Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

КР 4.dwg

Эпюры М и Q для элемента СD заданной балки приведены на рис. 2б.
Линия влияния Q в сечении 4
Исходные данные выбираются в соответствии с шифром из табл.2 брошюры "Методические указания и контрольные задания для студентов строительных спе- циальностей заочной формы обучения
К2*sinαК2 +л.в.Н*cosαК2)
Рассмотрим узел 4 (рис. 2)
(1 х yc1 + 2 х yc2 + 3 х yc3 + 4 х yc4)
p1 х yc1(М1) - p2 х yc1(М1) + p3 х yc1(М1) + p4 х yc1(М1)
Рис. 13. Эпюра продольных сил.
Рис. 17. Эпюра изгибающих моментов МF1 от единичной силы F = 1
приложенной в заданном сечении.
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН) Кафедра строительной механики КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4 Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил
Задача №7. Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил. Задание: для рамы (рис. 1) с выбранными по шифру из табл. 7 брошюры "Методические указания и контрольные задания для студентов строительных спе- циальностей заочной формы обучения" размерами и нагрузкой требуется: а) построить эпюры изгибающих моментов
поперечных и продольных сил; б) проверить правильность построения эпюр; в) определить вертикальное перемещение сечения К и угол поворота сечения L. Исходные данные: а = 1
м; F1 = 0; F2 = 12 кН; q1 = 6 кНм; q2 = 0; М1 = 0; М2 = 9 кН*м; EI1EI2 = 2:3 номер схемы - 3.
Построение основной системы. Основной системой (ОС) называется такая стержневая система
которая является статически определимой
геометрически неизменяемой и эквивалентной заданной системе (ЗС). Действие отброшенных "лишних" связей заменяется соот- ветствующимим силами и моментами. Неизвестные силы должны быть такими
чтобы в ОС перемещения точек приложения этих сил равнялись 0 и отсутствовало взаимное смещение сечений по одну и другую сторону от разреза. Схема эквивалентной рамы приведена на рис. 2.
Так как заданная балка дважды статически неопределима
система уравнений будет иметь следующий вид:
где: Х1 и Х2 - искомые силы; 11 22 - единичные перемещения от действия "лишних" связей; Δ1Р Δ2Р - перемещения от заданной нагрузки.
Построение вспомогательных эпюр изгибающих моментов. Строим поочередно эпюры изгибающих моментов от действия вспомогатель- ных сил Х1 и Х2 (рис. 3 и 4 соответственно).
Суммарная эпюра изгибающих моментв от действия единичных сил Х1 и Х2 показана на рис. 5
Необходимо вычислить все перемещения
которые входят в уравнение как коэффициенты при неизвестных или как свободные члены. Определение переме- щений выполняется вычислением интеграла Мора (влияние продольных и попе- речных сил на перемещение незначительно и поэтому не учитывается):
где: Mp - изгибающий момент от действия внешних сил; M EI жесткость сечения стержня в плоскости изгиба; L длина участка; n число участков.
когда рама имеет прямолинейные участки с постоянной жест- костью
вычисление интеграла Мора можно выполнить с помощью формулы Вере- щагина – «перемножения» эпюр:
где: Fmp - площадь эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки Мр; Ymi - ордината эпюры Mi
расположенная под центром тяжести эпюры Мр.
Построение эпюр изгибающих моментов (рис. 7) в эквивалентной раме от заданной нагрузки (рис. 6).
Рис. 5. Суммарная эпюра М1 + М2
Рис. 2. Эквивалентная рама
Рис. 1. Рама с заданной нагрузкой
Рис. 6. Эквивалентная рама с заданной нагрузкой
Рис. 7. Эпюра изгибающих моментов в эквивалентной раме от заданной нагрузки Мp.
Определение коэффициентов 11
Δ1p и Δ2p по правилу Верещагина.
Для того чтобы определить значение величин 11
Δ1p и Δ2p нужно «перемножить» соответствующие эпюры. Площадь одной эпюры умножается на ординату другой
лежащей против центра тяжести первой эпюры
и делится на жесткость сечения участка при изгибе EI.
Для определения значения Δ1p разделим вертикальный участок эпюры Мp на четыре фрагмента (рис. 8) и определим площадь каждого из них. Ордината
соот- ветствующая положению центра тяжести каждого из фрагментов будет величиной постоянной и равной 7
Если перемножаемые эпюры расположены с одной сто- роны участка
то результат перемножения будет положительный
если с разных сторон - отрицательный.
Рис. 8. Разбивка эпюры Мр на составляющие фрагменты
Первый фрагмент: 1-2-3 (параборла) p1 = х х 12 х 4 = 32 Второй фрагмент: 3-4-5 (за малой величиной принимаем как треугольник) p2 = х х 4
4 Третий фрагмент: 4-7-8 (за малой величиной принимаем как треугольник) p3 = х х 13
8 Четвертый фрагмент: 8-9-10 (парабола) p4 = х х 60
Итоговые данные по расчетам сводим в таблицу 1
Подставляя полученные значения 11
Δ1p и Δ2p в систему уравнений находим значения Х1 = - 1 кН и Х2 = 6 кН. Строим эпюры изгибающих моментов М1Х1
М2Х2 и М1Х1 + М2Х2(рис. 9
рис. 10 и рис. 11 соответственно)
· Х1 + 12 · Х2 + Δ1p = 0 12 · Х1 + 22 · Х2 + Δ2p = 0
Рис. 11. Эпюра М1Х1 + М2Х2
Эпюра изгибающих моментов в заданной раме от действующих нагрузок бу- дет иметь следующий вид (рис. 12):
Построение эпюры поперечных сил. Эпюра поперечной силы строится путем дифференцирования эпюры изгибающего момента. Дифференцирование эпюры выполняется по участкам (рис. 13)
Рис. 15. Эпюра продольных сил.
Проверка правильности построения эпюр. 6.1. Статическая проверка.
Построение эпюрыпродольных сил сил. Находим силы реакции со стороны горизонтальных стержней на заданную на- грузку (рис. 14):
Рис. 14. Силы реакции горизонтальных стержней
= 0; ΣY = 6 - 5 - 1 = 0. 6.2. Динамическая проверка. Кинематическая (деформационная) проверка заключается в равенстве нулю перемещений по направлению «лишних» связей и ее рекомендуется выполнять пу- тем «перемножения» эпюры изгибающих моментов Мз (рис. 12) на суммарную эпюру от единичных сил М1 + М2 (рис. 5). Изменим направление действия единичной силы Х1 с учетом знака
полученного при расчете. Тогда суммарная эпюра М1 + М2 принимает следующий вид. Расчеты по кинематической проверке сводим в таблицу 1.
Рис. 13. Эпюра поперечных сил.
Рис. 16. Измененная суммарная эпюра М1 + М2
Определение вертикального перемещения сечения К и угла поворота сече- ния L. Для определения вертикального перемещения сечения К и угла поворота сече- ния L необходимо в указанных сечениях приложить единичную силу F = 1 и единич- ный момент М = 1 соответственно и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Для определения вертикального еремещения в сечении К необходимо" пере- множить" эпюры МF1 (рис. 17) и эпюры М (рис. 12) по формуле Симпсона:
что вертикальное перемещение в точке К будет направлено в про- тивоположную сторону по отношению к направлению действия единичной силы F = 1.
что угол поворота в сечении L будет совпадать с направлением еди- ничного момента
приложенного в данном сечении."