Решение краевой задачи методом автоматизированного проектирования

OAPR hw1.docx

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
62107866677ИСПРАВЛЕННЫЙ ВАРИАНТ
ИСПРАВЛЕННЫЙ ВАРИАНТ
“Основы автоматизированного проектирования”
Энергетический метод
TOC o "1-2" h z u Исходные данные: PAGEREF _Toc449260789 h 3
Формулировка краевой задачи. PAGEREF _Toc449260790 h 4
Построение точного решения краевой задачи PAGEREF _Toc449260791 h 9
Преобразование краевой задачи в вариационную. PAGEREF _Toc449260792 h 10
Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации. PAGEREF _Toc449260793 h 14
Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями. PAGEREF _Toc449260794 h 19
Требуется исследовать решение задачи о продольной деформации прямолинейного стержня закрепленного на пружине с приложенными по его длине распределенными нагрузками и сосредоточенными силами.
Рисунок 1. Условие задачи.
Формулировка краевой задачи.
Запишем дифференциальные уравнения равновесия для каждого участка прямолинейного стержня
Рисунок 2. Система сил действующих на стержень
Т.к. после приложения сил стержень займет новое положение равновесия то каждое сечение стержня также будет находиться в равновесии.
Запишем граничные условия и условия стыковки для каждого участка
N0=Fупр(граничное условие)
N-l=F1*+N+(l) (условие стыковки)
N-2l=F2*+N+(2l)(условие стыковки)
N3l=F3*(граничное условие)
Также для сечений C и D нужно добавить условия стыковки для перемещений:
uIl=uIIl и uII2l=uIII2l
Тогда искомая система будет выглядеть следующим образом:
EF uI''x+q=0EF uII''x=0EF uIII''x+q=0N0=FупрN-l=F1*+N+luIl=uIIlN-2l=F2*+N+(2l)uII2l=uIII2lN3l=F3*
После некоторых преобразований проведенных с учетом того что Nx=EF u'(x) а также того что Fупр=c uI(0) получаем
EF uI''x+q=0 EF uII''x=0EF uIII''x+q=0EF uI'(0)=c uI(0) EF uI'(l)=F1*+EF uII'(l)uIl=uIIlEF uII'(2l)=F2*+EF uIII'(2l)uII2l=uIII2lEF uIII'(3l)=F3*
uI''x+qEF=0 uII''x=0 uIII''x+qEF=0 uI'0=cEF uI0 (1а) uI'l=F1*EF+uII'l (1б)uIl=uIIl (1в) uII'2l=F2*EF+uIII'2l (1г)uII2l=uIII2l (1д)uIII'3l=F3*EF (1е)
Проинтегрируем первые три уравнения системы (1) чтобы найти функции перемещений точек стержня:
uIx=-qx22EF+C1x+C2 0≤x≤luIIx=C3x+C4 l≤x≤2luIIIx=-qx22EF+C5x+C6 2l≤x≤3l
Производные этих перемещений
uI'x=-qx EF+C1 0≤x≤luII'x=C3 l≤x≤2luIII'x=-qxEF+C5 2l≤x≤3l
Используя уравнения (1а) – (1е) найдем константы Ci системы (2):
-qlEF+C1=F1*EF+C3 -1+C1=8+C3 C1-C3=9
-ql22EF+C1l+C2=C3l+C4 -l2+C1-C3 l+C2=C4 C4-C2=8.5l
uII'2l=F2*EF+uIII'2l
C3=F2*EF-q2lEF+C5 C5-C3=1
C32l+C4=-q2l22EF+C52l+C6 C4-C6=0
-q3lEF+C5=F3*EF -3+C5=-8 C5=-5
C1=3C2=0.6 lC3=-6C4=9.1 lC5=-5C6=9.1 l
С учетом найденных констант окончательное решение для функций перемещений точек стержня будет выглядеть следующим образом:
uIx=-qx22EF+3x+0.6 l 0≤x≤luIIx=-6x+9.1 l l≤x≤2luIIIx=-qx22EF-5x+9.1 l 2l≤x≤3l
Для графического отображения этого решения целесообразно перейти к безразмерным величинам:
uIx=-12x2+3x+0.6 0≤x≤1uIIx=-6x+9.1 1≤x≤2uIIIx=-12x2-5x+9.1 2≤x≤3
Определение внутренних усилий в стержне:
NIx=EF uI'x=EF-xl+3 0≤x≤lNIIx=EF uII'x=-6 EF l≤x≤2lNIIIx=EF uIII'x=EF-xl-5 2l≤x≤3l
NIx=NIxEF=-x+3 0≤x≤1NIIx=NIIxEF=-6 1≤x≤2NIIIx=NIIIxEF=-x-5 2≤x≤3
Построение точного решения краевой задачи
Графическая интерпретация решений полученных для перемещений (рис. 3) и внутренних усилий (рис. 4)
Рисунок 3. График перемещений.
Рисунок 4. График внутренних усилий.
Преобразование краевой задачи в вариационную.
Запишем условие аннулирование невязки для трёх участков используя сильное вариационное уравнение:
lEFuI''+quIdx+2llEFuIIuIIdx+2l3lEFuIII''+quIIIdx=0
lEFuI''uIdx+2llEFuIIuIIdx+2l3lEFuIII''uIIIdx+0lquIdx+2l3lquIIIdx=0
Возьмем по частям первые три интеграла:
lEFuI''uIdx=0lEFuIduI'=EFuI'uIl 0-0lEFuI'uI'dx
l2lEFuII''uIIdx=l2lEFuIIduII'=EFuII'uII2l l-l2lEFuII'uII'dx
l3lEFuIII''uIIIdx=2l3lEFuIIIduIII'=EFuIII'uIII3l 2l-2l3lEFuIII'uIII'dx
Подставим выражения (а) (б) и (в) в уравнение (1’)
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx++EFuI'luIl-EFuI'0uI0+EFuII'2luII2l-EFuII'luIIl++EFuIII'3luIII3l-EFuIII'2luIII2l=0
Из кинематических условий на границах участков следует
uIl=uIIl uII2l=uIII2l
На основании выражений (3) и силовых условий на границах участков можно записать
EFuI'luIl=F1uIl+EFuII'luIl
EFuII'2luII2l=F2uII2l+EFuIII'2luII2l
EFuIII'3luIII3l=F3uIII3l
Подставляя выражения (г) – (ж) в уравнение (2) получим
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx++F1uIl+EFuII'luIl-cuI0uI0+F2uII2l+EFuIII'2luII2l-
-EFuII'luIIl+F3uIII3l-EFuIII'2luIII2l=0
Принимая во внимания равенства (3) можно заметить что в уравнении (2) некоторые слагаемые взаимно уничтожаются. Тогда после некоторых преобразований получим
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx--cuI0uI0+F1uIl+F2uII2l+F3uIII3l=0
Уравнение (4) также называется слабым вариационным уравнением которое по сути выражает принцип возможных перемещений.
Используя правила вариационного исчисления запишем
-0lEFuI'uI'dx=-0lEF12uI'2dx=-120lEFuI'2dx
-l2lEFuII'uII'dx=-l2lEF12uII'2dx=-12l2lEFuII'2dx
-2l3lEFuIII'uIII'dx=-2l3lEF12uIII'2dx=-122l3lEFuIII'2dx
l3lquIIIdx=2l3lquIIIdx
Подставляя выражения (з) – (н) в уравнение (4) получаем
-120lEFuI'2dx+-12l2lEFuII'2dx+-122l3lEFuIII'2dx+0lquIdx++2l3lquIIIdx+-12c uI20+F1uIl+F2uII2l+F3uIII3l=0
И наконец используя свойство линейности оператора вариации окончательно запишем
0lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx--2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l=0
Выражение стоящее под знаком вариации в уравнении (5) представляет собой функционал полной потенциальной энергии П:
П=120lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx--2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l
Таким образом краевая задача была сведена к вариационной которая выражается вариационным уравнением
и формулируется следующим образом: Из всего множества функций uIx uIIx uIIIx принадлежащих области определения оператора краевой задачи выбрать такие которые бы обеспечивали минимум функционала полной потенциальной энергии П (6).
Уравнение (7) представляет собой слабый вариационный принцип (принцип Лагранжа) который можно сформулировать так: для системы находящейся в равновесии под действием внешних сил функционал П полной потенциальной энергии системы принимает стационарное значение и это стационарное значение есть минимум.
Механический смысл слабого вариационного уравнения (4) есть выражение принципа возможных перемещений который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма работ всех внешних сил и внутренних усилий на возможных перемещениях системы находящейся в равновесии и совместных со связями равна нулю.
Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации.
Выберем для участков стержня линейно аппроксимированные функции uIx uIIx и uIIIx с учётом кинематических условий:
uIIx=u1+u2-u1lx-l xl2l
uIIIx=u2+u3-u2lx-2l x2l3l
График выбранных таким образом функций перемещений показан на рисунке 1.
Подставив выражения для функций перемещений (8) в выражение для функционала полной потенциальной энергии П (6) и проведя интегрирование получим
П=EF2lu1-u02+u2-u12+u3-u22+12cu02-qu0l+u1-u02l--qu2l+u3-u22l -F1u1-F2u2-F3u3
или после приведения подобных
П=EF2lu02+2u12+2u22+u32-2u1u0-2u2u1-2u3u2+12cu02-12qlu0+u1+u2+u3-F1u1-F2u2-F3u3.
Таким образом функционал полной потенциальной энергии П при аргументах uIx uIIx uIIIx вида (8) вырождается в функцию вида
Для обеспечения минимума функции П(ui) достаточно потребовать выполнения следующих равенств:
Пu0=0Пu1=0Пu2=0Пu3=0
или после проведения операции дифференцирования
EFlu0-u1+cu0-12ql=0EFl2u1-u0-u2-12ql-F1=0EFl2u2-u1-u3-12ql-F2=0EFlu3-u2-12ql-F3=0
Систему линейных алгебраических уравнений (10) представим в виде
clEF+1-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=12qlEF12qlEF+F1EF12qlEF+F2EF12qlEF+F3EFl
Согласно заданным соотношениям между силовыми геометрическими и упругими характеристиками системы система (11) примет в вид
-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=0.58.51.5-7.5l
Разрешим систему (12) относительно неизвестных u0u1u2u3:
u0u1u2u3=6-100-12-100-12-100-11-10.58.51.5-7.5l=0.20.20.20.20.21.21.21.20.21.22.22.20.21.22.23.20.58.51.5-7.5l=0.63.1-2.9-10.4l
Тогда аппроксимированные функции перемещений примут вид:
uIIIx=-2.9l-7.5x-2l x2l3l
Представим выражения для функций перемещений в безразмерном виде:
uIIIx=-2.9-7.5x-2 x23
На рисунке 2 представлены точное решение для относительных перемещения сечений стержня (красная сплошная линия) и линейно аппроксимированные относительные перемещения определённые энергетическим методом (синяя пунктирная линия).
Рисунок 2. Относительные перемещения определённые точным
и энергетическим методами.
Как видно из рисунка 2 узловые перемещения на границах участков определённые энергетическим и точным методами совпадают. Тот же результат можно наблюдать на рисунке 3 на котором представлена разность значений перемещений определенных разными методами.
Рисунок 3. Разность относительных перемещений определённых энергетическим и точным методами.
Максимальные погрешности по перемещениям согласно рис. 3 наблюдаются при x=0.5 и x=2.5 равны между собой и составляют
u=uIточное0.5-uIэнергетическое0.5uIточное0.5·100%=0.1251.975·100%=6.33%
что позволяет говорить о том что энергетический метод определения перемещений даёт достаточно близкие к истинным значения перемещений в сечениях стержней.
Определим выражения для внутренних усилий при линейной аппроксимации функций перемещений. На основании выражений (13)
или в безразмерном виде
На рисунке 4 представлены относительные внутренние усилия в сечениях стержня определённые при решении точной краевой задачи (красная сплошная линия) и на основе энергетического метода (синяя пунктирная линия).
Рисунок 4. Относительные внутренние усилия определённые точным
Из рис. 4 видно что внутренние усилия определённые энергетическим методом остаются постоянными в пределах каждого участка что не соответствует действительности. Это объясняется выбором в качестве функций перемещений линейных функций производная от которых даёт постоянную величину в пределах каждого участка.
Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями.
В пункте 3 нами был получен функционал полной потенциальной энергии (6)
Чтобы дать оценку погрешности по энергии необходимо подставить в него функции u0 u1 u2 u3 точного и приближенного решений а затем сравнить полученные результаты.
Согласно (3) функции перемещений для точного решения выглядят следующим образом:
Подставляя (3) в (6) после несложных преобразований получаем
А для приближенного решения
Подставим (13) в (6) и получим
В процентном соотношении погрешность будет равна
Пточн-ПприблПприбл100%=-50.233 l EF-(-50.150 l EF)-50.150 l EF100%=0.0017 %
Очевидно что данная величина погрешности допустима для расчетов следовательно можно утверждать что энергетический метод реализует достаточно высокую точность в сочетании со своей технической простотой.

стержень.frw

OAPR RS4.docx

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
62107866677ИСПРАВЛЕННЫЙ ВАРИАНТ
ИСПРАВЛЕННЫЙ ВАРИАНТ
“Основы автоматизированного проектирования”
Энергетический метод
TOC o "1-2" h z u Исходные данные: PAGEREF _Toc452928146 h 3
Формулировка краевой задачи. PAGEREF _Toc452928147 h 4
Построение точного решения краевой задачи PAGEREF _Toc452928148 h 9
Преобразование краевой задачи в вариационную. PAGEREF _Toc452928149 h 10
Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации. PAGEREF _Toc452928150 h 14
Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями. PAGEREF _Toc452928151 h 19
Решение задачи методом конечных элементов PAGEREF _Toc452928152 h 21
Компьютерное моделирование растяжения стержня. PAGEREF _Toc452928153 h 25
Требуется исследовать решение задачи о продольной деформации прямолинейного стержня закрепленного на пружине с приложенными по его длине распределенными нагрузками и сосредоточенными силами.
Рисунок 1. Условие задачи.
Формулировка краевой задачи.
Запишем дифференциальные уравнения равновесия для каждого участка прямолинейного стержня
Рисунок 2. Система сил действующих на стержень
Т.к. после приложения сил стержень займет новое положение равновесия то каждое сечение стержня также будет находиться в равновесии.
Запишем граничные условия и условия стыковки для каждого участка
N0=Fупр(граничное условие)
N-l=F1*+N+(l) (условие стыковки)
N-2l=F2*+N+(2l)(условие стыковки)
N3l=F3*(граничное условие)
Также для сечений C и D нужно добавить условия стыковки для перемещений:
uIl=uIIl и uII2l=uIII2l
Тогда искомая система будет выглядеть следующим образом:
EF uI''x+q=0EF uII''x=0EF uIII''x+q=0N0=FупрN-l=F1*+N+luIl=uIIlN-2l=F2*+N+(2l)uII2l=uIII2lN3l=F3*
После некоторых преобразований проведенных с учетом того что Nx=EF u'(x) а также того что Fупр=c uI(0) получаем
EF uI''x+q=0 EF uII''x=0EF uIII''x+q=0EF uI'(0)=c uI(0) EF uI'(l)=F1*+EF uII'(l)uIl=uIIlEF uII'(2l)=F2*+EF uIII'(2l)uII2l=uIII2lEF uIII'(3l)=F3*
uI''x+qEF=0 uII''x=0 uIII''x+qEF=0 uI'0=cEF uI0 (1а) uI'l=F1*EF+uII'l (1б)uIl=uIIl (1в) uII'2l=F2*EF+uIII'2l (1г)uII2l=uIII2l (1д)uIII'3l=F3*EF (1е)
Проинтегрируем первые три уравнения системы (1) чтобы найти функции перемещений точек стержня:
uIx=-qx22EF+C1x+C2 0≤x≤luIIx=C3x+C4 l≤x≤2luIIIx=-qx22EF+C5x+C6 2l≤x≤3l
Производные этих перемещений
uI'x=-qx EF+C1 0≤x≤luII'x=C3 l≤x≤2luIII'x=-qxEF+C5 2l≤x≤3l
Используя уравнения (1а) – (1е) найдем константы Ci системы (2):
-qlEF+C1=F1*EF+C3 -1+C1=8+C3 C1-C3=9
-ql22EF+C1l+C2=C3l+C4 -l2+C1-C3 l+C2=C4 C4-C2=8.5l
uII'2l=F2*EF+uIII'2l
C3=F2*EF-q2lEF+C5 C5-C3=1
C32l+C4=-q2l22EF+C52l+C6 C4-C6=0
-q3lEF+C5=F3*EF -3+C5=-8 C5=-5
C1=3C2=0.6 lC3=-6C4=9.1 lC5=-5C6=9.1 l
С учетом найденных констант окончательное решение для функций перемещений точек стержня будет выглядеть следующим образом:
uIx=-qx22EF+3x+0.6 l 0≤x≤luIIx=-6x+9.1 l l≤x≤2luIIIx=-qx22EF-5x+9.1 l 2l≤x≤3l
Для графического отображения этого решения целесообразно перейти к безразмерным величинам:
uIx=-12x2+3x+0.6 0≤x≤1uIIx=-6x+9.1 1≤x≤2uIIIx=-12x2-5x+9.1 2≤x≤3
Определение внутренних усилий в стержне:
NIx=EF uI'x=EF-xl+3 0≤x≤lNIIx=EF uII'x=-6 EF l≤x≤2lNIIIx=EF uIII'x=EF-xl-5 2l≤x≤3l
NIx=NIxEF=-x+3 0≤x≤1NIIx=NIIxEF=-6 1≤x≤2NIIIx=NIIIxEF=-x-5 2≤x≤3
Построение точного решения краевой задачи
Графическая интерпретация решений полученных для перемещений (рис. 3) и внутренних усилий (рис. 4)
Рисунок 3. График перемещений.
Рисунок 4. График внутренних усилий.
Преобразование краевой задачи в вариационную.
Запишем условие аннулирование невязки для трёх участков используя сильное вариационное уравнение:
lEFuI''+quIdx+l2lEFuIIuIIdx+2l3lEFuIII''+quIIIdx=0
lEFuI''uIdx+l2lEFuIIuIIdx+2l3lEFuIII''uIIIdx+0lquIdx+2l3lquIIIdx=0
Возьмем по частям первые три интеграла:
lEFuI''uIdx=0lEFuIduI'=EFuI'uIl 0-0lEFuI'uI'dx
l2lEFuII''uIIdx=l2lEFuIIduII'=EFuII'uII2l l-l2lEFuII'uII'dx
l3lEFuIII''uIIIdx=2l3lEFuIIIduIII'=EFuIII'uIII3l 2l-2l3lEFuIII'uIII'dx
Подставим выражения (а) (б) и (в) в уравнение (1’)
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx++EFuI'luIl-EFuI'0uI0+EFuII'2luII2l-EFuII'luIIl++EFuIII'3luIII3l-EFuIII'2luIII2l=0
Из кинематических условий на границах участков следует
uIl=uIIl uII2l=uIII2l
На основании выражений (3) и силовых условий на границах участков можно записать
EFuI'luIl=F1uIl+EFuII'luIl
EFuII'2luII2l=F2uII2l+EFuIII'2luII2l
EFuIII'3luIII3l=F3uIII3l
Подставляя выражения (г) – (ж) в уравнение (2) получим
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx++F1uIl+EFuII'luIl-cuI0uI0+F2uII2l+EFuIII'2luII2l-
-EFuII'luIIl+F3uIII3l-EFuIII'2luIII2l=0
Принимая во внимания равенства (3) можно заметить что в уравнении (2) некоторые слагаемые взаимно уничтожаются. Тогда после некоторых преобразований получим
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx--cuI0uI0+F1uIl+F2uII2l+F3uIII3l=0
Уравнение (4) также называется слабым вариационным уравнением которое по сути выражает принцип возможных перемещений.
Используя правила вариационного исчисления запишем
-0lEFuI'uI'dx=-0lEF12uI'2dx=-120lEFuI'2dx
-l2lEFuII'uII'dx=-l2lEF12uII'2dx=-12l2lEFuII'2dx
-2l3lEFuIII'uIII'dx=-2l3lEF12uIII'2dx=-122l3lEFuIII'2dx
l3lquIIIdx=2l3lquIIIdx
Подставляя выражения (з) – (н) в уравнение (4) получаем
-120lEFuI'2dx+-12l2lEFuII'2dx+-122l3lEFuIII'2dx+0lquIdx++2l3lquIIIdx+-12c uI20+F1uIl+F2uII2l+F3uIII3l=0
И наконец используя свойство линейности оператора вариации окончательно запишем
0lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx--2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l=0
Выражение стоящее под знаком вариации в уравнении (5) представляет собой функционал полной потенциальной энергии П:
П=120lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx--2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l
Таким образом краевая задача была сведена к вариационной которая выражается вариационным уравнением
и формулируется следующим образом: Из всего множества функций uIx uIIx uIIIx принадлежащих области определения оператора краевой задачи выбрать такие которые бы обеспечивали минимум функционала полной потенциальной энергии П (6).
Уравнение (7) представляет собой слабый вариационный принцип (принцип Лагранжа) который можно сформулировать так: для системы находящейся в равновесии под действием внешних сил функционал П полной потенциальной энергии системы принимает стационарное значение и это стационарное значение есть минимум.
Механический смысл слабого вариационного уравнения (4) есть выражение принципа возможных перемещений который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма работ всех внешних сил и внутренних усилий на возможных перемещениях системы находящейся в равновесии и совместных со связями равна нулю.
Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации.
Выберем для участков стержня линейно аппроксимированные функции uIx uIIx и uIIIx с учётом кинематических условий:
uIIx=u1+u2-u1lx-l xl2l
uIIIx=u2+u3-u2lx-2l x2l3l
График выбранных таким образом функций перемещений показан на рисунке 1.
Подставив выражения для функций перемещений (8) в выражение для функционала полной потенциальной энергии П (6) и проведя интегрирование получим
П=EF2lu1-u02+u2-u12+u3-u22+12cu02-qu0l+u1-u02l--qu2l+u3-u22l -F1u1-F2u2-F3u3
или после приведения подобных
П=EF2lu02+2u12+2u22+u32-2u1u0-2u2u1-2u3u2+12cu02--12qlu0+u1+u2+u3-F1u1-F2u2-F3u3.
Таким образом функционал полной потенциальной энергии П при аргументах uIx uIIx uIIIx вида (8) вырождается в функцию вида
Для обеспечения минимума функции П(ui) достаточно потребовать выполнения следующих равенств:
Пu0=0Пu1=0Пu2=0Пu3=0
или после проведения операции дифференцирования
EFlu0-u1+cu0-12ql=0EFl2u1-u0-u2-12ql-F1=0EFl2u2-u1-u3-12ql-F2=0EFlu3-u2-12ql-F3=0
Систему линейных алгебраических уравнений (10) представим в виде
clEF+1-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=12qlEF12qlEF+F1EF12qlEF+F2EF12qlEF+F3EFl
Согласно заданным соотношениям между силовыми геометрическими и упругими характеристиками системы система (11) примет в вид
-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=0.58.51.5-7.5l
Разрешим систему (12) относительно неизвестных u0u1u2u3:
u0u1u2u3=6-100-12-100-12-100-11-10.58.51.5-7.5l=0.20.20.20.20.21.21.21.20.21.22.22.20.21.22.23.20.58.51.5-7.5l=0.63.1-2.9-10.4l
Тогда аппроксимированные функции перемещений примут вид:
uIIIx=-2.9l-7.5x-2l x2l3l
Представим выражения для функций перемещений в безразмерном виде:
uIIIx=-2.9-7.5x-2 x23
На рисунке 2 представлены точное решение для относительных перемещения сечений стержня (красная сплошная линия) и линейно аппроксимированные относительные перемещения определённые энергетическим методом (синяя пунктирная линия).
Рисунок 2. Относительные перемещения определённые точным
и энергетическим методами.
Как видно из рисунка 2 узловые перемещения на границах участков определённые энергетическим и точным методами совпадают. Тот же результат можно наблюдать на рисунке 3 на котором представлена разность значений перемещений определенных разными методами.
Рисунок 3. Разность относительных перемещений определённых энергетическим и точным методами.
Максимальные погрешности по перемещениям согласно рис. 3 наблюдаются при x=0.5 и x=2.5 равны между собой и составляют
u=uIточное0.5-uIэнергетическое0.5uIточное0.5·100%=0.1251.975·100%=6.33%
что позволяет говорить о том что энергетический метод определения перемещений даёт достаточно близкие к истинным значения перемещений в сечениях стержней.
Определим выражения для внутренних усилий при линейной аппроксимации функций перемещений. На основании выражений (13)
или в безразмерном виде
На рисунке 4 представлены относительные внутренние усилия в сечениях стержня определённые при решении точной краевой задачи (красная сплошная линия) и на основе энергетического метода (синяя пунктирная линия).
Рисунок 4. Относительные внутренние усилия определённые точным
Из рис. 4 видно что внутренние усилия определённые энергетическим методом остаются постоянными в пределах каждого участка что не соответствует действительности. Это объясняется выбором в качестве функций перемещений линейных функций производная от которых даёт постоянную величину в пределах каждого участка.
Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями.
В пункте 3 нами был получен функционал полной потенциальной энергии (6)
Чтобы дать оценку погрешности по энергии необходимо подставить в него функции u0 u1 u2 u3 точного и приближенного решений а затем сравнить полученные результаты.
Согласно (3) функции перемещений для точного решения выглядят следующим образом:
Подставляя (3) в (6) после несложных преобразований получаем
А для приближенного решения
Подставим (13) в (6) и получим
В процентном соотношении погрешность будет равна
Пточн-ПприблПприбл100%=-50.233 l EF-(-50.150 l EF)-50.150 l EF100%=0.0017 %
Очевидно что данная величина погрешности допустима для расчетов следовательно можно утверждать что энергетический метод реализует достаточно высокую точность в сочетании со своей технической простотой.
Решение задачи методом конечных элементов
На рис. 5 представлена континуальная схема задачи.
Рисунок 5. Континуальная схема нагруженного стержня.
Элемент (1) - пружина с жёсткостью
Матрица жесткости этой пружины
По условию жёсткость пружины равна c=5EFl. Тогда матрица жёсткости первого конечного элемента примет вид
где k111=k221=5EFl k121=k211=-5EFl.
Второй третий и четвёртый конечные элементы имеют одинаковые матрицы жёсткости
Ki=k11ik12ik21ik22i i=234
где k11i=k22i=EFl k12i=k21i=-EFl.
Приведём внешние силы действующие на стержень к узлам конечных элементов.
Первый конечный элемент:
Левый торец: неизвестная реакция опоры R1
Правый торец: нет приложенных внешних сил
Второй конечный элемент:
Левый торец: узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Правый торец: узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Третий конечный элемент:
Левый торец: внешняя сила F1
Четвертый конечный элемент:
Левый торец: внешняя сила F2 и узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Правый торец: внешняя сила F3 и узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Примечание: сосредоточенная сила на стыке двух конечных элементов принадлежит правому конечному элементу.
Тогда глобальная матрица жёсткости для системы состоящей из четырёх конечных элементов имеет вид
K=k111k121000k211k221+k112k122000k212k222+k113k123000k213k223+k114k124000k214k224
Или с учетом выражений для kijm
K=EFl5-5000-56-1000-12-1000-12-1000-11
Вектор внешних узловых сил для системы состоящей из четырёх конечных элементов имеет вид
F=f11f21+f12f22+f13f23+f14f24
Учитывая выражения (19)-(22)
F=R1ql2F1+ql2F2+ql2F3+ql2.
ql=EF F1=8EF F2=EF F3=-8EF.
В таком случае вектор узловых сил примет окончательный вид
Вектор узловых перемещений имеет вид
где u1=0 т.к. согласно условию закрепления системы левый конец первого конечного элемента соответствующего правому концу пружины закреплён консольно.
Система уравнений описывающая конечноэлементную модель стержня имеет вид
или в соответствии с (23) – (25)
EFl5-5000-56-1000-12-1000-12-1000-110u2u3u4u5=EFR10.58.51.5-7.5
Полученная система уравнений распадается на две части решаемые последовательно. Вначале решим последние четыре уравнения относительно неизвестных узловых перемещений u2 u5 затем решается первое уравнение и находится неизвестная реакция опоры R1:
u2u3u4u5=l6-100-12-100-12-100-11-10.58.51.5-7.5=0.20.20.20.20.21.21.21.20.21.22.22.20.21.22.23.20.58.51.5-7.5l=0.63.1-2.9-10.4l
R1=-5u2l=-5·0.6ll=-3.
Таким образом узловые перемещения составляют
u2=0.6l u3=3.1l u4=-2.9l u5=-10.4l
что полностью совпадает с результатами полученными в результате решения задачи энергетическим методом (рис. 4).
Для определения напряжений в элементах бруса воспользуемся формулой
Согласно данной формуле
=Eu2-u1l=E·l·0.6l=0.6 E2=Eu3-u2l=E·l·3.1-0.6l=2.5 E
=Eu4-u3l=E·l·-2.9-3.1l=-6 E
=Eu5-u4l=E·l·-10.4+2.9l=-7.5 E.
Нетрудно заметить что при решении задачи двумя разными способами: энергетическим методом и методом конечных элементов результаты расчета внутренних усилий (напряжений) действующих в сечениях стержня полностью совпадают. Разумеется с учетом того что =NA
Компьютерное моделирование растяжения стержня.
Построение конечноэлементной модели стержня.
Проведем построение одномерной модели стержня с началом в нуле глобальной системы отсчёта и осью стержня направленной вдоль оси Х глобальной системы отсчёта. Построение будем производить согласно одномерной стержневой модели нагруженного бруса показанной на рис. 5. Модули упругости и площади поперечного сечения всех конечных элементов будем считать единичными.
Создадим элемент длиной 0.5 лежащий в области отрицательных значений оси ОХ.
Для этого перейдем во вкладку Meshing и заполним окно в соответствии с рис. 7
Моделирование участков стержня.
-1385570237490Рисунок 7
Для создания стержня перейдем во вкладку Geometry и последовательно создадим три прямых Curve (рис. 8)
902402527300Рисунок 8
Для этого перейдем во вкладку Meshing и создадим сначала узлы сетки (по 50 элементов на каждом из трех участков) (рис. 9) а затем и саму сетку (рис. 10). После этого объединим общие узлы на стыках участков (рис. 11)
41818199048Рисунок 10
2692684650Рисунок 11
Моделирование материала и поперечного сечения стержня.
а) Создание материала
Properties Isotropic [Action: Create Object: Isotropic Method: Manual Input Material Name: «Aurum»] Input Properties [Elastic Modulus = 1 Poisson Ratio = 0.3] Apply
б) Создание поперечного сечения
Tools Beam Library [Тип сечения: сплошное прямоугольное W = 1 H = 1 New Section Name: «square»] ОК
Задание типа и свойств конечных элементов
В той же вкладке Properties заполним следующие окна (рис. 12):
372034003187Рисунок 12
Задание свойств пружины
В той же вкладке Properties заполним следующие окна (рис. 13):
590493454840Рисунок 13
Задание нагрузок и граничных условий (рис. 15)
Переходим во вкладку LoadsBCs.
а) граничное условие для первого узла
[Action: Create Object: Displacement Type: Nodal New Set Name: «R1»] Input Properties [Tranclations 0 0 0> Rotations 0 0 0>] OK Select Application Region [Select: FEM Select Nodes: Node 1] Add OK Apply
б) устранение лишних степеней свободы для остальных узлов
[Action: Create Object: Displacement Type: Nodal New Set Name: «R2»] Input Properties [Tranclations 0 0> Rotations 0 0 0>] OK Select Application Region [Select: FEM Select Nodes: Node 2 4:53 55:104 106:155] (выделить рамкой все узлы кроме первого) Add OK Apply (рис. 14)
95110897695Рисунок 14
в) задание сосредоточенных сил
[Action: Create Object: Force Type: Nodal New Set Name: «F1»] Input Properties [Force 8 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Geometry Entities: Point 2] Add OK Apply
[Action: Create Object: Force Type: Nodal New Set Name: «F2»] Input Properties [Force 1 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Geometry Entities: Point 3] Add OK Apply
[Action: Create Object: Force Type: Nodal New Set Name: «F3»] Input Properties [Force -8 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Geometry Entities: Point 4] Add OK Apply
г) задание распределенной нагрузки (рис. 15)
[Action: Create Object: Distributed Load Type: Element Uniform New Set Name: «q»] Target Element Type: 1D Input Properties [Distr Load 1 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Curves: Curve 1 3] Add OK Apply
492191018491Рисунок 15
Таким образом конечно элементная модель выглядит следующим образом (рис. 16)
11742997145Рисунок 16
Процессорная обработка модели в MSC.Nastran и передача результатов для обработки постпроцессором.
Переходим во вкладку Analysis
[Action: Analyze Object: Entire Model Method: Full Run] Apply
Затем в той же вкладке
[Action: Access Results Object: Attach XDB Method: Results Entities] Apply
Постпроцессорная обработка. Вывод результатов статического расчёта стержня.
Далее переходим во вкладку Results
а) построение графика перемещений
[Action: Create Object: Graph Method: Y vs X Select Result Cases: выбираем файл с результатами Select Y Results: Displacements Translational Quantity: X Component X: Coordinate Select Coordinate Axis: Coord 0.1] Target Entities [Target Entity: Nodes Select Nodes: выбираем все узлы кроме первого] Apply
б) построение графика внутренних усилий
[Action: Create Object: Graph Method: Y vs X Select Result Cases: выбираем файл с результатами Select Y Results: Bar Stress Axial Quantity: X Component X: Coordinate Select Coordinate Axis: Coord 0.1] Target Entities [Target Entity: Nodes Select Nodes: выбираем все узлы кроме первого] Apply
Графики перемещений и нормальных напряжений в стержне представлены на рисунках 17 и 18 соответственно.
101552590165Рисунок 17
057102557780Рисунок 18
Как можно видеть по рис. 17 и 18 результаты компьютерного моделирования для перемещений в узлах и напряжений в конечных элементах полностью совпадают с результатами полученными при аналитических расчётах.

OAPR Maga's.docx

Стержень разбивается на три участка на каждом из которых в соответствии со схемой приложения сил определяются дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия:
uI''x+qEF=0uII''x=0uIII''x+qEF=0cEFuI0=uI'0uIl=uIIluI'l=F1EF+uII'luII2l=uIII2luII'2l=F2EF+uIII'2luIII'3l=F3EF.
Решения для uix представляются в виде
uIx=-q2EFx2+C1x+C2 uIIx=C3x+C4 uIIIx=-q2EFx2+C5x+C6.
Подставив выражения для uix в граничные условия и учитывая связь между силовыми факторами и геометрическими и упругими характеристиками получим СЛАУ для определения Ci:
lC2=C1 а-0.5l+C1l+C2=C3l+C4 б-1+C1=5+C3 в2C3l+C4=-2l+2C5l+C6 гC3=4-2+C5 д-3+C5=-5 е.
Решим данную систему уравнений: из (е) C5=-2 из (д) C3=0 из (в) C1=6 из (а) C2=1.2l (б) C4=6.7l (г) C6=12.7l.
Таким образом окончательные выражения для ui(x) имеют вид:
uIIx=6.7luIIIx=-12lx2-2x+12.7l.
Выполним проверку решения. Подставим полученные выражения для ui(x) в исходную систему уравнений:
-12+12000-12+1205l·6l1.2-12l+6l+1.2l0+6.7l-1+65+02·0+6.7l-2l-4l+12.7l04-2-2-3-2-5.
Все выражения обращаются в тождество что свидетельствует о правильности решения. Также можно показать что перемещение левого конца стержня uI0 будет равно отношению равнодействующих всех сил и жёсткости пружины:
uI0=1.2lFΣ c=F1+F2+F3+2qlc=F1EF+F2EF+F3EF+2qlEFclEFl=5+4-5+25l=1.2l.
Представим решения uix в безразмерном виде:
uIIIx=-0.5x2-2x+12.7
Построим графики uix:
Получим внутренние усилия на каждом участке:
NIIIx=EFuIIIx'=EF-1lx-2.
Покажем что соблюдаются условия стыковки
NII2l-NIII2l=0-EF-4=4EFF2
и граничные условия:
NI0=6EFlcuI0=1.2cl=1.2clEFEF=1.2·5EF=6EF
Граничные силовые условия т условия стыковки выполняются что говорит о правильности найденных выражений для Nix.
Представим решения Nix в безразмерном виде:
2785327660Построим графики Nix:

OAPR extra.docx

8. Дополнительное компьютерное моделирование растяжения стержня.
1. Построение конечноэлементной модели стержня.
Проведем построение одномерной модели стержня с началом в нуле глобальной системы отсчёта и осью стержня направленной вдоль оси Х глобальной системы отсчёта. Построение будем производить согласно одномерной стержневой модели нагруженного бруса показанной на рис. 1. Модули упругости и площади поперечного сечения всех конечных элементов будем считать единичными.
Создадим элемент длиной 0.5 лежащий в области отрицательных значений оси ОХ.
Для этого перейдем во вкладку Meshing и заполним окно в соответствии с рис. 2
Моделирование участков стержня.
-1385570237490Рисунок 2
Для создания стержня перейдем во вкладку Geometry и последовательно создадим три прямых Curve (рис. 3)
902402527300Рисунок 3
Для этого перейдем во вкладку Meshing и создадим сначала узлы сетки (по 50 элементов на каждом из трех участков) (рис. 4) а затем и саму сетку (рис. 5). После этого объединим общие узлы на стыках участков (рис. 6)
40255198120Рисунок 5
Моделирование материала и поперечного сечения стержня.
а) Создание материала
Properties Isotropic [Action: Create Object: Isotropic Method: Manual Input Material Name: «Aurum»] Input Properties [Elastic Modulus = 1 Poisson Ratio = 0.3] Apply
б) Создание поперечного сечения
Tools Beam Library [Тип сечения: сплошное прямоугольное W = 1 H = 1 New Section Name: «square»] ОК
Задание типа и свойств конечных элементов
В той же вкладке Properties заполним следующие окна (рис. 7):
358354004017Рисунок 7
Задание свойств пружины
В той же вкладке Properties заполним следующие окна (рис. 8):
558253456305Рисунок 8
Задание нагрузок и граничных условий
Переходим во вкладку LoadsBCs.
а) граничное условие для первого узла
[Action: Create Object: Displacement Type: Nodal New Set Name: «R1»] Input Properties [Tranclations 0 0 0> Rotations 0 0 0>] OK Select Application Region [Select: FEM Select Nodes: Node 1] Add OK Apply
б) устранение лишних степеней свободы для остальных узлов
[Action: Create Object: Displacement Type: Nodal New Set Name: «R2»] Input Properties [Tranclations 0 0> Rotations 0 0 0>] OK Select Application Region [Select: FEM Select Nodes: Node 2 4:53 55:104 106:155] (выделить рамкой все узлы кроме первого) Add OK Apply
95306895253Рисунок 9
в) задание сосредоточенных сил
[Action: Create Object: Force Type: Nodal New Set Name: «F1»] Input Properties [Force 8 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Geometry Entities: Point 2] Add OK Apply
[Action: Create Object: Force Type: Nodal New Set Name: «F2»] Input Properties [Force 1 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Geometry Entities: Point 3] Add OK Apply
[Action: Create Object: Force Type: Nodal New Set Name: «F3»] Input Properties [Force -8 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Geometry Entities: Point 4] Add OK Apply
г) задание распределенной нагрузки
[Action: Create Object: Distributed Load Type: Element Uniform New Set Name: «q»] Target Element Type: 1D Input Properties [Distr Load 1 0 0>] OK Select Application Region [Select: Geometry Select Curves: Curve 1 3] Add OK Apply
492191018491Рисунок 10
Таким образом конечно элементная модель выглядит следующим образом
11742997145Рисунок 11
Процессорная обработка модели в MSC.Nastran и передача результатов для обработки постпроцессором.
Переходим во вкладку Analysis
[Action: Analyze Object: Entire Model Method: Full Run] Apply
Затем в той же вкладке
[Action: Access Results Object: Attach XDB Method: Results Entities] Apply
Постпроцессорная обработка. Вывод результатов статического расчёта стержня.
Далее переходим во вкладку Results
а) построение графика перемещений
[Action: Create Object: Graph Method: Y vs X Select Result Cases: выбираем файл с результатами Select Y Results: Displacements Translational Quantity: X Component X: Coordinate Select Coordinate Axis: Coord 0.1] Target Entities [Target Entity: Nodes Select Nodes: выбираем все узлы кроме первого] Apply
б) построение графика внутренних усилий
[Action: Create Object: Graph Method: Y vs X Select Result Cases: выбираем файл с результатами Select Y Results: Bar Stress Axial Quantity: X Component X: Coordinate Select Coordinate Axis: Coord 0.1] Target Entities [Target Entity: Nodes Select Nodes: выбираем все узлы кроме первого] Apply
Графики перемещений и нормальных напряжений в стержне представлены на рисунках 12 и 13 соответственно.
101552590165Рисунок 12
057102557780Рисунок 13
Как можно видеть по рис. 12 и 13 результаты компьютерного моделирования для перемещений в узлах и напряжений в конечных элементах полностью совпадают с результатами полученными при аналитических расчётах.

стержень 2.frw

OAPR RS3.docx

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
62107866677ИСПРАВЛЕННЫЙ ВАРИАНТ
ИСПРАВЛЕННЫЙ ВАРИАНТ
“Основы автоматизированного проектирования”
Энергетический метод
TOC o "1-2" h z u Исходные данные: PAGEREF _Toc449260789 h 3
Формулировка краевой задачи. PAGEREF _Toc449260790 h 4
Построение точного решения краевой задачи PAGEREF _Toc449260791 h 9
Преобразование краевой задачи в вариационную. PAGEREF _Toc449260792 h 10
Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации. PAGEREF _Toc449260793 h 14
Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями. PAGEREF _Toc449260794 h 19
Требуется исследовать решение задачи о продольной деформации прямолинейного стержня закрепленного на пружине с приложенными по его длине распределенными нагрузками и сосредоточенными силами.
Рисунок 1. Условие задачи.
Формулировка краевой задачи.
Запишем дифференциальные уравнения равновесия для каждого участка прямолинейного стержня
Рисунок 2. Система сил действующих на стержень
Т.к. после приложения сил стержень займет новое положение равновесия то каждое сечение стержня также будет находиться в равновесии.
Запишем граничные условия и условия стыковки для каждого участка
N0=Fупр(граничное условие)
N-l=F1*+N+(l) (условие стыковки)
N-2l=F2*+N+(2l)(условие стыковки)
N3l=F3*(граничное условие)
Также для сечений C и D нужно добавить условия стыковки для перемещений:
uIl=uIIl и uII2l=uIII2l
Тогда искомая система будет выглядеть следующим образом:
EF uI''x+q=0EF uII''x=0EF uIII''x+q=0N0=FупрN-l=F1*+N+luIl=uIIlN-2l=F2*+N+(2l)uII2l=uIII2lN3l=F3*
После некоторых преобразований проведенных с учетом того что Nx=EF u'(x) а также того что Fупр=c uI(0) получаем
EF uI''x+q=0 EF uII''x=0EF uIII''x+q=0EF uI'(0)=c uI(0) EF uI'(l)=F1*+EF uII'(l)uIl=uIIlEF uII'(2l)=F2*+EF uIII'(2l)uII2l=uIII2lEF uIII'(3l)=F3*
uI''x+qEF=0 uII''x=0 uIII''x+qEF=0 uI'0=cEF uI0 (1а) uI'l=F1*EF+uII'l (1б)uIl=uIIl (1в) uII'2l=F2*EF+uIII'2l (1г)uII2l=uIII2l (1д)uIII'3l=F3*EF (1е)
Проинтегрируем первые три уравнения системы (1) чтобы найти функции перемещений точек стержня:
uIx=-qx22EF+C1x+C2 0≤x≤luIIx=C3x+C4 l≤x≤2luIIIx=-qx22EF+C5x+C6 2l≤x≤3l
Производные этих перемещений
uI'x=-qx EF+C1 0≤x≤luII'x=C3 l≤x≤2luIII'x=-qxEF+C5 2l≤x≤3l
Используя уравнения (1а) – (1е) найдем константы Ci системы (2):
-qlEF+C1=F1*EF+C3 -1+C1=8+C3 C1-C3=9
-ql22EF+C1l+C2=C3l+C4 -l2+C1-C3 l+C2=C4 C4-C2=8.5l
uII'2l=F2*EF+uIII'2l
C3=F2*EF-q2lEF+C5 C5-C3=1
C32l+C4=-q2l22EF+C52l+C6 C4-C6=0
-q3lEF+C5=F3*EF -3+C5=-8 C5=-5
C1=3C2=0.6 lC3=-6C4=9.1 lC5=-5C6=9.1 l
С учетом найденных констант окончательное решение для функций перемещений точек стержня будет выглядеть следующим образом:
uIx=-qx22EF+3x+0.6 l 0≤x≤luIIx=-6x+9.1 l l≤x≤2luIIIx=-qx22EF-5x+9.1 l 2l≤x≤3l
Для графического отображения этого решения целесообразно перейти к безразмерным величинам:
uIx=-12x2+3x+0.6 0≤x≤1uIIx=-6x+9.1 1≤x≤2uIIIx=-12x2-5x+9.1 2≤x≤3
Определение внутренних усилий в стержне:
NIx=EF uI'x=EF-xl+3 0≤x≤lNIIx=EF uII'x=-6 EF l≤x≤2lNIIIx=EF uIII'x=EF-xl-5 2l≤x≤3l
NIx=NIxEF=-x+3 0≤x≤1NIIx=NIIxEF=-6 1≤x≤2NIIIx=NIIIxEF=-x-5 2≤x≤3
Построение точного решения краевой задачи
Графическая интерпретация решений полученных для перемещений (рис. 3) и внутренних усилий (рис. 4)
Рисунок 3. График перемещений.
Рисунок 4. График внутренних усилий.
Преобразование краевой задачи в вариационную.
Запишем условие аннулирование невязки для трёх участков используя сильное вариационное уравнение:
lEFuI''+quIdx+2llEFuIIuIIdx+2l3lEFuIII''+quIIIdx=0
lEFuI''uIdx+2llEFuIIuIIdx+2l3lEFuIII''uIIIdx+0lquIdx+2l3lquIIIdx=0
Возьмем по частям первые три интеграла:
lEFuI''uIdx=0lEFuIduI'=EFuI'uIl 0-0lEFuI'uI'dx
l2lEFuII''uIIdx=l2lEFuIIduII'=EFuII'uII2l l-l2lEFuII'uII'dx
l3lEFuIII''uIIIdx=2l3lEFuIIIduIII'=EFuIII'uIII3l 2l-2l3lEFuIII'uIII'dx
Подставим выражения (а) (б) и (в) в уравнение (1’)
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx++EFuI'luIl-EFuI'0uI0+EFuII'2luII2l-EFuII'luIIl++EFuIII'3luIII3l-EFuIII'2luIII2l=0
Из кинематических условий на границах участков следует
uIl=uIIl uII2l=uIII2l
На основании выражений (3) и силовых условий на границах участков можно записать
EFuI'luIl=F1uIl+EFuII'luIl
EFuII'2luII2l=F2uII2l+EFuIII'2luII2l
EFuIII'3luIII3l=F3uIII3l
Подставляя выражения (г) – (ж) в уравнение (2) получим
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx++F1uIl+EFuII'luIl-cuI0uI0+F2uII2l+EFuIII'2luII2l-
-EFuII'luIIl+F3uIII3l-EFuIII'2luIII2l=0
Принимая во внимания равенства (3) можно заметить что в уравнении (2) некоторые слагаемые взаимно уничтожаются. Тогда после некоторых преобразований получим
-0lEFuI'uI'dx-l2lEFuII'uII'dx-2l3lEFuIII'uIII'dx+0lquIdx+2l3lquIIIdx--cuI0uI0+F1uIl+F2uII2l+F3uIII3l=0
Уравнение (4) также называется слабым вариационным уравнением которое по сути выражает принцип возможных перемещений.
Используя правила вариационного исчисления запишем
-0lEFuI'uI'dx=-0lEF12uI'2dx=-120lEFuI'2dx
-l2lEFuII'uII'dx=-l2lEF12uII'2dx=-12l2lEFuII'2dx
-2l3lEFuIII'uIII'dx=-2l3lEF12uIII'2dx=-122l3lEFuIII'2dx
l3lquIIIdx=2l3lquIIIdx
Подставляя выражения (з) – (н) в уравнение (4) получаем
-120lEFuI'2dx+-12l2lEFuII'2dx+-122l3lEFuIII'2dx+0lquIdx++2l3lquIIIdx+-12c uI20+F1uIl+F2uII2l+F3uIII3l=0
И наконец используя свойство линейности оператора вариации окончательно запишем
0lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx--2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l=0
Выражение стоящее под знаком вариации в уравнении (5) представляет собой функционал полной потенциальной энергии П:
П=120lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx--2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l
Таким образом краевая задача была сведена к вариационной которая выражается вариационным уравнением
и формулируется следующим образом: Из всего множества функций uIx uIIx uIIIx принадлежащих области определения оператора краевой задачи выбрать такие которые бы обеспечивали минимум функционала полной потенциальной энергии П (6).
Уравнение (7) представляет собой слабый вариационный принцип (принцип Лагранжа) который можно сформулировать так: для системы находящейся в равновесии под действием внешних сил функционал П полной потенциальной энергии системы принимает стационарное значение и это стационарное значение есть минимум.
Механический смысл слабого вариационного уравнения (4) есть выражение принципа возможных перемещений который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма работ всех внешних сил и внутренних усилий на возможных перемещениях системы находящейся в равновесии и совместных со связями равна нулю.
Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации.
Выберем для участков стержня линейно аппроксимированные функции uIx uIIx и uIIIx с учётом кинематических условий:
uIIx=u1+u2-u1lx-l xl2l
uIIIx=u2+u3-u2lx-2l x2l3l
График выбранных таким образом функций перемещений показан на рисунке 1.
Подставив выражения для функций перемещений (8) в выражение для функционала полной потенциальной энергии П (6) и проведя интегрирование получим
П=EF2lu1-u02+u2-u12+u3-u22+12cu02-qu0l+u1-u02l--qu2l+u3-u22l -F1u1-F2u2-F3u3
или после приведения подобных
П=EF2lu02+2u12+2u22+u32-2u1u0-2u2u1-2u3u2+12cu02-12qlu0+u1+u2+u3-F1u1-F2u2-F3u3.
Таким образом функционал полной потенциальной энергии П при аргументах uIx uIIx uIIIx вида (8) вырождается в функцию вида
Для обеспечения минимума функции П(ui) достаточно потребовать выполнения следующих равенств:
Пu0=0Пu1=0Пu2=0Пu3=0
или после проведения операции дифференцирования
EFlu0-u1+cu0-12ql=0EFl2u1-u0-u2-12ql-F1=0EFl2u2-u1-u3-12ql-F2=0EFlu3-u2-12ql-F3=0
Систему линейных алгебраических уравнений (10) представим в виде
clEF+1-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=12qlEF12qlEF+F1EF12qlEF+F2EF12qlEF+F3EFl
Согласно заданным соотношениям между силовыми геометрическими и упругими характеристиками системы система (11) примет в вид
-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=0.58.51.5-7.5l
Разрешим систему (12) относительно неизвестных u0u1u2u3:
u0u1u2u3=6-100-12-100-12-100-11-10.58.51.5-7.5l=0.20.20.20.20.21.21.21.20.21.22.22.20.21.22.23.20.58.51.5-7.5l=0.63.1-2.9-10.4l
Тогда аппроксимированные функции перемещений примут вид:
uIIIx=-2.9l-7.5x-2l x2l3l
Представим выражения для функций перемещений в безразмерном виде:
uIIIx=-2.9-7.5x-2 x23
На рисунке 2 представлены точное решение для относительных перемещения сечений стержня (красная сплошная линия) и линейно аппроксимированные относительные перемещения определённые энергетическим методом (синяя пунктирная линия).
Рисунок 2. Относительные перемещения определённые точным
и энергетическим методами.
Как видно из рисунка 2 узловые перемещения на границах участков определённые энергетическим и точным методами совпадают. Тот же результат можно наблюдать на рисунке 3 на котором представлена разность значений перемещений определенных разными методами.
Рисунок 3. Разность относительных перемещений определённых энергетическим и точным методами.
Максимальные погрешности по перемещениям согласно рис. 3 наблюдаются при x=0.5 и x=2.5 равны между собой и составляют
u=uIточное0.5-uIэнергетическое0.5uIточное0.5·100%=0.1251.975·100%=6.33%
что позволяет говорить о том что энергетический метод определения перемещений даёт достаточно близкие к истинным значения перемещений в сечениях стержней.
Определим выражения для внутренних усилий при линейной аппроксимации функций перемещений. На основании выражений (13)
или в безразмерном виде
На рисунке 4 представлены относительные внутренние усилия в сечениях стержня определённые при решении точной краевой задачи (красная сплошная линия) и на основе энергетического метода (синяя пунктирная линия).
Рисунок 4. Относительные внутренние усилия определённые точным
Из рис. 4 видно что внутренние усилия определённые энергетическим методом остаются постоянными в пределах каждого участка что не соответствует действительности. Это объясняется выбором в качестве функций перемещений линейных функций производная от которых даёт постоянную величину в пределах каждого участка.
Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями.
В пункте 3 нами был получен функционал полной потенциальной энергии (6)
Чтобы дать оценку погрешности по энергии необходимо подставить в него функции u0 u1 u2 u3 точного и приближенного решений а затем сравнить полученные результаты.
Согласно (3) функции перемещений для точного решения выглядят следующим образом:
Подставляя (3) в (6) после несложных преобразований получаем
А для приближенного решения
Подставим (13) в (6) и получим
В процентном соотношении погрешность будет равна
Пточн-ПприблПприбл100%=-50.233 l EF-(-50.150 l EF)-50.150 l EF100%=0.0017 %
Очевидно что данная величина погрешности допустима для расчетов следовательно можно утверждать что энергетический метод реализует достаточно высокую точность в сочетании со своей технической простотой.
Решение задачи методом конечных элементов
На рис. 5 представлена континуальная схема задачи.
Рисунок 5. Континуальная схема нагруженного стержня.
Элемент (1) - пружина с жёсткостью
Матрица жесткости этой пружины
По условию жёсткость пружины равна c=5EFl. Тогда матрица жёсткости первого конечного элемента примет вид
где k111=k221=5EFl k121=k211=-5EFl.
Второй третий и четвёртый конечные элементы имеют одинаковые матрицы жёсткости
Ki=k11ik12ik21ik22i i=234
где k11i=k22i=EFl k12i=k21i=-EFl.
Приведём внешние силы действующие на стержень к узлам конечных элементов.
Первый конечный элемент:
Левый торец: неизвестная реакция опоры R1
Правый торец: нет приложенных внешних сил
Второй конечный элемент:
Левый торец: узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Правый торец: узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Третий конечный элемент:
Левый торец: внешняя сила F1
Четвертый конечный элемент:
Левый торец: внешняя сила F2 и узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Правый торец: внешняя сила F3 и узловая сила от распределенной нагрузки ql2
Примечание: сосредоточенная сила на стыке двух конечных элементов принадлежит правому конечному элементу.
Тогда глобальная матрица жёсткости для системы состоящей из четырёх конечных элементов имеет вид
K=k111k121000k211k221+k112k122000k212k222+k113k123000k213k223+k114k124000k214k224
Или с учетом выражений для kijm
K=EFl5-5000-56-1000-12-1000-12-1000-11
Вектор внешних узловых сил для системы состоящей из четырёх конечных элементов имеет вид
F=f11f21+f12f22+f13f23+f14f24
Учитывая выражения (19)-(22)
F=R1ql2F1+ql2F2+ql2F3+ql2.
ql=EF F1=8EF F2=EF F3=-8EF.
В таком случае вектор узловых сил примет окончательный вид
Вектор узловых перемещений имеет вид
где u1=0 т.к. согласно условию закрепления системы левый конец первого конечного элемента соответствующего правому концу пружины закреплён консольно.
Система уравнений описывающая конечноэлементную модель стержня имеет вид
или в соответствии с (23) – (25)
EFl5-5000-56-1000-12-1000-12-1000-110u2u3u4u5=EFR10.58.51.5-7.5
Полученная система уравнений распадается на две части решаемые последовательно. Вначале решим последние четыре уравнения относительно неизвестных узловых перемещений u2 u5 затем решается первое уравнение и находится неизвестная реакция опоры R1:
u2u3u4u5=l6-100-12-100-12-100-11-10.58.51.5-7.5=0.20.20.20.20.21.21.21.20.21.22.22.20.21.22.23.20.58.51.5-7.5l=0.63.1-2.9-10.4l
R1=-5u2l=-5·0.6ll=-3.
Таким образом узловые перемещения составляют
u2=0.6l u3=3.1l u4=-2.9l u5=-10.4l
что полностью совпадает с результатами полученными в результате решения задачи энергетическим методом (рис. 4).
Для определения напряжений в элементах бруса воспользуемся формулой
Согласно данной формуле
=Eu2-u1l=E·l·0.6l=0.6 E2=Eu3-u2l=E·l·3.1-0.6l=2.5 E
=Eu4-u3l=E·l·-2.9-3.1l=-6 E
=Eu5-u4l=E·l·-10.4+2.9l=-7.5 E.
Нетрудно заметить что при решении задачи двумя разными способами: энергетическим методом и методом конечных элементов результаты расчета внутренних усилий (напряжений) действующих в сечениях стержня полностью совпадают. Разумеется с учетом того что =NA

стержень без связей.frw

ОАПР 1.docx

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
“Основы автоматизированного проектирования”
Энергетический метод
TOC o "1-3" h z u 1. Формулировка краевой задачи. PAGEREF _Toc451470341 h 4
Построение точного решения краевой задачи. PAGEREF _Toc451470342 h 6
Преобразование краевой задачи в вариационный принцип. PAGEREF _Toc451470343 h 9
Решение для перемещений и напряжений энергетическим методом на линейной аппроксимации поля перемещений. PAGEREF _Toc451470344 h 10
Оценка погрешности по энергии между точным и приближённым решением. PAGEREF _Toc451470345 h 13
Решение задачи методом конечных элементов. PAGEREF _Toc451470346 h 15
Компьютерное моделирование растяжения стержня. PAGEREF _Toc451470347 h 19
1. Построение конечноэлементной модели стержня. PAGEREF _Toc451470348 h 19
2. Задание граничных условий и приложения нагрузок. PAGEREF _Toc451470349 h 19
3. Моделирование материалов. PAGEREF _Toc451470350 h 20
4. Задание типа и свойств конечных элементов. PAGEREF _Toc451470351 h 20
5. Процессорная обработка модели в MSC.Nastran PAGEREF _Toc451470352 h 21
6. Постпроцессорная обработка результатов статического расчёта стержня PAGEREF _Toc451470353 h 21
В работе требуется исследовать решение задачи о продольной деформации прямолинейного стрежня. Исходные данные для задачи и расчётная схема представлены таблицей 1 и рисунком 1 соответственно.
Таблица 1. Исходные данные.
Рисунок 1. Расчётная схема.
Сформулировать краевую задачу;
Построить точное решение краевой задачи;
Преобразовать краевую задачу в вариационный принцип;
Получить решение для перемещений и напряжений энергетическим методом на линейной аппроксимации поля перемещений;
Дать оценку погрешности по энергии между точным и приближённым решением;
Записать разрешающую систему уравнений Метода Конечных Элементов (МКЭ) провести её анализ и получить решение для перемещений и напряжений;
Провести сравнительный анализ результатов полученных в работе.
Формулировка краевой задачи.
В связи с характером приложения сил проведём разбиение стержня на три участка и составим дифференциальные уравнения равновесия для каждого:
первый участок 0≤x≤l:
второй участок l≤x≤2l:
третий участок 2l≤x≤3l:
Определим теперь граничные условия для стержня и условия стыковки участков стержня. Граничное условие на левом конце стрежня имеет вид
где NI0 – внутреннее усилие в сечении стрежня при x=0 Fупр – сила упругости пружины (рис. 1.1).
Рисунок 1.1. Граничное условие на левом конце стержня.
Расписав выражения для внутреннего усилия в левом конце стержня и силы упругости пружины получим выражение для граничного условия на левом конце стержня в виде
Граничное условие на правом конце стержня имеет вид
где NIII3l – внутреннее усилие в сечении стержня при x=3l (рис. 1.2).
Рисунок 1.2. Граничное условие на правом конце стержня.
Расписав выражение для внутреннего усилия в правом конце стержня получим выражение для граничного условия на левом конце стержня в виде
Силовое условие стыковки первого и второго участков стержня имеет вид
где NIl и NIIl – внутренние усилия в первом и втором участке в сечении x=l (рис 1.3).
Рисунок 1.3. Условие стыковки первого и второго участков стержня.
Расписав выражения для внутренних усилий в сечении x=l получим выражение для силового условия стыковки первого и второго участков в виде
EFuI'l=EFuII'l+F1. 1.4
Кинематическое условие стыковки первого и второго участков стержня имеет вид
где NII2l и NIII2l – внутренние усилия во втором и третьем участках в сечении x=2l (рис 1.4).
Рисунок 1.4. Условие стыковки второго и третьего участков стержня.
Расписав выражения для внутренних усилий в сечении x=2l получим выражение для условия стыковки второго и третьего участков виде
EFuII'2l=EFuIII'2l+F2. 1.6
Кинематическое условие стыковки второго и третьего участков стержня имеет вид
Дифференциальные уравнения равновесия участков стержня (1.1) с граничными условия на концах стержня (1.2) (1.3) а также условиями стыковки первого и второго участков стержня (1.4) (1.5) и второго и третьего участков стержня (1.6) (1.7) представляют собой формулировку краевой задачи. Преобразуем граничные условия и условия стыковки участков стержней и представим формулировку краевой задачи в виде системы
uI''x+qEF=0 0≤x≤luII''x=0 l≤x≤2luIII''x+qEF=0 2l≤x≤3lcEFuI0=uI'0uIl=uIIluI'l=F1EF+uII'luII2l=uIII2luII'2l=F2EF+uIII'2luIII'3l=F3EF. 1.8
Построение точного решения краевой задачи.
Проинтегрируем составленные уравнения равновесия (1.1) для каждого участка стержня:
uIIIx=-q2EFx2+C5x+C6 2l≤x≤3l.
Констант интегрирования C1 C6 определим из граничных условий и условий стыковок (1.2-1.7). Подставим выражения для функций перемещений uix (2.1) в граничные условия и условия стыковки (1.2-1.7). Учитывая при этом связь силовых факторов с геометрическими и упругими характеристиками стержня (табл. 1) получим СЛАУ для определения Ci:
lC2=C1 а-0.5l+C1l+C2=C3l+C4 б-1+C1=5+C3 в2C3l+C4=-2l+2C5l+C6 гC3=4-2+C5 д-3+C5=-5 е.
Решим данную систему уравнений: из (е) C5=-2 из (д) C3=0 из (в) C1=6 из (а) C2=1.2l (б) C4=6.7l (г) C6=12.7l.
Таким образом окончательные выражения для функций перемещений ui(x) имеют вид:
uIx=-12lx2+6x+1.2l 0≤x≤l
uIIx=6.7l l≤x≤2l 2.2
uIIIx=-12lx2-2x+12.7l 2l≤x≤3l.
Представим выражения (2.2) для функций перемещений uix в безразмерном виде:
uIx=-0.5x2+6x+1.2 0≤x≤1
uIIIx=-0.5x2-2x+12.7 2≤x≤3
Построим графики uix:
Рисунок 2.1. График относительных перемещений.
Проведём анализ полученного графика относительных перемещений. По непрерывности графика можно утверждать что кинематические условия стыковки участков стержней выполняются. Проверим также значение uI0=1.2. Перемещение левого конца стержня должно быть равно отношению равнодействующих всех сил и жёсткости пружины:
uI0=1lFΣ c=1lF1+F2+F3+2qlc=F1EF+F2EF+F3EF+2qlEFclEF=5+4-5+25=1.2.
Данное равенство выполняется что позволяет говорить о правильности полученного решения для функций перемещений.
Получим выражения для внутренних усилий на каждом участке пользуясь известной формулой Nx=EFu'x:
NIIIx=EF-1lx-2 2l≤x≤3l.
Покажем что соблюдаются силовые условия стыковки и граничные условия:
силовое условие стыковки первого и второго участков стержня
силовое условие стыковки второго и третьего участков стержня
граничное условие на левом конце стержня
граничное условие на правом конце стержня
Данный вывод также наглядно отражается на графике (рис. 2.2) относительных внутренних усилий выражаемых формулами
Рисунок 2.2. График относительных внутренних усилий.
Преобразование краевой задачи в вариационный принцип.
Запишем условие аннулирование невязки для трёх участков используя сильное вариационное уравнение:
lEFuI''+quIdx+2llEFuIIuIIdx+2l3lEFuIII''+quIIIdx=0. 3.1
Преобразуем уравнение (3.1) взяв по частям составляющие его интегралы:
-0lEFuI'u'Idx-l2lEFuII'u'IIdx-2l3lEFuIII'u'IIIdx+0lquIdx+2l3lquIIIdx+EFuI'luIl-EFuI'0uI0+EFuII'2luI2l-EFuII'luIIl+EFuIII'3luIII3l-EFuIII'2luI2l=0. 3.2
Из кинематических условий стыковки участков следуют некоторые зависимости между перемещениями на участках стержня и их вариациями а именно
uIl=uIIl uII2l=uIII2l. 3.3
На основании выражений (3.3) граничных условий на концах стержня (1.2) (1.3) силовых условий стыковки участков (1.4) (1.6) уравнение (3.2) можно привести к слабому вариационному уравнению вида
-0lEFuI'u'Idx-l2lEFuII'u'IIdx-2l3lEFuIII'u'IIIdx+0lquIdx+2l3lquIIIdx+F1uIl-cuI0uI0+F2uII2l+F3uIII3l=0. 3.4
Уравнение (3.4) с помощью правил вариационного исчисления приводится к виду
0lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx-2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uI2l-F3uIII3l=0. 3.5
Выражение стоящее под знаком варьирования в уравнении (3.5) представляет собой функционал полной потенциальной энергии П:
П=120lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx-2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l. 3.6
Таким образом краевая задача была сведена к вариационной которая выражается вариационным уравнением
и формулируется следующим образом: из всего множества функций uIx uIIx uIIIx принадлежащих области определения оператора краевой задачи выбрать такие которые бы обеспечивали минимум функционала полной потенциальной энергии П (3.6).
Решение для перемещений и напряжений энергетическим методом на линейной аппроксимации поля перемещений.
Выберем для участков стержня линейно аппроксимированные функции перемещений uIx uIIx и uIIIx с учётом кинематических условий:
uIIx=u1+u2-u1lx-l xl2l 4.1
uIIIx=u2+u3-u2lx-2l x2l3l.
График выбранных таким образом функций перемещений показан на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1. Аппроксимация функции перемещений.
Подставляя выражения для функций перемещений (4.1) в выражение для функционала полной потенциальной энергии П (3.6) получим
П=EF2lu1-u02+u2-u12+u3-u22+12cu02-qu0l+u1-u02l-qu2l+u3-u22l -F1u1-F2u2-F3u3
или после приведения подобных
П=EF2lu02+2u12+2u22+u32-2u1u0-2u2u1-2u3u2+12cu02-12qlu0+u1+u2+u3-F1u1-F2u2-F3u3. 4.2
Таким образом функционал полной потенциальной энергии П при аргументах uIx uIIx uIIIx вида (4.1) вырождается в функцию вида
Для обеспечения минимума функционала П при заданных аргументах uIx uIIx uIIIx достаточно потребовать выполнения следующих равенств:
Пu0=0 Пu1=0 Пu2=0 Пu3=0
или после проведения операции дифференцирования
EFlu0-u1+cu0-12ql=0EFl2u1-u0-u2-12ql-F1=0EFl2u2-u1-u3-12ql-F2=0EFlu3-u2-12ql-F3=0. 4.3
Систему линейных алгебраических уравнений (4.3) представим в виде
clEF+1-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=12qlEF12qlEF+F1EF12qlEF+F2EF12qlEF+F3EFl. 4.4
Согласно заданным соотношениям между силовыми геометрическими и упругими характеристиками системы система (4.4) примет в вид
-100-12-100-12-100-11u0u1u2u3=0.55.54.5-4.5l. 4.5
Разрешим систему (4.5) относительно неизвестных u0u1u2u3:
u0u1u2u3=6-100-12-100-12-100-11-10.55.54.5-4.5l=0.20.20.20.20.21.21.21.20.21.22.22.20.21.22.23.20.55.54.5-4.5l=1.26.76.72.2l.
Тогда аппроксимированные функции перемещений примут вид:
uIIIx=15.7l-4.5x x2l3l.
Представим выражения для функций перемещений в безразмерном виде:
uIIIx=15.7-4.5x xl3.
На рис. 4.2 представлены точное решение для относительных перемещения сечений стержня и линейно аппроксимированные относительные перемещения (4.7) определённые энергетическим методом.
Рисунок 4.2. Относительные перемещения определённые точным (сплошная линия)
и энергетическим (пунктирная линия) методами.
Как видно из рис. 4.2 узловые перемещения на границах участков определённые энергетическим и точным методами совпадают.
Определим выражения для внутренних усилий при линейной аппроксимации функций перемещений. На основании выражений (13)
или в безразмерном виде
На рис. 4.3 представлены относительные внутренние усилия (4.9) в сечениях стержня определённые при решении точной краевой задачи и на основе энергетического метода.
Рисунок 4.3. Относительные внутренние усилия определённые точным (сплошная линия)
Как можно видеть по рис. 4.3 внутренние усилия определённые энергетическим методом остаются постоянными в пределах каждого участка что не соответствует действительности. Это объясняется выбором в качестве функций перемещений линейных функций производная от которых даёт постоянную величину в пределах каждого участка.
Оценка погрешности по энергии между точным и приближённым решением.
Согласно принципу Лагранжа система находящейся в состоянии равновесия при действии внешних сил функционал полной потенциальной энергии принимает минимальное значение. Покажем что функционал полной потенциальной энергии на точном решении меньше чем на аппроксимированном. Для удобства вычислений преобразуем функционал (3.6):
Пu=120lEFuI'2dx+12l2lEFuII'2dx+122l3lEFuIII'2dx+12cuI20-0lquIdx-2l3lquIIIdx-F1uIl-F2uII2l-F3uIII3l=EFl1201uI'2dx+1212uII'2dx+1223uIII'2dx+12clEF uI20-01qlEFuIdx-23qlEFuIIIdx-F1EFuI1-F2EFuII2-F3EFuIII3.
Выражение стоящее в скобках является безразмерным. С учётом исходных данных о связях силовых упругих и геометрических факторов введём понятие функционала полной относительной потенциальной энергии
Пu=1201uI'2dx+1212uII'2dx+1223uIII'2dx+52 uI20-01uIdx-23uIIIdx-5uI1-4uII2+5uIII3 5.1
Подставим в выражение для функционала полной относительной потенциальной энергии (5.1) точное решение для относительных перемещений (2.3):
Пu0=1201-x+62dx+1223-x-22dx+52 1.22-01-12x2+6x+1.2dx-23-12x2-2x+12.7dx-5·6.7-4·6.7+5·2.2=12-x+63310+12-x-23321+3.6+ 12x3310-6x2210-1.2+12x3332+2x2232-12.7-49.3=-28.93. 5.2
Подставим в выражение для функционала полной относительной потенциальной энергии (5.1) аппроксимированное решение для относительных перемещений (4.7):
Пu*=12015.52dx+1223-4.52dx+52 1.22-011.2+5.5xdx-2315.7-4.5xdx-5·6.7-4·6.7+5·2.2=12·30.25+12·20.25+3.6-1.2-5.5x2210-15.7+4.5x2232-49.3=-28.85. 5.3
Сравнивая полученные результаты для значений функционала полной относительной потенциальной энергии на точном (5.2) и аппроксимированном (5.3) решениях можно сделать вывод что значение функционала полной потенциальной энергии на точном решении меньше чем на приближённом который согласуется с принципом Лагранжа.
Проведём оценку погрешности по энергии между точным и приближённым решением:
=Пu*-Пu0Пu0·100%=-28.85+28.93-28.93·100%=0.288%.
Погрешность по энергиям между точным и приближённым решением составляет десятые доли процента что говорит о достаточно высокой точности решений задач подобного плана получаемых энергетическим методом в случае частого разбиения стержня на участки.
Решение задачи методом конечных элементов.
Континуальная схема задачи о растяжении стержня представлена на рис. 6.1.
Рисунок 6.1. Континуальная схема нагруженного стержня.
Здесь первый конечный элемент соответствует пружине с жёсткостью c которую можно представить как
Данное соотношение позволяет представить пружину как конечный элемент имеющий матрицу жёсткости
По условию жёсткость пружины равна c=5EFl. Тогда матрица жёсткости первого конечного элемента примет вид
K1=k111k121k211k221 6.1
где k111=k221=5EFl k121=k211=-5EFl.
Второй третий и четвёртый конечные элементы имеют одинаковые матрицы жёсткости
Ki=k11ik12ik21ik22i i=234 6.2
где k11i=k22i=EFl k12i=k21i=-EFl.
Приведём внешние силы действующие на стержень к узлам конечных элементов. К левому концу первого конечного элемента приложена неизвестная реакция опоры X0 правый конец свободен от внешних сил:
К левому и правому концам второго конечного элемента приложены составляющие распределённой нагрузки ql2:
К левому концу третьего конечного элемента приложена сила F1 правый конец свободен от нагрузки:
К левому торцу четвёртого конечного элемента приложена сила F2 и составляющая от распределённой нагрузки ql2 к правому торцу – сила F3 и составляющая от распределённой нагрузки ql2:
fΣ4=F2+ql2F3+ql2. 6.6
При определении сил действующих на концы конечных элементов было использовано следующее правило представляющее собой следующую договорённость: сосредоточенные силы попадающие в конечном элементе в левый узел остаются в этом элементе а в случае попадания в правый узел сосредоточенная сила переходит в левый узел последующего элемента.
Глобальная матрица жёсткости для системы состоящей из четырёх конечных элементов имеет вид
K=k111k121000k211k221+k112k122000k212k222+k113k123000k213k223+k114k124000k214k224.
Для конечных элементов составляющих континуальную схему данной задачи и имеющих матрицы жёсткостей (6.1) (6.2) глобальная матрица жёсткости примет вид
K=EFl5-5000-56-1000-12-1000-12-1000-11. 6.7
Внешних узловых сил для системы состоящей из четырёх конечных элементов имеет вид
F=f11f21+f12f22+f13f23+f14f24.
В соответствии с суммарными силами (6.3) – (6.5) действующими на концы конечных элементов вектор узловых сил примет вид
F=X0ql2F1+ql2F2+ql2F3+ql2.
Согласно исходным данным имеют место следующие связи силовых упругих и геометрических факторов:
ql=EF F1=5EF F2=4EF F3=-5EF.
В таком случае вектор узловых сил примет окончательный вид
F=EFX00.55.54.5-4.5 6.8
Вектор узловых перемещений имеет вид
Q=u1 u2 u3 u4 u5Т 6.9
где u1=0 согласно условию закрепления системы – левый конец первого конечного элемента соответствующего правому концу пружины консольно закреплён.
Система уравнений описывающая конечноэлементную модель стержня имеет вид
или в соответствии с (6.7) – (6.9)
EFl5-5000-56-1000-12-1000-12-1000-110u2u3u4u5=EFX00.55.54.5-4.5.
Полученная система уравнений распадается на две части решаемые последовательно. Вначале решим последние четыре уравнения относительно неизвестных узловых перемещений u2 u5 затем решается первое уравнение и находится неизвестная реакция опоры X0:
u2u3u4u5=l6-100-12-100-12-100-11-10.55.54.5-4.5=0.20.20.20.20.21.21.21.20.21.22.22.20.21.22.23.20.55.54.5-4.5l=1.26.76.72.2l
X0=-5u2l=-5·1.2ll=-6.
Таким образом узловые перемещения составляют
u2=1.2l u3=u4=6.7l u5=2.2l
что полностью совпадает с результатами полученными энергетическим методом (рис. 4.3).
Для определения напряжений в элементах бруса воспользуемся формулой
Согласно данной формуле
=Eu2-u1l=E·l·1.2l=1.2 E2=Eu3-u2l=E·l·6.7-1.2l=5.5 E
=Eu4-u3l=E·l·6.7-6.7l=0
=Eu5-u4l=E·l·2.2-6.7l=-4.5 E.
Сравнивая значения напряжений во втором третьем и четвёртом конечных элементах со значениями внутренних усилий в соответствующих участках полученных энергетическим методом и учитывая масштабный фактор (напряжение есть внутреннее усилие отнесённое к площади) можно сделать вывод о совпадении результатов для внутренних усилий (напряжений) действующих в сечениях стержня и определённых энергетическим методом и методом конечных элементов.
Компьютерное моделирование растяжения стержня.
1. Построение конечноэлементной модели стержня.
В данной работе модель объекта задаётся разу в конечноэлементном представлении без предварительного построения его геометрической модели.
Построим одномерную модель бруса с началом в нуле глобальной системы отсчёт и осью бруса направленной вдоль оси Х глобальной системы отсчёта. Построение будем производить согласно четырёхэлементной одномерной стержневой модели нагруженного бруса показанной на рис. 6.1. Поскольку для сравнения результатов удобно использование безразмерных величин будем считать единичными модули упругости и площади поперечного сечения всех конечных элементов а также длины второго третьего и четвёртого конечных элементов. Особенность первого конечного элемента представляющего собой пружину связанную с отличающейся от остальных конечных элементов матрицей жёсткости будет учитываться в его длине. Так как жёсткость первого конечного элемента (6.1) в 5 раз больше жёсткости остальных конечных элементов (6.2) то длину первого конечного элемента зададим в пять раз меньшую по сравнению с остальными конечными элементами а именно равной 0.2.
Итак для построения конечноэлементной модели стержня в меню ElementsCreateElementEdit выберем форму элементов Shape: «Bar» а в полях ввода Node 1 и Node 2 введём координаты начального и конечного узлов каждого из трёх элементов. Например конечный элемент I длиной l=0.2 задаётся координатами двух его узлов Node 1: [0 0 0] Node 2: [0.2 0 0]. Элементы II и III задаются аналогично. Для соединения трёх конечных элементов в единый объект объединим общие узлы при помощи команды ElementsEquivalence. Результатом выполнения команды является удаление четырёх совпадающих узлов с сообщением об этом в статусной строке программы.
2. Задание граничных условий и приложения нагрузок.
Жёсткому типу закрепления бруса в первом узле конечноэлементной модели соответствуют нулевые значения векторов линейных и угловых перемещений Translations T1 T2 T3>=[0 0 0] и Rotations R1 R2 R3>=[0 0 0] в меню граничных условий LoadsBCDisplacementsNodalInputData. Областью приложения задаваемых граничных условий является узел Node 1 одномерной модели задаваемый в подменю SelectApplicationRegion.
Приложенные силы задаются в меню LoadsBCForceNodal проекциями на координатное оси глобальной системы координат Fx Fy Fz>. В данном примере необходимо задать три сосредоточенные силы F1 0 0> F2 0 0> и F3 0 0> в меню LoadsBCForceNodalInputData приложенные к узлам 3 (Node 2) 4 (Node 4) и 5 (Node 5) конечноэлементной модели а также распределённую нагрузку q 0 0> в меню LoadsBCDistributed LoadNodalElement UniformTarget ElementType1D приложенную к элементам 2 (Elm 2) и 4 (Elm 4). Места приложения сил задаются в подменю SelectApplicationRegion. При этом для получения безразмерных величин необходимо задать сосредоточенные силы в масштабе EF а распределённые – в масштабе EFl т.е. F1=5 F2=4 F3=-5 q=1.
В результате компьютерная модель с заданными граничными условиями и приложенной нагрузкой примет вид показанный на рис. 7.2.1.
Предполагаем что прикладываемая нагрузка равномерно распределена по поперечному сечению бруса.
Рисунок 7.2.1. Одномерная компьютерная модель стержня с заданными граничными условиями и приложенными силами.
3. Моделирование материалов.
В подменю Input Properties меню PropertiesCreateIsotropicManual Input введём 1 в поле Elastic Modules и Poisson Ration определив таким образом модуль упругости и коэффициент Пуассона материала. После нажатия кнопки Ok и присваивания имени mat материалу в поле Material name сохраним созданный материал нажатием кнопки Apply.
4. Задание типа и свойств конечных элементов.
Для моделирования растяжения-сжатия стержня применим тип конечных элементов Beam. Задание типа элементов его параметров и материала производится в меню свойств Properties системы MSC.Patran. Конечные элементы имеют одинаковые поперечное сечение и модуль упругости. Размеры и вид поперечного сечения задаются в меню ToolsBeam Library. После выбора прямоугольного поперечного сечения задаются его размеры единичные размеры в полях W и H. Параметры поперечного сечения сохраняются под именем popsech. Далее в подменю Input Properties меню PropertiesCreate1DBeam в поле ввода Section Name выберем заданное ранее поперечное сечение popsech в поле ввода Bar Orientation вектор 0 1 0> в поле ввода Material Name выберем заданный ранее материал mat а в поле Select Members подменю Select Application Region указываем все созданные конечные элементы (Elm 1:4).
5. Процессорная обработка модели в MSC.Nastran и передача результатов для обработки постпроцессором.
В данном примере производится стандартный статический расчёт модели. Для его осуществления в меню AnalysisAnalyzeEntireModelFullRun нажимаем кнопку «Apply» без изменения заданных по умолчанию параметров анализа. Передача результатов анализа для их постпроцессорной обработки в MSC.Patran производится нажатием кнопки «Apply» в меню AnalysisAccessResultsAttachXDBResultsEntities.
6. Постпроцессорная обработка. Вывод результатов статического расчёта стержня.
Результаты расчёта стержня на жёсткость отобразим в векторном виде. Для этого в меню ResultsCreateMarkerVector выберем DisplacementsTranslation. Результат представлен на рис. 7.6.1 где направления векторов сонаправлены с перемещениями узлов четырёх конечных элементов. Кнопкой CopyToClipboard производится копирование окна результатов в буфер обмена компьютера.
Рисунок 7.6.1. Векторное представление относительных перемещений узлов модели стержня в MSC.Patran.
Результаты расчёта стержня на прочность отобразим градиентной заливкой с числовыми значениями нормальных напряжений в конечных элементах. Для получения градиентной заливки пропорциональной действующему в стержне нормальному напряжению в меню ResultsCreateFringe выберем StressTensor Quantity: XComponent. Для получения числовых значений напряжений в конечных элементах используем меню ResultsCreateCursorScalar. Результат представлен на рис. 7.6.2.
Рисунок 7.6.2. Графическое представление относительных нормальных напряжений в стержне.
Как можно видеть по рис. 7.6.1 и 7.6.2 результаты компьютерного моделирования для перемещений в узлах и напряжений в конечных элементах полностью совпадают с результатами полученными при аналитических расчётах растяжения стержня методом конечных элементов и представленными в пункте 6.