Исследование параметров радиотехнических цепей

40.pdf

Спектральный анализ сигналов 7
1 Одиночный импульсный сигнал 7
2 Периодическая последовательность импульсов 10
3 Дискретизированные сигналы 15
Модулированные сигналы 17
1 Амплитудная модуляция гармоническим сигналом 17
2 Амплитудная модуляция периодическим сигналом 21
Преобразование сигналов в радиотехнических цепях 24
1 Спектральный анализ линейных стационарных систем 24
2 Спектральный анализ нелинейных систем 28
3 Согласованный фильтр 32
Библиографический список 35
Курсовой проект посвящен исследованию параметров радиотехнических
цепей и сигналов в них.
В первой главе проведен спектральный анализ: одиночного импульсного
сигнала периодической последовательности импульсов и дискретизированного сигнала.
Во второй главе рассмотрены амплитудно-модулированные сигналы.
Проведен спектральный анализ амплитудной модуляции гармоническим сигналом амплитудной модуляции периодическим сигналом.
Третья глава посвящена преобразованию сигналов в радиотехнических
цепях. Проведен спектральный анализ линейных стационарных систем и нелинейных систем. Рассчитана и построена импульсная характеристика
фильтра согласованного с одиночным импульсом и сигнал на входе и выходе.
Спектральный анализ сигналов
1 Одиночный импульсный сигнал
Рассчитайте спектральную плотность одиночно- U1
го импульса u(t) параметры которого приведены в
Постройте графики амплитудного и фазового
спектра. Определите ширину спектра.
Для математического описания прямой на участке 0 ÷ 1 используем вывод уравнения прямой по двум точкам:
где A(x1 y1) = A(0 0) и B(x2 y2) = B(1 U2) – точки принадлежащие прямой.
Тогда одиночный сигнал (рис. 1.1) запишется в виде:
t ( ( t) ( t 1 ) ) + U1 ( ( t 1 ) ( t 2 ) )
Рисунок 1.2 - Временная диаграмма одиночного сигнала
Для того чтобы построить амплитудно-частотный (АЧС) и фазочастотный (ФЧС) спектры одиночного сигнала x0(t) найдем его спектральную
плотность по формуле (1.3). Спектральная характеристика одиночного сигнала имеет смысл плотности амплитуд измеряемой в BГц.
Формула (1.3) осуществляет прямое преобразование Фурье для сигнала
Для математического вывода соотношения используем возможности
f 19 f cos f + 6 f cos f
Таким образом спектральная характеристика имеет вид
Модуль спектральной функции амплитудно-частотный спектр (АЧС)
S ( f ) = (ReS ( f )) + (ImS ( f ))
а ее аргумент фазо-частотный спектр (ФЧС)
Arg (S ( f ) ) = arctg
( f ) = Arg (S ( f ) ) = arctg
106 cos f + 19 f sin f 6 f sin f 13 106
106 cos 5 + 19 f sin
Графики амплитудно-частотного спектра и фазо-частотного спектра
приведены соответственно на рис. 1.3 и 1.4 соответственно.
f + 19 f sin f 6 f sin f 1.3 106
S1 ( f ) := Re_S ( f ) + i Im_S ( f )
×10 4 ×10 3 ×10 2 ×10 1 ×10
×10 3 ×10 4 ×10 5 ×10
Рисунок 1.3 - АЧС одиночного сигнала
×10 4 ×10 3×10 2 ×10 1 ×10 60 0
Рисунок 1.4 - ФЧС одиночного сигнала
На рис. 1.3 построены АЧС S1( f ) - для аналитически полученного соотношения и S ( f ) - для соотношения при непосредственном интегрировании заданного сигнала. Видно что кривые полностью совпадают недостатком аналитически полученного соотношения является наличие провала при
f = 0 что исключается при прямом численном интегрировании.
АЧС одиночного сигнала по уровню 01 согласно рис. 1.3 составляет
f в = 150 10 3 f = 2 f в = 300 10 3 Гц.
2 Периодическая последовательность импульсов
Рассчитайте и постройте временные диаграммы и графики амплитудного и фазового спектра сигнала образованного периодическим повторением
импульса u(t) заданного в п. 1.1 и описываемого выражением
u(t nT ) . Период Т приведен в табл. 1.
Постройте (с соблюдением единого масштаба по обеим осям координат)
временные диаграммы первых трех гармонических составляющих сигнала а
также суммы этих гармоник.
Для того чтобы выявить влияние параметров сигнала на спектр постройте графики спектров при условии что длительность импульса уменьшена в 2 раза. Проделайте также расчет для случая при котором сохранена
исходная длительность импульса но в 2 раза уменьшен период. Опишите
влияние изменения параметров сигнала на его спектр.
На рис. 1.5 приведена временная диаграмма периодического сигнала.
Рисунок 1.5 - Временная диаграмма периодического сигнала
Графики амплитудного и фазового спектра сигнала образованного периодическим повторением импульса u(t) заданного в п. 1.1 и описываемого
u(t nT ) приведены на рис. 1.6 и 1.7.
Рисунок 1.6 – Амплитудный спектр
периодического сигнала
Рисунок 1.7 – Фазочастотный спектр
Амплитудный спектр периодического сигнала с длительностью импульсов в два раза меньше приведены на рис. 1.11.
Рисунок 1.11 - Амплитудный спектр периодического сигнала
с уменьшенной в два раза длительностью импульсов
Амплитудный спектр периодического сигнала с периодом повторения
импульсов в два раза меньше приведен на рис. 1.12.
Рисунок 1.12 - Амплитудный спектр периодического сигнала
с уменьшенным в два раза периодом повторения импульсов
Выводы. Амплитудный спектр периодического сигнала общей длительностью 16 мкс и с периодом повторения 32 мкс по уровню 01 составляет
(рис. 1.3) 300 кГц; при уменьшении длительности импульсов в два раза с сохранением периода повторения амплитудный спектр по уровню 01 (рис.
11) увеличивается в 2 раза и составляет 600 кГц; при общей длительности
импульсов 8 мкс и уменьшении периода повторения в два раза до 16 мкс амплитудный спектр по уровню 01 (рис. 1.12) составляет 600 кГц.
Таким образом при уменьшении периода повторения импульсов амплитудный спектр сигнала не изменится; при уменьшении же длительности импульсов в два раза и сохранении периода повторения амплитудный спектр
сигнала увеличивается в два раза. Отличия наблюдаются лишь при изменении периода повторения уменьшение которого приводит к увеличению в два
раза расстояния между отсчетами гармоник в спектре сигнала.
Построим временные диаграммы первых трех гармонических составляющих сигнала периодического сигнала общей длительностью 16 мкс и с
периодом повторения T = 32 мкс.
t ( ( t ) ( t 1 ) ) + U1 ( ( t 1 ) ( t 2 ) )
S01 ( t) := A21 cos 2 t φ2 1 S02 ( t ) := A22 cos 2 t φ2 2
S03 ( t) := A23 cos 2
Рисунок 1.13 - Временные диаграммы
первых трех гармонических составляющих сигнала
Выводы. Из построенных графиков для первых трех гармоник и сигнала
в виде суммы этих гармоник с постоянной составляющей видно что гармоники представляют собой синусоидальные колебания амплитуды которых
уменьшаются с увеличением номера гармоники с различными начальными
фазами. Видна тенденция формирования первоначального импульса (малиновый цвет рис. 1.13) представленного на рис. 1.1 с периодом повторения 32
мкс и общей длительностью 16 мкс. Наблюдается удовлетворительное сходство с первоначальным периодически повторяющимся сигналом. Для более
похожей формы исходного сигнала необходимо использование большего
числа гармоник сигнала.
3 Дискретизированные сигналы
Сигнал u(t) заданный в п. 1.1 подвергается дискретизации по времени.
Определите число отсчетов необходимое для полного задания сигнала. Выберите частоту дискретизации и рассчитайте интервал дискретизации. Постройте временную диаграмму дискретизированного сигнала. Рассчитайте и
постройте график амплитудного спектра дискретизированного сигнала.
Верхняя частота спектра одиночного треугольного импульса как видно
из п. 1.1 составляет 300 кГц. Следовательно для дискретизации по времени
используем дельта импульсы отстоящие друг от друга на расстояние
Число отсчетов необходимое для полного задания сигнала определится
где - длительность импульса;
Td - временной интервал между отсчетами.
Смоделируем данный дискретизированный
rect ( t) := ( ( t + ti ) ( t ti ) )
x ( t) := d ( t ) x0( t )
Рисунок 1.14 – Дискретизированный заданный одиночный сигнал
Рисунок 1.15 – Амплитудно-частотный спектр
дискретизированного одиночного сигнала
Рисунок 1.16 – Фазо-частотный спектр
Выводы. Из построенных графиков амплитудно-частотного и фазочастотного спектра дискретизированного одиночного импульса видно что
спектр дискретизированного сигнала представляет собой последовательность
спектров исходного непрерывного сигнала сдвинутых один относительно
другого на величину частоты дискретизации Fd =
и умноженных на велиTd
Модулированные сигналы
1 Амплитудная модуляция гармоническим сигналом
Запишем аналитическое выражением амплитудно-модулированного колебания e(t) закон модуляции которого определяется гармоническим моду 2 t
лирующим сигналом (t ) = U 1 cos
то есть a (t ) = А0 + k (t ) .
По 40 варианту амплитуда А0 = 10 мВ частота несущего колебания f0 =
0 МГц коэффициент передачи амплитудного модулятора kАМ = 088.
Для большей наглядности графика модулированного сигнала выбераем
период модулирующего сигнала на порядок меньше несущей частоты
s1 ( t) := U1 cos 2
a ( t) := A0 + k s1 ( t)
s1 ( t) := a ( t) cos ( 2 f0 t)
Рисунок 2.1 –Амплитудно-модулированный сигнал
Коэффициент модуляции (глубина модуляции) М в общем случае определяется как отношение
где max S (t ) - максимальное значение модуля сигнала s(t).
В связи с тем что амплитуда модулирующего сигнала имеет большую
амплитуду наблюдается перемодуляция (см. рис. 2.1).
Рассчитаем амплитудный (рис. 2.2) и фазовый (рис. 2.3) спектр радиосигнала по формулам [6 стр. 17].
a2n := s1 ( t) cos 2
b2 n := s1 ( t) sin 2
Рисунок 2.2 – Амплитудно-частотный спектр АМ сигнала
Рисунок 2.3 – Фазо-частотный спектр АМ сигнала
Амплитудно-модулированный сигнал с частотой огибающей увеличенной в два раза построен на рис. 2.4 а амплитудно-частотный и фазочастотный чпектры соответственно на рис. 2.5 и 2.6.
Рисунок 2.4 - Амплитудно-модулированный
огибающей увеличенной в два раза
Рисунок 2.5 –Амплитудно-частотный спектр
Рисунок 2.6 – Фазо-частотный спектр
Выводы. При увеличении частоты модулирующего сигнала в два раза
происходит увеличение полосы спектра сигнала в два раза. При использовании гармонического сигнала в качестве модулирующего сигнала спектр такого амплитудно-модулированного сигнала содержит пять спектральных составляющих - одну центральную на частоте высокочастотного заполнения (в
данном случае на частоте nT = 400 МГц) и по две боковые составляющие
отстоящие симметрично в обе стороны от центральной на расстоянии равном частоте модулирующего низкочастотного сигнала. Большее количество
боковых составляющих обусловлено сильной перемодуляцией исходного
сигнала (см. рис. 2.1).
Графически амплитудно-модулированный сигнал представляет собой
синусоидальный сигнал в нашем случае частотой 400 МГц и амплитудой
мВ который периодически меняет свою амплитуду симметрично относительно горизонтальной оси сигнала с частотой равной частоте модулирующего сигнала. Размах сигнала при этом принимает значения от 28 мВ до 5
мВ. Огибающая сигнала отличается от синусоидальной формы в связи с перемодуляцией.
При увеличении частоты модулирующего сигнала величина изменения
амплитуды сохраняется но периодичность уменьшения и увеличения сигнала возрастает в два раза. Спектр же сигнала также при этом увеличивается в
два раза точнее боковые составляющие относительно центральной на частоте 400 МГц отстоят на расстоянии в два раза большее чем в первом случае.
2 Амплитудная модуляция периодическим сигналом
Аналитическое выражение радиосигнала e(t) закон модуляции которого
определяется заданным в п. 1.2 периодическим сигналом s(t) так что
a (t ) = А0 + kам (s (t ) S0 ) где S0 – постоянная составляющая сигнала s(t) приведена ниже.
Рисунок 2.7 - Аналитически заданный периодический сигнал
a ( t) := A0 + k ( s ( t) S0)
s1 ( t) := a ( t ) cos ( 2 f0 t )
Рисунок 2.8 - Сигнал амплитудно-модулированный заданным
периодическим сигналом
Коэффициент модуляции (глубина модуляции)
Амплитудный и фазовый спектры радиосигнала построены на рис. 2.9 и
Рисунок 2.9 – Амплитудно-частотный спектр
Рисунок 2.10 – Фазо-частотный спектр
Выводы. Полученный амплитудно-частотный спектр показывает что
имеется центральная составляющая соответствующая частоте ВЧ заполнения (nT = 400 МГц). Справа и слева наблюдается симметричная картина распределения спектральных составляющих. По форме спектральные составляющие повторяют спектр периодического сигнала (рис. 1.6).
Амплитудно-модулированный сигнал представляет собой высокочастотный сигнал с частотой 400 МГц амплитуда которого линейно увеличивается в промежутке времени от 0 до 5 мкс с 4 мВ до 15 мВ затем скачком возрастает от 15 мВ до 19 мВ и держится на уровне 19 мВ до 16 мкс затем скачком убывает до 4 мВ держится на уровне 4 мВ до 32 мкс и весь этот процесс
повторяется с периодом 32 мкс. Наблюдается асимметрия АМ сигнала относительно нулевого уровня в связи с перемодуляцией сигнала так как коэффициент модуляции (глубина модуляции) M = 176 .
Преобразование сигналов в радиотехнических цепях
1 Спектральный анализ линейных стационарных систем
Рассчитаем и построим амплитудночастотную и фазочастотную характеристики
заданной линейной цепи (рис. 3.1). Параметры
цепи приведены в табл. 3.1.
Расчеты и построения проведем в программе MathCad.
Рисунок 3.1 – Схема и
передаточная функция
режекторного фильтра
№ Схема на рис. 2 R Ом L Гн
Цепь является делителем напряжения. В
качестве одного из сопротивлений выступает
параллельный колебательный контур у которого на резонансной частоте fp =
61 Гц будет сопротивление большого номинала стремящийся к бесконечности по схеме добротность контура высокая так как в самом контуре нет
дополнительного сопротивления. Таким образом на резонансной частоте
выходное напряжение будет достаточно малой величиной. В связи с этим
комплексный коэффициент передачи рассчитаем как отношение выходного
комплексного сопротивления на входное комплексное сопротивление. АЧХ и
ФЧХ цепи приведены на рис. 3.2 и 3.3 соответственно.
Рисунок 3.2 – Амплитудно-частотная характеристика цепи
Рисунок 3.3 – Фазо-частотная характеристика цепи
Полоса пропускания заданной цепи определяется из условия обеспечения коэффициента передачи 0707 от максимального значения или ± 45° по
ФЧХ. Полоса подавления цепи составляет 2f = 113 – 1 = 013 Гц.
Рассчитаем спектр на выходе линейной цепи при подаче на ее вход периодической последовательности импульсов (п. 1.2).
Рисунок 3.4 – Амплитудно-частотный спектр
периодического сигнала на входе цепи
Рисунок 3.5 - Фазо-частотный спектр периодического сигнала
Sвых ( f ) := K ( f ) Sx ( f )
Рисунок 3.6 – Амплитудно-частотный спектр выходного сигнала
Рисунок 3.7 - Фазо-частотный спектр выходного сигнала
uвых ( t) := Re Sвых ( t) e
Рисунок 3.8 – Форма выходного сигнала
Выводы. Как видно из рис. 3.8 форма выходного сигнала будет точно повторять форму входного сигнала. Это связано с тем что режекторный фильтр подавляет полосу частот от 1 Гц до 113 Гц а в эту полосу не попадает ни одна из гармоник сигнала.
2 Спектральный анализ нелинейных систем
Записать аналитически и построить функцию аппроксимации вольтамперной характеристики i (u ) = a0 + a1u + a2u 2 + a3u 3 + a4u 4 + a5u 5 нелинейного
элемента с использованием степенной аппроксимации. Значения коэффициентов ряда даны в табл. 3.2.
Вычислить по амплитудному критерию и заданному уровню активную
ширину спектра сигналов на входе нелинейного элемента.
Рассчитать и построить амплитуды и частоты гармонических составляющих коллекторного тока. Рассчитайте и постройте временные диаграммы
сигналов на выходе нелинейного элемента.
График функции ВАХ нелинейного элемента приведен на рис. 3.9.
I ( U) := a0 + a1 U + a2 U + a3 U + a4 U + a5 U
Рисунок 3.9 - ВАХ нелинейного элемента
Для эффективного воздействия на ВАХ нелинейного элемента необходимо чтобы входной сигнал имел значительную амплитуду. В случае же
сигналов промоделированных в предыдущих разделах амплитуды сигналов
составляют порядка мВ и при воздействии такого напряжения ВАХ в окрестности воздействия ВАХ будет иметь линейный вид и искажений вносимых
нелинейной системой не будет видно. Анализируя ВАХ нелинейного элемента в качестве воздействующего сигнала используем синусоидальный сигнал
амплитудой 1 В с постоянной составляющей 2 В.
Форма периодического сигнала приведена на рис. 3.10. Амплитудночастотный спектр представлен на рис. 3.11 а фазо-частотный спектр на рис.
x ( t) := 2 + sin ( t)
Рисунок 3.10 – Форма периодического сигнала
x ( t) cos 2 n t dtb n :=
Рисунок 3.11 - Амплитудно-частотный спектр входного сигнала
Рисунок 3.12 – Фазо-частотный спектр входного сигнала
Временная диаграмма на выходе «нелинейного» элемента построенная
по ВАХ нелинейного элемента приведена на рис. 3.13.
i ( t) := a0 + a1 x ( t) + a2 x ( t) + a3 x ( t) + a4 x ( t) + a5 x ( t)
Рисунок 3.13 - Временная диаграмма на выходе нелинейного элемента
построенная с помощью ВАХ
Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры тока в нелинейной
системе представлены соответственно на рис. 3.14 и 3.15.
i ( t ) cos 2 n t dt a0 :=
i ( t ) sin 2 n t dt
Рисунок 3.14 – Амплитудно-частотный спектр тока
на нелинейном элементе
Рисунок 3.15 – Фазо-частотный спектр тока на нелинейном элементе
Выводы. При воздействии синусоидального сигнала амплитудой 1 В с
постоянной составляющей 2 В на нелинейную систему с ВАХ
i (u ) = 8 + 65 u + 54 u 2 + 4 u 3 возникает ток синусоидальной формы с небольшим отклонением от синусоиды в нижней части сигнала (рис. 3.13). При
воздействии такого напряжения на нелинейный элемент с заданной ВАХ
возникает ток в спектр которого содержится постоянная составляющая (нулевая гармоника) амплитудой 893 А первая гармоника амплитудой 791 А
вторая гармоника амплитудой 147 А (рис. 3.14). Появление гармоник высшего порядка и приводит к искажению формы выходного тока от синусоидальной формы в нижней части.
3 Согласованный фильтр
Рассчитать и построить импульсную характеристику фильтра согласованного с импульсом со следующими параметрами: U1 = 19 мВ U2 = 13 мВ
= 5 мкс 2 = 16 мкс. Вид сигнала представлен на рис. 3.16.
Рисунок 3.16 – Форма входного сигнала
Импульсная характеристика фильтра находится по следующей формуле:
h ( t ) = U ( t0 t ) .
Сделаем замену t0 = :
Из теории фильтров известно что импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала
которая располагается в зеркальном порядке вдоль оси времени и смещена
относительно сигнала на отрезок t0 .
( t t3) ( ( t t3) ( t t1 t3) ) U1 ( ( t t1 t3) ( t t2 t3) )
Рисунок 3.17 - Импульсная характеристика
Рассчитаем и построим сигнал на выходе согласованного фильтра.
Выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой
свертку двух функций – входного сигнала и импульсной характеристики системы (интеграл Дюамеля)
sВЫХ (t ) = U ( )h (t )d .
Интеграл можно заменить суммой отсчётов. Формула будет иметь вид
sВЫХ (t ) = U ( )h (t ) .
Выходной сигнал приведен на рис. 3.18.
Рисунок 3.18 – Форма выходного сигнала
В результате выполнения курсовой работы проработаны вопросы спектрального представления одиночных и периодических сигналов использования теоремы Котельникова прохождения сигналов через линейные цепи
импульсные переходные и частотные характеристики линейных стационарных цепей амплитудно-фазовая характеристика метод интеграла Дюамеля.
Амплитудно-частотный и фазочастотный спектры одиночного импульсного сигнала являются непрерывными функциями от частоты. Для периодической последовательности импульсов спектр является дискретным причем
уменьшение длительности импульсов периодического сигнала в два раза
приводит к увеличению ширины спектра также в два раза. При уменьшении
периода повторения импульсов амплитудный спектр сигнала не изменится
уменьшится лишь амплитуда отсчетов и спектральные составляющие будут
отстоять на расстояния в два раза большее.
Проведено разложение в ряд Фурье периодического заданного импульсного сигнала и построены временные диаграммы трех гармонических составляющих суммарного сигнала и первоначального. Гармоники представляют
собой синусоидальные колебания амплитуды которых уменьшаются с увеличением номера гармоники с различными начальными фазами.
Проведен спектральный анализ амплитудной модуляции гармоническим
сигналом амплитудной модуляции периодическим сигналом. Для амплитудной модуляции при увеличении частоты модулирующего сигнала в два раза
происходит увеличение полосы спектра сигнала в два раза.
Выполнен спектральный анализ линейных стационарных систем и нелинейных систем рассчитана и построена импульсная характеристика для
фильтра согласованного с одиночным импульсом и построена форма сигнала на входе и выходе.
При прохождении периодической последовательности импульсов через
режекторный фильтр с полосой 013 Гц и центральной частотой 106 Гц выходной сигнал повторяет по форме входной. Это связано с тем что режекторный фильтр подавляет полосу частот от 1 Гц до 113 Гц а в эту полосу не попадает
ни одна из гармоник сигнала.
Вольт-амперная характеристика нелинейного вида приводит к появлению высших гармоник и форма тока искажается.
Построена форма выходного сигнала на выходе фильтра согласованного
с одиночным импульсом заданной формы. Наибольший уровень выходного
сигнала будет наблюдаться при t = 18 мкс.
Библиографический список
Теория электрической связи: методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 201100 «Радиосвязь радиовещание
и телевидение» Сост. Р. Г. Хафизов. Н. А. Васильева. – Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет 2007.
Бронштейн И. Н. Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – 13-е изд. исправленное. – М.: Наука Гл. ред. физ.мат. лит. 1986.
Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов по
спец. «Радиотехника». – 3-е изд. перераб. и доп. – М.: Высш. шк. 2000.
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. – 4-е изд. перераб. и доп. – М.: Радио и связь 1986.
Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учебное пособие для радиотехн. спец. вузов. – М.: Высш. шк. 1987.
Каганов В. И. Радиотехника + компьютер + MathCad. - М.: Горячая линия – Телеком 2001.