• RU
  • icon На проверке: 12
Меню

Математика студентам - архив материалов

  • Добавлен: 02.11.2014
  • Размер: 6 MB
  • Закачек: 0
Узнать, как скачать этот материал

Описание

Состав:
  • аналитическая геометрия
  • векторная алгебра
  • вм. операционные исчисления
  • дифференциальные исчисления функции нескольких переменных
  • дифференциальные уравнения
  • ряды
  • теория вероятности
  • теория поля

Состав проекта

icon
icon
icon
icon метод.doc
icon
icon задания по вектор алгеб.doc
icon
icon 1.doc
icon 2.doc
icon 3.doc
icon 4.doc
icon 5.doc
icon титул.doc
icon
icon методичка и типовые расчеты.doc
icon Диф исчисл ф-ии одной перем.doc
icon Диф исчисл ф-ии одной перем.doc111.doc
icon
icon методичка и задания.doc
icon коллоквиум 1 сем.doc
icon Контр по теме Аналитика.doc
icon Кратные интегралы.doc
icon Линейная алгебра .doc
icon
icon титул.doc
icon №1.doc
icon №2.doc
icon №3.doc
icon №4.doc
icon №5.doc
icon №6.doc
icon пределы.doc
icon
icon ряды полностью.doc
icon
icon титул.doc
icon №1.doc
icon №2.doc
icon №3.doc
icon №4.doc
icon №5.doc
icon
icon начало.doc
icon окончание.doc
icon продолж.1.doc
icon продолж.2.doc
icon продолж.3.doc
icon продолж.4.doc
icon продолж.5.doc
icon рис. 1.1.bmp
icon рис. 2.1.bmp
icon рис. 2.2.bmp
icon рис. 2.3.bmp
icon рис. 2.4.bmp
icon рис. 2.5.bmp
icon рис. 2.6.bmp
icon рис. 2.7.bmp
icon рис. 2.8.bmp
icon рис. 3.1.bmp
icon титул.doc
icon Типовые расчеты по теме интегралы.doc

Дополнительная информация

Контент чертежей

icon метод.doc

Элементы аналитической геометрии были заложены математиками древней Греции – Евдоксом Евклидом Архимедом Аполлонием и др. которые провели глубокие исследования свойств конических сечений (эллипса параболы гиперболы). Но они изучали конические сечения сами по себе и доказывали истинность относящихся к ним утверждений чисто геометрическими методами обоснование которых содержится в началах Евклида. До XVII века математическая мысль не смогла подняться выше достижений древних греков в учении о конических сечениях.
В противоположность древним Декарт и Ферма стали изучать свойства конических сечений и других геометрических форм методами алгебры. Первым решительным шагом в создании математики переменных величин был выход книги Декарта «Геометрия» в 1637 г. где были заложены основы аналитической геометрии.
Пусть дано уравнение f( само уравнение выражает тогда зависимость между переменными и каждой паре значений x и y соответствует точка. Тогда уравнение есть геометрическое место точек на плоскости координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Это будет в общем случае некоторая линия. Таким образом общая задача и метод аналитической геометрии состоят в следующем: представить то или иное уравнение с двумя переменными линией на плоскости и по алгебраическим свойствам уравнения исследовать геометрические свойства соответствующей линии.
Идея Декарта создала целую новую науку. В математике произошёл редкий случай: за одно-два десятилетия появилось большое совсем новое направление в математике основанное на простой идее. Следует отметить что ни Декарт ни Ньютон пользовавшиеся методами аналитической геометрии не разрабатывали аналитической геометрии в пространстве которую разрабатывали позднее в первой половине XVIII в. Клеро и Лагир.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Одной из задач аналитической геометрии на плоскости является деление отрезка в данном отношении. Если отрезок AB где делится точкой C в отношении l то
В частности если точка C есть середина отрезка AB то и
Если отрезок заключен между точками и делится точкой С на две части длины которых относятся как n1: n2 то:
В прямоугольной системе координат XOY любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно x и y и наоборот: всякое уравнение первой степени относительно x и y определяет прямую.
В зависимости от поставленной задачи используется тот или иной вид уравнения.
y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом k где k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Если на прямой известны две точки то
Если две прямые заданы уравнениями то угол a между ними находится по формуле:
Отсюда следует условие параллельности и перпендикулярности двух прямых: если прямые параллельны то если – перпендикулярны то .
– уравнение прямой проходящей через точку в данном направлении.
– уравнение прямой проходящей через 2 данные точки: и .
– уравнение прямой в «отрезках» (a и b – отрезки отсекаемые прямой на осях Ox и Oy). Этими уравнениями удобно пользоваться при построении прямой.
Пример 1. Вычислить площадь треугольника отсекаемого от первого координатного угла прямой 2x+6y-12=0 (рис. 1).
Решение. Приведем к уравнению в «отрезках» 2
Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой при этом если какой-либо из коэффициентов равен 0 получаем неполное уравнение прямой.
а) A=0. By+C=0. – прямая параллельна оси Ox при C=0 и A=0 она совпадает с осью Ox.
б) B=0. Ax+C=0. – прямая параллельна оси Oy а при B=0 и С=0 она совпадает с осью Oy.
– нормальное уравнение прямой где P =ОА нормаль т.е. длина перпендикуляра опущенного на эту прямую a – угол образованный нормалью с осью Ox. Этим уравнением удобно пользоваться тогда когда надо найти расстояние от точки до прямой где x1 y1 – координаты отклоняющейся точки (рис. 2).
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линией второго порядка называется множество точек плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:
где A B C D E F – постоянные действительные числа. Уравнение (5) называется общим уравнением линии второго порядка. Кривых 2-го порядка три: эллипс гипербола парабола и частный случай эллипса – окружность когда полуоси эллипса одинаковые.
Определение 1. Окружностью называется множество точек плоскости одинаково отстоящих от одной точки – центра.
Стандартное (каноническое) уравнение окружности имеет вид:
где a и b – координаты центра окружности (рис. 3) В частности если центр совпадает с началом координат уравнение приобретает вид:
где R – радиус окружности.
Пример 2. Определить уравнение линии центров двух окружностей заданных уравнениями: .
Решение. Чтобы определить уравнение линии центров надо найти центры окружностей для чего данные уравнения необходимо привести к стандартному виду. Воспользуемся методом выделения полных квадратов.
Для первой окружности:
Для второй окружности:
Воспользуемся уравнением прямой проходящей через 2 точки (рис. 4):
Определение 2. Эллипсом называется множество точек плоскости сумма расстояний которых до двух данных точек называемых фокусами есть величина постоянная равная 2a. Если F1 F2 фокусы эллипса при этом то каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где – координаты центра a и b – полуоси – вершины (рис. 5). Оси эллипса являются его осями симметрии . Если a>b то ; если b>a то
Если центр эллипса совпадает с началом координат то уравнение эллипса имеет вид:
Эксцентриситетом эллипса e называют отношение расстояния между фокусами к длине большей оси: (при a>b) и (при b>a). Для эллипса для окружности.
Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Древнегреческий математик Аполлоний уравнение эллипса подразумевал в виде: . Эллипс по-гречески означает недостаток (эллипсис): площадь у2 квадрата меньше площади px прямоугольника на величину .
При a=b как частный случай эллипса получаем окружность.
Пример 3. Вычислить площадь четырёхугольника две вершины которого лежат в фокусах эллипса: а две другие – совпадают с концами его малой оси.
Решение. У четырёхугольника – диагонали взаимно перпендикулярны. Площадь такого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей т.е. .
Уравнение эллипса приведем к каноническому виду:
Определение 3. Гиперболой называется множество точек разность расстояний которых до двух данных точек плоскости есть величина постоянная равная 2a. Если F1 F2 – фокусы гиперболы при этом то каноническое уравнение гиперболы имеет вид (рис. 7):
где х0 у0 – координаты центра гиперболы a – действительная полуось если фокусы лежат на оси Ох b – мнимая полуось. Если фокусы лежат на оси Оу то b – действительная полуось a – мнимая. Если центр гиперболы совпадает с началом координат а фокусы лежат на оси Ох то уравнение гиперболы имеет вид (рис. 8):
– вершины гиперболы – фокусы гиперболы ОC1 OC2 – асимптоты гиперболы уравнение которых
Эксцентриситет также как и эллипс определяется отношением но в отличии от эллипса он больше 1.
Для гиперболы имеет место соотношение: .
Гипербола определяемая уравнением называется сопряженной по отношению к гиперболе определяемой уравнением (11). Её вершины находятся в точках фокусы эксцентриситет её равен . Оси координат являются осями симметрии гиперболы.
Древний математик Александрийской школы Аполлоний (III-II вв. до н.э.) определил гиперболу уравнением пользуясь геометрическими понятиями. По-гречески «гипербола» означает избыток (юпербола): площадь квадрата превосходит площадь px прямоугольника на величину .
Пример 4. Составить уравнение гиперболы фокусы которой лежат на оси O–1) лежит на гиперболе а уравнение асимптот имеет вид: .
Решение. Уравнение гиперболы имеет вид: . Так как точка M принадлежит гиперболе то её координаты удовлетворяют этому уравнению т.е. Кроме того Подставляя получим: Тогда – уравнение искомой гиперболы.
Определение 4. Параболой называется множество точек плоскости для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости называемой фокусом равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой называемой директрисой.
Парабола по-гречески означает равенство: квадрат имеет площадь равную площади px. Директрисой (D) называется прямая перпендикулярная фокальной оси и отстоящая от вершины параболы на расстоянии p2. Расстояние от фокуса до директрисы вершиной делится пополам.
Парабола имеет один фокус и если фокус лежит на оси Ox то уравнение параболы имеет вид:
Знак плюс берётся в том случае если ветви направлены в правую сторону (p>0) и минус (p0) если ветви направлены в левую сторону (рис. 9 10). Если фокус лежит на оси Oy то ветви будут направлены вверх если p>0 и ветви направлены вниз то p0. Следовательно уравнения имеют вид:
Следовательно чтобы построить схематичный график параболы надо знать: 1) где находится вершина параболы; 2) что является осью симметрии параболы; 3) куда направлены ветви. В общем виде уравнение параболы можно записать так:
где точка (a b) – вершина параболы.
Пример 5. Вычислить фокальный радиус точки A параболы если абсцисса точки A равна 7.
Решение. Если x=7 то Следовательно таких точек две:
Из уравнения следует: 2p=20 p=10; . Тогда
Заключение. Рассмотренные кривые ранее рассматривали геометрически как след пересечения конуса и плоскости поэтому их иногда называют коническими сечениями.
Уравнение (5) можно записать используя теорию квадратичных форм в виде:
где не равны нулю одновременно.
Уравнение (16) поворотом и переносом осей координат и делением левой части на число отличное от нуля может быть приведено к одному из следующих 9 видов (при а>0 b>0):
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Для ориентации на плоскости используется прямоугольная система координат где положение точки на плоскости определяется двумя числами. Однако такой способ ориентации геометрических объектов не является единственным. Но какая бы система координат на плоскости не вводилась положение точки на плоскости должно определяться двумя числами. Вводятся различные системы координат с целью упростить подчас очень сложные уравнения для построения их графиков и исследования этих функций. Из прямолинейных систем координат существует прямоугольная декартова система и косоугольная (аффинная) в которой оси не перпендикулярны но базисные векторы равны между собой. Из криволинейных систем координат существуют: барицентрические координаты (координаты Мебиуса) биполярные тангенциальные трилинейные (треугольные) проективные и т.д. Наиболее распространенными из них являются полярные. Полярная система координат определяется полярной осью (р) и началом отсчета на этой оси (0)-полюсом. Тогда положение точки на плоскости характеризуется двумя числами: длиной радиуса-вектора (р) и углом наклона этого радиуса-вектора к положительному направлению оси Ох.
Применение этой системы координат выгодно в том плане что многие функции заданные иррациональными или тригонометрическими уравнениями при переходе к полярным координатам значительно упрощаются что облегчает их построение и исследование.
Формулы перехода от полярных координат к декартовым (рис. 11) из треугольника ONM имеют вид: y=sin x=cos. Формулы перехода от декартовой системы координат к полярным будут иметь вид:
Пример. Построить кривую (х2+у2)2=2a2(x2 –у2). Искомая кривая называется лемнискатой Бернулли (рис. 12) в честь швейцарского математика Якова Бернулли который обратил на нее внимание выявив ряд замечательных механических свойств (лемниската – повязка бант).
Уравнение кривой приведем к полярным координатам полагая что y=sin x=cos.
Подставляя получим: (r2cos2j+r2s r= ±aj.
При j=0 r= при . При точек кривой нет. При . Составив таблицу в области определения функции строим график по точкам откладывая в заданном масштабе соответствующее значение полярного радиуса.
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Поверхностями 1-го порядка являются только плоскости. В зависимости от поставленных задач используются те или иные уравнения плоскости. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением 1-й степени и наоборот каждое уравнение первой степени в пространстве определяет плоскость. Всякий (не равный нулю) вектор перпендикулярный к данной плоскости называется ее нормальным вектором. Если плоскость проходит через точку М0(х0у0z0) и имеет нормальный вектор =А В С то уравнение плоскости имеет вид:
А(х–x0)+B(у–y0)+С(z – z0)=0. (16)
Раскрывая скобки и обозначив постоянные величины через D получим уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0. (17)
Это уравнение называется общим уравнением плоскости где А В С – одновременно не равны 0. Если некоторые коэффициенты равны 0 то уравнение плоскости называется неполным.
если D=0 плоскость проходит через начало координат;
если А=0 плоскость параллельна оси Ох;
если А=0 и D=0 плоскость проходит через ось Ох;
если А=0 и В=0 плоскость параллельна плоскости хОу;
если А=0 В=0 и D=0 то z=0 – это уравнение плоскости хОу и т.д. Если плоскость пересекает оси координат то уравнение которое называется уравнением плоскости в «отрезках» можно записать в виде:
где a b c – отрезки отсекаемые соответственно по осям Ox Oy Oz.
Известна аксиома: через 3 точки можно провести плоскость и при том только одну.
Уравнение плоскости проходящей через 3 точки имеет вид:
Иногда необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Решить эту задачу удобно с помощью нормального уравнение плоскости:
xcosa + ycosb + zcosg – r = 0 (20)
где r – нормаль (перпендикуляр к плоскости) a b g – углы образуемые нормалью с осями Ox Oy Oz – соответственно. Если плоскость задана уравнением общего вида то с приведением его к нормальному виду расстояние d точки М(х у z) от плоскости определяется по формуле:
При нахождении уравнения плоскости проходящей через данную точку и линию пересечения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 удобно пользоваться уравнением пучка плоcкоcтей: A1x + B1y + C1z + D1 + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0.
Пример. Составить уравнение плоскости которая проходит через прямую пересечения плоскостей Зх–у+2z+у=0 х+z–3=0 и через точку М(4; –2; –3).
Решение. Так как искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей 3 17–2 l=172.
Подставляя значение l в уравнение пучка прямых получим: 23x – 2y + 21z – 33 = 0. Если необходимо определить угол между двумя плоскостями A1x + B1y + C1z + D1=0 и A2x + B2y + C2z + D2=0 то двугранный угол равен линейному углу между нормальными векторами и . Отсюда
Если плоскости перпендикулярны то A1A2+B1B2+C1C2=0 если параллельны то .
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Самый простой способ задания прямой в пространстве – это рассматривать ее как след пересечения 2-х плоскостей (рис. 13).
Пусть даны плоскости a и b заданные уравнениями A1x+B1y+C1z+D=0 и A2x+B2y+C2z+D=0. Тогда прямая определяется системой:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0. (22)
Однако такой способ не удобен при решении многих практических задач. Пусть дана прямая b точка на ней M0( z0) и направляющий вектор коллинеарный прямой b. Выбрав на прямой произвольную точку M( z) и определив координаты вектора МM0=х – у – у0; z – z0 на основании коллинеарности получим:
Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой. Чтобы от уравнения прямой заданной как след пересечения прямой 2-х плоскостей перейти к каноническому виду надо:
) в системе уравнений (22) одной из неизвестных например z придать произвольное значение. Это мы вправе сделать так как прямая – бесконечная линия и выбранное значение z она где-то примет. Тогда решая систему 2-х уравнений с двумя неизвестными определим остальные координаты х и у;
) в качестве направляющего вектора принимается векторное произведение нормальных векторов . Этот вектор перпендикулярен векторам и параллелен линии пересечения плоскостей.
Пример. Составить каноническое уравнение прямой:
Решение. Пусть z = 0 тогда
Таким образом выбрана точка М(2; –1; 0).
Найдем векторное произведение векторов и : .
Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид:
Чтобы найти точки пересечения поверхностей с прямой используются параметрические уравнения прямой. Если в уравнении (23) каждое отношение обозначить через t то получим:
x = x0 + lt y = y0 + mt z = z0 + nt. (24)
Эти уравнения называются параметрическими и наконец уравнение прямой в пространстве проходящей через 2 точки имеет вид:
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Поверхность определяемая уравнением второй степени относительно переменных называется поверхностью второго порядка:
При этом некоторые коэффициенты могут обращаться в нуль. Если коэффициенты равны нулю то уравнение второго порядка принимает вид: .
Такие поверхности называются центральными поверхностями второго порядка. Их шесть
– эллипсоид (рис. 14);
– однополостный гиперболоид (рис. 15);
– двуполостный гиперболоид (рис. 16);
– эллиптический цилиндр (рис. 17);
– гиперболический цилиндр (рис. 18);
– конус второго порядка (рис. 19).
Кроме перечисленных поверхностей существуют поверхности второго порядка не имеющие центра. Уравнения этих поверхностей могут быть записаны в виде: (при D 0).
Таких поверхностей три:
– (при pq>0) – эллиптический параболоид
– (при pq>0) – гиперболический параболоид
– параболический цилиндр (рис. 22).
Рис. 20Рис. 21Рис. 22
При решении практических задач наиболее часто используются цилиндрические и конические поверхности.
Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей а параллельные прямые – образующими. Если образующие будут параллельны оси ОZ то уравнение цилиндрической поверхности не зависит от z и имеет вид f(x y)=0 а уравнение направляющей:
Аналогично уравнения не содержащие y и x определяют цилиндрические поверхности F(x y)=0 с образующими параллельными оси OY и F(y z)=0 с образующими параллельными оси OX.
Канонической поверхностью называется геометрическое место прямых (образующих) проходящих через данную точку (вершину конуса) и пересекающую данную кривую (направляющую). Если за вершину конуса принять начало координат а за направляющую – кривую в плоскости z=h заданную уравнениями то уравнение конической поверхности имеет вид: с образующей где и точка (x0 y0 h) лежит на направляющей.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Даны вершины треугольника АВС: A( y1) B( y2) C( y3).
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СN;
в) уравнение медианы
г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;
д) уравнение прямой проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
1.А(-2;4)B(3;1)С(10;7)
2.А(-3;-2) В(14;4)С(6;8)
3.А(1;7)В(-3;-1) С(11;-3)
4.А(1;0) В(-1;4) С(9;5)
5.А(1;-2) В(7;1) С(3;7)
6.А(-2;-3) В(1;6) С(6;1)
7.А(-4;1) В(-6;6) С(6;2)
8.А(4;-3) В(7;3) С(1;10)
9.А(4;-4) В(8;2) С(3;8)
10. А(-3;-3) В(5;-7) С(7;7)
11.А(1;-6) В(3;4) С(-3;3)
12.А(-4;2) В(8;-6) С(2;6)
13.А(-5;2) В(0;-4) С(5;7)
14.А(4;-4) В(6;2) С(-1;8)
15.А(-3;8) В(-6;2) С(0;-5)
16.А(6;-9) В(10;-1) С(-4;1)
17.А(41) В(-3;-1) С(7;-3)
18.А(-4;2) В(6;-4) С(4; 10)
19.А(3;-1) В(11;3) С(-6;2)
20.А(-7;-2) В(-7;4) С(5;-5)
21.А(-1;-4) В(9;6) С(-5:4)
22.А(10;-2) В(4;-5) С(-3;1)
23.А(-3;-1) В(-4;-5) С(8;1)
24.А(-2;-6) В(-35) С(4;0)
25.А(-7;-2) В(3;-8) С(-4;6)
26.А(0;2) В(-7;-4) С(3;2)
27.А(7;0) В(1;4) С(3;2)
28.А(1;-3) В(0;7) С(-2;4)
29.А(-5;1) В(8;-2) С(1;4)
30.А(2;5) В(-3;1) С(0;4)
31.А(-3;2) В(4;-1) С(-7;5)
32. А(2;-5) В(0;-3) С(1;-1)
Решить следующие задачи. Сделать чертеж.
1. Уравнение одной из сторон квадрата х+Зу – 5=0 и точка пересечения его диагоналей М(-1;0). Составить уравнения трех остальных сторон квадрата.
2. Найти проекцию точки А(-8; 12) на прямую проходящую через точки В(2;-3) и С(-5;1).
3. Даны две вершины треугольника АВС: А(-4;4) В(4;-12) и точка пресечения его высот М(4;2). Найти координаты вершины С.
4. Даны уравнения одной из сторон ромба х–Зу+10=0 и одной из его диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пресекаются в точке М(0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба.
5. Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+=0 и х+у–24=0 а уравнение одной из его диагоналей х – 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма.
6. Даны вершины А(-3;-2) В(4; -1) С(1; 3) трапеции ABCD. Известно что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции.
7. Даны две вершины: А(2;-2) и В(3;-1) и точка Р(1;0) пересечения меридиан треугольника АВС. Составить уравнения высоты треугольника проведенной через вершину С.
8. Даны уравнения двух высот треугольника АВС: х+у=4 и у=2х и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнение сторон этого треугольника.
9. Найти точку симметричную точке М(2;-1) относительно прямой х – 2у + 3 = 0.
10. Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС: 4х+у=12 его высот: ВН – 5х–4у=12 и AM – х+у=6. Составить уравнения двух других сторон этого треугольника.
11. Даны две вершины треугольника АВС: А(-6;2) В(2;-2) и точка Н(1;2) пересечения его высот. Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.
12. Даны уравнения двух медиан треугольника х – 2у + 1 = 0 и у – 1 = 0 и одна из его вершин (1; 3). Составить уравнения его сторон.
13. Найти координаты точки М расположенной симметрично точки А(-8;-3) относительно прямой ВС если известны точки В(4;-12) и С(8; 10).
14. Дан треугольник с вершинами А(3;1) В(-3;-1) С(5;-12). Составить уравнение и вычислить длину медианы проведенной из вершин С.
15. Через точку пересечения прямых 2х – 5у – 1 = 0 и х + 4у – 7 = 0 провести прямую делящую отрезок между точками А(4;-3) и В(-1; 2) в отношении .
16. Известны уравнения двух сторон ромба 2х – 5у – 1=0 2х – 5у – 34= 0 и уравнение одной из его диагоналей х + Зу – 6=0. Составить уравнение второй диагонали.
17. Составить уравнения прямых проходящих через точку А(-1;1) под углом к прямой 2х + 3y = 6.
18. Даны уравнения высот треугольника АВС: 2х – 3у + 1=0 х + 2у + 1=0 и вершина А(2;3). Найти уравнения сторон этого треугольника.
19. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х – 2у=0 х – у – 1=0 и точка пересечения его диагоналей М(3;-1). Найти уравнения двух других сторон.
20. Даны уравнения двух сторон треугольника 4х – 5у + 8=0 х + 4у + 2=0 и точка (4; 2) пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны этого треугольника.
21. Вычислить координаты вершин ромба если известны уравнения двух его сторон 2х – у + 4=0; 2х – у + 10=0 и уравнение одной из его диагоналей х + у + 2=0.
22. Составить уравнения сторон треугольника если А(-33) и В(5;-1) – две его вершины а М(4;3) – точка пересечения его высот.
23. Уравнение одной из сторон квадрата х + Зу – 5=0 М(-1:0) – точка пересечения его диагоналей. Составить уравнения остальных сторон квадрата.
24. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: х + у – 1=0 у + 1=0 и точка М(-1;0) пересечения его диагоналей. Найти уравнения его диагоналей.
25. На прямой 2х + у + 6=0 найти точку равноудаленную от двух данных точек А(-1;0) и В(1;-1).
26. Найти координаты точки симметричной точке (4;-3) относительно прямой 4х + Зу + 12=0.
27. Вычислить координаты центра окружности описанной около треугольника с вершинами А(1;2) В(3;0) С(5;1).
28. Известны вершины А(1;-2) и С(4;2) квадрата ABCD. Найти остальные вершины этого квадрата.
29. Вычислить координаты вершин ромба если известны уравнения двух его сторон х + Зу + 12=0 х + Зу – 8=0 и уравнение одной из его диагоналей 2х + у + 4=0.
30. Даны вершины треугольника А(1;2) В(-1;6) С(5;10). В треугольник вписан ромб так что его вершина М принадлежит стороне АВ N – стороне ВС Р – стороне АС. Составить уравнения сторон ромба AMNP.
31. Дано уравнение стороны АВ треугольника: 2х – Зу + 6=0 и уравнения двух его высот: (AN) 2х + у–2=0 и (ВК) х + Зу – 12=0. Составить уравнения двух других сторон треугольника.
32. Составить уравнения сторон треугольника если одна из его вершин А(3;-1) а уравнения двух медиан х + 2у – 3=0 и 3х + у + 6=0.
Составить канонические уравнения:
где А В – точки лежащие на кривой F – фокус а – большая (действительная) полуось b – малая (мнимая) полуось – эксцентристет у=+kx – уравнения асимптот гиперболы D – директрисса кривой 2с – фокусное расстояние.
1. a) b=15; F(-10;0);б) a=13; ; в) D:х =-4.
2. a) b=2; F(; 0);б) а=7; ; в) D:x =5.
3.а) А(3;0) В(2;);б) b=6; e=2;в) D:y=-2.
4.a) ; А(-5; 0);б) А(;3) В();
5.a) 2a=22 ;б) k=; 2с=;
в) ось симметрии O 9).
6.a) b=; ;б) k=; 2а=16;
в) ось симметрии Ох и А (4; -8).
7.a) a=4; F(3; 0); б) b=; F(-11; 0);
8.a) b=4; F(9; 0);б) а=5; ; в) D:х = 6.
9.а) А( 0;) В(;1);б) b=; ;
10.a) ; A(8; 0);б) А(;1) В(2;);
11.a) 2a=24; ;б) k=; 2с=10;
в) ось симметрии O-7).
12.a) b=2; ;б) k=; 2а=26;
в) ось симметрии O 15).
13.a) a=6; F(-4;0);б) b=3; F (7; 0); в) D:x = -7.
14.a) b=7; F(5; 0); б) a=11; ; в)D:x = 10.
15. a) A (); B();б) b=3;
16.а) ; А(0;8);б) А(6;0) В(-22; 1);в) D:y=9.
17.а) 2а=22; ;б) k=; 2с=12;
в) ось симметрии Ох и А(-7; 5).
в) ось симметрии Оу и А (-96).
19.a) a=9; F (7;0); б) b=6; F(12;0);
20.a) b=5; F (-10:0); б) а= 9; ; в) D:x = 12.
21.a) A(0;-2); В();б) c=; ;
22.а) ; А(-6;0); б) А(8; 0); В(;2); в) D: у = 1.
23.а) 2а=50; ; б) k=; 2с=30;
в) ось симметрии Оу и А(4; 1).
24.а) b=; ;б) k = ; 2а=12;
в) ось симметрии Оу и А (-2; 3).
25.а) а=13; F(-5;0); б) b=44; F(-7;0);
26.a) b=7; F(13;0); б) b = 4; F(-11;0); в) D: х = 13 .
27.a) A(-3;0); B(1;);б) b =;
28.а) ; А(0;);б) А(;1); В(;0);
29.а) 2а=30; ;б) k=; 2c=18;
в) ось симметрии Оу и А (4;-10).
30.а) b=; ;б) k=; 2а=12;
в) ось симметрии Оу и А(-45;15).
31.a) 2a=6; ;б) А(-5;3); ;
32. а) 2с=8; ;б) 2а=6; А(6;);в) F(0:5).
Построить кривую заданную уравнением в полярной системе координат по точкам значения через промежуток от j = 0 до j = 2p.
1.r = 2(1 + cosj)4.17. r = 3(1 + cosj)
2.r = 3 cos2j4.18. r = sinj + cosj
3.r = 3 (1 – cosj)4.19. r = 16 (5 + 3cosj)
4.r = 5 (4 – 3 cosj)4.20. r = 2 (1 + sinj)
5.r = 1 + 2 cosj4.21. r = 6 (3 + 2cosj)
6.r = 3 (2 + sinj)4.22. r = 4 (1 + sinj)
7.r = 4 (1 – cosj)4.23. r = 2 sin2j
8.r = 1 (1 – sinj)4.24. r = 1 + cos2j
9.r = 1 (2 + cosj)4.25. r = 3 + sinj
10.r = 3 (1 + sinj)4.26. r = 3 + sin2j
11.r = 4 (2 + 3 cosj)4.27. r = 3 – 2 sin2j
12.r = 2 (1 – cosj)4.28. r = 2 + cosj
13.r = 1 (3 + 2cosj)4.29. r = 3 – 2 sin2j
14.r = 5 (2 – sinj)4.30. r = 2 cos2j
15.r = 2 cos22j4.31. r = 3 (1 + cos2j)
16.r = 5 (1 + sinj)4.32. r = 2 (2 – cosj)
Даны четыре точки: A1(z1) A2(z2) A3(z3) A4(z4). Составить уравнения:
а) плоскости A1A2A3
в) прямой A4M1 перпендикулярной к плоскости
г) прямой A3N параллельной прямой
д) плоскости проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой A1A2.
е) синус угла между прямой A1A4 и плоскостью
ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью A1A2A3.
1. Составить уравнение плоскости параллельной вектору (2;l;-l) и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = 3 и b = -2.
2. Составить уравнение плоскости перпендикулярной к плоскости 2х – 2у + 4z – 5 = 0 и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = -2 b = 23.
3. Составить уравнение плоскости которая проходит через точку М(2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям 2х – z + 1 = 0 у = 0.
4. Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(3;2;-5) параллельно векторам (-3;1;-1) (2;-2;5).
5. Составить уравнение плоскости проходящей через середину отрезка АВ и отсекающей на оси Ох отрезок а = 5 и на оси Оу отрезок b = 2 если А(7;5;1) и В(3;2;4).
6. Составить уравнение плоскости проходящей через ось Oz перпендикулярно к плоскости 9х – y + 5z –18=0.
7. Составить уравнение плоскости проходящей через точку Р(-3;1;-2) перпендикулярно к плоскостям Оху и 6х – у + 5z – 13=0.
8. Составить уравнение плоскости проходящей через точку (-3;1;0) и линию пересечения плоскостей х + 2у – z + 4 = 0 Зх – у + 2z – 1 = 0.
9. Через линию пересечения плоскостей 6x – y + z=0 и 5х + 3z – 10=0 провести плоскость параллельную оси Ох. Составить уравнение этой плоскости.
10. Написать уравнение плоскости проходящей через точку М(0;2;3) параллельно векторам (l;3).
11. Написать уравнение плоскости проходящей через ось Oz и точку К(1;-1;-2).
12. Написать уравнение плоскости проходящей через точки А(2;3;0) и В(1;-1;-1) параллельно оси Oz. Записать координаты какой-нибудь третьей точки принадлежащей данной плоскости.
13. Составить уравнение плоскости проходящей через линию пересечения плоскостей 4х – у + 3z = 1 и 1;1).
14. При каком значении z точки О(0;0;0) А(1;-5;3) В(2;4;4) С(1;1; Z) лежат в одной плоскости?
15. Составить уравнение плоскости проходящей через ось Ох и точку А(2;5;-1).
16. Составить уравнение плоскости проходящей через точки А(2;5;-1) В(-3;1;3) параллельно оси Оу.
17. Составить уравнение плоскости проходящей через точку А(3;4;0) и прямую .
18. Составить уравнение плоскости проходящей через две параллельные прямые и .
19. Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(4;-3;1) и линию пересечения плоскостей 2х + у – 3z + 2 = 0 и 5х + 5у – 4z + 3 = 0.
20. Составить уравнение плоскости проходящей через ось Ох и точку Р(3;2;-5).
21. Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(6;-10;1) и отсекающей на оси Ох отрезок а = -3 на оси Oz – отрезок с = 2.
22. Составить уравнение плоскости проходящей через точку К(2;43;-4) параллельно векторам =(4;-l;2).
23. Составить уравнение плоскости проходящей через точки М1(1;1;0) и М2(2;-1;-1) перпендикулярно к плоскости 5х + 2у + 3z – 7=0.
24. Составить уравнение плоскости проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x + 3y + z – l = 0 и х – y + 5z + 3 = 0.
25. Составить уравнение плоскости проходящей через точки Р(3;-1;2) и Q(2;1;4) параллельно вектору (5;-2;-l).
26. Показать что прямая параллельна плоскости х + Зу – 2z – 1 = 0 а прямая x = t + 7 y = t – 2 z = 2t + l лежит в этой плоскости.
27. Составить уравнение плоскости проходящей через точки М(1;2;3) и N(-3;4;-5) параллельно оси Oz.
28. Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(2;3;-1) и прямую х = t – 3 у = 2t + 5 z = –3t + 1.
29. Найти проекцию точки М(4;-3; 1) на плоскость
30. Составить уравнение плоскости проходящей через точки А(2;3;-1) и В(1;1;4) перпендикулярно к плоскости х – 4у + 3z +2 = 0.
31. Составить уравнение плоскости проходящей через точку F(1;3;-2) и перпендикулярной к прямой
32. Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(1;2;-3) параллельно прямым .
1. Найти точку Q симметричную точке Р(1;3;-4) относительно плоскости Зх + у – 2z = 0.
2. Найти проекцию точки Р(5;2;-1) на плоскость 2х – у + 3z – 23 = 0.
3. Составить уравнение плоскости проходящей через две параллельные прямые ; x = 3t + 1 y = 2t + 2 z = –2t – 3.
4. Составить уравнение плоскости проходящей через прямую x = 2t + 1 у = –3t – 2 z = 2t + 2 перпендикулярно плоскости Зх + 2у – z = 5.
5. Доказать что прямые и х =3t +7 у = 2t + 2 z = –2t + 1 лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости.
6. Доказать параллельность прямых и
7. Доказать что прямая перпендикулярна к прямой
8. При каком значении m прямая параллельна прямой
9. Через точку пересечения прямой и плоскости 2x + 3y + z – 1 = 0 провести прямую перпендикулярную данной плоскости. Составить уравнение этой прямой.
10. Найти проекцию точки М(3;1;-1) на плоскость
х + 2у + 3z – 30 = 0.
11. Составить уравнение прямой проходящей через точку М(2;-5;3) параллельно прямой
12. Составить уравнение прямой проходящей через точку М(2;-3;4) перпендикулярно к прямым и .
13. Показать что прямая параллельна плоскости х + Зу – 2z + 1 = 0 а прямая x = t + 7 y = t – 2 z = 2t + l лежит в этой плоскости.
14. Показать что прямые и перпендикулярны.
15. При каком значении D прямая пересекает ось Oz?
16. При каком значении Р прямые x = 2t + 5 y =–t + 2 z = Pt – 7 и параллельны?
17. Найти точку пересечения прямой и плоскости Зх – у + 2z – 8 = 0.
18. Составить общее уравнение прямой образованной пересечением плоскости х + 2у – z + 5 = 0 с плоскостью проходящей через ось Оу и точку М(5;3;2).
19. Составить канонические уравнения прямой проходящей через точку М(1;-5;3) перпендикулярно к прямым и х = 3t + 1 у = –t – 5 z = 2t + 3.
20. Найти точку симметричную точке М(4;3;10) относительно прямой .
21. Найти точку пересечения с плоскостью Оху прямой
22. Найти точки пересечения с плоскостями прямой х = 6 +2t у = –2 + 4t z = –5t.
23. Показать что прямая пересекает плоскость Зх + 5у – z – 2 = 0. Найти точку пересечения.
24. Установить что прямые х = 1 + 2t у = 7 + t z = 3 + 4t и х = 6 + 3t у = –1 – 2t z = –2 + t пересекаются. Составить уравнение плоскости в которой лежат эти прямые.
25. Найти точку пересечения прямой x = 2t y = 1 – t z = 3 + t и плоскости x + y + z – 10 = 0.
26. Установить что прямые х = 2 + 4t у = –6t z = –t – 8 и х = 7 – 6t у = 2 + 9t z = 12t параллельны. Составить уравнение плоскости в которой лежат эти прямые.
27. Установить что прямые x = t y = –8 – 4t z = –3 – 3t и параллельны. Составить уравнение плоскости в которой лежат эти прямые.
28. Найти проекцию точки М(1;2;-3) на плоскость
х – у + 3z – 41 = 0.
29. Найти точку симметричную точке М(4;3;10) относительно прямой х = 1 + 2t у = 2 + 4t z = 3 + 5t.
30. Составить уравнение перпендикуляра опущенного из точки М(-1;0;4) на прямую х = 1 + t у = 2t z = 4 – t.
31. Составить уравнение перпендикуляра опущенного из точки М(3;2;1) на ось Ох.
32. Найти точку симметричную точке Р(2;7;1) относительно плоскости х – 4y + z + 7 = 0.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука 1974.
Бугров Я.С. Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука 1980.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука 1969.
Ильин В.А. Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука 1968.
Привалов Н.Н. Аналитическая геометрия. – М.: ОГИЗ Гостехиздат 1948.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука 1986.
Прямая линия на плоскости ..
Линии второго порядка ..
Уравнение линии в полярной системе координат
Плоскость в пространстве ..
Прямая линия в пространстве .
Поверхности второго порядка .
Индивидуальные задания ..
Библиографический список ..

icon задания по вектор алгеб.doc

1. Векторы. Длина отрезка. Деление отрезка в данном отношении
Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 1) В (7; 5) С (–4; 7). Вычислить длину биссектрисы АВ угла А.
Определить длину медианы АМ треугольника АВС заданного в прямоугольной системе координатами своих вершин А (5; –4) В (–1; 2) С (5; –1).
Даны три последовательные вершины трапеции А (–2; –3) В (1; 4) С (3; 1). Найти четвертую её вершину Д при условии что основание АД в 5 раз больше основания ВС.
На прямой проходящей через точки А (4; 8) В (–1; –4) найти точки отстоящие от В на расстоянии 4.
Даны середины сторон треугольника М1 (2; 4) М2 (–3; 0) М3 (2; 1). Найти его вершины.
Даны две точки А (–3; 1) В (2; –3). На прямой АВ найти такую точку М чтобы она была расположена по ту же сторону от точки А что и точка В и чтобы отрезок АМ был втрое больше отрезка АВ.
Дан треугольник АВС: А (2; –3) В (1; 3) С (–6; –4). Найти точку М симметричную вершине А относительно стороны ВС.
Вершины четырехугольника находятся в точках А (2; 0; –4) В (7; –15; 16) С (–1; –1; 11) Д (–4; 8; –1). Доказать что АВСД трапеция.
Точка М пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс две вершины его – точки А (2; –3) В (–5; 1) третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С.
Проверить что треугольник АВС: А (1; 2; 3) В (3; 2; 1) С (1; 4; 1) равносторонний и найти длину медианы проведенной из вершины А.
Даны две вершины треугольника А (–8; –2; –4) В (–1; –4; –7) и точка пересечения медиан М (–1; –83; –3). Найти координаты третьей вершины.
В точках А (–2) и В (–4) приложены параллельные силы Р = 2 кг и Q = 6 кг направленные в разные стороны. Найти точку приложения равнодействующей.
До какой точки Д (х у) нужно продлить отрезок АВ чтобы его длина утроилась если А (–1; 7) В (2; 4).
На продолжении отрезка АВ с координатами А (–5; 5) В (1; –4) найти точку с абсциссой равной 9.
Зная две противоположные вершины ромба А (8; –3) и С (10; 11) найти две другие его вершины при условии что длина стороны ромба равна 10.
Найти центр тяжести четырехугольника однородной пластины зная что углы пластины помещаются в точках: А (4; 4) В (5; 7) С (10; 10) D (12; 4).
В вершинах треугольника А (1; 8) В (3; 4) С (4; 2) сосредоточены массы 30 г 40 г 60 г: а) определить координаты центра тяжести системы материальных точек А В С; б) найти центр системы в предположении что в точках А В С сосредоточены одинаковые массы.
Однородный стержень изогнут в виде треугольника вершины которого находятся в точках А (2; –2) В (5; –1) С (2; 3). Определить координаты центра тяжести треугольника.
Докажите что три точки А (1; 2; –1) В (2; –1; 0) С (3; –4; 1) принадлежат одной прямой.
Две вершины треугольника АВС имеют координаты А (3; 6) В (–3; 5). Определить координаты вершины С при условии что середины сторон АС и ВС лежат на разных осях координат.
Даны две вершины равностороннего треугольника А (2; 1) В (6; 3). Найти его третью вершину.
В трапеции АВСD (AD BC) диагонали которой взаимно перпендикулярны заданы три последовательные вершины А (10; 1) В (5; 10) С (–2; 9). Найти координаты вершины D.
В точках О (0; 0) А (7; –5) и В (4;2) помещены массы 500 200 и 100 г. Определить центр масс системы.
Даны две противоположные вершины квадрата А (–3; 2) В (5; 4). Найти две другие вершины С и D (отв. С (4; 3) D (–2; –5). Указание: если М середина диагонали АВ то вершины С и D получим повернув вектор один раз на p2 другой раз на (–p2).
Дан треугольник АВС с вершинами А (–1; 1; –4) В (3; –1; –4) С (5; 1; –1). Найти координаты точки пересечения биссектрисы угла А с противоположной стороной.
В точках А (–3) и В (7) приложены параллельные силы Р = 3 кг и q = 2 кг. Найти точку М приложения равнодействующей.
Даны точки А (2; 4; –2) В (–2; 4; 2) на прямой АВ. Найти точку М удаленную в 4 раза дальше от точки А чем от точки В.
Найдите координаты лампочки подвешенной в центре потолка на шнуре длиной 1 м приняв за координатные плоскости плоскость пола и двух пересекающихся стен причем комнату считать первым октантом. Длина комнаты 2 м ширина 6 м высота 4 м.
Определить координаты точки пересечения медиан треугольника если его вершины имеют координаты А (3; 1) В (–1; 4) С (1; 1).
Направляющие косинусы. Линейные операции
над векторами. Базис трехмерного пространства
В параллелограмме АВСD известна точка пересечения диагоналей М (0; 3; 2) векторы =12+6 и . Определить координаты вершины параллелограмма длину и направляющие косинусы вектора проекцию вектора и направляющие косинусы вектора .
В треугольнике АВС сторона ВС разделена точкой D в отношении 3:4 считая от точки В. Найти разложения вектора по векторам и .
Найти сумму координат вектора если единичный вектор образует с базисным вектором угол 30º а с базисными ортами и равные острые углы.
В треугольнике АВС сторона АВ разделена точкой М в отношении 1:4 считая от точки А. Найти разложение вектора по векторам и .
Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите что МА + МВ + МС = 0.
Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М; О – произвольная точка пространства. Докажите что .
Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке М; O – произвольная точка пространства. Докажите что .
Определить углы образуемые диагональю куба с диагоналями граней куба выходящих из той же вершины.
В параллелограмме АВСD известна вершина А (–1; –4; 1) и векторы . Определите координаты вершин В С D длину и направление вектора .
Даны координаты вершин треугольника А (–5; –4) В (2; 1) и С (4; 6). Требуется вычислить: а) длину сторон АВ ВС; б) длину высоты ВD; в) тангенсы углов А и В.
Лодку массой 525 кг тянут к берегу двумя канатами расположенными в горизонтальной плоскости с силами по 120 Н каждая. Угол между канатами . С каким ускорением приближается лодка к берегу если сопротивление воды 99 Н?
Центр окружности описанной около правильного шестиугольника АВСDEF находится в точке О . Найти векторы которым принадлежат направленные отрезки .
Найдите косинусы углов образованных вектором с координатными векторами .
Пловец хочет переплыть реку кратчайшим путем из точки А в точку В. Скорость пловца относительно воды V1 скорость воды относительно берегов V2 ширина реки d. Под каким углом к прямой АВ и сколько времени должен плыть пловец?
Корабль плывет на север со скоростью 423 кмчас. Наблюдатель на корабле заметил в море катер и определил что он движется на юго-запад со скоростью 30 кмчас. Определить скорость и направление движения катера.
На реактивный самолет действует в вертикальном направлении сила тяжести 600 кН и подъемная сила 650 кН а в горизонтальном направлении – сила тяги 200 кН и сила сопротивления воздуха 150 кН. Найдите величину равнодействующей.
Танк движется со скоростью 216 кмчас. Какова скорость движения верхней и нижней гусеницы относительно поверхности земли.
Ящик скользит со скоростью 1 мсек по наклонному помосту расположенному под углом к горизонту. Найти горизонтальную и вертикальную составляющие скорости.
Поезд идет со скоростью V1 по прямолинейному участку пути. Из B находящейся на расстоянии d от точки А выезжает автомобиль имеющий скорость V2. Под каким углом к железнодорожному пути должна быть направлена эта скорость чтобы автомобиль догнал поезд по кратчайшему пути. Найти время необходимое для этого автомобиля.
Скорость двух составляющих движений направлена под углом друг к другу и равна соответственно 6 и 4 мсек. Найти скорость результирующего движения.
ОАВС – треугольная пирамида точки М и N – середины ребер ОВ и ОС. Разложить векторы и по векторам .
Даны векторы и . Вектор – медиана треугольника ОАВ. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам
В трапеции АВСD отношение длины основания DA к длине основания ВС равно λ. Полагая что выразить через и векторы и .
В треугольнике АВС сторона АВ разделена точками D и Е на три равные части: . Найти векторы и если .
В треугольнике АВС проведены медианы АК ВL СМ. Выразить векторы через векторы .
В трапеции АВСD стороны приняты за векторы . Доказать что в трапеции средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказать что сумма векторов соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами равна нулю.
ОАВС – треугольная пирамида АМ – медиана грани АВС. Разложить вектор по векторам .
В треугольнике АВС точки М и N – середины сторон АВ и АС. Разложить векторы по векторам .
В параллелограмме АВСD Выразить вектор через векторы и если
Скалярное произведение векторов
В треугольнике АВС известна вершина А (3; 2; 1) вектор ВС = и вектор-медиана . Определить координаты вершин В и С длину и направление вектора и проекцию вектора на направление вектора .
Даны векторы и . Найти ПРс .
Найти произведение если .
Найти численную величину ортогональной проекции вектора на ось направление которой определяется вектором СD если A (–4; 2) B (6; 4) C (–6; –1) D (–1; –13).
Даны вершины треугольника АВС: А (1; 1) В (2; 5) С (–6; 7). Доказать что треугольник АВС – прямоугольный.
Вектор образует с векторами соответственно углы 120º 135º. Определить угол который образует вектор с вектором .
Даны три вектора Найти вектор удовлетворяющий условиям
Вектор перпендикулярен векторам и образует с осью ОХ тупой угол. Найти его координаты если
Вычислить длину диагоналей параллелограмма построенного на векторах если .
Угол между векторами и равен . Найти .
Векторы и взаимно перпендикулярны а вектор образует с ними углы равные . Зная что вычислить .
Какой угол образуют единичные векторы и если известно что векторы взаимно перпендикулярны?
Векторы попарно образуют друг с другом углы каждый из которых равен 60º. Зная что вычислить модуль вектора .
Известно что Определить при каком значении a векторы и будут взаимно перпендикулярны.
Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы равные . Зная что вычислить .
Векторы и образуют угол . Зная что вычислить .
Упростить выражение .
Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор если .
Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами и .
Даны три вектора . Найти .
Найти проекцию вектора на ось l образующие равные острые углы с тремя координатными осями.
Даны векторы . Найти проекцию вектора на вектор .
Вектор m перпендикулярен векторам и удовлетворяет условию . Найти координаты вектора .
Даны силы F1 = 4; –2; 5 и F2 = 1; –2; –7. Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в положение (–3; –4; 1).
Даны два вектора и . Найти вектор при условии что он перпендикулярен к оси ОХ и удовлетворяет условиям .
Найти угол между векторами и если .
Тело движется прямолинейно под действием силы F удовлетворяющей условию 2F = 3F1 + 5F2. Известны проекции сил F1 и F2 на направление перемещения тела: ПрsF1 = 4; ПрsF2 = . Найдите работу силы F измеряемой в ньютонах затраченную на преодоление пути равного 8 м.
Даны три силы приложенные к одной точке: . Вычислить работу производимую равнодействующей этих сил при условии что ее точка приложения двигаясь прямолинейно перемещается из положения M1 (5; 3; –7) в положение М2 (4; –1; –4). Сила измеряется в ньютонах перемещение в метрах.
Найдите угол образованный векторами если и скалярное произведение векторов и равно –70.
Векторное произведение векторов
Вычислить площадь четырехугольника вершинами которого служат точки А (1; 3) В (–2; 0) С (4; 3) D (–3; 5).
Две вершины треугольника находятся в точках А (1; 2) В (5; –1) третья вершина С на оси ОХ площадь треугольника S = 4. Найдите координаты вершины С.
На векторах и построен треугольник АВС. Определить угол С площадь и высоту АМ треугольника.
Векторы и являются диагоналями параллелограмма ABCD. Определить угол А площадь и высоту параллелограмма.
Векторы и являются диагоналями параллелограмма ABCD. Определить угол В площадь и высоту параллелограмма.
Если а угол между векторами и равен 60º то необходимо найти площадь параллелограмма построенного на векторах и .
Даны векторы . Найти координаты вектора [4 4] (отв. 16; – 48; –80).
Даны векторы –3; 4; –1 –1; 2; 3 –4; –2; 1. Найти направляющие косинусы вектора .
Дана сила и точка ее приложения М (–2; 1; 3). Найти моменты этой силы относительно точки N (–2; 1; 4).
В треугольнике АВС вычислить длину высоты CD при условии что .
Найти площадь параллелограмма и длину одной из его высот если сторонами параллелограмма являются векторы .
Даны точки А (2; –1; 2) В (1; 2; –1) и С (3; 2; 1). Найти координаты вектора [].
Даны точки А (2; –1; 3) В (4; 3; –2) С (1; 5; –4). Найти орт вектора перпендикулярного векторам и .
Вычислить площадь параллелограмма диагоналями которого служат векторы .
Даны точки М (1; –4; 2) N (2; 3; –1) Р (–1; 3; 2) Q (2; 1; 3). Найти векторное произведение векторов .
Найдите моменты сил относительно точки А (1; 2; –1) если В (2; –1; 3) – точка приложения силы F (отв. ).
Даны силы М = 2; –1; –3 3; 2; –1 –4; 1; 3 приложенные в точке С (–1; 4; –2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующих этих сил относительно точки А (2; 3; –1).
Найти в точке М (–3; 4; 2) напряженность Н магнитного поля созданного током текущим по прямолинейному проводнику.
В точке М (2; 5; 0) найдите направляющие косинусы вектора напряженности Н магнитного поля созданного током текущим по прямолинейному проводнику.
Вычислить в точке М (1; 1; 1) напряженность Н магнитного поля созданного током текущим по прямолинейному проводнику. Найти угол образованный вектором с вектором .
Площадь треугольника АВС равна кв.ед. Две его вершины находятся в точках А (2; –1; 3) и В (1; 2; 1). Найти координаты третьей вершины С если она лежит на оси OZ.
Найти высоту AD треугольника АВС если АВ a .
Сила приложена в точке В (2; –3; 4) и направлена по перпендикуляру к оси ОХ. Момент этой силы относительно точки А (4; 0; 2); МА =. Найти F.
Вектор перпендикулярен к векторам = 2; 2; 1 = 2; –1; 2. Найти координаты вектора если .
Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах если .
На векторах = 2; 0; –1 и = –1; 2; 3 построен параллелограмм. Вычислить высоты параллелограмма.
Даны точки А (2; –3; 5) В (0; 2; 1) С (–2; 2; 3) D (3; 2; 4). Найти векторное произведение векторов .
Смешанное произведение трех векторов
Показать что векторы компланарны и разложить вектор по векторам и .
Доказать что векторы =2; 1; 1 =3; –1; 0 =7; 1; 2 компланарны и вычислить коэффициенты разложения вектора по векторам и .
Найти смешанное произведение векторов и если они образуют правую тройку векторов ортогональны и .
Доказать тождество .
Доказать что при любых векторах m n p векторы компланарны.
Найти смешанное произведение трех векторов и если .
Объем тетраэдра V = 3 три его вершины находятся в точках А (2; –1; 1) В (5; 5; 4) С (3; 2; –1). Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси OZ.
Доказать что объем параллелепипеда построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
Доказать что векторы образуют базис во множестве всех векторов.
Найти если перпендикулярен и .
Даны векторы . Показать что векторы и образуют базис найти координаты вектора в этом базисе.
Доказать что точки А (1; 2; –1) В (0; 1; 5) С (–1; 2; 1) и D (2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
Вычислить высоту параллелепипеда построенного на трех векторах если за основание взят параллелограмм построенный на векторах и .
В треугольной призме АВСА1B1C1 2; –1; 4 –3; 4; –1 и 1; 2; –5. Найти: а) объем призмы б) площадь граней.
В треугольной пирамиде ABCD 3; 2; –1 1; 4; –2 и –2; 3; 4. Вычислить: а) площадь граней б) длину высоты DH в) косинус угла образованного гранями АВС и АВD.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 2; 4; –3 1; –2; 5 и –1; 3; –2. Найти: а) объем параллелепипеда б) площадь диагональных сечений ACDA1C1 и BDB1D1 в) косинус угла образованного гранями ABCD ABA1B1.
Вычислить длину перпендикуляра опущенного из вершины О пирамиды ОАВС на основание АВС если даны векторы 1; 4; 2 4; 4; 1 1; 6; 1.
Доказать тождество где l и m – произвольные числа.
Дана пирамида построенная на векторах . Найти: а) объем пирамиды б) площадь грани построенной на векторах и в) длину высоты опущенной на эту грань.
Вычислить объем параллелепипеда если известны четыре его вершины А (3; –2; 4) В (1; 0; 1) С (–3; –1; 2) D (4; 2; 1).
В тетраэдре с вершинами D (3; –3; –3) A (–2; 1; –3) B (–1; 2; –3) C (–2; –1; 1). Найти площадь грани АВС и длину высоты проведенной к этой грани.
Даны векторы в некотором базисе. Показать что векторы и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Доказать что векторы и удовлетворяющие условию компланарны.
Определить момент силы =(3; 4; –7) приложенной в точке А (2; –1; 5) относительно: а) оси ОХ б) оси OУ в) оси OZ (отв. mx=–13 myF = 29 mzF = 11).
Вектор перпендикулярен к векторам и угол между векторами и равен . Зная что вычислить .
Даны точки А (5; 7; –2) В (3; 1; –1) С (9; 4; –4;) D (1; 5; 0). Найти смешанное произведение векторов .
Двойное векторное произведение
Вычислить векторное произведение координатных ортов на векторы . Вычислить и . Найти объём параллелепипеда построенного на векторах и и площадь треугольника построенного на векторах если известно что:

icon 1.doc

Операционное исчисление есть часть математического анализа изучающая свойства преобразования Лапласа и его применение к решению различного типа задач анализа главным образом задач с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений. Преобразование Лапласа представляет собой определенный закон соответствия между функциями т.е. закон по которому каждой функции из некоторого множества функций одной переменной становится в соответствие одна определенная функция также зависящая от одного аргумента. Такие соответствия между множествами функций называются операторами. Понятие оператора аналогично понятию функциональной зависимости осуществляющей однозначное соответствие между множествами чисел. Примерами операторов служат:
Функция F ставящая в соответствие функции f(x) составную функцию F[f(x)] например функцию f3(x) или tq f(x).
Соответствие между монотонными функциями y = f(x) и обратными к ним функциям x = j(y).
Оператор дифференцирования определенный на множестве дифференцируемых функций и ставящий в соответствие функции f(x) производную
Оператор интегрирования задающий соответствие между непрерывной функцией f(x) и первообразной к ней функцией .
Возможность производить действия над самими операторами открывает совершенно новый подход к решению некоторых задач например дифференциальных уравнений содержащих оператор дифференцирования . В таком случае данное линейное дифференциальное уравнение например представляется формально в виде . В этом случае считают что к неизвестной функции y применено некоторое действие зависящее от символа следующим образом: где F(p) = p2 – 5p + 4 и дающее в результате функцию в правой части . Если сможем производить обратное действие с то сможем и решать данное уравнение с любой правой частью т.е. представить решение в виде некоторого оператора действующего на правую часть q(x).
Операционное (символическое) исчисление применяется не только для решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений но и для решения уравнений с частными производными дифференциально-разностных уравнений и линейных интегральных уравнений к которым приводят задачи по переходным процессам линейных физических систем электротехники радиотехники импульсной техники теории автоматического регулирования теплопроводности горной техники телемеханики теории следящих систем.
В самой математике кроме решения дифференциальных уравнений и систем операционное исчисление находит применение в теории специальных функций при вычислении интегралов суммировании функциональных рядов а также в некоторых проблемах теории чисел.
По образному выражению выдающегося русского ученого в области теории колебаний и автоматического управления А.А. Андронова (1901-1952 гг.) операционное исчисление является азбукой современной автоматики и телемеханики.
Оригинал и изображение. Основные теоремы нахождения оригинала и изображения
Определение 1. Оригиналом называется любая комплексная функция f(x) действительного аргумента t удовлетворяющая условиям:
а) f(t) непрерывна по всей оси t за возможным исключением точек разрыва 1-го рода в конечном числе на каждом интервале конечной длины;
в) существуют числа М>0 и S0³0 такие что для всех t>0
(число S0 обладающее этим свойством называется показателем роста функции f(t); в частности число 0 является показателем роста ограниченной функции).
Определение 2. Изображением функции f(t) называют функцию комплексного переменного p = s + is определяемую соотношением
Lf(t) – преобразование Лапласа функции f(t).
Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа. Операция перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называется преобразованием Лапласа. Фразу «оригинал f(t) имеет изображение F(p)» символически записывают так:
Имеем интеграл от затухающей экспоненты а такой интеграл сходится. Преобразование Лапласа представляет собой линейный оператор так как если складываются прообразы то складываются и образы если прообраз умножается на константу то и образ умножается на эту константу.
Определение 3. Операционным исчислением называется теория преобразования Лапласа.
Замечание. Следует отметить что операционный метод – это не только метод преобразования Лапласа. Часто применяется и другой метод – Хевисайда-Карсона. Преобразование функции по Лапласу отличается от изображения по Хевисайду (или Карсону) трактующих операционное исчисление с несколько иных позиций. Однако соответствие устанавливается просто. Если (по Лапласу) а (по Хевисайду) то . (3)
Это следует помнить при пользовании таблицами оригиналов и изображений!
1. Изображение постоянной
В частности если то . (5)
2.Изображение оригинала умноженного на
Пусть тогда . Действительно .
3. Изображение линейной комбинации
Теорема. Если и то при любых комплексных постоянных с1 и с2: .
Пример 3. Найти изображение функции Cos(at+b).
Пример 4. Найти изображение функции Sin(at+b).
Замечание. Теорема справедлива для любого числа слагаемых.
4. Изображение показательной функции
Теорема. Если т.е. то .
5. Изображение тригонометрических функций
На основании формулы Эйлера и формулы (8) обозначая получим:
Сравнивая комплексные числа получим:
Пример 5. Найти изображение для функции Chat.
6. Изображение производной функции
(дифференцирование оригинала)
Пусть дана функция f(t) изображение которой F(p) т.е.Найдем изображение производной . Так как то из равенства получим:
Воспользуемся интегрированием по частям. Пусть Тогда
Таким образом для определения изображения производной функции необходимо знать ее начальное значение f(0) т.е. знать значение самой функции при t = 0. В тех случаях когда начальное значение функции равно нулю изображение первой производной равно изображению функции умноженному на оператор “p”. Из формулы (14) легко получить зависимость для определения изображения второй производной функции по изображению ее первой производной:
7. Дифференцирование изображений
Ранее определили что Дифференцируем по параметру р;
Пример 7. Найти изображение функции t cоs at.
Пример 8. Найти изображение функции t sin at.
Пример 9. Найти изображение функции t ch at.
Пример 10. Найти изображение функции tneqt.
8. Изображение интеграла
Найдем изображение интеграла некоторой функции f(t) для которой изображением будет F(p). На основе формулы имеем:
Интеграл возьмем по частям. Пусть Тогда
Итак изображение интеграла функции равняется изображению функции деленной на оператор р. Повторно применяя метод получения изображения интеграла функции t получим
9. Теорема подобия (теорема об изменении масштаба)
Если и число a > 0 то
Доказательство. По определению изображения Произведем замену. Пусть Так как a > 0 то пределы интегрирования остаются те же. Тогда
что и требовалось доказать.
10. Теорема запаздывания (или сдвига)
Если и число b > 0 то
Доказательство. По определению оригинала
f(t – b) = 0 при t – b 0 т.е. при t > b.
По определению изображения
Первый интеграл равен нулю т.к. f(t – b) = 0 при t b. Рис. 2
Поэтому Произведем замену Тогда
Следствие. Совместное применение теорем подобия и запаздывания приводит к такому результату: если и b > 0 то (25)
где f(at – b) = 0 при at – b 0 при
Замечание. Формулы (26) и (27) выводились ранее (пример 3 и 4) с помощью других теорем имеют вид отличный от формул (26) и (27) но эти формулы тождественны.
11. Теорема смещения (затухания)
Если то при любом комплексном a .
Теорема запаздывания имеет особое значение в теории регулирования. Пользуясь ею можно исследовать системы с запаздывающими звеньями и вообще кусочно-непрерывные функции в частности «ступенчатые функции» (практически характеризующие сброс или присоединение постоянных нагрузок).
12. Интегрирование изображения
Теорема. Если является оригиналом (тогда f(t) тоже оригинал) то из следует: (29)
Пример 13. Найти изображение функции
Решение: Так как и поскольку также является оригиналом (ибо ) то по правилу интегрирования изображения имеем: (30)
Пример 14. Найти изображение функции
Решение: Так как то так как также является оригиналом (ибо ) по правилу интегрирования изображения имеем: (31)
13. Тождество обмена
Теорема. Если и в двухкратном интеграле допустимо изменение порядка интегрирования то . (32)
Следствие. Если и допустимо изменение порядка интегрирования в двухкратном интеграле
Последнее равенство следует из (32) при f1(t) = f(t) и f2(t) = 1.
Пример 15. Вычислить .
Решение: Так как а то в силу (33) имеем
14. Понятие о свертке
Сверткой функций a(t) и b(t) действительного переменного называется функция с(t) определяемая равенством
Символически свертку обозначают так: a(t)*b(t) т.е. . Операцию получения свертки функций называют свертыванием.
Теорема умножения изображений
Произведение двух изображений F1(p) и F2(p) является изображением свертки соответствующих оригиналов.
Изменяя порядок интегрирования в последнем интеграле и заменяя t – = u будет иметь:
Пример 16. Пусть a(t)=b(t)=cost тогда т.е. .
Пример 17. a(t)=t b(t)=et.
Пример 18. Найти оригинал f(t) для
Решение: Так как то применяя последовательно теорему умножения оригиналов получим:
Пример 19. Найти оригинал f(t) для
Пусть f1(t) – оригинал непрерывный на [0 ) f2(t) – оригинал непрерывно дифференцируемый на [0 ). Из и по теореме умножения изображений следует:
Отсюда по правилу дифференцирования оригинала следует. Применяя к левой стороне правило дифференцирования интегралов зависящих от параметра получим формулу Дюамеля . (38)

icon 2.doc

2. Приложение операционного исчисления к решению
линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами и систем
линейных дифференциальных уравнений
Операционный метод позволяет просто решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
При решении таких уравнений методом преобразования Лапласа искомая функция и ее производные заменяются их изображениями после чего получается алгебраическое уравнение относительно изображения искомой функции. Решая его мы получаем так называемое операторное решение после чего остается восстановить оригинал являющийся искомым решением дифференциального уравнения. Для этой последней операции могут быть использованы в зависимости от случая теорема обращения и другие теоремы и правила операционного исчисления. Указанный метод решения можно наглядно изобразить в виде следующей схемы:
Дифференциальное уравнение и начальные условия
L – преобразование Лапласа
Алгебраическое уравнение
Решение алгебраического уравнения
L-1 – обратное преобразование Лапласа
Частное решение дифференциального уравнения
Может случиться что в сложном исследовании участвует целая цепочка подобных рассуждений так что найденные функции используются для отыскания еще каких-то функций и т.д. В таких случаях оказывается полезным проводить все исследование в обра-
зах и лишь на самом последнем этапе перейти к прообразам функций которые в конечном счете и требуются.
Пусть дано дифференциальное уравнение
где t ³ 0 коэффициенты а1 а2 an – действительные числа удовлетворяющие заданным начальным условиям:
Пусть неизвестная функция x(t) и ее производные x(t) x(n)(t) и функция f(t) удовлетворяют условиям функции – оригинала. Обозначим и . Тогда по теореме дифференцирования оригинала имеем:
По теореме линейности получаем:
Так как то по теореме единственности оригинала получим уравнение или
Полученное операторное уравнение дифференциального уравнения с начальными условиями и является алгебраическим уравнением относительно C(р):
Если правая часть f(t) данного уравнения есть линейная комбинация функции вида tmekt то решение Х(р) его операторного уравнения – это правильная дробно-рациональная функция. По теореме разложения или непосредственно пользуясь свойствами преобразования Лапласа находим для изображения Х(р) функцию x(t). Эта функция есть частное решение данного уравнения.
Выражение называется характеристическим многочленом.
Функция называется передаточной функцией. Тогда если начальные условия нулевые то (42)
В таком случае схема решения имеет вид:
F(p) Z1(p) F(p) Z2(p) Z1(p) F(p)
Таким образом в случае нулевых начальных условий образ отклика получается из образа воздействия простым умножением на передаточную функцию. Это делает особенно удобным рассмотрение в Лаплас-образах агрегатов в которых выходная функция для некоторой системы служит входной функцией для последующей и т.д. Если начальные условия не нулевые то формулу (42) можно записать так:
Пример 20. Проинтегрировать уравнение х+ 3x + 2x = 0 при начальных условиях x(0) = 0 x (0) = 1.
Решение: Полагая и дифференцируя получим:
Операторное уравнение принимает вид: р2Х(р) – 1 + 3рХ(р) + 2Х(р) = 0 или Х(р)(р2+3р+2) = 1 откуда
Пример 21. Найти решение уравнения x+4x+4x = e-2t(cost + 2sint) при начальных условиях x(0) = -1 x (0) = 1.
Решение: Пусть Х(р) есть изображение искомой функции х(t) т.е.
Тогда По теореме смещения получим: Отсюда
Разложим изображение на элементарные дроби. Тогда
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р находим: А = -1; В = -4; С = 1; D = 0. Тогда
Переходя к оригиналу пользуясь теоремами линейности и смещения получим решение x(t) = e-2t(t – cost – 2sint).
1. Решение линейных систем операционным методом
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ничем принципиально не отличается от рассмотренного решения одного дифференциального уравнения. Здесь также оригиналы функции следует заменять их изображениями. Тогда каждое дифференциальное уравнение заменится соответствующим операторным и получится система алгебраических уравнений относительно искомых оригиналов. Решив эту систему находят изображения искомых функций а затем переходят к их оригиналам.
Пример 22. Решить систему линейных дифференциальных уравненийпри начальных условиях x(0) = 0 y(0) = 3 z(0) = -2.
Решение: ПустьТогда Переходя к изображениям приходим к следующей операторной системе:
Решая эту систему получим:
А(р–3) + В(р–1) = -2. При р = 3 В = -1. При р = 1 А = 1. Тогда
Итак x(t) = et – e3t. Аналогично получим: y(t) = -2et + 2e2t + 3e3t z(t) = 2et – 2e2t – 2e3t.
Найти оригинал по заданному изображению
Решить дифференциальные уравнения операционным методом

icon 3.doc

2. Решить системы дифференциальных уравнений операционным методом
Задания для типовых расчетов
Найти изображения оригиналов
Найти оригиналы изображений

icon 4.doc

Решить уравнения операционным методом
Решить систему дифференциальных уравнений операционным методом

icon 5.doc

Следующие задачи решить операционным методом
Варианты 1-8. Частица массы m движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы Р = кх пропорциональной смещению и силы сопротивления R = rV пропорциональной скорости. В момент t = 0 частица находится на расстоянии х0 от положения равновесия и обладает скоростью V0. Найти закон движения частицы.
8.k = 3mr = 4mx0 = 1V0 = 0.
Точка массы m движется прямолинейно отталкиваясь от начала координат с силой F = kx пропорциональной расстоянию. На точку действует сопротивление среды R = rV пропорциональное скорости. При t = 0 расстояние точки от начала координат x0 а скорость V0. Найти закон движения.
9.k = 2mr = mx0 = 1V0 = 0
16.k = 5mr = 4mx0 = 1V0 = 2.
Точка массы m совершает прямолинейное колебание по оси под действием восстанавливающей силы F = kx пропорциональной расстоянию точки от начала координат и возмущающей силы F = A cos t. Найти закон движения точки если в начальный момент времени x(0)=x0 V(0)=V0.
24.k = 8m A = mx(0) = 18 V(0) = 3.
Точка массы m движется в среде сопротивление которой R = kV пропорционально скорости. Какое расстояние пройдет точка до остановки если ей сообщена начальная скорость V0 и кроме сопротивления никаких других сил нет.
Формулы операционного исчисления
Теорема запаздывания (сдвига)
Теорема смещения (затухания)
Дифференцирование изображения
Интегрирование оригинала
Интегрирование изображения
Библиографический список
Деч.Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа.- М.: Наука 1965.- 286 с.
Диткин В.А. Прудников А.П. Операционное исчисление.- М.: Высшая школа 1975.- 407 с.
Иоффе П.С. Элементы операционного исчисления.- М.: Машиностроение 1967.- 107 с.
Канторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях.- М.: Советское радио 1975.- 319 с.
Краснов М.Л. Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Устойчивость движения: Задачи и упражнения.- М.: Наука 1964.- 104 с.
Мартыненко В.С. Операционное исчисление.- Киев.: Высшая школа 1973.- 267 с.
Римский-Корсаков Б.С. Операционное исчисление.- М.: Высшая школа 1960.- 146 с.
Шишов В.С. Операционное исчисление с приложением к решению транспортных задач МИИЖТ. М. 1975.- 163 с.
Штоколо И.З. Операционное исчисление.- Киев.: Наукова думка 1975.- 300 с.
Шелковников Ф.А. Токайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению.- М.: Высшая школа 1976.- 184 с.
Шостак Р.Я. Операционное исчисление .-М.: Высшая школа 1968.- 190 с.
Оригинал и изображение. Основные теоремы нахождения
оригинала и изображения .. 4
1.Изображение постоянной 6
2.Изображение оригинала умноженного на
постоянную величину . 6
3. Изображение линейной комбинации 6
4. Изображение показательной функции .. 7
5. Изображение тригонометрических функций .. 8
6. Изображение производной функции
(дифференцирование оригинала) 8
7. Дифференцирование изображений 9
8. Изображение интеграла 10
(теорема об изменении масштаба) . 11
10.Теорема запаздывания (или сдвига) . 11
11. Теорема смещения (затухания) 12
12. Интегрирование изображения . 12
13. Тождество обмена . 13
14. Понятие о свертке . 14
15. Формула Дюамеля 15
Приложение операционного исчисления к решению
линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами и систем
линейных дифференциальных уравнений . 16
1. Решение линейных систем операционным методом . 19
Задания для типовых расчетов 22
Формулы операционного исчисления 31
Библиографический список 33
Редактор В.И. Грицук
Компьютерная верстка Е.П. Выродова
Подписано в печать 10. 03. 2000. Формат 60x84 116.
Бум. для копир.-мн.ап. Гарнитура Times New Roman. Печать плоская.
Усл.п.л. 21. Уч.-изд.л. 17. Тираж 50 экз. Заказ 15. С. 15.
3310 Норильск ул. 50 лет Октября 7.
Отдел ТСО и полиграфии НИИ

icon титул.doc

Министерство образования Российской Федерации
Кафедра высшей математики
Методические указания и типовые расчеты
по операционному исчислению
Высшая математика: Методические указания и типовые расчеты по операционному исчислению Норильский индустр. ин-т. - Норильск 2000. – 35 с.
Составитель М.И. Ефимов к.т.н. доцент
Методические указания составлены для специальностей 290300 210500 210300 100400 всех форм обучения.

icon методичка и типовые расчеты.doc

Министерство образования Российской Федерации
Кафедра высшей математики
Методические указания и типовые расчеты
по дифференциальному исчислению функций
нескольких переменных
Целью данного типового расчета является углубленная проработка темы «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». Типовой расчет содержит 12 теоретических вопросов и 30 вариантов задач.
Теоретические вопросы являются общими для всех студентов а задачи – индивидуальными. Номер варианта выдается студенту преподавателем.
Перед решением задач студент должен изучить теоретический материал по приведенным ниже вопросам используя материалы лекций и рекомендуемую учебную литературу.
Студент должен в письменной форме (в отдельной тетради) представить подробное решение задач своего варианта. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в задании. Перед решением задачи записывается ее полное условие.
Контроль выполнения типового расчета производится в два этапа:
Предварительная проверка преподавателем письменного решения задач.
Защита типового расчета. Во время защиты студент должен ответить на теоретические вопросы пояснить решения задач решить аналогичные задачи.
Теоретические вопросы
Функции нескольких переменных – определение и геометрическое истолкование (для двух и трех переменных).
Линии уровня. Поверхности уровня.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Частные производные – определение и правила вычисления. Геометрический смысл производных функции двух переменных.
Дифференцируемая функция. Полный дифференциал функции.
Вывести формулы вычисления и сложной функции где
Вывести формулу для вычисления полной производной сложной функции где
Вывести формулы для дифференцирования неявно заданной функции одной и нескольких переменных.
Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных вторых производных для функций двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
Метод наименьших квадратов.
Понятие о функции нескольких переменных.
Переменная величина z называется функцией двух переменных х и у если дано множество пар численных значений величин x и y и каждой такой паре (х у) соответствует определенное численное значение величины z.
Переменные x и y называются при этом аргументами функции z или независимыми переменными.
Функции трех и большего числа переменных определяются аналогично.
Обозначение функции двух переменных аналогично обозначению функции одной переменной: z=f(x y) z=z(x y) u=f(j y) и т.д.
Множество которое образуют пары (х у) численных значений аргументов х и у (такое множество должно быть задано при определении функции) называется областью определения функции или областью задания функции. Множество значений функции z (оно образуется само собой вследствие определения функции) называется областью изменения функции.
Если функция задана с помощью аналитического выражения без каких-либо ограничений то областью ее определения принято считать множество всех тех точек для которых это выражение имеет смысл и дает действительное значение функции.
Область определения функции заданной аналитически называется ее областью существования.
Обычно области существования функций определяются с помощью неравенств. Такие неравенства не следует обязательно «решать» относительно одного из аргументов. В некоторых случаях однако неравенства полезно преобразовать т.е. найти неравенства равносильные данным но более удобные для геометрической интерпретации.
Пример 1. Определим с помощью неравенств и начертим области определения следующих функций:
Решение. Функция задана аналитическим выражением без каких-либо ограничений. Областью существования такой функции является множество всех тех точек (х у) для которых это выражение имеет смысл и дает действительные значения функции. Выражение имеет смысл и принимает действительные значения в тех и только в тех точках для которых у ³ 0 т.е. в верхней половине плоскости хОу включая ось Ох (см. рис. 1).
Дифференцирование функции нескольких
Частной производной функции z=f(x y) по аргументу х в точке М(х у) называется
Аналогично определяется частная производная функции z=f(x y) по аргументу у в точке М(х у). Таким образом частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной переменной в предположении что вторая переменная остается постоянной.
Частную производную функции z=f(x y) по х принято обозначать следующими символами:
Частные производные функции n переменных при n>2 определяются и обозначаются аналогично. Например при n=3 имеем u=f(x y z). Частная производная функции u по х в точке М(x y z) определяется формулой
Все формулы выведенные для производных функций одной переменной сохраняются и для частных производных функций нескольких переменных. Следует лишь помнить что во всех этих формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.
Полный дифференциал функции
Если приращение Dz функции двух независимых переменных z=f(х у) в точке М(х у) можно представить по формуле
При этом А и В имеют значения частных производных:
Поэтому дифференциал для обозначения которого употребляются те же символы что и для дифференциала функции одной переменной может быть записан в форме
или если положить Dx=dx и Dу=dу в форме
Последняя формула справедлива не только тогда когда х и у – независимые переменные но и в случае когда х и у являются функциями других независимых переменных. Понятие дифференциала функции n переменных при n>2 вводится аналогично.
Например при n=3 u=f(x y z) имеем
Теоремы и соответствующие формулы для дифференциалов алгебраической суммы произведения и частного функций установленные для функций одной переменной остаются справедливыми и для функций нескольких (в частности двух) переменных.
Применение дифференциала к приближенным
В случае достаточно малых приращений аргументов приращение функции приближенно равно ее дифференциалу. Например для функции z=f(х у) двух переменных
Аналогично для функции u=f(x y z) трех переменных
Этими формулами можно пользоваться для приближенных вычислений.
Пример 2. Найти значение полного дифференциала функции при х =2 у =1 dх =01 dy =02.
Решение. Найдем dz как дифференциал частного:
После этого найдем частное значение этого дифференциала при х =2 у =1 dх =01 dy =02:
Производные сложных функций. Дифференцирование сложных функций двух переменных
Если z=f(x y) а x=x(u u) и y=y(u u) (т.е. z есть сложная функция u и u) то частные производные и находятся по формулам
В частном случае может оказаться что x и y (а следовательно и z) не зависят от u и являются функциями лишь одной переменной u:
x=x(u) y=y(u) z=z(u).
В этом случае в первой из формул вместо частных производных и следует писать полные производные и и тогда эта формула примет вид
Если z=f(x y) и y=y(x) то в формуле следует положить u=x тогда и формула примет вид
Аналогично находятся частные производные от функции n переменных при n>2. Например если z=f(t x y) причем t=t(u u w) x=x(u u w) y=y(u u w) то
Частные производные и находятся по аналогичным формулам.
Если для функции z=f(t x y) два аргумента x и y являются функциями третьего аргумента t то в предыдущей формуле следует заменить u на t и учесть что функции x y и z будут функциями одной переменной t. Тогда
и формула примет вид
Дифференцирование неявных функций
Неявная функция одного переменного
Функция y аргумента x называется неявной если она задана уравнением
Это значит что для каждого значения x принадлежащего области определения указанной неявной функции y принимает такое значение что уравнение превращается в тождество.
Производная и дифференциал dy неявной функции (одной независимой переменной) находятся по следующим формулам:
Неявная функция 2-х переменных
Функция z двух переменных x и y называется неявной если она задана уравнением
не разрешенным относительно z.
Это значит что для каждой пары значений x и y принадлежащей области определения указанной неявной функции z принимает такое значение что уравнение превращается в тождество. Следовательно для неявной функции z(x y) заданной уравнением во всей ее области определения имеет место тождество
Дифференциал функции двух независимых переменных находится по следующей формуле:
Уравнение касательной плоскости и нормали
Зная уравнение поверхности F(x y z)=0 и точку этой поверхности можно составить уравнение касательной плоскости:
к этой поверхности в точке M0.
Производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные второго порядка функции двух переменных z=f(x y) определяются по формулам
Производные n-го порядка при n>2 определяются и обозначаются аналогично например: и т.д.
Производная высшего порядка взятая по нескольким различным переменным называется смешанной например: и т.д.
Две смешанные производные отличающиеся лишь порядком дифференцирования равны между собой при условии их непрерывности.
Дифференциалы высших порядков
Дифференциал второго порядка d2z функции двух переменных z=f(x y) определяется формулой
которую можно записать символически в виде
Дифференциал n-го порядка при n>2 определяется аналогично. Соответствующая символическая запись имеет вид
Производные и дифференциалы высших порядков функции m переменных при m>2 определяются аналогично.
Экстремумы функций нескольких переменных
Точка называется стационарной точкой функции z=f(x y) если в этой точке производные и обращаются в нуль.
Координаты стационарных точек можно найти решив систему уравнений:
Точки экстремума функции
Точка называется точкой максимума функции z=f(x y) если существует такая окрестность этой точки что если P – любая точка этой окрестности отличная от точки P0.
Точка минимума определяется аналогично.
Общее название для точек максимума и точек минимума – точки экстремума. Если есть точка экстремума функции z=f(x y) то
Мы предполагаем что эти частные производные существуют. Таким образом обращение в нуль в точке P0 частных производных первого порядка (если они существуют) является необходимым условием существования в этой точке экстремума функции z=f(x y).
Достаточным условием наличия экстремума в стационарной точке является условие
причем в случае P0 – есть точка минимума а в случае – точка максимума. Условие
является достаточным для отсутствия экстремума в стационарной точке P0.
В случае точка P0 может быть а может и не быть точкой экстремума (сомнительный случай).
Наибольшее и наименьшее значения функции
Для того чтобы найти наибольшее значение функции в ограниченной замкнутой области следует найти значения функции в стационарных точках а также ее наибольшее значение на границе области где функция f(x y) может рассматриваться как функция одной переменной. Наибольшее из всех этих значений и будет наибольшим значением функции f(x y) в области .
Наименьшее значение функции находится аналогично. Мы предполагаем что функция f(x y) непрерывна в области и имеет в ней конечные производные первого порядка.
Образец выполнения 0-го варианта
Найти частные производные частные и полный дифференциал функции
Вначале найдем частные производные функции использовав формулу дифференцирования сложной функции одной переменной:
Теперь находим частные дифференциалы:
Полный дифференциал функции находим по формуле
1. Найти значение частных производных функции в точке
Находим частные производные данной функции затем вычисляем их значения в точке
2. Вычислить значение производной сложной функции где при
Согласно формуле нахождения производной сложной функции имеем
3. Вычислить значения частных производных функции заданной неявно уравнением в точке
Вычисляем значения и в точке
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S: в точке
Находим частные производные:
Подставляя в полученные выражения координаты точки находим координаты вектора перпендикулярного к поверхности S в данной точке:
Следовательно касательная плоскость имеет уравнение или а уравнение нормали запишется в виде
Найти вторые частные производные функции Убедиться в том что
Вначале находим первые частные производные данной функции:
Дифференцируя каждую из полученных производных по x и y находим вторые частные производные данной функции:
Как видно смешанные частные производные и равны.
Исследовать на локальный экстремум функцию
Находим первые частные производные данной функции:
Приравнивая их нулю получаем систему уравнений
из которой определяем стационарные точки данной функции:
Выясним какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого вначале найдем вторые частные производные данной функции:
Подставляя в полученные выражения для производных координаты стационарных точек и используя достаточные условия экстремума имеем:
для точки 0 т.е. экстремума нет;
для точки >0 т.к. >0 т.е. имеем точку локального минимума функции в которой
Найти наименьшее и наибольшее значение функции в области D ограниченной линиями .
Выясним существуют ли стационарные точки лежащие внутри данной области D т. е. внутри треугольника ОАВ.
Решая полученную систему уравнений находим стационарную точку Данная точка лежит вне области D (рис. 2) следовательно при решении задачи ее не учитываем. Исследуем поведение функции на границе области D. На стороне ОА () треугольника ОАВ функция z имеет вид Стационарных точек на отрезке ОА нет т.к. В точках и функция z принимает значение На стороне ОВ треугольника функция . Находим стационарную точку из уравнения получаем что . Таким образом точка не принадлежит области D. Значение функции в точке . Находим наибольшее и наименьшее значение на стороне AB: . Выразим тогда и из следует что т.е. стационарная точка принадлежит границе области D. Вычислим значение функции в данной точке . Сравнивая все полученные значения функции видим что наибольшее значение функция достигает в точке и равна 35 т.е. ; наименьшее значение функция достигает в точке и равна 0 т.е.
Типовые расчеты по дифференциальному исчислению функций нескольких переменных
Найти частные производные частные и полный дифференциалы функций:
Найти значения частных производных данных функций в данных точках:
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Найти вторые частные производные функции Убедиться что . Найти .
Исследовать на экстремум функцию
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D ограниченной линиями: y=x y=4 x=0.
Найти уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности S: в точке
Найти вторые частные производные функции Убедиться что . Найти
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D ограниченной линиями: y = x x = 3 y = 0.
Найти вторые частные производные функции . Убедиться что . Найти
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D ограниченной линиями: x = 0 x = 1 y = 0 y = 2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D ограниченной линиями:
Найти значения частных производных данных функций в данных точках:
Найти вторые частные производные функции Убедиться что . Найти zxx zxy zyx zyy.
Найти вторые частные производные функции Убедиться что . Найти zxx zxy zyx zyy.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D ограниченной линиями
Найти вторые частные производные функции . Убедиться что . Найти zxx zxy zyx zyy.
Найти уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности S: в точке .
Исследовать на экстремум функцию
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебн. пособие. В 2 т. Т. 2. – М.: Наука 1976.
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике Под общей ред. д. физ.-мат. наук профессора А.П. Рябушко. В 3 ч. Ч. 2. – Минск: Высшая школа 1991.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука 2001. – 436 с.
Елистратова Т.А. Сулейманова Х.Р. Шумов А.С. Сборник задач по курсу высшей математики. Выпуск IV. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия в пространстве. Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных. – М.: Наука 1960. – 260 с.
Теоретические вопросы ..
Область определения
Образец выполнения 0-го варианта ..
Типовые расчеты по дифференциальному исчислению функций нескольких переменных .
Библиографический список .

icon Диф исчисл ф-ии одной перем.doc

Министерство образования РФ
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНУЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Методические указания и типовые расчеты
Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Методические указания и типовые расчеты Норильский индуст. ин-т – Норильск 2002. – 44 с.
Составители:В.И. Потапов доцент;
С.Ф. Шевчук ассистент;
Д.В. Дубров ассистент.
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения. В настоящей работе содержатся основные сведения и индивидуальные задания по дифференциальному исчислению функций одной переменной (производная функции техника дифференцирования построение касательной и нормали к кривой исследование функций с помощью производных и построение графика задачи на минимизацию и максимизацию физических экономических и геометрических величин). На конкретных примерах рассматривается применение пакета прикладных программ MATHCAD для построения графиков элементарных функций.
Методические указания составлены согласно государственному образовательному стандарту утвержденному 14.04.2002 г. и примерной программе дисциплины «Математика».
В 1665 г. Исаак Ньютон (1643-1727) окончил Кембриджский университет и собирался начать работу тут же в колледже его родного Тринити. Однако чума бушевавшая в Англии заставила Ньютона уединиться на своей ферме в Вулсторпе. “Чумные каникулы” затянулись почти на два года. “Я в то время был в расцвете моих изобретательных сил и думал о математике и философии больше чем когда-либо позже” - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. В Вулсторпе Ньютон решая задачи на проведение касательных к кривым вычисляя площади криволинейных фигур создает общий метод решения таких задач методом флюксий и флюэнт которые у Лейбница назывались производными и дифференциалами.
Основы дифференциального исчисления ученый заложил в своей самой значительной работе по математике “Метод флюксий” (1670-1671) которая была опубликована уже после его смерти.
В те же годы Готфрид Лейбниц (1646-1716) вводит понятие дифференциала функции строит правила вычисления дифференциалов применяет обозначения где - производная функции. Эти обозначения во многих отношениях настолько удачны что широко используются и по сей день. Обозначение для производной было введено лишь в 1770 г. французским математиком Ж.Л. Лагранжем. Построение дифференциального исчисления стимулировалось идеей создания единого метода решения задач на минимизацию и максимизацию геометрических физических и экономических величин. “Когда величина является максимальной или минимальной в этот момент она не течет ни вперед ни назад” – писал И. Ньютон.
В 1660 г. Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул свой принцип: если переменная величина достигает своего экстремального значения при конкретном параметре то скорость ее изменения в этот момент равна нулю (покой!).
Зачем решают задачи на максимум и минимум? В качестве ответа на этот вопрос приведем следующие высказывания: “По Лейбницу наш мир является наилучшем из всех возможных миров и поэтому его законы можно описать экстремальными принципами” (Карл Зигель); “В мире не происходит ничего в чем бы не был смысл какого-нибудь максимума или минимума” (Леонард Эйлер (1707-1783); “Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин . . . и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики которая везде ищет самого лучшего самого выгодного” (П.Л. Чебышев).
Производная функции одной переменной
1. Понятие производной функции и ее непосредственное вычисление
Пусть задана элементарная функция определенная в каждой точке интервала .
Берем фиксированную точку из этого интервала и придаем аргументу любое приращение настолько малое что (рис. 1).
Находим приращение функции и строим разностное отношение . Тогда предел разностного отношения при (при условии что этот предел существует) называется производной и обозначается:
Из определения следует что производная характеризует скорость изменения функции. Действительно где - бесконечно малая при то есть . А тогда с точностью до производная есть коэффициент пропорциональности между и который характеризует скорость изменения функции.
Пример 1. Найти производную функции в произвольной точке :
Решение: а) строим приращение вычисляем предел . Следовательно производная ;
б) строим приращение вычисляем предел где использовали замечательный предел и непрерывность косинуса. Следовательно производная .
2. Табличное дифференцирование
Для вычисления производных простых функций (как комбинаций основных элементарных функций) используем правила дифференцирования:
и таблицу производных основных элементарных функций простого аргумента.
Производная постоянной функции равна нулю
Производная независимого аргумента равна 1
При дифференцировании степени показатель понижается на 1
Производная обратно-пропорциональной величины
Производная натурального логарифма
Производная логарифма
Производная показательной функции
Производная экспоненты
Производные тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций
Производная гиперболического синуса
Производная гиперболического косинуса
При получении производных обратных тригонометрических функций используем теорему: Если функция возрастает и непрерывна в некоторой окрестности точки и ее производная в этой точке отлична от нуля тогда в некоторой окрестности точки определена обратная функция такая что
Пример 2. Вычислить производную функции .
Решение. По правилам дифференцирования и таблицы производных получаем .
3. Правило дифференцирования сложной функции
Вся табл. 1 производных автоматически переписывается для сложного аргумента опираясь на теорему: Если имеет производную в точке а функция имеет производную в точке тогда сложная функция также имеет производную в точке такую что или
Пример 3. Найти производную функций:
Решение: а) сначала дифференцируем как степень со сложным основанием: где . Таким образом - ответ.
б) в этом случае используем формулы: и получим .
4. Логарифмическое дифференцирование
Если задана сложная степенно-показательная функция то ее производная вычисляется по схеме:
)логарифмируется заданная функция: ;
)формально дифференцируются левая и правая части этого равенства: или ;
)из последнего равенства находится искомая производная: .
Пример 4. Найти производную сложной функции:
Решение: а) логарифмируем заданную функцию и формально дифференцируем это равенство:
И окончательно имеем: ;
б) для простоты вычисления вновь логарифмируем заданную функцию используя свойства: . Отсюда получаем равенство и затем дифференцируем его: . А тогда искомая производная: где .
5. Производная неявной функции
Если функция задается как решение некоторого уравнения то есть неявно то производную находим формальным дифференцированием этого равенства.
Пример 5. Функция задана уравнением . Найти ее производную.
Решение. Формально его дифференцируем: или или . Отсюда получим искомую производную: . По условию следовательно производную можно записать иначе: .
6. Производные функций заданных параметрически
Пусть зависимость функции и аргумента задана посредством параметра : где под в механике понимается время или угол повтора а - закон изменения абсциссы материальной точки - закон изменения ординаты материальной точки. При таком задании функции производная вычисляется следующим образом: и характеризует абсолютную скорость материальной точки. Аналогично получаем вторую производную: или которая характеризует ускорение материальной точки.
Пример 6. Найти производные и заданной функции .
Решение. Находим . И тогда первая производная равна
. Далее получаем производную второго порядка: .
7. Производные высших порядков
Если функция задана явно то ее производные находятся последовательно: .
Пример 7. Найти 4-ю производную функции .
Решение. По формуле вычисляем . Далее и наконец 4-ая производная . Ответ: .
Если же исходная функция где то производные вычисляются по формуле Лейбница:
Пример 8. Найти 4-ю производную функции .
Решение. По формуле Лейбница
Применение производной
1. Производная в механике физике и экономике
Если задан закон движения материальной точки то отношение называют величиной средней скорости движения а - величиной мгновенной скорости в момент времени . Следовательно 1-я производная (или ) в механике дает скорость материальной точки.
Пример 9. Тело выпущенное вертикально вверх движется по закону где - высота измеряется в метрах а время - в секундах. Найти: а) скорость тела в начальный момент; б) скорость тела в момент соприкосновения с землей; в) наибольшую высоту подъема тела.
Решение: а) Скорость тела в момент равна производной то есть ; в момент скорость ;
б) в момент соприкосновения с землей то есть откуда и (не подходит по смыслу ибо ). Скорость тела в момент равна (минус указывает на то что скорость тела в момент противоположна направлению начальной скорости);
в) наибольшая высота подъема будет в момент когда скорость тела равна нулю и происходит переход от подъема к опусканию тела то есть откуда . Наибольшая высота подъема .
Пусть в экономике функция выражает количество произведенной продукции за время а необходимо найти производительность труда в момент . За период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения тогда средняя производительность труда за этот период времени . Очевидно что производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при т.е. - производная от количества продукции .
Пример 10. Объем продукции произведенный бригадой рабочих может быть описан уравнением (ед.) где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда скорость и темпы ее изменения через час после начала работы и за час до её окончания.
Решение. Производительность труда выражается производной (ед.ч) а скорость и темпы изменения производительности – соответственно производной (ед.ч2) и логарифмической производной . В заданный момент времени и соответственно имеем: (ед.ч) (ед.ч2) (ед.ч) и (ед.ч) (ед.ч2) (ед.ч).
К концу работы производительность труда существенно снижается при этом изменение знака и с “+” на “–“ свидетельствует о том что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.
2. Геометрическое приложение производной
Запишем уравнения касательной и нормали к графику функции в точке . Прямая является касательной и ее уравнение а прямая (рис. 2) является нормалью и ее уравнение .
Для получения этих уравнений используем геометрический смысл производной и условия перпендикулярности прямых () . Отрезок называется подкасательной и а отрезок - поднормаль и .
Пример 11. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .
Решение. Находим и - угловой коэффициент касательной. И тогда по формуле получаем уравнение касательной : или . А также строим нормаль с угловым коэффициентом то есть ее уравнение или (рис. 3).
Ответ: уравнение касательной а уравнение нормали .
Замечание. В случае параметрического здания кривой уравнение касательной в точке будет иметь вид: где . А нормаль в этой точке запишется таким образом: .
Исследование функции с помощью производной
1. Экстремум функции. Необходимое
и достаточное условие экстремума
Рассматриваем функцию действительного переменного определенную всюду в некоторой окрестности фиксированной точки .
Будем говорить что функция возрастает (рис. 4) в точке если существует -окрестность – в пределах которой приращение меняет знак с “–” на “+”. Если меняет знак с “+” на “–” то в точке функция убывает (рис. 5).
Функция монотонно возрастает (убывает) в т. если . Этот критерий распространяется на все точки некоторой - окрестности точки .
Точка является точкой локального максимума (локального минимума) функции если существует - окрестность т. в пределах которой поведение функции как на рис. 6 рис. 7.
Рис. 6 Локальный максимумРис. 7 Локальный минимум
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.
Замечание. Могут существовать точки функции не принадлежащие ни к одному из рассматриваемых типов на рис. 4–7 так называемые точки сгущения. Например т. для функции не является ни точкой экстремума ни точкой монотонного возрастания (или убывания). Поскольку производная: в любой сколь угодно малой окрестности т. меняет знак.
Необходимое условие экстремума: если функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируемая в ней то . Это доказывается с помощью “малой” теоремы Ферма.
Замечание. Обращение в нуль производной является только необходимым но не достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции. Так функция имеет которая обращается в нуль в точке но никакого экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 8). Здесь является точкой возрастания функции.
Точки в которых производная обращается в нуль называются стационарными точками функции .
Каждая стационарная точка – это точка возможного экстремума. Однако сделать заключение о том что в данной стационарной точке имеется экстремум можно лишь после дополнительных исследований которые основываются на следующих теоремах (достаточные условия экстремума):
Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак то функция в т. имеет локальный экстремум (рис. 9 рис. 10).
Рис. 9. Локальный максимум Рис. 10. Локальный минимум
Пусть функция имеет в стационарной точке конечную вторую производную. Тогда эта функция в точке будет иметь локальный максимум если и локальный минимум если .
Если же функция имеет производную всюду в окрестности т. кроме самой точки однако определена в т. и ее производная меняет знак при переходе через то функция имеет локальный экстремум в противном случае нет.
Например для функций (рис. 11) и (рис. 12) является точкой локального минимума однако в этой точке не существует.
2. Выпуклость графика функции
Пусть функция имеет производную в любой точке тогда можно провести касательные к графику функции проходящие через каждую точку этого графика (причем эти касательные не параллельны оси ).
Определение. График функции на интервале вогнут (выпуклость вниз) если он лежит выше любой касательной (рис. 13). В противном случае выпукл (выпуклостью вверх) (рис.14).
Рис. 13. График вогнут Рис. 14. График выпукл
Отметим критерий выпуклости графика функции: Если функция имеет на конечную то при график идёт выпуклостью вниз (вогнут) и при график идёт выпуклостью вверх (выпуклый).
Действительно запишем уравнение касательной к графику в т. т.е. и формулу Тейлора в т. :
. Произведем вычитание:
тогда при следует неравенство (т.е. график функции лежит выше любой касательной) а значит он вогнут. Аналогично при имеем неравенство (т.е. график функции лежит ниже любой касательной) а значит идёт выпуклостью вверх.
Примечание. Для функции имеющей производные до порядка n включительно справедлива формула Тейлора: где и .
Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика если существует в пределах которой график функции слева и справа от имеет разные направления выпуклости (рис. 15).
Сформулируем необходимое условие перегиба графика: если функция имеет в т. вторую производную и график этой функции имеет перегиб в т. то .
Запишем достаточные условия перегиба:
) пусть существует в окрестности и . Тогда если вторая производная меняет знак при переходе через то - точка перегиба.
) если функция имеет конечную вторую производную в некоторой окрестности кроме самой точки и график функции имеет касательную в т. тогда график функции будет иметь перегиб в этой точке если меняет знак при переходе через .
Например для функции в т. вторая производная не существует но при этом имеется вертикальная касательная тогда по теореме поскольку меняет знак при переходе через т. т. является точкой перегиба (рис. 16).
Однако для функции в т. вторая производная также не существует но при этом она и не меняет знака при переходе через . Касательная имеется в точке (рис. 17) но перегиба нет.
Заметим что график полукубической параболы не перегибается при переходе через вертикальную касательную в т. а “возвращается назад” поэтому точки такого типа называются “точками возврата”.
4. Асимптоты графика функции
Определение. Говорят что прямая является вертикальной асимптотой графика функции если хотя бы один из пределов или равен .
Например для прямая является вертикальной асимптотой поскольку односторонние пределы:
Определение. Говорят что прямая является наклонной асимптотой графика функции при если представима в виде где .
Для того чтобы график функции имел при наклонную асимптоту необходимо и достаточно чтобы существовали два предела:
Действительно пусть график функции имеет при асимптоту т.е. для справедливо представление . Тогда
Покажем достаточность. Пусть существуют пределы (1) и (2) второй из этих пределов дает право утверждать что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую функцию через получим представление . Что и требовалось доказать.
Замечание. Существование наклонной асимптоты графика функции означает что при функция ведет себя “почти как линейная функция” (рис. 18).
Линия (1) – график функции ; линия (2) – асимптота графика функции.
Замечание. Для получения уравнения наклонной асимптоты иногда применяется правило Лопиталя:
5. Схема исследования функции y=f(x)
Находим область определения функции там где она имеет смысл т.е. вычислима.
Находим точки пересечения графика с осями координат (с осью при и с осью при ).
Находим интервалы знакопостоянства функции там где и .
Выясняем чётность или нечётность функции проверяем равенства или .
Находим вертикальные и наклонные асимптоты и .
Находим интервалы монотонного убывания (или возрастания функции) там где или () и точки экстремума.
Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции (там где и ) и точки перегиба.
Схематично строим график данной функции с учётом исследования.
Пример 12. Исследовать функцию и построить график.
) область определения: ;
) найдем точки пересечения графика с осью то есть при . С осью где и тогда . Получаем единственную точку ;
) интервалы знакопостоянства. Так как при всех то функция знакоположительна на всей числовой прямой.
) исследуем на четность то есть и а значит функция не является чётной и не является нечётной. Поэтому график не симметричен относительно осей координат. Симметрии нет;
) вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва. Наклонные асимптоты ищем в виде :
Следовательно – горизонтальная асимптота при вычисляем угловой коэффициент это означает что при асимптот нет. При этом ;
) находим интервалы монотонного убывания и возрастания функции. Для этого вычисляем 1–ю производную и её корни:
; – нули ставим на числовую прямую и выясняем знак (рис. 19).
Заметим что функция возрастает при и убывает при .
Получим точку локального минимума в которой и точка локального максимума в которой .
) найдем интервалы выпуклости (вогнутости). Для этого вычислим 2–ю производную: и найдём её корни . Дискриминант и по формулам Виета получаем корни: . Выясним знак при перехода через эти корни (рис. 20).
Следовательно график выпукл при и вогнут при. А тогда точки перегиба графика функции:
) строим схематично график функции с учётом проведённого исследования (рис. 21).
Пример 13. Исследовать функцию и построить ее график.
) где точки разрыва. Область определения или ;
)найдем точки пересечения графика с осями координат пусть точка является точкой пересечения графика с осями координат;
)интервалы законопостоянства (рис. 22): .
Если функция положительна если функция отрицательна;
)исследование на четность функция нечетная и график симметричен относительно начала координат;
)находим асимптоты. Имеем две вертикальные асимптоты. Это прямые с уравнениями поскольку односторонние пределы:
Ищем наклонные асимптоты:
; . Найдем и тогда наклонная асимптота где будет горизонтальной с уравнением ;
)интервалы монотонности и точки экстремума:
Функция является возрастающая на всей числовой оси. Точек экстремума нет так как всюду положительна (рис. 23).
- нет действительных корней;
)найдем интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба:
Точки перегиба – это те точки в которых :
Выясним знак при переходе через критические точки (рис. 24).
График функции вогнут если и выпукл если .
Точка является точкой перегиба графика потому что меняет знак при переходе через . Однако при и перегиба нет поскольку функция терпит разрыв в этих точках;
) схематично строим график (рис. 25).
Применение пакета прикладных программ “ MathCad“ для построения графика функций
В настоящее время в учебном процессе во многих вузах используются математические пакеты: “MathCad” “Maple” “MatLab” и др. Данные программные продукты реализованы на высокопрофессиональном уровне и в процессе своего развития усовершенствуются. ППП “MathCad” имеет дружественный Window’s интерфейс. Он хорошо понятен пользователю на почти интуитивном уровне имеет “help” где можно найти любую интересующую информацию.
Непосредственное применение ППП “MathCad” при построении графиков функций с использованием производных и пределов требует знание некоторых функций пакета:
Оператор присваивания. “:=” – является оператором присваивания в ППП “MathCad”.
Символьное вычисление. Чтобы произвести символьное вычисление или получить точный результат в виде дроби а не приближенное десятичное значение для результата вычисления необходимо вместо знака “=” писать знак “”.
Вычисление пределов функции.
– возвращает значение предела функции при .
Вычисление производной. – возвращает производную функции ; – возвращает n-ю производную функции .
Функция нахождения корней уравнения. возвращает значение при котором равна нулю.
Работа с графиками на плоскости:
Создание графика: нажмите клавишу и поместите выражение которое будет отображаться графически в поле ввода для каждой из осей. Затем нажмите клавишу F9 чтобы построить график.
Удаление графика: щёлкните на графике чтобы выделить его. Затем нажмите клавиши Ctrl+X чтобы удалить его.
Перемещение графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Затем перетащите его или вырежьте и вставьте график на новое место.
Изменение размера графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Переместите указатель мыши на правую или нижнюю границу рамки указатель изменит свой вид на двунаправленную стрелку. Удерживая кнопку мыши переместите её чтобы изменить размер графика.
Границы на осях: чтобы изменить границы на осях установленные в Mathcad по умолчанию щёлкните в графике в поле ввода для границ на осях. Введите новые значения для каждой оси в соответствующие поля ввода. Нажмите клавишу F9 чтобы заново отобразить график.
Установки осей: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку X-Y Оси. В открывшемся диалоговом окне можно установить линейный или логарифмический масштаб осей линии сетки с нумерацией или без неё тип осей.
Надписи на осях: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Надписи”. Откроется диалоговое окно содержащее установки для определения надписей для осей.
Установки для отдельных кривых: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Графики”. Открывшееся диалоговое окно позволяет определить тип графика вид маркеров толщину цвет и вид линий.
Имена кривых: дважды щёлкните мышью на графике и в появившемся диалоговом окне выберите закладку “Графики” чтобы включить или отключить отображение названий кривых.
Увеличение фрагмента графика: Щёлкните дважды на графике затем выберите пункт “Лупа” из меню “X-Y Графики”. Выделите с помощью мыши область графика которая будет увеличена. Щёлкните на кнопке “Увеличение” в диалоговом окне – “Лупа”.
Считывание координат точек графика: щёлкните мышью на графике затем выберите пункт “Графики” из меню “X-Y График”. Щёлкните на нем и переместите мышь в ту точку координаты которой нужно увидеть. Нажмите клавишу Alt+F4 чтобы закрыть диалоговое окно.
Заголовки графиков: Дважды щёлкните на графике выберите закладку “Надписи”. В диалоговом окне содержатся установки для включения заголовков в область графика.
Установки по умолчанию: Дважды щёлкните на графике и выберите в диалоговом окне закладку “По умолчанию”. Щёлкните на кнопке "Вернуть значения по умолчанию" чтобы применить к графику значения установленные по умолчанию. Для того чтобы определить значения текущего графика как значения по умолчанию выберите переключатель "Использовать для значений по умолчанию".
Рассмотрим конкретные примеры исследования функций и построения графиков с помощью ППП “MathCad”:
Задачи на минимизацию и максимизацию
С помощью производной решаются прикладные задачи на минимизацию (или максимизацию) некоторой геометрической физической или экономической величины зависящей от параметров которые в свою очередь связаны постоянным соотношением . Тогда задача при условии что сводится к отысканию экстремальных значений переменной величины (как функции одной переменной) где получается из уравнения .
Например рассмотрим следующую задачу: при каких условиях расход жести на изготовление банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим (рис. 28).
Решение. Этап I. Строим математическую модель задачи. Пусть расход жести есть величина и в силу условия задачи эта величина совпадает с площадью полной поверхности цилиндра: . Итак . Емкость банки совпадает с объемом цилиндра .
Из всех цилиндров имеющих заданный объем выбрать тот у которого площадь полной поверхности является наименьшей. Это эквивалентно решению задачи: при условии . Из постоянного соотношения и тогда
Этап II. Решение математической модели. Для этого исследуем на экстремум функцию при . Экстремальные точки находятся там где производная функции обращается в ноль то есть или Выясняем знак при переходе через (рис. 29).
Следовательно при функция имеет локальный минимум и т.к. уравнение других корней не имеет то наименьшее значение функции совпадает с локальным min.
Таким образом площадь полной поверхности цилиндра имеющего заданный объем V будет наименьшей при и т.е. когда высота совпадает с диаметром основания.
Этап III. Вычисляем наименьший расход жести на изготовление банки цилиндрической формы заданной емкости. Он будет достигнут при условии что диаметр основания и высота банки равны между собой. При ; . - минимальный расход жести. Пусть ; т.е. .
Вывод. Расход жести увеличивается на 6%.
Варианты индивидуальных заданий
Задание 1 (1.1. – 1.30)
Вычислить первую производную заданных функций.
Задание 2 (2.1. – 2.30)
Вычислить вторую производную заданных функций.
Задание 3 (3.1. – 3.30)
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке.
Задание 4 (4.1. – 4.30)
Исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.
Задание 5 (5.1. – 5.30)
1. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью вписанного в прямоугольный треугольник катеты которого а=8см и b=16см а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника с=9. Каковы должны быть катеты а и b чтобы периметр треугольника был наибольшим?
3. Сосуд с крышкой состоящий из цилиндра заканчивающегося снизу полусферой должен вмещать 18 л. воды. Найти размеры сосуда при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.
4. На странице книги печатный текст (вместе с промежутками между строками) должен занимать 216 см2. Верхние и нижние поля должны быть по 3 см правое и левое – по 2 см. Каковы должны быть размеры страницы для того чтобы её площадь была наименьшей?
5. Требуется поставить палатку данного объема V имеющую форму прямого кругового конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания при котором на палатку уйдет наименьшее количество материала.
6. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объёма V. Стоимость квадратного метра материала идущего на изготовление дна бака равна p1 рублей а стенок – p2 рублей. Каковы должны быть радиус дна и высота бака чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?
7. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади который можно вписать в эллипс с осями 2а и 2b.
8. Круговой сектор имеет данный периметр Р. Каков должен быть радиус сектора для того чтобы площадь сектора была наибольшей?
9. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема который можно вписать в шар радиуса R.
10. Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с данной образующей чтобы объем конуса был наибольший?
11. Найти высоту конуса наименьшего объема описанного около данного шара радиуса R.
12. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать V литров воды. Каковы должны быть размеры бака чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?
13. Окно имеет форму прямоугольника завершенного полукругом. Периметр окна равен 300 см. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
14. Через точку (3;5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так чтобы площадь треугольника образованного ею с осями координат была наименьшей.
15. Через точку А(2;1) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так чтобы сумма длин отрезков отсекаемых ею на осях координат была наименьшей.
16. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью вписанного в прямоугольный треугольник катеты которого а=4 см и b=8 см а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника.
17. Имеется 200 м железной решетки которой надо огородить с трех сторон прямоугольную площадку примыкающую четвертой стороной к длинной каменной стенке. Каковы должны быть размеры площадки чтобы она имела наибольшую площадь.
18. Требуется изготовить из жести ведро данного объема V цилиндрической формы без крышки. Найти высоту цилиндра и радиус его основания при которых на ведро уйдет наименьшее количество материала.
19. Равнобедренный треугольник вписанный в окружность радиусом R вращается вокруг прямой проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника чтобы тело полученное в результате его вращения имело бы наибольший объём?
20. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так чтобы на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.
21. Полоса жести шириной a должна быть согнута в виде открытого желоба так чтобы поперечное сечение желоба имело форму кругового сегмента. Каким должен быть центральный угол опирающийся на этот сегмент для того чтобы вместимость желоба была наибольшей?
22. В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая которая вместе с осями координат образует треугольник расположенный в первом квадрате. Каковы должны быть отрезки отсекаемые прямой на осях координат чтобы площадь треугольника была наименьшей?
23. В прямоугольной системе координат через точку (1;4) проведена прямая пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой если сумма отрезков отсекаемых ею на осях координат принимает наименьшее значение.
24. Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки вырезанной из круглого бревна диаметра d с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?
25. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки вырезанной из круглого бревна диаметра d чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?
26. Сопротивление балки прямоугольного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки вырезанной из круглого бревна диаметра d чтобы ее сопротивление на сжатие было наибольшим?
27. Найти высоту цилиндра наибольшего объема который можно вписать в шар радиуса R.
28. Найти высоту конуса наибольшего объема который можно вписать в шар радиуса R.
29. Два источника света расположены в 30 м. друг от друга. На прямой соединяющей их найти наименьшую освещённую точку если силы света источников относятся как 27:8. Замечание: освещенность точки источником света силой F обратно пропорционально квадрату расстояния r её источника света:
30. Из всех прямоугольников данного периметра 2р найти тот у которого диагональ наименьшая.
Библиографический список
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособ. для вузов. - В 2-х т. Т.1. - M.: Интеграл – Пресс 1997. – 416 с.
Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисления Я.С. Бугров С.М. Никольский. – M.: Наука 1980. – 432 с.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 П.Е. Данко А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа 1996. – 304 с.
Дьяконов В. MathCad: Учеб. курс. - СПб.: Питер 2001. – 624 с.
Производная функции одной переменной4
1. Понятие производной функции и ее непосредственное вычисление4
2. Табличное дифференцирование5
3. Правило дифференцирования сложной функции6
4. Логарифмическое дифференцирование7
5. Производная неявной функции8
6. Производные функций заданных параметрически8
7. Производные высших порядков9
Применение производной10
1. Производная в механике физике и экономике10
2. Геометрическое приложение производной11
Исследование функции с помощью производной13
1. Экстремум функции. Необходимое13
и достаточное условие экстремума13
2. Выпуклость графика функции15
4. Асимптоты графика функции18
5. Схема исследования функции y=f(x)19
Применение пакета прикладных программ “ MathCad“ для построения графика функций25
Задачи на минимизацию и максимизацию29
Варианты индивидуальных заданий31
Библиографический список43

icon Диф исчисл ф-ии одной перем.doc111.doc

Министерство образования РФ
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНУЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Методические указания и типовые расчеты
Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Методические указания и типовые расчеты Норильский индуст. ин-т – Норильск 2002. – 44 с.
Составители:В.И. Потапов доцент;
С.Ф. Шевчук ассистент;
Д.В. Дубров ассистент.
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения. В настоящей работе содержатся основные сведения и индивидуальные задания по дифференциальному исчислению функций одной переменной (производная функции техника дифференцирования построение касательной и нормали к кривой исследование функций с помощью производных и построение графика задачи на минимизацию и максимизацию физических экономических и геометрических величин). На конкретных примерах рассматривается применение пакета прикладных программ MATHCAD для построения графиков элементарных функций.
Методические указания составлены согласно государственному образовательному стандарту утвержденному 14.04.2002 г. и примерной программе дисциплины «Математика».
В 1665 г. Исаак Ньютон (1643-1727) окончил Кембриджский университет и собирался начать работу тут же в колледже его родного Тринити. Однако чума бушевавшая в Англии заставила Ньютона уединиться на своей ферме в Вулсторпе. “Чумные каникулы” затянулись почти на два года. “Я в то время был в расцвете моих изобретательных сил и думал о математике и философии больше чем когда-либо позже” - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. В Вулсторпе Ньютон решая задачи на проведение касательных к кривым вычисляя площади криволинейных фигур создает общий метод решения таких задач методом флюксий и флюэнт которые у Лейбница назывались производными и дифференциалами.
Основы дифференциального исчисления ученый заложил в своей самой значительной работе по математике “Метод флюксий” (1670-1671) которая была опубликована уже после его смерти.
В те же годы Готфрид Лейбниц (1646-1716) вводит понятие дифференциала функции строит правила вычисления дифференциалов применяет обозначения где - производная функции. Эти обозначения во многих отношениях настолько удачны что широко используются и по сей день. Обозначение для производной было введено лишь в 1770 г. французским математиком Ж.Л. Лагранжем. Построение дифференциального исчисления стимулировалось идеей создания единого метода решения задач на минимизацию и максимизацию геометрических физических и экономических величин. “Когда величина является максимальной или минимальной в этот момент она не течет ни вперед ни назад” – писал И. Ньютон.
В 1660 г. Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул свой принцип: если переменная величина достигает своего экстремального значения при конкретном параметре то скорость ее изменения в этот момент равна нулю (покой!).
Зачем решают задачи на максимум и минимум? В качестве ответа на этот вопрос приведем следующие высказывания: “По Лейбницу наш мир является наилучшем из всех возможных миров и поэтому его законы можно описать экстремальными принципами” (Карл Зигель); “В мире не происходит ничего в чем бы не был смысл какого-нибудь максимума или минимума” (Леонард Эйлер (1707-1783); “Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин . . . и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики которая везде ищет самого лучшего самого выгодного” (П.Л. Чебышев).
Производная функции одной переменной
1. Понятие производной функции и ее непосредственное вычисление
Пусть задана элементарная функция определенная в каждой точке интервала .
Берем фиксированную точку из этого интервала и придаем аргументу любое приращение настолько малое что (рис. 1).
Находим приращение функции и строим разностное отношение . Тогда предел разностного отношения при (при условии что этот предел существует) называется производной и обозначается:
Из определения следует что производная характеризует скорость изменения функции. Действительно где - бесконечно малая при то есть . А тогда с точностью до производная есть коэффициент пропорциональности между и который характеризует скорость изменения функции.
Пример 1. Найти производную функции в произвольной точке :
Решение: а) строим приращение вычисляем предел . Следовательно производная ;
б) строим приращение вычисляем предел где использовали замечательный предел и непрерывность косинуса. Следовательно производная .
2. Табличное дифференцирование
Для вычисления производных простых функций (как комбинаций основных элементарных функций) используем правила дифференцирования:
и таблицу производных основных элементарных функций простого аргумента.
Производная постоянной функции равна нулю
Производная независимого аргумента равна 1
При дифференцировании степени показатель понижается на 1
Производная обратно-пропорциональной величины
Производная натурального логарифма
Производная логарифма
Производная показательной функции
Производная экспоненты
Производные тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций
Производная гиперболического синуса
Производная гиперболического косинуса
При получении производных обратных тригонометрических функций используем теорему: Если функция возрастает и непрерывна в некоторой окрестности точки и ее производная в этой точке отлична от нуля тогда в некоторой окрестности точки определена обратная функция такая что
Пример 2. Вычислить производную функции .
Решение. По правилам дифференцирования и таблицы производных получаем .
3. Правило дифференцирования сложной функции
Вся табл. 1 производных автоматически переписывается для сложного аргумента опираясь на теорему: Если имеет производную в точке а функция имеет производную в точке тогда сложная функция также имеет производную в точке такую что или
Пример 3. Найти производную функций:
Решение: а) сначала дифференцируем как степень со сложным основанием: где . Таким образом - ответ.
б) в этом случае используем формулы: и получим .
4. Логарифмическое дифференцирование
Если задана сложная степенно-показательная функция то ее производная вычисляется по схеме:
)логарифмируется заданная функция: ;
)формально дифференцируются левая и правая части этого равенства: или ;
)из последнего равенства находится искомая производная: .
Пример 4. Найти производную сложной функции:
Решение: а) логарифмируем заданную функцию и формально дифференцируем это равенство:
И окончательно имеем: ;
б) для простоты вычисления вновь логарифмируем заданную функцию используя свойства: . Отсюда получаем равенство и затем дифференцируем его: . А тогда искомая производная: где .
5. Производная неявной функции
Если функция задается как решение некоторого уравнения то есть неявно то производную находим формальным дифференцированием этого равенства.
Пример 5. Функция задана уравнением . Найти ее производную.
Решение. Формально его дифференцируем: или или . Отсюда получим искомую производную: . По условию следовательно производную можно записать иначе: .
6. Производные функций заданных параметрически
Пусть зависимость функции и аргумента задана посредством параметра : где под в механике понимается время или угол повтора а - закон изменения абсциссы материальной точки - закон изменения ординаты материальной точки. При таком задании функции производная вычисляется следующим образом: и характеризует абсолютную скорость материальной точки. Аналогично получаем вторую производную: или которая характеризует ускорение материальной точки.
Пример 6. Найти производные и заданной функции .
Решение. Находим . И тогда первая производная равна
. Далее получаем производную второго порядка: .
7. Производные высших порядков
Если функция задана явно то ее производные находятся последовательно: .
Пример 7. Найти 4-ю производную функции .
Решение. По формуле вычисляем . Далее и наконец 4-ая производная . Ответ: .
Если же исходная функция где то производные вычисляются по формуле Лейбница:
Пример 8. Найти 4-ю производную функции .
Решение. По формуле Лейбница
Применение производной
1. Производная в механике физике и экономике
Если задан закон движения материальной точки то отношение называют величиной средней скорости движения а - величиной мгновенной скорости в момент времени . Следовательно 1-я производная (или ) в механике дает скорость материальной точки.
Пример 9. Тело выпущенное вертикально вверх движется по закону где - высота измеряется в метрах а время - в секундах. Найти: а) скорость тела в начальный момент; б) скорость тела в момент соприкосновения с землей; в) наибольшую высоту подъема тела.
Решение: а) Скорость тела в момент равна производной то есть ; в момент скорость ;
б) в момент соприкосновения с землей то есть откуда и (не подходит по смыслу ибо ). Скорость тела в момент равна (минус указывает на то что скорость тела в момент противоположна направлению начальной скорости);
в) наибольшая высота подъема будет в момент когда скорость тела равна нулю и происходит переход от подъема к опусканию тела то есть откуда . Наибольшая высота подъема .
Пусть в экономике функция выражает количество произведенной продукции за время а необходимо найти производительность труда в момент . За период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения тогда средняя производительность труда за этот период времени . Очевидно что производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при т.е. - производная от количества продукции .
Пример 10. Объем продукции произведенный бригадой рабочих может быть описан уравнением (ед.) где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда скорость и темпы ее изменения через час после начала работы и за час до её окончания.
Решение. Производительность труда выражается производной (ед.ч) а скорость и темпы изменения производительности – соответственно производной (ед.ч2) и логарифмической производной . В заданный момент времени и соответственно имеем: (ед.ч) (ед.ч2) (ед.ч) и (ед.ч) (ед.ч2) (ед.ч).
К концу работы производительность труда существенно снижается при этом изменение знака и с “+” на “–“ свидетельствует о том что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.
2. Геометрическое приложение производной
Запишем уравнения касательной и нормали к графику функции в точке . Прямая является касательной и ее уравнение а прямая (рис. 2) является нормалью и ее уравнение .
Для получения этих уравнений используем геометрический смысл производной и условия перпендикулярности прямых () . Отрезок называется подкасательной и а отрезок - поднормаль и .
Пример 11. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .
Решение. Находим и - угловой коэффициент касательной. И тогда по формуле получаем уравнение касательной : или . А также строим нормаль с угловым коэффициентом то есть ее уравнение или (рис. 3).
Ответ: уравнение касательной а уравнение нормали .
Замечание. В случае параметрического здания кривой уравнение касательной в точке будет иметь вид: где . А нормаль в этой точке запишется таким образом: .
Исследование функции с помощью производной
1. Экстремум функции. Необходимое
и достаточное условие экстремума
Рассматриваем функцию действительного переменного определенную всюду в некоторой окрестности фиксированной точки .
Будем говорить что функция возрастает (рис. 4) в точке если существует -окрестность – в пределах которой приращение меняет знак с “–” на “+”. Если меняет знак с “+” на “–” то в точке функция убывает (рис. 5).
Функция монотонно возрастает (убывает) в т. если . Этот критерий распространяется на все точки некоторой - окрестности точки .
Точка является точкой локального максимума (локального минимума) функции если существует - окрестность т. в пределах которой поведение функции как на рис. 6 рис. 7.
Рис. 6 Локальный максимумРис. 7 Локальный минимум
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.
Замечание. Могут существовать точки функции не принадлежащие ни к одному из рассматриваемых типов на рис. 4–7 так называемые точки сгущения. Например т. для функции не является ни точкой экстремума ни точкой монотонного возрастания (или убывания). Поскольку производная: в любой сколь угодно малой окрестности т. меняет знак.
Необходимое условие экстремума: если функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируемая в ней то . Это доказывается с помощью “малой” теоремы Ферма.
Замечание. Обращение в нуль производной является только необходимым но не достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции. Так функция имеет которая обращается в нуль в точке но никакого экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 8). Здесь является точкой возрастания функции.
Точки в которых производная обращается в нуль называются стационарными точками функции .
Каждая стационарная точка – это точка возможного экстремума. Однако сделать заключение о том что в данной стационарной точке имеется экстремум можно лишь после дополнительных исследований которые основываются на следующих теоремах (достаточные условия экстремума):
Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак то функция в т. имеет локальный экстремум (рис. 9 рис. 10).
Рис. 9. Локальный максимум Рис. 10. Локальный минимум
Пусть функция имеет в стационарной точке конечную вторую производную. Тогда эта функция в точке будет иметь локальный максимум если и локальный минимум если .
Если же функция имеет производную всюду в окрестности т. кроме самой точки однако определена в т. и ее производная меняет знак при переходе через то функция имеет локальный экстремум в противном случае нет.
Например для функций (рис. 11) и (рис. 12) является точкой локального минимума однако в этой точке не существует.
2. Выпуклость графика функции
Пусть функция имеет производную в любой точке тогда можно провести касательные к графику функции проходящие через каждую точку этого графика (причем эти касательные не параллельны оси ).
Определение. График функции на интервале вогнут (выпуклость вниз) если он лежит выше любой касательной (рис. 13). В противном случае выпукл (выпуклостью вверх) (рис.14).
Рис. 13. График вогнут Рис. 14. График выпукл
Отметим критерий выпуклости графика функции: Если функция имеет на конечную то при график идёт выпуклостью вниз (вогнут) и при график идёт выпуклостью вверх (выпуклый).
Действительно запишем уравнение касательной к графику в т. т.е. и формулу Тейлора в т. :
. Произведем вычитание:
тогда при следует неравенство (т.е. график функции лежит выше любой касательной) а значит он вогнут. Аналогично при имеем неравенство (т.е. график функции лежит ниже любой касательной) а значит идёт выпуклостью вверх.
Примечание. Для функции имеющей производные до порядка n включительно справедлива формула Тейлора: где и .
Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика если существует в пределах которой график функции слева и справа от имеет разные направления выпуклости (рис. 15).
Сформулируем необходимое условие перегиба графика: если функция имеет в т. вторую производную и график этой функции имеет перегиб в т. то .
Запишем достаточные условия перегиба:
) пусть существует в окрестности и . Тогда если вторая производная меняет знак при переходе через то - точка перегиба.
) если функция имеет конечную вторую производную в некоторой окрестности кроме самой точки и график функции имеет касательную в т. тогда график функции будет иметь перегиб в этой точке если меняет знак при переходе через .
Например для функции в т. вторая производная не существует но при этом имеется вертикальная касательная тогда по теореме поскольку меняет знак при переходе через т. т. является точкой перегиба (рис. 16).
Однако для функции в т. вторая производная также не существует но при этом она и не меняет знака при переходе через . Касательная имеется в точке (рис. 17) но перегиба нет.
Заметим что график полукубической параболы не перегибается при переходе через вертикальную касательную в т. а “возвращается назад” поэтому точки такого типа называются “точками возврата”.
4. Асимптоты графика функции
Определение. Говорят что прямая является вертикальной асимптотой графика функции если хотя бы один из пределов или равен .
Например для прямая является вертикальной асимптотой поскольку односторонние пределы:
Определение. Говорят что прямая является наклонной асимптотой графика функции при если представима в виде где .
Для того чтобы график функции имел при наклонную асимптоту необходимо и достаточно чтобы существовали два предела:
Действительно пусть график функции имеет при асимптоту т.е. для справедливо представление . Тогда
Покажем достаточность. Пусть существуют пределы (1) и (2) второй из этих пределов дает право утверждать что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую функцию через получим представление . Что и требовалось доказать.
Замечание. Существование наклонной асимптоты графика функции означает что при функция ведет себя “почти как линейная функция” (рис. 18).
Линия (1) – график функции ; линия (2) – асимптота графика функции.
Замечание. Для получения уравнения наклонной асимптоты иногда применяется правило Лопиталя:
5. Схема исследования функции y=f(x)
Находим область определения функции там где она имеет смысл т.е. вычислима.
Находим точки пересечения графика с осями координат (с осью при и с осью при ).
Находим интервалы знакопостоянства функции там где и .
Выясняем чётность или нечётность функции проверяем равенства или .
Находим вертикальные и наклонные асимптоты и .
Находим интервалы монотонного убывания (или возрастания функции) там где или () и точки экстремума.
Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции (там где и ) и точки перегиба.
Схематично строим график данной функции с учётом исследования.
Пример 12. Исследовать функцию и построить график.
) область определения: ;
) найдем точки пересечения графика с осью то есть при . С осью где и тогда . Получаем единственную точку ;
) интервалы знакопостоянства. Так как при всех то функция знакоположительна на всей числовой прямой.
) исследуем на четность то есть и а значит функция не является чётной и не является нечётной. Поэтому график не симметричен относительно осей координат. Симметрии нет;
) вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва. Наклонные асимптоты ищем в виде :
Следовательно – горизонтальная асимптота при вычисляем угловой коэффициент это означает что при асимптот нет. При этом ;
) находим интервалы монотонного убывания и возрастания функции. Для этого вычисляем 1–ю производную и её корни:
; – нули ставим на числовую прямую и выясняем знак (рис. 19).
Заметим что функция возрастает при и убывает при .
Получим точку локального минимума в которой и точка локального максимума в которой .
) найдем интервалы выпуклости (вогнутости). Для этого вычислим 2–ю производную: и найдём её корни . Дискриминант и по формулам Виета получаем корни: . Выясним знак при перехода через эти корни (рис. 20).
Следовательно график выпукл при и вогнут при. А тогда точки перегиба графика функции:
) строим схематично график функции с учётом проведённого исследования (рис. 21).
Пример 13. Исследовать функцию и построить ее график.
) где точки разрыва. Область определения или ;
)найдем точки пересечения графика с осями координат пусть точка является точкой пересечения графика с осями координат;
)интервалы законопостоянства (рис. 22): .
Если функция положительна если функция отрицательна;
)исследование на четность функция нечетная и график симметричен относительно начала координат;
)находим асимптоты. Имеем две вертикальные асимптоты. Это прямые с уравнениями поскольку односторонние пределы:
Ищем наклонные асимптоты:
; . Найдем и тогда наклонная асимптота где будет горизонтальной с уравнением ;
)интервалы монотонности и точки экстремума:
Функция является возрастающая на всей числовой оси. Точек экстремума нет так как всюду положительна (рис. 23).
- нет действительных корней;
)найдем интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба:
Точки перегиба – это те точки в которых :
Выясним знак при переходе через критические точки (рис. 24).
График функции вогнут если и выпукл если .
Точка является точкой перегиба графика потому что меняет знак при переходе через . Однако при и перегиба нет поскольку функция терпит разрыв в этих точках;
) схематично строим график (рис. 25).
Применение пакета прикладных программ “ MathCad“ для построения графика функций
В настоящее время в учебном процессе во многих вузах используются математические пакеты: “MathCad” “Maple” “MatLab” и др. Данные программные продукты реализованы на высокопрофессиональном уровне и в процессе своего развития усовершенствуются. ППП “MathCad” имеет дружественный Window’s интерфейс. Он хорошо понятен пользователю на почти интуитивном уровне имеет “help” где можно найти любую интересующую информацию.
Непосредственное применение ППП “MathCad” при построении графиков функций с использованием производных и пределов требует знание некоторых функций пакета:
Оператор присваивания. “:=” – является оператором присваивания в ППП “MathCad”.
Символьное вычисление. Чтобы произвести символьное вычисление или получить точный результат в виде дроби а не приближенное десятичное значение для результата вычисления необходимо вместо знака “=” писать знак “”.
Вычисление пределов функции.
– возвращает значение предела функции при .
Вычисление производной. – возвращает производную функции ; – возвращает n-ю производную функции .
Функция нахождения корней уравнения. возвращает значение при котором равна нулю.
Работа с графиками на плоскости:
Создание графика: нажмите клавишу и поместите выражение которое будет отображаться графически в поле ввода для каждой из осей. Затем нажмите клавишу F9 чтобы построить график.
Удаление графика: щёлкните на графике чтобы выделить его. Затем нажмите клавиши Ctrl+X чтобы удалить его.
Перемещение графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Затем перетащите его или вырежьте и вставьте график на новое место.
Изменение размера графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Переместите указатель мыши на правую или нижнюю границу рамки указатель изменит свой вид на двунаправленную стрелку. Удерживая кнопку мыши переместите её чтобы изменить размер графика.
Границы на осях: чтобы изменить границы на осях установленные в Mathcad по умолчанию щёлкните в графике в поле ввода для границ на осях. Введите новые значения для каждой оси в соответствующие поля ввода. Нажмите клавишу F9 чтобы заново отобразить график.
Установки осей: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку X-Y Оси. В открывшемся диалоговом окне можно установить линейный или логарифмический масштаб осей линии сетки с нумерацией или без неё тип осей.
Надписи на осях: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Надписи”. Откроется диалоговое окно содержащее установки для определения надписей для осей.
Установки для отдельных кривых: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Графики”. Открывшееся диалоговое окно позволяет определить тип графика вид маркеров толщину цвет и вид линий.
Имена кривых: дважды щёлкните мышью на графике и в появившемся диалоговом окне выберите закладку “Графики” чтобы включить или отключить отображение названий кривых.
Увеличение фрагмента графика: Щёлкните дважды на графике затем выберите пункт “Лупа” из меню “X-Y Графики”. Выделите с помощью мыши область графика которая будет увеличена. Щёлкните на кнопке “Увеличение” в диалоговом окне – “Лупа”.
Считывание координат точек графика: щёлкните мышью на графике затем выберите пункт “Графики” из меню “X-Y График”. Щёлкните на нем и переместите мышь в ту точку координаты которой нужно увидеть. Нажмите клавишу Alt+F4 чтобы закрыть диалоговое окно.
Заголовки графиков: Дважды щёлкните на графике выберите закладку “Надписи”. В диалоговом окне содержатся установки для включения заголовков в область графика.
Установки по умолчанию: Дважды щёлкните на графике и выберите в диалоговом окне закладку “По умолчанию”. Щёлкните на кнопке "Вернуть значения по умолчанию" чтобы применить к графику значения установленные по умолчанию. Для того чтобы определить значения текущего графика как значения по умолчанию выберите переключатель "Использовать для значений по умолчанию".
Рассмотрим конкретные примеры исследования функций и построения графиков с помощью ППП “MathCad”:
Задачи на минимизацию и максимизацию
С помощью производной решаются прикладные задачи на минимизацию (или максимизацию) некоторой геометрической физической или экономической величины зависящей от параметров которые в свою очередь связаны постоянным соотношением . Тогда задача при условии что сводится к отысканию экстремальных значений переменной величины (как функции одной переменной) где получается из уравнения .
Например рассмотрим следующую задачу: при каких условиях расход жести на изготовление банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим (рис. 28).
Решение. Этап I. Строим математическую модель задачи. Пусть расход жести есть величина и в силу условия задачи эта величина совпадает с площадью полной поверхности цилиндра: . Итак . Емкость банки совпадает с объемом цилиндра .
Из всех цилиндров имеющих заданный объем выбрать тот у которого площадь полной поверхности является наименьшей. Это эквивалентно решению задачи: при условии . Из постоянного соотношения и тогда
Этап II. Решение математической модели. Для этого исследуем на экстремум функцию при . Экстремальные точки находятся там где производная функции обращается в ноль то есть или Выясняем знак при переходе через (рис. 29).
Следовательно при функция имеет локальный минимум и т.к. уравнение других корней не имеет то наименьшее значение функции совпадает с локальным min.
Таким образом площадь полной поверхности цилиндра имеющего заданный объем V будет наименьшей при и т.е. когда высота совпадает с диаметром основания.
Этап III. Вычисляем наименьший расход жести на изготовление банки цилиндрической формы заданной емкости. Он будет достигнут при условии что диаметр основания и высота банки равны между собой. При ; . - минимальный расход жести. Пусть ; т.е. .
Вывод. Расход жести увеличивается на 6%.
Варианты индивидуальных заданий
Задание 1 (1.1. – 1.30)
Вычислить первую производную заданных функций.
Задание 2 (2.1. – 2.30)
Вычислить вторую производную заданных функций.
Задание 3 (3.1. – 3.30)
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке.
Задание 4 (4.1. – 4.30)
Исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.
Задание 5 (5.1. – 5.30)
1. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью вписанного в прямоугольный треугольник катеты которого а=8см и b=16см а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника с=9. Каковы должны быть катеты а и b чтобы периметр треугольника был наибольшим?
3. Сосуд с крышкой состоящий из цилиндра заканчивающегося снизу полусферой должен вмещать 18 л. воды. Найти размеры сосуда при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.
4. На странице книги печатный текст (вместе с промежутками между строками) должен занимать 216 см2. Верхние и нижние поля должны быть по 3 см правое и левое – по 2 см. Каковы должны быть размеры страницы для того чтобы её площадь была наименьшей?
5. Требуется поставить палатку данного объема V имеющую форму прямого кругового конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания при котором на палатку уйдет наименьшее количество материала.
6. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объёма V. Стоимость квадратного метра материала идущего на изготовление дна бака равна p1 рублей а стенок – p2 рублей. Каковы должны быть радиус дна и высота бака чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?
7. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади который можно вписать в эллипс с осями 2а и 2b.
8. Круговой сектор имеет данный периметр Р. Каков должен быть радиус сектора для того чтобы площадь сектора была наибольшей?
9. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема который можно вписать в шар радиуса R.
10. Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с данной образующей чтобы объем конуса был наибольший?
11. Найти высоту конуса наименьшего объема описанного около данного шара радиуса R.
12. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать V литров воды. Каковы должны быть размеры бака чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?
13. Окно имеет форму прямоугольника завершенного полукругом. Периметр окна равен 300 см. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
14. Через точку (3;5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так чтобы площадь треугольника образованного ею с осями координат была наименьшей.
15. Через точку А(2;1) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так чтобы сумма длин отрезков отсекаемых ею на осях координат была наименьшей.
16. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью вписанного в прямоугольный треугольник катеты которого а=4 см и b=8 см а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника.
17. Имеется 200 м железной решетки которой надо огородить с трех сторон прямоугольную площадку примыкающую четвертой стороной к длинной каменной стенке. Каковы должны быть размеры площадки чтобы она имела наибольшую площадь.
18. Требуется изготовить из жести ведро данного объема V цилиндрической формы без крышки. Найти высоту цилиндра и радиус его основания при которых на ведро уйдет наименьшее количество материала.
19. Равнобедренный треугольник вписанный в окружность радиусом R вращается вокруг прямой проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника чтобы тело полученное в результате его вращения имело бы наибольший объём?
20. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так чтобы на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.
21. Полоса жести шириной a должна быть согнута в виде открытого желоба так чтобы поперечное сечение желоба имело форму кругового сегмента. Каким должен быть центральный угол опирающийся на этот сегмент для того чтобы вместимость желоба была наибольшей?
22. В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая которая вместе с осями координат образует треугольник расположенный в первом квадрате. Каковы должны быть отрезки отсекаемые прямой на осях координат чтобы площадь треугольника была наименьшей?
23. В прямоугольной системе координат через точку (1;4) проведена прямая пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой если сумма отрезков отсекаемых ею на осях координат принимает наименьшее значение.
24. Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки вырезанной из круглого бревна диаметра d с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?
25. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки вырезанной из круглого бревна диаметра d чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?
26. Сопротивление балки прямоугольного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки вырезанной из круглого бревна диаметра d чтобы ее сопротивление на сжатие было наибольшим?
27. Найти высоту цилиндра наибольшего объема который можно вписать в шар радиуса R.
28. Найти высоту конуса наибольшего объема который можно вписать в шар радиуса R.
29. Два источника света расположены в 30 м. друг от друга. На прямой соединяющей их найти наименьшую освещённую точку если силы света источников относятся как 27:8. Замечание: освещенность точки источником света силой F обратно пропорционально квадрату расстояния r её источника света:
30. Из всех прямоугольников данного периметра 2р найти тот у которого диагональ наименьшая.
Библиографический список
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособ. для вузов. - В 2-х т. Т.1. - M.: Интеграл – Пресс 1997. – 416 с.
Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисления Я.С. Бугров С.М. Никольский. – M.: Наука 1980. – 432 с.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 П.Е. Данко А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа 1996. – 304 с.
Дьяконов В. MathCad: Учеб. курс. - СПб.: Питер 2001. – 624 с.
Производная функции одной переменной4
1. Понятие производной функции и ее непосредственное вычисление4
2. Табличное дифференцирование5
3. Правило дифференцирования сложной функции6
4. Логарифмическое дифференцирование7
5. Производная неявной функции8
6. Производные функций заданных параметрически8
7. Производные высших порядков9
Применение производной10
1. Производная в механике физике и экономике10
2. Геометрическое приложение производной11
Исследование функции с помощью производной13
1. Экстремум функции. Необходимое13
и достаточное условие экстремума13
2. Выпуклость графика функции15
4. Асимптоты графика функции18
5. Схема исследования функции y=f(x)19
Применение пакета прикладных программ “ MathCad“ для построения графика функций25
Задачи на минимизацию и максимизацию29
Варианты индивидуальных заданий31
Библиографический список43

icon методичка и задания.doc

Министерство образования Российской Федерации
Кафедра высшей математики
Методические указания и типовые расчеты
по дифференциальным уравнениям
Высшая математика: Метод. указ. и типовые расчеты по дифференциальным уравнениям Норильский индустр. ин-т. – Норильск 2002. – 33 с.
С.П. Бажанова ст. преподаватель
В.Ф. Фель ст. преподаватель
Типовой расчет составлен для студентов всех специальностей и содержит краткие теоретические сведения. Приведены примеры решения задач по каждому разделу входящему в практические задания типового расчета.
Дифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение содержащее независимую переменную ее функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Наивысший порядок производной входящей в уравнение называется порядком д.у.
Дифференциальные уравнения
Его общим решением называется функция где при подстановке которой в уравнение (1) получается тождественное равенство.
При задании начальных условий (Задача Коши) из общего решения определяется С и получаем частное решение.
Рассмотрим следующие типы д.у.:
Уравнения с разделяющимися переменными – это такие уравнения которые после алгебраических преобразований приводятся к виду
что позволяет найти решение проинтегрировав обе части.
Найти общее решение:
Разделяя переменные получаем
Интегрируем обе части:
Однородные д.у. – это уравнения вида
где P и Q – однородные функции одного измерения.
Функция называется однородной измерения k если .
Такие уравнения подстановкой приводятся к уравнению с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные получим
Учитывая что находим общее решение:
Д.у. в полных дифференциалах – это уравнение
где P и Q удовлетворяют условиям .
Таким образом левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции т.е. и .
Следовательно левая часть есть полный дифференциал функции т.е.
Интегрируя по получаем
Найдем взяв производную от последнего выражения по :
С другой стороны отсюда
Общее решение имеет вид
Линейные д.у. – это уравнения вида
Решение такого уравнения можно найти методом Бернулли. Полагаем где и две неизвестные функции.
Найти частное решение:
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно то выбираем таким образом чтобы выражение в скобках равнялось нулю:
Подставляя найденное в уравнение (1) получим
Учитывая начальное условие найдем частное решение:
Таким образом частное решение .
Дифференциальные уравнения
Уравнения допускающие понижение порядка:
а) уравнения не содержащие :
Если то . Исходя из этого получаем д.у. 1-го порядка относительно :
Разделяя переменные
Учитывая что получаем
б)уравнения не содержащие независимой переменной
Найдем частное решение используя начальные условия:
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
Можно решить методом подбора частного решения.
Решение ищем в виде
где – общее решение соответствующего однородного уравнения .
Характеристическое уравнение имеет корни . Отсюда – какое-либо частное решение. В данном случае ищем его в виде
где – коэффициент подлежащий определению:
Подставляя в исходное уравнение получим
Таким образом общее решение следующее:
Используя начальное условие найдем частное решение. Для этого предварительно найдем
Система дифференциальных уравнений.
Обозначая система запишется
Решаем ее методом исключения. Дифференцируя первое уравнение получим
значения подставляем из 2-го уравнения =
у подставляем из 1-го уравнения =
Это однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решаем его с помощью характеристического уравнения:
Решение для найдем из 1-го уравнения системы:
Примеры решения задач
Задача 1. Найти уравнение кривой проходящей через точку (3; 4) и обладающую тем свойством что отрезок отсекаемый любой касательной на оси ординат равен удвоенному модулю радиуса – вектора точки касания.
Уравнение касательной:
Это однородное дифференциальное уравнение:
Разделим переменные:
Интегрируем обе части:
Ответ: Уравнение искомой кривой
Задача 2. Точка массы движется прямолинейно; на нее действует сила пропорциональная времени протекшему от момента когда скорость равна нулю (коэффициент пропорциональности равен 2). Кроме того точка испытывает сопротивление среды пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности равен 3). Найти скорость в момент t = 3 сек.
получим для определения скорости v дифференциальное уравнение
Это линейное дифференциальное уравнение. Решаем его методом Бернулли:
Интегрируем по частям:
Найдем с учитывая что при :
Задания к типовому расчету
В заданиях с 1 по 6 найти общее решение при заданных начальных условиях частного решения. В номере 7 решить систему методом исключения.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (2; 3) и обладающую тем свойством что отрезок любой ее касательной заключенный между координатными осями делится пополам в точке касания.
Материальная точка движется по прямой со скоростью обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость мс. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (1; 1) обладающей свойством что нормаль в любой ее точке пересекает ось ординат в точке (0; –1).
В резервуар содержащий 10 л воды непрерывно поступает со скоростью 2 лмин раствор в каждом литре которого содержится 03 кг соли. Этот раствор перемешивается с водой и смесь вытекает из резервуара с той же скоростью. Сколько соли будет содержать резервуар через 5 мин?
Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти уравнение кривой если известно что кривая проходит через начало координат.
Скорость распада радия пропорциональна его имеющемуся количеству R. Найти закон распада радия если известно что через 1600 лет останется половина первоначального количества. Какой процент радия окажется распавшимся через 100 лет?
Найти уравнение кривой проходящей через точку и обладающую тем свойством что касательная к ней в точке с координатами проходит через точку с координатами .
Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения причем сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти: 1) скорость вращения диска в момент t = 120 с если при t = 0 он вращался со скоростью 12 радс а при t = 10 с его скорость стала 8 радс; 2) момент времени когда скорость вращения диска окажется равной 1 радс.
Найти линию у которой начальная ордината любой касательной равна соответствующей поднормали.
Материальная точка замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени если мс а мс. Какова будет скорость точки через 3 с после начала замедления движения? В какой момент времени скорость будет равна 01 мс?
Найти линию у которой площадь трапеции образованной осями координат ординатой произвольной точки и касательной к этой точке равна половине квадрата абсциссы.
Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 мс а ее скорость через 4 с равна 1 мс. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 025 мс.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (1; 2) если каждая касательная к этой кривой пересекает прямую в точке с абсциссой равной удвоенной абсциссе точки касания.
Определить за какое время тело нагретое до температуры 300º помещенное в жидкость температура которой 60º охладится до 150º если считать количество жидкости настолько большим что ее температура практически остается без изменения. При этом известно что через 10 мин. после начала процесса температура тела равна 200º.
Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 мс а вылетает из доски пробив ее со скоростью 50 мс. Найти сколько времени продолжалось движение пули через доску если сопротивление доски движению пули пропорционально квадрату ее скорости.
В резервуаре с температурой 20º тело остыло за 20 мин. от 100º до 60º. Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут оно остынет до 30º. Повышением температуры резервуара пренебречь.
Моторная лодка вес которой 245 кг идет прямолинейно и равномерно со скоростью 10 мс. В некоторый момент который будем считать начальным двигатель выключается и движение лодки замедляется за счет трения о воду. Через одну секунду после выключения двигателя лодка имела скорость 8 мс. Найти скорость лодки через 5 с и расстояние пройденное за это время.
В дне цилиндрического сосуда с водой имеется малое отверстие. Скорость вытекания воды пропорциональна квадратному корню из высоты столба воды в сосуде. За сколько времени вытечет вода из сосуда если ее количества вытекает за 10 с?
Материальная точка массой т = 2 г без начальной скорости медленно погружается в жидкость. Найти путь пройденный точкой за время с считая что при медленном погружении сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (–1; 4) и обладающую тем свойством что поднормаль ее в любой точке имеет одно и то же значение равное 4.
С высоты падает тело массой т с начальной скоростью . Найти скорость тела в любой момент времени если на него кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности равным 32.
Найти уравнение линии проходящей через точку (2; 4) если угловой коэффициент касательной в любой ее точке М в три раза больше углового коэффициента прямой соединяющей точку М с началом координат.
В баке находится А литров раствора содержащего а кг вещества растворенного в воде. В бак вливается вода со скоростью т лмин и смесь вытекает со скоростью п лмин (т ³ п). Раствор постоянно размешивается так что концентрация поддерживается равномерной. Найти количество чистого вещества в баке через минут после начала процесса.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (1; 0) если известно что отрезок отсекаемый касательной в любой точке этой линии на оси оу равен расстоянию от точки касания до начала координат.
Тело движется прямолинейно со скоростью V пропорциональной квадрату времени. Найти зависимость между пройденным путем S и временем t если известно что при t = 0 S = S0.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (1; 2) и обладающей свойством: площадь треугольника образованного радиусом – вектором любой точки кривой касательной в этой точке и осью абсцисс равна 2.
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 ч. Найти зависимость количества бактерий от времени.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (1; 1) если для любого отрезка площадь криволинейно трапеции ограниченной соответствующей дугой этой кривой в два раза больше произведения координат точки кривой .
Найти уравнение кривой если известно что точка пересечения любой касательной к кривой с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.
Найти уравнение кривой проходящей через точку (2; 2) если известно что площадь трапеции ограниченной осями координат любой касательной к кривой и ординатой точки касания есть величина постоянная равная 3.
Библиографический список
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Интеграл-Пресс 1997.
Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного Я.С. Бугров С.М. Никольский. – М.: Наука 1997.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч П.Е. Данко А.Г. Попов Г.Я. Кожевникова. – М.: 1997.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Примеры решения задач
Задания к типовому расчету
Библиографический список .

icon коллоквиум 1 сем.doc

Вопросы к коллоквиуму по теме:
«Линейная алгебра векторная алгебра аналитическая геометрия»
Понятие определителя 3-го порядка и его вычисление по правилу треугольника и по правилу Саррюса.
Понятие минора и алгебраического дополнения определителя.
Сформулировать основные свойства определителя третьего порядка.
Понятие линейного оператора и матрицы.
Произведение операторов и соответствующих матриц (вывод).
Обратная матрица (вывод).
Понятие сопряженного оператора и матрицы самосопряженного оператора и симметрической матрицы ортогональной матрицы.
Понятие ранга матрицы и его вычисление. Теорема Кронеккера-Капелли (бд).
Решение систем методом Гаусса (вывод); по правилу Крамера (вывод) и с помощью обратной матрицы (вывод).
Однородная система линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие существования ненулевого решения однородной системы из n уравнений с n неизвестными.
Собственные векторы и собственные значения и их вычисление.
Определение квадратной формы. Каноничный вид квадратичной формы.
Преобразование матриц линейного оператора при переходе к новому базису (доказать).
Привидение квадратичной формы и каноническому виду с помощью ортогональной матрицы. Упрощение уравнений кривых в R3.
Определения: вектора длины вектора коллинеарности векторов компланарности равенства векторов нуль вектора.
Определение орта вектора и его вычисление.
Проекция вектора на ось (определение).
Понятие линейной комбинации векторов.
Линейная зависимость системы векторов. Условия линейной независимости системы векторов.
Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
Понятие направляющих косинусов вектора и их вычисление.
Деление отрезка в данном отношении (вывести формулы).
Скалярное произведение и его свойства. Механический смысл скалярного произведения.
Угол между векторами. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов (вывод).
Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей (вывод).
векторное произведение и его свойства. Геометрический смысл модуля векторного произведения.
Выражение векторного произведения векторов через координаты сомножителей (вывод).
Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл смешанного произведения (вывод).
Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей (вывод). Условие компланарности.
Полярная система координат. Чем задается полярная система координат что называется полярными координатами точки?
Вывести формулы перехода от декартовых координат точки к полярным и обратно.
Вывести уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Условия: параллельность и перпендикулярность двух прямых.
Вывести уравнение прямой проходящей через заданную точку с данным направлением.
Вывести уравнение прямой проходящей через две данные точки.
Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
Вывести уравнение окружности со смешанным центром.
Вывести каноническое уравнение эллипса и записать уравнение эллипса со смешанным центром.
Определение гиперболы. Исследование форм гиперболы по ее уравнению.
Асимптоты гиперболы.
Вывести каноническое уравнение параболы. Записать уравнения парабол со смешанными вершинами.
Общее уравнение плоскости и его исследование.
Вывести уравнение плоскости через заданную точку перпендикулярно данному вектору.
Вывести каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве.
Вывести уравнение прямой через две точки в R3.
Трехосный эллипсоид и его исследование методом сечения.
Эллиптический параболоид и его исследование методом сечения.
Конус и его исследование методом сечения.
Цилиндрические поверхности (вывод)
Поверхности вращения (вывод).

icon Контр по теме Аналитика.doc

Контрольная работа: «Аналитическая геометрия»
Найти проекцию точки А(-8;12) на прямую проходящую через точки В(2;-3) С(-5; 1)
Даны вершины А(-4;4) и В(4; -12) треугольника ABC и точка М(4; 2) точка пересечения высот. Найти координаты точки С.
Найти уравнение прямой отсекающей на оси ординат отрезок = 2 проходящей параллельно прямой 2у – х = 3.
Найти уравнение прямой проходящей через А(2;-3) и точку пересечения прямых 2 х –у – 5=0 х+y-1=0.
Записать уравнение прямой проходящей через точку А(3;1) перпендикулярной ВС если В(2;4) С(1;0) и параллельной прямой х-2у+4=0.
Найти точку пересечения четырехугольника АВСД если А(-1;-3) В(3;5) С(5;2) Д(3;-5).
Известны уравнения стороны треугольника АВС: 4х+у=12 и высот ВН: 5х-4у-12=0 АМ: х+у-6=0. Найти уравнения других сторон треугольника.
Даны две вершины треугольника АВС: А(-6;2) В(2;-2) и точка пересечения высот Н(1;2). Найти координаты точки пересечения АС и высоты ВН.
Найти уравнения высот АВС проходящих через А и В если А(-4;2) В(3;-5) С(5;0).
Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров проведенных через середины сторон треугольника вершинами которого служат А(2;3) В(0;-3) С(6;-3).
Составить уравнение высоты АВС проведенной через вершину А зная уравнения сторон : АВ: -2х –у – 3 = 0 АС: -х + 5у – 7 = 0 ВС: -3х -2у +13 = 0.
Дан АВС: А(31) В(-3;-1) С(5;-12). Найти уравнение медианы проведенной из точки С и вычислить её длину.
Составить уравнения прямой проходящих через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5y = 8 2х + 3у +4 = 0.
Даны уравнения сторон четырехугольника: х – у =0 х + 3у =0 х – у – 4=0 3х + у – 12= 0. Найти уравнения его диагоналей.
Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС если А(4;6) В(-4;0) С(-1;-4).
Записать уравнение прямой проходящей через точку А(-2; 3) и составляющей с осью ОХ угол: а) 45 б) 90 в) 0.
Какую ординату имеет точка С лежащая на прямой с точками А(-6-6) и В(-3;-1) и имеющая абсциссу равную 3.
Записать уравнение прямой проходящей через точку пересечения прямых 2х – 5у – 1=0 х + 4у – 7= 0 и точку делящую отрезок А(4;-3) и В(-1;-2) в отношении 2:3.
Известны уравнения двух сторон ромба 2х - 5у – 1=0 2х – 5у – 34= 0 и уравнение одной из его диагоналей х+3у-6=0. Найти уравнение второй диагонали.
Через точку Р (5;2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат б) параллельную ось ОХ в) параллельную оси ОУ.
Найти точку Е – пересечения медиан треугольника вершинами которого являются точки А(-3;1) и В(7;5) С (5; -3).
Записать уравнения прямых проходящих через точку А (-1;1) под углом 45 к прямой 2х +3у=6.
Даны уравнения высот треугольника АВС: 2х – 3у+ 1=0 х – 2у +1= 0 координаты его вершины А (2;3). Найти уравнения сторон АВ и АС.
Даны уравнения двух сторон параллелограмма ABCD: х – 2у=0 х – у – 1= 0 и точка пересечения диагоналей М (3;-1). Найти уравнения двух других сторон.
Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3х+5у-15=0 проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.
II. Привести уравнение линии к каноническому виду и построить её:
III. Решить задачу:
Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+4=0 и х+у–24=0 а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.
Даны вершины А(-3;-2) В(4;-1) С(1;3) трапеции ABCD. Известно что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции.
Даны две вершины: А(2;-2) и В(3;-1) и точка Р(1;0) пересечения меридиан треугольника АВС. Составить уравнения высоты треугольника проведенной через вершину С.
Даны уравнения двух высот треугольника АВС: х+у=4 и у=2х и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнение сторон этого треугольника.
Найти точку симметричную точке М(2;-1) относительно прямой х –2у + 3 =0.
Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС: 4х+у=12 его высот: ВН: –5х–4у=12 и AM: –х+у=6. Составить уравнения двух других сторон этого треугольника.
Даны две вершины треугольника АВС: А(-6;2) В(2;-2) и точка Н(1;2) пересечения его высот. Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.
Даны уравнения двух медиан треугольника х – 2у + 1 = 0 и у – 1 = 0 и одна из его вершин (1; 3). Составить уравнения его сторон.
Найти координаты точки М расположенной симметрично точки А(-8;-3) относительно прямой ВС если известны точки В(4;-12) и С(8; 10).
Дан треугольник с вершинами А(3;1) В(-3;-1) С(5;-12). Составить уравнение и вычислить длину медианы проведенной из вершин С.
Через точку пересечения прямых 2х – 5у – 1 = 0 и х + 4у – 7 = 0 провести прямую делящую отрезок между точками А(4;-3) и В(-1; 2) в отношении .
Известны уравнения двух сторон ромба 2х – 5у – 1=0 2х – 5у – 34= 0 и уравнение одной из его диагоналей х + Зу – 6=0. Составить уравнение второй диагонали.
Составить уравнения прямых проходящих через точку А(-1;1) под углом к прямой 2х + 3y = 6.
Даны уравнения высот треугольника АВС: 2х – 3у + 1=0 х + 2у + 1=0 и вершина А(2;3). Найти уравнения сторон этого треугольника.
Даны уравнения двух сторон параллелограмма х – 2у=0 х – у – 1=0 и точка пересечения его диагоналей М(3;-1). Найти уравнения двух других сторон.
Даны уравнения двух сторон треугольника 4х – 5у + 8=0 х + 4у + 2=0 и точка (4; 2) пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны этого треугольника.
Вычислить координаты вершин ромба если известны уравнения двух его сторон 2х – у + 4=0 2х – у+10=0 и уравнение одной из его диагоналей х+у+2=0.
Составить уравнения сторон треугольника если А(-33) и В(5;-1) – две его вершины а М(4;3) – точка пересечения его высот.
Уравнение одной из сторон квадрата х + Зу – 5=0 М(-1:0) – точка пересечения его диагоналей. Составить уравнения остальных сторон квадрата.
Даны уравнения двух сторон параллелограмма: х + у – 1=0 у + 1=0 и точка М(-1;0) пересечения его диагоналей. Найти уравнения его диагоналей.
На прямой 2х + у + 6=0 найти точку равноудаленную от двух данных точек А(-1;0) и В(1;-1).
Найти координаты точки симметричной точке (4;-3) относительно прямой 4х + Зу + 12=0.
Вычислить координаты центра окружности описанной около треугольника с вершинами А(1;2) В(3;0) С(5;1).
Известны вершины А(1;-2) и С(4;2) квадрата ABCD. Найти остальные вершины этого квадрата.
Дано уравнение стороны АВ треугольника: 2х – Зу + 6=0 и уравнения двух его высот: AN: 2х + у–2=0 и ВК: х + Зу – 12=0. Составить уравнения двух других сторон треугольника.
Составить уравнение плоскости которая проходит через точку М(2;-3;-4) и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.
Составить уравнение плоскости проходящей через начло координат перпендикулярно к плоскостям х + 5у – z + 7 = 0 и 3х – у + 2z – 3 = 0
Составить уравнение плоскости проходящей через точки М(2;3;-5) и N(-1;1;-6) параллельно вектору а=(4;4;3).
Составить параметрические уравнения медианы треугольника с вершинами А(3;6;-7) В(-5;1;-4) С(0;2;3) проведенной из вершины С.
Найти точку пересечения прямой и плоскости 2х+ 3у+ z -1 =0.
Найти проекцию точки Р (3;1;-1) на плоскость х + 2у + 3z – 30 = 0
Составить уравнение прямой проходящей через начало координат параллельно прямой х = 2t + 5 у = 3t + 1 z = -7t -4.
Составить уравнение прямой проходящей через точку М(2;-5;3) параллельно прямой 2х – у + 3z - 1 = 0 5х +4 у -z - 7 = 0.
Составить уравнение прямой проходящей через точку М(2;-3;4) перпендикулярно к прямым и .
Составить уравнение плоскости проходящей через ось ОZ и точку К(-3;1;-2).
Найти точку пересечения прямой и плоскости 3х -у + 2z – 8 = 0.
Составить уравнение плоскости проходящей через точку К(2;-5;3) параллельно плоскости ОХУ.
Составить общие уравнения прямой образованной пересечением плоскости х + 2у - z + 5 = 0 с плоскостью проходящей через ось ОУ и точку М(5;3;2).
Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(2;3;3) параллельно двум векторам а = (-1;-3;1) и b = (4;1;6).
Составить уравнение прямой проходящей через точку Е(3;4;5) параллельно оси ОХ.
Составить уравнение прямой проходящей через точку М(2;3;1) перпендикулярно к прямой .
Составить канонические уравнения прямой проходящей через точку М(1;-5;3) перпендикулярно к прямым и х = 3t + 1 у = -t - 5 z = 2t + 3.
Найти точку симметричную точке М(4;3;10) относительно прямой .
Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(2;3;-1) и прямую х = t - 3 у = 2t + 5 z = -3t + 1.
Найти проекцию токи М(4;-3;1) на плоскость х – 2у – z – 15 = 0.
Вычислить угол между плоскостями х – 2у + 2z -3 = 0 и 3х – 4у +5 = 0.
Найти величины отрезков отсекаемых на осях координат плоскостью проходящей через точку М(2;-3;3) параллельно плоскости 3х + у – 3z = 0.
Составить уравнение плоскости проходящей через точки А(1;1;0) В(2;-1;-1) перпендикулярно к плоскости 5х + 2у + 3z - 7 = 0.
Составить уравнение плоскости проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2х - 3у + z - 1 = 0 х - у + 5z + 3 = 0.
Составить уравнение плоскости проходящей через точки А(3;-1;2) В(2;1;4) параллельно вектору а = (5;-2;-1).
Составить уравнение плоскости параллельной вектору (2;l;-l) и отсекающей на координатных осях ОХ и ОУ отрезки а = 3 и b = -2.
Составить уравнение плоскости перпендикулярной к плоскости 2х – 2у + 4z – 5 = 0 и отсекающей на координатных осях ОХ и ОУ отрезки а = -2 b = 23.
Составить уравнение плоскости которая проходит через точку М(2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям 2х – z + 1 = 0 у = 0.
Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(3;2;-5) параллельно векторам (-3;1;-1) (2;-2;5).
Составить уравнение плоскости проходящей через середину отрезка АВ и отсекающей на оси ОХ отрезок а = 5 и на оси ОУ отрезок b = 2 если А(7;5;1) и В(3;2;4).
Составить уравнение плоскости проходящей через ось Oz перпендикулярно к плоскости 9х – y + 5z –18=0.
Составить уравнение плоскости проходящей через точку Р(-3;1;-2) перпендикулярно к плоскостям ОХУ и 6х – у + 5z – 13=0.
Составить уравнение плоскости проходящей через точку (-3;1;0) и линию пересечения плоскостей х + 2у – z + 4 = 0 Зх – у + 2z – 1 = 0.
Через линию пересечения плоскостей 6x – y + z=0 и 5х + 3z – 10=0 провести плоскость параллельную оси ОХ. Составить уравнение этой плоскости.
Написать уравнение плоскости проходящей через точку М(0;2;3) параллельно векторам =(l;3).
Написать уравнение плоскости проходящей через ось Oz и точку К(1;-1;-2).
Написать уравнение плоскости проходящей через точки А(2;3;0) и В(1;-1;-1) параллельно оси OZ. Записать координаты какой-нибудь третьей точки принадлежащей данной плоскости.
Составить уравнение плоскости проходящей через линию пересечения плоскостей 4х – у + 3z = 1 и 1;1).
При каком значении z точки О(0;0;0) А(1;-5;3) В(2;4;4) С(1;1; Z) лежат в одной плоскости?
Составить уравнение плоскости проходящей через ось Ох и точку А(2;5;-1).
Составить уравнение плоскости проходящей через точки А(2;5;-1) В(-3;1;3) параллельно оси ОУ.
Составить уравнение плоскости проходящей через точку А(3;4;0) и прямую .
Составить уравнение плоскости проходящей через две параллельные прямые и .
Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(4;-3;1) и линию пересечения плоскостей 2х + у – 3z + 2 = 0 и 5х + 5у – 4z + 3 = 0.
Составить уравнение плоскости проходящей через ось Ох и точку Р(3;2;-5).
Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(6;-10;1) и отсекающей на оси ОХ отрезок а = -3 на оси OZ– отрезок с = 2.
Составить уравнение плоскости проходящей через точку К(2;43;-4) параллельно векторам =(4;-l;2).
Составить уравнение плоскости проходящей через точки М1(1;1;0) и М2(2;-1;-1) перпендикулярно к плоскости 5х + 2у + 3z – 7=0.
Составить уравнение плоскости проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x + 3y + z – l = 0 и х – y + 5z + 3 = 0.
Составить уравнение плоскости проходящей через точки Р(3;-1;2) и Q(2;1;4) параллельно вектору (5;-2;-l).

icon Кратные интегралы.doc

Министерство образования РФ
Кафедра высшей математики
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Методические указания и типовые задания
Кратные интегралы и их применения: Методические указания и типовые задания Норильский индустр. ин-т. – Норильск 2003. – 00 с.
Составитель: Г. Ф. Жилкин ассистент
Методические указания предназначены для студентов инженерных специальностей всех форм обучения. В настоящей работе содержатся основные сведения и индивидуальные задания по курсу «Кратные интегралы и криволинейные интегралы».
Фигура. Диаметр. Мера
Задача о массе фигуры
Механическая и геометрическая интерпретация интегралов
Основные свойства определенных интегралов
Вычисление интегралов
Замена переменных в интегралах
Применения интегралов
Справочная информация
Задания для типового расчета
Библиографический список
ФИГУРА. ДИАМЕТР. МЕРА
Будем называть фигурой либо линию в пространстве или на плоскости в частности это может быть отрезок оси либо плоскую область либо поверхность в пространстве либо некоторое пространственное тело.
Будем называть диаметром фигуры максимальное расстояние из всевозможных расстояний между двумя точками этой фигуры. Впредь мы будем рассматривать только фигуры конечного диаметра (ограниченные фигуры).
ЗАДАЧА О МАССЕ ФИГУРЫ
Рассматривая какую-либо фигуру мы будем мыслить ее материальной т.е. обладающей определенной массой. Так отрезок будет мыслиться как очень тонкий материальный стержень рассмотрением всех размеров которого кроме длины мы пренебрегаем. Точно так же кривая представляется в виде тонкого изогнутого материального стержня. Плоская область и поверхность мыслятся нами как материальные пластинки (плоская и изогнутая) толщиной которых можно пренебречь. Обычное определение плотности – количество массы в единице объема. Однако в случае стержня удобнее говорить о линейной плотности дающей количество массы в единице длины а в случае пластинки – о поверхностной плотности – количестве массы в единице площади.
В каждой точке любой из рассмотренных фигур плотность вообще говоря своя отличная от плотности в других точках. Поэтому плотность является функцией точки : заданной на фигуре. В случае когда фигура – отрезок точка задается своей абсциссой поэтому имеем функцию одного переменного : .
В случае когда фигура – плоская область или плоская кривая точка задается двумя координатами и плотность есть функция двух переменных: .
В остальных случаях точка зависит от трех координат и функция есть функция трех переменных заданная на фигуре (линии поверхности или теле ).
Поставим теперь задачу следующим образом. В каждой точке фигуры известна ее плотность .
Рассмотрим сначала случай когда фигура – отрезок . Если отрезок разбить точками на отрезков то в пределах каждого из них плотность можно приближенно считать постоянной. Возьмем на отрезке произвольную точку ; на отрезке произвольную точку ; на отрезке произвольную точку . Будем теперь считать что на всем отрезке плотность приближенно равна плотности в точке т.е. . На отрезке плотность приближенно равна и т.д. На отрезке плотность приближенно будет равна . Поэтому масса отрезка приближенно равна масса отрезка приближенно равна масса отрезка приближенно равна где .
Для полной массы стержня получаем такое выражение:
Понятно что написанное приближенное равенство будет тем точнее чем меньше будут взяты частичные отрезки. Точное же равенство получится если перейти к пределу устремив наибольшую из длин частичных отрезков к нулю. Положим наибольшая длина частичных отрезков тогда
– точное выражение для массы стержня .
Совершенно аналогично решается задача о массе и для остальных фигур.
Чтобы не вводить лишних обозначений договоримся дробя какую-либо фигуру на части обозначать одинаково как сами эти части так и их меры.
Рассмотрим например плоскую пластинку плотность которой в каждой точке известна. Разобьем произвольным образом эту пластинку на части . Возьмем на каждой части произвольную точку и приближенно считаем что во всех точках части плотность постоянна и равна . Тогда для массы пластинки имеем приближенное равенство
Это равенство станет точным если перейти к пределу устремив к нулю размеры частей на которые разбита пластинка. Если через обозначим наибольший из диаметров частей то
Для остальных фигур решение задачи о массе мы изложим кратко так как оно никак не отличается от уже рассмотренных двух случаев.
В случае криволинейного стержня дробим его на части выбираем на каждой части по точке и получаем для массы приближенное равенство
где – максимальный из диаметров частей .
В случае изогнутой пластинки получаем:
. Здесь – наибольший из диаметров частей .
В случае пространственного тела раздробим его на части . Выбрав в каждой части произвольную точку получим
где – наибольший из диаметров частей .
Отвлечемся теперь от физического смысла рассмотренной задачи о массе и попробуем перечислить те математические операции которые привели к ее решению. Прежде всего что было задано? Была задана функция точки на фигуре: . Для получения приближенных равенств были проделаны следующие операции:
фигура произвольным образом дробилась на конечное число частей ;
на каждой части бралась произвольная точка и вычислялось значение функции в этой точке;
значение умножалось на меру соответствующей части;
все полученные произведения складывались.
Полученная в результате перечисленных операций сумма носит название интегральной суммы. Таким образом для различных фигур - я интегральная сумма имеет следующий вид:
для плоской области :
При заданном числе частей на которые дробится фигура можно составить сколько угодно - х интегральных сумм. В самом деле можно во-первых по-разному дробить фигуру на частей а во-вторых на каждой части можно произвольным образом выбирать точку .
Чтобы получить точное значение массы мы делали пятую операцию – брали предел - ой интегральной суммы устремив к нулю размеры частей на которые была раздроблена фигура (при этом число частей . Важно заметить что предел не должен зависеть от способов которыми фигура дробилась на части и от способов которыми в пределах каждой части выбиралась точка .
МЕХАНИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ
В задаче о массе фигуры интегрируемой функцией служит плотность. Поэтому масса фигуры равна определенному интегралу по фигуре от плотности. Причем в зависимости от вида фигуры это может быть или обычный определенный интеграл ( в случае отрезка или части кривой) или двойной интеграл по области или тройной интеграл по некоторому объему.
Геометрическая интерпретация двойного интеграла заключается в том что если функция положительна то интеграл дает объем соответствующего цилиндрического тела (верхней границей этого тела служит поверхность .
Пусть кривая лежащая на плоскости . Тогда криволинейный интеграл по плоской кривой дает площадь части цилиндрической поверхности с направляющей и образующей параллельной оси обрезанной сверху поверхностью .
К сожалению поверхностный и тройной интегралы не имеют при произвольной интегрируемой функции простого геометрического смысла.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
Приведем это свойство применив его к двойному интегралу. В отношении интегралов других типов применение аналогичное.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла т.е.
Если фигуру разбить на несколько частей то интеграл по целой фигуре равен сумме интегралов по частям.
Ограничившись двумя частями имеем:
Если функция тождественно равна единице на фигуре т.е. то интеграл от нее дает меру фигуры.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
Основной способ вычисления кратного интеграла состоит в последовательном интегрировании по каждой переменной.
Плоскую область вида
где и – непрерывные на функции назовем правильной в направлении оси (рис.1). Имеет место
Теорема. Если функция непрерывна в области то
т.е. двойной интеграл равен повторному интегралу. Таким образом для вычисления двойного интеграла по правильной в направлении оси области следует вначале считая постоянным проинтегрировать функцию по переменной после чего проинтегрировать получившуюся функцию переменной . Заметим что если пределы во внешнем интеграле постоянные то во внутреннем интеграле они вообще говоря зависят от .
Если область правильная в направлении оси : то двойной интеграл равен повторному интегралу .
Пример. Вычислить двойной интеграл от функции по конечной области ограниченной параболой и прямой .
Решение. Область правильная как в направлении оси так и в направлении оси . Поэтому двойной интеграл в виде двукратного интеграла мы можем записать двояко:
В первом случае получаем:
В первом случае преобразования несколько проще.
Если требуется вычислить интеграл по области не являющейся правильной ни в направлении оси ни в направлении оси надо попытаться разбить область на конечное число частей каждая из которых уже будет правильной в направлении какой-либо координатной оси.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ИНТЕГРАЛАХ
Часто бывает удобным вести вычисление двойного интеграла отправляясь не от декартовых а от полярных координат. Тогда двойной интеграл примет вид
При вычислении тройных интегралов часто переходят или к цилиндрическим или к сферическим координатам.
В случае цилиндрических координат имеем равенство
В случае сферических координат имеем равенство
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Применения интегралов в геометрии
Площадь плоской области равна двойному интегралу
Площадь поверхности заданной уравнением над областью в плоскости вычисляется по формуле
Объем тела равен тройному интегралу
Применения интегралов в механике
СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
где поверхностная плотность тела.
Координаты центра масс плоского тела
Статический момент относительно оси .
Момент инерции относительно оси .
Момент инерции относительно начала координат .
Если поверхность задана уравнением то площадь поверхности равна
где проекция поверхности на плоскость .
где объемная плотность распределения вещества.
Координаты центра масс тела
относительно начала координат .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Вычислить двойной интеграл.
Вычислить тройной интеграл.
Вычислить координаты центра масс тела если ; .
Вычислить момент инерции тела относительно оси если ; .
Вычислить криволинейный интеграл.
Вычислить координаты центра масс тела если .
где отрезок прямой от до .
где дуга параболы от до .
где ломаная линия от до .
где периметр треугольника .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов т.2: Учеб. пособие для втузов. – 13-е изд. – М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы 1985. – 560 с.
Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для студентов вузов В. Ф. Бутузов Н. Ч. Крутицкая Г. Н. Медведев А. А. Шишкин; Под ред. В. Ф. Бутузова. – М.: Высшая школа 1988. – 288 с.: ил.
Хавинсон С. Я. Лекции по интегральному исчислению. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа 1976 – 198 с.: ил.

icon Линейная алгебра .doc

I. ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР
1.Матрицы. Начальные сведения
Рассматриваем новый математический объект – матрицу. Это абстрактная таблица состоящая из строк и столбцов вида:
где – элементы матрицы стоящие на пересечении -ой строки и -го столбца. Элементы могут быть любой природы (числа многочлены функции и др.) При этом говорят что матрица имеет размерность и кратко записывают где .
Если число строк равно числу столбцов то матрица называется квадратной. Например – прямоугольная а – квадратная матрица.
Элементы образуют главную диагональ в матрице . Если ниже главной диагонали стоят нулевые элементы то матрица называется треугольной например
называется трапециевидной.
Если вне главной диагонали стоят нулевые элементы то матрица называется диагональной например
Матрица состоящая только из нулевых элементов называется нулевой матрицей:
Если элементы матрицы стоящие на симметричных местах относительно главной диагонали совпадают: то такая матрица называется симметрической.
Матрица вида называется матрицей-строкой а матрица вида называется – матрицей-столбцом.
2.Операции над матрицами
Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями. Они выполняются по следующим правилам:
Умножение матриц выполняется по следующей схеме:
Заметим что в левой матрице число столбцов совпадает с числом строк в правой матрице. Только в этом случае операция умножения возможна.
Замечание. В общем случае умножение матриц неперестановочно т.е. . Однако можно подобрать две квадратные матрицы чтобы в этом случае говорят что матрицы коммутируют.
Матрицы можно возводить в степень причем только квадратные т.е. число столбцов должно соответствовать числу строк.
Рассмотрим еще одну операцию над матрицами – транспонирование. При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Обозначается или . Транспонировать можно матрицы любой размерности.
3.Определители квадратных матриц
Прежде чем ввести операцию обращения матриц необходимо дать понятие определителя квадратной матрицы. Для квадратной матрицы размера 2×2 определителем является число Δ получающееся по формуле
Таким образом где – первые три буквы от латинского determinantis (определитель). Так легко получается детерминант 2-го порядка.
Однако для матрицы размера 3×3 определитель строится сложнее:
Для простоты запоминания пользуются следующими схемами:
Схема называется правилом треугольников.
Модифицируем его т.е. распрямим треугольники.
Если квадратная матрица имеет размер 4×4 и выше то для вычисления ее определителя применяется правило Лапласа:
т.е. детерминант матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки (или -го столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
При этом – минор (определитель -го порядка) получающийся из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца – алгебраическое дополнение к элементу .
Заметим что правило Лапласа позволяет определители -го порядка вычислять через определители -го порядка.
Замечание. Если определитель матрицы приведен к треугольному виду
то его значение равно произведению элементов стоящих по главной диагонали т.е. . Это автоматически следует из правила Лапласа.
Отметим элементарные преобразования (Э.П.) над строками определителя которые не меняют его значения:
)вынесение общего множителя строки за знак определителя;
)прибавление к одной строке элементов другой строки;
)прибавление к одной строке элементов другой умноженных на некоторое число.
Замечание 1. Такие же Э.П. можно выполнять и над столбцами определителя.
Замечание 2. Определитель
и называется определителем Вандермонда.
Студентам предлагается доказать это самостоятельно.
4.Нахождение обратной матрицы
Теперь можно перейти к обращению квадратных матриц. В этом случае должен быть отличным от нуля и матрица является невырожденной. Для такой матрицы существует обратная матрица причем дает единичную матрицу. Легко показать что обратная матрица имеет вид:
где – алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:
Предлагаем студентам самостоятельно это проверить.
Замечание. Обратную матрицу можно построить с помощью элементарных преобразований по следующей схеме:
С помощью элементарных преобразований провести обращение матрицы
5.Решение матричных уравнений
Пусть задано уравнение
где матрица квадратная с . Тогда умножим слева заданное равенство на и получим
Заметим что если размерность матрицы есть то искомая матрица имеет такую же размерность что и поскольку
Аналогично решается уравнение
Решить матричное уравнение
Имеем уравнение где . Находим тогда .
Вычислим алгебраические дополнения матрицы :
Проверить что дает матрицу .
6.Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом и по правилу Крамера
Пусть задана система вида:
Запишем квадратную матрицу системы размерности :
матрицу-столбец из неизвестных и матрицу-столбец из свободных коэффициентов .
В этих обозначениях система (11) примет вид:
Если то решение матричного уравнения (12) следующее:
Заметим что т.е. – матрица такой же размерности что и . Формула для обратной матрицы .
Тем самым мы получили формулы Крамера:
для СЛАУ (11) где главный определитель системы а – вспомогательные определители (получающиеся из главного заменой -го столбца на столбец из свободных коэффициентов). Например
Теорема 1 (Крамера).
СЛАУ (11) можно привести к виду:
Тогда возможны три случая:
Если главный определитель то система (11) имеет единственное решение:
Если а хотя бы один то система не совместна (решений не имеет) поскольку имеется противоречивое уравнение .
Если и все то система имеет бесконечное число решений.
Для систем произвольного вида
(прямоугольных) где число уравнений не совпадает с числом неизвестных применяется общий метод последовательного исключения (МПИ) неизвестных основанный на элементарных преобразованиях типа:
)умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;
)прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения умноженного на произвольное число отличное от нуля;
)перестановка местами двух уравнений системы.
Такие преобразования системы не изменяют множество ее решений и называются преобразованиями типа Гаусса. Заметим что выполняя преобразования 1–3 над уравнениями системы соответствующие элементарные преобразования производятся над строками расширенной матрицы системы:
Поэтому на практике экономичней проводить МПИ в матричной форме. После конечного числа шагов элементарных преобразований приходим к матрицам вида:
В случае а) система примет треугольную форму и будет иметь единственное решение а в случае б) система примет трапециевидную форму и будет иметь множество решений.
Заметим что если на некотором шаге появится строка то система будет несовместной т.е. не будет иметь решений.
Нахождение неизвестных из преобразованной (треугольной или трапецевидной) системы идет снизу вверх и называется обратным ходом в методе Гаусса.
8.Метод Жордановых исключений
В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса с помощью которых приводим матрицу системы к единичной . Тогда расширенная матрица СЛАУ
Автоматически получим решение СЛАУ: (см. пример 11).
При решении СЛАУ методом Жордановых исключений удобно расширенную матрицу системы записывать в виде следующей таблицы:
9.Ранг матрицы. Теорема Кронекера–Капелли
Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом этой матрицы и обозначается . Для вычисления ранга матрицы применяем метод окаймляющих миноров.
Например задана матрица
Находим ее окаймляющие миноры:
Окаймляющий минор 3-го порядка равен нулю следовательно ранг равен порядку предыдущего минора т. е. .
Замечание. Минор порядка содержащий в себе минор порядка называется окаймляющим минором . Если у матрицы найдется минор а все окаймляющие его миноры то .
Рассмотрим произвольную систему вида (16)
Основная матрица этой системы а расширенная где . Система (16) будет совместной (т.е. будет иметь решение) тогда и только тогда когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы этой системы т.е.
Это и есть теорема Кронекера–Капелли.
Для ранга системы возможны два случая:
)если общий ранг равен числу неизвестных то система (16) будет иметь единственное решение;
)если то система (16) будет иметь бесконечное число решений.
Если же то система (16) несовместна т.е. не имеет решений.
Выяснить совместность системы и найти ее решение.
Система является переопределенной: число уравнений больше числа неизвестных . Запишем основную и расширенную матрицы системы:
Методом окаймляющих миноров найдем ранги этих матриц:
Так как основная матрица не имеет минора 4-го порядка то ее ранг равен 3 т.е. .
Для расширенной матрицы считаем окаймляющий минор:
Следовательно ранг расширенной матрицы равен 3 т.е. . Тогда по теореме Кронекера–Капелли исходная система имеет единственное решение т.к. .
Найдем это решение методом Жордановых исключений:
Ответ: система имеет единственное решение .
10.Однородные системы
где называется однородной. Она всегда совместна поскольку набор значений неизвестных удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение называется тривиальным в остальных случаях:
)однородная система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда когда ее ранг меньше числа неизвестных;
)если в однородной системе число уравнений меньше числа неизвестных то система имеет ненулевое решение;
)однородная система в которой число уравнений равно числу неизвестных имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда ее определитель равен нулю;
)пусть наборы и являются решениями однородной системы тогда их линейная комбинация – также решение однородной системы (17).
Из числа решений однородной системы (17) всегда можно построить конечную линейно независимую систему решений причем такую что всякое другое решение системы (17) будет линейной комбинацией решений входящих в эту построенную систему. Такую систему решений называют фундаментальной.
Теорема 2. Если ранг то всякая фундаментальная система решений однородной системы (17) будет состоять из решений.
Построить фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:
Выясним ранг системы т.е. запишем матрицу
Следовательно ранг системы равен 2 т.е. . А значит система имеет ненулевые решения и по теореме 2 фундаментальная система решений будет состоять из линейно независимых решений. При этом базисный минор и тогда однородная система равносильна системе из 2-х уравнений:
где и (при базисном миноре) являются основными (или базисными) переменными а и – свободными принимающими любые действительные значения.
По формуле Крамера находим и где
Получаем решение исходной однородной системы в виде
; где . Полагаем для свободных переменных и и находим 2 линейно независимых решения: и .
Все решения однородной системы получаются как линейная комбинация: ; – любые действительные числа.
Замечание. Геометрически полученное решение в 4-х мерном пространстве изображается 2-х мерной плоскостью т.к. ее параметрические уравнения имеют вид:
II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. n–мерные векторные пространства
Упорядоченная совокупность действительных чисел записанных в виде называется –мерным вектором где -я компонента. Два –мерных вектора и равны тогда и только тогда когда равны их соответствующие компоненты: .
Операции над –мерными векторами
) – сложение векторов;
) – умножение вектора на число.
Операции 1–2 называются линейными и удовлетворяют следующим свойствам:
) – коммутативность;
) – ассоциативность;
) – дистрибутивность;
)существует нуль–вектор такой что ;
)для любого найдется противоположный такой что .
Множество векторов с действительными компонентами в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число удовлетворяющее свойствам 1–5 называется векторным пространством. Если под рассматривать объекты любой природы (например алгебраические многочлены степени не выше ) то соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Линейное пространство называется –мерным если в нем существует линейно независимых векторов а любые векторов уже линейно зависимы.
Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов т.е. . Совокупность линейно независимых векторов –мерного пространства называется базисом.
Замечание. Векторы пространства называются линейно зависимыми если найдутся такие числа неравные одновременно нулю что
В противном случае векторы являются линейно независимыми т.е. равенство (18) выполняется только при .
Любой вектор линейного пространства можно представить и при том единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть образуют базис в тогда называется разложением вектора по базису а числа – координаты вектора относительно этого базиса.
Пусть заданы два базиса: – «старый» и – «новый». Разложим вектор по этим базисам:
Найдем связь «старых» и «новых» координат вектора . Для этого запишем:
Из равенства векторов получим:
Отсюда замечаем что матрица по столбцам которой стоят координаты базисных векторов является матрицей перехода от «старого» базиса к «новому» базису.
Обозначим ее через и получим замену «старых» координат «новыми»:
где. Обратно замена «новых» на «старые» координаты будет осуществляться с помощью обратной матрицы: .
2. Линейные операторы
Если указано правило по которому вектору ставится в соответствие единственный вектор то говорят что задан оператор такой что
Он обладает свойствами:
и называется линейным оператором.
При этом вектор называют образом вектора а сам вектор – прообразом вектора . Мы рассматриваем только случай когда оператор задается матрицей где поэтому для него справедливы свойства:
)существует нулевой оператор такой что ;
)существует тождественный оператор такой что .
Если и то где . Действительно и . Это есть свойство транзитивности линейного оператора.
Теорема 3. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением
где – матрица перехода от «старого» базиса к «новому» базису .
Доказать теорему самостоятельно.
В базисе линейный оператор задан матрицей . Найти матрицу оператора в базисе .
Составим матрицу перехода от «старого» базиса к «новому» по столбцам которой стоят координаты векторов и :
Тогда по формуле получим вид матрицы линейного оператора в «новом» базисе. Для этого построим обратную матрицу где . Алгебраические дополнения: отсюда . Находим
Ответ: матрица линейного оператора в «новом» базисе имеет вид .
3. Собственные векторы и собственные значения
Вектор называется собственным вектором линейного оператора если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз т.е.
Число при этом называют собственным значением оператора .
Из данного определения следует схема получения и . Перепишем или и так как то
В развернутом виде получим однородную систему:
которая называется характеристической и будет иметь ненулевое решение если ее определитель обращается в нуль:
Уравнение (21) называется характеристическим (или вековым) и служит для получения собственных значений . После раскрытия определителя приходим к алгебраическому уравнению 3-й степени вида:
где – след матрицы ; – алгебраические дополнения – определитель матрицы .
Пусть уравнение (22) имеет три действительных корня . Тогда из системы (20) находим координаты собственных векторов . Составим матрицу по столбцам которой стоят координаты этих векторов. Это матрица перехода от стандартного базиса к базису из собственных векторов и тогда линейный оператор в этом базисе будет иметь матрицу вида:
причем диагональную по главной диагонали которой стоят собственные значения т.е.
Это справедливо только для случая различных действительных корней.
Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.
Замечание. Если матрица линейного оператора симметрическая то ее собственные значения действительные и различные а собственные векторы ортогональны.
Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора заданного в некотором базисе симметрической матрицей
Искомый собственный вектор удовлетворяет характеристической системе
Собственные значения удовлетворяют уравнению .
После раскрытия определителя получаем алгебраическое уравнение 3-й степени: где
Приходим к уравнению вида:
Получаем собственные значения – все действительные и различные.
Строим собственные векторы. Значение подставляем в характеристическую систему:
Ее определитель равен нулю и следовательно ранг системы (т.к. минор ). Система равносильна системе:
По правилу Крамера . Полагаем и получаем 1-й собственный вектор . Можно взять и тогда .
Аналогично значение подставляем в характеристическую систему:
Вновь система равносильна двум уравнениям:
т. к. минор и . Находим решения системы по формулам Крамера:
Получаем координаты второго собственного вектора: . Полагаем и . Можно взять и тогда .
Далее берем и подставляем в характеристическую систему:
. Получим 3-й собственный вектор . Можно взять тогда .
Заметим что построенные векторы взаимно перпендикулярны в пространстве т. к. .
Собственные векторы можно нормировать:
– эти три вектора образуют ортонормированный базис в 3-х мерном пространстве.
Показать что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет иметь диагональную форму: .
4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Пусть задана квадратичная форма от двух переменных вида:
Значит матрица квадратичной формы является симметрической.
Матрица квадратичной формы в базисе из собственных векторов будет диагональной т.е. .
Действительно составим характеристическую систему
Ее определитель равен нулю: или
Получим характеристическое уравнение корни которого
Полагаем и получаем 1-й собственный вектор .
Полагаем и получаем 2-й собственный вектор .
Строим матрицу перехода ее определитель .
Обратная матрица существует: и в базисе из собственных векторов получаем вид матрицы квадратной формы:
Тогда квадратичная форма в базисе из собственных векторов примет канонический вид:
При этом «новые» и «старые» координаты связаны между собой формулой
Замечание. Аналогично для квадратичной формы от 3-х переменных
Матрица (квадратичной формы)
В базисе из собственных векторов квадратичная форма примет вид:
где – собственные значения симметрической матрицы . При собственные векторы ортогональны.
Замечание об евклидовых пространствах
В линейном –мерном пространстве вводим скалярное произведение по правилу:
Такая операция над векторами обладает следующими свойствами:
) – ассоциативность по умножению на скаляр;
–мерное векторное пространство в котором задано скалярное произведение векторов удовлетворяющее указанным четырем свойствам называется евклидовым пространством.
Длиной (нормой) вектора в этом пространстве называется
для которой выполняются свойства:
) – неравенство Коши–Буняковского;
) – неравенство треугольника.
Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется из формулы:
Определение корректно т.к. согласно неравенству Коши–Буняковского
Два вектора называется ортогональными если откуда .
Векторы –мерного пространства образуют ортонормированный базис если при любых и при .
Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
III. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей:
Для удобства преобразований поменяем местами 1-ю и 2-ю строки после чего поставим перед определителем знак минус (т. к. при перестановке строк местами определитель меняет знак):
Преобразуем данный определитель так чтобы в первом столбце все элементы кроме одного обратились в ноль; 1-ю строку умножим на (-2) и сложим со 2-й и 3-й строками затем 1-ю строку умножим на (-3) и сложим с 4-й:
Раскладывая определитель по элементам первого столбца получим:
Из 3-й строки вынесем общий множитель за знак определителя и поменяем местами 1-ю и 3-ю строки:
-ю строку умножим на 2 сложим со 2-й; затем 1-ю строку умножим на 4 сложим с 3-й:
Разложим определитель по первому столбцу:
Из обеих строк определителя вынесем общие множители и вычислим его:
Найти обратную матрицу и сделать проверку:
Вычислим определитель данной матрицы (разложим по первой строке):
следовательно обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
Составим матрицу состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
Матрица обратная к матрице A будет иметь вид:
Решить матричное уравнение:
Матричное уравнение задано в виде . Следовательно
Найдем матрицу обратную к матрице A.
Искомая матрица имеет вид:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Вычислим определитель системы:
Вычислим определители в которых вместо первого второго и третьего столбцов соответственно стоит столбец из свободных членов:
Найдем значения неизвестных :
Решить систему линейных уравнений матричным методом:
Перепишем систему уравнений в виде матричного уравнения:
Найдем матрицу обратную к матрице A:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Следовательно система совместна и имеет единственное решение.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду.
Из полученной матрицы составим систему линейных уравнений и найдем неизвестные с помощью обратного хода Гаусса:
Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений:
Составим таблицу коэффициентов системы и преобразуем ее так чтобы на ее главной диагонали стояли только единицы а все остальные элементы были равны нулю.
Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных линейных уравнений:
Запишем матрицу системы и преобразуем ее к ступенчатому виду:
Ранг матрицы равен значит фундаментальная система решений состоит из решений. Перепишем преобразованную систему:
где – базисные неизвестные – свободные неизвестные.
Введем обозначения и запишем общее решение системы:
где и – произвольные постоянные.
Придадим произвольным постоянным и последовательно значения и соответственно получим:
и – фундаментальная система решений.
Найти матрицу линейного оператора A в базисе если в стандартном базисе матрица линейного оператора А имеет вид:
Матрицы и линейного оператора A связаны соотношением где C – матрица перехода от базиса к базису она имеет вид:
Подставим матрицы в соотношение
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора имеющего в некотором базисе матрицу
Составим характеристическое уравнение матрицы:
– собственные значения линейного оператора.
Найдем собственные векторы соответствующие найденным собственным значениям:
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей
Найти обратную матрицу и сделать проверку
Решить систему линейных уравнений методом Крамера
Решить систему линейных уравнений матричным методом
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений
Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных линейных уравнений
Найти матрицу линейного оператора A в базисе если в стандартном базисе матрица линейного оператора А имеет вид

icon титул.doc

Министерство образования Российской Федерации
Кафедра высшей математики
Методические указания и типовые расчеты
по определенному интегралу
Высшая математика: Методические указания и типовые расчеты по определенному интегралу Норильский индустр. ин-т. – Норильск 2002. – 53 с.
М.И. Ефимов к.т.н. доцент
Методические указания и типовые расчеты составлены для студентов всех форм обучения всех специальностей.
В работе рассматриваются основные методы вычисления неопределенных и определенных интегралов приложения определенных интегралов приводятся задания для индивидуальной работы студентов. Методические указания и типовые расчеты могут быть использованы слушателями ускоренной формы обучения.

icon №1.doc

Идеи интегрального исчисления возникли еще в древности. Так великим греческим математиком и механиком Архимедом были вычислены интегралы равносильные . Однако эти идеи не получили должного развития и только в XVII в. появился ряд работ которые послужили основой интегрального исчисления. Одним из создателей интегрального исчисления был Иоган Кеплер (1571-1630) – выдающийся астроном и математик. В 1614 г. И. Кеплер женился. В связи со свадебным торжеством ему пришлось закупать много вина. При подсчете количества (вычисления объема бочек) по радиусу и высоте возникли трудности т.к. бочки имели разнообразную форму. Заинтересовавшись этим вопросом Кеплер в 1615 г. выпустил книгу «Стереометрия винных бочек преимущественно австрийских». В этой книге он рассмотрел ряд задач по определению объемов тел ограниченных кривыми поверхностями тем самым дав миру формулы которые используются и сейчас в интегральном исчислении.
Истинными же создателями интегрального исчисления являются И. Ньютон и Г. Лейбниц которые создали теоретические основы интегрального исчисления работая независимо друг от друга. В 1690 г. Иоганом Бернулли было впервые предложено слово «интеграл» происходящее от латинского слова integer – целый (т.е. целая вся площадь). Этот термин был одобрен хотя и неохотно Лейбницем который до этого пользовался выражением: «сумма всех ydx» поэтому интегральное исчисление он называл «сумматорным исчислением». Обычно сумма обозначалась латинской буквой S. Но так как в интегральном исчислении приходилось суммировать бесконечно большое число бесконечно малых величин то Лейбницем был введен символ представляющий собой удлиненную букву S.
Определенный интеграл
Одним из основных понятий в матанализе является определенный интеграл являющийся мощным средством для исследований в математике физике механике гидродинамике и других дисциплинах. Следует иметь в виду что неопределенный интеграл есть функция определенный интеграл есть число. Это число определяется по формуле Ньютона-Лейбница
и является основной формулой интегрального исчисления.
Требования предъявляемые к существованию определенного интеграла менее жесткие чем к неопределенному интегралу. Здесь допускается существование точек разрыва: если на отрезке функция ограничена и имеет конечное число точек разрыва 1-го рода то она интегрируема на этом отрезке т.е. существует предел . Этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки ни от выбора точек внутри каждого отрезка.
Свойства определенного интеграла
При вычислении определенного интеграла полезно знать его свойства которые иногда повторяют свойства неопределенного интеграла.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
Определенный интеграл алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
Определенный интеграл сохраняет знак подынтегральной функции на данном интервале.
Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке и то . Это свойство называют свойством об оценке интеграла. Геометрический смысл свойства таков: пусть тогда площадь криволинейной трапеции aPQb содержится между площадями прямоугольников и (рис. 1).
Теорема о среднем: если функция непрерывна на то на этом отрезке найдется такая точка х =с что справедливо следующее равенство: . Доказывается теорема с помощью теоремы Лагранжа: где . Геометрический смысл теоремы следующий: площадь криволинейной трапеции соответствующей данному определенному интегралу равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой равной значению подынтегральной функции в некоторой промежуточной («срединной») точке отрезка. Среднюю точку нужно понимать не в буквальном смысле а как промежуточную.
Если интервал интегрирования разбит на две части и то .
Если верхний и нижние пределы интеграла поменять местами то интеграл изменит знак т.е. .
Если верхний и нижний пределы интеграла совпадают то такой интеграл равен нулю т.е. . С геометрической токи зрения это свойство означает что если конец основания трапеции совместить с его началом то трапеция превратится в прямолинейный отрезок площадь которого равна нулю.
Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования т.е. свойство становится ясным если трактовать определенный интеграл как площадь. Замена наименований осей координат не меняет площади криволинейной трапеции.
Часто приходится вычислять определенный интеграл по симметричному промежутку. В таком случае интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции по половине данного промежутка интеграл от нечетной функции равен нулю.
Вторая теорема о среднем значении: пусть функция интегрируема а функция монотонна на . Тогда на этом отрезке найдется точка х = с что .
Методы интегрирования определенного интеграла
1. Метод подстановки (замены переменной)
Если не удается найти интеграл непосредственным интегрированием часто используется метод подстановки. Пусть дан интеграл где функция непрерывна на . Введем новое переменное t по формуле . Если:
определена и непрерывна на
При вычислении определенного интеграла по формуле (2) к старой переменной не возвращаемся.
Вычислить интеграл .
Пусть . Определим новые пределы интегрирования: x = 1 t = 1. Тогда
2. Интегрирование по частям
Часто необходимо найти интеграл от произведения функций. Но интеграл от произведения не равен произведению интегралов. Существует большая группа интегралов от произведения функций которые находятся по частям. Формула интегрирования определенного интеграла по частям та же что и для неопределенного с указанием пределов интегрирования:
При вычислении интеграла по частям необходимо помнить что подынтегральное выражение надо представить в виде двух сомножителей u и dv так чтобы dv обязательно содержал dx при этом:
) переменная v находится из выражения
) последний интеграл берется от vdu.
Иногда метод интегрирования по частям применяется многократно если каждый последующий результат интегрирования проще предыдущего. Множитель dv необходимо выбирать таким образом чтобы от этого дифференциала можно было без больших затруднений найти функцию v.
По частям берутся интегралы например вида где – многочлен n-ой степени при этом обозначается через u а произведение функции на dx обозначается через dv. По частям берутся также интегралы вида при этом трансцендентная функция обозначается через u а произведение многочлена на dx – через dv.
Повторное интегрирование по частям иногда приводит к первоначальному интегралу и тогда получается равенство из которого находится данный интеграл. К таким интегралам относятся интегралы вида . Найдем один из них:
3. Интегрирование рациональных дробей
При интегрировании рациональных дробей необходимо знать является ли подынтегральная дробь правильной или нет. Неправильной называется такая дробь степень числителя которой больше или равна степени знаменателя. Если подынтегральная дробь неправильная то необходимо выделить целую часть. Делается это двояким способом: или искусственным прибавлением к числителю какого-либо выражения и вычитанием его или делением дроби уголком.
Если дробь правильная то её необходимо разложить на простейшие. При разложении дроби на простейшие необходимо знать корни многочлена в знаменателе. Здесь возможны четыре случая:
Корни действительные различные.
Корни действительные кратные.
Корни комплексные различные.
Корни комплексные кратные.
В этом случае подынтегральная дробь разлагается на простейшие с неопределенными коэффициентами этих дробей будет столько сколько корней у многочлена в знаменателе. После приведения этих дробей к общему знаменателю числитель полученной дроби приравнивается к числителю подынтегральной дроби. Нахождение неопределенных коэффициентов осуществляется двумя способами:
а) общим методом является сравнение двух многочленов. Они будут равные если равны коэффициенты при одинаковых степенях многочленов. Приравнивая эти коэффициенты получают систему уравнений из которых находят неопределенные коэффициенты;
б) если корни многочлена действительные то коэффициенты находятся подстановкой корней уравнения.
Найдём коэффициенты 1-м способом:
Количество простейших дробей также равно количеству корней многочлена знаменателя при этом в случае равных корней степени знаменателя возрастают от первой степени до степени кратности (или в обратном порядке).
В этом случае в подынтегральной дроби многочлен разлагается на множители
при этом числителями являются двучлены типа .
Разложение подынтегральной дроби на простейшие производится аналогично тому как это было во втором случае с двучленами в числителе типа .
4.Интегрирование некоторых классов
тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы вида . Интегралы такого вида берутся с помощью подстановки . С ее помощью они сводятся к интегралам от рациональных функций .
С помощью подстановки можно найти любой интеграл вида поэтому ее называют универсальной тригонометрической подстановкой. Однако на практике такая подстановка приводит к сложным рациональным функциям и громоздким вычислениям. Поэтому наряду с этой подстановкой пользуются другими подстановками которые быстрее приводят к конечным результатам. Рассмотрим некоторые их них:
Если подынтегральная функция зависит только от то замена приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции: .
Интеграл вида под знаком которого стоит произведение где m и n – целые числа берется трояким способом:
1. Если m и n таковы что одно из них нечетное число (пусть n=2p+1) то интеграл берется с помощью следующих преобразований:
где . Последний интеграл является интегралом от рациональной функции.
2. где m и n – числа неотрицательные и четные (например m=2p n=2q) интеграл берется с помощью понижения степени по формулам . Подставляя в интеграл получим
Возводя в степень и раскрывая скобки получим члены содержащие четные и нечетные степени. Интегралы с нечетными степенями берутся по пункту 2.1. Если показатели четные то повторно используются формулы понижения степени. Продолжая применять эти методы в конечном итоге приходим к интегралу вида который легко интегрируется.

icon №2.doc

3. Если оба показателя четные причем хотя бы один из них отрицательный применяют подстановку
Вычислить интеграл .
Интегралы вида берутся с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму .
Аналогично берутся интегралы вида с помощью применения соответствующих формул.
5.Интегрирование некоторых
Не от всякой иррациональной функции можно выразить интеграл через элементарные функции. Класс таких интегралов разнообразный но метод один: с помощью различных подстановок такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций и интегрируются до конца.
Пусть дан интеграл вида где R – рациональная функция своих аргументов. Пусть k – общий знаменатель дробей . Применяется подстановка . В этом случае каждая дробная степень выразится только через целую степень t и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.
Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки где k – общий знаменатель дробей.
Интегралы вида преобразуются к одному из следующих трёх типов:
Интеграл типа 3.1 берется с помощью подстановки .
Интеграл типа 3.2 берется с помощью подстановки
Интеграл типа 3.3 берется с помощью подстановки
Несобственные интегралы
Понятие определенного интеграла было установлено для конечного интервала и непрерывной в ней функции. Данное определение интеграла непременимо если интервал интегрирования бесконечен или функция в интервале интегрирования имеет точки разрыва.
1. Интегралы с бесконечными пределами
Пусть дана функция определенная и непрерывная на интервале . Сначала рассмотрим интеграл . Этот интеграл имеет смысл при любом . При изменении b этот интеграл также изменяется т.е. является функцией от b. Пусть . Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции на интервале и обозначают т.е. . Если этот предел существует то несобственный интеграл называется сходящимся если нет то расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
где с – любое число.
Иногда достаточно бывает только установить сходится данный несобственный интеграл или расходится. Для этого полезны теоремы:
1. Если для всех х выполняется неравенство и если сходится то сходится также интеграл при этом .
2. Если для всех х выполняется неравенство и если расходится то расходится также интеграл .
3. Если интеграл сходится то сходится и интеграл . В этом случае последний интеграл называют абсолютно сходящимся.
Определить сходится или расходится интеграл .
При не существует поэтому интеграл несобственный; но . Следовательно по свойству 1.1 сходится.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
2.Интегралы от разрывных
(неограниченных) функций
Если на отрезке функция имеет точки разрыва I-го рода то согласно теореме существования такой интеграл существует. Иная ситуация возникает тогда когда на отрезке функция имеет бесконечный разрыв. В таком случае обычное определение интеграла смысла не имеет. Несобственным интегралом от функции непрерывной при и неограниченной при называется предел интеграла при т.е. . Если этот предел существует то несобственный интеграл называется сходящимся если нет – расходящимся. Аналогично может быть определен несобственный интеграл если функция имеет бесконечный разрыв на левом конце . Наконец возможен и такой случай когда точка бесконечного разрыва находится внутри отрезка . Пусть точка С бесконечного разрыва внутри отрезка при этом . Тогда .

icon №3.doc

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Интеграл расходится.
Геометрические приложения
определенного интеграла
1. Вычисление площадей плоских фигур
Пусть дана неотрицательная функция на отрезке . Тогда площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой прямыми x = a x = b и осью ох определяется по формуле
Если тогда . Если при этом случится так что функция на данном промежутке несколько раз меняет знак то он разбивается на ряд частичных промежутков. Там где где – частичная площадь. Там где . В итоге площадь всей фигуры равна сумме абсолютных величин частичных площадей. Если плоская фигура ограничена линиями и при этом то площадь фигуры ограниченной между этими линиями определяется по формуле
Вычислить площадь фигуры ограниченной параболой и прямой (рис. 3).
Определим точки пересечения линий: .
Пусть площадь криволинейной трапеции ограничена кривой заданной в параметрической форме уравнениями где . Тогда площадь криволинейной трапеции будет равна т.к.
Вычислить площадь фигуры ограниченной линией (рис. 4).
Нетрудно показать что данные уравнения определяют окружность. Действительно
Центр окружности в начале координат радиус равен 13. Площадь круга равна т.е. в данном случае .
Если площадь ограничена линией которая задана в полярной системе координат уравнением где – непрерывная функция при то площадь этой фигуры определяется уравнением
Найти площадь фигуры ограниченной линией (рис. 5).
Определим площадь половины лепестка:
. Всего таких половинок будет 8 следовательно общая площадь равна .
2. Вычисление длин дуг плоских кривых
Пусть на плоскости хоу дана кривая в декартовых прямоугольных координатах на отрезке . Тогда длина дуги на этом отрезке определится по формуле
Найти длину дуги кривой отсеченной прямой (рис. 6).
Определим часть искомой дуги АОВ – дугу ОА. . Тогда Тогда длина дуги АОВ равна .
Если линия задана в параметрической форме уравнениями то длина дуги определяется по формуле
Определить длину дуги кривой между точками пересечения с осями координат (рис. 7).
В точках пересечения с осями координат х = 0 t = 0 y = 0 ; .
Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением где r – полярный радиус – полярный угол. Переход от полярных координат к прямоугольным происходит по формулам . Считая эти уравнения параметрическими и подставляя значения производных в формулу (8) получим
Вычислить длину дуги кривой от до (рис. 8).
3. Вычисление объемов тел вращения
Если некоторое тело Р пересечено плоскостями перпендикулярными оси ох то площадь каждого сечения есть функция от х и объем такого тела будет определяться по формуле
Но иногда бывает сложно выразить площадь сечения как функцию от х и рассматривают частный случай когда задано тело вращения вокруг одной из осей координат. Например тело вращения получено при вращении вокруг оси ох криволинейной трапеции ограниченной линией . Тогда площадь и объем тела вращения вокруг оси ох определяется по формуле
Если кривая вращается вокруг оси оу то объем тела вращения равен
В более общем случае объем тела образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции ограниченной линиями равен
Замечание 1. Если кривая задана в параметрической форме то формулы применяются те же только в указанных формулах делается соответствующая замена переменных интегрирования и дифференцирования.
Замечание 2. Если сектор образованный дугой кривой и двумя полярными радиусами и вращается вокруг полярной оси то объем полученного тела вычисляется по формуле
Определить объем тела образованного вращением фигуры ограниченной линиями х = 0 у = 8 вокруг оси оу (рис. 9).
Вычислить объем тела полученного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции ограниченной кривой (рис. 10).
Определим пределы по переменной t. Пусть у = 0 тогда . Фигура состоит из двух частей.
Вычислить объем который образуется вращением круга вокруг полярной оси (рис. 11).

icon №4.doc

5.4. Вычисление площадей поверхностей вращения
Пусть на плоскости хоу дана непрерывная функция на отрезке . Тогда площадь поверхности образованной вращением графика этой функции около оси ох определяется по формуле
Если линия вращения задана параметрическими уравнениями то площадь тела вращения определится по формуле
Если образующая поверхность вращения задана в полярной системе координат то полагая а дифференциал дуги заменить его значением в полярной системе координат то получим:
Определить площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ох дуги кривой от х = 2 до х = –2 (рис. 12).
Поверхность состоит из двух плоскостей.
Вычислить площадь поверхности образованной вращением кривой вокруг оси ох от до .
Запишем уравнение линии в параметрической форме. Пусть . Тогда . При t = 0. При
Окружность вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности которая при этом получается.
Решение (см. рис. 11).
Задания для индивидуальной работы
Вычислить определенные интегралы:
а) методом подстановки или подведением под знак дифференциала
б) методом замены переменной
в) методом интегрирования по частям

icon №5.doc

г) от рациональных дробей
д) вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
Вычислить площади плоских фигур:
а) в декартовой системе координат
Найти площадь фигуры заключенной между линией и параболой .
Вычислить площадь фигуры ограниченной линией и осью абсцисс.
Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной осью абсцисс и линией .
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и прямой .
Вычислить площадь фигуры ограниченной линией осью ординат и прямыми и .
Вычислить площадь фигуры ограниченной линией и осями координат.
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и .
Вычислить площадь фигуры ограниченную параболой и касательными к ней в точках и .
Вычислить площадь сегмента отсекаемого прямой от параболы .
Найти площадь каждой из фигур ограниченных окружностью и параболой .
б) в параметрической форме
Найти площадь фигуры ограниченной одной аркой циклоиды .
Вычислить площадь фигуры ограниченной астроидой .
Найти площадь фигуры заключенной между трактрисой и осью абсцисс. Трактрисой называется эволюта цепной линии.
Найти площадь декартова листа (где ).
Найти площадь петли линии .
Вычислить площадь эллипса .
Вычислить площадь ограниченную кардиоидой .
Найти площадь заключенную между осью ОХ и верзнерой определяемой уравнениями . Замечание. Кривая является огибающей окружности с диаметром «а» центр которой на оси ОУ иначе кривая называется локоном Аньези.
Найти площадь фигуры ограниченный эпициклоидой .
Найти площадь фигуры ограниченной гипоциклоидой Замечание. Для эпициклоиды и гипоциклоиды n – целое число R – радиус неподвижной окружности t – угол поворота радиус-вектора проведенного в точку касания.
в) в полярной системе координат
Найти площадь ограниченную улиткой Паскаля:
Найти всю площадь кардиоиды .
Найти площадь трехлепестковой розы .
Найти площадь ограниченную линией .
Вычислить площадь описываемую полярным радиусом спирали Архимеда при одном обороте если началу движения соответствует .
Найти площадь ограниченную подэрой эллипса заданную уравнением (привести к полярным координатам).
Найти площадь части фигуры ограниченной лемнискатой Бернулли лежащей внутри окружности .
Найти площадь общей части фигур ограниченных линиями и .
Найти площадь ограниченную линией и прямой .
Найти длины дуг плоских кривых:
а) в декартовых координатах
Вычислить длину дуги цепной линии (от до ).
Найти длину дуги линии (от до ).
Вычислить длину дуги полукубической параболы заключенную внутри параболы .
Вычислить длину дуги полукубической параболы заключенной внутри окружности .
Вычислить длину петли линии .
Определить длину дуги кривой содержащейся между и .
Найти длину дуги от до .
Найти длину дуги кривой между точками пересечения с осью ОХ.
Найти длину трактрисы от её точки до её точки .
Найти длину дуги эвольвенты (развертки) окружности .
Вычислить длину дуги линии (от до )
Найти длину петли линии .
Найти длину всей кривой Штейнера . Примечание. Кривой Штейнера называют гипоциклоиду которая получается в том случае когда радиус производящего круга в 3 раза меньше радиуса неподвижного круга.
Найти длину эволюты эллипса
Вычислить длину дуги астроиды .
Найти длину дуги циклоиды .
Найти длину кардиоиды .
Найти длину дуги кривой от до .
в) в полярных координатах
Найти длину дуги архимедовой спирали от начала координат до конца первого витка.
Вычислить длину дуги гиперболической спирали от до
Найти длину дуги всей кардиоиды .
Найти длину дуги логарифмической спирали заключенной между и .
Найти длину дуги кривой .
Вычислить длину дуги циссоиды Диоклеса в пределах от до .
Вычислить длину кривой .

icon №6.doc

Вычислить объем тел вращения
а) в декартовой системе координат
Эллипс большая ось которого равна 2а малая – 2b вращается: а) вокруг большой оси; б) вокруг малой оси. Найти объем получающихся эллипсоидов вращения. В частном случае найти объем шара.
Криволинейная трапеция ограниченная линией и прямыми х = 1 у = 0 вращается вокруг оси ОХ. Найти объем тела которое при этом получается.
Цепная линия вращается вокруг оси ОХ при этом получается поверхность называемая катеноидом. Найти объем тела ограниченного катеноидом и двумя плоскостями отстоящими от начала на «а» и «b» единиц и перпендикулярными к оси ОХ.
Найти объем тела полученного вращением вокруг оси ОХ трапеции лежащей над осью ОХ и ограниченной линией .
Найти объем тела полученного от вращения криволинейной трапеции ограниченной линией с основанием вокруг оси ОХ.
Найти объем тела полученного при вращении астроиды вокруг своей оси симметрии
Вычислить объем тела ограниченного поверхностью бесконечного веретена образованного вращением линии вокруг её асимптоты.
Линия вращается вокруг своей асимптоты. Найти объем тела ограниченного поверхностью которая получается в результате этого вращения.
Найти объем тела ограниченного поверхностью полученной при вращении параболы Нейля вокруг оси ОХ (нейлоид).
Найти объем тела образованного при вращении вокруг оси ОХ кривой в промежутке от до .
Определить объем тела образованного вращением фигуры ограниченной линией вокруг оси ОХ.
Найти объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линиями .
Найти объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линиями
Вычислить объем тела образованного при вращении вокруг оси ОХ линии .
б) в параметрической форме и полярных координатах
Одна арка циклоиды вращается вокруг своего основания. Вычислить объем тела ограниченного полученной поверхностью.
Фигура ограниченная дугой линии (эволюта эллипса) лежащей в первом квадрате и координатными осями вращается вокруг оси ОХ. Найти объем получившегося при этом тела.
Найти объем тела ограниченного поверхностью получающейся при вращении трактрисы вокруг её асимптоты.
Найти объем тела ограниченного поверхностью полученной при вращении линии вокруг оси а) ОХ; б) ОУ.
Найти объем тела образованного вращением площади петли кривой вокруг оси а) ОХ; б) ОУ.
Найти объем тела полученного при вращении вокруг оси ОХ лепестка декартова листа .
Найти объем тела образованного вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
Определить объем образованный вращением кривой вокруг полярной оси.
Найти объем тела образованного вращением кривой .
Определить объем тела образованного вращением площади ограниченной линиями: и вокруг полярной оси (линия сама полярная ось ).
Найти объем тела образованного вращением площади ограниченной полувитками спирали Архимеда ( ) вокруг полярной оси.
Найти объем тела образованного вращением вокруг полярной оси фигуры ограниченной этой осью и дугой логарифмической спирали .
Вычислить объем тела получаемый при вращении вокруг оси ОХ лепестка лемнискаты .
Вычислить объем тела получаемый при вращении вокруг полярной оси фигуры ограниченной кривой .
Вычислить объем тела полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры ограниченной кривой (перейти к полярным координатам).
Вычислить площади поверхностей вращения:
Найти площадь поверхности образованной вращением параболы вокруг оси ОХ от вершины до точки с абсциссой .
Вычислить площадь поверхности образованной вращением кубической параболы вокруг оси ОХ (от до ).
Вычислить площадь катеноида – поверхности образованной вращением цепной линии вокруг оси ОХ (от до ).
Вычислить площадь поверхности образованной вращением одной арки синусоиды вокруг оси абсцисс.
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ петли линии .
Найти площадь поверхности образованной вращением кривой вокруг оси ОХ.
Определить площадь поверхности образованной вращением дуги кривой отсеченной прямой .
Вычислить площадь поверхности образованной вращением кривой вокруг оси ОХ от до .
Вычислить площадь поверхности образованной вращением петли кривой вокруг оси ОХ.
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ дуги линии от до .
Найти площадь поверхности образованной вращением астроиды вокруг оси абсцисс.
Трактриса вращается вокруг оси ОХ. Найти площадь получающейся бесконечной поверхности.
Круг где вращается вокруг оси ОХ; поверхность вращения есть тор. Определить площадь поверхности тора.
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ кардиоиды .
Определить площадь поверхности образованной вращением петли кривой вокруг оси ОХ.
Определить площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой между точками пересечения с осями координат.
Лемниската вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности которая при этом получается.
Окружность вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности которая при этом получается.
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг полярной оси кардиоиды .
Вычислить площадь шарового пояса получаемого при вращении вокруг оси ОХ дуги окружности между точками с абсциссами и .
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой от до .
Дуга тангенсоиды от её точки до её точки вращается вокруг оси ОХ. Вычислить площадь поверхности которая при этом получается.
Определить площадь поверхности образованной вращением кривой отсеченной прямой вокруг оси ОУ.
Определить площадь поверхности образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси ОХ.
Определить площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой от до .
Найти площадь поверхности образованной вращением дуги эвольвенты окружности вокруг оси ОХ.
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ кривой между точками её пересечения с осью ОХ.
Найти площадь поверхности образованной вращением дуги кривой вокруг полярной оси.
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ эллипса .
Библиографический список
Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. – М.: Физматиздат 1961.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука 1977.
Бугров Я.С. Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука 1980.
Данко П.Е. Попов А.Г. Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. I. – М.: Высшая школа 1980.
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. – М.: Высшая школа 1970.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. I . – М.: Наука 1970.
Шнейдер В.Е. Слуцкий А.И.. Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высшая школа 1972.
Определенный интеграл
Свойства определенного интеграла .
Методы интегрирования определенного интеграла .
Несобственные интегралы ..
Геометрические приложения определенного
Задания для индивидуальной работы ..
Таблица интегралов ..
Библиографический список
Корректор О.И. Иванова
Компьютерная верстка Е.П. Выродова
Темплан НИИ 2002 г. поз. 2.
ЛР № 021341 от 19.05.99.
Подписано в печать 25.01.2002. Формат 60x84 116.
Бум. для копир.-мн.ап. Гарнитура Bookman Old Style. Печать плоская.
Усл.п.л. 33. Уч.-изд.л. 33. Тираж 50 экз. Заказ 2. С. 2.
3310 Норильск ул. 50 лет Октября 7.
Отдел ТСО и полиграфии НИИ

icon пределы.doc

Высшая математика. Теория пределов: Методические указания к практическим занятиям Норильский индустр. ин-т. – Норильск 2000 – 28 с.
Составители: В.М. Широкова ст. преподаватель;
А.Д. Мурина ст. преподаватель
Методические указания предназначены студентам всех специальностей и всех форм обучения. Последовательно изложены вопросы по темам первой части курса вынесенным в соответствии с программой и учебным планом на практические занятия. Приведены основные понятия формулы изучаемой темы образцы решения типовых задач домашние задания контрольные вопросы и библиографический список.
ТЕМА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И В БЕСКОНЕЧНОСТИ
Определение предела. Число А называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся к а если для любого E>0 существует число б>0 такое что при x–aб выполняется неравенство f(x)–AE.
Это записывается так:
Если число А1 есть предел функции y=f(x) при x стремящемся к а так что x принимает только значения меньшие а то число А1 называется левым пределом функции f(x) в точке а.
При этом пишут так:
Аналогично определяем правый предел функции y=f(x) при x стремящемся к а:
Если левый и правый пределы функции f(x) существуют и равны т.е. А1=А2=А то число А есть предел этой функции т.е.
Число В называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся к бесконечности если для любого E>0 существует число M>0 такое что при x>M выполняется неравенство f(x)–BE.
Это записывается так: .
Тема 2. Бесконечно малые и бесконечно
Функция f(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к а если
Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к а если .
Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при x стремящемся к бесконечности. Между бесконечно малой и бесконечно большой функциями существует связь которая выражается следующими теоремами:
а) функция обратная по величине бесконечно большой является бесконечно малой;
б) функция обратная по величине бесконечно малой является бесконечно большой.
Бесконечно малые обладают следующими свойствами:
а) сумма или разность двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;
б) произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию (в частности на постоянную или бесконечно малую функцию) есть функция бесконечно малая.
Бесконечно большие функции обладают следующими свойствами:
а) сумма бесконечно большой функции и функции ограниченной есть бесконечно большая функция того же знака;
б) сумма двух бесконечно больших функций одинакового знака есть бесконечно большая функция того же знака.
Тема 3. Основные теоремы о пределах
Если функция имеет предел то только один.
Предел постоянной равен самой этой постоянной.
Если существуют и то
Если функция y=f(j(x)) элементарная и существует то
Тема 4. Техника вычисления пределов
Если функция f(x) определена в точке x=a то предел функции f(x) при x стремящемся к а равен значению функции в этой точке т.е.
Решение. Функция f(x) определена в предельной точке x=–1. Следовательно т.е.
Решение. а) Функция в предельной точке х=0 не определена.
Во многих случаях для раскрытия неопределенности типа достаточно сократить дробь на множитель стремящийся к нулю.
Пример. Найти пределы:
Решение. а) Функция f(x)= в предельной точке x=2 не определена. Так как при x=2 числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль то мы имеем неопределенность типа . Числитель и знаменатель дроби разложим на множители и сократим на выражение x–2.
Чтобы разложить числитель дроби на множители найдем его корни для чего числитель дроби приравниваем к нулю и решим полученное уравнение:
Известно что ax2+bx+c=a(x–x1)·(x–x2) где x1 x2 – корни квадратного трехчлена.
Поэтому Аналогично знаменатель дроби разложим на множители:
x2 – 5x – 3 = 2(x – 05)·(x – 3).
Тогда (при x3)Функция определена в предельной точке x=3 поэтому
б) При x=4 получаем неопределенность .
Числитель и знаменатель функции f(x) умножим на выражение разложим на множители и сократим на x–4.
Чтобы раскрыть неопределенность нужно числитель и знаменатель дроби разделить почленно на высшую степень переменной x в данной дроби.
Решение. Здесь мы имеем неопределенность типа . Чтобы раскрыть эту неопределенность нужно числитель и знаменатель разделить на х3. Дробь от этого не изменит своей величины а следовательно и своего предела.
Чтобы раскрыть неопределенности 0· и - нужно представить функцию в виде дроби которая в предельной точке дает неопределенность или .
Решение. а) В этом случае имеем неопределенность -.
Выполним вычитание дробей получим дробь которая в предельной точке представляет собой неопределенность типа раскроем эту неопределенность:
б) В этом случае имеем неопределенность типа -. Умножив и разделив выражение под знаком предела на получим
(разделим числитель и знаменатель дроби на x)
Пример. Вычислить односторонние пределы:
Определение предела функции в точке.
Определение бесконечно малой функции.
Определение бесконечно большой функции.
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями.
Способ раскрытия неопределенности вида
Способ раскрытия неопределенностей вида - 0·.
Устный опрос по теме «Теория пределов».
Решить задачи № 268 270 272 275 277 281 282 284 285 294 [3].
ТЕМА 5. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛЫ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
При вычислении пределов полезно применять следующие пределы: или если при (первый замечательный предел).
где е= 271828 (второй замечательный предел).
Условия второго замечательного предела:
а) первое слагаемое основания степени есть I;
б) второе слагаемое – бесконечно малая величина;
в) показатель степени по величине обратной этому бесконечно малому слагаемому.
Преобразуем функцию таким образом чтобы использовать второй замечательный предел.
Для этого из дроби выделим целую часть:
Вычисление некоторых пределов заметно упрощается если воспользоваться принципом замены эквивалентными величинами: при нахождении предела дроби можно бесконечно малые множители стоящие в числители и знаменателе заменять эквивалентными величинами.
Бесконечно малые функции a(x) и b(x) называются эквивалентными если предел их отношения равен единице т.е. если то
Определение первого замечательного предела.
Определение второго замечательного предела.
В чем состоят условия второго замечательного предела?
Какая неопределенность раскрывается при помощи второго замечательного предела?
Определение эквивалентных бесконечно малых.
Набор эквивалентных бесконечно малых.
Устный опрос по теме 5.
Домашнее задание № 2
Выполнить индивидуальное задание на тему «Предел функций».
Найти пределы функций:
Библиографический список
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. В 2т. – М.: Наука1976. Т. 1. – 456 с.
Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для втузов. В 2т. – М.: Высшая школа 1978. Т. 1. – 383 с.
Берман Г.Н.. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука 1977. – 416 с.
Тема 1. Предел функции в точке и в бесконечности
Тема 2. Бесконечно малые и бесконечно большие
Тема 3. Основные теоремы о пределах . .
Тема 4. Техника вычисления пределов ..
Домашнее задание 1 . .
Тема 5. Первый и второй замечательные пределы.
Домашнее задание 2 . .
Библиографический список .. .
Редактор Л.П. Котенко
Компьютерная верстка Е.П. Выродова
Темплан НИИ 2000 г. поз. 94.
Лицензия ЛР № 021341 от 19.05.99.
Подписано в печать 26.09.2000. Формат 60x84 116.
Бум. для копир.-мн.ап. Гарнитура Bookman Old Style. Печать плоская.
Усл.п.л. 17. Уч.-изд.л. 17. Тираж 50 экз. Заказ 78. С. 78.
3310 Норильск ул. 50 лет Октября 7.
Отдел ТСО и полиграфии НИИ

icon ряды полностью.doc

Целью данного типового расчета является углубленная проработка темы «Теория рядов». Типовой расчет содержит 12 теоретических вопросов и 30 вариантов задач.
Теоретические вопросы являются общими для всех студентов а задачи – индивидуальными. Номер варианта выдается преподавателем.
Перед решением задач студент должен изучить теоретический материал используя лекции и рекомендуемую учебную литературу.
Студент должен в письменной форме (в отдельной тетради) представить подробное решение задач своего варианта. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в задании. Перед решением записывается полное условие задачи.
Контроль выполнения типового расчета производится в два этапа:
Предварительная проверка письменного решения задач.
Защита типового расчета во время которой студент должен ответить на теоретические вопросы пояснить решение задач решить аналогичные задачи.
Для преодоления трудностей связанных с интегрированием И. Ньютон и Г.В. Лейбниц выражали подынтегральную функцию в виде многочлена с бесконечным числом слагаемых. Применяя к таким выражениям обычные правила алгебры математики XVIII столетия сделали много замечательных открытий.
Однако позже обнаружилось что если безоговорочно применять правила алгебры к бесконечным суммам то можно прийти к ошибкам. Так профессор философии и математики Пизанского университета Г. Гранди (1671–1742) в 1703 г. указал что из разложения путем деления в ряд при подстановке возникает равенство Группируя члены справа попарно он пришел к равенству и истолковал его как символ творения мира из ничего.
Оживленная дискуссия которая возникла вокруг этого факта способствовала выработке понятия сходящихся и расходящихся рядов.
Надо сказать что ряды возникали в математике и раньше. Французский ученый Н. Орем (ок. 1323–1382) доказал расходимость гармонического ряда . Независимо от Орема другим способом этот факт в 1650 г. доказал П. Менголи.
Последователь Орема португалец А. Томас преподававший в первой четверти XVII в. в Сорбонне сформулировал общее правило суммирования ряда где Его доказательство (чисто словесное) основано на знании суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Логарифмический ряд был опубликован немецким математиком Н. Меркатором (1620–1687) в 1668 г. но вопрос о сходимости не был затронут. Этот же результат в 1665 г. был независимо получен Ньютоном но не опубликован.
В 1668 г. английский математик Дж. Грегори (1638–1675) дал строгий вывод ряда Меркатора и получил разложение пригодное для вычисления логарифма любого положительного числа.
Ряд для арктангенса был открыт индийскими математиками в XVI в. затем он был вновь найден Дж. Грегори в 1671 г. и Лейбницем в 1673 г. Он положил в ряду и получил формулу которую назвал «арифметической квадратурой круга».
И. Ньютон широко пользовался биномиальным рядом для дробных и отрицательных показателей (при целых положительных показателях эта формула бинома была известна ранее французскому математику Б. Паскалю (1629–1662)).
Ряд Тейлора был введен английским математиком Б. Тейлором (1685–1731) в 1715 г. нестрогим способом. Через 30 лет английский математик К. Маклорен (1698–1746) дал простой вывод формулы Тейлора методом неопределенных коэффициентов.
Математики XVIII в. разлагали в ряд Тейлора функции и не сомневались что всякая непрерывная функция разлагается в ряд Тейлора.
В 1799 г. французский математик Ж. Лагранж (1736–1813) вывел формулу для остатка ряда Тейлора при этом он предполагал разложение функции в ряд Тейлора.
Четверть века спустя французский математик О. Коши (1789–1857) дал другую форму остатка ряда Тейлора и привел доказательство теоремы о сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. Коши указал первый пример функции которая хотя и обладает в точке всеми производными но не разлагается в ряд Маклорена.
Тригонометрические ряды были введены швейцарским математиком Д. Бернулли (1700–1782) в связи с изучением колебаний струны.
Возникший при этом вопрос о возможности представления данной функции в тригонометрический ряд привел к дискуссиям между Л. Эйлером Ж. Даламбером и Ж. Лагранжем о понятии функции.
Формулы выражающие коэффициенты Фурье через данную функцию были получены Л. Эйлером в 1777 г. Строгий их вывод и приложения были даны французским математиком Ж. Фурье (1768–1830) в 1822 г. в книге «Аналитическая теория тепла» привлекшей внимание математиков к рядам Фурье.
Развивая идеи Ж. Фурье немецкий математик Л. Дирихле (1805–1859) в 1829 г. установил и строго доказал достаточный признак разложимости в тригонометрический ряд Фурье.
Впоследствии были установлены и другие достаточные условия разложимости в ряд Фурье и исследованы функции не удовлетворяющие упомянутым условиям.
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1. Бесконечный ряд его сходимость
Основные понятия. Пусть задана бесконечная последовательность чисел:
Числовым рядом называют составленное из этих чисел выражение
Числа u1 u2 u3 называются членами ряда un – общим членом ряда.
называется n-й частной суммой ряда. Если существует конечный предел ряд называется сходящимся в противном случае – расходящимся. Если ряд сходится число называется суммой ряда а разность
называется остатком ряда (после n-го члена).
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится то его общий член стремится к нулю при . Отсюда следует что если не стремится к нулю то ряд расходится.
Указанный признак не является достаточным т.е. если то о сходимости ряда ничего еще сказать нельзя: он может быть как сходящимся так и расходящимся.
2. Признаки сходимости
Исследование на сходимость рядов
с положительными членами.
Признак сравнения. Если даны два ряда и с неотрицательными членами причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда (достаточно чтобы эти неравенства выполнялись начиная с некоторого номера т.е. для всех ) то:
а) из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда;
б) из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.
Для сравнения часто используются следующие ряды:
– сходящийся (геометрическая прогрессия);
В случае – гармонический.
Предельная форма признака сравнения. Если и – ряды с положительными членами и существует конечный отличный от нуля то рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.
Ряды вида Здесь – многочлен от степени а – многочлен от степени . Вопрос о сходимости рядов такого вида полностью исчерпывается сравнением с рядом где Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной форме.
Признак Коши. Если для ряда с положительными членами существует то этот ряд сходится при и расходится если
Замечание. Если то вопрос о поведении ряда остается открытым.
Признак Д’Аламбера. Если ряд с положительными членами таков что существует то при ряд сходится а при ряд расходится.
Интегральный признак сходимости. Если функция непрерывная положительная невозрастающая для и начиная с некоторого то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.
Абсолютная сходимость. Теорема Лейбница
о сходимости знакочередующихся рядов.
Если ряд сходится а ряд расходится то ряд называют условно сходящимся. Если ряд сходится то сходится и ряд называемый в этом случае абсолютно сходящимся. Ряд
где все называется знакочередующимся.
Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям
то такой ряд сходится.
Ряд удовлетворяющий указанным условиям называется рядом Лейбница. Остаток
ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине т.е.
Это неравенство удобно использовать для оценки погрешности получаемой при замене суммы ряда Лейбница ее приближенным значением
Интервал и радиус сходимости. Степенным рядом называется ряд вида
где – числа называемые коэффициентами степенного ряда (некоторые из них могут быть нулями). При степенной ряд имеет вид
Этот ряд всегда сходится при . Если же он схо-дится в точке то существует такое число что при всех степенной ряд сходится при всех он расходится. Это число называется радиусом сходимости интервал – интервалом сходимости. Если степенной ряд сходится на всей числовой оси то полагают если же он сходится только при полагают В концах интервала сходимости степенной ряд может как сходится так и расходится внутри интервала сходимости степенной ряд всегда сходится абсолютно. На любом отрезке принадлежащем интервалу сходимости степенной ряд сходится абсолютно.
Одним из способов определения радиуса сходимости степенного ряда является применение признаков Д’Аламбера и Коши.
Ряд Тейлора. Если функция имеет на некотором интервале содержащем точку производные всех порядков то к ней может быть применена формула Тейлора
где x – между а и х n – любое натуральное число.
Если для некоторого значения то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения x в ряд Тейлора:
В частности при имеем
Таким образом функция может быть разложена в ряд Тейлора для рассматриваемого значения x если:
)она имеет производные всех порядков;
)остаточный член при для рассматриваемого значения.
Применение таблицы простейших разложений. Для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд прибегают к многократному дифферен-цированию и нахождению значений производных в данной точке. Затем изучают для каких значений x остаточный член при Часто операции последовательного дифференцирования бывают связаны с громоздкими технически трудными выкладками а исследование стремления к нулю представляет еще большие трудности. Они могут быть иногда обойдены на основании теоремы единственности разложения функции в степенной ряд позволяющий утверждать что полученное любым путем разложение функции в степенной ряд будет ее разложением в ряд Тейлора. Для обхода процесса многократного дифференцирования при разложении некоторых функций в ряд Тейлора могут быть использованы готовые разложения основных элементарных функций в комбинации с правилами сложения вычитания умножения рядов и теоремами об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.
Особенно часто при этом используются разложения в ряд по степеням x следующих функций (поэтому их полезно помнить):
ПРИМЕРЫ ОТРАБОТКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Найдем предел общего члена ряда
Так как не выполнено необходимое условие сходимости то данный ряд расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Ясно что Применим признак сравнения. Сравним данный ряд с геометрическим рядом который сходится так как Имеем Мажорирующий ряд сходится. Поэтому сходится и данный ряд.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Решение. Сравним данный ряд с рядом ко-торый является обобщенным гармоническим рядом с показателем и потому сходится. Имеем
Получим конечный и отличный от нуля предел. В силу предельного признака сравнения ряды ведут себя одинаково. Значит данный ряд сходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
Решение. Используем эквивалентность бесконечно малых откуда Следовательно данный ряд ведет себя одинаково с рядом в силу предельного признака сравнения. Но ряд расходящийся так как он является обобщенным гармоническим рядом с показателем Следовательно данный ряд расходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение. Так как общий член ряда содержит показательную функцию то примем признак Даламбера. Имеем Вычислим
В силу признака Даламбера данный ряд сходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Применим признак Даламбера так как общий член ряда содержит факториалы. Имеем Вычислим
В силу признака Даламбера ряд расходится.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Общий член ряда имеет вид поэтому применим радикальный признак Коши:
Здесь мы использовали второй замечательный предел Так как то данный ряд расходится.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда
Решение. Заменим переменной получим непрерывную положительную и монотонно убывающую порождающую функцию Воспользуемся интегральным признаком Коши-Маклорена:
Несобственный интеграл сходится следовательно исследуемый ряд сходится.
Пример 9. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд составленный из модулей членов ряда Из неравенства следует что а ряд расходится (гармонический ряд). Следовательно ряд расходится в силу признака сравнения. Значит исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
Выясним его условную сходимость. Так как то ряд является знакочередующимся поэтому применим признак Лейбница:
Таким образом все условия признака Лейбница выполняются исходный ряд сходится условно.
Пример 10. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
Решение. Так как о величине не сделано никаких предложений то она может принимать любые значения и поэтому члены ряда могут иметь произвольные знаки причем ряд не обязательно является знакочередующимся.
Вопрос о сходимости ряда решим на основании признака абсолютной сходимости. Составим ряд из абсолютных величин членов заданного ряда и сравним его с обобщенным гармоническим рядом с показателем и значит сходящимся. Так как то мажорантным рядом и является . Итак исследуемый ряд сходится абсолютно.
Пример 11. Найти интервал сходимости степенного ряда исследовать поведение ряда на границах интервала сходимости .
Решение. К ряду применим признак Даламбера
Таким образом значит степенной ряд абсолютно сходится при радиус сходимости
Рассмотрим границы интервала. При подстановке в степенной ряд получим Для дан-ного знакочередующегося ряда проверим условия признака Лейбница. Имеем Следовательно ряд сходится при
При подстановке получим ряд Сравним этот ряд с гармоническим (расходящимся) рядом
В силу предельного сравнения отсюда вытекает расходимость исходного степенного ряда в точке
Итак область сходимости ряда .
Пример 12. Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Известно что Разложение в ряд Маклорена функции имеет вид
Разложение в ряд Маклорена функции получается отсюда заменой на :
Пример 13. Найти разложение в ряд Тейлора в окрестности точки функции и указать область сходимости полученного ряда.
Решение. Сделаем подстановку т.е. получим функцию для которой разложение в ряд Маклорена (если то ) имеет вид
Возвращаясь к переменной получаем разложение
Пример 14. Вычислить с точностью до 0001.
Решение. В разложении
надо взять так как Получим знакочередующийся ряд
Если для вычисления взять первых членов то учитывая что ряд знакочередующийся погрешность от отбрасывания остальных членов будет меньше абсолютной величины первого отброшенного т.е.
Если сохранить три первых члена то погрешность при отбрасывании всех остальных членов будет меньше Поэтому
Вычисления надо проводить с точностью до четырех знаков. Получим
Пример 15. Вычислить приближенно с точностью до 00001 интеграл
Решение. «Точное» интегрирование с помощью формулы Ньютона-Лейбница здесь невозможно так как инте-
грал «неберущийся» т.е. не является элементарной функцией. Используем разложение для заменяя в нем на :
Умножая полученный ряд на
и почленно интегрируя в интервале (0 1) принадлежащем области сходимости ряда получим
Для получения нужной точности необходимо взять
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
И ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ РЯДОВ
В настоящее время использование математических пакетов в научной и инженерно-технической работе начинает играть всё более важную роль. Наиболее используемые ППП это «MathCad» «Maple» «MatLab» и др. Данные программные продукты реализованы на высоко профессиональном уровне и в процессе своего развития совершенствуются. ППП «MathCad» имеет дружественный Window’s интерфейс. Он хорошо понятен пользователю оснащён help’ом в котором можно найти любую интересующую информацию.
1. Первые шаги в пакете «MathCad»
Рассмотрим гармонический ряд:
Как видно из примера гармонический ряд расходится.
Теперь рассмотрим ряд Лейбница:
(рис. 3). . (рис. 4).
Необходимо обратить внимание на то что ряд Лейбница сходится хотя ряд составленный из его модулей (гармонический ряд) расходится.
2. Исследование рядов
на сходимость в ППП «MathCad»
Для исследования на сходимость рядов в ППП «MathCad» необходимо придерживаться следующего алгоритма:
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите члены исследуемых рядов как функции переменной .
Определите частичные суммы рядов как функции переменой .
Вычислите пределы членов ряда и частичных сумм при .
Постройте графики членов ряда и частичных сумм как функции переменной .
Примените к ряду первую теорему сравнения сравнивая его с обобщённым гармоническим рядом или с рядом типа прогрессии. Примените к ряду признаки Д’Аламбера Коши.
Сформулируйте выводы.
Приведём пример исследования рядов на сходимость.
Применение теоремы сравнения:
Ряд сходится ряд тоже сходится.
Сумма ряда символьно не вычисляется.
Признак сходимости Д’Аламбера. Для ряда с положительными членами вычислим предел . Если r 1 то ряд сходится если r > 1 – расходится. При r = 1 вопрос о сходимости ряда остаётся открытым: ряд может оказаться как сходящимся так и расходящимся.
Признак сходимости Коши. Для сходимости ряда с положительными членами вычислим предел . Если r 1 то ряд сходится если r > 1 – расходится. При r = 1 вопрос о сходимости ряда остаётся открытым: ряд может оказаться как сходящимся так и расходящимся.
Пример применения признаков сходимости:
Примеры общей схемы исследования числовых рядов:
Пример применения пер-вой теоремы сравнения:
Выберем функцию для при-менения теоремы сравнения (рис. 8).
. Ряд сходится значит по первой теореме сравнения сходится и сходный ряд.
Пример применения второй теоремы сравнения:
Степень больше 1 ряд сходится. . Значит исходный ряд сходится по второй теореме сравнения.
Пример применения признака Д’Аламбера:
По признаку Даламбера ряд расходится.
Пример применения признака Коши:
По признаку Коши ряд составленный из u(n) сходится.
3. Исследование знакопеременных рядов
Для исследования знакопеременных рядов в ППП «MathCad» необходимо придерживаться следующего алгоритма:
Определите члены исследуемого ряда как функции переменной n.
Определите абсолютные величины членов ряда как функции переменной n.
Вычислите предел абсолютных величин членов ряда при .
Постройте графики членов ряда и их абсолютных величин как функции переменной n.
Исследуйте на сходимость ряд из абсолютных величин.
Сформулируйте вывод об абсолютной или условной сходимости ряда.
Если в последовательности un бесконечно положительных и отрицательных членов то ряд называется знакопеременным. Ряд an > 0 называется знакочередующимся. Для знакопеременных рядов введено понятие абсолютной сходимости. Ряд называется абсолютно сходящимся если сходится ряд . Если ряд расходится а ряд сходится то говорят что ряд сходится условно. Справедливо следующее утверждение (теорема Лейбница): если последовательность un un > 0 стремится к нулю монотонно убывая то ряд сходится.
Рассмотрим исследование знакопеременных рядов на примере:
Ряд сходится условно.
4. Разложение функций в ряд Тейлора
Значение многих функций на ЭВМ задано с помощью разложения в ряд Тейлора. Приведём алгоритм разложения функции в ряд Тейлора:
Установите автоматический режим вычислений.
Определите функцию .
Используйте разложение функции по формуле Тейлора для записи ряда Тейлора функции.
Вычислите символьно сумму полученного ряда.
Запишите выражение для частичной суммы ряда как функцию числа слагаемых и переменной х.
Постройте график функции и графики нескольких частичных сумм ряда.
Постройте графики соответствующих остатков ряда.
В следующем фрагменте приведён пример использования данного алгоритма для разложения в ряд Тейлора функции .
Функциональным рядом называется ряд членами которого являются функции переменной x.
Функциональный ряд где an – числовая последовательность называется степенным рядом.
Ряд называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0. При x0 = 0 такой ряд называется рядом Маклорена: .
Пример исследования ряда Тейлора для функции ln(1 + x):
Графики частичных сумм представлены на рис. 13.
Графики остатков ряда представлены на рис. 14.
Пример разложения функции в окрестности точки x0 = –2: t = x + 2 значит x = t – 2 . Разложим в ряд Тейлора в окрестностях 0
Ряд Тейлора хорошо аппроксимирует значение функции в точке.
Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:
Исследовать на условную и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд:
Найти область сходимости рядов:
Разложить в ряд Тейлора функцию в указанной точке . Указать область сходимости полученного ряда к этой функции:
Используя разложение подынтегральной функции в сте-пенной ряд вычислить указанный определенный интеграл с точностью до :
Используя разложение подыинтегральной функции в степенной ряд вычислить указанный определенный интеграл с точностью до :
Разложить в ряд Тейлора функцию в указанной точке Указать область сходимости полученного ряда к этой функции:
Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд вычислить указанный определенный интеграл с точностью до :
Разложить в ряд Тейлора функцию в указанной точке Указать область сходимости полученного ряда к этой функции
Исследовать на условную и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряд:
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности указанной точки . Найти область сходимости полу-ченного ряда к этой функции:
Используя разложение подынтегральной функции в сте-пенной ряд вычислить указанный определенный интеграл с точностью до :
Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами:
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 т. – М.: Наука 1976.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 П.Е. Данко А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа 1980.
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 3 Под общ. ред. д.ф.-м.н. проф. А.П. Рябушко. – Минск: Высшая школа 1981.
Числовые и степенные ряды .
Бесконечный ряд его сходимость .
Признаки сходимости .
Примеры отработки решения задач
Применение математических методов
и электронно-вычислительных машин
для решения задач по теории рядов .
Первые шаги в пакете «MathCad» ..
Исследование рядов на сходимость
Исследование знакопеременных рядов ..
Разложение функций в ряд Тейлора .
Библиографический список
Корректор О.И. Иванова
Компьютерная верстка Е.П. Грецкая
Темплан НИИ 2004 г. поз.
ЛР № 021341 от 19.05.99.
Подписано в печать Формат 6084 116.
Бум. для копир.-мн.ап. Гарнитура Bookman Old Style.
Печать ризографическая.
Усл.п.л. 34. Уч.-изд.л. 34. Тираж 50 экз. Заказ С.
3310 Норильск ул. 50 лет Октября 7.
Отдел ТСО и полиграфии НИИ

icon титул.doc

Министерство образования Российской Федерации
Кафедра высшей математики
Методические указания и типовые расчеты
для студентов всех специальностей
Высшая математика. Теория вероятностей: Методические указания и типовые расчеты для студентов всех специальностей Норильский индустр. ин-т. – Норильск 2002. – 39с.
М.И. Ефимов к.т.н. доцент
Типовой расчет составлен для студентов всех специальностей; содержит краткие теоретические сведения по каждому разделу курса практические задания для выполнения типовых расчетов.

icon №1.doc

Значительным шагом в развитии вероятностных представлений явились работы Д. Кардано Н. Тартальи и Л. Пачиоли. Работа Н. Тартальи «Общий трактат о числе и мере» имела существенное значение в становлении первоначальных вероятностных представлений. В середине XVII в. в разработку теории вероятностей были вовлечены Паскаль Ферма Гюйгенс. Так Гюйгенс написал книгу «О расчетах и азартных играх» (слово «азартный» происходит от французского слова Le hazard что означает «случай»).
Дальнейшее развитие теория вероятностей получила в работах Галилея где он использует теорию вероятностей в астрономии и теории ошибок. Разносторонним ученым сделавшим большой вклад в развитие теории вероятностей явился Лаплас. Он доказал предельную теорему одну из центральных в теории вероятностей. Разработкой отдельных вопросов теории вероятностей занимались Муавр и Пуассон. Все свои работы по теории вероятностей он обобщил и объединил в «Исследованиях о вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским делам» считая что теория вероятностей применима к оценке правильности решения судов.
В России решением вероятностных вопросов занимались математики Петербургской школы. В развитии теории вероятности большую роль сыграли В.Я. Буняковский М.В. Остроградский. Особенно большое влияние на все дальнейшее развитие теории оказало творчество П.Л. Чебышева А.А. Маркова А.М. Ляпунова. За последние 90 лет большой вклад в развитие этой науки внесли А.Я. Хинчин А.Н. Колмогоров Б.В. Гнеценко В.И. Романовский и др. В XIX и XX вв. теория вероятностей стала применяться в самых разнообразным отделах естествознания. Наиболее полно теория вероятностей используется в математической и прикладной статистике – в статистике производства в статистике народонаселения в биологической или «вариационной» статистике в «звездной» статистике и т.д.
Теория вероятностей используется как теоретическая основа учения об обработке наблюдений в физике астрономии геодезии а также в ряде военных и технических дисциплин: в теории стрельбы и бомбометаний в телефонии страховом и текстильном деле машиностроении в виде теории допусков и теории надежности. Такие математические дисциплины как теория массового обслуживания теория расписаний теория игр основаны на теории вероятностей. Но наиболее глубоко использует теорию вероятностей теоретическая физика. Основные понятия таких глав физики как кинетическая теория газов и статистическая физика основаны на понятиях и результатах теории вероятностей.
Первоначальные сведения теории вероятностей особенно повторных испытаний строятся на комбинаторных понятиях.
Основные понятия комбинаторики
При решении задач по теории вероятностей используются три вида соединений: размещения перестановки сочетания. Размещениями из n элементов по m называются такие соединения из которых каждое содержит m элементов взятых из n данных элементов и которые отличаются одно от другого или элементами или порядком элементов (следовательно предполагается что mn). Обозначается (от франц. слова arrangement – размещение). Вычисляется по формуле
Перестановками называются такие соединения которые отличаются только порядком расположения элементов. Обозначается Pm (от франц. слова permutation – перестановка). Учитывая что в случае перестановок n=m то .
Часто этот символ читают как n факториал. Если среди n элементов есть одинаковые например элемент «a» повторяется «a» раз элемент «b» – «b» раз элемент «c» – «g» и т.д. то .
Сочетаниями называются такие соединения которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Обозначают эти соединения (от франц. слова combinaison – сочетание). Считается этот вид соединения по формуле или или . Сочетания обладают свойством применение которого часто упрощает вычисления. Во всех указанных формулах следует считать 0!=1.
Основные понятия теории вероятности
Событием называется всякое явление о котором имеет смысл говорить что оно происходит или не происходит.
События называют несовместными если появление одного их них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Если появление одного события не исключает появления другого то такие события называются совместными.
События называются равновозможными если есть основание считать что ни одно из них не является более возможным чем другие.
События называются достоверными если они с необходимостью должны произойти.
События называются невозможными если их ненаступление достоверно.
Если символом обозначить событие равносильное ненаступлению событию А то в таком случае событие называется противоположным событию А.
Испытанием называется соблюдение определенных условий при которых может произойти данное событие.
Несколько событий образуют полную группу если в результате испытания появится хотя бы одно из них т.е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
Событие А называется независимым от события В если вероятность Р(А) не зависит от того произошло событие В или нет.
Определение вероятностей
Классическое определение. Пусть известно что событие А может произойти совместно с одним из n равновозможных единственно возможных и несовместных событий образующих полную группу.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию m исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов образующих полную группу. Вероятность появления события А обозначается .
Элементарным исходом (элементарным событием) называется каждый из возможных результатов испытания.
Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:
а) вероятность достоверного события равна 1;
б) вероятность невозможного события равна 0;
в) вероятность случайного события есть положительное число заключенное между 0 и 1.
Статистическое определение вероятности. Пусть при одних и тех же условиях производится серия испытаний на появление события А. Допустим что из n испытаний А появилось m раз. Отношение называется частотой появления события А.
Постоянное неотрицательное число около которого колеблется частота события А при достаточно большом числе испытаний называется статистической вероятностью события А. Таким образом .
Геометрическая вероятность. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности состоящей в том что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок часть плоскости часть пространства). Пусть реализация всех условий при которых может произойти событие А сводится к появлению точки М в любом месте некоторой плоскости Д. Пусть далее событие А происходит если точка М в некоторой области d – части Д. Тогда по определению вероятность попадания точки М в область d если она попала в область Д равна где Sd и SД – площади областей d и Д.
Замечание. Схема применима и в тех случаях когда d и Д – одномерные и трехмерные области. Тогда или где l и V – длина и объем соответствующей области.
Основные теоремы теории вероятностей
Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий). Суммой двух событий А и В называется событие А+В равносильное наступлению хотя бы одного из событий А или В. Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых несовместных событий.
Теорема 2. Сумма вероятностей событий А1 А2 Аn образующих полную группу равна единице т.е. .
Теорема 3 (умножения независимых событий). Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Теорема 4. Вероятность события А состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1 А2 Аn равна .
Определение.Вероятность события А найденная в предположении что имеет место другое событие В называется условной вероятностью события А (по отношению к В) и обозначается .
Теорема 5. Вероятность совместного осуществления двух событий равна произведению вероятностей первого события на условную вероятность второго события по отношению к первому т.е. .
Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности несовместного появления т.е. . Аналогично для трех слагаемых .
Теорема 7 (формула полной вероятности). Вероятность события А которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1 В2 Bn образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А т.е. .

icon №2.doc

Теорема 8 (формула Байеса). Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1 В2 Вn образующих полную группу. Пусть алее произведено испытание в результате которого появилось событие А. Тогда вероятность события Bi при условии что событие А произошло равна .
Если производится несколько независимых испытаний каждое из которых совершается с постоянной вероятностью Р то вероятность появления события А равно m раз при n испытаниях определяется по формуле Бернулли: .
Если число испытаний m велико то вычисления по формуле Бернулли затруднительно и в этом случае искомую вероятность целесообразно считать по асимптотической (локальной) теореме Лапласа: где . Функция табулирована. Таблицы составлены для т.к. – четная функция.
Если число испытаний велико а вероятность появления события А мала то формулы Бернулли и Лапласа дают большую погрешность и в этом случае пользуются формулой Пуассона: где при этом вероятность того что число m появлений события А удовлетворяет неравенству где имеет своим пределом . Часто эту теорему выражают следующей формулой: где . Эта функция тоже табулирована. Она является нечетной функцией т.е. поэтому таблицы составлены только для x > 0. Часто приходится определять невероятнейшее число m0 появления события А. Считается оно по формуле .
Случайные величины. Закон распределения
вероятностей дискретной случайной величины
Определение 1. Случайной называют величину которая в результате испытания примет одно и только одно значение наперед неизвестное и зависящее от случайных причин которые заранее не могут быть учтены.
Определение 2. Дискретной (прерывной) называют случайную величину которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Определение 3. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Закон распределения может быть задан аналитическим графическим или табличным способами. При составлении таблицы в первой строке содержатся значения случайной величины во второй – соответствующие вероятности:
Такая таблица является простейшей формой закона распределения дискретной случайной величины при этом сумма вероятностей последней сроки должна равняться 1.
1. Числовые характеристики дискретной
Определение 4. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:
Определение 5. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Определение 6. Средним квадратическим отклонением случайной величины х называют корень из дисперсии:
2. Функция распределения вероятностей
Для качественной характеристики дискретной случайной величины Х удобно пользоваться вероятностью события X xn где xn – некоторая текущая переменная.
Определение 7. Функцией распределения называют функцию F(x) определяющую вероятность того что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х т.е. . Часто F(x) называют функцией накопленных вероятностей. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Функция распределения дискретной величины разрывна возрастает скачками. F(x) – неубывающая функция при этом и .
Непрерывные случайные величины. Закон
распределения непрерывной случайной величины
Определение 1. Непрерывной называется случайная величина которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Свойства непрерывной случайной величины такие же как и дискретной величины за исключением того что график непрерывной случайной величины – непрерывная кривая. График расположен в полосе ограниченной прямыми y =0 и y =1. Непрерывная случайная величина может задаваться с помощью функции распределения однако этот способ не является единственным. Существует другой способ – с помощью функции плотности (которую иногда называют дифференциальной функцией).
Определение 2. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f( . Таким образом функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Теорема. Вероятность того что непрерывная случайная величина Х примет значение принадлежащее интервалу (а b) равна определенному интегралу от плотности распределения взятому в пределах от а до b. Зная плотность распределения f(х) можно найти функцию распределения F( .
Пример 1. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины х задана выражением
б) плотность распределения;
в) вероятность попадания случайной величины х в промежуток от 04 до 06.
а) так как функция F(
Пример 2. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:
а) интегральную функцию;
б) вероятность того что в результате испытания случайная величина Х примет значение заключенное в интервале .
Определение 3. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины которое описывается дифференциальной функцией . Нормальный закон является наиболее распространенным законом распределения случайных величин в природе
По определению математического ожидания непрерывной случайной величины при этом у нормального распределения М(х)=а а следовательно .
Вероятность попадания в заданный интервал определяется по формуле .
Вероятность отклонения случайной величины х от математического ожидания а на величину меньшую e определяется по формуле при P =const .
Пример 3. Пусть X – дальность полета снаряда. Найти вероятность неравенства при s =45.
Задачи для типового расчета
Бросают 2 монеты. Найти вероятность того что:
а) на обеих монетах появится «герб»;
б) хотя бы на одной монете появится «герб»;
в) ни на одной монете не появится герб.
Бросают три монеты. Найти вероятность того что:
а) на всех монетах появится «герб»;
в) только на двух монетах появится «герб»;
г) только на одной монете появится «герб»;
д) ни на одной монете не появится «герб».
Бросают четыре монеты. Найти вероятность того что:
в) только на одной монете появится «герб»;
г) только на двух монетах появится «герб»;
д) только на трех монетах появится «герб»;
е) ни на одной монете не появится «герб».
4. Бросают игральную кость. Найти вероятность что на верхней грани появится:
а) четное число очков;
б) одно очко или 6 очков.
5.Бросают две игральные кости. Найти вероятность того что на верхних гранях появятся следующие числа очков:
б) одно четное другое нечетное;
в) сумма очков четная;
г) сумма очков нечетная;
д) сумма очков больше чем их произведение;
е) сумма очков меньше шести;
ж) сумма очков больше восьми.
6.Бросают три игральные кости. Найти вероятность того что на верхних гранях появятся следующие числа очков:
б) одно четное остальные нечетные;
д) на каждой кости одинаковое число очков;
е) на каждой кости различное число очков;
ж) сумма очков делится на 4.
В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают M шаров. Найти вероятность того что среди них имеются:
б) меньше чем R белых шаров;
в) хотя бы один белый шар.
Значения параметров K H M и R по вариантам приведены в табл. 1.
Устройство состоит из трех независимых элементов работающих в течение времени T безотказно с вероятностями Р1 Р2 Р3. Найти вероятность того что за время Т выйдет из строя:
а) только один элемент;
б) хотя бы один элемент.
Значения параметров вычислить по формулам где N – номер варианта .
В первой урне K белых и L черных шаров а во второй урне N белых и M черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом R шаров а из второй – Q шаров. Найти вероятность того что среди вынутых шаров:
а) все шары одного цвета;
б) только три белых шара;
Значения параметров K L M N R Q по вариантам приведены в табл. 2.
В пирамиде стоят R винтовок из них L с оптическим прицелом. Стрелок стреляя из винтовки с оптическим прицелом может поразить мишень с вероятностью Р1 а стреляя из винтовки без оптического прицела с вероятностью Р2. Найти вероятность того что стрелок поразит мишень стреляя из случайно взятой винтовки. Значения параметров вычислить по следующим формулам: где N – номер варианта

icon №3.doc

6. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М1 М2 М3 штук которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно Р1 Р2 Р3. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым вторым или третьим заводом-изготовителем. Значения параметров вычислить по следующим формулам: где N – номер варианта .
В одной урне K белых и L черных шаров а в другой M белых и N черных шаров. Из первой урны вынимают 1 шар и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 1 шар. Найти вероятность того что шар вынутый из второй урны белый. (Значения параметров K L M N по вариантам взять из табл. 2).
В электрическую сеть включены лампочки соединенные между собой указанным на схеме образом. Вероятность безотказной работы I-й лампочки 08. Найти вероятность безотказной работы цепи.
1.На конвейер поступают детали с двух станков. Вероятность допущения брака на первом станке 01 на втором – 02. Какова вероятность того что взятая наудачу деталь с конвейера окажется бракованной если производительность первого станка в три раза выше производительности второго.
2.Некоторое устройство состоит из трех узлов. Каждый узел за время Т выходит из строя с вероятностью 02. Устройство в целом выходит из строя если за время Т из строя выходит не менее 2 узлов. Определить вероятность отказа и вероятность безотказной работы данного устройства в течение времени Т.
3.Из ящика содержащего 10 деталей среди которых половина имеет скрытый дефект наудачу отбирается три. Найти вероятность следующих событий.
все отобранные детали дефектные;
среди отобранных хотя бы одна деталь дефектная.
4.Известно что 90% выпускаемых цехом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 095 и нестандартную с вероятностью 001. Определить вероятность того что изделие прошедшее упрощенный контроль отвечает стандарту.
5.Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 09; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 08 и 06. Найти вероятность того что только одно орудие попадет в цель.
6.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 096. Найти вероятность двух попаданий при трех выстрелах.
7.Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 09 вторым – 08 третьим – 07. Найти вероятность того что:
только один из стрелков попадет в цель;
только два стрелка попадут в цель;
все три стрелка попадут в цель.
8.Разрыв электрической цепи происходит в том случае когда из строя выходит хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того что не будет разрыва цепи если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 034 04; 06. Как изменится искомая вероятность если первый элемент не выходит из строя?
9.Определить вероятность того что выбранное изделие является первосортным если известно что 4% всей продукции является браком а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
10. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди 5 проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непригодной если она содержит 5% неисправных деталей?
11. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 02. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того что придется производить четвертый опыт.
12. Вероятность того что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной равна 07. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 08. На первом станке изготовлены две детали на втором три. Найти вероятность того что все детали первого сорта.
13. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента К1 или двух элементов К2 и К3 которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 03; 02; 02. Определить вероятность разрыва электрической цепи.
14. Имеются две партии изделий по 12 и 10причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие взятое наудачу из первой партии переложено во вторую после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
15. В тире имеются 5 ружей вероятности попадания из которых равны соответственно 05; 06; 07; 08; 09. Определить вероятность попадания при одном выстреле если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
16. Определить вероятность того что 100 лампочек взятых наудачу из 1000 окажутся исправными если испорченных лампочек на 1000равновозможно от 0 до 5.
17. Известно что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает стандартную продукцию с вероятностью 098 и нестандартную с вероятностью 005. Определить вероятность того что изделие прошедшее упрощенный контроль удовлетворяет стандарту.
18. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 08; 7 – с вероятностью 07; 4 – с вероятностью 06; 2 – с вероятностью 05. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок?
19. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 06. На соревнованиях спортсмену предоставляется 3 попытки. Определить вероятность того что спортсмен:
улучшит свой предыдущий результат на этих соревнованиях;
улучшит свой результат только с третьей попытки;
улучшит свой результат сделав не более 2-х попыток.
20. Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трех частей площади которых S1=100м2 S2=200м2 S3=500м2. Для попавшего в цель снаряда вероятность попадания в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью 08; во вторую – 06; в третью – 04. Найти вероятность поражения.
21. Среди 17 студентов из которых 8 девушек разыгрывается 7 билетов причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
22. На предприятии брак составляет в среднем 2% общего выпуска изделий. Среди готовых изделий изделия первого сорта составляют 95%. Какова вероятность того что наудачу взятое изделие окажется первого сорта если изделие взято:
из числа прошедших проверку;
из общей массы изготовленной продукции.
23. При приеме партии изделий проверке подвергается половина из них. Условие приема – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того что партия из 100 изделий содержащая 5% брака будет принята.
24. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковы и равны 08. Найти вероятность того что будут произведены:
25. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того что студент ответит на первый и второй вопросы одинакова и равна 09; для третьего – 08. Найти вероятность того что студент сдаст экзамен если для этого необходимо ответить:
на все вопросы билета;
по крайней мере на 2 вопроса билета.
26. Заводом послана автомашина за различными материалами на 4 базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 09 на второй – 095 на третьей – 08 на четвертой – 06. Найти вероятность того что только на одной базе не окажется нужного материала.
27. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 01% бракованных со второго – 02% с третьего – 025% с четвертого – 05%. Производительности их относятся соответственно как 4:3:2:1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того что она изготовлена на втором станке.

icon №4.doc

30. В мешке смешаны нити среди которых 30% белых остальные – красные. Определить вероятность того что вынутые наудачу две нити окажутся:
В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того что событие А происходит: а) точно М раз; б) меньше чем М и более чем L раз; в) больше чем М раз. Значения параметров n p M L вычислить по следующим формулам: ; ; ; где N – номер варианта.
В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того что событие А происходит: а) точно К раз; б) точно L раз; в) меньше чем М и больше чем F раз; г) меньше чем R раз. Значения параметров n p M L K F R вычислить по следующим формулам: ; ; ; ; ; ; где N – номер варианта.
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью р. Найти вероятность того что среди n соединений имеет место: а) точно К неправильных соединений; б) меньше чем L неправильных соединений; в) больше чем М неправильных соединений. Значения параметров n p M L K вычислить по следующим формулам: ; ; ; ; ; ; где N – номер варианта.
В каждом из N независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того что относительная частота этого события отличается по абсолютной величине от вероятности р не более чем на . Значения параметров p n вычислить по следующим формулам: ; ; ; где N – номер варианта.
Случайная величина задана рядом распределения:
Найти функцию распределения F( ; ; ; ; ; ; ; где N – номер варианта.
В задачах 15.1-15.30 величина Х задана функцией распределения F(x). Построить графики функций F(x) и f(x). Вычислить математическое ожидание дисперсию среднее квадратическое отклонение случайной величины х. Найти вероятности того что при испытании величины Х примет значение удовлетворяющее заданным условиям.

icon №5.doc

В задачах 16.1-16.30 случайная величина х задана функцией плотности вероятности f(x). Найти функцию распределения случайной величины F(x). Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить математическое ожидание дисперсию среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Задана случайная величина . Найти вероятность того что эта случайная величина примет значение: а) в интервале ; б) меньше К; в) больше L; г) отличающееся от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше чем на . Значения параметров вычислить по следующим формулам: где N – номер варианта.
Библиографический список
Боровков А.А. Курс теории вероятностей. – М.: Наука 1972.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа 1977.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа 1975.
Ефимов М.И. Лабазин В.Г. Федорова Г.М. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями). – Красноярск 1974.
Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Статистика 1970.
Основные понятия комбинаторики
Основные понятия теории вероятности .
Определение вероятностей
Основные теоремы теории вероятностей ..
Повторные испытания .
Случайные величины. Закон распределения
вероятностей дискретной случайной величины ..
Непрерывные случайные величины. Закон
распределения непрерывной случайной величины
Задачи для типового расчета .
Библиографический список ..
Корректор О.И. Иванова
Компьютерная верстка Е.П. Выродова
Темплан НИИ 2002 г. поз. 1.
ЛР № 021341 от 19.05.99.
Подписано в печать 25.01.2002. Формат 60x84 116.
Бум. для копир.-мн.ап. Гарнитура Bookman Old Style. Печать плоская.
Усл.п.л. 24. Уч.-изд.л. 24. Тираж 50 экз. Заказ 1. С. 1.
3310 Норильск ул. 50 лет Октября 7.
Отдел ТСО и полиграфии НИИ

icon начало.doc

При изучении раздела у студентов возникают определённые трудности поскольку им необходимо уметь применять основы векторной алгебры дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных решений дифференциальных уравнений вычислений криволинейных и поверхностных интегралов. Особенно необходимо глубокое знание теории поля студентам специальностей ЭП АП и ЭА при изучении теоретических основ электротехники.
При определении электрических полей центральными являются уравнения Максвелла:
где – вектор напряженности электрического поля; – вектор напряженности магнитного поля; – вектор электрической индукции; – вектор магнитной индукции; – вектор плотности тока; r – плотность электрических зарядов; с – скорость света.
Они базируются на таких фундаментальных понятиях как градиент дивергенция и ротор.
Чтобы понимать физическую суть происходящих процессов студенту нужно свободно оперировать понятиями где – оператор Гамильтона. Также студент должен уметь находить поток векторного поля по формуле Остроградского-Гаусса и циркуляцию поля по теореме Стокса (с использованием дивергенции и ротора) а для потенциальных полей с помощью криволинейных интегралов строить потенциал.
Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862) сказал: «Физический смысл формулы состоит в том что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков». Всему этому учат предлагаемые методические указания.
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ ГРАДИЕНТ
И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Всякая числовая функция u = f(x y z) любой точке M(x y z) из некоторой области D ставит в соответствие число z. Множество таких чисел z образует скалярное поле.
Вектор составленный из частных производных числовой функции т.е. будет называться градиентом и обозначаться
В направлении вектора-градиента многие физические процессы максимально ускоряются поэтому этот вектор часто применяется в задачах математического моделирования.
Если взять произвольное направление то производная скалярной функции по этому направлению в точке будет вычисляться по формуле
где – направляющие косинусы.
Причем вектор есть орт век-тора . И тогда легко устанавливается связь производной по направлению с вектором градиентом через скалярное произведение векторов:
Из определения скалярного умножения или
Получаем важный вывод: производная достигает максимального значения в направлении градиента то есть
Действительно при этом то есть .
Если ввести символ-вектор – набла-оператор то с его помощью градиент запишется в виде формулы
1. Силовые линии векторного поля
Множество векторов-градиентов образует векторное поле . Например потенциал электростатического поля образованного точечным зарядом есть скалярная функция где порождающая векторное поле градиентов .
Для графического изображения векторного поля необходимо построить силовые линии которые имеют определенный физический смысл.
Силовой линией векторного поля
называется кривая (рис. 2.1) в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением векторного поля в точке касания . Например для электростатического поля в случае положительного заряда силовые линии – это лучи выходящие из заряда (рис. 2.2).
Пусть – радиус-вектор некоторой силовой линии тогда ее касательный вектор равен или . Из определения силовой линии касательный вектор коллинеарен вектору поля то есть координаты этих векторов пропорциональны:
Получили систему дифференциальных уравнений для нахождения формы силовых линий. Например силовыми линиями магнитного поля образованного переменным током I текущим по прямолинейному проводу являются окружности с уравнениями (рис. 2.3). Действительно если принять провод за ось то по закону Био-Совара напряженность где и тогда .
2. Поток векторного поля
Количество силовых линий проходящих через некоторую поверхность (ориентируемую) в направлении внешней нормали дает нам поток векторного поля . Поток вычисляется с помощью поверхностного интеграла 1-го рода (см. п.4.) по формуле
Заметим что вектор внешней нормали выражается через направляющие косинусы как . При этом где – углы которые составляет вектор с осями координат. Знак «+» выбирается если угол a (или b или g) острый и знак «–» если угол a (или b или g) тупой. Тогда поток векторного поля можно находить через поверхностный интеграл 2-го рода по координатам (см. п.4.) по формуле
Решение. Выбор стороны на поверхности равносилен выбору направления нормального вектора в любой ее точке; для верхней стороны угол всегда острый то есть . Тогда из рисунка видно что – тупой – острый.
Замечание. Правильность выбора знаков направляющих косинусов может быть проверена с помощью формулы
определяющей нормальный единичный вектор к поверхности . В нашем случае следовательно
Так как по условию задачи и
то а значит в формуле (2.5) следует взять верхний знак «+». И тогда оставшиеся направляющие косинусы (так как по условию ) и .
3. Поток векторного поля через замкнутую
поверхность. Дивергенция векторного поля.
Формула Остроградского-Гаусса
Особый интерес для практики представляет случай замкнутой поверхности ограничивающей некоторый объем . Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали будет вычисляться по формуле

icon окончание.doc

6.Выяснить является ли векторное поле а(М) = yzi + + б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(xyz).
Дана функция u(M) = б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 2y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона цилиндра x2+y2=1 отсекаемая плоскостями z=0 и z=2.
Вычислить поток векторного поля а(М) = (3 б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (3 б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (5yz – – 2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M)= и точки М1(–1 2 –2) М2(2 0 1). Вычислить: а) gradu(M1); б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + y + 3z = 6 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида 9 – z = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k) отсекаемая плоскостью z = 0.
Вычислить поток векторного поля а(М) = (y + z)i + + (2 б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = ln(1 + б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 2y + 2z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внутренняя сторона замкнутой поверхности образованной конусом x2 = y2 + z2 и плоскостью x = 1.
Вычислить поток векторного поля а(М) = (y + z)i + + ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (y + + 2z)i + ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (y + + z)i + ( б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = и точки М1(–1 1 1) М2(2 3 4). Вычислить: а) gradu(M1); б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 3y + 2z = 6 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида 1 – z = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k).
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (2y – z)i + + ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = y2zi + + 2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + 2y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности конуса x2 + y2 = z2 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k) отсекаемая плоскостями z = 0 и z = 4.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (y + z)i + + б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (yz – – б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = и точки М1(2 2 2) М2(–3 4 1). Вычислить: а) gradu(M1); б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 3x + 2y + z = 6 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида x2 + y2 = 4 – z (нормальный вектор n которой обра-зует острый угол с ортом k) отсекаемая плоскостью z = 0.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (yz + 1)i + + ( б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = e б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + y + 2z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности конуса x2 + z2 = y2 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом j) отсекаемая плоскостями y = 0 и y = 1.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = zi + ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = 3 б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = 2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие для вузов. Т.2. – М.: Наука 1985. – 560 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. Т.2. – М.: Высш. шк. 1981. – 584 с.
Ефимов А.В. Сборник задач по математике для вузов. Специальные разделы математического анализа Под ред. А.В. Ефимова В.П. Демидовича. – М.: Наука 1981. – 368 с.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2 П.Е. Данко А.Г. Попов Г.Я. Кожевникова. – М. 1997.
Скалярное поле градиент и производная
Силовые линии векторного поля
Поток векторного поля
Поток вектрного поля через замкнутую
поверхность. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса
Циркуляция вектрного поля. Ротор поля.
Потенциальные векторные поля .
Условия потенциальности векторного поля ..
Потенциал поля и его нахождение
Поверхностные интегралы
Поверхностные интегралы 1-го рода
Поверхностные интегралы 2-го рода
Варианты индивидуальных заданий
Библиографический список ..
Корректор О.И. Иванова
Компьютерная верстка Е.П. Грецкая
Темплан НИИ 2003 г. поз.
ЛР № 021341 от 19.05.99.
Подписано в печать Формат 6084 116.
Бум. для копир.-мн.ап. Гарнитура Bookman Old Style. Печать плоская.
Усл.п.л. 30. Уч.-изд.л. 30. Тираж экз. Заказ С.
3310 Норильск ул. 50 лет Октября 7.
Отдел ТСО и полиграфии НИИ

icon продолж.1.doc

Если поток то можно заключить что вытекает больше силовых линий из объема V чем втекает. И поэтому внутри объема V имеются источники питающие поток. Если же то вытекает силовых линий меньше чем втекает то есть внутри объема V существуют стоки поглощающие излишек силовых линий. Очевидно если в объеме V нет источников и стоков то поток векторного поля через замкнутую поверхность равен нулю то есть . Например поток вектора индукции электростатического поля через поверхность содержащую точечный заряд e внутри себя равен а если поверхность S (внутри себя) не содержит точечного заряда то .
Одной из характеристик потока векторного поля является средняя удельная обильность то есть отношение потока вектора через поверхность к объему заключенному внутри S:
Если существует предел средней удельной обильности потока через поверхность сферы малого радиуса e с центром в точке Р когда объем шара стягивается в точку при то этот предел и называется дивергенцией (расходимостью) векторного поля А в точке Р:
Иначе говоря дивергенция вектора – это объемная плотность потока векторного поля в данной точке Р. В декартовой прямоугольной системе координат дивергенция для произвольного вектора записывается таким образом:
Она равна скалярному произведению оператора Гамильтона и вектора поля то есть
Заметим что физическое и математическое понятия дивергенции эквивалентны и эту эквивалентность устанавливает формула Остроградского-Гаусса:
В развернутом виде получаем что поток через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции:
Если то в точке Р имеется источник. Если же то в точке Р – сток.
Поле не содержит источников и стоков если в каждой точке области V следовательно силовые линии такого поля замкнуты и поле называется трубчатым (соленоидальным).
Пример. Дан вектор и плоскость (p) с уравнением . Эта плоскость (p) вместе с плоскостями x = 0 y = 0 z = 0 образует поверхность пирамиды. С помощью формулы Остроградского – Гаусса найти поток поля через поверхность пирамиды в направлении внешней нормали.
Решение. Поток через замкнутую поверхность пира-миды (рис. 2.5) находим по формуле где ди-вергенция
Тогда из рис. 2.5 и 2.6 следует что
Ответ. Поток векторного поля через поверхность пирамиды CAOB равен . Это означает что внутри пирамиды имеются источники питающие поток.
4. Циркуляция векторного поля.
Ротор поля. Теорема Стокса
Работа вектора поля по перемещению жидкости (условно) вдоль силовых линий через замкнутый контур (рис. 2.7) называется циркуляцией векторного поля и обозначается где – касательный вектор к контуру . В прямоугольной системе координат циркуляция выражается через криволинейный интеграл II рода:
Например циркуляция вектора напряженности электромагнитного поля не зависит от формы замкнутого контура и равна постоянному числу если контур охватывает ток I то есть .
Проверить самостоятельно где .
Второй важной характеристикой векторного поля является ротор (вихрь) – это такой вектор проекция которого на любое единичное направление нормали равна плотности циркуляции этого поля:
Абстрактное математическое понятие ротора через оператор Гамильтона следующее: ротор векторного поля равен векторному произведению вектора-набла на вектор то есть
Или в развернутом виде
Физическое и математическое определение ротора эквивалентны. Это устанавливает теорема Стокса: Циркуляция поля по замкнутому контуру совпадает с потоком вихря этого поля через поверхность стягивающую контур (рис. 2.7):
Запишем теорему Стокса в координатной форме:
Следует самостоятельно показать что поток вихря через замкнутую поверхность равен нулю:
Пример. Задан вектор поля и плоскость (p) . Найти циркуляцию поля вдоль линии L пересечения плоскости (p) с координатными плоскостями по формуле Стокса (рис. 2.8).
Решение. Циркуляцию по замкнутому контуру L+ = = ABCA можно вычислить по формуле где в качестве поверхности берём верхнюю сторону треугольника ABC. Для этого находим ротор поля:
Замечание. Циркуляцию можно вычислить и другим способом:
Получили такой же результат что и по формуле Стокса!

icon продолж.2.doc

3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
1. Условия потенциальности векторного поля
Сначала покажем что поле вихрей не содержит источников то есть:
Для этого применим оператора Гамильтона и вычислим . Что и требовалось показать.
Далее заметим что поле градиентов безвихревое то есть:
Действительно что и требовалось получить.
Определение. Поле циркуляция которого по любому замкнутому контуру лежащему в области равна нулю называется потенциальным.
Если тогда по теореме Стокса и . Это означает что потенциальное поле не содержит вихрей.
Задача. Показать что ротор (вихрь) вектора напряженности электромагнитного поля равен нуль-вектору в точках лежащих вне тока I то есть где .
Утверждение. Для того чтобы поле было потенциальным необходимо и достаточно чтобы оно было безвихревым то есть .
Действительно для потенциального поля существует скалярная функция такая что . А тогда по формуле (3.2) то есть – безвихревое.
Обратно пусть тогда по теореме Стокса существует функция такая что . Следовательно потенциал восстанавливаем через криволинейный интеграл 2-го рода по формуле правая часть которого дает работу потенциального векторного поля вдоль контура .
2. Потенциал поля и его нахождение
Пусть скалярная функция – потенциал векторного поля. Найдем дивергенцию поля градиентов где – скалярный оператор Лапласа. Тогда потенциал поля будет удовлетворять уравнению Лапласа
в тех точках поля в которых отсутствуют источники и стоки то есть .
Если же то потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:
где r – плотность источников (стоков) векторного поля.
Пример. Выяснить является ли векторное поле :
)потенциальным (в случае положительного ответа найти его потенциал).
Находим дивергенцию векторного поля:
Следовательно поле соленоидально так как его . Это означает что векторное поле трубчатое – силовые линии замкнуты.
Вычисляем ротор поля:
Следовательно векторное поле потенциально так как . Такое поле безвихревое.
Строим его потенциал т.ч. т.е. или .
Выбираем ломаный контур M0ABM (рис. 3.1) звенья которого параллельны осям координат (предполагается что эта ломаная принадлежит односвязной области).
Итак потенциалом заданного поля является скалярная функция вида
Замечание. В физике обычно находят разность потенциалов . Проверяем вычисления: . Отметим что заданное векторное поле гармоническое так как и .
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Поверхностные интегралы 1-го рода
В случае явного задания поверхности уравнением элемент её площади вычисляется как и тогда двойной интеграл вида будет назы-ваться поверхностным интегралом первого рода где – проекция поверхности S на координатную плоскость XoY.
Заметим что если поверхность S в R3 задаётся параметрическими уравнениями то поверхностный интеграл первого рода записывается таким образом где . При этом элемент площади криво-линейной поверхности равен а площадь всей поверхности .
Легко показать что . Для явного задания поверхности S уравнением получаем и тогда . При этом .
Заменяя и приходим к тому что то есть .
2. Поверхностные интегралы 2-го рода
Интегралы следующего вида называются поверхностными интегралами второго рода:
Складывая почленно получаем
Если же поверхность S задаётся уравнением то есть явно то эти интегралы можно записать следующим образом:
Заметим что вычисление интеграла по кривой поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области. При этом для явно заданной поверхности имеем
В случае неявно заданной поверхности направляющие косинусы вычисляются по формулам
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Дана функция u(M) = б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 3y + z = 3 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида x = 9 – y – z2 (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом i) отсечённая плоскостью x = 0.

icon продолж.3.doc

4.Вычислить поток векторногo поля а(М)=3 б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = zi + +( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (-2 – – yz)i + (-2 – б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M)=5 б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x – y – 2z = -2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона поверхности эллипсоида x2 + y2 + 2z2 = 2.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (3 б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (6 б) соле-ноидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = ln( б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 3x + 3y + z = 3 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона поверх-ности куба ограниченного плоскостями x = 0 y = 0 z = 0 y = z = 1.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (y + + z)i + б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M)= и точки М1(0 0 0) М2(3 –4 2). Вычислить: а) gradu(M1); б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона поверхности сферы x2 + y2 + z2 = 16.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (2y – – z)i + ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (9 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + y + 2z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – верхняя сторона плос-кости x + y + z = 4 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (y + 2z)i + + ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (y + + z)i + ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (–3 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = и точки М1(1 1 1) М2(3 2 1). Вычислить: а) gradu(M1); б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 2y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона поверхности сферы x2 + y2 + z2 = 16 лежащая в первом октанте.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (y + + z)i + (2 б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = ( б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x – 3y + z = 6 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = 1.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (3 б) с помощью формулы Стокса.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x – y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – верхняя часть плоскости x + y + z = 1 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (2y + z)i + + ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (8 б) соле-ноидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).

icon продолж.4.doc

Дана функция u(M) = 3 б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x – y – 2z = -2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – наружная поверхность цилиндра x2 + y2 = 1 отсечённая плоскостями z = 0 z = 5.
Вычислить поток векторногоo поля а(М) = ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (4 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = 5 б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 2y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида z = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k) вырезаемая цилиндром x2 + + y2 = 1.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (2y – – z)i + ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (7 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M)= и точки М1(1 2 2) М2(–3 2 –1). Вычислить: а) gradu(M1); б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 2y + 2z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона нижней половины сферы x2 + y2 + z2 = 9.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (y – z)i + + (2 б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (2z – – б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = y2z – 2 б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 3x + 2y + 2z = 6 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности конуса z2 = = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k) лежащая между плоскостями z = 0 z = 1.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (2 б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (10 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида z = = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k) отсекаемая плоскостью z = 2.
Дана функция u(M) = ln(1 + б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + y + z = 4 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности гиперболоида x2 + y2 = z2 + 1 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k) отсекаемая плоскостями z = 0 z =.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = 4 б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (5 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).

icon продолж.5.doc

2.Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 4y + 2z = 8 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = 1 лежащая в первом октанте.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (2z – б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = 4zi + + ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = ln( б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x – 2y + 2z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида z = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k) отсекаемая плоскостью z = 4.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = 4zi + ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (2z – – б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (12 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 3x – 2y + 2z = 6 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности конуса z2 = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k) отсекаемая плоскостями z = 0 и z = 3.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = 4 б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (2x + + 5yz)i + (2y + 5xz)j + (2z + 5xy)k: а) потенциальным: б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + 3y + z = 6 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида z = 3 – x2 – y2 (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k) отсекаемая плоскостью z = 0.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = ( б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (3 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = 3 б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x – y + z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности конуса x2 + z2 = y2 (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом j) отсекаемая плоскостями y = 0 y = 1.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (2 б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = б) с помощью формулы Стокса.
Дана функция u(M) = и точки М1(–5 0 2) М2(2 4 –3). Вычислить: а) gradu(M1); б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + y + 2z = 2 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – часть поверхности параболоида z = x2 + y2 (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k) отсекаемая плоскостью z = 1.
Вычислить поток векторногo поля а(М) = (2y – z)i + + ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (y – – z)i + (2 б) с помощью формулы Стокса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (4 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости x + 2y + 2z = 4 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внутренняя сторона цилиндра x2 + y2 = 4 отсекаемая плоскостями z = 0 и z = 1.
Вычислить поток векторного поля а(М) = (2z – б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Выяснить является ли векторное поле а(М) = (yz – – 2 б) соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U(x y z).
Дана функция u(M) = ( б) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона замкнутой поверхности образованной параболоидом 3z = x2 + y2 и полусферой z =.
Вычислить поток векторного поля а(М) = ( б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода где – часть плоскости 2x + 2y + z = 4 отсечённая координатными плоскостями.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода где – внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = 4.
Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = (2y + + z)i + ( б) с помощью формулы Стокса.

icon титул.doc

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Министерство образования Российской Федерации
Кафедра высшей математики
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Методические указания и типовые расчеты
Векторный анализ. Теория поля: Метод. указ. и типовые расчеты Норильский индустр. ин-т. – Норильск 2003. –48 с.
В.И. Потапов доцент;
С.П. Божанова ст. преподаватель
Методические указания предназначены для студентов технических специальностей всех форм обучения содержат основные сведения и индивидуальные задания по разделу «Векторный анализ. Теория поля»; составлены согласно примерной программе дисциплины «Математика» и государственного образовательного стандарта.

icon Типовые расчеты по теме интегралы.doc

Типовые расчеты по теме: «Неопределенный интеграл»
Вычислить определенные интегралы:
Определить длину дуги кривой от до .
Определить объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линией
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Определить площадь фигуры ограниченной линией .
Определить объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линиями
Определить длину дуги кривой между точками пересечения с осью ОХ.
Определить объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линиями .
Определить площадь фигуры ограниченной линией
Определить длину всей кривой
Определить площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой отсеченной прямой .
Пользуясь признаком сравнения исследовать на сходимость несобственный интеграл.
Найти неопределенные интегралы:
Фигура лежащая в 1-ой четверти и ограниченная линиями вращается вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.
Найти длину всей кривой .
Исследовать на сходимость интеграл.
Определить длину дуги линии от до .
Найти площадь фигуры ограниченной кривыми () .
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .
Найти объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линиями от до .
Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности .
а); б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ;
Определите площадь фигуры ограниченной линией .
Найти объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ трапеции лежащей над осью ОХ и ограниченной линией от .
Найти площадь фигуры лежащей в (1 чет.) и ограниченная линиями .
Найти объем тела ограниченного поверхностью получающейся при вращением вокруг оси ОХ линии от .
Вычислить длину дуги кривой между точками её пересечения с осью ОХ.
Найти площадь фигуры ограниченной линией заданной в полярных координатах уравнением .
Вычислить определенные интегралы: а); б) .
Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ кривой
Найти длину дуги линии .
Найти площадь фигуры ограниченной кардиоидой и окружностью .
Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси ОY фигуры ограниченной полуэллипсом и параболой .
Вычислить длину дуги кривой от t=0 до t=ln .
Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции ограниченной линией с основанием .
Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной кривыми и .
Найти длину дуги кривой заданной уравнениями .
Вычислить площадь ограниченную кривыми и .
Найти объем тела образованного при вращении вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линиями .
Вычислить площадь общей части фигур ограниченных кривыми и .
Найти объем тела образованного при вращении вокруг оси ОХ фигуры ограниченной окружностью параболой и осью ОХ.
Вычислить площадь фигуры ограниченной линией .
Найти объем тела полученного вращением вокруг оси эллипса .
Определить длину всей дуги кривой .
Вычислить определенные интегралы: а) ; б) .
Найти площадь поверхности тела образованного вращением одной арки циклоиды около оси ОХ.
Найти объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной одной аркой циклоиды .
Вычислить площадь фигуры ограниченной параболой линиями .
Определить длину линии .
а) ; б) ; в) ; г) ;
Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной прямой и параболой .
Определить длину дуги кривой .
Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной линиями .
Вычислить площадь фигуры ограниченной улиткой Паскаля .
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и .
Вычислить длину дуги параболы и .
Вычислить площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой ;.
Найти объем тела образованного при вращении вокруг оси ОХ фигуры ограниченной кривыми .
Вычислить длину дуги кривой .
Найти объем тела образованного при вращении вокруг прямой фигуры ограниченной линиями ().
Вычислить объем тела образованного при вращении вокруг оси ОУ фигуры ограниченной параболами .
Найти длину дуги кривой если .
Вычислить площадь заключённую между параболой осью ОУ и касательной к этой параболе в точке (1; 1).
Вычислить объем тела образованного вращением кривой вокруг полярной оси.
up Наверх