— кут перекриття; ( = 2(z— центральний кут зубчастого колеса що
відповідає кроку зубчастого колеса.
Кутом перекриття називають кут повороту зубчастого колеса від положення
входу зуба у зачеплення до його виходу із зачеплення.
Практично коефіцієнт перекриття показує число пар зубів що перебувають
одночасно у зачепленні.
Коефіцієнт перекриття повинен бути більшим від одиниці інакше
порушується плавність роботи передачі (співудари зубів контакт кромками
вершин). Чим вищий коефіцієнт перекриття тим плавніше працює зубчаста
передача тим більша її несуча здатність. Внаслідок можливої неточності
монтажу та спрацювання зубів коефіцієнт перекриття може виявитися меншим за
розрахунковий тому рекомендується вибирати мінімальним коефіцієнт
Коефіцієнт перекриття &у можна також виразити як відношення дуги
зачеплення до колового кроку. Зрозуміло що для забезпечення плавної роботи
передачі дуга зачеплення повинна бути більша від кроку.
Дугами зачеплення називають частину початкових кіл які перекочуються
одна по одній за час контакту пари зубів. Взагалі кажучи дугу зачеплення і
коловий крок можна знаходити на будь-якому іншому колі зубчастих коліс
(вершин ділильному основному тощо).
Картину зачеплення у рейковому та внутрішньому зачепленнях зображено на
Торцевим коефіцієнтом перекриття називають відношення довжини активної
лінії зачеплення до кроку евольвентного зачеплення.
Коефіцієнтом осьового перекриття називається відношення робочої ширини
зубчастого вінця bw до осьового кроку рх (рис. 9 У прямозубій циліндричній
передачі коефіцієнт (( = 0 оскільки кут нахилу зубів ( дорівнює нулю і в
цьому випадку повний коефіцієнт перекриття дорівнює лише торцевому
коефіцієнту перекриття ((( = (().
При нарізанні зубчастого колеса можливе підрізання зубів (рис. 9.26 а)
яке проявляється у зменшенні товщини ділильної ніжки зуба. Це призводить до
зрізання головного (евольвентного) профілю зубів і зменшення їх міцності на
згин. Підрізання зубів настає в тому випадку коли активна лінія зачеплення
Н1Нг виходить за межі теоретичної лінії зачеплення BB2 (рис. 9.26 б)
оскільки будь-яка точка профілю зуба (шестірні) що лежить за межами цієї
лінії не відповідає основній теоремі зачеплення.
Для визначення мінімального коефіцієнта зміщення хmin і мінімального
числа зубів zmin при яких не спостерігається підрізання можна використати
залежність для радіуса кривизни граничної точки L головного бічного профілю
зубів (рис. 9.26 б). Нагадаємо що точка яка розділяє евольвенту і
перехідну частини бічного профілю називається граничною.
Для кожного числа зубів z існує таке зміщення коефіцієнта х при якому
(L = 0 тобто гранична точка лежить на основному колі а вся перехідна
крива лежить всередині основного кола. Такий коефіцієнт зміщення називаємо
коефіцієнтом найменшого зміщення хтіп. Одержимо найменше число зубів
колеса вільне від підрізання при заданому коефіцієнті зміщення х. Так при
Коригування зубчатих коліс
Розглянуте дотепер зубчасте зачеплення з нормальними геометричними
параметрами часто не задовольняє вимогам конструкції оскільки воно
накладає на останню цілий ряд обмежень. Наприклад це відноситься до вибору
кількості зубів зубчастого колеса. Зниження числа зубів значно здешевлює
виробництво зменшує розміри конструкції і робить її більш компактної по
зменшення числа зубів при нормальному зубчастому зачепленні може викликати
їх підрізування. Тому в тих випадках коли необхідно все ж таки зробити
кількість зубів менше за допустимий доводиться відступати від нормального
зачеплення тобто виправляти його.
Часто неможливо також застосувати нормальне зубчасте зачеплення у соосних
передачах. Щоб створити таку передачу необхідно і в цьому випадку
відступити від нормального зубчатого зачеплення.
Приведені приклади коли доводиться відступати від нормального зубчастого
зачеплення звичайно не єдині. багато і інших випадків коли нормальне
зачеплення не задовольняє вимогам що пред'являються. Наприклад нормальне
зубчасте зачеплення може не задовольняти конструкцию- унаслідок малого
коефіцієнта перекриття або унаслідок великої величини коефіцієнта питомого
У всіх випадках коли нормальне зубчасте зачеплення не задовольняє
що пред'являються від нього доводиться відступати тобто виправляти
Таке виправлення зубчатого зачіпляє з метою його поліпшення називається
Коригування буває декількох видів:
г) методом зсуву зуборізної рейки при нарізуванні зубчастого
Кутове коригування - це таке виправлення коли поліпшення зачеплення
здійснюється за рахунок зміни кута зачепленя в порівнянні з нормальною
рівною 20°. Ми бачили що із збільшенням кута зачеплення зменшується
небезпека підрізування і зменшується мінімально допустима кількість зубів.
Зміна кута зачеплення також впливає на коефіцієнт перекриття. Зменшуючи кут
зачіплення можна збільшити коефіцієнт перекриття.
Висотне коригування - це таке виправлення зубчастого зачеплення коли
його поліпшення здійснюється за рахунок зменшення висоти головки зуба. Ми
бачили що із зменшенням висоти головки зуба зменшуються небезпека
підрізування і мінімальна кількість зубів.
Змішане коригування - це таке виправлення зубчастого зачеплення коли
його поліпшення відбувається одночасно за рахунок зміни кута зачеплення і
зміни розподілу висот головки і ніжки зуба.
Застосування вказаних методів коригування обмежувалося раніше
необхідністю у кожному випадку мати нестандартний інструмент з даним кутом
зачепленя або даною висотою зуба. В даний час у зв'язку з широким
застосуванням виготовлення зубчастих коліс методом обкатки ці методи
коригування можуть бути застосовані при нарізуванні коліс стандартним
інструментом (за винятком коліс з укороченим зубом).
Найпоширеніший метод коригування - коригування зсувом інструментальної
рейки при нарізуванні зубчатих коліс.
БАГАТОЛАНКОВ ЗУБЧАСТ МЕХАНЗМИ
При проектуванні зубчастих механізмів багатьох машин і приладів виникає
необхідність забезпечення передачі обертання з великими передаточними
відношеннями або при значних міжосьових відстанях. У таких випадках
використовують багатолан-кові зубчасті механізми причому якщо швидкість
обертання вихідного вала знижується порівняно із вхідним такі зубчасті
механізми називають редукторами а якщо швидкість підвищується —
Потреба використання багатоланкових зубчастих механізмів викликана тим
що одна пара (ступінь) зубчастих коліс забезпечує обмежені значення
передаточних відношень. Як відомо передаточне відношення і2 пари
зубчастих коліс описується формулою
Отже і12( залежить від числа зубів коліс. Щоб дістати компактну й
легку передачу число зубів z1min на меншому колесі має бути найменшим.
Найменше число зубів z1min обмежується явищем підрізання та найменшим
допустимим коефіцієнтом перекриття ((. В середньому можна прийняти z1min =
—20. При виборі числа зубів z2 на більшому колесі треба виходити з
обмежень габаритних розмірів і маси конструкції. У металообробних
верстатах підіймально-транспортних та інших машинах беруть звичайно z2max=
5—150. Таким чином у середньому можна взяти межу передаточних відношень
для однієї пари зубчастих коліс i12max=10. У практиці машинобудування для
механічних (від електродвигуна) передач приймають ще менші значення— і12 =
—6 а для ручних — і12 = 10—12.
Багатоланкові зубчасті механізми поділяють на два основних види:
) зубчасті механізми з нерухомими осями всіх коліс (такі передачі
називають серіями зубчастих коліс);
) зубчасті механізми з рухомими осями окремих коліс (епіциклічні передачі
деколи — планетарні важільно-зубчасті).
Зубчасті механізми з нерухомими осями коліс
Зубчасті механізми з нерухомими осями всіх коліс можна поділити на два
види: ступінчасті (рис. 11.1 а) і паразитні (рис. 11.1 б). У ступінчастій
серії зубчастих коліс кожне колесо входить тільки в одне зубчасте
зачеплення (колесо 1 перебуває в зачепленні тільки з колесом 2 колесо 2' —
тільки з колесом З і т. д.). У паразитній серії є зубчасті колеса що
входять одночасно в два або більше зачеплень. У механізмі показаному на
рис. 11.1 б колеса 2 і 3 входять одночасно в два зачеплення (колесо 2 — з
колесами 1 і 3 колесо 3 — з колесами 2 і 4). Такі колеса називають
паразитними. Домовимось позначати всі колеса що жорстко сидять на одному
валу одною цифрою проставляючи для кожного колеса штрихи (наприклад 2
Загальне передаточне відношення зубчастих механізмів зображених на рис.
1 можна визначити як відношення швидкостей обертання вхідного та
Знак передаточного відношення визначається так само як і для пари
зубчастих коліс: якщо напрямки обертання коліс 1 і 4 збігаються маємо знак
+" а в протилежному випадку — знак "—". Тут знаком передаточного
відношення є "—" оскільки колеса 1 і 4 обертаються в різні боки.
Загальне передаточне відношення i14 можна визначити через передаточні
відношень окремих пар (ступенів) зубастого зачеплення:
Перемноживши одержан передаточні відношення (11.2) дістанемо
де k — число пар зовнішнього зубчастого зачеплення. Введення у формулу
передаточного відношення добутку (-1)k дає змогу визначити його знак не
вказуючи напрямку обертання коліс (внутрішнє зачеплення не змінює напрямку
Оскільки (1(4=і14 (11.1) то і14=і12і23і34.
Отже передаточне відношення багатоланкової зубчастої передачі з
нерухомими осями є добуток передаточних відношень взятих із своїм знаком
окремих його ступенів.
У загальному випадку коли в зачепленні перебувають п коліс формулу для
загального передаточного відношення і1п можна записати так:
Передаточне відношення серій зубчастих коліс можна визначити також за
допомогою чисел зубів коліс. Такі формули найчастіше використовують на
Ступінчаста зубчаста передача (рис. 11.1 а). Як відомо передаточне
відношення кожної пари зубчастих коліс що перебувають у зачепленні можна
записати через відношення чисел зубів коліс:
Враховуючи залежність (11.3) маємо
У загальному випадку формула для передаточного відношення має вигляд
Паразитна зубчаста передача (рис. 11.1 б). У цьому випадку паредаточні
відношення для кожної пари мають вигляд
Тоді загальне передаточне відношення механізму запишеться так:
або в загальному вигляді:
Як видно з формул (11.6) (11.7) значення загального передаточного
відношення і1п не залежить від проміжних зубчастих коліс 2 і 3. Це й дало
привід називати такі колеса в техніці паразитними. Насправді ці колеса
виконують важливу роль у машинах: вони або забезпечують відповідний
напрямок обертання вихідного вала оскільки введення таких коліс впливає на
знак передаточного відношення або дозволяють передати обертовий рух малими
колесами на більшу міжосьову відстань що значно зменшує масу та габарити
зубчастої передачі (рис. 11.2).
Зубчасті механізми з рухомими осями коліс
У деяких багатоланкових зубчастих передачах осі окремих коліс є рухомими.
Такі зубчасті механізми (рис. 11.5) з одним ступенем вільності називають
планетарними механізмами а з двома і більше ступенями вільності —
диференціальними механізмами або просто диференціалами. Колеса з рухомими
осями обертання називаються планетарними колесами або сателітами а ланка
на якій розміщена вісь сателітів — води-лом. На схемах водило прийнято
позначати літерою Н. Зубчасті колеса з нерухомими осями обертання
називаються сонячними або центральними.
Диференціальні механізми. На рис. 11.5 а зображено в двох проекціях
найпростіший диференціальний механізм в якому колесо 1 є центральним
колесо 2 — сателітом а ланка Н — во-дилом. Нехай колеса 1 2 і водило Н
обертаються з кутовими швидкостями (1 (2 і (Н .Визначимо число ступенів
вільності механізму в якому число рухомих ланок п = 3 число обертових пар
п'ятого класу р5 = 3. Це пари О1 02 і Он в які входять відповідні ланки:
—1 2-Н Н—0 де 0 — стояк. Зубчасті колеса 1 і 2 утворюють вищу пару
четвертого класу (р4 = 1). Отже за структурною формулою для плоских
механізмів число ступенів вільності диференціального механізму
W = 3п - 2р5 - р4 = 3 3 - 2 3 - 1 = 2.
Таким чином для визначеності руху механізму він повинен мати заданими
закони руху двох ланок тобто мати дві узагальнені координати. Взагалі
кажучи вибір цих двох ланок може бути довільним. Наприклад можна задати
закони руху ланок 1 і Н тобто закони зміни кутів повороту (1 і (2 ланок 1
і H. Тоді очевидно кут повороту (2 ланки 2 буде функцією цих кутів:
Для визначення передаточних відношень диференціального механізму не
можна безпосередньо скористатися формулами для зубчастих механізмів з
нерухомими осями. Для виведення залежності між кутовими швидкостями ланок
диференціального механізму та числом зубів зубчастих коліс використаємо
метод оборотності (інверсії) руху який полягає в тому що всім ланкам
механізму надаємо додаткової кутової швидкості навколо осі Он з кутовою
швидкістю -(H яка дорівнює кутовій швидкості (H водила Н за величиною але
протилежна їй за напрямом. При цьому відносний рух ланок не зміниться. Тоді
ланки механізму матимуть кутові швидкості: зубчасте колесо 1 —[pic] колесо
- [pic] водило H -[pic]
Отже після надання ланкам механізму додаткового обертання з кутовою
швидкістю -(H ланка Н буде нерухомою і диференціал перетвориться в
звичайний зубчастий механізм з нерухомими осями О1 02 і 03. Передаточне
відношення такого механізму визначається формулою (11.5) або (11.7). У
Тут і далі щоб знати при якій нерухомій ланці визначено конкретне
передаточне відношення біля його позначення в дужках ставитимемо верхній
індекс тієї ланки яка взята за нерухому.
Формула (11.9) називається формулою Вілліса для диференціального
механізму. Цю формулу можна одержати диференціюванням формули (11.8).
У загальному вигляді при будь-якій кількості коліс формула Вілліса
де k — кількість пар зовнішнього зубчастого зачеплення.
Формула Вілліса встановлює математичну залежність між кутовими
швидкостями ланок механізму і числами зубів коліс. Маючи заданими кутові
швидкості яких-небудь двох ланок наприклад (1 (m і числа зубів коліс
можна визначити кутову швидкість третьої ланки ((H). Враховуючи що (1=
(ni30 у формулах (11.9) (11.10) замість (i можна записати ni де ni -—
кількість обертів ланки за хвилину.
Диференціальні механізми широко використовуються в автомобілях
лічильних сільськогосподарських машинах металорізальних верстатах тощо.
Планетарні механізми. Ці механізми є окремим випадком диференціальних
механізмів. Якщо в диференціальному механізмі одне з центральних коліс
зробити нерухомим одержимо планетарний механізм. На рис. 11.5 б колесо 1
закріплено нерухомо. Число ступенів вільності такого механізму
IV = 3n — 2ps—p4 = 3-2 — 2-2—1 = 1.
Отже у такому механізмі досить мати одну початкову ланку.
Для планетарного механізму також справедлива формула Вілліса (11.9) або
(11.10). У даному випадку коли (1 = 0 вона набуває вигляду
Розділивши у формулі (11.11) чисельник і знаменник на —(H після
відповідних перетворень одержимо
де для зовнішнього зубчастого зачеплення при нерухомих осях коліс [pic]
Рівняння (11.12) можна записати ще так:
тобто для планетарних механізмів із круглими колесами сума передаточних
відношень при різних зупинених ланках завжди дорівнює одиниці.
Планетарні механізми широко використовуються в зубчастих редукторах як
механізми для виконання складного руху робочих органів машин наприклад
для обертання лопаток мішалок приводів шпинделів бавовнопрядильних машин
Синтез планетарних механізмів
Розв'язання задачі синтезу планетарних механізмів можна поділити на два
етапи: ) вибір схеми планетарного механізму; 2) вибір чисел зубів що
забезпечують задане передаточне відношення.
Вибір схеми планетарного механізму. Одне й те саме передаточне відношення
можна одержати різними за схемами механізмами що можуть значно
відрізнятися своїми ККД масою габаритами та іншими властивостями. У
загальному випадку вибір схеми можна виконати тільки детальним порівнянням
різних варіантів. Проте деякі загальні рекомендації щодо вибору схеми
планетарної передачі можна дати розглянувши приклад простих схем
чотириланкових механізмів що зображені на рис. 11.14.
За знаком передаточного відношення в оберненому русі [pic] всі показані
передачі поділяють на передачі з від'ємним (рис. 11.14 а б) і додатним
(рис. 11.14 в г) значенням [pic].
Передачі типу в і г забезпечують однакові передаточні відношення й
відрізняються між собою тільки конструктивною наявністю в типі в тільки
зовнішніх зачеплень а в типі г — тільки внутрішніх. При цьому діапазон
передаточних відношень що забезпечуються цими типами передач теоретично
Вибір числа зубів планетарного механізму. При виборі числа зубів для
заданих схеми механізму і передаточного відношення треба витримати такі
умови: 1) співвісність; 2) сусідство; 3) можливість складання передачі; 4)
усунення підрізання й інтерференції зубчастих коліс та самогальмування
передачі. Розглянемо це питання на прикладі передачі типу а (рис. 11.14
У більшості випадків для розвантаження центральних підшипників
зменшення навантаження на зуби коліс і забезпечення динамічної
зрівноваженості механізму встановлюють не один а кілька сателітів (рис.
15). При структурному й кінематичному аналізі досить розглядати механізм
з одним сателітом. На рис. 11.15 показано три сателіти 2 2' 2" які
встановлені під одним кутом 2(k де k — число сателітів хоча число
сателітів може бути й більшим. Сателіти крім цього розміщені в одній
площині і кола виступів не повинні перетинатися. з трикутника О1020'г
випливає що для того щоб кола вершин не стикались треба витримати умову
де 020'2 = 2(02М) = 2(rW1 + rw2) sin [pic]
(rW1 +rW2)sin[pic]>2ra2. (11.25)
Якщо прийняти зубчасту передачу без зміщення радіуси початкових і
ділильних кіл рівні між собою (rw1=ri) а rа2 = r2 + 2т. Виразимо ділильні
радіуси кіл через числа зубів коліс (модулі всіх зубчастих коліс у такій
передачі повинні бути однаковими). Матимемо
Умова (11.27) називається умовою сусідства.
Для того щоб осі центральних коліс 1 і 3 збігалися треба витримати
умову співвісності яка для даного механізму може бути записана як умова
рівності міжосьових відстаней зубчастих коліс 1 і 2 з одного боку і
коліс 2 і З — з іншого тобто
r1 + r2 = r3 - r2 (11.28)
або виразивши (11.28) через число зубів одержимо умову співвісності в
з цієї рівності випливає що числа зубів z1 і z3 центральних коліс
повинні бути або парні або непарні.
Щоб вияснити умову складання вважатимемо що сателіти 2 розміщені
рівномірно (під одним центральним кутом 2(к
Матимемо [pic] (11.31)
де ( — довільне ціле число b1 b3 – цілі числа k – число сателітів.
Рівняння (11.31) і є умовою складання для даного механізму. З цієї умови
випливає що для складання передачі необхідно щоб сума чисел зубів
центральних коліс 1 і 3 була кратною числу сателітів.
Якщо ведучою ланкою є колесо 1 передаточне відношення планетарного
механізму який розглядаємо матиме вигляд
Хвильові зубчасті передачі
Хвильова зубчаста передача є різновидом епіциклічної передачі в якій
зачеплення зубчастої пари здійснюється внаслідок сталої деформації пружного
зубчастого вінця. Хвильова передача як і епіциклічна може бути виконана
планетарною (одно- та багатоступінчастою) і диференціальною.
Хвильова зубчаста передача в планетарному одноступінчастому виконанні
(рис. 11.16) складається з трьох основних елементів: гнучкої ланки 1
жорсткого колеса 2 і генератора хвиль деформації що складається з водила 3
і роликів 4. Гнучка ланка виконана у вигляді тонкостінного стакана 5 із
зубчастим вінцем 1 з'єднаної з веденим валом 6 передачі. Зубчастий вінець
гнучкої ланки 5 деформований роликами 4 генератора хвиль в еліпс входить
у зачеплення з центральним колесом 2 у двох протилежних зонах (у радіальних
напрямках роликів). Взагалі число хвиль деформації може дорівнювати 1 2
і т. д. Частіше всього використовують двохвильові передачі. На рис.
16б зображено трихвильову передачу.
Генератор може бути виконаний також у вигляді кулачка з еліптичним або
будь-яким іншим гладким профілем який спрягається із внутрішньою
поверхнею деформованого зубчастого вінця гнучкої ланки 1 або через тіла
кочення (для зменшення тертя). Під час обертання генератор із своїми
роликами або профільною поверхнею кулачка обкочує пружно деформований
зубчастий вінець 1 по нерухомому центральному колесі 2 переміщуючи в
коловому напрямку в бік власного обертання зони зачеплення або хвилі
деформації. При різних числах зубів колеса 2 та гнучкого вінця 1 це
приводить до обертання вінця а отже і з'єднаного з ним веденого вала в
напрямку протилежному напрямку обертання генератора.
Передаточні відношення хвильових зубчастих передач визначають як і в
епіциклічних передачах за допомогою методу оборотності руху. Для цього
всьому механізму надають обертання з кутовою швидкістю що дорівнює за
значенням і протилежна за напрямком кутовій швидкості (3 генератора 3. При
цьому в оберненій передачі генератор зупиняється а гнучкий вінець і
жорстке колесо обертатимуться з кутовими швидкостями відповідно [pic] і
[pic] Тоді передаточне відношення від гнучкого колеса 1 до жорсткого колеса
при зупиненому генераторі визначається відношенням (формула Вілліса)
Звідси знаходимо передаточне відношення і31 від ведучого генератора 3 до
веденої ланки 1 виразом (z2 > z1):
де знак "-—" вказує на те що ведуча й ведена ланка передачі обертаються в
Хвильові передачі мають ряд суттєвих переваг порівняно із звичайними
зубчастими та планетарними передачами. Оскільки в такій передачі мала
різниця чисел зубів гнучкого й жорсткого коліс вони забезпечують великі
передаточні відношення (i = 200—300) у зачепленні перебуває одночасно не
менше чверті загального числа зубів. Тому несуча здатність хвильової
передачі в кілька разів вища ніж в інших зубчастих передачах.
Багатопарність зачеплення — одна з основних переваг хвильової передачі
яка визначає й інші її переваги: плавність ходу безшумність стабільність
кінематичних характеристик під навантаженням відносно високий ККД (70—85
%). На відміну від планетарних передач ККД суттєво не зменшується при
збільшенні передаточного відношення.
Хвильові передачі економічніші від планетарних також і тому що при малій
різниці чисел зубів можна одержати передачу з досить високими показниками
робота при невисокій точності виготовлення зубів. Навантаження на опори
валів хвильових передач малі оскільки при симетричному генераторові
реакції з боку гнучкої ланки замикаються на генераторі й не передаються на
опори. Важливою особливістю хвильових механізмів є можливість передачі руху
з герметизованого простору назовні або навпаки.
До недоліків хвильових передач відносять: відносно великий пружний
мертвий хід і технологічні утруднення при виготовленні її елементів.
ПРОСТОРОВ ЗУБЧАСТ ПЕРЕДАЧ
У багатьох машинах для забезпечення роботі механізмів необхідно
передаваті обертовій рух з одного валу на інший за умові що осі цих валів
або перетінаються або схрещуються. У таких віпадках вікорістовують
просторові зубчасті механізми до яких належать конічні зубчасті передачі
або різновиди гіперболоїдних зубчастіх передач (гвинтові зубчасті передачі
черв'ячні гіпоїдні).
Конічні зубчасті передачі
Конічні зубчасті колеса як і конічні фрикційні котки застосовуються
для передачі обертового руху між валами осі яких перетинаються. Міжосьовий
кут ( (рис. 10.1) визначається конструктивною необхідністю і може
змінюватись у межах 10—170°. Найчастіше зустрічаються конічні передачі при
перетині осей під кутом ( = 90°. Такі конічні передачі називають
Конічну зубчасту передачу (рис. 10.1 а) можна уявити собі як передачу
двома конічними котками на поверхні яких для усунення проковзування
нарізані зубці. Аксоїдами у відносному русі таких коліс є два конуси з
кутами конусності і які в сумі дорівнюють міжосьовому куту.
За аналогією з циліндричними зубчастими передачами ці конуси називають
початковими оскільки вони перекочуються один по одному без ковзання а
кути [pic] і [pic] — кутами початкових конусів конічних коліс. На практиці
найчастіше використовують конічні колеса без зміщення. Тоді початкові та
ділильні конуси збігаються а кути початкових конусів дорівнюють кутам
ділильних конусів ([pic]).
Передаточне відношення конічної передачі і12 визначається з припущення що
початкові конуси котяться один по одному без ковзання. При цьому швидкості
точок стикання що належать обом конусам (рис. 10.1 а) будуть дорівнювати
Передаточне відношення можна виразити через радіуси початкових кіл або
У формулі (10.2) rW1 =П1О' rw2= П20" — радіуси початкових кіл шестірні й
Розглядаючи трикутники ОПО' і OПO" можна записати
Для ортогональних конічних передач залежність (10.3) має вигляд
На рис. 10.1 г зображено пару конічних зубчастих коліс які перебувають
у зачепленні. В таких передачах за аналогією з циліндричними розглядають
крім основних початкових і ділильних конусів про які вже говорилось
раніше ще конуси вершин і западин ((a — кут
западин). Як торцеві перетини розглядають перетини зубчастого колеса
поверхнями додаткових конусів тобто конусів осі яких збігаються з осями
коліс та їх твірні перпендикулярні до твірних ділильного конуса.
Відрізняють зовнішній і внутрішній додаткові конуси що обмежують зубчастий
вінець і визначають ширину зубчастого вінця b та середній додатковий
конус твірна якого ділить ширину зубчастого вінця b на дві рівні частини.
Всі геометричні параметри що належать зовнішньому торцевому перетину
конічних зубчастих коліс позначають індексом e внутрішнього — i
середнього — т довільного — х. У випадках що не викликають непорозумінь
допускається опускати індекс т. Відстані від вершини конусів О до твірної
відповідного додаткового конуса називають конусними відстанями які
позначають: Re — зовнішня конусна відстань Rm — середня конусна відстань і
т. д. Ширину зубчастого вінця в конічних колесах рекомендується приймати b
Як видно з рис. 10.1 г зуби конічних коліс мають різні розміри по
своїй довжині а тому крок модуль й інші параметри зуба в різних перетинах
мають різні значення вони зменшуються з наближенням до вершин початкових
Залежно від зміни розмірів осьового перетину зубів по довжині
розрізняють три форми зубів (рис. 10.2). Осьова форма зубів визначається
взаємним розташуванням твірних ділильного конуса конуса вершин і конуса
западин а також взаємним розташуванням вершин цих конусів.
Форма — зуби пропорційно знижуються (рис. 10.2 а) а вершини
ділильного та внутрішнього конусів збігаються. Висота ніжки зуба
пропорційна відстані перетину зуба від вершини конуса. Цю форму
використовують для конічних передач з прямими і тангенціальними зубами а
також обмежено для передач із круговими зубами при mn(2 I Z(= 20—100.
Форма II — зуби також знижуються (рис. 10.2 б в) але вершини
ділильного конуса та конуса западин не збігаються. У таких зубчастих
колесах ширина дна западин стала а товщина зуба на ділильному конусі
зростає пропорційно відстані від вершин. Ця форма дозволяє обробляти одним
інструментом відразу обидві поверхні зубів і є основною формою для коліс із
Форма III — рівновисокі зуби (рис. 10.2 г) твірні конусів ділильного
западин і вершин паралельні. Цю форму використовують для кругових зубів при
Для конічних прямозубих коліс із зубами форми звичайно вибирають
стандартні значення зовнішнього колового модуля mtе і задають розміри зубів
на зовнішньому торці на якому зручно виконувати вимірювання. зубчастого
Конічні зубчасті передачі у виготовленні та монтажі складніші ніж
циліндричні. Для нарізання коліс потрібні спеціальні верстати й інструмент.
Перетин осей валів утруднює розміщення опор. При цьому одне з конічних
коліс як правило розташоване консольно що приводить до збільшення
нерівномірності розподілу навантаження по довжині зуба. В конічному
зачепленні діють значні осьові сили що ускладнює конструкцію опор валів.
Все це приводить до того що несуча здатність конічної передачі становить
лише близько 085 % порівняно з циліндричною.
Але незважаючи на вказані недоліки конічні передачі досить широко
використовуються в техніці оскільки в конструкціях машин приладів
необхідно розташовувати вали під кутом.
Для передачі руху між осями що схрещуються досить широке поширення
одержали черв'ячні передачі які є різновидом передач гвинтовими колесами.
Найчастіше використовуються ортогональні передачі (з кутом схрещення (=
°). Якщо на одному з гвинтових коліс передачі зробити зуби під великим
кутом одержимо так званий черв'як а на другому (під малим кутом) —
черв'ячне колесо. Черв'як має форму одновиткового або багатовиткового
гвинта (рис. 10.4). Черв'ячне колесо яке з ним перебуває у зачепленні
має зуби утворені як огинаючі витки черв’яка. Черв’ячна передача в
перетині А—А черв'яка перпендикулярному до осі колеса нагадує передачу
шестерні з рейкою а в осьовому перетині Б—Б колеса перпендикулярному до
осі черв'яка — гвинтову передачу. Черв'ячне колесо можна собі уявити також
як деякий сектор довгої гайки обгорнутий навколо циліндричного тіла. Тому
черв'ячна передача має властивості як зубчастої так і гвинтової передач.
Як відомо робота останньої супроводжується значним відносним тертям
ковзання витків гайки та гвинта.
Широке застосування черв'ячних передач пояснюється їх значними
перевагами. Такі передачі:
* забезпечують великі передаточні відношення звичайно і12= 6—80 але
можливі передачі (для приводу наприклад поворотних столів металорізальних
верстатів) в яких і12 = 500 і навіть і12 = 1000;
* забезпечують безшумність у роботі та плавність зачеплення;
мають малі масу й габарити;
мають можливість самогальмування (при низьких ККД).
Основні недоліки черв'ячних передач викликані наявністю відносного
ковзання витків черв'яка і зубів черв'ячного колеса. До недоліків
черв'ячних передач слід віднести:
порівняно низький ККД особливо при малих швидкостях ковзання та великих
передаточних відношеннях;
значне нагрівання при роботі в машинах з безперервною дією що вимагає
додаткових пристроїв для охолодження;
значні втрати енергії на тертя через які черв'ячні передачі використовують
з обмеженими потужностями (звичайно не більше 100 кВт);
високу вартість матеріалу вінця черв'ячного колеса (як правило бронза
особливо для швидкохідних передач);
високу вартість різального інструмента для нарізання черв'ячних коліс
(спеціальні черв'ячні фрези) — для шліфування черв'яків потрібні спеціальні
верстати і складні пристосування.
Геометрія черв'ячних передач. У зв'язку з тим що черв'ячне колесо
нарізається фрезою яка є точною копією черв'яка геометричні параметри
черв'ячної передачі визначаються геометрією черв'яка. Вибір профілю
черв'яка визначається переважно експлуатаційними властивостями передачі та
технологічними міркуваннями. Розрізняють лінійчаті (гелікоїдні) і
нелінійчаті черв'яки. До лінійчатих відносять архімедові конволютні та
евольвентні черв'яки (рис. 10.5).
Архімедовий черв'як — це гвинт із нарізкою що має трапецеї-дний профіль
(трапецію) в осьовому перетині А—А (рис. 10.5 а). У торцевому перетині Г—
(рис. 10.5 г) витки окреслені по спіралі Архімеда. Ці черв'яки
застосовують досить широко як правило без шліфування оскільки для їх
шліфування потрібні круги складного профілю. Умовне позначення архімедової
черв'ячної передачі ZA.
Конволютний черв'як (ZN) має прямолінійний профіль западини (витка) в
нормальному перетині А—А або Б—Б (рис. 10.5 б) в торцевому перетині (рис.
5 г) профіль має вигляд видовженої (або вкороченої) евольвенти. Такі
черв'яки мають деякі технологічні переваги перед архімедовими (кращі умови
різання). два різновиди конволютних черв'яків: черв'як ZN1 з
прямолінійним профілем витка в перетині площиною А—-А нормальною до осі
симетрії витка і черв'як ZN2 з прямолінійним профілем витка в перетині
площиною Б—Б нормальною до осі симетрії западини на ділильному діаметрі.
Евольвентний черв'як (ZT) — це косозубе зубчасте колесо з малим числом
зубів і дуже великим кутом нахилу зубів (рис. 10.5 в). Профіль зуба в
торцевому перетині (рис. 10.5 г) окреслений евольвентою. Евольвентна
поверхня має прямолінійний профіль у перетині площиною В—В (або Д—Д) яка
дотикається до основного циліндра черв'яка тому евольвентні черв'яки можна
шліфувати плоским боком круга перетині площиною В—В (або Д—Д) яка
шліфувати плоским боком круга. Шліфовані черв'яки слід робити
Шліфуванням конволютних черв'яків конусними кругами з прямолінійними
твірними на звичайних різьбошліфувальних верстатах одержують нелінійчаті
бічні поверхні які досить близькі до поверхонь конволютних черв'яків.
Нелінійчаті циліндричні черв'яки бувають двох видів: утворені конусом і
Геометричні параметри черв'яка. Число зубів черв'яка z1 називають
числом заходів і вибирають його залежно від передаточного відношення і12.
Стандарт встановлює три значення z1: 1 2 4. Розрахунковим кроком р
черв'яка (див. рис. 10.4) є його осьовий крок (що вимірюється вздовж осі
черв'яка) йому відповідає осьовий модуль черв'яка т який для черв'ячного
Діаметр d1 ділильного циліндра черв'яка вибирають кратним осьовому модулю
де q — коефіцієнт діаметра черв'яка (q = d1m). Значення параметрів т q та
їх сполучення стандартизовані (ГОСТ 2144-76). Якщо коефіцієнт зміщення
твірного контуру інструмента при нарізанні черв'ячного колеса х( 0
початковий циліндр вже не збігається з його ділильним циліндром. У цьому
випадку діаметр початкового циліндра черв'яка визначається за формулою
dWi=m(q + 2x). (10.19)
Нахил гвинтової лінії витка на ділильному циліндрі (рис. 10.8 а)
визначається ділильним кутом підйому (. Кутом підйому гвинтової лінії
називають гострий кут між дотичною до гвинтової лінії на ділильному
циліндрі та [pic]площиною торцевого перетину черв'яка. На основі рис. 10.8
Тут рz1 — хід витка під яким розуміють відстань між однойменними осьовими
профілями одного витка вздовж твірної ділильного циліндра. Для
багатозаходових черв'яків (Z1 > 1) хід витка можна виразити через осьовий
крок черв'яка р (рис. 10.8 в): рz1 = рz1 де р = (т — крок черв'яка тобто
відстань між однойменними точками сусідніх витків уздовж твірної ділильного
циліндра що дорівнює торцевому кроку черв'ячного колеса на його ділильному
колі в середній площині черв'ячної передачі. Тоді
Геометричні параметри черв'яка обчислюються за формулами:
діаметр вершин витків
діаметр циліндра западин
h = m(2h*a +c*); (10.24)
s1 = р2 = (т2. (10.25)
Звичайно вибирають h*a =1с* = 02.
Геометричні параметри черв'ячного колеса. Оскільки черв'ячне колесо
нарізають фрезою що є копією черв'яка робоче зачеплення черв'ячної
передачі в середній площині є одночасно і верстатним зачепленням при
нарізанні черв'ячного колеса. Основні геометричні параметри черв'ячного
колеса в середньому перетині визначаються за формулами для евольвентної
циліндричної передачі:
діаметр ділильного кола (воно ж початкове)
діаметр кола вершин зубів
da2 =m(z2+2: (10.27)
діаметр кола западин
df2 = m(z2+2 (10.28)
h = m(2h*a +c() (10.29)
товщина зуба на ділильному колі
міжосьова відстань черв'ячної передачі
Коефіцієнт зміщення вихідного твірного контуру інструмента вибирають у
Мінімальні числа зубів колеса Z2min рекомендується вибирати такими: для
допоміжних кінематичних передач — 17— 18; в силових передачах — 26—28.
Оптимальним числом зубів колеса для силових передач є z2 = 32—63 (не більше
) для приводів столів великого діаметра Z2 доходить до 200—300 а в
окремих випадках — до 1000.
Кінематика черв'ячних передач. У черв'ячній передачі на відміну від
циліндричної або конічної зубчастих передач колові швидкості на початкових
колах черв'яка vl і колеса v2 (рис. 10.9) не збігаються: вони спрямовані
під кутом 90° і різні за значеннями оскільки початкові кола черв'яка й
черв'ячного колеса не перекочуються відносно один одного а проковзують.
Тому в черв'ячній передачі як і в передачі гвинтовими колесами
передаточне відношення не може бути виражене відношенням діаметрів
початкових кіл dw2 dw1 .
Передаточне відношення черв'ячної пари можна визначити якщо врахувати
що поступальна швидкість витків черв'яка vп дорівнює коловій
швидкості колеса v2(vn = v2)
Отже число заходів черв'яка виконує в черв'ячній передачі роль числа
зубів у циліндричних або конічних зубчастих передачах. Оскільки число
витків черв'яка може бути невеликим і часто дорівнювати одиниці то в одній
черв'ячній передачі можна одержати досить значні передаточні відношення.
Характерною особливістю роботи черв'ячних передач порівняно з іншими
зубчастими передачами є великі швидкості ковзання та несприятливі напрямки
ковзання відносно лінії контакту.
Швидкість ковзання vs спрямована вздовж дотичної до лінії витка (рис.
9) і визначається за формулою
де [pic]— колова швидкість (мс) черв яка на початковому
Оскільки кут підйому гвинтової лінії у не дорівнює нулю то швидкість
ковзання vs завжди більша від колової швидкості черв'яка (vs> v1). Крім
цього треба зазначити що напрямок швидкості ковзання не створює
сприятливих умов для утворення масляного клина в черв'ячній передачі шо
служить причиною зниженого ККД черв'ячної передачі підвищеного спрацювання
та схильності до заїдання.
Глобоїдні черв'ячні передачі. Несучу здатність черв'ячних передач можна
суттєво збільшити якщо і черв'як виконати глобоїдним (див. рис. 9.2 к). У
цьому разі збільшується число зубів у зачепленні й зведені радіуси
кривизни контактні лінії в зачепленні розміщені під більшим кутом до
напрямку швидкості ковзання що поліпшує умови утворення масляних клинів у
зачепленні. Несуча здатність глобоїдних передач при умові точного
виготовлення та необхідного охолодження приблизно в 15 раза більша ніж
передач із циліндричними черв'яками з лінійчатими робочими поверхнями.
Глобоїдні черв'ячні передачі в результаті малих габаритів а значить і
малої поверхні тепловіддачі дуже нагріваються тому їх використовують
переважно в повторно короткочасному режимі та із штучним охолодженням.
Використання глобоїдних передач ефективніше для великих моментів сил.
У сучасних машинах особливо в машинах-автоматах широко використовуються
механізми які дають змогу в межах робочого циклу мати вистій (зупинку)
вихідної ланки заданої тривалості при неперервному русі вхідної ланки. Такі
механізми дістали назву механізмів переривчастого руху або механізмів з
вистоєм (зупинкою). Для цього використовуються різні механізми: кулачкові
мальтійські храпові з неповнозубими колесами важільні та комбіновані
(зубчасто-важільні кулачково-важільні тощо). Найбільше поширення дістали
кулачкові механізми.
Кулачковими називають механізми до складу яких входить вища кінематична
пара одним з елементів якої є поверхня змінної кривизни. Ланку якій
належить елемент вищої кінематичної пари що виконаний у вигляді поверхні
змінної кривизни називають кулачком.
На рис. 7.1 а показано схему найпростішого триланкового кулачкового
механізму який складається з кулачка 1 штовхача 2 і стояка 0. Як правило
вхідною ланкою кулачкового механізму є кулачок 1 вихідною — штовхач 2. При
обертанні кулачка штовхач здійснює зворотно-поступальний рух.
Якщо вихідна ланка здійснює коливальний рух то її називають коромислом
інколи для простоти викладу — штовхачем. Коли радіус-вектор R що утворює
профіль кулачка зростає то штовхач 2 віддаляється від центра обертання А
і навпаки коли зменшується — штовхач наближається до центра обертання.
Якщо ж профіль кулачка накреслений дугою кола (радіусами r0 або rmax) то
штовхач буде нерухомим і одержимо його дальній (верхній) або ближній
(нижній) вистій. Приклад діаграми переміщень штовхача S залежно від часу
повороту кулачка t зображено на рис. 7.1 б де періоди руху штовхача
позначені так: tв — період віддалення; tд.с. — період дальнього стояння; tH
— період наближення; t6.c. — період ближнього стояння; Т — період руху
кулачка. Діаграму s = s(t) а також діаграми швидкостей v == v(t) або
прискорень а= а(t) називають законом руху штовхача (вихідної ланки)
кулачкового механізму (рис. 7.10).
Закон руху штовхача визначається профілем кулачка який є своєрідною
програмою роботи виконавчого органу механізму. Оскільки цей профіль може
бути різним то за допомогою кулачкових механізмів можна забезпечити майже
будь-який закон руху вихідної ланки. Це основна позитивна якість кулачкових
механізмів яка пояснює широке використання цих механізмів у техніці
особливо в складних машинах-автоматах де треба забезпечити узгоджений рух
багатьох виконавчих органів.
Водночас кулачкові механізми мають суттєві недоліки основним з яких є
наявність у них вищої кінематичної пари в якій дотик між ланками
відбувається в точці або по лінії. Тут виникають великі питомі тиски що
призводить до швидкого зносу стичних деталей особливо небезпечний знос
кулачка оскільки він забезпечує закон руху вихідної ланки і є більш
складнішою ланкою механізму. ншим недоліком таких механізмів є
необхідність забезпечувати постійне замикання ланок які утворюють
кінематичну пару. Але незважаючи на ці недоліки кулачкові механізми
(після зубчастих) є найбільш поширеними оскільки немає інших механізмів
які б давали такий великий практичний різновид законів руху вихідної ланки.
Основні типи кулачкових механізмів
Кулачкові механізми так само як і важільні або зубчасті можуть бути
плоскими і просторовими. На рис. 7.2 показано основні типи плоских
кулачкових механізмів на рис. 7.3 — просторових. У плоских механізмах усі
точки їх ланок рухаються в паралельних площинах у просторових — в різних
площинах. Найбільше поширення дістали плоскі кулачкові механізми хоча і
просторові особливо з кулачком у вигляді барабана (рис. 7.3 а б)
використовуються досить часто в різних машинах-автоматах як виконавчі
За видом руху кулачка та вихідної ланки кулачкові механізми поділяють в
основному на такі види:
а) механізми в яких обертовий рух кулачка перетворюєтьсяв зворотно-
поступальний рух вихідної ланки — штовхача(рис. 7.2 а—д рис. 7.3 а—г)
б) механізми в яких обертовий рух кулачка перетворюєтьсяв зворотно-
обертовий (коливальний) рух вихідної ланки — коромисла (рис. 7.2 є є з
в) механізми в яких зворотно-поступальний рух кулачка перетворюється в
зворотно-поступальний рух (рис. 7.2 і) вихідноїланки;
г) механізми в яких коливальний рух кулачка перетворюється в зворотно-
поступальний (рис. 7.2 і) або коливальний(рис. 7.2 й) рух вихідної ланки;
д) механізми в яких обертовий рух кулачка перетворюєтьсяв складний рух
вихідної ланки 2 (рис. 7.2 ж);
є) механізми в яких обертовий рух кулачка перетворюється в
односторонній обертовий рух вихідної ланки (рис. 7.3 є);
є) механізми в яких складний рух кулачка перетворюється в зворотно-
поступальний або коливальний рух вихідної ланки (рис. 7.3 є ж з).
Вихідні ланки в кулачкових механізмах можуть мати різні форми елементів
вищої пари тобто тих частин ланок якими вони стикаються з кулачком. Форма
цих частин може бути загостреною (рис. 7.2 а) плоскою (рис. 7.2 г є)
циліндричною або сферичною (рис. 7.2 д). Кулачкові механізми із
загостреним штовхачем (коромислом) використовуються дуже рідко оскільки
вони мають малу зносостійкість. їх можна застосовувати лише при малих
швидкостях і незначних навантаженнях. Вищу несучу здатність мають
циліндричні (сферичні) та плоскі штовхачі але вони також не забезпечують
високої зносостійкості через наявність тертя ковзання у вищій парі (парі
кулачок—штовхач). На практиці для усунення тертя ковзання у вищій парі
вводять проміжну ланку — ролик 3 (див. рис. 7.2 б в є ж—й). Оскільки
обертання ролика навколо своєї осі не впливає на кінематику передачі руху
від кулачка до вихідної ланки то кулачкові механізми які складаються зі
стояка кулачка ролика і вихідної ланки називають триланковими (а не
чотириланковими). При структурному аналізі таких механізмів ролик можна не
враховувати оскільки він створює зайвий ступінь вільності.
При дослідженні кулачкового механізму з роликовим штовхачем (коромислом)
можна завжди дійсний (практичний) профіль кулачка замінити теоретичним
(центровим) який віддалений від дійсного профілю кулачка на радіус ролика
(рис. 7.2 б). Теоретичний профіль кулачка можна уявити як траєкторію
центра ролика З при його обкочуванні навколо кулачка 1. Будь-які точки цих
двох профілів рівновіддалені одна від одної вздовж спільної нормалі до
кривих які називають еквідистантними. Заміна дійсного профілю кулачка на
теоретичний не змінює кінематичного змісту кулачкового механізму тобто не
змінює характеру відносного руху основних ланок механізму (кулачка і
штовхача) але дуже зручна при аналізі та синтезі кулачкових механізмів.
У деяких випадках вісь штовхача необхідно змістити в той чи інший бік
відносно осі обертання кулачка (рис. 7.2 в) на величину е яку називають
зміщенням або ексцентриситетом. Кулачковий механізм у такому разі
називають зміщеним кулачковим механізмом. Зміщення штовхача є дещо впливає
на закон руху вихідної ланки дає змогу при однакових інших умовах
зменшити розміри кулачка та боковий тиск штовхача на напрямну.
Просторові кулачкові механізми частіше бувають з циліндричним пазовим
(рис. 7.3 а б є) або торцевим (рис. 7.3 г з) кулачком рідше — з
конічним пазовим (рис. 7.3 в) або торцевим сферичним (рис. 7.3 д)
кулачком. Для одержання переривчастого обертового руху може
використовуватися просторовий кулачковий механізм з пазовим циліндричним
кулачком 1 який по черзі взаємодіє з роликами 3 вихідної ланки 2 (рис.
На рис. 7.3 є—з зображені приклади кулачкових механізмів які мають два
ступені вільності. Такі механізми використовуються переважно в
обчислювальних пристроях для механічного знаходження функцій двох змінних.
У кулачковому механізмі зображеному на рис. 7.3 є вхідна ланка (кулачок)
має два незалежних поступальних рухи. Вихідну ланку в таких механізмах
іноді називають щупом. Проте більшого поширення дістали механізми в яких
кулачок може обертатися навколо своєї осі і переміщатися вздовж неї. Такі
кулачки називаються коноїдними (рис. 7.3 ж). ноді для одержання руху з
двома ступенями вільності використовується просторовий механізм з торцевим
кулачком (рис. 7.3 з).
Тип кулачкового механізму вибирають залежно від задачі синтезу яка
звичайно містить у собі дані про бажаний вид руху вихідної ланки
(поступальний коливальний складний) закони руху кулачка а також деякі
розміри ланок кулачкового механізму.
Замикання ланок кулачкового механізму
Для забезпечення постійного дотику вихідної ланки і кулачка
використовується силове або геометричне замикання-. При силовому замиканні
постійний контакт ланок забезпечується як правило дією пружини 4 (рис.
4 а б) рідше для цієї мети застосовуються сили тяжіння тиск рідини
тощо. Силове замикання конструктивно виконується досить просто. Проте воно
має ряд недоліків зокрема: а) сили пружності пружини створюють додаткові
навантаження на ланки механізму; б) швидкість обертання кулачка повинна
бути не більшою від розрахун-
кової оскільки сила пружності пружини в будь-який періодруху повинна бути
більша від сили інерції що діє на штовхача сила інерції залежить від
швидкості руху кулачка і не залежить від пружності пружини.
Для усунення недоліків силового замикання в кулачкових механізмах
використовується геометричне замикання ланок. Але і такий вид замикання
має суттєвий недолік оскільки під час роботи механізму в результаті зміни
напрямку сил інерції що діють на штовхач ролик стикається то з
зовнішньою то з внутрішньою поверхнею паза що призводить до зносу
(розбивання) паза та до збільшення зазорів а значить і до появи ударів у
кулачковому механізмі.
Основні параметри кулачкових механізмів
Незважаючи на те що профіль кулачка можна обкреслити по-різному в
більшості випадків на ньому можна знайти чотири характерні ділянки які
накреслені (рис. 7.5 а): на ділянці ab — зростаючим радіусом-вектором be
— дугою максимального радіуса rmax cd — спадним радіусом-вектором da —
дугою кола мінімального радіуса r0 яке називають основним. Кожній з цих
ділянок відповідає центральний кут профілю кулачка ([pic]) а при обертанні
кулачка в напрямку показаному на рис. 7.5 а — певний період руху штовхача
: ділянці ab відповідає період віддалення be — період дальнього
(верхнього) стояння tд.с.; cd — період наближення da — період ближнього
(нижнього) стояння tбс.
Положення радіуса-вектора профілю кулачка на початку віддалення вихідної
ланки (лінія Аа) визначає положення так званої початкової лінії кулачка
яка є базою для установки кулачка на валу.
Кути повороту кулачка що визначають відповідні періоди руху штовхача
називають фазовими кутами. На рис. 7.5 вони позначені: (в — кут віддалення
(дс — кут дальнього стояння (н — кут наближення (6с — кут ближнього
стояння. У центральних кулачкових механізмах (рис. 7.5 а) фазові кути та
кути профілю кулачка відповідно рівні між собою ([pic]) У кулачкових
механізмах зі зміщенням такі рівності не зберігаються тобто фазові кути й
кути профілю кулачка не рівні між собою.
Тривалість періодів руху штовхача яка визначається технологічними
умовами роботи кулачкового механізму а відповідно і значення фазових кутів
можуть бути різними причому періодів ближнього і дальнього стояння може не
бути проте в будь-якому кулачковому механізмі обов'язково мають бути
періоди віддалення та наближення.
Очевидно що сума періодів руху вихідної ланки (штовхача або коромисла)
дорівнює періоду обертання кулачка Т тобто
а сума фазових кутів дорівнює 360°:
Максимальний хід штовхача для центрального кулачкового механізму
визначається різницею найбільшого і найменшого радіусів кулачка:
У зміщених кулачкових механізмах (е ( 0) ця рівність не зберігається
Кінематичний аналіз кулачкових механізмів
Задача кінематичного дослідження полягає в тому щоб при заданих профілю
кулачка та розмірах інших ланок механізму встановити закон руху вихідної
ланки (штовхача або коромисла) тобто знайти залежність переміщень
швидкостей і прискорень вихідної ланки від часу або кута повороту кулачка.
При цьому можуть використовуватись графічні аналітичні або
експериментальні методи. Цю задачу можна розв'язати також графоаналітичним
методом — побудовою планів швидкостей і прискорень з використанням замінних
механізмів (див. параграф 2.7). Але це дуже трудомісткий процес.
Найпростішим є графічний метод який розглянемо далі.
На рис. 7.9 зображено в масштабі (l центральний кулачковий механізм із
загостреним штовхачем який встановлено так що вістря штовхача знаходиться
на початку профілю віддалення (точка B0). Для визначення переміщення
штовхача залежно від положення кулачка можна було б скористатися звичайним
способом як це робили при дослідженні важільних механізмів тобто
повернути кулачок на заданий кут ( (таке положення кулачка зображено
штриховою лінією) і знайти точку перетину лінії руху штовхача з профілем
кулачка (точка В1) яка визначає нове по ложення кінця штовхача. Відрізок
s1 = В0В1 є переміщенням штовхача при повороті кулачка на кут (. Проте така
побудова складна й неточна оскільки вимагає додаткової побудови складного
профілю кулачка. Особливо це важливо коли треба вести дослідження за весь
цикл руху. У цьому разі довелось би будувати цілий ряд профілів кулачка.
Задача значно спрощується якщо використати так званий метод оберненого
руху (метод інверсії) який дає змогу досить просто визначити відносне
переміщення ланок механізму без додаткового накреслення кулачка.
Для цього всьому кулачковому механізму разом зі стояком (рис. 7.9) умовно
надаємо обертання навколо осі А з кутовою швидкістю (1 кулачка 1 тільки в
напрямку протилежному його власному обертанню тобто зі швидкістю -(1.
Відносний рух ланок від цього не зміниться але тоді кулачок відносно
нерухомих осей координат стане нерухомим а штовхач здійснить два рухи: 1)
разом зі стояком (напрямними штовхача) обертатиметься навколо осі обертання
кулачка А; 2) поступальний зі своїми напрямними за характером такий самий
як і був у дійсному русі оскільки вістря штовхача рухається за цим самим
профілем кулачка. Тому замість того щоб повертати кулачок на заданий кут
[pic] слід повернути штовхач на цей самий кут ( але в протилежному
напрямку. Лінія руху штовхача (рис. 7.9) займе положення АВ(1.
Точки перетину В(1 цієї лінії з профілем кулачка визначають положення
вістря штовхача в оберненому русі.
Для визначення дійсного положення кінця штовхача досить радіусом А В(1
зробити засічку на дійсній лінії руху штовхача. Одержана точка В1 визначає
дійсне положення кінця штовхача а відрізок В0В1 — його переміщення яке
можна виміряти і на лінії А В(1 положення осі штовхача в оберненому русі
віднявши від її довжини мінімальний радіус кулачка тобто
де (i = А В(1 — відстань точки В(1 дотику вістря штовхача з профілем
кулачка в оберненому русі від центра обертання кулачка. Для побудови
діаграми переміщень (рис. 7.10 б) покладаємо швидкість обертання кулачка
(1 = const і будуємо ряд положень штовхача в оберненому русі (на рис.
10 а — це шість положень для періоду віддалення і шість — для періоду
наближення) поділивши фазові кути (в і (н на рівні частини у даному
випадку на шість рівних частин одержуємо точки 1 2 3 і т. д. Провівши
через ці точки з центра обертання кулачка прямі до перетину з профілем
кулачка одержимо положення осі штовхача (A1(( А2" A3" і т. д.) та його
вістря (точки 1" 2" З" і т. д.) у відповідних положеннях оберненого руху
а тоді користуючись залежністю (7.4) знайдемо дійсні переміщення
штовхача. Це можна зробити графічно провівши дуги [pic] і т. д.
Залишається перенести ці переміщення на відповідні ординати діаграми
переміщень s = s(t) або s = s(() (рис. 7.10 б). При побудові цієї діаграми
на осі ординат відкладають у масштабі переміщення si на осі абсцис — час t
або кут повороту кулачка (. Для простоти побудови можна зберегти масштаб
довжини (t і на діаграмі переміщень прийнявши [pic]. Тоді ординати 11(
' 33' і т. д. будуть відповідно дорівнювати відрізкам 01( 02' 03' і т.
д. на схемі кулачкового механізму. Відрізки на осі абсцис які відображають
періоди віддалення та наближення так само як на кулачку ділять на шість
рівних частин. Для зручності побудови вісь абсцис діаграми s = s(t)
проводять так щоб її напрямок проходив через початкове положення 0 вістря
штовхача. Відрізок 0—14 який позначимо L відображає період руху кулачка Т
або 360°. Тоді масштаб діаграм буде таким: переміщень (ммм)
де Sma утах — максимальна
ордината на діаграмі переміщень.
З'єднавши неперервною плавною кривою лінією кінці всіх ординат одержимо
діаграму переміщень s = s(() або s = s(t). Перша частина кривої 0—6' яка
зростає характеризує період віддалення друга — 6'—7' паралельна осі
абсцис — період дальнього стояння третя — 7'—13' яка спадає — період
наближення і нарешті четверта 13—14 що збігається з віссю абсцис — період
ближнього стояння. Як уже відзначалось існування другої і четвертої
ділянок на профілі кулачка не обов'язкове.
Діаграми швидкостей v(t) чи v(() (рис. 7.10 в) прискорень а = (t) чи
а = а (() (рис. 7.10 г) можна одержати методом графічного диференціювання
. Для аналітичного визначення швидкості та прискорення руху штовхача треба
мати аналітичну залежність переміщень s = s(t). У кулачкових механізмах зі
зміщенням напрямок траєкторії руху штовхача зміщений відносно осі на
величину e (див. рис. 7.2 в). Побудову положень штовхача в оберненому русі
такого механізму розглянемо далі при синтезі кулачкових механізмів. Це
стосується й інших типів кулачкових механізмів.
З аналізу рис. 7.10 а б можна сформулювати порядок розв'язання
оберненої задачі — синтезу кулачкового механізму за заданим законом руху
кулачка. Очевидно що побудова профілю кулачка — а це основна задача
кінематичного синтезу механізму — буде виконуватись у зворотному напрямку s
Закони руху вихідної ланки
Під законом руху вихідної ланки кулачкового механізму розуміють залежність
між переміщеннями вихідної ланки та часом інколи закон руху вихідної ланки
задають залежностями швидкості або прискоренням цієї ланки від часу. Тоді
інтегруючи останні можна перейти до залежності переміщень від часу.
Якщо кулачок обертається рівномірно ((1 = const) то закон руху вихідної
ланки можна записати як функцію кута ( повороту кулачка.
Вибір закону руху вихідної ланки є одним із найвідповідальніших і як
правило найскладніших етапів при проектуванні кулачкових механізмів
оскільки закон руху визначає динаміку роботи механізму (а інколи і всієї
машини) та якість виконання технологічного процесу. Теоретично кулачкові
механізми можуть забезпечувати різноманітні закони руху але на практиці
користуються лише тими які забезпечують просту технологію обробки профілю
кулачка та задовольняють кінематичні і динамічні вимоги до кулачкових
Найпростішим законом зміни переміщень s — s(t) є лінійний закон руху
при якому штовхач здійснює рівномірний рух (v =const a = 0).
При кінематичному синтезі кулачкових механізмів мають бути задані або
вибрані з технологічних і конструктивних міркувань такі вихідні дані:
закон руху кулачка (як правило вважають що кулачок обертається
рівномірно тобто (1 = const);
) закон руху вихідної ланки;
максимальний хід штовхача Sma
) мінімальний радіус кулачка
) радіус ролика rрол;
) інші розміри (ексцентриситет e довжина коромисла lктощо).
Задачу можна розв'язувати графічним або аналітичним способом. За
допомогою аналітичних методів при використанні ЕОМ досить швидко і з
високою точністю можна здійснити громіздкі обчислення параметрів кулачкових
Центральний кулачковий механізм
з роликовим штовхачем
Графічний спосіб. Побудова профілю кулачка здійснюється в такій
послідовності (рис. 7.14).
З центра обертання кулачка А проводимо основне коло радіусом r0.
З точки 0 перетину основного кола з лінією руху штовхача відкладаємо
вгору максимальний хід штовхача Smax. У даному випадку Smax визначається в
масштабі побудови (l відрізком 06'.
Радіусом rтaх = А6' проводимо коло максимального радіуса теоретичного
Згідно із заданим законом руху штовхача будуємо в масштабі (s=l
діаграму переміщень штовхача s = s([pic]). Для зручності побудови профілю
кулачка бажано щоб вісь абсцис φ проходила через точку 0 яка визначає
положення вістря штовхача на початку періоду віддалення. Тоді ординати 11'
' 33' і т. д. безпосередньо визначають положення вістря штовхача у
відповідних положеннях кулачкового механізму (01' 02' 03' і т. д.).
Залежно від необхідної точності побудови кулачка періоди віддалення і
наближення на діаграмі s = s(φ) ділять на відповідну кількість проміжків
часу (на рис. 7.14 ці періоди розділено на шість однакових частин).
Ділимо кути віддалення φв і наближення φн на таку кількість однакових
частин як і на діаграмі s = s(φ). Через одержані точки 1 2 3 і т. д.
проводимо промені які в оберненому русі визначатимуть положення осі
Знаючи дійсні положення вістря штовхача (точки 0 1 2' і т. д.) дуговими
засічками з центра А обертання кулачка знаходимо відповідні положення
вістря штовхача в оберненому русі (точки 0 1" 2' 3" і т. д.). З'єднавши
ці точки плавною кривою одержимо теоретичний (центровий) профіль кулачка
для періодів віддалення і наближення. Профілі кулачка для періодів
дальнього і ближнього стояння будуються дугами кола відповідно радіусами
Для побудови практичного (дійсного) профілю кулачка з різних точок
теоретичного профілю кулачка (чим більше точок тим точніше побудуємо
профіль) проводимо дуги кола радіусом ролика rрол. Ці дуги показують
положення ролика в оберненому русі. Тоді провівши огинаючу дотичну криву
до цих положень ролика дістанемо практичний профіль кулачка. Для періодів
вистою практичний профіль кулачка описується дугами кола радіуси яких:
(rmax-rрол) — для періоду дальнього стояння і (r0 -rрол) — для періоду
Визначення центра кулачка і його мінімального радіуса з урахуванням
Теорема пряма. Якщо в контактній точці штовхача з кулачком
перпендикулярно до осі штовхача в напрямі кутової швидкості кулачка (при
віддалянні штовхача) відкласти відрізок і кінець цього відрізка з ’єднати
прямою з центром обертання кулачка то ця пряма утворить з цим відрізком
кут передачі тобто кут 90° - γ. Рyx точки штовхача можна уявити як
переносний разом з точкою кулачка і відносний відносно кулачка. Тоді
швидкість точки штовхача дорівнюватиме геометричній сумі переносної і
Обернена теорема. Якщо відома величина відрізка то відклавши її
перпендикулярно до штовхача а отже і перпендикулярно до його швидкості
вправо при обертанні кулачка за годинникової стрілкою і підйомі штовхача (і
навпаки) а потім в кінці його побудувати кут передачі 90° - γ то його
сторона пройде через центр кулачка
Для побудови теоретичного профілю кулачка аналітичним способом
необхідно визначити полярні координати точки В профілю кулачка (рис. 7.15)
тобто радіус Rі= АВі і кут φі. Кут φі задають а радіус Rі обчислюють за
такою очевидною формулою:
де si = akiSmax визначається законом руху штовхача.
Кути тиску і передачі коефіцієнти зростання сил і корисної дії
При проектуванні механізмів треба враховувати можливість їх руху під дією
прикладених сил з можливо більшим ККД. Використання цих умов значною мірою
залежить від вибраних розмірів та форм ланок механізму. Працездатність
кулачкового механізму залежить від мінімального радіуса кулачка. Так при
досить малому радіусі r0 кулачка може настати заклинювання штовхача в
напрямній або на кулачку. Це пояснюється невигідними співвідношеннями сил
що діють між кулачком і штовхачем. При іншій крайності тобто при занадто
великих розмірах кулачка може цього не бути але весь механізм матиме
більші габарити і вагу ніж це викликається необхідністю. Тому слід у всіх
випадках поєднувати кінематичний синтез механізмів з динамічним тобто з
урахуванням сил що діють на ланки.
Розглянемо кулачковий механізм із загостреним штовхачем (рис. 7.25 а).
Якщо не враховувати тертя у вищій парі В то під час роботи з боку кулачка
на штовхач 2 діє сила (реакція) R21 яка буде збігатися з нормаллю п—п
проведеною до профілю кулачка в точці В. Ця сила має подолати всі зовнішні
сили FΣ що діють на штовхач включаючи сили тертя які виникають у
напрямних штовхача. Розкладемо силу R21 на дві складові: R'21 — напрямлену
вздовж осі штовхача R"21 — перпендикулярно до цієї осі. Складова R'21
приводить штовхач у рух складова R"21 відхиляє штовхач від його осі і
притискає до напрямних викликаючи сили тертя Ffc і FfD які будуть також
напрямлені проти руху штовхача.
Як відомо робота рушійної сили Fp на деякому шляху si становитиме
де [pic] — кут між напрямком сили Fp і напрямком переміщення точки
прикладання цієї сили.
З рівняння (7.30) випливає що чим менший кут [pic] тим більша робота
виконується силою Fp = R21 яка очевидно буде максимальною при [pic] = 0.
Звичайно в механізмах кут [pic] не дорівнює нулю внаслідок чого тільки
одна складова R'21 = R21cos [pic] використовується для надання руху
великих значеннях кута [pic] друга складова R"21 = R2l sin[pic] може
такі сили тертя в напрямній що настане заклинювання.
Гострий кут [pic]між напрямком дії сили і напрямком переміщення штовхача
називають кутом тиску. Для забезпечення нормальної роботи кулачкового
механізму необхідно щоб кут тиску в будь-якому положенні механізму був
меншим допустимого значення [pic]доп тобто витримувалась умова
Дуже часто користуються іншим поняттям — кутом передачі руху або просто
кутом передачі. В кулачкових механізмах під кутом передачі розуміють
гострий кут між напрямком абсолютної va і відносної vr швидкості штовхача.
Абсолютна швидкість штовхача напрямлена вздовж лінії його руху відносна —
по дотичній tt що проведена до профілю кулачка в точці дотику В. Легко
переконатися що цей кут дорівнює куту який утворюють між собою сила
R21 складова R"21. Отже кут передачі
= 90° - [pic] (7.32)
оскільки + [pic]= 90° (див. рис. 7.25 а).
Для виведення залежності кута [pic] тиску від геометричних параметрів
кулачкового механізму побудуємо повернутий на 90° у бік обертання кулачка
план швидкостей механізму в заданому положенні. Швидкість точки В1 яка
належить кулачку 1 і в даний момент збігається з точкою В обчислюється за
формулою vB1=1lAB і напрямлена перпендикулярно до радіуса АВ.Швидкість
точки В2 яка належить штовхачу 2 і в даний момент також збігається з
точкою В напрямлена вздовж осі штовхача і визначається з такого векторного
де vB2B1 — відносна швидкість вістря штовхача відносно профілю кулачка
напрямлена вздовж дотичної t—t.
Динамічний синтез кулачкових механізмів
Основною задачею динамічного синтезу кулачкових механізмів є визначення
мінімального радіуса кулачка. Розглянемо методику динамічного синтезу для
найбільш розповсюджених кулачкових механізмів.
Кулачковий механізм із загостреним або роликовим штовхачем
Для усунення заклинювання в кулачкових механізмах необхідно забезпечити
відповідну залежність між їх геометричними і кінематичними параметрами.
Такими параметрами з одного боку є мінімальний радіус кулачка r0 і
зміщення e; з іншого — переміщення sB2 аналоги швидкостей s'B2 штовхача
та кути тиску [pic]. Останні три параметри (sB2 s'B2 [pic]доп ) як
правило визначаються за технологічними умовами роботи кулачкового
механізму і за вибраним законом руху штовхача а тому для забезпечення
умови (7.31) необхідно відповідним чином вибрати мінімальні радіуси кулачка
r0 і зміщення e. нколи і зміщення e визначається умовами компоновки
кулачкового механізму і не може бути змінене конструктором. Цю задачу
синтезу можна розв'язувати графічним або аналітичним способом.
Графічним способом мінімальний радіус кулачка можна визначити якщо
побудувати криву s' = s'(s) залежності аналогів швидкостей штовхача s' =
s'B2 від його переміщень s = sB2 (рис. 7.26 а). Осі діаграми розташовують
відповідно з повернутим планом швидкостей (див. рис. 7.25 а) тобто вісь s
напрямляємо вгору значення s' відкладаємо вздовж осі абсцис причому якщо
кулачок обертається проти руху годинникової стрілки то s' відкладають
вліво на фазі віддалення (s' > 0) і вправо - на фазі наближення. Масштабні
коефіцієнти s i s' повинні бути рівні між собою і дорівнювати масштабному
коефіцієнту довжини l.
Для визначення значень переміщень штовхача та їх аналогів швидкостей і
прискорень можна використати безрозмірні коефіцієнти (інваріанти)
переміщень аk швидкості bk і прискорення сk.
Маємо для періоду віддалення:
Для періоду наближення також користуються формулами (7.47) (7.48) в які
замість кута віддалення φВ підставляють кут наближення φН та змінюють знак
аналогів швидкостей на протилежний. При цьому бeзрозмірні коефіціенти k за
період віддалення (k = φi φв) змінюються від 0 до 1 за період
наближення (k = φi φн) навпаки — від 1 до 0 де φi — кути повороту
кулачка які відраховують від початку відповідного періоду руху (віддалення
На рис. 7.26 б в г наведено приклад діаграм переміщень s = я(ф)
аналогів швидкостей s' = л"(ф) та прискорень s" = 5"(ф) при косинусоїдному
законі руху штовхача. Ці діаграми можна побудувати використавши залежності
(7.47) (7.48) або графічним інтегруванням діаграми s' = s(φ) як це
зображено на рис. 7.26 в г. Крок відносного часу k прийнято к = 16 що
відповідає кроку кута φ для періоду віддалення φв = φв 6 для періоду
наближення — φн = φн 6.
Масштаби побудови визначаються звичайним способом:
для коромисла (радмм)
де всі параметри в квадратних дужках позначають на діаграмах відрізки (в
мм) які зображають відповідні дійсні параметри (переміщення або аналоги
швидкостей і прискорень).
На підставі одержаних діаграм s = s(φ) і s'= s"(φ) побудовано діаграму s'
= s'(s). Коли масштаби діаграм переміщень s i аналогів швидкостей [pic]
збігаються то можна використати допоміжну лінію яку проводять через точку
' під кутом = arctg(s[pic]).Коли кулачок обертається проти руху
годинникової стрілки то знак кута треба змінити на протилежний.
Виберемо центр обертання кулачка А на продовженні осі s діаграми s' =
s'(s). Тоді для будь-якої точки bг цієї діаграми пряма Аb2 утворює з віссю
s кут тиску [pic]. Максимальне значення кута тиску дістанемо в тому
випадку коли пряма Аb2 буде дотичною до діаграми s' = s(s). Проводимо під
кутом [pic]доп дотичні — і ' — ' які визначають зону (на рисунку
заштрихована) в якій вибравши центр обертання кулачка забезпечимо в будь-
якому положенні умову (7.31) тобто усунемо заклинювання кулачка. Точка А0
перетину цих дотичних визначає положення осі обертання кулачка який має
найменший допустимий мінімальний радіус-вектор r0:
де l — масштаб довжини ([pic]).
Для центрального кулачкового механізму (e = 0) центр обертання кулачка
треба вибрати на осі s у заштрихованій зоні (не вище точки А'). Як правило
центр обертання кулачка вибирають дещо нижче граничних точок А' А1 A2
щоб забезпечити нерівність [pic].
При силовому замиканні вказані побудови виконують лише для періоду
віддалення коли як правило треба перемагати лише дію сил корисного
опору пружини інерції.
У період наближення штовхач стає ведучою ланкою і під дією пружини
повертається в найближче до центра кулачка положення тобто в період
наближення заклинювання кулачкового механізму не буває.
Завдання динаміки машин
Проектування нових машин супроводжується розрахунком їх елементів
на міцність: розміри ланок установлюються залежно від сил що діють на і
від режиму та умов роботи машини. Якщо в розділі кінематики і синтезу
враховувалася лише довжина ланок то при розрахунках міцності треба
визначити їх переріз що не можна зробити без попереднього визначення сил
які діють на ланки машини і тільки з урахуванням матеріалу ланки та
допустимих напружень визначаються розміри ланки у тривимірному просторі.
Отже перше завдання динаміки машин – це вивчення і визначення сил що
діють на ланки машини.
Спроектувавши машину треба оцінити її якість щодо використання
підведеної до неї енергії. Таку оцінку можна зробити за співвідношенням
роботи сил що діють у машині визначивши ККД як відношення роботи сил
корисного опору до роботи рушійних сил. Це друге завдання динаміки. Третє
одне з найскладніших завдань динаміки – вивчення справжніх законів руху
Четвертим завданням динаміки машин є визначення та зрівноваження
реакцій у кінематичних парах зменшення їх величин що дасть змогу понизити
матеріалоємність втрати на тертя знос ланок подовжити строк експлуатації
Одною з важливих задач динаміки механізмів і машин є задача про
визначення найвигідніших співвідношень сил мас і швидкостей ланок
механізмів які забезпечують заданий режим руху механізму або машини.
У загальному випадку швидкості початкової ланки механізму при усталеному
русі механізму є змінними величинами. Коливання швидкостей цієї ланки
спричиняють у кінематичних парах додаткові динамічні тиски що знижують
загальний ККД машини і надійність її роботи. Крім цього такі коливання в
ланках механізмів і машин небажані з точки зору як міцності цих ланок так
і втрати потужності витраченої на ці пружні коливання. Нарешті коливання
швидкостей можуть погіршити той технологічний процес який виконує машина.
Коливання швидкостей початкової ланки за час усталеного руху бувають
двох різних типів. Справді як було встановлено вище у більшості машин
тільки за повний цикл усталеного руху робота рушійних сил дорівнює роботі
сил опору. Всередині ж циклу немає рівності цих робіт і отже початкова
ланка машини рухається всередині циклу нерівномірно. Оскільки через кожний
повний цикл часу усталеного руху кінетична енергія машини набуває
початкового значення то очевидно що швидкості початкової ланки машини
також періодично повторюватимуться з тим самим періодом. Такі коливання
швидкостей назвемо періодичними.
Отже періодичними коливаннями швидкостей машини називаються коливання
при яких швидкості всіх ланок машини в усіх їхніх положеннях мають цілком
певні цикли після закінчення яких ці швидкості набувають щоразу своїх
Крім періодичних коливань швидкостей у машині можуть бути і неперіодичні
коливання швидкостей що залежать від різних причин: раптової зміни
корисних або шкідливих опорів включення в машину додаткових мас і
т. п. Така раптова зміна навантаження на машину спричиняє раптове
збільшення або зменшення швидкості головного вала машини і оскільки ці
коливання не мають певного циклу то такі коливання швидкості машини
назвемо неперіодичними. У більшості машин спостерігаються обидва види
Коливання швидкості під час усталеного руху можуть досягти такої
величини яка неприпустима з точки зору забезпечення всіх належних умов
роботи машини. Тоді може виникнути питання про регулювання у наперед
заданих межах величини цих коливань. Задача про регулювання швидкостей під
час усталеного руху машини або механізму має велике значення в техніці
оскільки в більшості машин цей час є робочим часом її руху тобто проміжком
часу протягом якого машина долає виробничі опори.
ДОСЛДЖЕННЯ РУХУ МАШИННОГО АГРЕГАТУ
Основні форми рівняння руху
Під машинним агрегатом розуміється сукупність механізмів двигуна
передавальних механізмів і механізмів робочої машини. Прикладами машинних
агрегатів можуть бути поршневий двигун внутрішнього згорання і поршневий
насос електродвигун і кривошипний прес для обробки металів тиском
електродвигун і ротаційний насос поршневий двигун внутрішнього згорання і
генератор електричного струму і т.д.
Рушійні сили і сили виробничих опорів можуть залежати одночасно або
роздільно від положення ланки вибраної за те що веде і від кутової
швидкості цієї ланки. Наприклад в машинному агрегаті з поршневим двигуном
і поршневим насосом рушійні сили і сили виробничих опорів залежать від
положення провідних ланок.
У машинному агрегаті електродвигун - кривошипний прес для обробки металів
тиском рушійні сили залежать від кутової швидкості і можуть бути
представлені у вигляді відповідної механічної характеристики . Для пресу
опір є функцією положення його провідної ланки. У машинному агрегаті
електродвигун - ротаційний насос рушійна сила і сила виробничого опору
залежать від кутової швидкості провідних ланок. Нарешті для машинного
агрегату поршневий двигун внутрішнього згорання - генератор електричного
струму рушійна сила може зважати на достатню точність залежної тільки від
положення провідної ланки а сила виробничого опору - від кутової швидкості
валу генератора і т.д.
Приведені моменти інерції Jп машинного агрегату можуть бути або
постійними або ж залежними від положення провідної ланки. Так у
електродвигуна з ротаційним насосом генератором електричного струму і т.д.
приведений момент інерції Jп постійний (Jп = const). У кривошипного преса
поршневого двигуна внутрішнього згорання строгального верстата і т.д.
приведений момент інерції Jп залежить від кута повороту провідної ланки
Приведена маса mп або приведений момент інерції Jп очевидно постійні
для всіх машин і механізмів для яких передавальні відносини постійні.
М + Мпоч + Мпер = 0. (16.13)
Рівняння (16.13) є рівняння динамічної рівноваги ланки приведення до
якого прикладений зовнішній момент М і моменти Мпоч і Мпер сил інерції
ланок в початковому і перманентному рухах.
Таким чином при динамічному дослідженні механізму можна і не
користуватися поняттям приведеної маси або приведеного моменту інерції а
визначати моменти Мпоч і Мпер від сил інерції приводячи сили інерції
ланок знайдені в умовах перманентного і початкового рухів до вибраної
Динамічна модель машинного агрегату
Механізм машинного агрегату звично является багатоланковою системою
навантаженою силами і моментами прикладеними до різних її ланок. Щоб краще
уявити собі це розглянемо як приклад силову установку в якій двигун
внутрішнього згорання (ДВЗ) приводить рух через зубчату передачу вал
споживача механічної энергії тобто робочої машини (мал. 4.6 а). Хай таким
споживачем буде електрогенератор або вентилятор або відцентровий насос
або яка-небудь інша робоча машина. [pic]I
До поршня 3 прикладена рушійна сила Fр до ротора 4 робочої машини -
момент опору Мрм до всіх ланок - сили тяжіння у всіх кінематичних парах
діють сили тертя. Якщо ДВЗ має декілька циліндрів то число рухомих ланок
буде вже більше чотирьох. При цьому на кожен поршень діятиме рушійна сила
так що картина навантаження механізму стане ще складнішою.
Визначення закону руху такої складної багатоланкової системи є важкою
задачею. Проте в даному прикладі механізм має один ступінь свободи (W=l).
Це значить що перш за все треба визначити закон руху всього лише однієї з
його ланок яке тим самим буде початковим. Така постановка задачі приводить
до думки замінити весь складний багатоланковий механізм однією умовною
Виберемо як початкова ланка досліджуваного механізму колінчастий вал
ДВЗ тобто ланка 1 (мал. 4.6 а). До умовної ланки (мал. 4.6 б)
пред'явимо таку вимогу: хай його момент інерції [pic] і момент[pic] яким
воно навантажене будуть такими що закон руху умовної ланки вийде повністю
співпадаючим із законом руху початкової ланки 1. Це значить що умовна
ланка виявиться своєрідною динамічною моделлю механізму. А звідси витікає
що якщо визначити закон руху цієї простої моделі (мал. 4.6б) то
автоматично стане відомим шуканий закон руху початкової ланки заданого
механізма тобто буде справедливим для будь-якого моменту часу рівняння
у якому 1 - кутова швидкість початкової ланки (у узятому прикладі ланки
) а м - кутова швидкість моделі.
з сказаного виходить що при побудові моделі механізму всі сили і
моменти прикладені до нього виявляються приведеними до однієї ланки і
заміненими сумарним приведеним моментом [pic] тобто тією розрахунковою
величиною яка в теоретичній механіці називається узагальненою силою. Отже
[pic] є еквівалентом всього заданого навантаження прикладеного до
механізму. Рівним чином маси всіх ланок(точніше кажучи їх інертності)
виявляються також пріведенними до однії ланки і заміненими сумарним
приведенним моментом інерції [pic] який є таким чином еквівалентом всієї
інертності механізму. Сам же заданий багатоланковий механізм (мал. 4.6 а)
навантажений складною системою силі моментів виявляється заміненим простою
моделлю (мал. 4.6 б) .Итак побудова динамічної моделі полягає в приведені
сил (визначення [pic]) і в приведенні мас (визначення [pic]). Підкреслимо
при цьому що динамічна модель повинна бути обов'язково построена.так щоб
було виконане рівняння (4.1); інакше сам перехід від заданого реального
механізму до його моделі стає безглуздим. Виконання ж рівняння (4.1) як
слідує з рівняння Лагранжа II роду буде забезпечене у тому випадку якщо
при приведенні сил буде дотримана умова рівності елементарних робіт а при
приведенні мас - умова рівності кінетичних енергій.
Рівняння руху механізму
При вивченні руху механізму ми звичайно припускали що початкова ланка
(головний вал машини) обертається із сталою швидкістю (1 = const). Цей
закон руху можна одержати в тих випадках коли структура механізму проста
наприклад у механізмах що складаються тільки з обертових ланок. Для
здійснення такого руху потрібні цілком певні співвідношення між силами що
діють на механізм і масами його ланок. Але закон зміни сил залежить від їх
фізичної природи й до структури механізму не має відношення. Тому не можна
встановити між силами що діють на механізм таке співвідношення яке б
забезпечило заданий закон його руху.
Закон руху будь-якої ланки механізму можна визначити лише тоді коли
відомі всі зовнішні сили або залежність цих сил від різних параметрів.
Рушійні сили й сили виробничих опорів можуть залежати одночасно або окремо
від положення ланки яка прийнята за початкову або від її кутової
швидкості. Зведені моменти інерції Jзв механізму чи машини можуть бути або
сталими або залежати від положень початкової ланки .
Визначення закону руху механізму що перебуває під дією прикладених до
його ланок сил і є задачею динамічного аналізу. Для механізму що має один
ступінь вільності цю задачу можна вважати розв'язаною коли буде
встановлено закон руху однієї ланки. Звичайно за таку ланку вибирають
вхідний вал робочої машини або вихідний вал двигуна. До цієї ланки що
приймається за ланку зведення доцільно звести всі сили й моменти пар сил
прикладені до механізму та маси й моменти інерції його ланок.
Для розв'язання цієї задачі динаміки (знаходження закону руху початкової
ланки механізму) використовують рівняння руху яке може бути записане в
енергетичній або диференціальній формі.
Основою для складання рівняння руху механізму служить теорема про зміну
кінетичної енергії згідно з якою зміна кінетичної енергії механічної
системи за будь-який проміжок часу дорівнює сумі робіт усіх прикладених
сил що діють на цю систему протягом цього ж проміжку часу тобто
де[pic][pic] — кінетична енергія механічної системи відповідно в кінці і на
початку проміжного часу який розглядається; [pic] сума робіт усіх
прикладених до системи сил; i = 1 2 З п — кількість сил. Тут тзв
тзв0 — зведені маси механізму відповідно в кінці і на початку проміжку
часу який розглядається; v3B v3b0 — швидкості точки зведення які
відповідають цим положенням механізму.
Розглядаючи механізм чи машину як змінну систему праву сторону цього
рівняння можна виразити через суму робіт рушійних сил Ар корисних Ако і
шкідливих Ашо опорів:
Крім цього якщо звести всі сили й маси до вибраної ланки зведення
рівняння (4.55) з урахуванням (4.56) можна записати так:
При обертовому русі ланки зведення рівняння (4.57) можна записати в такому
де Jзв Jзв0 — зведені моменти інерції механізму; 0 — кутові швидкості
ланки зведення відповідно в кінці і на початку проміжку часу який
Теорема про зміну кінетичної енергії записана у вигляді рівнянь (4.57)
або (4.58) має назву рівняння руху механізму в енергетичній формі (у формі
Враховуючи що роботу зведених рушійних сил і сил опору можна виразити
через зведений момент Мзв = Mр + М0 рушійних сил і сил опору який
прикладаємо до ланки зведення
рівняння (4.58) записуємо у вигляді
де φ — узагальнена координата (кут повороту ланки зведення); φ0 —
значення кута φ на початку руху.
Рівняння руху механізму може також бути записано в диференціальній
формі яке можна дістати з рівняння кінетичної енергії в диференціальній
Зведення сил і моментів сил
При динамічному дослідженні руху механізмів зручно всі сили що діють
на різні ланки механізму замінити однією силою або моментом сил які
прикладають до однієї з ланок механізму. Силу що заміняє називають
зведеною силою момент — зведеним моментом. Для того щоб така заміна була
еквівалентна необхідно щоб робота зведеної сили (моменту сили) на деякому
можливому переміщенні її точок прикладання або потужність яку вона
розвиває мають відповідно дорівнювати сумі робіт прикладених до механізму
сил на тому самому переміщенні їх точок прикладання або сумі потужностей
що розвиваються цими силами. Це і є умовою зведення сил або моментів сил.
Ланку механізму до якої прикладають зведену силу називають ланкою
зведення а точку її прикладання — точкою зведення. Якщо механізм має один
ступінь вільності то для вивчення його руху досить знати закон руху однієї
з його ланок тобто знати закон зміни узагальненої координати.
Як правило ланкою зведення вибирають початкову ланку механізму. У
робочих машинах ланкою зведення вибирають головний вал у машинах-двигунах
Зведення мас і моментів інерції
При динамічному дослідженні руху механізмів зручно так само як і сили
маси і моменти всіх ланок замінити однією зведеною масою mзв або одним
зведеним моментом інерції Jзв. При цьому необхіднощоб кінетична енергія
зведеної маси (моменту інерції) у відповідних положеннях механізму
дорівнювала сумі кінетичних енергій всіх ланок цього механізму тобто
де Тзв –кінетична енергія ланки зведення; Ті - кінетична енергія ланки і
Якщо наприклад вибрати за ланку зведення кривошип ОА а за точку
зведення – центр шарніра А то кінетична енергія ланки зведення визначиться
Тут mзв Jзв – зведена маса або зведений момент інерції механізму; vА
– швидкість точки зведення А; 1 - кутова швидкість ланки зведення у
нашому випадку кривошипа ОА.
Кінетична енергія ланок механізму може бути виражена як сума кінетичних
енергій мас які здійснюють поступальний і обертовий рух тобто
Величина зведеного моменту інерції J3B може бути виражена через відповідні
відрізки плану швидкостей (рис. 4.30 б).
Режими руху механізму
Робота механізму (або машини) має три характерні періоди руху:
б) період усталеного руху;
За період розбігу (пуску машини) швидкість руху початкової ланки зростає
від нуля (v0 = 0) до деякої середньої (робочої) швидкості (v = vp).
Рівняння руху механізму (4.57) набуває вигляду
Оскільки [pic]> 0 то для періоду пуску механізму справедлива така
Ap > Aк.о + Аш.о. (4.65)
З цього випливає що в період пуску механізму робота рушійних сил має
бути більшою за суму робіт сил корисного і шкідливого опору. Надлишок
роботи Ар витрачається на збільшення кінетичної енергії механізму тобто
збільшення швидкості рухомих мас.
Часто для скорочення часу пуску машини знімають з неї корисне
навантаження (Ак.о = 0). Рух машини без корисното навантаження називають
холостим ходом машини.
При усталеному русі машини швидкість початкової ланки (головного вала)
механізму чи машини коливається навколо середнього значення яке відповідає
робочій швидкості цієї ланки. Проміжок часу по закінченні якого положення
швидкості й прискорення початкової ланки механізму набувають початкового
значення називають періодом зміни кінетичної енергії механізму або циклом
Швидкості початкової ланки на початку і в кінці циклу усталеного руху
рівні між собою (v0 = v = vp). Тоді рівняння руху (4.57) набуває вигляду
Ap =Aк.о + Аш.о. (4.66)
Отже при усталеному русі механізму (машини) робота рушійних сил за один
цикл дорівнює сумі робіт корисного і шкідливого опору. У середині циклу ця
рівність може не зберігатись а тому мають місце коливання швидкості
початкових ланок механізму.
При вибігу (зупинці) машини насамперед треба зупинити подачу рушійної
енергії машини (відключити двигун) тобто Aр = 0. Кінцевим станом машини
буде спокій при якому швидкість початкової ланки v = 0 а початкова
швидкість v0 = vp. Для цього випадку рівняння руху машини набуває вигляду
З рівняння (4.67) видно що зупинка машини буде досягнута тільки тоді
коли вся нагромаджена машиною кінетична енергія рухомих мас поглинається
роботою сил корисного і шкідливого опору.
; На практиці для скорочення часу зупинки машини дуже часто штучно
збільшують роботу сил шкідливого опору за допомогою установки гальм.
Таким чином у період розбігу кінетична енергія машини збільшується за
рахунок надлишку роботи рушійних сил над роботою сил опору (Ар > А0); у
період усталеного руху кінетична енергія на початку і в кінці кожного циклу
(періоду) однакова (Ар = А0); нарешті у період вибігу кінетична енергія
повністю поглинається роботою всіх сил опору.
На рис. 4.31 показано приклад залежності швидкості руху початкової ланки
механізму від часу t. Час усталеного руху залежить від часу одного циклу tц
і кількості циклів k (ty.p = ktц). Кількість циклів визначається
технологічним процесом який виконує машина. Слід зазначити що цикл роботи
механізму (машини) не завжди відповідає одному оберту початкової ланки.
Так наприклад у чотиритактному двигуні внутрішнього згоряння протягом
циклу корінний вал двигуна робить два оберти.
Багато машин механізмів і приборів (вантажопідіймальні машини
екскаватори реле контактори і т. п.) не працюють у режимі усталеного
руху їх рух як правило складається з розбігу й вибігу.
Задача про зрівноваження механізмів
Однією з найважливіших задач сучасного машинобудування є зрівноваження
динамічних сил (сил інерції) які виникають при русі механізмів і машин. Це
викликано тим що під час роботи машин ланки їх механізмів рухаються з
прискореннями в результаті чого виникають сили інерції які викликають
додаткові часом дуже великі навантаження у кінематичних парах збільшують
тертя і знос їх елементів створюють додаткові напруження в окремих
частинах машин. Це неминуче веде до зменшення витривалості металу та його
руйнування. Особливо це стосується швидкохідних машин оскільки динамічні
сили змінні як за величиною так і за напрямком передаються станині
(корпусу) машини фундаменту викликають їх вібрацію коливання та
розхитування. Надто небезпечні вібрації у зоні близькій до резонансу що
може викликати руйнування не тільки деталей машин але і приміщень і
навколишніх споруд. Тому в процесі проектування та виготовлення машин
ставиться завдання про повне або часткове погашення динамічних сил.
Необхідно добитися щоб на корпус і фундамент передавались якнайменші
знакозмінні сили або діяли сили сталі за величиною та напрямком. Ця задача
називається задачею про зрівноваження рухомих мас механізмів або задачею
про зрівноваження сил інерції. Розв'язати її можна шляхом раціонального
розміщення та підбору мас ланок механізму.
Задачу про зрівноваження сил інерції в машинах можнаподілити на дві: про
зрівноваження тисків машин або механізмівна фундамент і про зрівноваження
тисків у кінематичних парах механізму.
Основними причинами незрівноваженості обертових деталей і вузлів можуть
конструкція обертових деталей або вузлів (наявність на валу кулачків
ексцентриків кривошипів шпонкових пазів тощо);
* неточність виготовлення та монтажу;
* нерівномірність розподілення матеріалу по об'єму деталі включаючи
раковини різні отвори тощо;
* деформація деталей машин особливо валів як при монтажі так і в процесі
* зношування елементів обертових пар та недопустимо великі зазори в них.
На практиці статична та динамічна незрівноваженості усуваються
відповідним балансуванням обертових мас які здійснюються на спеціальних
балансувальних верстатах.
Статичне балансування. Задача статичного балансування полягає в тому
щоб усунути незрівноважений головний вектор сил інерції FiH (14.57) тобто
звести центр обертових мас до її осі обертання. Для цього використовуються
різноманітні балансувальні верстати. У найпростішому виконанні це дві
горизонтальні призми 2 (рис. 14.17 а) або дві пари роликів З (рис. 14.17
б) на які встановлюють обертові маси 1. Якщо центр мас зміщено відносно
осі обертання то за рахунок моменту від сили ваги деталь повернеться так
що центр мас займе найнижче положення S'. Для того щоб звести центр мас до
осі обертання необхідно на нижній (важчій) частині обертової деталі зняти
(висвердлити) частину металу або на верхній (легшій) частині поставити
При такому балансуванні із-за сил тертя між деталлю і призмами
(роликами) залишається деяка незрівноваженість обертовоїмаси. Для її
усунення балансування здебільшого здійснюють у два прийоми. Спочатку деталь
зрівноважують до так званої байдужоїрівноваги при якій після повороту на
призмах у різні положення вона залишається нерухомою. Для цього торець
деталі що балансується ділять на шість рівних частин і встановлюючи
кожні двапротилежні ділення в горизонтальне положення підбором додаткових
вантажів добиваються байдужого положення деталі на призмах. Потім для
усунення дисбалансу залишеного від сил тертя підвішують поступово в
одному з кожної пари протилежних ділень невеликі вантажі виводячи деталь
зі стану спокою. Як тільки деталь починає повільно обертатися на призмах
додаткові вантажі знімають і зважують. За мінімальним значенням ваги цих
вантажів знаходять найважчу частину деталі для зрівноваження якої
висвердлюють надлишок мас у ній або в діаметрально протилежному місці
встановлюють вантаж для балансування. Загальним недоліком вказаних
пристроїв є їх обмежена чутливість викликана тертям в опорах.
Динамічне балансування роторів при відомому розташуванні незрівноважених
Задачею динамічного балансування обертових мас є не тільки зведення центра
мас до осі обертання але і те щоб головна центральна вісь інерції
збігалася з віссю обертання. Якщо статичного зрівноваження обертових мас
можна досягти за допомогою однієї противаги то як показано вище (див.
рис. 14.16) динамічного — лише двома масами встановленими у двох різних
Для прикладу розглянемо обертовий ротор (рис. 14.19) у площинах якого 1
3 що перпендикулярні до осі обертання знаходяться незрівноважені маси
т1 т2 т3. Положення незрівноважених мас у цих площинах задані радіусами-
векторами r1 r2 r3. Положення площин 1 2 3 відносно площини зведення I
визначаються відповідно координатами Z1 Z2 Z3. Противаги встановлюються у
площинах I і II відстань між якими l. Позначимо масу противаги при
статичному зрівноваженні через тп а радіус-вектор який визначає положення
центра мас через rn. Тоді умовою зрівноваженості ротора буде такою:
тобто для статичного зрівноваження обертових мас необхідно забезпечити суму
статичних дисбалансів рівною нулю.
Як відомо з викладеного вище для повного зрівноваженняротора необхідно
встановити дві противаги які розміщують удвох площинах I і II. Позначимо
маси цих противаг т1 і тn арадіуси-вектори що визначають їх положення
відносно їх осіобертання через rn і rn. Тоді умовами повного
зрівноваження будуть
Отже для динамічного зрівноваження обертових мас необхідно щоб суми
статичних і динамічних дисбалансів дорівнювали нулю.
При повному (динамічному) зрівноваженні спочатку будують векторний
багатокутник динамічних дисбалансов за рівнянням (14.64). При цьому вектори
динамічних дисбалансів зручно повернути на 90° так щоб вони збігалися з
напрямками відповідних сил інерції
Дослідження руху механізмів методом Віттенбауера
Метод Віттенбауера випливає з відомої залежності кінетичної енергії
де J1R — зведений момент інерції; ш — кутова швидкість ланки зведення
Таким чином кутову швидкість ланки зведення в кожному положенні механізму
можна визначити якщо відомо відношення його кінетичної енергії до
зведеного моменту інерції взятих для цього ж положення. Цю задачу зручно
розв'язувати графічно. Спочатку будують діаграми кінетичної енергії і
зведеного моменту інерції залежно від кута повороту ланки зведення потім
на основі цих діаграм будують діаграму Т виключивши спільний параметр φ.
Такі діаграми будують на основі механічних характеристик двигунів і робочих
машин. Практично це досить складні задачі які як правило розв'язуються з
Таким чином зміна кінетичної енергії завжди пропорційна площі яка
знаходиться між кривими моментів рушійних сил і сил опору (на рис. 4.34 а
ці площі заштриховані). Цим площам треба приписувати знак "+ " або "-
залежно від того яка робота буде більша: моменту рушійних сил чи моменту
На рис. 4.34 а умовно показано три повних цикли φц усталеного руху.
Практично число цих циклів може бути різним залежно від часу безперервної
Підрахувавши величини вказаних вище площадок можна побудувати діаграму
зміни кінетичної енергії ланки зведення у функції кута повороту φ (рис.
Діаграму зведених моментів інерції досить побудувати тільки для одного
циклу φц роботи механізму (рис. 4.34 в). Для зручності наступної побудови
кривої Віттенбауера діаграму моменту інерції повернуто на 90°.
Маючи всі діаграми будуємо діаграму Т (рис. 4.34 г). Для цього на осі
ординат відкладаємо значення кінетичної енергії що визначаються відрізками
а по осі абсцис — значення зведеного моменту інерції. Отриману криву
називають кривою Віттенбауера за ім'ям австрійського вченого який вперше
розглянув цей метод.
За допомогою кривої Віттенбауера легко встановити залежність кутової
швидкості ланки зведення у функції кута повороту φ.
Рис. 4.35 – графік кутової швидкості ланки зведення як функції кута
Знаючи кутову швидкість і кутове прискорення ланки зведення можна
визначити швидкості прискорення і сили інерції окремих ланок а також
виконати повний силовий розрахунок механізму в умовах нерівномірного
обертового руху ланки зведення.
Таким чином за допомогою кривої Віттенбауера можна повністю дослідити
рух машинного агрегату при силах що залежать від положення ланки зведення.
Середня швидкість і коефіцієнт нерівномірності руху машини
Для зручності вивчення періодичних коливань під час усталеного руху
запровадимо поняття середньої швидкості ланки зведення с (або vc)
механізму чи машини і далі розглянемо задачу для цього часу руху.
Позначимо шлях який проходить точка А вибрана на ланці зведення за
один цикл її руху від положення і до положення k через s. Назвемо дійсною
середньою швидкістю vcд швидкість такого рівномірного руху при якому точка
А пройшла б шлях s за той самий проміжок часу t який потрібний і при
нерівномірному русі тобто vcд = st.
Дійсну середню швидкість часте замінюють середньою арифметичною
де vmax і vmin — максимальні й мінімальні значення швидкості точки А. Для
машин з великою рівномірністю ходу різниця між цими значеннями настільки
мала що нею можна знехтувати.
У паспорті двигуна або робочої машини така умовна середня швидкість
звичайно вказана; в цьому разі її як правило називають номінальною
швидкістю (від латинського потеп шо означає ім'я назва).
Для механізмів з малою рівномірністю руху краще користуватися дійсною
середньою швидкістю. Нерівномірність руху механізму чи машини
характеризується так званим коефіцієнтом нерівномірності руху який
виражається відношенням різниці максимального і мінімального значення
швидкості точки А до її середнього значення тобто
Очевидно що чим менша різниця між vmax і vmin тим рівномірніше рухається
Задача регулювання руху механізмів або машин в період їх усталеного руху
зводиться до підбору такого співвідношення мас ланок механізмів і діючих на
них сил при якому коефіцієнт нерівномірності руху 5 не перевищував би
наперед заданого значення.
Для характеристики динамічних властивостей механізму або машини може бути
використаний так званий коефіцієнт динамічності kд під яким розуміють
відношення екстремального (найбільшого) значення кутового прискорення max
до квадрата середньої кутової швидкості с:
Отже збільшення рівномірності руху ланки зведення можна досягти
збільшивши зведений момент інерції механізму чи машини. Збільшити зведені
маси або зведений момент інерції можна за рахунок збільшення мас окремих
ланок механізму. Практично це збільшення мас здійснюється за допомогою
посадки на один з валів машини додаткової деталі що має певний момент
інерції. Ця деталь називається маховим колесом або маховиком. Для
забезпечення заданого коефіцієнта нерівномірності доп треба збільшити
зведений момент інерції механізму або машини.
Завданням маховика є регулювання періодичних коливань швидкості
початкової ланки які зумовлені властивостями самих механізмів або
періодичною зміною співвідношень величин рушійних сил і сил опору. Підбором
моменту інерції маховика можна змусити початкову ланку механізму рухатись з
наперед заданим відхиленням від деякої її середньої швидкості.
Маховик є ніби акумулятором кінетичної енергії механізмів або машини що
нагромаджує її в моменти прискорення руху механізмів і віддає назад у
моменти сповільнення руху машини. Введення маховика в машину дає змогу
зменшити коливання швидкості відносно її середнього значення с тому при
збільшенні швидкості обертання ланки зведення частина кінетичної енергії
машини йде на збільшення кінетичної енергії маховика і навпаки коли
швидкість обертання зменшується маховик віддає частину нагромадженої
кінетичної енергії машині завдяки чому зміна швидкості буде менша.
Маховик не допоможе якщо наприклад при тому ж навантаженні на паровий
двигун упаде тиск пари в котлі або при цьому ж тиску значно збільшилось на
тривалий час навантаження. У таких випадках використовуються регулятори
Для більшої ефективності дії маховика зменшення маси габаритів доцільно
його ставити на швидкохідний вал оскільки кінетична енергія маховика в
результаті зміни якої здійснюється регулювання швидкості машини
виражається формулою
Звідси видно що ця енергія прямо пропорційна 2. Цим дуже часто
користуються на практиці встановлюючи маховик на швидкохідному валу
наприклад в інерційному стартері. Проте інколи маховик встановлюють і на
тихохідних валах ближче до тих частин машини (джерела коливання
швидкості) нерівномірність руху яких треба зменшити щоб ці коливання
швидкості не передавались на інші ланки передавального механізму (зубчасті
Визначення розмірів маховика. Оскільки маховик звичайно роблять у
вигляді колеса (рис. 5.6) який має масивний обід 1 сполучений з втулкою 2
спицями 3 (або тонким диском) то моментами інерції з'єднуючих частин часто
нехтують і наближено вважають що маса маховика рівномірно розподілена по
колу радіуса R = D2 — геометричному місцю центрів ваги поперечних
перерізів обода. Тоді момент інерції маховика можна виразити так:
де т — маса маховика.
Добуток маси обода маховика на квадрат його діаметра тD2 називається
маховим моментом або характеристикою маховика. Для багатьох деталей машин
що здійснюють обертовий рух (муфти ротори електродвигунів тощо) ця
характеристика наводиться у довідниках. Характеристика маховика має одиницю
виміру кг м2. За цією характеристикою можна легко визначити необхідну
масу маховика якщо задано або вибрано його діаметр значення якого
визначається з суто конструктивних міркувань. Для запобігання небезпеці
можливого розриву маховика його діаметр D вибирають таким щоб колова
швидкість на ободі не перевищувала допустиму для матеріалу маховика
величину. Для перевірки діаметра маховика можна рекомендувати таку
де vдоп — допустима колова швидкість обода маховика яка не повинна
перевищувати для стальних маховиків 70—120 мс для чавунних — 30—45 мс; п
— частота обертання маховика хв-1.
Регулятори швидкості
За допомогою маховика можна регулювати швидкість руху ланки зведення
механізму або машини лише для періодичних і короткочасних неперіодичних
коливань швидкості тобто коли рушійні сили і сили опору як правило
змінюються протягом циклу за певним законом і робота рушійних сил за повний
цикл дорівнює роботі сил опору. Крива Віттенбауера при такому русі замкнута
і має цілком визначену форму.
Проте маховик не може регулювати довгочасні і неперіодичні коливання
швидкості коли робота рушійних сил не дорівнює роботі сил опору.
Наприклад навантаження на двигун внутрішнього згоряння автомобіля значно
зростає внаслідок крутого підйому дороги. Це викликає значну зміну моменту
сил опору на валу двигуна у результаті чого порушується рівновага між
роботами рушійних сил двигуна і сил опору руху автомобіля що викликає
зменшення його швидкості. навпаки при крутому спуску швидкість
автомобіля може значно зростати до значення яке буде більшим за
встановлене з точки зору безпеки руху. Водій автомобіля здійснює
регулювання швидкості руху за рахунок зміни роботи рушійних сил (додатковою
подачею палива в двигун) або включення додаткової роботи сил опору
(гальмуванням). Це дає змогу зберігати відповідний баланс робіт.
Таким чином для забезпечення коливання швидкості — ланки зведення в
заданих межах — треба щоб у машині за один цикл підтримувалась рівність
робіт рушійних сил і сил опору. Для цього як правило встановлюють
спеціальні механізми — пристрої які називають регуляторами швидкості.
Завдання регулятора полягає в тому щоб встановити стійкий (стаціонарний)
за законом зміни значення швидкості режим руху початкового вала механізму
або машини чого можна досягти вирівнюванням різниці між рушійними силами і
силами опору. Так якщо внаслідок якихось причин зменшився опір і машина
починає прискорювати свій рух то регулятор автоматично зменшує рушійні
сили. Навпаки якщо сили опору збільшилися і машина починає сповільнювати
рух то регулятор збільшує рушійні сили. Отже як тільки порушується
рівновага між рушійними силами і силами опору регулятор повинен знов їх
збалансувати і змусити машину працювати з попередніми або близькими до
попередніх швидкостями. У деяких машинах зокрема в транспортних
регулювання руху досягається зміною не тільки рушійних сил а й сил опору
Конструкції регуляторів і схеми регулювання бувають різними. Наприклад
у практиці застосовуються: так звані відцентрові регулятори (плоскі й
просторові) в яких використовується відцентрова сила інерції; інерційні
регулятори в яких використовують тангенціальні (дотичні) сили інерції;
регулятори електричного типу та ін.
Хоча конструкції механізмів регуляторів і схем регулювання різні проте
частіше автоматичне регулювання виконується за схемою замкненого контуру
[4]. Принципова схема такого автоматичного регулювання зображена на рис.
10. Об'єкт регулювання знаходиться під дією зовнішнього джерела
збудження коливань 2 в результаті чого здійснюється відхилення параметра
що регулюється від заданого. Ці зміни сприймаються чутливим елементом 3
який передає необхідну інформацію регулювальному органу 4 останній
відновлює заданий параметр у об'єкта регулювання тобто в схемі
регулювання є зворотний зв'язок (1—3—4—).
На рис. 5.10 зображено найпростішу схему системи автоматичного
регулювання в яку входять різні додаткові пристрої що забезпечують
надійність роботи цієї системи.
У машинному агрегаті об'єктом регулювання звичайно є двигун а
джерелом збудження — робоча машина яка приводиться в рух цим двигуном.
Чутливим елементом може бути механічний пристрій частіше механізм
регулятора відцентрового типу або електричний типу тахогенератора який є
електричним генератором що розвиває напругу пропорційно кутовій швидкості.
Ця напруга діє на регулювальний орган. Такі органи можуть бути різними
залежно від технологічного призначення машини і типу двигуна.
Розглянемо деякі схеми автоматичного регулювання кутової швидкості
початкової ланки машинного агрегату . На рис. 5.11 зображено машинний
агрегат який складається з робочої машини 2 і теплового двигуна 1.
Чутливим елементом є відцентровий регулятор 3. Регулятор складається з двох
важких куль К що розміщені на ланках АС і BD. Ці ланки шарнірно зв'язані з
ланками СЕ і DF які у свою чергу шарнірно зв'язані з муфтою N що може
вільно ковзати вздовж напрямної Z—Z- Ланки АС і BD зв'язані пружиною L яка
намагається зблизити кулі К. Регулятор приводиться в рух від початкової
ланки машини парою конічних коліс Н і G. При обертанні початкової ланки
двигуна з кутовою швидкістю 1 регулятор обертається зі швидкістю р
При різних кутових швидкостях 1 початкової ланки муфта N має різні
положення які визначаються величиною відцентрової сили інерції що діє на
кулі К. Чим більше швидкість обертання вала регулятора тим більші сили
інерції діють на кулі тим вище піднімається муфта N і навпаки чим менша
швидкість р тим менші сили інерції діють на кулі а значить нижче
знаходиться муфта N. З муфтою N з'єднано механізм що збільшує або зменшує
подачу рушійної енергії в машину. Цей механізм складається з важелів ОR і
RT і заслонки 4.Робота регулятора – деякий коливальний процес. Описаний тип
регулятора називається регулятором прямої дії.
ТЕРТЯ ЗНОС У МАШИНАХ
Під час руху одного тіла відносно іншого між поверхнями що стикаються
виникає взаємодія яка перешкоджає переміщенню цього тіла а якщо воно
знаходиться в стані спокою — його відносному зміщенню. Це явище
називається тертям а сили опору — силами тертя. Отже тертям називають
опір що виникає при переміщенні одного тіла відносно іншого. Поверхні
якими стикаються між собою тіла називаються тертьовими.
Виникнення тертя пояснюється двома основними причинами. По-перше
поверхні тертя не абсолютно гладкі а мають нерівності які при стиканні
поверхонь створюють опір руху Ff (рис. 6.1). По-друге між тілами які
стикаються поверхнями виникають сили молекулярної взаємодії для подолання
яких також необхідно прикласти силу. Як показують експериментальні
дослідження тертя є складний комплекс механічних фізичних і хімічних
явищ причому ті чи інші явища переважають залежно від умов за яких
проходить процес тертя.
Тертя є одним із найпоширеніших явищ природи і відіграє дуже важливу роль
у техніці. Цілий ряд задач механіки деталей машин спеціальних технічних
дисциплін не можна розв'язати без знань законів тертя. На використанні сил
тертя рунтується робота багатьох машин і механізмів (пасової і фрикційної
передач транспортних машин прокатних станів фрикційних муфт гальм
тощо). Великі сили тертя виникають при обробці металів різанням.
Тертя відіграє в машинах як корисну так і шкідливу роль. З одного боку
завдяки тертю рухаються тіла; з другого — тертя є причиною зношування
деталей машин і приладів значних витрат енергії. Підраховано що близько
світових енергетичних ресурсів даремно витрачаються на роботу
Відомо що перші дослідження явища тертя проводив ще Леонардо да Вінчі.
Детальне дослідження законів тертя почав французький механік і фізик Г.
Амонтон (1663—1705) і протягом усього століття ці дослідження
поглиблювалися. В 1781 р. Ш. Кулон опублікував працю "Теорія простих машин
з точки зору їх частин " в якій розвинув теорію тертя сформулював
основні закони тертя. Експериментальне дослідження тертя продовжували і
послідовники Кулона. Проте треба зауважити що ця складна наукова проблема
і до нашого часу повністю не розв'язана. Тому на практиці все ще
користуються наближеними емпіричними законами які були відкриті Амонтоном
і Кулоном. Якщо треба мати більшу точність розрахунків то доводиться
визначати силу тертя експериментально для кожної пари тертьових поверхонь і
конкретних умов тертя.
Власне кажучи вивчення всіх особливостей теорії тертя виходить за межі
курсу теорії механізмів і машин. Тут розглядатимемо лише ті елементи цієї
теорії які необхідні щоб точніше визначити вплив тертя на реальні
значення сил що діють на тіла встановити умови їх рівноваги врахувати
сили тертя при розв'язанні тих чи інших інженерних задач в яких неможливо
Залежно від характеру відносного переміщення тіл що стикаються
відрізняють два види тертя: ковзання і кочення. нколи розглядають ще один
вид тертя — так зване тертя вертіння. При терті ковзання одні і ті самі
поверхні одного тіла стикаються з різними поверхнями іншого тіла. При терті
кочення різні поверхні одного тіла послідовно стикаються з різними
поверхнями іншого тіла.
Прикладами тертя ковзання можуть бути тертя лиж по снігу пили по
дереву різця по металу підошви взуття по землі цапфи вала по втулці
підшипника тощо. Тертя кочення має місце при перекочуванні коліс автомобіля
по землі або вагона по рейках у шарикових або роликових підшипниках
фрикційних передачах тощо.
Для зменшення сил тертя використовують різні
мастила. Залежно від їх наявності між тертьовими
поверхнями розрізняють два основних види тертя:
сухе тертя (без мастильних матеріалів) і рідинне
тертя (з мастильними матеріалами). При сухому терті
між тертьовими поверхнями тіл відсутнє будь-яке
мастило. При рідинному терті тертьові поверхні
тіл повністю розділені шаром мастила (рис. 6.2) і
тертя твердих частин тіла замінено тертям окремих
шарів мастила. Мастило може бути твердим рідким
Крім цього інколи ще розрізняють проміжні види тертя: граничне
напівсухе і напіврідинне. При граничному терті на тертьових поверхнях є
тонкі адсорбовані маслянисті плівки. Напівсухе і напіврідинне тертя не
мають між собою чіткої границі: якщо перевершує сухе тертя (більша частина
поверхні контакту не покрита мастилом) то вважають що тертя напівсухе і
навпаки якщо перевершує рідинне тертя то маємо напіврідинне тертя.
Щоб виявити основні закономірності тертя ковзання можна провести ряд
дослідів на досить простому приладі (трибометрі) який схематично
зображений на рис. 6.3. На пластину 1 розташовану в заглибленні
горизонтального стола ставимо тіло 2 вагою G. Силу тиску тіла 2 на
пластину можна змінювати шляхом зміни його ваги (за допомогою установки
гир). Нормальна реакція пластини: N = -G. До тіла 2 прив'яжемо нитку і
перекинувши її через блок 3 підвісимо на її кінці чашку з гирями вагою Q.
Щоб зменшити можливість перевертання тіла нитку прив'яжемо ближче до його
основи і тоді тіло 2 залишається в стані спокою доти доки модуль сили F =
Q не досягне деякого значення яке цілком визначене для даної пари
тертьових поверхонь і даної сили тиску між ними. Це свідчить про те що на
тіло 2 крім нормальної реакції N з боку пластини 1 діє ще інша реакція
Ff яка за модулем дорівнює горизонтальній силі F і направлена в
протилежний від неї бік. Ця реакція що лежить у дотичній площині і є сила
Максимального значення сила тертя Fmax досягає в той момент коли тіло
Звідси можна зробити такі висновки:
а) сила тертя ковзання виникає тільки принаявності зсувної сили;
б) модуль сили тертяковзання при рівновазітіла може набувати
різнихзначень які не перевищують максимальні тобто [pic] Цю найбільшу
силу тертя називають статичною або силою тертя спокою.
Сила тертя яка перешкоджає ковзанню тіла під час його руху називається
силою тертя руху або динамічною силою тертя. Як показують досліди сила
тертя руху менша від статичної сили тертя. З практики відомо що легше
підтримувати початий рух ніж зрушити тіло з місця.
На основі численних дослідів Амонтоном і Кулоном встановлено такі
Сила тертя при однакових інших умовах не залежить відрозмірів
тертьових поверхонь. Цей закон можна обгрунтувати задопомогою таких
міркувань. Якщо наприклад площа тертьовихповерхонь збільшується то
збільшується і кількість нерівностейповерхонь які зчіплюються але
зменшується тиск на одиницюплощі і сила опору рухові залишається
попередньою. Протетреба мати на увазі що цей закон наближено
справедливийлише до деяких значень тиску тіла на площину поки
тертьовіповерхні не дуже малі.
Максимальне значення сили тертя спокою прямопропорційне нормальному
тиску (нормальній реакції) одного тілана інше в момент початку їх
відносного руху тобто
де f0 — коефіцієнт тертя спокою який можна виразити відношенням
Коефіцієнт тертя спокою f0 — величина безрозмірна
і є відношенням максимальної сили тертя Fmax до
нормальної реакції N.
Сила нормального тиску дорівнює вазі тіла тільки
тоді коли поверхня ковзання — горизонтальна площина
і на тіло не діють інші сили крім сили його ваги.
Якщо тіло лежить на похилій площині (рис. 6.4) то
нормальна реакція N = G cos α де α — кут нахилу
площини. Якщо ж на тіло крім сили тяжіння діють ще
інші сили то за силу нормального тиску на поверхню
треба брати нормальну складову рівнодіючої всіх
прикладених до нього сил.
Модуль сили тертя в стані рівноваги (спокою) не більший від
максимальної сили тертя спокою тобто
' 0 ≤ Ff ≤ Fmax=f0 N. (6.3)
Коефіцієнт тертя спокою залежить від матеріалу тіл що стикаються і
фізичного стану тертьових поверхонь тобто від величини і характеру
шорсткості наявності мастила вологості температури та інших умов.
Матеріали які мають високий коефіцієнт тертя називають фрикційними
(шкіра гума текстоліт азбест тощо) і навпаки низький коефіцієнт тертя
— антифрикційними (бронза бабітсірий чавун капрон і деякі інші види
Сила тертя під час руху менша сили тертя в спокої.Досліди показують
що для того щоб вивести тіло зі стану спокою треба при інших однакових
умовах прикласти іншу силу ніж для підтримки руху. Для більшості
матеріалів сила тертя в русі залежить від швидкості одного тіла відносно
іншого і як правило зменшується зі збільшенням цієї швидкості прямуючи
до певної межі. У деяких випадках як наприкладпри терті шкіри по сталі
або чавуну коефіцієнт тертя зростає іззбільшенням швидкості.
Сила тертя зростає із збільшенням часу попередньогоконтакту тертьових
поверхонь. Це напевно слід пояснити дефор мацією стичних поверхонь
деякою дифузією молекул тертьових тіл а значить збільшенням їх
молекулярних зв'язків.
Модуль сили тертя під час руху можна визначити за формулою аналогічною
(6.1) підставивши в неї замість коефіцієнта тертя спокою f0 коефіцієнт
Значення коефіцієнта тертя руху наведено також у таблиці.
При наближених інженерних розрахунках часто не роблять різниці між
коефіцієнтами тертя спокою і руху а користуються значеннями коефіцієнтів
Досліди також вказують що коефіцієнт тертя f змінюється при зміні
навантаження на одиницю площі дотику. Отже основні положення про сили
сухого тертя в уточненій формі можна сформулювати так :
а) коефіцієнт тертя можна вважати сталим а сили тертя — прямо
пропорційними нормальному тиску тільки в певному діапазоні швидкостей і
б) сили тертя завжди направлені в бік протилежний відносним швидкостям;
в) тертя спокою в початковий момент руху в більшості випадків дещо
більше за тертя руху;
г) із збільшенням швидкості руху сила тертя здебільшого зменшується
наближаючись до деякого сталого значення;
д) із зростанням питомого тиску сила тертя переважнозбільшується;
є) із збільшенням часу попереднього контакту сила тертя збільшується.
Розглянемо ще раз взаємодію тіла що спирається на негладку поверхню (рис.
6 а). Якби поверхні тіл були абсолютно гладкі то це була б ідеальна
в'язь (зв'язок) дія якої на тіло зводилась би лише до нормальної реакції
N. Якщо ж опорна поверхня шорстка то при дії рушійної (активної) сили F
з'являється ще й сила тертя яка лежить у дотичній площині і напрямлена в
протилежний силі F бік яка намагається зсунути тіло. Найбільша сила тертя
має знаходиться на грані між спокоєм та рухом і дорівнює за модулем Ft =
Fmax = fN. Отже на тіло з боку опорної поверхні діють дві реакції:
нормальна .N і дотична (сила тертя Ff). Додавши ці реакції за правилом
паралелограма дістанемо повну опорну реакцію R яка утворює з нормальною
реакцією N деякий кут φ.
Найбільший кут φ на який через тертя відхиляється від нормалі повна
реакція R опорної поверхні називається кутом тертя.
Але як видно з формули (6.4)
[pic] або [pic] (6.7)
Тангенс кута тертя дорівнює коефіцієнту тертя ковзання. накше кажучи
кутом тертя називається кут тангенс якого дорівнює коефіцієнту тертя
Якщо тіло будемо переміщати відносно опорної поверхні в різні боки то
лінія дії реакції R опише конічну поверхню (рис. 6.6 б) яка називається
конусом тертя. Отже конусом тертя називають поверхню яку описує повна
реакція в разі її обертання навколо нормальної реакції. Якщо коефіцієнт
тертя під час руху тіла в різних напрямках однаковий то повна реакція
поверхні відхиляється від нормальної в усіх напрямках на однаковий кут
тертя φ і конус тертя буде круглим з кутом при вершині А який дорівнює 2φ.
Коли ж коефіцієнт тертя в різних напрямках різний (наприклад у разі руху
по дереву вздовж і поперек волокон) то конус тертя буде некруглим.
Для руху тіла необхідно щоб рівнодіюча зовнішніх сил що прикладені до
нього проходила за межами конуса тертя. Якщо ж рівнодіюча зовнішніх сил
розташована всередині конуса тертя то якою б вона великою не була рух
тіла неможливий оскільки рушійна сила в цьому випадку завжди буде менша
Нехай усі зовнішні сили що діють на тіло включаючи і його вагу
зводяться до однієї рівнодіючої сили FΣ яка проходить через точку А дотику
тіла з поверхнею і утворює з нормаллю до поверхні кут α (рис. 6.6 в).
Перенесемо цю силу по лінії дії в точку А і розкладемо її на дві складові:
[pic] яка лежить у дотичній площині і [pic] направлену по нормалі до
Тоді згідно з формулами (6.4) і (6.1) максимальне значення сили тертя
де φ — кут тертя; N — модуль нормальної реакції який очевидно дорівнює
модулю нормального тиску (N = [pic]). Модуль сили [pic] яка намагається
рухати тіло на поверхні виразиться формулою [pic].
Для того щоб тіло залишалось на поверхні в рівновазі необхідно витримати
умови [pic] Ff . Підставивши в цю умову значення [pic] і Ff дістанемо
[pic]. Звідси остаточно знайдемо умову рівноваги тіла на площині:
Якщо збільшувати модуль сили FΣ залишаючи той же напрямок то
пропорційно збільшуватиметься не тільки модуль [pic] рушійної сили а й
модуль сили тертя Ff бо збільшується нормальний тиск [pic]. Тіло стане
рухатися лише тоді коли рушійна складова [pic] рівнодіючої зовнішніх сил
буде більшою від сили тертя а для цього необхідно так змінити напрямок
сили FΣ щоб кут α був більшим від кута φ тобто сила FΣ проходила за
межами конуса тертя (на рис. 6.6 в показано штриховою лінією). Отже конус
тертя визначає деяку область рівноваги спокою тіла під дією прикладених
Визначення коефіцієнтів корисної дії механізмів
Для визначення ККД окремих механізмів треба щоразу обчислювати роботу або
потужність які витрачаються на подолання всіх сил опорів за один повний
цикл часу усталеного руху.
Тоді спочатку визначають для ряду положень механізму відповідні сили
шкідливих (невиробничих) і корисних (виробничих) опорів а далі за
відомими швидкостями руху окремих ланок механізму визначають потужності
що витрачаються на подолання цих сил опорів. За знайденими значеннями
потужностей визначають середню потужність що витрачається протягом одного
циклу усталеного руху на подолання цих опорів. Тоді ККД визначають за
де Рк.о — середня потужність що поглинається силами корисних опорів; Рш.о
— середня потужність що поглинається силами шкідливих опорів (як правило
сил тертя); Рр = Рк.о + Рш.о — середня потужність яку розвивають рушійні
ККД механізму завжди залежить від характеру сил тертя які виникають у
кінематичних парах від виду мастила тощо. Тому не можна точно вказати ККД
для тих чи інших механізмів. У кожному окремому випадку це питання треба
піддавати теоретичному і експериментальному аналізові.
Розрахунок зносу елементів у кінематичних парах
Під час експлуатації механізмів машин і приладів неминуче зношуються
елементи кінематичних пар. Зношення (спрацювання) зменшує міцність деталей
і точність механізмів підвищує навантаження на підшипники збільшує
вібрацію і шум. Значне спрацювання часто буває причиною порушення
працездатності механізмів і може призвести навіть до поломки деталей і
виходу машин з ладу. Тому при проектуванні механізмів важливо знати форму
та величину поверхні тертя розрахувати епюру зносу для того щоб правильно
вибрати конструктивні та мастильні матеріали. Важливо також виявити деталі
і вузли які треба заміняти або ремонтувати раніше від інших. Отже
розрахунок зносу який очікується має своєю метою забезпечити необхідні
довговічність і надійність роботи механізмів машин або приладів.
Види зношування. Зношування — процес руйнування та відокремлення
матеріалу від поверхні твердого тіла який проявляється в поступовій зміні
розмірів і форми тіла при цьому можуть змінюватися і властивості
поверхневих шарів металу.
Основні види зношування такі: механічне — результат механічної взаємодії
тіл; корозійно-механічне — механічна взаємодія тіл супроводжується хімічною
або електричною взаємодіями; абразивне — результат різання або дряпання
твердих частинок які знаходяться в зоні тертя у вільному або закріпленому
стані; ерозійне — результат дії потоку рідини або газу; зношування від
втомленості — викришування частин матеріалу поверхневого шару при
періодично змінних навантаженнях (цей вид зношування особливо характерний
для вищих кінематичних пар); зношування при заїданні — результат охоплення
глибинного виривання матеріалу переносу його з однієї поверхні тертя на
іншу. Заїдання або схоплення характеризується сильним місцевим нагрівом
через високі швидкості ковзання і великі питомі тиски. Такому виду
зношування частіше за все піддаються негартовані тертьові поверхні
кінематичної пари з однорідних матеріалів.
Зношування відрізняють і за характером деформації поверхневого шару:
зношування при пружному контакті пластичному контакті і при мікрорізанні.
Стадії зношування. Звичайно мають місце дві стадії зношування: 1)
припрацювання поверхні тертя; 2) нормальний (експлуатаційний) знос коли
після припрацювання замість вихідної шорсткості поверхні яку одержали при
виготовленні утворюється деяка нова рівноважна шорсткість яка надалі
суттєво не змінюється.
Механічний коефіцієнт корисної дії
З рівняння руху механізму для періоду усталеного руху видно що Aр = Ак.о +
Аш.о тобто вся енергія рушійних сил яка витрачається в машині
поділяється на дві частини: одна частина йде на перемагання сил виробничих
(корисних) опорів друга — на перемагання шкідливих опорів (сил тертя
опору середовища). Механізм або машина вважається тим досконалішими чим
більша частина енергії (за однакових інших умов) що підводиться до них й
де на перемагання корисних опорів. Ефективність використання енергії в
машині характеризується так званим механічним коефіцієнтом корисної дії
Механічним ККД називають відношення роботи сил корисного опору до роботи
рушійних сил за цикл усталеного руху тобто
У реальних машинах механічний ККД завжди менший за одиницю. Це
пояснюється тим що робота сил корисного опору завжди менша за роботу
рушійних сил. Дійсно з рівняння (4.66) видно що Aк.о = Ар - Аш.о а
оскільки робота сил шкідливого опору не дорівнює нулю (Ашо 0) то Ак.о
Залежність (4.68) можна записати також у такому вигляді:
Відношення роботи сил шкідливого опору до роботи рушійних сил прийнято
називати механічним коефіцієнтом втрат . Відповідно до цього (4.69) можна
З (4.69) випливає що механічний ККД може дорівнювати нулю якщо робота
рушійних сил дорівнює роботі всіх невиробничих опорів які є в механізмі.
За такої умови рух механізмів можливий але без виконання будь-якої
корисної роботи. Такий рух механізму називають холостим рухом. ККД не може
бути меншим від нуля оскільки для цього необхідно щоб відношення робіт
Ашо Ар було більше від одиниці тобто Аш.о > Ар. У таких випадках
настає самогальмування машини або механізму.
Отже ККД машини або механізму може змінюватися в межах
Тоді з рівнянь (4.70) і (4.71) випливає що коефіцієнт втрат змінюється
Слід зауважити що механічний коефіцієнт корисної дії і коефіцієнт втрат
не дають повної характеристики машини а також інформації про її
продуктивність безпеку праці вартість якість продукції яку вона
випускає. Вони характеризують тільки ефективність використання енергії. ККД
і коефіцієнт втрат придатні тільки для порівняння машин і пристроїв
однакового призначення. У деяких машинах корисне навантаження дуже мале
(наприклад у поліграфічних і текстильних машинах машинах швейної
промисловості тощо) тому й ККД невеликий.
ККД і коефіцієнт втрат можна виразити і через відношення відповідних
Як правило сучасні машини складаються з багатьох механізмів ККД яких
відомі або його можна порівняно легко знайти. Проте загальний ККД машини
залежить не тільки від ККД окремих механізмів що входять до її складу але
й від способу з'єднання цих механізмів у машині. Відрізняють три способи
з'єднання механізмів у машині: послідовне паралельне і змішане.
Послідовне з'єднання механізмів. Нехай є машина яка складається з п
послідовно з'єднаних механізмів (рис. 4.32) кожен з яких має відповідно
Загальний ККД такої машини визначається за формулою
Перший механізм приводиться в рух рушійними силами що виконують роботу
Ар. Оскільки корисна робота А1 першого механізму буде роботою рушійних сил
для другого механізму і відповідно у всьому ланцюгу механізмів корисна
робота кожного попереднього механізму буде роботою рушійних сил для кожного
наступного механізму то коефіцієнт корисної дії кожного механізму
Якщо перемножити між собою ліві та праві частини (4.73)Дістанемо
Отже загальний механічний ККД послідовно сполучених механізмів (або
машин) дорівнює добуткові механічних ККД окремих механізмів (або машин) що
утворюють одну машину (або машинний агрегат) тобто
З формули (4.74) видно що чим складніша машина тим більші втрати
енергії і тим менший ККД. Причому загальний ККД машини при послідовному
з'єднанні механізмів завжди менший за найменший ККД механізмів які входять
до його складу Це свідчить про те що при послідовному з'єднанні механізмів
необхідно дуже старанно виготовляти кожний механізм кожний вузол машини
інакше не можна домогтися високого ККД машини.
Паралельне з'єднання механізмів. На рис. 4.33 показано схему машини з
паралельним з'єднанням механізмів. Робота рушійних сил Ар яка підводиться
до машини розподіляється між окремими механізмами відповідно А1 А2 А2
А які є для кожного механізму рушійними роботами а значить
Ap=A1+A2+A3+ + An=[pic]. (4.75)
Кожний механізм відповідно виконує корисну роботу. Загальна корисна
робота всієї машини дорівнює сумі робіт усіх механізмів.
Загальний ККД машини при паралельному з 'єднанні механізмів має вигляд

План скоростей.frw

План сил групи 2-3.frw

Титул (3).doc

МНСТЕРСТВО ОСВТИ НАУКИ
МОЛОД ТА СПОРТУ УКРАНИ
ДЕРЖАВНИЙ ЗАКЛАД ОСВТИ
«КРИВОРЗЬКИЙ НАЦОНАЛЬНИЙ УНВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧНО ТА ПРИКЛАДНО МЕХАНКИ
«ТЕОРЯ МЕХАНЗМВ ТА МАШИН»
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
«АНАЛЗ ТА СИНТЕЗ МЕХАНЗМВ»
ст. викл. Степанкіна .Б.

План сил групи 4-5.frw

План ускорений.frw

Дані до схеми 1 важільного механізму.doc

м 1 30 01 06 02 035 08 03 018 04 0.5 - 015 2 35
035 026 045 06 - 015 ТАБЛИЦЯ ДАНИХ
для виконання кінематичного та силового аналізів шарнірно-важільного

Таблиця даних до синтезу кулачкового механізму.doc

Таблиця даних до синтезу кулачкового механізму
Smax мм nк обхв α градуси

Література.doc

Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М. Наука 1975.
Зиновьев В.А. Курс теории механизмов и машин. – М. Наука 1975.
Озол О.Г. Теория механизмов и машин. – М. Наука 1984.
Теория механизмов. Под ред. В.А.Гавриленко. – М. Высшая школа 1973.
Фролов К.В. Попов С.А. и др. Теория механизмов и машин. – М. Высшая
Кореняко А.С. и др. Курсовое проектирование по теории механизмов и
машин. – К. Вища школа 1970.
Попов С.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике
машин. – М. Высшая школа 1986.

6 3 Графічне побудування профілю кулачка.doc

6.3. Графічне побудування профілю кулачка
При побудуванні профілю кулачка використовуємо метод оберненого руху
(інверсії) який дозволяє просто визначити відносне розташування початкової
та веденої ланок в будь-який момент часу. Для цього всьому механізму умовно
надають обертання навколо центру кулачка з кутовою швидкістю (-к)
направленою проти напрямку дійсного обертання кулачка. В результаті цього
кулачок стає умовно нерухомим а штовхач разом із напрямними котиться на
З довільного центру О в полі креслення проводимо коло радіусу [pic] в
масштабі s. Через точку О проводимо вертикальну вісь – лінію руху
штовхача на якій за допомогою побудованої діаграми переміщень [pic]
відмічаємо траєкторію руху точки В штовхача. Початкова точка В0 на лінії
руху – це точка перетину цієї лінії з колом радіусу [pic]. Всі інші точки
В1 В2 В24 будуємо у відповідності з діаграмою переміщень: відрізки
(В0В1) (В0В2) (В0В3) (В0В24) дорівнюють відповідним ординатам графіка
На діаграмі переміщень штовхача покажемо фазові кути руху штовхача. В
загальному випадку фазові кути такі: φв – кут віддалення φд.с. – кут
дальнього стояння φн – кут наближення φб.с. – кут ближнього стояння.
Будуємо коло довільного радіусу (ОF0). Обертаємо рух механізму. Для
цього від лінії руху штовхача (від променя (ОF0)) в напрямку протилежному
до напрямку обертання кулачка відкладаємо фазові кути та одержуємо
відповідні точки Fi перетину сторін цих кутів з колом радіусу (ОF0). Дуги
які відповідають кутам віддалення φв і наближення φн поділимо на певну
кількість рівних частин у відповідності з поділом на осі абсцис діаграми
переміщень штовхача.
За допомогою циркуля послідовно переносимо положення точки Ві з лінії
руху штовхача на відповідні промені (ОFі) (розхилом циркуля (ОВ1) проводимо
дугу до перетину з променем (ОF1) і т.д.). Одержані точки [pic]з’єднуємо
плавною кривою – це теоретичний профіль кулачка. Ділянки теоретичного
профілю які відповідають фазовим кутам дальнього і ближнього стояння
описуємо дугами кіл відповідних радіусів [pic].
За наявності ролика на кінці штовхача точки [pic]відповідають
положенням центру ролика у відносному русі. Для побудування дійсного
профілю кулачка в цьому випадку потрібно спочатку вибрати радіус ролика.
Радіус ролика штовхача вибирають з таких геометричних співвідношень:
де [pic] - мінімальний радіус кулачка.
З двох одержаних значень для подальших побудувань приймають менше.
Креслимо кола радіусу rp в масштабі s з центрами в точках [pic].
Дійсний профіль кулачка одержимо як лінію що огинає побудоване сімейство
дуг радіусу rp проведених з точок теоретичного профілю. Ділянки дійсного
профілю що відповідають фазовим кутам дальнього і ближнього стояння
описують дугами кіл відповідних радіусів [pic].
В результаті побудування одержуємо дві еквідистантні криві які
відповідають дійсному та теоретичному профілям кулачка.

ТММ 1.cdw

План положень механiзму
План сил ведучоi ланки
План сил групи (4-5)
План сил групи (3-2)

4 Важіль Жуковського.doc

4. Важіль Жуковського
Визначимо зрівноважуючу силу не враховуючи реакції у кінематичних
парах. Для цього скористаємось теоремою Жуковського про «жорсткий» важіль:
якщо до плану швидкостей оберненого на 900 в будь-який бік у відповідних
точках прикласти всі активні зовнішні сили сили інерції і пари сил інерції
та розглядати такий план швидкостей як «жорсткий» важіль закріплений в
полюсі то під дією таких сил і пар сил він буде знаходитись у рівновазі.
Накреслимо у масштабі [pic] мс.мм план швидкостей обернений на
0 наприклад проти ходу годинникової стрілки. Прикладемо в точках
[pic](Рv) [pic][pic][pic] і [pic](е) відповідні сили ваги [pic]
[pic][pic][pic] і [pic] та відповідні сили інерції [pic][pic][pic] і
пару сил інерції [p в точках d і e - пару сил інерції [pic].
Напрямки сил інерції та пар сил інерції – відповідні до креслення для
силового аналізу. В точці е прикладаємо силу корисного опору [pic] а в
точці а – зрівноважуючу силу [pic](перпендикулярно до відрізка (Рvа)).
Складемо рівняння моментів прикладених сил відносно полюсу Рv плану
Звідси знаходимо зрівноважуючу силу
(Плечі сил та відстані вимірюємо на кресленні та підставляємо в
Порівняємо одержані значення зрівноважуючої сили:
) при силовому аналізі [p
) за допомогою важеля Жуковського [pic] Н.
Знайдемо похибку обчислення зрівноважуючої сили:
Похибка обчислення не повинна перевищувати 5%.

Таблиця даних до синтезу планетарного механізму.doc

Таблиця даних до синтезу планетарного механізму (тип )
Варіант Кутова швидкість (с-1) Число сателітівМодуль mмм

2 2 Кінематичний аналіз.doc

2.2. Кінематичне дослідження методом планів
Визначення швидкостей і прискорень точок механізму ведеться
графоаналітичним способом – побудуванням планів швидкостей та планів
прискорень для двох заданих положень механізму.
Планом швидкостей (прискорень) називається креслення на якому за
допомогою відрізків зображені в деякому масштабі вектори швидкостей
(прискорень) точок ланок механізму а всі нуль-вектори зосереджені в
спільній точці яку називають полюсом плану швидкостей (прискорень).
Плани швидкостей і прискорень будують за векторними рівняннями які
складають окремо для кожної групи Ассура в порядку їх приєднання до ведучої
ланки та до інших ланок тобто в порядку створення механізму.
2.1. Побудування планів швидкостей
Побудуємо план швидкостей для положення механізму яке визначається
В загальному випадку абсолютна швидкість будь-якої точки М механізму
може бути представлена рівнянням теореми про додавання швидкостей:
де [pic] - переносна поступальна швидкість (швидкість полюса) [pic] -
відносна обертальна швидкість при обертанні точки М навколо полюса: [pic].
Вектор цієї відносної швидкості завжди перпендикулярний до радіусу
При описуванні руху швидкість полюса повинна бути відомою із вихідних
даних або легко визначатися за величиною та напрямком.
Розглянемо рух основного механізму. В даному випадку швидкість точки О
[pic](стояк нерухомий). Точка О одночасно належить кривошипу ОА тому
приймаємо її за полюс. Тоді швидкість точки А визначиться так:
Швидкість [pic] направлена перпендикулярно до ланки ОА в бік кутової
В довільній точці креслення вибираємо полюс плану швидкостей Pv. з
полюса Pv в напрямку швидкості [pic] відкладемо відрізок (Pv а) прийнятої
довжини: (Pv а)= мм.
Визначимо масштаб плану швидкостей:
Точка s1 (центр ваги кривошипа) на плані швидкостей співпадає з
Розглянемо групу Ассура утворену ланками 2 і 3. Для визначення
абсолютної швидкості внутрішнього шарніру В складемо та розв’яжемо графічно
систему двох векторних рівнянь:
Величини швидкостей [pic] і [pic] невідомі але відомо що [pic]
[pic]. Швидкість точки С [pic] ( точка С співпадає з полюсом Pv як і
з точки а плану швидкостей проведемо промінь перпендикулярний до
ланки АВ а з полюса Pv – промінь перпендикулярний до відрізка СВ ланки
СD. На перетині цих променів одержимо точку b.
Відрізок (ab) на плані швидкостей відповідає відносній швидкості [pic] а
відрізок (Pv b) – швидкості [pic].
Для визначення швидкостей точок D S2 S3 використовуємо теорему
подібності: план відносних швидкостей подібний до фігури рухомої ланки і
обернений відносно останньої на кут 900 у бік кутової швидкості ланки.
Тобто точка s2 лежить на відрізку (ab) а її положення визначається з
тобто [pic] мм. З’єднаємо точку s2 з
Точку d на плані швидкостей одержимо подовживши промінь (Pv b) на
відрізок (bd) величина якого визначається так:
Точка s3 лежить на відрізку (Pv d) а її положення визначається так:
Тепер розглянемо групу Ассура утворену ланками 4 і 5. В ній можна
визначити абсолютну швидкість внутрішнього шарніру Е. Складемо та графічно
розв’яжемо систему двох векторних рівнянь:
Швидкість напрямних повзуна [p відносна швидкість [pic] невідома
за величиною а за напрямком [pic]. Відносна швидкість [pic] руху повзуна
в напрямних направлена паралельно до осі Ох.
З точки d плану швидкостей проводимо промінь перпендикулярний до
ланки DE а з полюса Pv – промінь паралельний до осі Ох напрямних повзуна.
Точка перетину цих променів – це точка е.
Положення точки s4 на відрізку (de) визначимо за формулою:
З’єднаємо точку s4 з полюсом Pv. Точка s5 (центр ваги повзуна) на
плані швидкостей співпадає з точкою е.
Визначимо величини швидкостей:
Кутові швидкості ланок визначимо за формулами:
Напрямки кутових швидкостей визначимо за напрямками поворотів
відповідних відносних швидкостей навколо полюсів обертання.
Тепер побудуємо план швидкостей для положення механізму що відповідає
Проведемо обчислення:
2.2. Побудування планів прискорень
Побудуємо план прискорень для положення механізму що відповідає куту
В загальному випадку абсолютне прискорення будь-якої точки М механізму
може бути представлене рівнянням теореми про додавання прискорень:
де [p [pic] - відносне
обертальне (тангенціальне) прискорення при обертанні точки М навколо
полюса: [pic] вектор прискорення [pic] завжди перпендикулярний до радіусу
обертання МР; [pic] - відносне доцентрове (нормальне) прискорення: [pic]
вектор прискорення [pic] направлений від точки М до полюса.
Розглянемо основний механізм. За вихідними даними визначимо абсолютне
прискорення точки А яка належить кривошипу ОА:
[pic] мс2 направлене від точки А до
Тоді абсолютне прискорення точки А: [pic].
З довільної точки креслення – полюсу плану прискорень Pа – відкладемо
відрізок (Pаа) вибраної довжини який зображує вектор прискорення [p
при цьому напрямок відкладання відрізка відповідає напрямку доцентрового
прискорення точки А.плану прискорень визначиться так:
Розглянемо групу Ассура утворену ланками 2 і 3. Визначимо абсолютне
прискорення внутрішнього шарніру В. Для цього складемо та розв’яжемо
графічно систему векторних рівнянь:
Тут [pic] - прискорення полюса С: [pic](стояк нерухомий). Визначимо
доцентрові прискорення використовуючи значення кутових швидкостей [pic] і
[pic] з розрахунку для попередньо побудованого плану швидкостей:
[pic] мс2 направлене від точки В до
Ці доцентрові прискорення на плані прискорень будемо зображувати
відрізками (an) і (Pan1) відповідно величини яких визначимо так:
Відносні тангенціальні прискорення [pic] та [pic] невідомі за
величиною а за напрямком перпендикулярні до відповідних радіусів обертання
Відкладемо від точки а плану прискорень відрізок (an) в напрямку
прискорення [p через
точку n проведемо перпендикуляр до ланки АВ. З полюса Pa відкладемо
відрізок (Pan1) в напрямку прискорення [pic](паралельно до ланки СD від
точки В до точки С); через точку n1 проведемо перпендикуляр до ланки СD.
Точка перетину побудованих перпендикулярів – це точка b; з’єднаємо її з
полюсом плану прискорень Pa.
Відрізок (nb) на плані прискорень зображує відносне тангенціальне
прискорення [pic] а відрізок (n1b) – прискорення [pic].
Точка s1 (центр ваги кривошипа) на плані прискорень співпадає з
Для визначення положень точок d s2 і s3 на плані прискорень
скористаємось теоремою подібності картини відносних прискорень. Подовжимо
промінь (Pab) та відкладемо на ньому від точки b відрізок (bd):
З’єднаємо точки а і b та відкладемо на лінії (аb) від точки а
[p з’єднаємо точку s2 з
полюсом плану прискорень Pа.
Від полюса Pа по лінії (Pab) відкладемо відрізок (Pa s3):
Тепер розглянемо групу Ассура утворену ланками 4 і 5. Для визначення
абсолютного прискорення внутрішнього шарніру Е складемо та графічно
розв’яжемо систему векторних рівнянь:
Доцентрове прискорення [pic] визначимо використовуючи значення кутової
швидкості [pic] з розрахунку для попередньо побудованого плану швидкостей:
[pic] мс2 направлене від точки E до
На плані прискорень це доцентрове прискорення буде зображено відрізком
(dn2) величина якого визначається так:
Відносне тангенціальне прискорення [pic] невідоме за величиною а за
напрямком перпендикулярне до радіусу обертання DЕ.
В другому векторному рівнянні [pic] - прискорення нерухомих напрямних
[pic] - коріолісове прискорення повзуна при його складному русі відносно
напрямних яке дорівнює нулю оскільки повзун в напрямних рухається
поступально: [p [pic] - відносне прискорення повзуна при його русі в
нерухомих напрямних яке має напрямок паралельно до осі напрямних Ох. Тоді
[pic] тобто прискорення повзуна Е направлене вздовж осі Ох напрямних.
Від точки d на плані прискорень відкладаємо відрізок (dn2) в напрямку
точку n2 проводимо перпендикуляр до ланки DЕ. Через полюс плану прискорень
Pа проводимо промінь паралельний до горизонтальної осі Ох до перетину з
перпендикуляром проведеним через точку n2. Точка перетину – це точка е
яка співпадає з точкою s5 (центром ваги повзуна).
Відрізок (n2e) на плані прискорень зображує відносне тангенціальне
Для визначення положення точки s4 на плані прискорень з’єднаємо точки
d і e та відкладемо на лінії (de) від точки d відрізок (ds4):
[p з’єднаємо точку s4 з полюсом
Обчислимо прискорення точок механізму:
Обчислимо кутові прискорення ланок механізму:
Напрямки кутових прискорень визначимо за напрямками поворотів
відповідних відносних тангенціальних прискорень навколо полюсів обертання.
Тепер побудуємо план прискорень для положення механізму що відповідає

План сил ведущего звена.frw

Данные схема 1.doc

м 1 30 01 06 02 035 08 03 018 04 0.5 - 015 2 35
035 026 045 06 - 015 ТАБЛИЦЯ ДАНИХ
для виконання кінематичного та силового аналізів шарнірно-важільного