Расчет и проектирование металлических конструкций в строительной механике

Задача 2.doc

Барановской Екатерины
Расчетное задание №4 по курсу
«Строительная механика и металлические конструкции»
а=2 м с=1 м Р1=100 кН Р2=150 кН
Выполнить кинематический анализ системы. Выявить нулевые стержни.
i=2w-s-r=2*20-37-3=40-37-3=0 => Задача статически определима.
w – количество узлов;
s – количество стержней;
r – количество опорных реакций.
Построить линии влияния усилий в стержнях S1 S2 S3.
ΣМо=-S1па+Ву*2а-(4а-х)=0
ΣМА=-6а+х+Ву*4а=0 => By=(6a-x)4a
ΣMo’=S3ла+(2а-х) => S3л=-2+xa=-2+x2
ΣMo’=S3па=0 => S3п=0
Вычислить наибольшие усилия в стержнях S1 S2 S3 от системы сил Р.
)S1=100*34+150*1=225 кН
)S1=-100*34-150*1=-225 кН
S2=100*12+150*1=200 кН
S3=-100*2-150*32=425 кН

2.docx

Санкт-Петербургский государственный Политехнический Университет
Транспортные и технологические системы
Расчетное задание по курсу «Металлические конструкции машин»
Студент гр. 40451: Якобенко К. В.
Преподаватель:Кузьмичев В.А.
Выполнить кинематический анализ системы. Выявить нулевые стержни.
Определить усилия в стержнях S1 S2 S3 от сил Р3.
Построить линии влияния усилий в стержнях S1 S2 S3.
Вычислить наибольшие усилия в стержнях S1 S2 S3 от системы сил Р.
Определим является ли балка статически определимой. Число неизвестных реакций равняется трем то есть количеству уравнений статики - следовательно балка статически определима.
Выявим нулевые стержни – на Рис.1.
Построим линии влияния опорных реакций. (Рис.1)
Построим линии влияния усилий в стержнях S1 S2 S3. (Рис.2)
S1 – нулевой стержень усилия в нем =0.
Рассчитаем усилия в стержнях S1 S2 S3 от сил Р3 а также от системы сил Р.

2.frw

Задача 1.doc

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Механико-машиностроительный факультет
Кафедра «Подъемно-транспортные и строительно-дорожные машины»
Расчетное задание по курсу:
«Металлические конструкции машин»
Студентка группы 40452
Принял: (Кузьмичев В.А.)
Выполнить кинематический анализ системы.
Построить эпюры M и Q.
Построить линии влияния А MВВ и QВВ.
Вычислить по линиям влияния значения А и MВВ от нагрузок Р.
a = 2м b = 3м c = 1м P1 = 100 кН P2 = 50кН.
Определение опорных реакций.
Разобьем балку в шарнирах. Это упрощает определение реакций и построение
Построение эпюр M и Q.
Определив реакции можно построить эпюры Q и M:
Построение линий влияния А MВВ и QВВ
Вычисление по линиям влияния значения MВВ от нагрузок Р1 и Р2
Определим положение тележки при котором QА максимален то есть самое
невыгодное положение.
P1 = 100 кН P2 = 50 кН.
Определим положение тележки при котором Mвв максимален то есть самое
Подбор сечения балки
Подберем сечение балки исходя из метода допускаемых напряжений.
Где [pic] = 1325 кН – момент возникающий в сечение ВВ при самом невыгодном
к= 25 – коэффициент запаса

Строймех.doc

Барановской Екатерины
Расчетное задание №4 по курсу
«Строительная механика и металлические конструкции»
[pic]a=2 м b=3 м с=1 м Р1=100 кН Р2=150 кН F=P1
Выполнить кинематический анализ системы.
i=3s-2u-3h-r=3*2-2*1-3*1-1=6-2-3-1=0
s – количество стержней;
u – количество шарниров;
h – количество заделок;
r – количество опорных стержней.
Построить эпюру моментов от нагр. F.
Σ Mшарнпр=Сb=0 => C=0
Σ Mшарнлев=Ma-A(2b+a)=0 => Ma=A(2b+a)
Σ MC=Fb+Ma-A(3b+a)= Fb+ A(2b+a)-A(3b+a)=Fb-Ab=0 => A=F=100 кН
Ma=F(2b+a)=100(2*3+2)=800 кН*м
M3=-A*x3+Ma=-F*x3+F(2b+a)=-100*x3+800
Построить линии влияния А и МВВ.
Для удобства рассмотрения разделим балку в месте шарнирного
соединения на две при этом учтем усилия в шарнире.
Рассмотрим правую часть основной балки
ΣMBBПр1=-La-(a-x2)=x2-a=x2-2
Правая балка: ΣMС=-Lb+(b-x)=0 => L=1-xb
ΣMBBПр2=-La=x*ab-a=2x3-2
Найти положение тележки при котором момент MBB будет максимальным.
Проверим 3 положения тележки:
МВВ=-100*1-150*2=-400 кН*м
МВВ=-100*2-150*43=-400 кН*м
МВВ=100*43+150*2=433 кН*м
Из полученных значений видно что момент MBB будет максимальным при
третьем положении тележки.

0 термины и обозначения.doc

Термины и их определения
Внутренние усилия – усилия взаимодействия между частями стержня или
стержневой системы возникающие под влиянием нагрузок. Внутренними усилиями
являются изгибающие и крутящие моменты продольные и поперечные силы
действующие в сечениях балок.
Живучесть – способность конструкции сохранять основные
эксплуатационные свойства (обеспечивать несущую способность жесткость и
пр.) при воздействиях не предусмотренных условиями нормальной
эксплуатации иили возникновении некритических повреждений.
Концентратор напряжений – местные особенности геометрии тела
вызывающие возникновение концентрации напряжений. Концентраторами являются
отверстия галтельные переходы сварные узлы внутренние несплошности в
сварных швах трещины и пр.
Концентрация напряжений – местное повышение напряжений по сравнению с
номинальным уровнем возникающее в нагруженном теле в близи концентраторов.
Нагрузки – силовые воздействия на рассматриваемый (рассчитываемый)
объект со стороны других объектов.
Несущая конструкция (металлическая конструкция) – базовый элемент
машины предназначенный для закрепления и обеспечения взаимодействия всех
механизмов восприятия и передачи на основание эксплуатационных нагрузок.
Основное сечение – поперечное сечение элемента конструкции (балки
рамы или стержня) количество циклов нагружения которого пропорционально
количеству циклов работы машины а разрушение приводит к потере несущей
способности конструкции в целом. Термин используется в расчете на
сопротивление усталости.
Расчетная зона (РЗ) – ограниченная область сварного узла или болтового
соединения в которой действуют значительные по абсолютной величине и
амплитуде местные напряжения являющаяся потенциальным очагом зарождения
усталостной трещины. В зависимости от условий нагружения расчетные зоны
делятся на два типа РЗ1 – расположенные в основных сечениях и РЗ 2 –
расположенные в узлах местного нагружения.
Стержень – элемент конструкции максимальный поперечный размер
которого по меньшей мере в 5 раз меньше его длины. Стержни
преимущественно загруженные изгибом называют балками.
Узел местного нагружения – узел для которого уровень действующих
напряжений иили количество циклов нагружения не пропорционально весу груза
и количеству циклов работы крана. Характер нагружения этих узлов обусловлен
локальным приложением переменных нагрузок (например от ходовых колес)
влиянием перекосов статической неопределимости подвижной конструкции
неточности установки колес и пр. Термин используется в расчете на
Характерный технологический цикл (ХТЦ) работы крана – типичная для
условий эксплуатации данного крана траектория движения грузозахватного
органа включающая полный цикл работы. Для конкретной машины на основании
наблюдений может быть установлен один или несколько ХТЦ. Термин
используется в расчете на сопротивление усталости.
Список важнейших и часто встречающихся условных обозначений
Е – модуль упругости материала (модуль Юнга) МПа;
[pic] – значения усилий изгибающих моментов и напряжений вычисленные
по правилам системы расчетов по допускаемым напряжениям;
[pic] – значения усилий изгибающих моментов и напряжений
вычисленные по правилам системы расчетов по предельным состояниям то есть
с учетом коэффициентов надежности (перегрузки) по каждой нагрузке;
Q – номинальная грузоподъемность крана (кг или т);
[pic] – конструктивный коэффициент используется для учета
крупномасштабной концентрации напряжений в расчетах на сопротивление
[pic] – коэффициент надежности по назначению конструкции или ее
[pic] – предел выносливости рассчитываемого узла при симметричном
цикле нагружения на базе [p
[pic] – базовый предел выносливости типового узла при симметричном
[pic] – эквивалентные напряжения используемые при расчетах на
Сокращения используемые в тексте
ГПМ – грузоподъемные машины;
КИН – коэффициент интенсивности напряжений;
МКЭ – метод конечных элементов;
ПТМ – подъемно-транспортные машины;
РЗ (РЗ 1 и РЗ 2) – расчетная зона (первого и второго типов);
СРДН – система расчетов по допускаемым напряжениям;
СРПС – система расчетов по предельным состояниям;
ХТЦ – характерный технологический цикл работы крана.

3.doc

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Расчетное задание №5
Дисциплина: строительная механика
Студент гр. 40453: Куцемакин А.Л..
Преподаватель: Соколов С.А.

02-1-2 Анализ стержн сист.doc

Статически определимые стержневые системы
Для назначения параметров сечений и прогнозирования работоспособности
конструкции необходимо оценить уровень ее нагруженности. То есть определить
действующие в ней внутренние усилия и напряжения. Методам решения этой
задачи посвящены разделы 2 и 3.
Модели стержневых систем
Виды моделей и методы их анализа
Для успешного проектирования машины необходимо иметь возможность
прогнозировать ее свойства в зависимости от принятого конструктивно-
технологического решения. В основе прогнозирования лежит методика
моделирования объекта то есть представление объекта или явления в удобном
для изучения виде построения его модели. Модель - это идеализированное
отображение рассматриваемой системы она описывает важнейшие для данного
рассмотрения свойства исходного объекта поэтому она всегда проще его. С
другой стороны модель никогда не отражает все свойства объекта поэтому
результаты моделирования всегда приближенны. Степень приближенности
определяется качеством и полнотой модели.
Классификация моделей показана на рис.2.1. Рабочие модели выполняют
непосредственно рабочие функции исследовательские служат для
прогнозирования поведения объектов. Экспериментальные физические модели
повторяют физику натуры аналоговые - основаны на совпадении
математического описания поведения процессов разной природы (например
механических и электрических колебаний). Теоретические модели формулируются
в терминах и понятиях науки изучающей данное явление (физики экономики
химии и пр.) на их основе далее разрабатывается математическая модель.Для
прогнозирования внутренних усилий и перемещений элементов конструкций
используются модели называемые расчетными схемами которые в наглядной
Расчетная схема конструкции используемая для анализа напряженно-
деформированного состояния представляет собой ее упрощенное изображение
характеризующее ее конфигурацию и размеры условия закрепления и
нагружения. Такую схему называют геометрической моделью.
Для анализа общего напряженного состояния конструкций используют
стержневые модели. Напряженно-деформированное состояние стержневых
элементов описывают методами Сопротивления материалов. Местное напряженное
состояние тонкостенных узлов описывают с помощью моделей образованных из
пластин или оболочек. Для расчета компактных массивных фрагментов
конструкции применяют объемные модели.
Аналитические и численные методы расчета. Расчет напряженно-
деформированного состояния модели производят аналитическими или численными
(МКЭ) методами. Аналитическими называют методы представляющие собой
замкнутый алгоритм с помощью которого путем ряда прямых вычислений можно
получить искомую величину например опорную реакцию изгибающий момент или
напряжение в сечении балки. Аналитические методы используются для расчета
простейших стержневых конструкций. Они базируются на технической теории
изгиба стержней (гипотезе плоских сечений) и упрощенных параметрических
моделях конструкции.
Для аналитического анализа основных видов конструкций (п.1.1.)
используют два типа стержневых моделей:
– рамы представляющие собой систему балок соединенных друг
с другом различными способами и в основном загруженных
изгибающими моментами (рис.2.1 а);
– фермы которые состоят из треугольных стержневых структур
(треугольников или тетраэдров) элементы которых в основном
загружены продольными силами (рис.2.1 б). При расчете ферм
предполагается шарнирное соединение стержней в узлах что
существенно упрощает расчет.
Расчетные стержневые схемы могут быть плоскими или пространственными.
Плоскими называют схемы все стержни которых и нагрузки лежат в одной
плоскости (рис.2.1 б). Аналитические методы обычно используют только для
расчета плоских или простейших пространственных схем.
Наиболее универсальным и мощным численным методом анализа напряженно-
деформированного состояния элементов конструкций проверки конструкций на
прочность жесткость и устойчивость является метод конечных элементов
(МКЭ). МКЭ основан на моделировании объекта рассмотрения совокупностью
элементов конечных размеров (конечных элементов). Применение МКЭ позволяет
рассчитывать объекты сколь угодно сложной формы. Методика применения МКЭ
для расчета конструкций рассмотрена в п.3.3.
Рис.2.1. Основные типы конструкций
Основные понятия и допущения
Линейные стержневые системы. Для того чтобы несущая конструкция могла
выполнять свои функции обеспечивать нормальную работу механизмов и рабочих
органов ее необходимо спроектировать так чтобы она обладала достаточно
высокой жесткостью и не получала остаточных деформаций под действием
эксплуатационных нагрузок. Это значит что упругие перемещения элементов
конструкции под действием эксплуатационных нагрузок должны быть весьма малы
по сравнению с размерами ее сечений. Для выполнения второго требования
необходимо обеспечить чтобы основной объем материала конструкции находился
в упругом состоянии.
Расчет таких конструкций выполняют с помощью линейных стержневых
моделей. Эти модели которые характеризуются геометрической и физической
линейностью. Геометрически линейными считают системы в которых
перемещения возникающие под воздействием нагрузки ничтожно малы по
сравнению с габаритными размерами сечений стержней и не влияют на их
нагруженность (рис.2.1 а б). Поэтому определение внутренних усилий в
таких конструкциях производят по недеформированной схеме. Примеры
геометрически нелинейных систем показаны на рис.2.1 в г. Физическая
линейность реализуется в том случае если материал из которого изготовлена
конструкция является абсолютно упругим то есть подчиняется закону Гука.
Это значит что например при линейном напряженном состоянии выполняется
модуль упругости (модуль Юнга).
Линейные системы обладают следующими свойствами:
) Перемещение любой точки системы линейно зависит от значения
приложенной нагрузки [pic] то есть
Здесь [pic] – коэффициент податливости (мН) который численно равен
перемещению данной точки от силы [pic] Н.
) К линейным системам применим принцип независимости действия сил
(принцип суперпозиций). Это значит что внутренние усилия напряжения или
перемещения от действия нескольких нагрузок (сил моментов) равны сумме
этих факторов найденных от каждой из нагрузок например
[pic] [pic] [pic] (2.1)
где [pic] [pic] [pic]– коэффициенты пропорциональности для моментов
напряжений и перемещений. Это свойство позволяет суммировать эпюры
изгибающих моментов напряжения или перемещения в какой-либо точке
конструкции от действия нескольких нагрузок если они приложены
) После разгрузки линейной системы ([pic]) все ее точки возвращаются
в исходное состояние ([pic]) то есть остаточные деформации равны нулю.
В некоторых видах конструкций с целью снижения их массы используют
стержни из высокопрочных материалов имеющие пониженную жесткость или
гибкие оттяжки. В некоторых случаях такие конструкции приходится
рассчитывать без использования указанных допущений с помощью нелинейных
расчетных схем то есть по деформированной схеме (п.2.4. 6.2.2.). В данном
разделе рассматриваются методы расчета линейных стержневых систем.
Статическое и динамическое нагружение конструкции. Статическим
называют такое нагружение при котором упругие перемещения конструкции
происходят настолько медленно что возникающими при этом инерционными
силами можно пренебречь. Такая ситуация возникает в том случае когда время
нарастания нагрузки от нуля до максимального значения более чем в 65 раз
превышает период колебаний конструкции при низшей частоте ([pic]). В
противном случае нагружение конструкции считается динамическим и при
расчете внутренних усилий следует учитывать инерционные нагрузки. Для этого
используют динамические модели (см. гл. 4.).
Рис.2.2. Примеры линейных (а и б) и нелинейных (в и г) систем
Кинематический анализ стержневых расчетных схем
Если расчет конструкции производится аналитически то для выбора
методики расчета обязательно должен быть выполнен кинематический анализ
расчетной схемы. Он должен показать является ли система геометрически
изменяемой статически определимой или статически неопределимой. В первом
случае система не может нести нагрузку и не подлежит расчету методами
строительной механики. В каждом из двух других случаев должны быть выбраны
соответствующие методы расчета внутренних усилий. Кинематический анализ
включает аналитическое определение количества степеней свободы (степени
статической неопределимости) системы и анализ ее структуры. Количеством
степеней свободы системы называют число взаимно независимых координат
однозначно определяющих ее положение в пространстве при условии что все
элементы системы считаются абсолютно жесткими.
Расчетная схема в кинематическом анализе рассматривается как система
состоящая из нескольких абсолютно жестких блоков (стержней) соединенных
связями с основанием иили друг с другом. Связи разделяются по количеству
степеней свободы которые они отнимают у присоединяемого ими блока. Кроме
того они могут быть жесткие и упругие двухсторонние и односторонние.
Жесткие связи моделируются опорными стержнями или жесткими заделками.
Опорные стержни – это условные (то есть существующие только на расчетной
схеме но моделирующие действительное взаимодействие тел) абсолютно
жесткие весьма длинные по сравнению с возможными перемещениями стержни
соединенные с блоками идеальными шарнирами. Каждый опорный стержень
отнимает у блока одну степень свободы то есть запрещает линейное
перемещение точки блока с которой связан опорный стержень вдоль оси
стержня. Виды связей блоков с основанием и друг с другом и соответствие
связей и опор балок используемых в курсе "Сопротивление материалов
показано на рис.2.3.
Упругие связи не отнимают степеней свободы но создают реакции
пропорциональные перемещениям точки присоединения этой связи в направлении
этой связи. С помощью упругих связей моделируют например податливое
основание или канатную оттяжку. В кинематическом анализе эти связи
рассматривают как жесткие однако при расчете таких конструкций следует
проанализировав возникающие в них перемещения принять решение является ли
расчетная схема линейной или нет (п.2.1.2.). При отрицательном результате
следует вести расчет по деформированной схеме.
Связи которые ограничивают перемещения в обоих направлениях и
воспринимают нагрузки любого знака называют двухсторонними. Если связь
может воспринимать нагрузки только одного знака то ее называют
односторонней. Такой связью является колесо опертое на рельс поскольку
контакт может передавать только сжимающие усилия но не препятствует
подъему колеса. Канатная оттяжка может воспринимать только растягивающие
усилия но при сжатии теряет свою форму. Такие связи могут явиться причиной
нелинейности системы если действующие нагрузки знакопеременны.
Для плоских систем кинематический анализ производится по следующим
правилам. Блок на плоскости имеет 3 степени свободы. Таким образом чтобы
закрепить блок требуется как минимум 3 опорных стержня (рис.2.6 а).
Жесткая заделка блока в основании или в соседнем блоке моделируется тремя
стержнями и отнимает три степени свободы (б в). Плоский шарнир
соединяющий два блока (простой шарнир) отнимает 2 степени свободы (г). На
основании сказанного число степеней свободы системы вычисляют по формуле
где [pic] – соответственно количество блоков простых шарниров жестких
связей (с основанием или между блоками) и опорных стержней.
По результатам расчета параметра [pic] (2.2) могут быть сделаны
следующие предварительные выводы. Если [pic] > 0 то система геометрически
изменяема если же [pic] 0 то система [pic] раз статически неопределима.
Для геометрически неизменяемой и статически определимой системы получится
Так система на рис.2.7а имеет одну степень свободы ([pic]). Система
на рис.2.7 б имеет 4 жесткие связи две между стержнями и две с
основанием. Она статически неопределима 3 раза ([pic]). Такая конструкция
называется внешне статически неопределимой. Для стержневой системы
рис.2.7в [pic]. Она действительно геометрически неизменяема и статически
Плоский замкнутый контур без шарниров трижды статически неопределим.
Если представить конструкцию на рис.2.7 г как систему их 4-х жестко
соединенных стержней то получим [pic]. Если же в контур ввести один
плоский шарнир (рис.2.7д) то получим [pic]. Таким образом шарнир
снимает одну степень неопределимости. Статическая неопределимость
обусловленная наличием замкнутых контуров называется внутренней.
Однако аналитическое условие является необходимым но не достаточным.
Поэтому требуется анализ структуры системы. Рассмотрим например
стержневую систему на рис.2.7 е для которой [pic]. Однако не сложно
увидеть что она состоит из статически неопределимого портала и
геометрически изменяемой двухстержневой системы (ж). Кроме того
конструкция будет геометрически изменяемой (подвижной) если оси всех
опорных стержней пересекаются в одной точке или параллельны (рис.2.7 з
Аналогичные правила можно записать для пространственной системы. Блок
в пространстве имеет 6 степеней свободы. Каждый опорный стержень отнимает у
блока одну степень свободы. Жесткая заделка блока в основании или жесткое
соединение двух блоков моделируется шестью стержнями и отнимает у системы 6
степеней свободы. Простой плоский шарнир (1D) соединяющий два блока не
допускающий относительного линейного перемещения (рис.2.6 г) отнимает 5
степеней свободы. Плоский шарнир (2D) допускающий их относительный поворот
и перемещение вдоль оси шарнира (д) отнимает 4 степени свободы. Простой
сферический шарнир (3D) (е) отнимает 3 степени свободы. Соединение двух
стержней сферическим шарниром допускающим не только поворот но и
относительное перемещение вдоль одной из осей (4D) (ж) отнимает 2 степени
свободы. На основании сказанного число степеней свободы системы вычисляют
число опорных стержней.
Для схемы на рис.2.8а имеем [pic]6 [pic]0 [pic]0 [pic]0 [pic]0
[pic]10 (4 заделки по 6 жестких соединений стержней) [pic]0 следовательно
Эта пространственная система 24 раза статически неопределима.
Высокая степень статической неопределимости предъявляет весьма жесткие
требования к точности изготовления конструкции и монтажных соединений.
Погрешность изготовления затруднит сборку потребует подгонки или создаст
внутренние усилия не предусмотренные расчетом.
Рассмотрим шарнирный вариант той же конструкции (рис.2.8 б). В схеме
с двумя сферическими шарнирами один из которых допускает перемещение вдоль
оси а другой – нет получится [pic] 6 [pic] 1 [pic] 1 [pic] 0 [pic] 0
[pic] 4 [pic] 10. Подставив эти значения в (2.3) найдем
Степень статической неопределимости существенно снизилась. Если же ее для
упрощения представить в виде плоской схемы (рис.2.8в) то согласно (2.2)
получится статически определимая конструкция так как [pic]2 [pic]1
[pic]0 [pic]4 и следовательно [pic].
Приведенный пример показывают что плоские схемы не позволяют
адекватно оценить степень статической неопределимости пространственной
конструкции и на стадии проектирования выявить требования к точности
изготовления элементов и технологии изготовления. Удаление лишних связей
упрощает изготовление и монтаж конструкции а также уменьшает внутренние
усилия возникающие в результате неточности изготовления и взаимонагружения
элементов однако обычно приводит к повышению напряжений от внешних
Рис.2.6. Обозначения связей в статических схемах.
Рис.2.7. Примеры стержневых систем для кинематического анализа
Рис.2.8. Схемы рам для кинематического анализа
Расчет рам при действии неподвижной нагрузки
В данном разделе рассмотрены методы определения опорных реакций и
внутренних усилий возникающих в статически определимых стержневых системах
под действием неподвижных статических нагрузок.
Внутренними усилиями называют изгибающие и крутящие моменты
продольные и перерезывающие силы действующие в сечениях стержней. В
сечении стержневого элемента пространственной конструкции в общем случае
возникает 6 силовых факторов: продольное усилие [pic] поперечные
(перерезывающие) силы [pic] и [pic] изгибающие моменты [pic] и [pic] а
также крутящий момент [pic]. В плоских системах возникает только три вида
внутренних усилий: продольное усилие [pic] поперечная сила [pic] и
изгибающий момент [pic].
Рассмотрим процедуру расчета конструкции на простом примере плоской
рамы (рис.2.9а). Расчет начинается с кинематического анализа который
позволит установить действительно ли система является статически
определимой. Согласно (2.2) для этой модели [pic]3 [pic]0 [pic]2 (два
жестких узла соединения стержней) [pic]3 следовательно
То есть система статически определима. Анализ структуры системы (п.2.1.3.)
подтверждает этот вывод.
Все силовые факторы в статически определимых системах могут быть
найдены из условий равновесия. Как правило расчет начинают с определения
опорных реакций. Они вычисляются из уравнений равновесия для системы в
целом. Найдем сумму моментов относительно точки А считая положительными
моменты направленные против часовой стрелки
Отсюда находим опорную реакцию
Аналогичным образом из уравнений моментов относительно точки В находим
реакцию [pic] а из сумм проекций всех сил на ось x – реакцию [pic]. В
результате получается
Изгибающий момент в любом сечении равен сумме моментов всех внешних
усилий (включая опорные реакции) действующих на отсеченную часть взятых
относительно центра тяжести этого сечения. При этом не имеет значения
какую отсеченную часть рассматривать левую или правую. В строительной
механике знак момента не определяется а эпюра строится на растянутом
волокне стержня. Такой прием обеспечивает большую информативность эпюры
особенно для рамных конструкций для которых строится совокупность эпюр для
горизонтальных вертикальных наклонных элементов. Расположение растянутого
волокна ориентирует конструктора на дальнейшие действия. В растянутой
области следует избегать концентраторов напряжений если есть опасность
усталостного или хрупкого повреждения а в сжатой – надо производить
проверку элементов балки на местную устойчивость.
Изгибающие моменты в сечениях на участке 1-2 равны нулю поскольку
единственная сила [pic] действующая на нижнюю отсеченную часть не дает
момента относительно сечения. На участке 2-3 найдем изгибающий момент в
сечении на расстоянии [pic] от точки 2 рассматривая правую отсеченную
часть (рис.2.9б). Он равен
Из схемы видно что в этом сечении нижнее волокно растянуто следовательно
эпюру строим под стержнем (рис.2.9 в). Момент на участке 3-4
Изгибающий момент на участке 4-5 легче находить рассматривая левую
(нижнюю) отсеченную часть
Построенная таким образом по участкам эпюра моментов показана на рис.2.9в.
Перерезывающая сила равна сумме проекций всех сил действующих на
отсеченную часть на главную центральную ось данного сечения (рис.2.8б
ось [pic]). Если рассматривается сумма проекций сил действующих на левую
отсеченную часть то сумма берется со знаком «плюс» если же на правую
часть – то со знаком «минус».
Пользуясь полученными выше опорными реакциями можем построить эпюру
перерезывающих сил. На участке 1-2 она также будет нулевой а на следующих
участках получим (рис.2.9г)
Правильность построения эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил
можно проверить по известному соотношению
Рис.2.9. Схема к определению внутренних усилий.
Наиболее загруженное сечение при подвижной нагрузке
Характерным случаем нагружения для машиностроительных конструкций
является подвижная нагрузка. Так например загружает тележка с грузом
пролетное строение мостового крана или стрелу башенного крана. В таких
случаях могут возникать задачи двух типов:
– определение такого положения подвижной нагрузки и такого сечения в
конструкции в котором возникают наибольшие внутренние усилия;
– определение характера изменения внутренних усилий в заданном сечении
при движении нагрузки.
Решение первой задачи позволяет найти максимальные внутренние усилия
для расчетов на прочность. Вторая задача возникает в тех случаях когда
необходимо найти максимальные усилия и изменение усилий в определенном
сечении в котором например расположено болтовое соединение или
значительный концентратор напряжений. Она решается с помощью аппарата линий
Для выполнения прочностных расчетов и определения параметров сечений
конструкций загруженных подвижной нагрузкой необходимо определить в каком
сечении и при каком положении нагрузки возникнет максимальный изгибающий
момент. В некоторых случаях решение этой задачи тривиально. Так в
консольной балке наибольший изгибающий момент естественно возникнет в
корневом сечении при расположении нагрузки на максимальном вылете
(рис.2.10а). В других случаях решение не столь очевидно.
Актуальной задачей является поиск наиболее загруженного сечения в
двухопорной балке по которой движется тележка на двух колесах загруженных
силами F (рис.2.10б). При расположении тележки на расстоянии [pic] от
левой опоры реакция [pic] находится из условия
Изгибающий момент в балке под левым колесом тележки равен
Положение тележки при котором изгибающий момент под левым колесом
достигает максимума находится из равенства
Отсюда получим [pic]. То есть изгибающий момент в балке достигает
максимума при смещении тележки относительно центра пролета на [pic].
Подставив [pic] в (2.1) найдем максимальный изгибающий момент в балке
Рис.2.10. Схема балки с подвижной нагрузкой.
Линии влияния опорных реакций и внутренних усилий
Построение линий влияния. Для исследования характера изменения опорных
реакций и внутренних усилий в расчетном сечении в зависимости от положения
подвижной нагрузки и определения такого положения при котором усилие в
заданном сечении принимает максимальное значение используется аппарат
Линией влияния называют график зависимости какого-либо силового
фактора (опорной реакции изгибающего момента или перерезывающей силы в
определенном сечении и т.п.) от координаты положения единичной силы
которая перемещается по конструкции.
Рассмотрим двухопорную балку по которой перемещается единичная сила
[pic] Н (рис.2.11а). Найдем значение опорной реакции [pic] в зависимости
от координаты положения груза [pic]. Из уравнения равновесия для балки в
целом [pic] после подстановки [pic] найдем
Это и есть уравнение линии влияния [pic]. Для удобства дальнейшего
использования ему придают безразмерный вид но фактически в правой части
присутствует единица с размерностью силы (1 Н).
График этой линейной зависимости проходит через точки [pic] [pic] и
[pic] [pic] (рис.2.11б). Линия влияния опорной реакции [pic] находится
аналогичным образом и описывается также линейной зависимостью [pic] (в).
Для построения линии влияния внутренних усилий в сечении [pic]
необходимо отдельно рассмотреть ситуации когда единичный груз
располагается слева и справа от сечения. Построим линию влияния изгибающего
момента [pic]. Если груз располагается левее сечения ([pic]) то из условия
равновесия например левой отсеченной части находим изгибающий момент как
При [pic] из рассмотрения также левой части получим
Подставив в эти уравнения полученное выше выражение для опорной реакции
[pic] найдем (рис.2.11г)
Здесь индексы «Л» и «П» связаны с положением единичной нагрузки
соответственно слева и справа от сечения. По-другому это можно записать как
При анализе размерностей этой зависимости также следует иметь ввиду
что в правой части присутствует единица с размерностью силы (1 Н).
Для построении линий влияния изгибающих моментов используется то же
правило что и для эпюр моментов то есть линия влияния строится со стороны
растянутого волокна сечения [pic]. В данном случае при расположении груза
между опорами растянутым является нижнее волокно поэтому линия влияния
строится снизу. Когда нагрузка выходит на консоль в сечении [pic]
растягивается верхнее волокно. В соответствии с определением линии влияния
любая ее ордината взятая например на расстоянии x равна значению
изгибающего момента [pic] в сечении [pic] при расположении единичной силы
на расстоянии x от начала координат.
Линия влияния перерезывающей силы [pic] в сечении [pic] строится в той
же последовательности. Если единичный груз располагается слева от сечения
[pic] ([pic]) то перерезывающую силу вычислим как сумму проекций всех сил
действующих например на правую отсеченную часть на вертикальную ось.
При [pic] из рассмотрения левой части получим
Таки образом получается (рис.2.11д)
Соотношение между эпюрой моментов и линией влияния. Рассмотрим
взаимосвязь между эпюрами изгибающих моментов от силы [pic] и линией
влияния изгибающего момента в сечении [pic] на примере консольной балки
(рис.2.11а). Построим эпюры моментов от силы [pic] Н при ее
последовательном расположении в позициях [pic] (рис.2.12бвг). Значения
изгибающего момента возникающего в сечении [pic] обозначим [pic]. Эти
значения по определению являются ординатами линии влияния расположенными в
позициях [pic] то есть в тех местах где находилась сила их вызвавшая.
Расчет конструкций по линиям влияния
Линии влияния можно использовать для решения различных задач при
проектировании конструкций.
) Загружение конструкции системой сил приложенных на линии
перемещения единичной силы и направленных параллельно этой силе.
Рассмотрим раму к горизонтальному ригелю которой приложены силы [pic] и
[pic] а также распределенная нагрузка от собственного веса [pic]
(рис.2.13 а). Необходимо определить изгибающий момент в сечении [pic] от
Построим линию влияния изгибающего момента [pic]в сечении [pic]
перемещая единичную силу по ригелю к которому приложены все нагрузки
(рис.2.13б). Ордината линии влияния [pic] равна изгибающему моменту в
сечении [pic] от единичной нагрузки приложенной в месте расположения этой
ординаты. С учетом линейности свойств данной системы можем утверждать что
момент в сечении [pic] от силы [pic] приложенной там же будет в [pic] раз
больше то есть [pic]. Здесь [pic] по существу безразмерная величина
показывающая во сколько раз сила [pic] больше чем [pic] Н и равная
числовому значению силы [pic]. На основании принципа суперпозиций
(независимости действия сил) значение изгибающего момента от нескольких сил
находится как (2.1.)
Определим по линии влияния изгибающий момент от распределенной
нагрузки. Бесконечно малый участок распределенной нагрузки [pic] можно
рассматривать как сосредоточенную силу. Следовательно изгибающий момент
создаваемый этой силой равен [pic]. Изгибающий момент от всей
распределенной нагрузки найдем интегрированием
Если [pic] то эту величину можно вынести за знак интеграла после
где [pic] – площадь под линией влияния вычисленная алгебраически.
Суммарный изгибающий момент в сечении [pic] от сосредоточенных сил и
распределенной нагрузки равен
При этом рекомендуется считать ординаты линии влияния расположенные под
осью положительными.
Аналогичным образом по соответствующим линиям влияния могут быть
найдены опорные реакции перерезывающие и продольные силы в любом сечении
конструкции от системы нагрузок.
) Наиболее неблагоприятное расположение системы связанных грузов. По
конструкции передвигается тележка опирающаяся например на два колеса.
Необходимо найти такое положение тележки при котором какой-либо силовой
фактор (опорная реакция изгибающий момент в каком-либо сечении и т.п.)
достигает максимального значения. Для примера рассмотрим нахождение
максимального изгибающего момента в сечении [pic] (рис.2.14а).
Построим линию влияния момента [pic] в сечении [pic]. При любом
положении тележки изгибающий момент от двух сил [pic] и [pic] равен сумме
(2.2) [pic]. Пока тележка движется по участку [pic] момент [pic] изменяется
линейно и следовательно при этом экстремум невозможен. Перелом на графике
[pic] может произойти только при переходе одного из колес через вершину
линии влияния. Таким образом для определения максимального значения
следует проверить значение момента [pic] при двух положениях тележки при
[pic] и [pic] (рис.2.14б). Кроме того если линия влияния имеет экстремум
на консоли то надо проверить значение момента [pic] при [pic].
) В стреловых кранах с переменной грузоподъемностью нагрузка на
тележку меняется в зависимости от ее положения на стреле. Рассмотрим
методику определения наибольшего усилия в оттяжке балочной стрелы
(рис.2.15а). По ней движется грузовая тележка загруженная весом груза
[pic]. Зададим зависимость [pic] от вылета x формулой (кривая 1)
где [p M – опрокидывающий момент; b –
параметр геометрии крана. В данном примере принято: [p M =
00 кНм; b = 3 м; с = 20 м.
Усилие в оттяжке ([pic]) от единичной силы приложенной на расстоянии
от корня стрелы вычисляется из условия равновесия стрелы
Отсюда уравнение линии влияния получается как (кривая 2)
Усилие в оттяжке от переменной нагрузки [pic] действующей на тележку
График этой функции показан на рис.2.15б (кривая 3).
Как видно из приведенных графиков при постоянном весе груза
наибольшее усилие в оттяжке получается при расположении тележки на
максимальном вылете (кривая 2). Но в данном случае при переменной
грузоподъемности максимум [pic] возникает при расположении тележки на
границе участка которому соответствует максимальная нагрузка [pic] (кривая
) Узловая передача нагрузки. Эта задача возникает в тех случаях
когда нагрузка перемещается не непосредственно по конструкции а по
рельсовому пути представляющему собой ряд дополнительных однопролетных
балок (рис.2.16а). Этот же подход используют при необходимости определить
продольные усилия в стержнях ферм без учета местного изгиба (п.2.3.2.).
Пусть произвольный график [pic] (рис.2.16б) есть линия влияния какого-
либо силового фактора [pic] при движении единичной нагрузки непосредственно
по основной балке. Требуется построить линию влияния ([pic]) того же
фактора при перемещении нагрузки по дополнительным балкам (по верхнему
пути). В этом случае при расположении единичной силы в точках C D E и F
значения силового фактора [pic] будут такие же как и при непосредственном
нагружении основной балки так как сила через дополнительные опоры
передается на нижнюю балку без изменения. То есть отмеченные кружками точки
будут одинаковы для обеих линий влияния (рис.2.16 б). Теперь необходимо
установить как пойдет линия влияния [pic] между этими точками.
Если сила находится на расстоянии x от опоры D (рис.2.16 в) то
реакции D и E равны: [pic] [pic]. Следовательно основная балка будет
загружена такими же по абсолютной величине но направленными в
противоположную сторону силами. При этом силовой фактор [pic] согласно
(2.5) вычисляется как
где [pic] – ординаты линии влияния под силами D и E. Это выражение
показывает что при узловой передаче нагрузки линия влияния силового
фактора [pic] описывается линейной зависимостью которая при [pic] проходит
через точку с координатой [pic] а при [pic] – через [pic] (рис.2.16б).
Эту линейную зависимость называют передаточной прямой.
Таким образом линия влияния любого силового фактора при узловой
передаче нагрузки ([pic]) получается из линии влияния построенной при
непосредственном загружении основной конструкции ([pic]) путем соединения
точек исходной линии влияния расположенных под опорами дополнительных
балок передаточными прямыми.
Рис.2.11. Линии влияния опорных реакций и внутренних усилий в сечении
[pic] для двухопорной балки
Рис.2.12. Эпюры моментов и линии влияния изгибающего момента в сечении
[pic] для консольной балки
Рис.2.13. Схема к расчету конструкций по линиям влияния
Рис.2.14. Схема поиска наиболее неблагоприятного для сечения [pic]
Рис.2.15. Определение наибольшего усилия в оттяжке. 1 – график
грузоподъемности [p 2 – линия влияния усилия в оттяжке ([p 3 –
график зависимости усилия в оттяжке от положения груза [pic].
Рис.2.16. Линии влияния при узловой передаче нагрузки
Расчет ферм при действии неподвижной нагрузки
Фермами называют многостержневые конструкции состоящие из треугольных
структур то есть плоских треугольников или пространственных
четырехгранников (тетраэдров). (рис.2.17). По другому определению фермой
можно считать стержневую конструкцию расчетная схема которой остается
геометрически неизменяемой при введении шарниров во все узлы. Стержни
образующие внешний контур фермы называют поясами 1 внутренние наклонные
стержни – раскосами 2 а внутренние стержни расположенные перпендикулярно
поясам – стойками 3. Виды решеток ферм и их рациональный выбор рассмотрен в
В реальных фермах стержни соединяются в узлах жестко с помощью сварки
или болтов. Поэтому фермы представляют собой многократно статически
неопределимые конструкции стержни которых испытывают продольное нагружение
и изгиб. Для аналитического вычисления внутренних усилий в стержнях ферм
используют упрощенные расчетные схемы. В них жесткие соединения стержней в
узлах условно заменяется шарнирными и все нагрузки прикладываются только в
узлах (рис.2.18а). В результате этого упрощения схема становится внутренне
статически определимой но изгибающие моменты в стержнях исчезают. Таким
образом шарнирная схема позволяет определить только продольные усилия в
стержнях. Для расчетов на прочность этого достаточно. При расчете методом
конечных элементов не составляет труда смоделировать жесткие узлы и
вычислить напряжения как от продольных усилий так и от изгибающих
Опорные реакции ферм вычисляются так же как и для балок или рам из
условия равновесия конструкции в целом. Для аналитического определения
продольных усилий в стержнях с помощью шарнирных схем применяют метод
вырезания узлов или метод сечений.
Метод вырезания узлов заключается как это следует из его названия в
вырезании узлов фермы и рассмотрения условий равновесия для них. Вырезав
узел к нему прикладывают неизвестные усилия во всех перерезанных стержнях.
При этом изначально предполагается что все стержни растянуты поэтому все
усилия действующее на узел положительны и направлены от узла (рис.2.18
а б). Если в результате решения значение усилия получится отрицательным
то это означает что стержень сжат.
Для любого узла плоской системы можно составить только два независимых
уравнения равновесия из которых возможно найти два неизвестных усилия.
Так например вырезав узел в котором приложена сила [pic] (рис.2.9 а
б) можем записать для него
Отсюда находятся значения [pic] и [pic]. Минус во втором равенстве
означает что в действительности стержень [pic] не растянут а сжат.
Метод вырезания узлов позволяет сформулировать простые правила для
определения так называемых нулевых стержней то есть стержней в которых
продольное усилие от действующей нагрузки равно нулю. Для плоской фермы
есть три правила которые показаны на рис.2.18вгд (кружком отмечены
– если в ненагруженном узле сходится два стержня оси
которых не лежат на одной прямой то оба они нулевые;
– если к узлу в котором сходятся два стержня приложена
сила действующая вдоль одного из них то второй стержень
– если в ненагруженном узле сходится три стержня два из
которых лежат на одной линии то третий стержень нулевой.
С помощью этих правил например можно установить что в ферме на
рис.2.19 е нулевыми являются 9 стержней. Можно также убедиться в том что
изгибающий момент воспринимается только поясами фермы. То есть при чистом
изгибе раскосы и стойки оказываются нулевыми (рис.2.19 ж з.). Сдвигающая
нагрузка воспринимается и поясами и раскосами (а в раскосной решетке – и
Для вырезанного узла пространственной конструкции можно составить три
уравнения статики [pic] [pic] и [pic]. Например для нагруженного узла
фермы на рис.2.19 а б можно записать:
Из второго уравнения получим [pic] из третьего найдем [pic] а первое
уравнение даст [pic]. Видно что стержень [pic] растянут а [pic] и [pic]
Метод вырезания узлов для пространственных конструкций позволяет
вывести два правила определения нулевых стержней (рис.2.19 в г):
– если в ненагруженном узле сходится три стержня оси
которых не лежат в одной плоскости то все они нулевые;
– если все стержни сходящиеся в узле кроме одного а также
внешняя сила приложенная к узлу лежат в одной плоскости
то этот единственный стержень – нулевой.
Применяя первое правило можем установить например что в
пространственной ферме (рис.2.19 д) загруженной крутящим моментом пояса
Кроме того метод вырезания узлов позволяет провести кинематический
анализ фермы значительно легче чем по формуле (1.1) или (1.2). Как уже
отмечалось статически определимой является конструкция все опорные
реакции и внутренние усилия которой могут быть найдены из условий
равновесия. Чтобы полностью определить нагруженность фермы необходимо найти
[pic] неизвестных продольных усилий в стержнях и [pic] опорных реакций
([pic] – количество стержней фермы). Используя метод вырезания узлов для
определения неизвестных усилий в плоской ферме можно составить 2w
уравнений где w – количество узлов. Следовательно ферма статически
определима если количество уравнений равно количеству неизвестных то есть
Соответственно если [pic] то ферма статически неопределима если же
[pic] то ферма геометрически изменяема. Аналогичный критерий для
пространственной фермы имеет вид
Следует иметь ввиду что этот способ кинематического анализа также не
позволяет выявлять особенности о которых говорилось в п.2.1.3. Так
например для схемы на рис.2.20а по формуле (2.3) получится [pic] однако
видно что в этой ферме левая панель статически неопределима а центральная
– геометрически изменяема (рис.2.20б). Для выявления таких ситуаций
необходимо следить за тем чтобы ферма как это сказано в определении
состояла из треугольных панелей.
Метод сечений базируется на использовании условий равновесия для
отсеченной части фермы. Для вычисления какого-либо усилия например S1
(рис.2.21) проводят сечение проходящее через интересующий нас стержень и
указывают внутренние усилия во всех перерезанных стержнях полагая что все
они растянуты. Сечение обязательно должно полностью разделить конструкцию
на две части. Далее составляют уравнения равновесия в форме суммы проекций
на какую-либо ось или суммы моментов относительно какой-либо точки всех
усилий действующих на отсеченную часть. Уравнение можно составлять для
любой отсеченной части но желательно в такой форме чтобы в него не
входили усилия действующие в других перерезанных стержнях (S2 S3). В
данном примере целесообразно составить сумму моментов всех сил
действующих с одной стороны сечения относительно точки О1. Рассмотрев
Опорную реакцию ВY вычислим из условия равновесия фермы в целом как
откуда получим [pic]. Следовательно
Усилие S2 можно вычислить из условия равенства нулю суммы проекций на
вертикальную ось всех сил действующих например на правую отсеченную
Аналитический анализ пространственных ферм чрезвычайно трудоемок
поэтому в инженерной практике для этого используется МКЭ.
Рис.2.17. Схемы ферм пространственных и плоских.
Рис.2.18. Схемы к расчету плоских ферм методом вырезания узлов
[pic]Рис.2.19. Схемы к расчету пространственных ферм методом вырезания
Рис.2.20. Схемы к расчету ферм методом вырезания узлов
Рис.2.21. Схемы к расчету плоской фермы методом сечений
Расчет ферм при действии подвижной нагрузки
Линии влияния опорных реакций для ферм строятся совершенно так же как
и для балок (п.2.2.3.). Линии влияния для усилий в стержнях фермы строятся
методом вырезания узлов или методом сечений. Поскольку расчетные схемы ферм
с шарнирами могут загружаться только в узлах то при построении линий
влияния внутренних продольных усилий в стержнях рассматривают случай
узловой передачи нагрузки (п.2.2.4.). Дополнительные балки на опорах не
изображаются чтобы не затемнять схему но в расчетах предполагают что
груз может располагаться только в узлах фермы.
Построим линию влияния продольного усилия [pic] при движении единичной
нагрузки по верхнему поясу фермы (рис.2.22а). Для этого проведем сечение
разделяющее ферму на две части и обозначим внутренние усилия действующие
во всех перерезанных стержнях [pic] и [pic]. Для нахождения [pic] удобно
использовать условие равновесия в виде сумму моментов всех сил действующих
на отсеченную часть относительно точки [pic].
Если груз располагается левее сечения ([pic]) то рассматривая
например правую отсеченную часть получим
Здесь обозначено [pic] усилие в стержне 1 действующее на правую отсеченную
часть при расположении единичного груза слева. Таким образом момент от
силы [pic] положительный так как рассматривается правая стрелка в сечении.
Значение опорной реакции [pic] определим из условия равновесия
конструкции в целом [pic] откуда
Таким образом [pic].
Если груз окажется правее сечения ([pic]) то рассмотрев также правую
отсеченную часть получим
Подставив сюда выражение для [pic] найдем
Линейные зависимости для [pic] и [pic] проходят через точки: [pic] и
[pic] и пересекаются под моментной точкой [pic] поскольку при [pic]
получим [pic] (рис.2.11б кривая 1). Однако груз не может располагаться в
точке с координатой [pic] так как нагрузка к ферме прикладывается только в
узлах. Следовательно между узлами с координатами [pic] и [pic] должна быть
проведена передаточная прямая (п.2.2.4.) которая и определяет конфигурацию
линии влияния (кривая 2).
Аналогичным образом можно построить линию влияния для усилия в раскосе
[pic]. Для этого целесообразно использовать условие равенства нулю сумму
проекций на вертикальную ось всех сил действующих на отсеченную часть.
Также рассматривая последовательно случаи расположения нагрузки слева и
справа от сечения получим:
Не сложно заметить что эти зависимости описывают две параллельные
прямые проходящие через точки: [pic] и [pic] смещенные по вертикали на
[pic] (рис.2.11в кривые 3 и 4). На участке [pic] их надо соединить
передаточной прямой.
Линию влияния для усилия в стойке (стержень [pic]) целесообразно
строить методом вырезания узлов. Если единичная сила не находится в
вырезанном узле то [pic]. При расположении силы в данном узле имеем [pic]
и [pic]. Соединяя полученные точки передаточными прямыми строим линию
влияния (рис.2.22 г).
Расчеты ферм по линиям влияния производятся также как и балочно-рамных
конструкций (п.2.2.4.).
В мет. констр.: В двухопорных фермах загруженных подвижной нагрузкой
наибольшие усилия возникают в поясах под нагрузкой когда она находится в
середине пролета и в крайних раскосах при расположении нагрузки вблизи
Рис.2.22. Линии влияния усилий в стержнях фермы

Фрагмент1.frw

Задание №1.docx

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет
«Транспортные и технологические системы»
Санкт-Петербург 2009г.
TOC o "1-3" h z u 1.Кинематический анализ системы. PAGEREF _Toc244872018 h 3
Построение эпюры M и Q PAGEREF _Toc244872019 h 3
Построение линий влияния PAGEREF _Toc244872020 h 3
Линия влияния . PAGEREF _Toc244872021 h 3
Линия влияния . PAGEREF _Toc244872022 h 3
Линия влияния . PAGEREF _Toc244872023 h 3
По линиям влияния вычислить значения и от системы сил . PAGEREF _Toc244872024 h 3
Кинематический анализ системы.
Начальные данные: a=2м; b=3м; c=1м; Р1=100кН; Р2=50кН:
Рис. 1. Расчетная схема.
Необходимое условие для геометрической неизменяемости системы 3Д = С0 + 2Ш
Д = 2 – кол-во звеньев; С0 = 4 – число опорных стержней; Ш = 1 – число шарниров;
Построение эпюры M и Q
Рассмотрим поэтажную схему (Рис. 2) из схемы видно что нагружена только основная балка. Таким образом вспомогательную балку можно отбросить при вычислении M и Q.
Найдем реакции и для этого запишем выражения для суммы моментов относительно и .
Разделим балку на два участка и запишем выражения для и .
Для проверки запишем значения и для средней точки :
Разница с лево и с право от точки должна равняться
Момент с лево и с право от точки должны быть ровны
Построение линий влияния
Определим реакцию в зависимости от координаты
При расчете линий влиянии расчеты будут вестись для двух положений . На основной и вспомогательной балке соответственно.
При движении по вспомогательной балке выражение для расчета будет иметь вид:
В случае когда будет находится на основной балке:
По линиям влияния вычислить значения и от системы сил .
Положение тележки (системы сил) показано на рисунке 3.
Расчет значения по линиям влияния
Рис. 3. Построенные эпюры.

03-1 Перемещения.doc

Внутренние усилия и перемещения в стержневых системах
Основы расчета упругих стержневых систем
Принцип возможных перемещений
Как известно из курса теоретической механики условие равновесия
объекта может иметь силовую или энергетическую формулировку. Первый вариант
представляет собой условие равенства нулю главного вектора и главного
момента всех сил и реакций действующих на тело. Второй подход называется
принципом возможных перемещений. Для системы абсолютно жестких тел он
формулируется так: если система абсолютно жестких тел находится в
равновесии то сумма работ всех внешних сил на любом возможном бесконечно
малом перемещении равна нулю. Возможным (или виртуальным) является
системы на рис.3.1. возможным является только поворот стержня относительно
опоры. При повороте на произвольный малый угол [pic] силы [pic] и [pic]
совершают работу [pic]. Согласно принципу возможных перемещений если
система находится в равновесии то должно быть [pic]. Подставляя сюда
геометрические соотношения [pic] и [pic] получим условие равновесия в
силовой формулировке [pic].
Рассмотрим некоторые базовые положения энергетического метода анализа
напряженно-деформированного состояния упругих конструкций. В его основе
лежит понятие о полной энергии деформированной системы (P). Полная энергия
равна работе совершаемой внешними и внутренними силами при переводе
системы из деформированного состояния в исходное то есть
- энергия (потенциал) внешних сил. При указанном переводе внешние силы не
меняют своего значения а внутренние постепенно убывают до нуля так как
они зависят от деформаций.
В качестве простейшего примера рассмотрим закрепленный одним концом
стержень длиной [pic] и сечением [pic] конец которого мы можем произвольно
перемещать. Приложим к концу силу F и переместим его на произвольное
расстояние [pic] (рис.3.2а). Напряженно-деформированное состояние всего
объема материала стержня как известно характеризуется напряжением [pic] и
относительной деформацией [pic] которую для растянутого стержня также
можно найти как [pic].
Для определения полной энергии стержня в этом состоянии вернем его
конец в исходное ненагруженное состояние. При этом внутренние силы будут
совершать положительную работу так как это силы сцепления частиц материала
и при растяжении они направлены внутрь объема материала (рис.3.2б). Каждый
единичный объем материала (кубик с размерами 1(1(1) при переводе конца
стержня в исходное состояние совершает работу [pic] ([pic] - удельная
потенциальная энергия). Следовательно работа внутренних сил по всему
объему стержня ([pic]) составит
Работа внешней силы отрицательна и равна [pic]. Таким образом полная
энергия системы равна
Логично предположить что естественным равновесным состоянием стержня
под действием нагрузки F будет такое [pic] в котором полная энергия
системы получит минимальное значение (рис.3.3в). Это условие записывается
Подставляя сюда полученное выше выражение для P и [pic] найдем
Откуда получим известное выражение для удлинения растянутого упругого
Из условия (3.1) следует что при бесконечно малых перемещениях конца
стержня от равновесного состояния на [pic] приращение полной энергии [pic].
Если перемещения [pic] бесконечно малы то изменением значения напряжений
[pic] возникающим при этом можно пренебречь. Тогда удельная потенциальная
энергия будет равна [pic] где [pic] и работа внутренних сил по всему
Работа внешних сил [pic]. Как уже было сказано в равновесном
Здесь перемещение [pic] в (3.2) является произвольным бесконечно малым
(или в инженерной постановке весьма малым) перемещением. Из (3.2) следует
общеизвестное условие равновесия отсеченной части стержня
Следовательно условие минимума полной энергии для упругого тела
является энергетической формулировкой условия равновесия. Данный простейший
формулируется следующим образом: если система упругих тел находится в
равновесии то сумма работ всех внешних и внутренних сил на любом
возможном бесконечно малом перемещении равна нулю то есть
Поскольку в линейных конструкциях (п. ) упругие перемещения от
эксплуатационных нагрузок весьма малы в качестве возможного может быть
выбрано любое деформированное состояние конструкции созданное произвольно
выбранной системой сил. С учетом этой замены бесконечно малого перемещения
на весьма малое но конечное перемещение полученное условие обычно
записывают без знаков дифференциала как
Рис.3.1. Пример системы абсолютно жестких тел
Рис.3.2. Схемы к энергетическим методам расчета. а – схема нагружения
стержня; б – внешние и внутренние силы действующие на элемент стержня в –
графики зависимости энергий от перемещения конца стержня 1 - [pic] 2 -
Рассмотрим методику вычисления работы внешних сил на действительном и
возможном перемещении. Стержневая система загружена силами [pic] и [pic]
(рис.3.3а) которые действуют одновременно и в любой момент времени
отношение [pic] остается постоянным. К такому нагружению применим термин
«обобщенная сила». Пунктиром показано действительное упругое перемещение
возникающее от этих сил. Обозначим это состояние индексом 1. Перемещение
точек приложения сил [pic] и [pic] в направлении этих сил в состоянии 1
обозначим [pic] и [pic].
В процессе нагружения линейной системы силами [pic] и [pic] растут
силы и пропорционально им растут перемещения [pic] и [pic] (рис.3.3в).
Действительная работа сил [pic] и [pic] на создаваемых ими перемещениях
равна сумме площадей графиков [pic] то есть [pic]. Записав это выражение
как [pic] получим произведение обобщенной силы [pic] на обобщенное
перемещение [pic]. В этой форме можно представить работу сил при любом
нагружении если все нагрузки меняются синхронно то есть отношение их
значений остаются постоянными в процессе всего нагружения.
Далее рассмотрим работу внешних сил на возможном перемещении. В
качестве возможного перемещения примем например деформированное состояние
системы под действием единичной силы приложенной в некоторой точке
(рис.3.3б). Это виртуальное состояние назовем 2.
Перемещение точек приложения сил [pic] и [pic] в том же направлении в
состоянии 2 обозначим [pic] и [pic]. Как видно в обозначении перемещения
первый индекс показывает состояние в котором заданы точки и направления
этих перемещений. Второй индекс показывает состояние в котором действуют
силы вызывающие это перемещение.
Работа сил на возможном перемещении (виртуальная работа) совершается
при неизменном значении силы (см. п.3.1.1.) поэтому она вычисляется без
коэффициента «05» как
Работа единичной силы [pic] на действительном перемещении [pic] равна
а работа на возможном перемещении которым для нее является [pic] равна
Работа внутренних сил
Найдем работу внутренних сил состояния 1 на перемещениях состояния 2.
Для этого выделим элемент стержня длиной dx (рис.3.4а). Поскольку
рассматриваемая система плоская то по торцам элемента могут быть приложены
только две силы ([pic]) и изгибающий момент ([pic]). Эти усилия для
вырезанного элемента являются внешними. Внутренние усилия это усилия
сцепления обеспечивающие прочность материала. Они равны внешним по
значению но направлены в сторону противоположную деформации поэтому их
работа всегда отрицательна (рис.3.4 бвг показаны серым цветом).
Последовательно вычислим работу совершаемую каждым силовым фактором.
Работа продольных сил [pic] на перемещении [pic] создаваемом усилием
[pic] которое возникает в состоянии 2 (рис.3.4в) равна
Удлинение [pic] стержня длиной [pic] найдем по известной формуле [9]
где A – площадь сечения стержня. Подставив это в предыдущую формулу
Изгибающий момент [pic] совершает работу на угловом перемещении [pic]
создаваемом моментом [pic] (рис.3.3в). Она равна
Угол поворота [pic] найдем как [9]
где [pic] – момент инерции сечения стержня относительно оси y. После
Найдем работу поперечной силы [pic] на перемещении [pic] (рис.3.3в).
Касательные напряжения и сдвиги от перерезывающей силы [pic] распределены
по сечению стержня не линейно (в отличие от нормальных напряжений и
удлинений в предыдущих случаях нагружения). Поэтому для определения работы
сдвига приходится рассматривать работу совершаемую касательными
напряжениями в слоях стержня.
Касательные напряжения от силы [pic] действующие в слое лежащем на
расстоянии [pic] от нейтральной оси вычисляются по формуле Журавского
где [pic]– статический момент части площади сечения лежащей выше этого
слоя взятый относительно оси [p [pic] – ширина сечения на уровне
рассматриваемого слоя. Эти напряжения создают сдвиг при этом угол сдвига
согласно закону Гука равен [pic] где [pic] – модуль сдвига. В результате
этого торец слоя смещается на
Суммарная работа касательных напряжений первого состояния ([pic])
действующих на торце этого слоя на перемещениях второго состояния ([pic])
вычисляется путем интегрирования произведения [pic] по площади сечения
После подстановки сюда выражений для [pic] и [pic]получим
Вынеся из под интеграла величины не зависящие от [pic] и умножив и
разделив это выражение на А получим
Здесь введен безразмерный коэффициент [pic] зависящий только от
конфигурации и соотношения размеров сечений. Для прямоугольника [pic] для
двутавровых и коробчатых сечений [pic] ([pic] – площадь сечения стенки или
в коробчатом сечении – двух стенок).
Поскольку работа каждого из рассмотренных компонентов нагружения
([pic]) на «чужих» перемещениях то есть вызываемых другими компонентами
равна нулю то суммарная работа всех внутренних сил для рассмотренного
элемента стержня длиной [pic] равна
Суммарная работа внутренних сил для плоской стержневой системы получается
путем интегрирования полученного выражения по участкам длиной [pic] в
пределах которых эпюры являются интегрируемыми функциями и суммирование по
В сечении элемента пространственной стержневой системы действует 6
внутренних усилий ([pic]) поэтому для нее выражение суммарная работа
внутренних сил будет иметь вид
Здесь [p [pic] – момент инерции стержня при
кручении (геометрическая жесткость на кручение).
Рис.3.3. Схемы к определению работ и перемещений
Рис.3.4. Схемы к расчету энергии деформации
Теоремы об упругих системах
Структура формул (3.4) и (3.5) показывает что они «симметричны»
относительно состояний 1 и 2 то есть работа внутренних сил состояния 1 на
перемещениях состояния 2 равна работе внутренних сил состояния 2 на
перемещениях состояния 1 ([pic]). Но согласно (3.3) [pic] и [pic]
следовательно если равны работы внутренних сил то равны и работы внешних
сил [pic]. Это утверждение носит название теоремы о взаимности работ
(теорема Бетти 1872 г.).
Для стержневой системы загруженной силой [pic] (рис.3.5а) возьмем в
качестве возможного перемещения деформированное состояние возникшее при
загружении ее единичной силой [pic] Н (б). Для этой системы согласно
теореме Бетти [pic]. Если же положить [pic] Н то получим
Эта формула выражает теорему Максвелла (1864 г.) о взаимности
перемещений: перемещение точки приложения первой единичной силы по ее
направлению вызванное действием второй единичной силы равно перемещению
точки приложения второй единичной силы по своему направлению вызванному
действием первой единичной силы.
Эту теорему можно применить и к системе на рис.3.3. Если задать [pic]
(п.3.1.2.) то получим равенство обобщенных перемещений [pic].
Рассмотрим статически неопределимую систему с опорами которым можно
задавать требуемое перемещение. В первом состоянии сместим опору 1 на
[pic] а во втором – зададим поворот заделки на угол [pic] (рис.3.5 в г).
При этом возникнут реакции в первом состоянии [pic] и [pic] а во втором –
[pic] и [pic]. Согласно теореме о взаимности работ запишем [pic]. Если
задать [pic] и [pic] (здесь размерность [pic]м а величина [pic] –
безразмерная) то получим
Это равенство численное так как размерность реакции [pic]= Н а [pic]= Нм.
Таким образом реакция [pic] в неподвижной связи 1 возникающая при
перемещении (повороте) связи 2 на единицу численно равна реакции [pic]
(моменту) возникающей в связи 2 при единичном смещении связи 1. Это
утверждение называется теоремой о взаимности реакций.
Теоремы изложенные в данном разделе используются для аналитического
расчета статически неопределимых систем.
Рис.3.5. Пример применения теорем об упругих системах
Определение перемещений
Методика вычисления упругих перемещений элементов конструкций
необходима для оценки жесткости сооружений расчета статически
неопределимых конструкций и определения динамических нагрузок.
Общая формула перемещений
Для вычисления перемещений возникающих в стержневых системах под
заданной нагрузкой следует сформировать вспомогательное состояние системы
в котором действует одно единичное усилие совершающее работу на искомом
перемещении. Это значит что при определении линейного перемещения
необходимо задать единичную силу приложенную в той же точке и в том же
направлении в котором надо определить перемещение. Если надо определить
угол поворота какого-либо сечения то прикладывается единичный момент в
этом сечении. После этого составляется уравнение энергий (3.3) в котором
вспомогательное состояние принимается за основное а деформированное
состояние конструкции от действительной нагрузки рассматривается как
виртуальное перемещение. Из этого уравнения и вычисляется искомое
Найдем горизонтальное перемещение точки B для системы на рис.3.3а.
Для того чтобы в уравнение работ (3.3) попало искомое перемещение [pic]
возьмем в качестве основного состояния перемещения системы под действием
единичной силы [pic] приложенной в точке В в горизонтальном направлении
(состояние 2 рис.3.3б). Возможным перемещением будем считать
действительное деформированное состояние конструкции (а).
Работу внешних сил состояния 2 на перемещениях состояния 1 найдем как
[pic]. Согласно (3.3)
следовательно искомое перемещение
Поскольку [pic] (п.3.1.4.) работа внутренних сил состояния 2 на
перемещениях состояния 1 вычисляется по формуле (3.4) или (3.5). Подставив
в (3.8) значение силы [pic] Н и выражение (3.4) для работы внутренних сил
для плоской стержневой системы найдем
В эти интегралы на место [pic] следует подставить выражения для эпюр
распределения соответствующих внутренних усилий от действующей нагрузки а
вместо [pic] – от единичной силы приложенной в той точке перемещение
которой находится. Полученное выражение называют формулой Мора (1881 г.).
При расчете пространственных стержневых систем для вычисления
суммарная работа внутренних сил следует использовать формулу (3.5) тогда
Все интегралы в правой части выражений (3.9) и (3.10) имеют
размерность работы – Нм. Кроме того не следует забывать что в правой
части присутствует множитель [pic] с размерностью Н-1 (3.8). Если же
определяется угол поворота какого либо сечения то там прикладывается
момент [pic] Нм и соответственно в формулах (3.9) или (3.10) следует
учитывать единичный множитель с размерностью (Нм)-1.
Частные случаи определения перемещений
Формула (3.9) используется в общем случае плоской стержневой системы
однако в ряде случаев ее можно существенно упростить. Рассмотрим частные
случаи ее реализации.
) Система состоит только из изгибаемых тонкостенных балок с
отношением [pic] ([pic] – длина балки и высота сечения). В этом случае
энергия изгибных деформаций существенно превышает энергию деформаций от
продольных и поперечных сил поэтому их можно не учитывать в расчете
перемещений. Тогда формула (3.9) примет вид
) Ферма. Стержни ферм при узловом нагружении испытывают только
продольные усилия поэтому
Интегрирование производится по длине одного стержня и суммирование по всем
стержням. Имея в виду что усилие в стержне и его площадь не изменяются по
его длине можем упростить данное выражение
При всей видимой простоте этой формулы аналитический расчет
перемещений в фермах весьма трудоемок так как требует определения усилий
во всех стержнях фермы от действующей нагрузки ([pic]) и от единичной силы
приложенной в точке перемещение которой необходимо найти ([pic]).
Методика и примеры определения перемещений
) Вычисление интеграла Мора методом А.Н.Верещагина (1925 г.).
Интеграл Мора имеет вид [pic] (3.9). Как минимум одна из эпюр
(моментов продольных или поперечных сил) в подинтегральном выражении
линейная так как построена от единичной нагрузки. Поэтому для решения
интеграла можно применить следующий прием. Положим что на рассматриваемом
участке длиной [pic] первая эпюра ([pic]) произвольной формы а вторая –
линейная [pic] (рис.3.6). Подставив это в интеграл Мора найдем
Первый из интегралов численно равен площади [pic] под графиком [pic]
(заштрихована) а второй – статическому моменту этой площади относительно
оси [pic] (рис.3.6). Статический момент может быть записан как [pic] где
[pic] – координата центра тяжести площади [pic] (точка А). С учетом
Правило формулируется следующим образом: если на участке хотя бы одна
из эпюр линейна то интеграл Мора вычисляется как произведение площади
произвольной эпюры на ординату линейной эпюры расположенную под центром
тяжести этой площади. Если обе эпюры расположены с одной стороны оси то
произведение положительно если с разных сторон то – отрицательно. Эти
правила могут быть применены для вычисления любого из интегралов входящих
в выражение (3.9) и (3.10).
Данный прием используется при аналитическом расчете конструкций. При
расчете конструкций в среде Mathcad нет необходимости пользоваться данным
правилом так как можно вычислять интеграл путем непосредственного
) Пример 3.1 (рис.3.7а). Балка загружена двумя симметрично
расположенными силами [pic]. Найти перемещения точек приложения сил [pic].
а) Построим эпюру изгибающих моментов [pic] от сил [pic]. Опорные
реакции [pic] [pic]. Максимальный изгибающий момент под силой [pic] равен
б) Поскольку система симметрична то прогибы под силами будут
одинаковы. В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки
двумя единичными силами [pic] приложенными в тех же точках что и силы
[pic] (рис.3.7б). Эпюра изгибающих моментов для данного нагружения
аналогична предыдущей и максимальный изгибающий момент равен [pic].
в) Нагружение системы двумя силами второго состояния характеризуется
обобщенной силой [pic] и обобщенным перемещением [pic] которые создают
работу внешних сил [pic]. Вычислим перемещение по формуле (3.11).
Перемножая эпюры по участкам по правилу Верещагина найдем
После подстановки значений [pic] и [pic] получим
) Пример 3.2 (рис.3.8а). Найти горизонтальное перемещение подвижной
опоры П-образной рамы загруженной силой [pic].
а) Построим эпюру изгибающих моментов [pic] от силы [pic]. Опорные
б) В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки
единичной горизонтальной силой [pic] приложенной в точке В (рис.3.8б).
Строим эпюру изгибающих моментов для этого случая нагружения. Опорные
реакции равны [pic] [pic]. Максимальный изгибающий момент равен [pic].
в) Вычисляем перемещение по формуле (3.11). На вертикальных участках
произведение равно нулю. На горизонтальном участке эпюра [pic] не линейна
а эпюра [pic] линейна. Перемножая эпюры получим
Произведение отрицательно так как эпюры лежат по разные стороны.
Полученное отрицательное значение перемещения свидетельствует о том что
фактическое его направление противоположно направлению единичной силы.
) Пример 3.3 (рис.3.9). Найти угол поворота ([pic]) сечения
двухопорной балки под силой [pic].
а) Построим эпюру и изгибающих моментов [pic] от силы [pic]. Для этого
найдем опорную реакцию [pic]. Из уравнения равновесия для системы в целом
[pic] найдем [pic]. Максимальный изгибающий момент под силой [pic] равен
единичным моментом [pic]= 1 Нм в том сечении поворот которого надо
определить (рис.3.9б). Строим эпюру изгибающих моментов для этого случая
нагружения. Опорные реакции равны [pic]. Моменты равны
Оба момента отрицательные так как направлены по часовой стрелке. Эпюры
строятся на растянутом волокне.
в) Вычисляем угол поворота по формуле (3.11) выполняя перемножение по
Первое слагаемое положительно так как на первом участке обе эпюры
расположены под осью второе слагаемое отрицательно так как на втором
участке эпюры расположены с разных сторон. Обозначив [pic] можно получить
это выражение в более удобной форме
Рис.3.6. Схема к расчету интеграла методом Верещагина
Рис.3.7. Пример определения угла поворота сечения
Рис.3.8. Пример определения перемещения
Рис.3.9. Пример определения угла поворота сечения

4.docx

Санкт-Петербургский государственный
Политехнический университет
Расчетное задание №4
По курсу: Строительная механика
Подготовил: Данылив А.О.
a = 2 м b = 3 м c = 1.5 м P1 = 100kH P2=50kH P3 = 150kH J2J1=2.
Решение системы методом сил:
Построим эпюру моментов от момента МD:
Построим эпюру моментов от силы X1:
Построим эпюру моментов от силы P:
Составим систему уравнений равновесия:
Составим интегралы мора для нахождения неизвестных:
Определим значение реакций:
Составим уравнения равновесия для определения реакций:
225125095Построим эпюру:

Л. строймех(20.09.10) Шрифт16.doc

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕХАНИКО-МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ
(конспект лекций по специальности: «Подъемно-транспортные и строительные
Составил: профессор докт. техн. наук Виктор Алексеевич Кузьмичев.
Документ выполнен в программе Microsoft Word – 2000
Бесплатная система образования:
Ни что не приобретается нами так дешево и не ценится так дорого как
Учись мой друг наука сокращает нам опыты быстро текущей жизни.
§ 1. Классификация нагрузок 4
§ 2. Методы прочностного расчета элементов стальных конструкций. 6
§ 3. Классификация расчетных схем сооружений 12
§ 4. Классификация опор. 14
§ 5. Кинематический анализ конструкций. 18
§ 6. Статически определимые балки. 28
§ 8 . Расчет статически неопределимые системы. 66
§ 9. Соединения элементов металлоконструкций 87
Экзаменационные вопросы 98
Строительная механика — это наука о способах расчета на прочность
жесткость и устойчивость сооружений в целом в то время как в сопротивлении
материалов рассматриваются вопросы прочности жесткости и устойчивости
отдельных элементов сооружения. В строительной механике используют методы
теоретической механики графической статики сопротивления материалов
теории упругости и теории пластичности. Рассматривают методы расчета
обеспечивающие возможность проектировать конструкции рациональные с точки
зрения указанных расчетных требований и одновременно удовлетворяющие
экономическим требованиям.
Сложность строгого учета взаимодействия отдельных частей сооружения
всех факторов влияющих на его поведение вызывает необходимость
рассматривать при расчете не действительное сооружение а его упрощенную
схему называемую расчетной схемой сооружения. При выборе ее
руководствуются двумя основными требованиями: схема должна соответствовать
действительным условиям работы сооружения и должна быть простой чтобы
избежать излишней сложности при расчете. Искусство расчета в значительной
степени зависит от умелого сочетания этих требований от умения выбрать
расчетную схему сооружения достаточно простую и одновременно правильно
отражающую условия работы действительного сооружения.
При расчете сооружений в строительной механике используется как
аналитические так и графические методы.
Ценным качеством аналитического метода является возможность получать
решения в общем виде позволяющие применять полученные выводы к разрешению
целого ряда аналогичных частных задач. Аналитический метод обеспечивает
возможность проводить глубокий анализ изучаемого явления — выявлять степень
влияния отдельных факторов на работу сооружения. Кроме того он обладает
значительно большей точностью чем графический.
Достоинство графического метода заключается в наглядности простоте
решения возможности в ряде случаев получать быстрое решение задачи с
достаточной для практических целей точностью. Однако в отличие от
аналитического метода он не дает общих решений: каждая частная задача
требует применения отдельного решения.
§ 1. Классификация нагрузок
Внешние активные силы действующие на конструкцию называются
нагрузками. Нагрузки бывают сплошные и сосредоточенные. Сплошные нагрузки -
нагрузки распределенные по поверхности измеряемые интенсивностью в Нм2
или распределенные по объему измеряемые интенсивностью в Нм3. Сплошные
поверхностные и объемные силы действующие на брус обычно заменяются
сплошной нагрузкой по длине бруса измеряемой интенсивностью в Нм.
Если поверхностные нагрузки распределены по малой площади то их
равнодействующая представляется в виде сосредоточенной силы. Расчет
конструкций начинают с определения действующих на них нагрузок: их
величины продолжительности и характера действия.
Нагрузки действующие на сооружение подразделяются:
Функциональные нагрузки для восприятия которых и проектируется
конструкция. Например нагрузки от установленного оборудования крановая
нагрузка нагрузка от транспортных средств (от железнодорожных поездов от
автомобилей) от гидростатического давления в плотинах от давления земли в
подпорных стенках и т. д.
По продолжительности действия различают постоянные и временные
Постоянные нагрузки - это такие нагрузки которые всегда находятся на
сооружении как например его собственный вес. Временные нагрузки
наоборот не всегда действуют на сооружение. Временные нагрузки
дополнительно разделяются на подвижные и неподвижные. Подвижные нагрузки -
это нагрузки перемещающиеся по сооружению как например автомобили
трамваи троллейбусы поезда и другие транспортные средства. Неподвижные
нагрузки - это нагрузки сохраняющие на сооружении продолжительное время
неизменное положение в виде различного оборудования.
К особым нагрузкам относятся сейсмические воздействия а также
воздействия просадок оснований.
По характеру действия различают статические и динамические нагрузки.
Статической называют такую нагрузку величина и положение которой при
расчете принимаются не зависящими от времени или изменяющимися столь
медленно что введение в расчет сил инерции не является необходимым.
Динамической называют такую нагрузку величина и положение которой
изменяются во времени настолько быстро что становится необходимым вводить
в расчет силы инерции.
Атмосферные нагрузки - снег и ветер.
При расчете конструкций должны приниматься сочетания нагрузок и
воздействий в наиболее невыгодных комбинациях для отдельных элементов или
для всего сооружения. Различают основные дополнительные и особые сочетания
Числовые значения нагрузок принимают в соответствии с нормативными
документами (CНиП и др.). Этими нормами устанавливаются наибольшие величины
внешних воздействий при нормальной эксплуатации конструкций так называемые
нормативные нагрузки. Расчетные нагрузки получают путем умножения
нормативных нагрузок на коэффициенты перегрузки которые учитывают
возможность превышения (а в отдельных случаях уменьшения) нагрузок по
сравнению с их нормативными значениями вследствие изменчивости нагрузок.
§ 2. Методы прочностного расчета элементов стальных конструкций.
Прочность устойчивость и жесткость конструкций зависят от материала
размеров и формы его элементов. В результате приложения нагрузки
собственного веса в элементах конструкции возникают внутренние силы и как
следствие напряжения и деформации. Поэтому при всяком расчете должны быть
в первую очередь найдены внутренние силы.
Если размеры элементов конструкции и материал из которого они
изготовлены заданы то по внутренним силам в результате расчета можно
судить о прочности устойчивости и жесткости конструкции в целом
(поверочный расчет). Если размеры элементов конструкции не известны то по
внутренним силам и используемому материалу в результате расчета можно
определить их размеры удовлетворяющие прочности устойчивости и жесткости
сооружения (проектировочный расчет).
Таким образом основная задача состоит в определении внутренних сил:
изгибающих и крутящих моментов продольных и поперечных сил.
Расчет сооружений в конечном счете сводится к оценке его прочности
устойчивости и жесткости.
Наибольшее распространение получили два метода прочностного расчета
элементов стальных конструкций а именно: метод допускаемых напряжений и
метод предельных состояний.
Метод допускаемых напряжений был разработан еще в начале 19-ого
века и являлся единственным методом прочностного расчета вплоть до
тридцатых годов 20-ого столетия.
Основой этого метода является использование в расчетах понятия о
допускаемом напряжении [pic] определяемом как часть напряжения которое
принимается за опасное с точки зрения исчерпания несущей способности
элемента. Сначала за такое принималось временное сопротивление ([pic]-
предел прочности) а затем предел текучести [pic] стали. Отношение опасного
напряжения к допускаемому называется коэффициентом запаса.
При расчете по методу допускаемых напряжений коэффициенты запаса
принимается в зависимости от назначения и условий работы (эксплуатации)
конструкции. Допускаемое напряжение [pic] определяется по формуле:
n—коэффициент запаса принимаемый в пределах 13—17. Коэффициент запаса
зависит от ряда факторов например назначение конструкции сочетания
нагрузок качества материала (стали) и т. п..
Допускаемые напряжения регламентируются соответствующими техническими
условиями проектирования различных машин.
По мере накопления опыта эксплуатации и развития теории расчетов
конструкций выявляется неудовлетворенность проектировщиков сооружений
методом расчета по допускаемым напряжениям так как величины
коэффициентов запаса были недостаточно обоснованы. Причиной этого было
главным образом отсутствие четкого представления о влиянии на величину
коэффициента запаса таких факторов как изменчивость качества материала
(стали); изменчивость эксплуатационных нагрузок; условия работы
конструкции; отсутствие в некоторых случаях прямой пропорциональности между
нагрузками и напряжениями (деформациями); точность расчета и т. п. Таким
образом коэффициент запаса является величиной обобщенной благодаря чему в
одних случаях конструкций может обладать чрезмерным запасом а в других —
Метод предельных состояний. Для металлических конструкций подъемно -
транспортных машин должны удовлетворятся два предельных состояния: первое –
по прочности устойчивости и выносливости; второе – по общим деформациям.
Впервые научное обоснование коэффициента запаса было дано
Н.С.Стрелецким на основе изучения закономерностей факторов влияющих на
условия неразрушимости конструкции методами теории вероятностей и
математической статистики. В результате указанного исследования обобщенный
коэффициент запаса может быть расчленен на три отдельных коэффициента
каждый из которых может быть детально изучен и количественно определен.
Такими коэффициентами являются:
а) коэффициент однородности k стали учитывающий изменчивость ее
механических свойств а также и изменения площадей сечения проката в
меньшую сторону в соответствии с минусовыми допусками на прокат;
б) коэффициент перегрузки п учитывающий изменчивость эксплуатационных
нагрузок; как правило этот коэффициент больше единицы.
в) коэффициент условий работы т учитывающий отличие работы
конструкции в эксплуатационных условиях от теоретических и расчетных
На основе изучения законов изменения трех указанных коэффициентов
условие гарантирующее неразрушимость конструкции записывается в общем
виде: [pic](1). Здесь [pic] - усилия от нормативных нагрузок и их
сочетания определяемых соответствующими Техническими условиями
проектирования ГОСТами и тому подобными официальными документами; F-
геометрический фактор сечения (площадь момент сопротивления и т. п.); Rн -
нормативное сопротивление материала (стали) определяемое соответствующими
ГОСТами или Техническими условиями; k п т — вышеуказанные коэффициенты
регламентируемые соответствующими техническими условиями.
Расчетное усилие [pic]и расчетное сопротивление материала (стали)
Расчетное сопротивление R — это возможное наименьшее сопротивление
стали. Для стали за нормативное сопротивление [pic] принимается предел
текучести. Коэффициент однородности k определяется в результате обработки
статистических данных полученных при испытании образцов.
Условие неразрушимости (1) можно переписать в виде: [pic] (2) где
m=m1·m2·m3. Здесь m1= 1.0 075 учитывает ответственность элемента;
m2=09 095 – неточность изготовления; m3 – несовершенства расчета.
Формулы (1) и (2) показывают что условие прочности здесь записано для
разрушающих т. е. предельных нагрузок. Отсюда и название «метода
предельных состояний». В общем предельным называется состояние при
котором исчерпывается возможность дальнейшей эксплуатации конструкции.
Этот метод прочностного расчета в полной мере отвечает важнейшему
принципу проектирования стальных конструкций а именно принципу равной
прочности элементов и соединений.
Применительно к металлоконструкциям грузоподъемных конструкций[pic]
метод предельных состояний в настоящее время разработан для кранов
различных назначений.
В области дорожных машин и оборудования для производства строительных
материалов там где рабочие нагрузки носят нестационарный характер и не
могут быть регламентированы в основном применяется метод допускаемых
Оценка жесткости конструкции по двум методам проводится путем
сопоставления наибольших перемещений от действительной или нормативной
нагрузки с перемещениями приемлемыми для эксплуатации конструкции по
Выносливость металлических конструкций.
При длительном действии переменных нагрузок элементы металлических
конструкций могут разрушаться при напряжениях меньших предела прочности или
предела текучести. Такое разрушение определяется явлением усталости
металла. Способность материала сопротивляться воздействию переменных
нагрузок называется выносливостью. Выносливость характеризуется «кривой
усталости металла» впервые полученной Веллером. Типовая зависимость кривой
усталости в полулогарифмических координатах представлена на рис.1.
N0 – базовое число циклов характеризует наибольшее число повторно-
переменных нагружений существенное превышение которого не приводит к
усталостному разрушению испытуемого образца при данном напряжении.
Опыт эксплуатации сварных металлических конструкций показал что в
некоторых случаях происходит преждевременное разрушение конструкций
носящее усталостный характер. Развитию усталостных повреждений содействуют
концентраторы напряжений возникающие в процессе изготовления металлических
конструкций например сварка резкие изменения сечений и т.п.
Расчет на выносливость металлических конструкций подъемно-транспортных
машин проводится по методике предложенный М.М. Гохбергом. Условие
выносливости имеет вид: [pic] где [pic] - предел выносливости элемента
принимаемый за опасное напряжение с эффективным коэффициентом концентрации
k при коэффициенте асимметрии цикла r; n – коэффициент запаса n = 13-15
для стали Ст.3. В качестве примера на рис.2 представлен характер
изменения допускаемого напряжения [pic] симметричного и пульсирующего
положительного циклов для стали Ст. 3.
Рис.2. : 1.- симметричный цикл; 2.- пульсирующий положительный цикл.
Очевидно существенное влияние как эффективного концентратора
напряжений к так и коэффициента асимметрии цикла r на величину
допускаемого напряжения при расчете на выносливость.
Следовательно при динамических нагрузках на конструкцию кроме расчета
на прочность необходимо проводить проверку на выносливость.
§ 3. Классификация расчетных схем сооружений
Классификация расчетных схем сооружений может быть проведена по
нескольким признакам.
По геометрическим признакам различают следующие типы сооружений:
) сооружения массивные у которых поперечные размеры по сравнению с
длиной достаточно велики; сооружения этой категории выполняют из материала
способного воспринимать преимущественно напряжения сжатия (камень бетон);
сюда относятся подпорные стенки плотины опоры мостов и т.п. .
) сооружения составленные из элементов толщина которых
относительно мала по сравнению с шириной и длиной например пластинки
оболочки; элементы этих сооружений выполняют из железобетона металла и
) сооружения составленные из элементов поперечные размеры которых
значительно меньше их длин — стержневые системы; их выполняют из
металла железобетона и дерева.
Стержневые системы подразделяют:
а) на пространственные системы в которых оси всех стержней не лежат
в одной плоскости (рис.3);
б) плоские системы в которых оси всех стержней а также силы
действующие на систему лежат в одной плоскости.
В действительности все сооружения представляют собой пространственные
системы однако в некоторых случаях взаимное расположение частей
сооружения и характер действующих на него сил позволяют расчленить
пространственную систему на ряд плоских что значительно упрощает расчет.
Металлический каркас склада у которого все три измерения — ширина
высота и длина — одного порядка относят к пространственным системам.
Однако при расчете можно расчленить каркас на плоские системы в которых
оси всех элементов лежат в одной плоскости: на основные фермы 1 и на
поперечные 2 опирающиеся на основные и поддерживающие настил.
В зависимости от типа соединений элементов различают:
) рамы - стержневые системы стержни которых во всех или в некоторых
узлах жестко связаны между собой и которые теряют геометрическую
неизменяемость если все узлы заменены шарнирными;
) фермы - стержневые системы остающиеся геометрически неизменяемыми
если в них все жесткие узлы заменены шарнирными;
) комбинированные системы например шпренгельные балки .
В зависимости от направления опорных реакций:
) безраспорные системы — балочные (рис. 4а) консольные (рис. 4б)
или консольно-балочные (рис. 4в) в которых вертикальная нагрузка вызывает
только вертикальные опорные реакции;
) распорные системы — арочные (рис.4г) и висячие (рис.4д) в
которых вертикальная нагрузка вызывает наклонные опорные реакции; отличие
арочных систем от висячих заключается в направлении горизонтальной
составляющей реакции (распора Н); в арочных системах распор направлен к
середине пролета в висячих наружу.
§ 4. Классификация опор.
Опора представляет собой пространственную конструкцию; однако в
плоских системах у которых оси всех элементов и действующие на систему
силы лежат в одной плоскости она может рассматриваться как часть плоской
Опоры плоских систем бывают четырех основных типов. Схемы их даны на
Первый тип. Цилиндрическая подвижная опора (рис.5а). В ее состав
входят: верхний балансир прикрепленный к системе нижний балансир
цилиндрический шарнир расположенный между обоими балансирами и катки
которые могут перемещаться по опорной плоскости. Такая опора допускает
поворот системы вокруг оси шарнира и поступательное перемещение на
незначительное расстояние. Опорная реакция имеет одну неизвестную R.
Второй тип. Цилиндрическая неподвижная опора (рис5б). Эта опора в
конструктивной схеме которой отсутствуют катки отличается от предыдущей
тем что в данном случае известна только точка приложения опорной реакции —
центр шарнира направление же опорной реакции неизвестно. В общем случае
опорная реакция имеет две неизвестные составляющие по осям R1 и R2
Третий тип. Защемляющая неподвижная опора (рис.5в). Такая опора
выполняется путем жесткой заделки конца стержня и не допускает ни
поступательного перемещения ни поворота системы. В данном случае
неизвестными являются не только величина и направление но и точка
приложения опорной реакции. В общем случае опорная реакция имеет две
неизвестные составляющие по осям R1 и R2 и момент М.
Четвертый тип. Защемляющая подвижная опора (рис.5г). В конструктивной
схеме конец стержня опирается на катки заложенные между стержнем и стеной.
Такая опора допускает поступательное перемещение и препятствует повороту
узла. В общем случае опорная реакция имеет одну неизвестную составляющую
по оси R1 и момент М.
Таким образом число стержней в стержневой схеме опоры всегда равно
числу неизвестных которые следует найти для определения опорной реакции.
Опоры пространственных систем бывают трех основных типов. Схемы их
Первый тип. Плоско-подвижная шаровая опора. Она допускает вращение
вокруг любой оси проходящей через центр шарового шарнира и поступательное
перемещение по опорной поверхности.
Второй тип. Линейно-подвижная опора. Она допускает вращение вокруг
любой оси проходящей через центр шарового шарнира и поступательное
перемещение на катках.
Третий тип. Неподвижная шаровая опора. Она допускает вращение вокруг
любой оси проходящей через центр шарового шарнира.
Для создания неподвижной геометрически неизменяемой пространственной
конструкции необходимо не менее шести опорных стержней расположенных таким
образом чтобы была обеспечена неизменяемость всего закрепления.
Величины усилий в шести опорных стержнях можно определить на основании
шести условий равновесия статики: [pic]
Для упрощения вычислений усилий в отдельных опорных стержнях
составляют уравнения моментов относительно осей пересекающих возможно
большее число остальных опорных стержней так как в этом случае моменты
усилий стержней пересекаемых осью или параллельных ей равны нулю.
Пример. Определить усилия в опорных стержнях геометрически
неизменяемой пространственной фермы приведенной на рис.7 при действии
Обозначим усилия в опорных стержнях через S1 S2 S3 S4 S5
S6 и при составлении уравнений равновесия условно примем что опорные
стержни растянуты (усилия направлены от узла).
На основании вышесказанного приравняв нулю сумму моментов всех сил
относительно оси x получим:
[pic] откуда [pic] Знак минус показывает что стержень 4 сжат. Приравняв
нулю сумму моментов всех сил относительно оси у найдем: [pic] откуда
[pic] Итак стержень 5 сжат. Приравняв нулю сумму проекций всех сил на ось
z получим: [pic]. Подставив значения для S4 и S5 найдем: [pic]. Итак
стержень 3 растянут. Приравняв сумму проекций всех сил на оси y и x и
сумму моментов относительно оси z нулю получим: [pic]
§ 5. Кинематический анализ конструкций.
Расчетные схемы ряда конструкций могут быть представлены в виде
геометрически неизменяемой системы плоских тел расположенных в одной
плоскости соединенных между собой шарнирами (стержнями) и прикрепленных к
земле при помощи опорных устройств (опорных стержней). Эти шарниры и опоры
называют кинематическими связями или просто связями.
С позиций кинематического анализа конструкции могут быть
классифицированы по следующим признакам ( рис.8).
При проектировании инженерных сооружений использование геометрически
изменяемых и мгновенно изменяемых конструкций недопустимо!!!
Геометрически неизменяемой называют такую систему соединенных между
собой тел (дисков) которая не допускает относительного перемещения ее
частей без их деформации.
Для понимания сущности кинематического анализа геометрически
неизменяемых систем предварительно рассмотрим отдельный ничем не связанный
плоский диск (рис.9б). Под диском будем понимать геометрически неизменяемую
конструкцию любой геометрической формы.
Положение такого диска при перемещении его в плоскости определяется
тремя параметрами. Например координатами х и у какой-либо точки А и углом
наклона α к оси абсцисс какой-либо прямой проходящей через эту же точку А.
(точка А и прямая принадлежат диску). Число независимых геометрических
параметров характеризующих положение диска определяет число степеней
свободы диска. Таким образом отдельный ничем не связанный плоский диск
обладает тремя степенями свободы.
Определим число степеней свободы системы приведенной на рис.9а.
Обозначим число дисков через Д число опорных стержней — через С0 и число
шарниров — через Ш. Если бы все диски были свободны то общее число
степеней свободы равнялось бы ЗД. Каждый опорный стержень уменьшает степень
свободы на 1 при С0 опорных стержней степень свободы уменьшается на С0.
Каждый шарнир уменьшает степень свободы на 2 при Ш шарнирах степень
свободы уменьшится на 2Ш. Итак общее число степеней свободы системы
n = 3Д – С0 - 2Ш. Система будет геометрически изменяема если n>0
Необходимое условие для геометрической неизменяемости системы т. е.
для системы соединенных между собой тел не допускающей относительного
перемещения ее частей без их деформации n ≤ 0: 3Д = С0 + 2Ш (1) –
конструкция геометрически неизменяемая и не имеет лишних связей. Такие
системы называют статически определимыми. Если 3Д С0 + 2Ш (2) -
конструкция геометрически неизменяемая и имеет лишние связи. Такие системы
называют статически неопределимыми. В рассматриваемом примере (рис.10а)
имеем 3·2 - 4 - 2·1 = 0 - конструкция геометрически неизменяемая и
статически определимая.
Эти условия необходимы но недостаточны для суждения о неизменяемости
системы. Следует еще рассмотреть расположение стержней т. е. проверить
геометрическую структуру системы. Таким образом с кинематической точки
) геометрически неизменяемые системы имеющие лишь необходимое число
кинематических связей (рис. 10аб);
) геометрически неизменяемые системы имеющие лишние связи (рис.10в).
Кратные шарниры. На практике встречаются так называемые кратные
шарниры соединяющие не два а несколько отдельных дисков. Кратный шарнир
приведенный на рис.10г соединяет четыре диска его следует рассматривать
как 4 – 1 = 3 простых шарнира. Кратный шарнир приведенный на рис.10д надо
рассматривать как два простых шарнира; одиночные шарниры на рис.10еж.
Шарнир на рис.10е называют полным а на рис.10ж - неполным. В
вышеуказанных формулах под Ш понимается приведенное число шарниров т.
е. эквивалентное число простых шарниров. Если кратный шарнир соединяет m
дисков то он эквивалентен m – 1 простым шарнирам.
Лишние связи. Число лишних связей определяется по формуле: Л =
Формулы (1)(2) (3) применимы для анализа статической неопределимости
шарнирно-стержневой системы при условии что ни в одном из дисков нет
Рассмотрим случай когда диск представляет стержневую систему в виде
фермы. Как отмечалось фермы - стержневые системы остающиеся геометрически
неизменяемыми если в них все жесткие узлы заменены шарнирными.
Шарнирное соединение в виде треугольника представляет собой
геометрически неизменяемую систему.
Геометрически неизменяемая система с числом стержней более трех может
быть образована следующим способом: к основному затемненному треугольнику
последовательно присоединяют узлы при помощи двух стержней оси которых не
лежат на одной прямой (последовательный порядок прикрепления стержней
указан на рисунке цифрами). Фермы образованные таким образом называют
простейшими (рис.11).
Установим зависимость между числом стержней и числом узлов
геометрически неизменяемой фермы исходя из способа образования простейшей
фермы. Для образования первых трех узлов необходимы три стержня. Обозначим
через У общее число узлов. Для образования остальных (У — 3) узлов
необходимо 2(У — 3) стержня. В результате получим общее число стержней: 3 +
(У — 3) = 2У — 3. Обозначая общее число стержней через С найдем
необходимое условие геометрической неизменяемости фермы: С = 2У — 3
(1). Эта зависимость является необходимым условием для получения
геометрически неизменяемой системы с наименьшим числом стержней. Вполне
понятно что могут быть фермы с большим числом стержней где С>2У —3. Тогда
число лишних связей определяется по формуле: Л=С – (2У-3). Проверить имеет
лишние связи ферма представленная на рис.11.
Системы полученные из шарнирного треугольника путем
последовательного присоединения узлов представлены на рис.12.
В ферме (рис.12а) число узлов У = 10; 2У -3 = 17; число стержней С =
Следовательно ферма геометрически неизменяема при наименьшем числе
Геометрическую неизменяемость ферм (рис.12бвд) предлагается
поверить самостоятельно.
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство что условие
С = 2У-3 является необходимым но недостаточным. Так например на рис.13а
ферма имеет число узлов У=8; 2У-3 = 13; число стержней С =13. Между тем она
геометрически изменяема вследствие неправильного расположения стержней.
Ферма (рис.13б) имеет одну лишнюю связь но геометрически изменяема
(правые панели – шарнирные четырехугольники).
Поэтому при анализе геометрической неизменяемости нельзя ограничиться
лишь проверкой соблюдения условия (1) но следует наряду с этим рассмотреть
расположение стержней т. е. провести анализ геометрической структуры
системы. Так для проверки простейших ферм необходимо проследить
соблюдается ли указанный выше порядок последовательного присоединения
Для доказательства статической определимости ферм при соблюдении
условия С = 2У — 3 (1) вырежем узлы фермы и заменим действие удаленных
частей внутренними усилиями направленными по осям стержней (рис.14).
Рассматривая равновесие каждого вырезанного узла под действием внешних и
внутренних сил можно для каждого узла написать два уравнения статики
((X =0; (Y=0) . При числе узлов У будем иметь 2У уравнений. Из них
необходимо 3 использовать для нахождения реакций опор следовательно для
определения внутренних усилий остается 2У-3 уравнений
Итак число уравнений равно числу неизвестных усилий и следовательно
геометрически неизменяемая система при соблюдении условия С = 2У - 3
является статически определимой.
Фермы статически определимые можно поделить на две группы:
- фермы статически определимые относительно опорных реакций;
- фермы статически определимые относительно усилий в стержнях.
Статически неопределимые системы
Статически неопределимой стержневой системой называют такую систему у
которой при действии любой произвольной нагрузки не все продольные
поперечные силы и моменты могут быть найдены из уравнений равновесия
твердого тела или системы твердых тел (уравнений статики).
В статически неопределимых системах имеются так называемые лишние
связи которые можно удалить не нарушая геометрической неизменяемости
системы. Наличие таких связей в геометрически неизменяемой системе является
необходимым и достаточным признаком ее статической неопределимости.
Применение лишних (избыточных) связей дает иногда возможность
проектировать сооружения более экономично (как например неразрезные
балки) что является положительным свойством статически неопределимых
Недостатком статически неопределимых систем является их
чувствительность к осадкам опор к температурным воздействиям и к
неточности изготовления отдельных элементов системы.
Различают связи условно необходимые и безусловно (абсолютно)
необходимые (рис.15 а). Любой из стержней левой панели т. е. АВ ВС CF
FA АС и BF является условно необходимым так как он может быть удален при
сохранении других стержней. В то время как стержни СЕ EF а также любой из
трех опорных стержней является абсолютно необходимым так как удаление его
превращает систему в геометрически изменяемую.
Количество лишних связей и соответственно лишних неизвестных
определяет степень статической неопределимости. При наличии одного лишнего
неизвестного система один раз статически неопределима при двух лишних
неизвестных— два раза статически неопределима и т. д.
Дополнительные недостающие уравнения для определения лишних
неизвестных составляются на основании анализа деформаций системы и будут
Статически неопределимые стержневые системы (фермы рамы и т.п.) можно
поделить на три группы:
- статически неопределимые относительно опорных реакций С0 (3;
- статически неопределимые относительно усилий в стержнях С(2У-3;
- комбинированные - статически неопределимые относительно опорных реакций и
В рамных системах можно установить степень статической неопределимости
на основании следующих соображений. Если в замкнутом бесшарнирном контуре
проведем сквозное сечение 1-1(рис.15б) то перерезаем два элемента.
Действие удаленных связей в каждом элементе должно быть заменено тремя
неизвестными усилиями (поперечной и продольной силами изгибающим
моментом). Таким образом получим шесть неизвестных для определения
которых имеются три уравнения статики. Следовательно в каждом замкнутом
контуре имеются 3 лишние связи.
Если в раме имеется К замкнутых бесшарнирных контуров то число лишних
неизвестных Л=3К. В тех случаях когда в контуре имеются шарниры число
лишних неизвестных определяется следующим образом. Как известно каждый
простой шарнир уменьшает количество связей на единицу. Следовательно при
наличии в замкнутом контуре Ш простых шарниров число лишних неизвестных
равно Л=ЗК — Ш. В тех случаях когда шарниры кратные то под Ш понимается
приведенное число шарниров.
Общее число лишних неизвестных с учетом опорных реакций определяется
по формуле: Л=ЗК — Ш+ (Со-3).
Поясним применение этих формул примерами рам приведенных на
рис.15вг. В раме на рис.15в замкнутых контуров 2 число шарниров 0
число опорных стержней 8. Следовательно после подстановки имеем Л=11. В
раме на рис.15г также замкнутых контуров 2 имеются 2 простых
промежуточных шарнира число опорных стержней 6. Следовательно Л=7.
Мгновенно изменяемые системы
При кинематическом анализе системы следует иметь в виду что система
может оказаться мгновенно изменяемой даже при наличии достаточного числа
связей и при геометрической структуре обеспечивающей в общем случае ее
неизменяемость. На рис.16а рис. 16в17 представлены системы в
которых имеется возможность бесконечно малого перемещения без изменения
формы (длины) ее элементов. Эти системы мгновенно изменяемы так как в
первом случае опорные реакции пересекаются в одной точке; во втором -
соединение двух стержней оси которых лежат на одной прямой недопустимо.
Аналогичное явление имеет место и при присоединении диска к массиву
тремя опорными стержнями пересекающимися при продолжении в одной точке О
(рис.17 а). Точка О в данном случае будет мгновенным центром вокруг
которого система может совершить бесконечно малое перемещение. Такие
системы называют мгновенно изменяемыми. Вполне понятно что и диск
опирающийся на три параллельных стержня следует отнести к мгновенно
изменяемым системам поскольку параллельные линии пересекаются в бесконечно
Усилия возникающие в элементах мгновенно изменяемых систем
теоретически могут оказаться неопределенными или равными бесконечности.
На рис.16б дан пример геометрически неизменяемой системы.
Допустим что в системе на которую действует сила Р опорный стержень
S не проходит через точку О — точку пересечения двух других опорных
стержней. Определим усилие S в опорном стержне.
Так как система находится в равновесии то сумма моментов всех сил
относительно точки О: M = P·r – S ·d = 0 где r d - длины
перпендикуляров опущенных из точки О на направление силы Р и S .
Моменты усилий в двух других опорных стержнях относительно точки О
равны нулю. Из составленного уравнения получим: S=P·rd.
На основании изложенного следует что применение мгновенно изменяемых
систем при проектировании инженерных сооружений недопустимо. Необходимо
избегать не только мгновенно изменяемых систем но и систем близких к ним
поскольку усилия в стержнях таких систем могут достигать значительной
§ 6. Статически определимые балки.
Статически определимые балки разделяются на простые балки (рис.1а)
консольные балки (рис.1бвг) многопролетные шарнирные балки (рис.1д)
составленные из простых и консольных балок соединенных шарнирами.
Сопротивление материалов рассматривает балки при действии на них
неподвижных нагрузок. В курсе строительной механики рассматриваются как
простые балки так и многопролетные шарнирные статически определимые либо
статически неопределимые балки при действии на них подвижных и
неподвижных нагрузок.
При расчете мостов кранов подкрановых балок эстакад и ряда других
инженерных сооружений приходится иметь дело с подвижной нагрузкой
например железнодорожный поезд вагоны трамвая автомобили крановые
тележки и т. п. Нагрузки эти представляют собой системы сосредоточенных
грузов расположенных на определенном расстоянии друг от друга. В некоторых
случаях они могут быть представлены и сплошной нагрузкой.
При расчете на подвижную нагрузку необходимо решать следующие задачи:
) определять опорные реакции поперечные и продольные силы
изгибающие моменты в конструкциях при заданном (стационарном) расположении
) Выбирать наиболее невыгодное расположение нагрузки т. е. такое
ее расположение при котором искомые величины достигают наибольшего
Такие задачи решают при помощи линий влияния.
Линией влияния называют диаграмму изображающую зависимость искомой
величины (силы момента напряжения перемещения и т. п.) от положения
единичного груза (груза равного единице) на сооружении (конструкции).
Линии влияния усилий в простой балке
Опорные реакции. Рассмотрим как изменятся величины опорных реакций
при движении единичного груза по балке. Расположим груз Р = 1 на расстоянии
х от левой опоры (рис.2 а).
Для определения реакции А составим уравнение моментов всех сил
относительно правой опоры В: [pic] [pic]. При движении груза по балке
реакция А изменяется по линейному закону. Строим прямую по двум точкам:
при х=0 А=1; при x=l A=0 . В определенном масштабе по оси ординат в
опоре А отложим А=1 в опоре В отложим А=0. Эта прямая будет линией влияния
Внимание: при графическом построении линий влияния выбираются
масштабы единичной силы и геометрических размеров балки (конструкции)!!!
Ординаты линии влияния реакции выражаются отвлеченными числами; при
умножении этих ординат на величину нагрузки например в ньютонах получим
значение реакции в [Н].
Линию влияния опорной реакции В предлагается построить самостоятельно.
Поперечная сила. Построим линию влияния поперечной силы в сечении C
балки. Как известно поперечной силой Q называют алгебраическую сумму
проекций всех сил расположенных по одну сторону от сечения.
Рассмотрим сумму сил расположенных левее сечения. Предположим что
поперечная сила положительна если она направлена вверх и откладываем ее в
этом случае при построении линии влияния вверх. Отрицательные же значения
При расположении единичного груза справа от сечения С (рис.2 а)
левые силы представляют собой одну опорную реакцию А. Следовательно
[pic] [pic]. Будем считать ее положительной. Таким образом линией влияния
поперечной силы Q при перемещении груза справа от С на протяжении СВ будет
соответствующая часть линии влияния опорной реакции А на отрезке СВ –
правая ветвь линии влияния. При движении груза слева от сечения С
поперечную силу определяем как сумму сил справа которая сводится лишь к
одной реакции В. Следовательно. [pic] [pic] (поперечная сила имеет
отрицательное значение в силу закона парности сил). Отрезок линии влияния
опорной реакции В на участке АС является линией влияния поперечной силы в
левой части балки т. е. левой ветвью линии влияния. Итак линией влияния
поперечной силы Q в сечении С простой балки является ломаная линия.
Размерность ординат линии влияния поперечной силы та же что и ординат
линий влияния опорных реакций т. е. ординаты выражаются отвлеченными
Изгибающий момент. Построим линию влияния изгибающего момента в
сечении С. При этом положительные значения изгибающего момента будем
располагать от растянутого волокна балки.
Когда единичный груз движется в правой части балки то в левой
действует лишь одна сила - опорная реакция А. Изгибающий момент [pic]
[pic] (1). Следовательно ординаты линии влияния изгибающего момента при
перемещении груза справа от С на протяжении ВС можно получить из линии
влияния реакции опоры А умножая ее ординаты на [pic]. Отрезок на
протяжении СВ представляет собой правую ветвь линии влияния изгибающего
При движении груза слева от С рассмотрим правую часть балки где
действует опорная реакция В. Изгибающий момент [pic] [pic] (2).
Следовательно ординаты линии влияния изгибающего момента в левой части
можно получить умножая ординаты линии влияния опорной реакции В на [pic].
Отрезок на протяжении АС представляет собой левую ветвь линии влияния
изгибающего момента. Ломаная линия и является линией влияния изгибающего
момента в сечении С. Нетрудно доказать путем подстановки в уравнения (1) и
(2) x=l1 что правая и левая линии влияния искомого момента пересекутся в
Ординаты линии влияния изгибающего момента выражаются в единицах
длины например в метрах. При умножении этих ординат на величину нагрузки в
ньютонах получим моменты в [Нм].
Очертание линии влияния изгибающих моментов имеет некоторое сходство с
эпюрой изгибающих моментов. Однако между ними имеется принципиальная
разница. Эпюра моментов дает возможность находить изгибающие моменты в
любом сечении при заданной неподвижной нагрузке. Линии же влияния
изгибающего момента дают возможность найти изгибающие моменты в
определенном сечении при всевозможных положениях подвижной нагрузки.
На рис.2б представлены линии влияния для консольной балки. При
построении линий влияния поперечной силы и изгибающего момента в отличие от
простой двух опорной балки необходимо рассматривать ту часть балки в
которой располагается груз. Линии влияния консольной балки предлагается
построить самостоятельно.
Определение усилий по линиям влияния.
На рис. 3а представлена например линия влияния изгибающего
момента простой балки в сечении с. Требуется определить величину
изгибающего момента при заданной системе сосредоточенных грузов P1 Р2
Ордината линии влияния y1 расположенная под грузом Р1 равна величине
момента который возникает при действии единичного груза Р=1.
Следовательно при действии груза Р1 момент будет равен Р1·y1. Аналогично
при действии груза Р2 момент равен Р2·y2 и т.д. На основании принципа
независимости действия сил момент при действии всех заданных грузов равен:
Определим момент вызываемый равномерной нагрузкой. Пусть на некоторую
часть сооружения действует равномерная нагрузка интенсивностью q нм
(рис.3б). Бесконечно малую часть нагрузки на длине dx можно рассматривать
как сосредоточенную силу равную qdx. Момент вызываемый элементарной
сосредоточенной силой равен уqdx .
Рассматривая всю равномерно распределенную нагрузку как сумму
элементарных сосредоточенных сил получим момент от ее действия [pic]
Интеграл [pic] - площадь ограниченная линией влияния в пределах
загруженного участка.
Линии влияния при узловой передачи нагрузки.
Рассмотрим случай когда нагрузка передается на балку не
непосредственно а при помощи поперечных балок (рис.4). Допустим что груз
Р = 1 располагается между узлами 2 и 3 на расстоянии х от узла 2. Тогда
составляющая груза (опорная реакция) в узле 2 равна [pic] а составляющая
Пусть кривая изображенная на рис. 4а есть линия влияния при
непосредственной передаче нагрузки на балку. Если обозначить ординату линии
влияния под узлом 2 через y2 а под узлом 3 - у3 то усилие вызываемое
в соответствии с вышеизложенным (определение усилий по линиям влияния -
имеем две силы приложенные в узлах 2 и 3). Полученное выражение для усилия
S представляет собой уравнение прямой соединяющей концы ординат y2 и у3.
Следовательно для построения линии влияния при узловой передаче
нагрузки необходимо на линию влияния построенную для непосредственной
нагрузки спроектировать узлы поперечных балок и соединить полученные точки
В качестве примера построены линии влияния поперечной силы и
изгибающего момента при узловой нагрузке в сечении с (рис.4б) .
Линии изображенные пунктиром представляют собой линию влияния
поперечной силы и момента при непосредственной нагрузке. Проектируя узлы 2
и 3 на соответствующие ветви линий влияния и соединяя точки d и k получим
линии влияния при узловой нагрузки.
Кинематический метод построения линий влияния.
Кинематический метод построения линий влияния основан на принципе
возможных перемещений. Всякая неизменяемая и неподвижная статически
определимая плоская система (балка ферма и т. п.) представляет собой
систему с минимально необходимым числом связей. Это значит что если
удалить одну связь то получится система с одной степенью свободы или
механизм. Перемещения всех точек такой системы будут определяться
возможными перемещениями одной какой-либо ее точки.
Усилие для которого строится линия влияния (опорная реакция
поперечная сила изгибающий момент и т. п.) обычно представляет собой
усилие в одной из связей системы. Удалив эту связь и заменив ее влияние
искомым усилием получим механизм на который действуют искомое усилие Х и
Применение принципа возможных перемещений поясним на примере
построения линии влияния какого-либо усилия возникающего в простой балке
при движении груза Р=1.
Линия влияния опорной реакции. Для построения линии влияния опорной
реакции А удалим опорный стержень в котором возникает искомая реакция и
повернем балку на произвольный бесконечно малый угол около точки В.
Ординаты у возможных бесконечно малых перемещений будут представлять в
некотором масштабе ординаты линии влияния реакции опоры. Так как опорная
реакция А при положении груза над опорой равна единице то масштаб
определяют исходя из условия чтобы ( =1. Отложив под опорой А ординату
равную 1 получим линию влияния реакции опоры А (рис.5а).
Поперечная сила (рис.5б). Разрежем балку в исследуемом сечении С и
представим что разрезанные части балки соединены двумя параллельными
бесконечно малыми стерженьками допускающими относительный сдвиг разрезанных
частей относительно друг друга. Таким образом превратили балку в механизм.
Левая часть балки повернется вокруг шарнира А а правая часть вокруг
шарнира В причем обе части балки повернутся на один и тот же угол. Для
уравновешивания силы Р=1 в месте разреза приложим равные и противоположно
направленные поперечные силы Q. Ординаты эпюры возможных перемещений будут
определять в некотором масштабе ординаты линии влияния поперечной силы в
сечении С. установим из условия чтобы ордината y давала
непосредственно величину Q=1 .
Изгибающий момент (рис.5в). Разрежем балку в исследуемом сечении С и
поставим в этом сечении шарнир. Таким образом балку превратили в механизм.
Для уравновешивания силы Р=1 в шарнире С приложим два равных и
противоположно направленных момента М. Итак ординаты возможных перемещений
у будут определять в некотором масштабе ординаты линии влияния изгибающего
момента М в сечении С . Для того чтобы ордината у непосредственно давала
величину М необходимо чтобы отрезок под опорой А равнялся расстоянию от
точки С до опоры А т.е. а под опорой В равнялся расстоянию от точки С
Ценность кинематического метода заключается в том что пользуясь им
можно легко и быстро строить линии влияния различных систем. Особенно
существенно то обстоятельство что при этом можно не прибегая к каким-либо
сложным построениям ясно представить очертание искомой линии влияния.
Замена нескольких сосредоточенных грузов их равнодействующей
Если линия влияния есть отрезок прямой (рис.6) то искомое усилие
[pic]может быть определено умножением равнодействующей R сосредоточенных
грузов на ординату у0 линии влияния расположенную под точкой приложения
равнодействующей т. е [pic] где[pic] . Таким образом [pic]
Определение невыгоднейшего загружения линии влияния.
Система связанных друг с другом сосредоточенных грузов. Ограничимся
рассмотрением треугольной линии влияния. Предположим что ни один из грузов
не находится над вершиной треугольника (рис.7а).
Искомое усилие S будет равно:[pic] где [pic] -соответственно грузы
находящиеся слева либо справа от вершины; [pic] - ординаты левого либо
правого участка линии влияния.
Возьмем производную от усилий S по абсциссе х:
[pic] (1). Очевидно что для всех точек левого участка линии влияния [pic]
а для всех точек правого участка [pic]. Если[pic] то при дальнейшем
движении системы грузов (слева направо поскольку ось х считается
направленной вправо) искомое усилие возрастает и следовательно опасное
положение нагрузки еще не достигнуто. Если [pic] то при дальнейшем
движении системы грузов искомое усилие будет убывать и следовательно
опасное положение нагрузки уже пройдено. Таким образом при переходе
системы грузов через опасное положение знак производной изменяется на
обратный. Так как в полученном для производной выражении (1) оба члена
постоянны то знак производной может измениться на обратный лишь в том
случае если один из грузов перейдет из одного участка в другой для чего
он должен предварительно оказаться над вершиной линии влияния.
Отсюда вывод: опасное положение системы грузов может иметь место
тогда когда один из грузов системы находится над вершиной линии влияния.
Этот груз называют критическим грузом.
Обозначив сумму левых грузов без включения критического груза через
[pic] а сумму правых грузов также без критического груза через [pic]
(рис.7б) можно написать: [pic] (2). Если подставим [pic] (3) где [pic]
— ордината линии влияния под вершиной то после подстановки получим:
Полученные неравенства являются условием для определения критического
Вполне понятно что это правило применимо лишь при том условии если
при расположении критического груза над вершиной линии влияния все грузы
составляющие сумму [pic] находятся на сооружении т. е. ни один из них
не сходит с него. В противном случае необходимо провести проверку снова
принимая во внимание лишь те грузы которые находятся на сооружении.
Критический груз можно определить графическим путем при помощи
следующего построения (рис.7в). В конце балки А проводим перпендикуляр к ее
оси и в определенном масштабе откладываем все грузы в том порядке в каком
они расположены от опоры А к опоре В. Конец последней силы (точку D)
соединим с концом балки В. Затем из точки С соответствующей вершине линии
влияния проводим линию параллельную BD. Эта линия пересечет тот груз
который должен быть установлен над вершиной линии влияния т. е.
Сплошная распределенная нагрузка. Ограничиваемся рассмотрением линии
влияния треугольной формы (рис.7г). Заменим распределенную нагрузку слева
и справа от сечения сосредоточенными грузами. Критическим грузом будет
элементарный груз [pic] расположенный над сечением. Подставим [pic] в
неравенства (4) получим: [pic]. Пренебрегая бесконечно малой величиной
qdx получим вместо двух неравенств одно уравнение: [pic] Это положение
можно формулировать следующим образом: опасным положением нагрузки будет
то при котором средние погонные нагрузки на левом и правом участках балки
Многопролетные шарнирные статически определимые балки.
В качестве примера рассмотрим балку представленную на рис.8.
В шарнирных балках концы одних балок являются опорами для других. Так
например балки АВ и СЕ представляют собой основные балки по отношению к
дополнительным балкам ВС и ЕF. На рис.8б представлена расчлененная на
Геометрическая неизменяемость и статическая определимость шарнирных
балок устанавливается по общим правилам: Соп – 3 = Ш где Соп Ш –
соответственно число опорных стержней и число шарниров. Если Соп ( Ш + 3 –
система статически неопределима.
Деление балок на основные и дополнительные имеет смысл для расчета
шарнирных балок который часто удобно проводить в порядке обратном порядку
образования (строительства) системы. Кроме того оно позволяет наиболее
образно представить работу системы в целом имея в виду что нагрузка
расположенная на основных балках не будет вызывать внутренних сил в
дополнительных балках. В тоже время нагрузка расположенная на
дополнительных балках вызывает внутренние силы во всех основных по
отношению к ней балках. Исключение из шарнирной балки только дополнительных
балок оставляет систему геометрически неизменяемой а исключение основной
балки обращает систему в изменяемую.
Построение линий влияния шарнирных балок основано на четком делении их
на основные и дополнительные. Каждая из рассматриваемых балок в отдельности
при действии вертикальной нагрузки является простой либо консольной
геометрически неизменяемой и статически определимой. Следовательно
построение линий влияния искомых усилий для дополнительных балок ни чем не
отличается от изложенного выше.
При построении же линий влияния основных балок необходимо рассмотреть
ее совместно с дополнительными балками для которых она является основной.
Сначала рассматривают движение груза по основной балке для которой линии
влияния строятся по известным правилам. Далее располагают груз Р=1 на
соседнюю дополнительную балку (слева либо справа от основной - в сторону
перемещения груза) которая опирается посредством шарнира на основную и на
нее воздействует. Когда груз располагается над шарниром (первая опора по
движению груза) ордината линии влияния искомого усилия равна ранее
полученной ординате линии влияния основной балки. При расположении груза
над второй опорой ордината линии влияния равна нулю. В качестве примера
приведены линии влияния искомых усилий в балке представленной на рис.9.
Строить линии влияния многоопорных шарнирных балок целесообразно с
использованием кинематического метода описанного выше. Рассмотрим
построение линии влияния опорной реакции Rc . Удалим опору С основной
балки. При удалении опоры С шарнирная балка превращается в геометрически
изменеямую систему – рычажный механизм. Рассмотрим возможный бесконечно
малый поворот основной балки относительно опоры Д. Дополнительные балки
при этом также повернутся относительно своих неподвижных опор и приобретут
положение указанное на рис.9. Ломаная линия отображающая положение оси
балки при возможном бесконечно малом перемещении опоры С и есть линия
влияния опорной реакции Rc. Очевидно на основании метода построения линии
влияния опорной реакции простой балки ордината линии влияния под опорой С
равна единице. Остальные ординаты линии влияния в характерных точках
определяются в соответствии с линейными размерами шарнирной балки
известными из геометрии методами.
Линии влияния поперечной силы Qk и момента Mk в сечении «к»
предлагается построить самостоятельно.
При известной стационарной нагрузке по линиям влияния можно
определить выше представленными методами величины искомых усилий а также
невыгоднейшее загружение системой подвижных связанных грузов.
Основы конструирования и прочностного расчета.
С позиций геометрии сечения балок простой называют балку состоящую
только из одного прокатного профиля в виде двутавра или швеллера. Составной
называют балку состоящую из нескольких прокатных или гнутых профилей.
Наибольшее распространение имеют сварные балки. Некоторые типы сечений
балок представлены на рис.10
Составные балки применяются двутаврового двухстенчатого замкнутого
сечения и др.. Двухстенчатые балки применяются когда необходимо создать
достаточную жесткость в горизонтальном направлении. Удовлетворяя
требованиям прочности жесткости и устойчивости балка должна обладать
Основные усилия для подбора сечения балки: расчетный изгибающий момент
Мmax от постоянной и подвижной нагрузок и расчетная поперечная сила Qmax от
Предварительный подбор сечения сварных главных балок мостовых и
козловых кранов состоит в определении необходимого момента сопротивления и
выборе толщины стенки и площади сечения поясов. Эти данные определяются по
Искомая Формулы для подбора элементов сечения балок по методу
величина допускаемых напряжений
S — статический момент полусечения относительно горизонтальной оси
х — х (рис. а) определяется по формуле: [pic]где [pic] — площадь сечения
расстояние от центра тяжести поясного листа до оси х — х; [pic] — то же
от центра тяжести половины вертикального листа до оси х — x;
J — момент инерции сечения (без ослабления); h — геометрическая высота
балки (расстояние между центрами тяжести поясов).
Коэффициент 09 учитывает часть общего момента воспринимаемого
только поясами. Остальная часть 01 Мmax воспринимается вертикальной
Высота сечения балки определяется нормами вертикальной жесткости (т. е.
прогибом) и требованием возможно меньшего веса.
При отсутствии требования жесткости высота балки может определяться по
эмпирической формуле: [pic] [см].
Высота балки при обеспечении минимального веса: [pic] .
При заданном условии жесткости [pic] необходимая высота балки может
быть определена по формуле: [p [[pic]]и -
допускаемое напряжение изгиба;
[ f ]- допускаемый прогиб принимаемый по соответствующим нормам
технических условий проектирования металлоконструкций. Для однобалочных
мостов [ f ]=1400 l для пролета более 17м [ f ]=11000 l.
Типовое двутавровое сечение сварных балок состоит из трех листов:
одного вертикального и двух горизонтальных поясных (рис.1а). Для
предварительного подбора сечения вертикальной стенки принимают ее высоту
hcm равной высоте балки т. е. hcm = h6. Толщина вертикальной стенки
подбирается из условия прочности и местной устойчивости. Наименьшая толщина
стенки [pic] принимается по формуле табл.№ 1. Рекомендуется: одностенчатые
балки [p двухстенчатые [p при удовлетворении условия местной
устойчивости [pic]. Под местной устойчивостью подразумевается такое
состояние части конструкции или отдельного элемента при котором эта часть
конструкции или элемента устойчиво сохраняет свою прямолинейную форму
упругого равновесия при действии эксплуатационной нагрузки.
Ширина b поясных листов принимается:
для двутавров [p для двухстенчатых балок [pic]. Исходя из условия
местной устойчивости толщину [pic] поясного листа двутавровых балок
принимают[pic] где b — полная ширина пояса.
В целях получения необходимого момента сопротивления сечения балки
толщину поясных листов принимают больше толщины стенки. В общем весе балки
вес вертикальных листов составляет (40—50%) в то время как на значительной
высоте этих листов напряжения используются незначительно. Поэтому выгоднее
толщину вертикальных листов принимать возможно меньшую и обычно таковую
лимитирует местная устойчивость а горизонтальные листы воспринимающие
большую часть изгибающего момента следует принимать более мощными.
Приведенные выше формулы для подбора сечений элементов балки
ориентируют конструктора в выборе основных размеров. Окончательные размеры
устанавливаются после нескольких пробных попыток расчета. Проверочные
формулы прочности сечений приведены в табл.№2. В формулы подставляются
окончательно принятые характеристики сечения Wpa6 Jx[pic]. Необходимо
проверить прогиб конструкции по известным формулам или способами
строительной механики.
Вид напряжения Формулы прочности сечений балок по методу
допускаемых напряжений
Касательное (срез) [pic]
Сопряжение пояса со стенкой. При деформации (прогибе) балки пояса
стремятся сдвинуться относительно вертикальной стенки. Поясные швы большей
частью принимаются непрерывными (рис.10б) и реже прерывистыми. При
действии переменной и динамической нагрузок необходимая прочность в большей
мере обеспечивается непрерывными швами. Рекомендуется применять тонкие
непрерывные швы с катетом не превышающим толщины вертикальной стенки.
Поясные швы работают на скалывание. Напряжение в шве определяются по
формуле: [p Sn — статический момент пояса
относительно общей оси х—х (рис.1а); J — момент инерции всего сечения
относительно оси х — х . Sn =F1 h1
Стыки сварных балок. По условиям проката профили (двутавры швеллера
листы и т.п.) имеют ограниченные длины что вызывает необходимость
устраивать стыки элементов составляющих балки. Кроме того стыки необходимо
устраивать для возможности транспортировки конструкций и их монтажа.
Соединение элементов (листов) балок следует производить в стык
избегая по возможности накладок. Наклонный под углом 45° (равнопрочный)
стык (рис.10б) вертикальной стенки устраивается при небольшой высоте
балок. Прямой стык стенки (рис.10б) применяется в сечении с небольшими
напряжениями в стенке. В обоих указанных случаях расчет стыка не
производится. Если стык стенки произведен сваркой автоматической или
полуавтоматической то возможно стык разместить в наиболее напряженном
сечении с наибольшим изгибающим моментом. Стыки поясов и стенок следует
располагать со смещением относительно друг друга.
Устойчивость балок. Различают общую и местную устойчивость. На рис.11
представлена двухопорная двутавровая балка несущая нагрузку приложенную к
верхнему поясу. Опорное сечение балки закреплено только от поворота. При
некоторых значениях сжимающих напряжений в верхнем поясе балка искривляется
в плане. Это явление называют потерей общей устойчивости балки. Нагрузка
при которой теряется общая устойчивость балки называется критической.
Величина критического изгибающего момента [pic] для простой
двухопорной балки может быть определена по формуле С.П. Тимошенко: [pic]
где m – коэффициент зависящий от вида нагрузки; ВС – соответственно
жесткости балки на изгиб и кручение.
Очевидно что устойчивость балки во многом определяется ее жесткостью
на кручение. Проверка общей устойчивости балок производится по формуле:
[pic] где (б – коэффициент понижения допускаемых напряжений.
Рекомендуемые значения коэффициента (б представлены в [1]. Для
обеспечения общей устойчивости в плоскости сжатого пояса балок располагают
связи в виде фермы или сплошного настила (рис.11). Рекомендуемые значения
отношения l0 b ( 25 для прокатных и сварных балок
Рассматривая местную устойчивость стенки балки можно отметить что она
находится под воздействием различных по длине напряжений. Так на участках
примыкающим к опорам стенка воспринимает главным образом поперечные силы.
В середине – максимальный изгибающий момент. На расстоянии четверти пролета
одновременно действуют поперчная сила и изгибающий момент. В результате
действия нагрузки может произойти потеря местной устойчивости стенки
(выпучивание стенки). При этом потеря местной устойчивости может произойти
раньше чем балка потеряет общую устойчивость.
Состояние устойчивой прямолинейной формы упругого равновесия
обеспечивается установкой продольных и поперечных ребер жесткости по длине
Поперечные ребра жесткости устанавливаются например для конструкций
из углеродистых сталей при условии 80( hст (ст( 160; продольные - hст
(ст ( 160. Стенку можно не укреплять поперечными ребрами при 80( hст (ст
Проверка местной устойчивости стенки и сжатого пояса балки производится по
Оценка статической жесткости конструкции проводится путем
сопоставления наибольших перемещений от действительной нагрузки с
перемещениями приемлемыми для эксплуатации конструкции по формуле: [pic].
Для балки с шарнирно опертой по концам и несущей сосредоточенную нагрузку
Q в середине пролета и равномерно распределенную нагрузку q от
собственного веса прогиб может быть определен по известным формулам: [pic]
При расчете балок работающих на поперечный изгиб нормальное
напряжение определяют: [pic]. Из этой формулы следует что напряжение
пропорционально изгибающему моменту М т. е. изменяется по длине балки и
пропорционально у — расстоянию от исследуемого волокна до нейтрального
слоя т. е. изменяется по высоте балки.
Таким образом при изгибе балки не во всех волокнах и не во всех
поперечных сечениях могут одновременно возникнуть принятые при расчете
предельные допускаемые напряжения и следовательно значительная часть
материала изгибаемой балки используется слабо.
Иная картина наблюдается в стержнях ферм растягиваемых или сжимаемых
постоянной осевой силой. Напряжение в этом случае определяют:
[pic] т. е. напряжения во всех волокнах и во всех поперечных сечениях
стержня равны и могут одновременно достигнуть предельных значений.
Очевидно что в целях максимального использования материала при
проектировании сооружений рационально выбирать такие системы в которых
стержни подвергаются действию лишь осевых сил вызывающих растяжение или
Для образования конструкций в которых изгиб полностью уничтожен
необходимо соблюдение следующих условий:
) предполагается что соединение отдельных стержней в узлах
шарнирное допускающее свободное вращение (без трения) каждого стержня
относительно центра шарнира; оси стержней должны проходить через центр
шарнира совпадающего с центром узла;
) внешние силы должны быть приложены только в узлах; при наличии же
нагрузок расположенных между узлами в стержнях будут возникать не только
продольные но и поперечные силы и изгибающие моменты;
) стержни должны быть прямолинейны в противном случае в них
возникают изгибающие моменты.
Фермы классифицируют по нескольким признакам.
По направлению опорных реакций. Фермы подразделяют на безраспорные —
балочные (рис.1а) консольные (рис.1б) консольно-балочные (рис.1в);
распорные— арочные (рис.1г) или висячие (рис.1д).
Кроме указанных основных типов существуют комбинированные системы
например сочетание висячей системы с арочной арочной с балочной и др.
По очертанию поясов фермы. Стержни расположенные по внешнему контуру
фермы образуют пояса: верхний и нижний. Пояса фермы могут быть
прямолинейного или ломаного очертания. В зависимости от этого различают
фермы с параллельными поясами (рис.2а) с полигональными поясами
(рис.2бв) треугольными (рис.2г)
Если узлы фермы расположены по кривой то пояса фермы называют
криволинейными. В частных случаях когда узлы расположены по параболе
пояса называют параболическими; при расположении по окружности—круговыми и
т. п. Кроме ферм с криволинейным верхним поясом встречаются фермы в
которых и верхний и нижний пояса имеют криволинейное очертание.
В фермах с криволинейными поясами элементы поясов прямолинейны и их
оси представляют собой хорды кривой очертания пояса.
По системе решетки. Решеткой называют совокупность стержней
расположенных между поясами.
Системы решеток могут быть простые и сложные. В простых системах
различают два основных типа решетки — простую раскосную (рис.3а) и простую
треугольную (рис.3б). Применяются также фермы треугольной решетки с
дополнительными стойками (рис.3в) полураскосную (рис.3г) и др. .
Кроме перечисленных типов решеток существуют еще так называемые
составные решетки они состоят из простой основной решетки и
вспомогательных которые предназначены для замены больших панелей поясов
несколькими меньшими. Пример фермы с составной решеткой приведен на рис.3д.
Основная решетка — раскосной системы а вспомогательная образована из
небольших треугольных ферм называемых шпренгелями. Система решетки
включающая в свой состав шпренгели называется шпренгельной. В тяжелых
фермах шпренгели очень часто применяются с большой выгодой в целях
разделения панелей сокращения свободной длины сжатых элементов пояса и
уменьшения опасности выпучивания их в плоскости фермы от продольного
Шпренгели как и дополнительные стойки (рис.3в) в треугольной
решетке работают только на местную нагрузку т. е. на нагрузку
действующую только в пределах той панели в которой находится шпренгель или
дополнительная стойка.
Аналитическое определение усилий в стержнях.
Нулевые стержни. При расчете ферм встречаются случаи когда в
некоторых стержнях при заданной нагрузке не возникает усилий; будем
называть эти стержни нулевыми. Наличие нулевых стержней даст возможность
упростить решение задач по определению усилий в фермах. Рассмотрим
В ненагруженном двухстержневом узле оба стержня являются нулевыми
(рис.4а). В самом деле если в этих стержнях возникнут усилия то
равнодействующая этих усилий ничем не уравновесится и узел не сможет
находиться в равновесии.
В ненагруженном трехстержневом узле в котором оси двух стержней
расположены по одной прямой (рис.4б) третий стержень так называемый
одиночный — нулевой.
Если в двухстержневом узле нагрузка действует по направлению
одного из стержней (рис.4в) то другой стержень нулевой.
Пользуясь этими положениями можно в некоторых случаях значительно
упростить определение усилий.
Определение усилий способом вырезания узлов. Вырежем последовательно
узлы фермы (рис.5а) начиная с узла 1 в котором сходятся два стержня.
Действие удаленной части заменим усилиями [pic] и [pic] направленными по
осям стержней. Рассматривая равновесие вырезанного узла составим два
уравнения равновесия приравнивая нулю сумму проекций всех сил на две
Направление искомых усилий принимаем от узла и считаем что
стержни растянуты (рис.5б). Если после решения уравнений искомое усилие
получится со знаком минус то стержень сжат.
Для получения уравнений в которые входит лишь по одному из
неизвестных усилий следует выбирать оси таким образом чтобы проекции на
них другого неизвестного усилия были равны нулю. Выбрав например одну из
осей y перпендикулярно усилию [pic] (рис.5б) и приравняв сумму проекций
всех сил на эту ось нулю получим: [pic]. Знак минус указывает на то что
направление усилия [pic] было намечено неправильно т. е. что стержень сжат
(направление усилия [pic] показано пунктиром).
Проектируя силы на горизонтальную ось и подставляя значение [pic]
получим: [pic]. Знак плюс указывает на то что стержень [pic] растянут.
Определив усилия [pic] и [pic] перейдем к узлу 2. В нем сходятся три
стержня но усилие одного из них [pic] уже известно. Следовательно усилия
в двух других стержнях можно найти методом проекций на оси координат.
Переход от одного узла к другому осуществляется таким образом чтобы в
следующем узле сходилось только два стержня усилия в которых необходимо
Способ моментных точек. Рассечем ферму линией n-n (рис.6а) таким
образом чтобы эта линия пересекала не более трех стержней; заменим
действие перерезанных стержней внутренними усилиями и рассмотрим условия
равновесия одной из отрезанной части (рис.6б). Используем условие статики:
сумма моментов всех сил действующих па систему находящуюся в равновесии
относительно любой точки равна нулю. Для того чтобы получить уравнение в
которое входит лишь одно неизвестное усилие сумму моментов сил определим
относительно такой точки в которой пересекаются две другие неизвестные
силы. Такую точку называют моментной.
Например для определения усилия [pic] за моментную точку принимают
точку [pic] — точку пересечения усилий [pic] и [pic]. Уравнение равновесия
примет следующий вид: [pic] .
Для определения усилия [pic] за моментную точку принимаем точку [pic]
а для определения усилия [pic] — точку [pic]. При составлении уравнений
направление усилий считаем в предположении что стержни растянуты. Если при
решении уравнений усилие какого-либо стержня получится со знаком минус то
это означает что стержень сжат. Способ моментных точек удобно применять
при определении усилий в отдельных стержнях фермы т. е. в тех случаях
когда не требуется определить усилия во всех стержнях.
Способ моментных точек может быть применен и в тех случаях когда
сечение пересекает более трех стержней при условии что все стержни кроме
одного пересекаются в одной точке.
Способ проекций. В фермах с параллельными поясами (рис.7а) усилия в
раскосах и стойках не могут быть определены способом моментных точек так
как точки пересечения стержней поясов находятся в бесконечно удаленных
В этом случае для определения усилий в раскосе проводят сечение n1 -
n1 перерезывающее оба пояса и раскос и исходя из условия равновесия
одной из отрезанных частей (рис.7б) приравнивают нулю сумму проекций всех
внешних и внутренних сил на ось перпендикулярную поясам. Например для
определения усилия в раскосе [pic] получим:[pic].
Для определения усилия в стойке следует провести сечение
перерезывающее стойку например n2 - n2 и приравнять нулю сумму проекций
на вертикальную ось всех сил действующих на отрезанную часть фермы.
Известны и более сложные случаи применения способа сечений например
способ замкнутого сечения способ двух сечений и др.
Графическое определение усилий в стержнях.
Рассмотрим ферму приведенную на рис.8а.
Вырежем последовательно узлы таким образом чтобы в каждом узле было
не более двух стержней усилия в которых неизвестны. Определение усилий
В этом узле должны уравновешиваться четыре силы из которых две
неизвестны. При построении многоугольника сил сходящихся в узле примем
обход по часовой стрелке. Выбираем масштаб и строим многоугольник сил
начиная с опорной реакции равной [pic] (рис.8б). По масштабу определяем
величины неизвестных усилий в стержнях I I I -a и a-I. Направление их
определяем порядком обхода. Перенося найденные направления усилий в
вырезанный узел установим знак усилий: если усилие направлено от узла то
стержень растянут и наоборот если усилие - к узлу то стержень сжат.
Следовательно стержни I I I -a сжат и a-I растянут. Затем переходим к
следующему узлу в котором сходятся два стержня с неизвестными усилиями и
Подобный способ имеет существенный недостаток: разбросанность
многоугольников сил по всему чертежу. Целесообразнее вычерчивать все
многоугольники сил не отдельно а вместе на одном чертеже путем построения
диаграммы усилий (диаграммы Максвелла — Кремоны).
Буквами или цифрами обозначают полигоны (поля) т.е. площади
ограниченные со всех сторон стержнями или примыкающие к наружному контуру
фермы внешними силами включая опорные реакции (рис.8а). В результате
усилие в стержнях и внешние силы обозначаются двумя значками
соответствующими обозначением тех полигонов границей которых они
является. Выбирают направление обхода например по часовой стрелке и
масштаб. Строят многоугольник внешних сил включая опорные реакции. Затем
выбирают узел в котором сходятся два стержня усилия в которых необходимо
определить и строят многоугольник сил сходящихся в этом узле как было
показано выше. После этого переходят к следующему узлу и для него проводят
аналогичные построения. Таким образом определяют усилия во всех стержнях
В частных случаях когда это целесообразно можно использовать
комбинирование аналитического и графического методов решений.
Линии влияния усилий в стержнях ферм.
Для построения линии влияния усилия в каком-либо стержне фермы
необходимо выразить на основании уравнений статики усилие в этомстержне от
действия единичного груза (в зависимости от его положения в пролете) и
затем представить графически закон изменения этого усилия. В качестве
примера рассмотрим ферму с ломаным верхним поясом (рис.9а) при передаче
нагрузки через узлы нижнего пояса.
масштабы единичной силы и геометрических размеров фермы (конструкции)!!!
В первую очередь строят линии влияния опорных реакций представляя
ферму как диск (балку) по указаниям § 6. Статически определимые балки.
Линия влияния усилия в стержне верхнего пояса S1. Проведем сечение n-
n пересекающее три стержня.
Для определения усилия S1 воспользуемся моментной точкой О1 (рис.9а
бв) в которой пересекаются оси двух других стержней S3 и S2.
Груз Р=1 располагается справа от точки О1. Рассмотрим равновесие
левой части фермы. Приняв что усилие S1 растягивает стержень и приравняв
нулю сумму моментов всех внутренних и внешних сил относительно точки О1
получим: S1[pic]h1 + M1 =0 где M1 — момент относительно точки 01 всех
внешних сил расположенных слева от точки О1; h1 - плечо усилия S1
относительно точки О1. Величина момента M1 определяется как произведение
линии влияния опорной реакции RA на плечо l1 : М1 = Л.в.RA ·l1 = l1 ·
·(l-x)l (см. раздел линии влияния простых балок). Следовательно S1= -
M1h1. После подстановки имеем: S1= - l1 · 1·(l-x)lh1
((l1( x ( l т.е. от узла 2 до опоры В( (1) . Знак минус показывает что
усилие имеет направление обратное принятому т. е. стержень не растянут а
сжат. При x=0 (под опорой А) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =-
l1h1. При x=l (под опорой B) ордината линии влияния усилия в стержне S1
=0. Соединив найденные значения получим линию влияния (закон изменения)
усилия в стержне S1 на участке перемещения груза Р=1 от точек О1 до В.
При расположении груза Р=1 слева от точки О1 рассмотрим равновесие
правой части фермы. Имеем: S1[p М2 = Л.в.RВ ·(l-l1)=
(l- l1)· 1· S1= -(l- l1 )· 1·xlh1 (0( x ( l1( (2). При x=0
(под опорой А) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =0. При x=l (под
опорой B) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =-(l- l1 )h1.
Соединив найденные значения получим линию влияния (закон изменения) усилия
в стержне S1 на участке перемещения груза Р=1 от опоры А до узла 1. Между
узлами 1 и 2 передаточная прямая. Не трудно показать что пересекутся левая
и правая ветви линий влияния под моментной точкой. Подставив в уравнения
(1) и (2) значение x= l1 получим тождественное равенство.
В фермах передача нагрузки осуществляется через шарниры (узлы). В
соответствии с правилом поузловой передачи нагрузки следует спроектировать
узлы на полученную линию влияния. Если моментная точка совпадает узлом
передачи нагрузки то передаточная прямая в пределах разрезанной панели
совмещается с линией влияния (рис.9г). Условимся ординаты линий влияния
сжимающих усилий откладывать вниз а растягивающих — вверх. Линия влияния
усилия в стержне S1 представлена на рис.9г.
Ординаты линии влияния усилия измеряют в отвлеченных единицах. При
умножении их значения на величину нагрузки в ньютонах получим значения
При построении линий влияния (закона изменения) усилий в стержнях S2 и
S3 воспользуемся моментными точками соответственно О2 и О3 . Предлагается
построить их самостоятельно. Существенное отличие данных линий влияния от
предыдущей состоит в том что моментные точки не совпадают с узлами
передачи нагрузки. Следовательно передаточные прямые явно выражены
(рис.9де). Обратим внимание на то что при перемещении груза усилие в
раскосе меняет знак.
Первым этапом расчета ферм является определение сил приложенных в
узлах (шарнирах) от нагрузок действующих на сооружение: функциональных
собственного веса и т.п. . Затем определяют усилия в стержнях способами
рассмотренными выше. При этом рекомендуется определять усилия вызываемые
каждым видом нагрузки отдельно. Найдя таким образом усилия в каждом
стержне определяют усилия при невыгодном сочетании нагрузок.
Подбор сечений производят методами известными из сопротивления
Подбор сечений растянутых и сжатых стержней.
Некоторые типы сечений для растянутых (сжатых) стержней показаны на
рис.10 . Различают сечения одностенчатые (рис.10а) и двухстенчатые
Сечения состоящие из одиночного уголка применяются для слабо
нагруженных стержней. Они обладают незначительной жесткостью и для
стержней изготовленных из равнобоких уголков допускаемые напряжения при
расчете уменьшаются на 25% вследствие несимметричного крепления в узлах
только одной полкой. Если же неравнобокий уголок прикрепляется более
широкой полкой то уменьшения не требуется.
Одностенчатые сечения кроме одиночных уголков применяются для
стержней с усилием до 60 - 70 т двухстенчатые - при усилиях более 70 - 80
т. Такие сечения обладают большей жесткостью чем сечения одностенчатые. В
составных сечениях для обеспечения совместной работы на отдельных участках
по длине устанавливаются соединительные планки. Нормами проектирования
металлоконструкций рекомендуется расстояние между осями планок принимать
[pic] где [pic]- радиус инерции одного элемента сечения.
Для сжатых стержней весьма рациональным является замкнутое сечение в
виде трубы. Это сечение в отличие от выше рассмотренных обладает
одинаковой жесткостью по всем направлениям.
Другим весьма важным преимуществом трубчатого сечения является его
положительные аэродинамические свойства а именно значительно меньший
коэффициент сопротивления ветровой нагрузке по сравнению с другими
прокатными профилями. В настоящее время сечение в виде трубы находит все
большее применение в металлоконструкциях грузоподъемных сооружений. Толщина
стенок труб может быть принята в целях обеспечения местной устойчивости по
формуле: [p D — наружный диаметр трубы.
Характеристиками сечения являются: площадь F момент инерции J
относительно горизонтальной вертикальной и или наклонной (одиночный
уголок) осей. При использовании одиночных стандартных профилей значения F
и J принимается по ГОСТу. Для составных стержней рассчитывается по
известным формулам сопротивления материалов: [pic] где [pic] -
соответственно моменты инерции сечения общий и отдельного элемента; [pic]-
расстояние между осями относительно которых определены моменты инерции.
Растянутые стержни проверяются на прочность и жесткость. Проверка
прочности состоит в определении расчетного напряжения : [pic] где Nрасч -
предельное и расчетное усилия. Fраб - площадь рабочего сечения стержня.
[(]р—допускаемое напряжение на растяжение.
Жесткость растянутого стержня характеризуется величиной гибкости λ
λдоп. Допускаемая гибкость λдоп для растянутых стержней нормируется
соответствующими нормами и техническими условиями проектирования
Гибкость стержня определяется по формуле: [pic] где l-расчетная длина
стержня. Принимается для поясов - расстояние между соседними узлами а для
раскосов и стоек — в зависимости от направления рассматриваемой плоскости
(если в плоскости фермы то 09 от полной геометрической длины т. е.
расстояния между центрами узлов а если из плоскости фермы то полная
геометрическая длина); rmin – минимальный радиус инерции сечения. [pic].
Подбор сечений сжатых стержней. Рассмотрим прямой стержень (рис.11).
Состояние устойчивости сжатого стержня характеризуется сохранением
прямолинейной формы упругого равновесия при действии эксплуатационных
нагрузок. Пусть стержень постоянной жесткости сжат нагрузкой Р
направленной вдоль продольной оси. Предполагается что стержень работает в
пределах упругих деформаций. Под влиянием нагрузки Р стержень получает
продольную деформацию [pic] и сохраняет в условиях равновесия свою
прямолинейную форму. Напряжения при этом распределяются равномерно по
При увеличении нагрузки Р деформация а следовательно и напряжения
линейно возрастают до тех пор пока нагрузка не достигнет некоторой
величины Ркр называемой Эйлеровой критической нагрузкой. При нагрузке выше
критической Р > Ркр стержень изгибается и теряет свою прямолинейную форму
упругого равновесия принимая качественно новые а именно криволинейные
формы равновесия. Это явление продольного изгиба называется потерей
устойчивости первого рода.
Критическая нагрузка определяется по формуле Эйлера: [pic] где —
коэффициент длины стержня зависящий от типа опорных закреплений и
принимаемый по рис.12 .
Критическое (Эйлерово) напряжение равно [pic].
Для сжатых стержней [pic]. После подстановки получим [pic] где пц -
предел пропорциональности для стали при котором соблюдается линейная
зависимость между нагрузкой и деформацией (пц ( (т ).
Окончательно проверка устойчивости сжатых стержней производится по
методу допускаемых напряжений по формуле: [pic] где φ - коэффициент
уменьшения допускаемого напряжения при продольном изгибе. На рис.13
представлен график зависимости коэффициента ( от (.
Например предельная гибкость поясов главных ферм стрел колонн
изготовленных из стали составляет 120 150 соответственно (=045 0.32.
Остановимся на соображениях по выбору расчетной длины сжатых стержней
при проверке их на продольный изгиб.
Если бы узлы ферм были идеально шарнирными то расчетная длина стержня
равнялась бы расстоянию между центрами узлов. В действительности стержни
фермы соединены в концах при помощи косынок и примыкающие к узлам
растянутые стержни оказывают заметное сопротивление повороту узла
препятствуя этим свободному изгибу стержня теряющего устойчивость. Поэтому
расчетная длина сжатого стержня при проверке его на продольный изгиб в
плоскости фермы должна быть уменьшена против его геометрической длины в
зависимости от количества примыкающих к рассматриваемому стержню с обоих
его концов растянутых стержней и от их погонной жесткости.
При рассмотрении сжатого элемента пояса (в запас прочности) можно
пренебречь влиянием примыкающих растянутых элементов. Кроме того погонная
жесткость растянутых раскосов (стоек) значительно меньше погонной жесткости
пояса. Поэтому по нормам расчетную длину элемента сжатого пояса т. е.
расстоянию между центрами узлов принимают равной его геометрической длине
(( =1). Для сжатых же элементов решетки (стоек раскосов) расчетную
длину элемента в плоскости фермы принимают с учетом что ( =07.
При проверке сжатых элементов на продольный изгиб в плоскости
перпендикулярной плоскости фермы (из плоскости фермы) узловые косынки не
имеют особого значения так как в этом направлении они достаточно гибки.
Поэтому расчетную длину сжатых элементов решетки принимают в этом случае
равной расстоянию между центрами узлов (( =1) т. е. геометрической длине
элементов. Расчетную длину элементов сжатого пояса при проверке его на
продольный изгиб из плоскости фермы принимают равной расстоянию между
узлами закрепленными связями от смещения из плоскости фермы.
Если на элемент фермы (пояс) действует местная нагрузка Q т. е.
такая которая приложена между узлами в середине пролета то расчет
элемента производят с учетом совместного действия продольной силы и
изгибающего момента по формуле: [pic] где М Wраб – соответственно
изгибающий момент от местной нагрузки и момент сопротивления сечения пояса.
Изгибающий момент в этом случае определяется по формуле: [pic] где l –
расстояние между узлами. Формула учитывает влияние соседних узлов
закрепления пояса и изгибающий момент является среднеарифметичеким между
двухопорной статически определимой балкой где [pic] и балкой с
заделанными концами где [pic].
Прогиб ферм можно приближенно определять как прогиб балки с шарнирно
опертой по концам и несущей сосредоточенную нагрузку Q в середине пролета и
равномерно распределенную нагрузку q от собственного веса прогиб может
быть определен по известным формулам: [pic]. Здесь [pic] где [pic] -
площади сечения брутто верхнего и нижнего поясов; [p
[pic]- коэффициент учитывающий влияние деформации решетки фермы [pic]=1
когда площади сечений раскосов и поясов одинаковы [pic]=12 когда
площадь сечения раскоса в четыре раза меньше площади сечения пояса.
Отличие действительной работы конструкции от теоретической.
По своей расчетной схеме ферма представляет собой стержневую систему с
идеальными шарнирными соединениями в которой все стержни испытывают только
осевые усилия — растяжение или сжатие. В действительности же узлы фермы
выполняются при помощи узловых косынок на сварке. В результате этого в
стержнях фермы появляются дополнительные напряжения обусловливаемые
жесткостью узлов. Более существенное значение имеют добавочные напряжения
от неправильного центрирования узлов. Последнее особенно опасно для сжатых
При простых системах решетки - раскосной треугольной (без стоек)
полураскосной - дополнительные напряжения от жесткости узлов меньше чем в
системах со стойками и шпренгелями.
Отличие действительной работы сооружения от теоретической
определяемой расчетом не должно вызывать недоверия к установленным
строительной механикой методам расчета. Практика показывает что
сооружения рассчитанные этими методами существуют длительное время и
имеют достаточный запас прочности.
§ 8 . Расчет статически неопределимые системы.
твердого тела или системы твердых тел (уравнений статики). В статически
неопределимых системах имеются так называемые лишние связи которые можно
удалить не нарушая геометрической неизменяемости системы. Наличие таких
связей в геометрически неизменяемой системе является необходимым и
достаточным признаком ее статической неопределимости.
неточности изготовления отдельных элементов системы. В то время как
статически определимая система например простая балка при осадке опоры
займет новое положение оставаясь прямолинейной и не испытывая никаких
добавочных напряжений в статически неопределимой системе например
неразрезной балке осадка опоры будет сопровождаться искривлением оси балки
и появлением добавочных напряжений.
В статически определимой ферме изменение длин отдельных стержней
вследствие например неравномерного нагревания или неточности изготовления
сопровождается незначительным изменением формы всей системы но не вызывает
никаких добавочных усилий. В статически неопределимой ферме изменение формы
системы может сопровождаться деформациями элементов и при изменении длины
отдельных стержней в них могут возникать дополнительные усилия.
В конце XIX и начале XX столетия сложные статически неопределимые
системы применялись лишь в виде исключения; инженеры стремились заменять
статически неопределимые системы простыми схемами часто не вполне
рациональными. Если же статически неопределимые системы и применялись то в
большинстве случаев их рассчитывали упрощенно.
Появление в дальнейшем новых конструктивных форм применение
железобетона и т. д. настоятельно диктовали необходимость развития точных
методов расчета статически неопределимых систем и внедрения их в практику
строительства. К ним относятся метод сил метод перемещений метод
моментных фокусных отношений метод конечных элементов и др.. Ниже
рассматривается метод сил.
Определение перемещений.
Строительная механика рассматривает сооружения как системы состоящие
внешними силами и перемещениями существует линейная зависимость (закон
При допускаемых на практике напряжениях возникающие в сооружениях
перемещения весьма малы. Вследствие этого при определении напряжений можно
пренебречь изменением взаимного расположения внешних сил при деформации
системы. Тем не менее вычисление перемещений оказывается необходимым для
проверки соблюдения существующих на этот счет норм.
Большое значение приобретает вопрос о величине перемещений при расчете
статически неопределимых систем.
Кроме методов определения перемещений изложенных в курсе
сопротивления материалов существуют общие методы которые рассматриваются
Определение перемещений при совместном действии нескольких сил. При
определении перемещений линейно деформируемых систем можно применять
принцип независимости действия сил называемый принципом суперпозиций.
Сущность принципа суперпозиций заключается в том что суммарный
эффект вызываемый действием нескольких сил равен суммe эффектов
вызываемых действием каждой силы в отдельности. В частности если эффект
вызываемый действием единичной силы (Рi =1) равен ( i то эффект
вызываемый действием силы Р равен [pic]. В соответствии с принципом
независимости действия сил перемещение [pic] любой точки п по направлению
силы Рn (рис.1) от воздействия группы сил определяется следующим
перемещения точки n по направлению силы [pic] при действии единичных сил
приложенных в точках 1 k; (nn - перемещение точки n по направлению силы Рn
при действии единичной силы приложенной в точке п .
Обратим внимание на стандартные обозначения перемещений:
[pic]- соответственно перемещения от заданной нагрузки (называемое
грузовым перемещением) и единичной нагрузки (называемое удельным
перемещением). Первый индекс i указывает точку перемещение которой
определяется (направление перемещения); второй индекс j - силу вызвавшую
данное перемещение. У грузовых перемещений i ( j. Удельное перемещение при
условии при i ( j - называют
побочным удельным перемещением.
Вывод общей формулы для определения перемещений базируется на основных
теоремах об упругих системах: “работа при статическом приложении внешних
сил” “принцип возможных перемещений упругих систем” “теорема о взаимности
работ” [2346]. При решении статически неопределимых систем практически
значимой из них является теорема о взаимности перемещений (теорема
Перемещение точки приложения первой единичной сил по ее направлению
возникающее при действии второй единичной силы равно перемещению точки
приложения второй единичной силы по ее направлению вызванному первой
единичной силой: (12=(21.
Замечание о размерности перемещений.
Теорема о взаимности перемещений (12=(21 (1) справедлива не только
тогда когда силы Р1=1 и Р2=1 являются сосредоточенными силами но и в том
случае когда речь идет о каких угодно обобщенных силах. Но различным
обобщенным силам соответствуют различные по своей размерности обобщенные
перемещения. Может возникнуть вопрос не являются ли обе части равенства
(1) разноразмерными величинами в случаях если (12 -обобщенное перемещение
точки 1 (вертикальное перемещение) от действия момента М2=1 а (21 –
обобщенное перемещение точки 2 (угол поворота конца балки) от действия
силы Р1=1. Это кажущееся противоречие исчезает если речь идет об удельных
перемещениях вызываемых единичными обобщенными силами.
[pic] обобщенное перемещение обобщенная сила. (2)
Точно также можно определить размерность [pic] Грузовые перемещения
[pic]имеют размерность числителя формулы (2). Здесь Q внешняя нагрузка.
Представленные замечания имеют большое значение при определении
размерности членов канонических уравнений (см. ниже).
Общая формула для определения перемещений. Метод Мора
Общие формулы перемещений (деформаций элементов конструкции) легко
получить пользуясь принципом возможных перемещений если в качестве
вспомогательного состояния принять систему нагруженную в точке
перемещение которой определяется соответствующей единичной обобщенной
силой Xi =1. Эта сила должна совершать работу под действием внешних
нагрузок на возможном перемещении каким и является интересующее нас
Обозначим усилия в элементах конструкции через [pic] вызванные
системой внешних сил. Усилия вызванные единичной силой Xi =1 через Ni
Qi Mi. Искомое перемещение для трех компонентов внутренних сил можно
записать в виде: [pic](1) где FJ- соответственно площадь и момент инерции
сечения элемента конструкции; [pic] - соответственно модули упругости при
растяжении (сжатии) и сдвиге.
Формулу (1) называют формулой Мора.
В частных случаях формула (1) принимает более простой вид а именно:
) при расчете ферм где имеют место лишь осевые усилия N [pic]
) при расчете балок и рам влияние продольных и поперечных сил
незначительно и ими можно пренебречь; в этом случае [pic](3.а). Если
жесткость EJ каждого элемента системы постоянна [pic] (3.б).
Выражение[pic] носит название интеграла Мора.
Перемножение эпюр (способ Верещагина)
Пусть эпюра моментов Мa состояния (a) имеет криволинейное очертание
(рис.2) а эпюра моментов Mb состояния (б) прямолинейна. В этом случае
можно применить преобразование интеграла [pic] предложенное А. Н.
Приняв за начало координат точку пересечения прямой ограничивающей
прямолинейную эпюру Mb c осью абсцисс получим Mb=xtg(. Следовательно
Как известно [pic] представляет собой статический момент площади S
эпюры Ma относительно вертикальной оси. Обозначая площадь эпюры Ma через (a
и абсциссу центра тяжести площади эпюры через x0 получим: S=x0(a.
Следовательно [pic] где уb - ордината эпюры Мb расположенная под центром
тяжести эпюры Ma . В тех случаях когда одна из эпюр моментов прямолинейна
интеграл Мора равен произведению площади криволинейной эпюры моментов на
расположенную под ее центром тяжести ординату прямолинейной эпюры.
Для часто встречающихся в расчетной практике эпюр имеются таблицы в
которых даны значения [pic] (см. приложение табл.№1 ).
Направление перемещения т. е. знак его зависит от знаков эпюр.
Рекомендуется располагать эпюры со стороны растянутых волокон. Произведение
эпюр (а следовательно и знак перемещения) положительно если обе эпюры
расположены по одну сторону от оси стержня и отрицательно если эпюры
расположены по различным сторонам от оси стержня.
Определение перемещений от внешней нагрузки.
Статически определимая балка. Определить прогиб свободного конца балки
при действии равномерно распределенной нагрузки q (рис.3). При определении
прогиба балки влиянием продольных и поперечных сил можно пренебречь.
Перемещение определяется при постоянной жесткости балки на основании
В качестве вспомогательного состояния примем состояние балки (b) под
действием силы Р = 1 приложенной к ее свободному концу.
Вспомогательное состояние (b) и соответственная эпюра Мb а также
действительное состояние а и соответственная эпюра Мa даны на рис.3.
Основы расчета статически неопределимых систем методом сил.
В основе методов расчета статически неопределимых систем лежит общий
метод определения перемещений. Одним из основных методов расчета статически
неопределимых систем является метод сил. Сущность этого метода заключается
Устанавливают общее число лишних неизвестных.
Удаляют лишние связи и таким образом заменяют заданную (исходную)
систему статически определимой геометрически неизменяемой системой
называемой основной.
Заменяют действие отброшенных опорных стержней либо внутренних
усилий (поперечных и продольных сил моментов) в случаях разреза замкнутых
контуров лишними неизвестными X1 X2 Хn и загружают основную систему
лишними неизвестными и заданной нагрузкой.
Значения лишних неизвестных подбирают таким образом чтобы
перемещения основной системы были равны перемещениям заданной системы.
Например чтобы перемещения точек приложения лишних неизвестных по их
направлению равнялись нулю если лишнее неизвестное является опорной
реакцией или усилиями в перерезанном элементе.
В первом случае перемещению по направлению лишнего неизвестного в
действительной системе препятствует наличие опорной связи; во втором случае
оба смежных сечения разделенные разрезом в действительности представляют
собой одно сечение а потому их взаимное перемещение также невозможно.
Составляются канонические уравнения метода сил которые служат для
определения лишних неизвестных и обладают свойством взаимности
коэффициентов. Перемещения определяются на основании принципа независимости
действия сил. Канонические уравнения имеют вид:
(11X1+(12X2+(13X3+(+(1nXn+(1P=0
(21X1+(22X2+(23X3+(+21nXn+21P=0
(n1X1+(n2X2+(n3X3+(+(nn Xn+(nP=0 .
Если перемещение в заданном направлении направление не равно нулю то
справа (после знака равенства) записывается его значение.
При составлении канонических необходимо придерживаться следующих
Лишние неизвестные записывают в каждой строке последовательно от X1
Коэффициенты при лишних неизвестных (ij представляют собой
единичные удельные перемещения с соответствующими индексами: первый индекс
i указывает номер строки (направление перемещения) второй j – номер лишней
Свободный член (ij представляет собой перемещение от заданной
нагрузки; первый индекс указывает номер строки второй – нагрузку. Решив
полученную систему уравнений найдем все лишние неизвестные.
Величины и знаки перемещений (1j ( (1n ( (11((nn в
случае незначительного влияния продольных и поперечных сил (рамы балки)
рассчитывают по формулам применяя способ перемножения эпюр (способ
Очевидно что при решении статически неопределимых задач необходимо
знать величины моментов инерции поперечных сечений всех элементов
конструкции относительно их нейтральных осей.
Поэтому приступая к расчету статически неопределимых систем
необходимо первоначально задаться на основании практических знаний
моментами инерции поперечных сечений различных элементов конструкции или их
отношениями. В тех случаях когда все элементы системы сделаны из одного
материала величина модуля упругости Е не учитывается расчетом так как Е
входит множителем во все члены канонических уравнений. Определив значение
лишних неизвестных строят эпюры изгибающих моментов продольных и
поперечных сил и подбирают размеры поперечных сечений элементов в
конструкции. После этого производят вторичный расчет системы учитывая
найденные моменты инерции поперечных сечений.
Обычно второй пересчет является достаточным для определения
окончательных значений лишних неизвестных.
Выбор лишних неизвестных определяет выбор удаляемых связей а
следовательно и выбор основной системы. Путем рационального выбора лишних
неизвестных и соответственно основной системы решение задачи можно
значительно упростить.
К неразрезным балкам относятся сплошные бесшарнирные балки имеющие
два и более пролета (рис.4).
Степень статический неопределимости (число лишних неизвестных)
определяется по формуле: Л = Соп –3 где Соп – количество опорных
Расчет неразрезных балок. Имеем неразрезную балку представленную на
В качестве основной системы можно выбрать систему представленную на
рис.5а либо рис.5б. При количестве промежуточных опор более трех
целесообразней использовать основную систему (рис.5б).
Канонические уравнения имеют вид: [pic].
Для того чтобы найти лишние неизвестные Х1 и Х2 необходимо определить
главные побочные и грузовые перемещения по формуле Мора (3а) либо (3б)
подставить их значения в канонические уравнения и решить их.
Следующим этапом необходимо перестроить эпюры моментов от единичных
лишних неизвестных с учетом их реальных значений.
На основании принципа независимости действия сил суммируя построенные
эпюры моментов получим ее окончательный вид. Суммирование осуществляется
как аналитическим так и графическим методами.
Пример расчета главных побочных и грузовых перемещений представлен
Определения прогиба. Определить прогиб в середине пролета балки при
действии сосредоточенной нагрузки R (рис.6). [pic]
При решении задачи влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем.
Определим число лишних неизвестных. Л=Соп – 3 . Имеем Л = 1.
Для определения величины и направления лишней неизвестной выберем
основную систему как указано на рис.6б. Каноническое уравнение имеет вид:
[pic]. При определении перемещений используем способ Верещагина.
При определении прогиба в середине пролета применим метод
(2 - произведение эпюр состояния в на состояние б при X1= 49R.
Наличие дополнительной опоры уменьшило прогиб в середине пролета на
Рамой называют стержневую систему стержни которой во всех или в
некоторых узлах жестко связаны между собой и которая теряет геометрическую
неизменяемость если все узлы заменить шарнирными. По аналогии с фермами
различают плоские и пространственные рамы.
[pic] Элементы рамы применяемые в строительных конструкциях
мало отклоняющиеся от вертикали называют стойками а мало отклоняющиеся от
горизонтали — ригелями. Ригели бывают горизонтальные наклонные ломаные
криволинейные. Рамы бывают с двумя стойками — однопролетные (рис.7а б) со
многими стойками — многопролетные (рис.7в) и замкнутые рамы (рис.7г). В
зависимости от числа этажей различают рамы одноэтажные (рис. 7а б
в г) и многоэтажные (рис.7д). В зависимости от типа опор различают
шарнирные (рис.7гд) и бесшарнирные рамы (рис.7 а б в г).
Из сопоставления эпюр изгибающих моментов однопролетных рам с эпюрой
простой балки (рис.8) можно видеть преимущество рамы заключающееся в
значительном уменьшение изгибающих моментов в ригеле. Многопролетные рамы
не имеют столь значительного преимущества по сравнению с обычной
конструкцией — неразрезной балкой.
Необходимо также учесть что в бесшарнирных рамах сильнее сказывается
влияние изменения температуры. Рамные конструкции широко применяют при
сооружении зданий мостов и других видов сооружений в особенности в
последнее время в связи с все большим распространением железобетонных
Рациональный выбор основной системы
Расчет статически неопределимых рам может быть значительно упрощен при
удачном выборе варианта основной системы. Поэтому остановимся несколько
подробнее на этом вопросе и сопоставим варианты основных систем при расчете
некоторых часто встречающихся видов рам. Рассмотрим несколько примеров.
Однопролетная рама с шарнирными опорами (рис.9). Переход от заданной
системы к основной можно осуществить различными способами.
На рис.9б основная система получена путем замены неподвижной опоры
заданной системы подвижной. В другом случае переход к основной системе
осуществлен путем введения в систему шарнира. В обоих случаях отбрасывается
одна связь и действие этой связи заменяют в основной системе лишним
неизвестным — силой X1 или двумя взаимно противоположными моментами т. е.
обобщенной силой Х2. Таким образом оба варианта основной системы
Однопролетная рама с защемленными опорами. Варианты выбора
основной системы представлены на рис.10.
Вариант №1. Отбросим правую опору рамы (рис.10б) и заменим ее
действие моментом X1 горизонтальной силой Х2 и вертикальной силой Хз. Из
приведенных на рис.10б единичных эпюр М1 М2 М3 видно что ни одно из
побочных перемещений не обращается в нуль. Система канонических уравнений
Вариант 2. Разрежем ригель рамы по оси симметрии и заменим действие
отброшенных связей двумя моментами Хз двумя горизонтальными силами X1 и
двумя вертикальными силами Х2 (рис.10в).
Из эпюр M1 M2 M3 видно что побочные перемещения [pic].
Канонические уравнения принимают вид: [pic]
В данном случае система трех уравнений с тремя неизвестными
распадается на два уравнения с двумя неизвестными X1 X2 и одно уравнение с
одним неизвестным Хз.
Вариант 3. Для получения основной системы разрежем раму по оси
симметрии и в месте разреза прикрепим бесконечно жесткие консоли (момент
инерции поперечного сечения консоли принимают равным бесконечности).
Заменим действие отброшенных связей в ригеле обобщенными силами: X1 X2 и
Длину консолей в конце которых приложены горизонтальные силы Хз
выбираем с таким расчетом чтобы точка приложения этих сил находилась на
уровне центра тяжести эпюры М2 т. е. на расстоянии 23 h от ригеля.
При этом условии ордината эпюры М3 против центра тяжести эпюры М2 в
стойке равна нулю и побочные перемещения [pic]. Так как эпюра моментов М1
кососимметрична а эпюры М2 и М3 симметричны то и побочные перемещения
[pic]. С учетом вышесказанного
канонические уравнения примут вид: [pic]
Таким образом удается полностью разделить лишние неизвестные и
получить три уравнения в каждое из которых входит лишь одно неизвестное.
Поэтому для рассматриваемой рамы третий вариант основной системы является
наиболее рациональным.
Группировка неизвестных. Обращению побочных перемещений в нуль ведет
также способ группировки неизвестных. Сущность этого способа заключается в
том что в симметричной системе при действии несимметричной нагрузки за
лишние неизвестные принимают не отдельные неизвестные а объединения их в
группы так называемые групповые неизвестные которые выбирают таким
образом чтобы единичные эпюры были взаимно ортогональны.
Разложение нагрузки на симметричную и обратно симметричную. Свойство
взаимной ортогональности симметричных и обратно симметричных эпюр можно
использовать также для обращения в нуль некоторых свободных членов
(грузовых перемещений (ip) т. е. перемещений вызываемых заданной
нагрузкой. При этом заданную нагрузку заменяют двумя системами нагрузок:
симметричной и обратно симметричной. Таким образом в симметричной системе
при симметричной нагрузке обратно симметричные неизвестные равны нулю и
наоборот при обратно симметричной нагрузке симметричные неизвестные равны
Следовательно при разложении нагрузки на симметричную и обратно
симметричную решение задачи упрощается так как система уравнений
распадается на несколько более простых систем.
Когда лишние неизвестные найдены возможно построение окончательных
эпюр изгибающих моментов а также продольных и поперечных сил.
Контроль решения статически неопределимых систем.
При расчете статически неопределимых систем всегда необходимо
производить проверку получаемых окончательных результатов. Повторный
пересчет не всегда ведет к цели так как допущенная ошибка может остаться
незамеченной. Поэтому контроль окончательных эпюр производят при помощи
специальной проверки условий равновесия и деформаций.
Проверка условий равновесия является частным контролем правильности
найденных ординат окончательных эпюр М и проводится исходя из условий что
любая отсеченная часть системы должна находиться в равновесии: [pic]
Проверка деформаций является общим контролем как правильности
окончательной эпюры так и правильности вычисления значений лишних
неизвестных. Она основана на том что в заданной статически неопределимой
системе перемещения по направлению любой лишней связи должно быть равно
моментов любого состояния (i) основной системы при Xi = 1.
Таким образом если решение правильно то произведение окончательной
эпюры моментов системы на эпюру моментов любого состояния k основной
системы должно равняться нулю (метод Верещагина). Ввиду возможных
неточностей при подсчетах можно допустить некоторое отклонение общей суммы
от нуля. Если при определении суммы всех членов просуммируем отдельно
положительные и отрицательные члены то алгебраическая сумма представится в
[pic] где [pic]- соответственно обозначают моментную площадь
окончательной эпюры моментов на элементах пролета i ординату на эпюре
моментов основной системы при Хi =1 под центром тяжести окончательной эпюры
моментов и момент инерции сечения пролета;
А - сумма всех положительных членов; В - сумма абсолютных величин
отрицательных членов. Полученные при таком подсчете результаты можно
считать вполне приемлемыми для практики если разность А и В разделенная
на меньшее из них окажется не более 5%
Выражения интеграла Мора для различного сочетания эпюр моментов
Примечание. Mm ( Mi либо Mm ( Mi
§ 9. Соединения элементов металлоконструкций
Современные технологии изготовления металлоконструкций различных
сооружений изготовляются при помощи ручной автоматической или
полуавтоматической сварки.
Основа доброкачественной сварки - получение провара основного металла
на толщину 1-2 мм. При сварке часть компонентов металла (углерод марганец
и др.) выгорает вследствие чего наплавленный металл представляющий собой
соединение расплавленных основного металла и электродной проволоки
обладает несколько пониженной вязкостью.
Для получения наплавленного металла сварного шва
приближающегося по свойствам к основному металлу является применение
электродов со специальными обмазками. Обмазка при температуре плавления
электрода выделяет пары предохраняющие расплавленный металл от соединения
с кислородом и азотом окружающего воздуха. Обмазанные электроды
способствуют получению более устойчивой дуги что особенно важно если
сварочный агрегат работает на переменном токе. Швы образованные
обмазанными электродами более прочные и плотные.
Различают обмазки тонкие и толстые. Тонкие обмазки предназначенные
для создания устойчивости дуги состоят из металла и жидкого стекла.
Тонкообмазанные электроды разрешается применять только при сварке
второстепенных элементов (неработающие настилы перила лестницы
обслуживающих площадок и т. п.).
Для получения прочностных швов предназначенных воспринимать усилия
необходимо применять качественные электроды с толстой обмазкой. Обмазка
состоит из большого числа компонентов каждый из них придает процессу
сварки и наплавленному металлу соответствующие положительные свойства.
Основные компоненты - марганцевая руда полевой шпат крахмал
ферромарганец графит мел и др. В металле электрода содержание
углерода не должно превышать 020%.
При пользовании толстообмазанными электродами наплавленный металл
получается мелкозернистым без посторонних включений пластичным.
Для металлоконструкций грузоподъемных сооружений широко применяется
имени акад. Е. О. Патона.
Электродная проволока навитая на барабан подается через сварочную
головку с автоматическим электроуправлением к месту сварки. В процессе
сварки по мере передвижения установки (трактора) флюс в виде
гранулированного шлака равномерно поступает из бункера вмонтированного в
установку к месту образования шва вследствие чего последний предохраняется
В пространстве ограниченном шлаком сильно концентрируется тепло что
обеспечивает большую глубину провара. Шов образуемый автоматической
сваркой имеет более правильную форму чем при ручной сварке и обладает
хорошей плотностью высокой вязкостью и прочностью. Автоматическая сварка
характеризуется большой производительностью — при скорости сварки 40—50
Автоматическая сварка особенно эффективна при образовании прямых швов
большой протяженности. При швах относительно малой длины (например в
стыках стенок балок и т. п.) следует применять полуавтоматическую сварку
при которой самый процесс сварки происходит так же как и при
автоматической сварке но установку перемещают вручную. Качество шва при
полуавтоматической сварке получается высоким.
При сварке происходит сложный тепловой процесс на участках металла
прилегающего к шву что приводит к изменению структуры а следовательно и
механических свойств в определенных зонах соединения (рис.1).
Участок 1 весьма малой протяженности характеризуется образованием
крупных зерен. Участок 2 соответствует зоне перегрева (температура 1100 —
00°) и имеет крупнозернистую структуру с крайне неравномерным зерном.
Именно на этом участке заметно снижаются пластические и прочностные
свойства металла что приводит к низким значениям ударной вязкости. В этой
зоне возможно появление очагов усталости при переменной нагрузке. Участок 3
характеризуется мелкозернистой структурой и высокими механическими
свойствами. Здесь возникает процесс аналогичный нормализации. Участок 4 —
переходный (неполный отжиг металла). Участок 5 соответствует состоянию
рекристаллизации. За участком 5 расположен металл с нормальными свойствами.
Однако здесь при температуре 200—300° может проявиться синеломкость
металла а следовательно и хрупкость (склонность к образованию трещин)
Вследствие температурного воздействия сварки в элементах конструкции
возникают сварочные напряжения и соответствующие им деформации. При нагреве
металла возникают пластические деформации и поэтому после остывания в зоне
шва появляются растягивающие напряжения а на свободных кромках —
сжимающие. Сварочные напряжения возникающие лишь в определенном интервале
температур и затем исчезающие называются временными а напряжения
остающиеся в конструкции после охлаждения швов — остаточными или
усадочными. Сварочные напряжения могут быть линейные плоскостные и
объемные. Наиболее неблагоприятное влияние на прочность сварных
металлоконструкций оказывают напряжения плоскостные и особенно объемные.
Виды сварных соединений. По положению в пространстве различают швы
нижние вертикальные верхние (потолочные) и горизонтальные. Наименее
качественными получаются швы потолочные так как во время их сварки
расплавленный металл частично стекает вниз по электроду. Поэтому при
проектировании сварных конструкций рекомендуется предусматривать такую
последовательность процесса при которой прочностные швы выполнялись бы в
нижнем положении или в вертикальном (при движении электрода сверху вниз).
По протяженности швы могут быть сплошные или прерывистые. В соединениях
работающих на переменные нагрузки следует применять швы тонкие и
Различают соединения выполненные швами «в стык» (рис.2а) и швами
валиковыми (рис.2б).
Швы встык применяются для соединения элементов лежащих в одной
плоскости. Такие соединения могут работать на растяжение сжатие и срез.
Для получения швов в стык надлежащей прочности производится соответствующая
обработка кромок соединяемых элементов в зависимости от толщины последних.
При толщине листов до 10 мм разделки кромок не требуется. Расчетная толщина
швов в стык принимается равной толщине стыкуемых элементов hce = (. Для
обеспечения расчетной толщины дается наплыв около 1—2 мм толщины
который в расчет не принимается. Расчетная длина принимается равной ширине
b стыкуемых листов за вычетом концевых участков шва где имеются
углубления (кратеры) возникающие при сварке. Длина такого участка
принимается равной толщине шва следовательно расчетная длина шва равна
lрасч = b -2(. Расчетная площадь сечения шва в стык [pic]. При
устройстве наклонного шва под углом 45° к продольной оси элемента шов
считается равнопрочным сечению и не проверяется расчетом. Однако при этом
получаются заметные отходы металла. Поэтому наклонные стыковые швы следует
применять в крайних случаях .
При соединении листов разной толщины расчетная толщина шва принимается
по наименьшей из толщин соединения. Для осуществления в соединении плавного
перехода элемент с большей толщиной сглаживается на длине равной
пятикратной толщине более тонкого элемента.
Валиковые (угловые) швы применяются в соединениях внахлестку
(фиг.2б). Чаще всего такие швы в сечении имеют одинаковые катеты k.
Расчетная высота шва принимается hcв = 07k . Валиковые швы делаются с
наплывом 1—2 мм который в расчете не учитывается. В случае переменных
нагрузок шов рекомендуется делать вогнутым с более длинным катетом в
направлении действия нагрузки. Различают валиковые швы лобовые
расположенные перпендикулярно направлению усилия и фланговые
расположенные вдоль направления усилия (рис.34).
[pic]Независимо от рода усилия (растяжение сжатие или срез) валиковые швы
всегда рассчитываются на срез. Расчетная площадь сечения шва принимается
— катет шва; при автоматической сварке [p
При наличии валиковых швов различного направления действующее усилие Р
распределяется между всеми швами соединения пропорционально площадям их
сечений: [pic] где F1 F2 F3 - площади сечений швов.
В соединениях с накладками (рис.3) за расчетные принимаются швы
расположенные на одной половине соединения (на рис.3 обведено жирной
линией) в соответствии с последовательностью передачи нагрузки с одной
части стыкуемого элемента на другую.
В случае прикрепления уголков (или вообще несимметричных сечении)
усилие S между продольными швами распределяется следующим образом: [pic]
ширина полки уголка.
При наличии лобового шва сначала находится усилие воспринимаемое этим
швом S3 = [[pic]]ср Fрасч и затем общее усилие передающееся фланговыми
швами S = S( - S3 которое распределяется между этими швами в
соответствии с вышеуказанным.
Расчетная проверка прочности сварных соединений производится по
формулам табл.№1 и допускаемые напряжения принимаются по табл.№2.
Вид сварного шва Характер усилия Расчетное напряжение
В стык Сжатие [pic]
Валиковый Сжатие [pic]
Тип сварного шва Характер усилия Технология сварки
Ручная Автоматическая
(полуавтоматическая)
Допускаемое напряжение
В стык Растяжение 08[(] [(]
В стык и валиковый Срез 06[(] 065[(]
Здесь [(] – допускаемое напряжение основного металла свариваемых элементов
Расчет сварных соединений в более сложные случаях сочетания нагрузок
Соединения на высокопрочных предварительно напряженных болтах
В соединениях на высокопрочных предварительно напряженных болтах
усилия передаются за счет сил трения возникающих между соприкасающимися
поверхностями соединения. Болты при этом не передают срезывающих усилий
так как диаметры отверстий принимаются больше диаметра болтов на 1—3 мм.
Для обеспечения указанной схемы передачи усилий необходимо болтам
придавать значительные усилия натяжения. Поэтому для высокопрочных
болтов применяется легированная хромистая термически обработанная сталь
марки 40Х обладающая пределом прочности 1400- 2000 МПа.
Напряжения высокопрочных болтов контролируются при завинчивании гаек
специальными ручными гаечными ключами с встроенным динамометром. Могут
также применяться электрические ключи импульсного действия или
Соединения на высокопрочных болтах характеризуются
следующими положительными качествами:
- меньшей трудоемкостью изготовления соединений (работы могут производиться
менее квалифицированными рабочими и не требуется большой тщательности в
обработке отверстий под болты);
- относительной простотой контроля необходимого натяжения болтов
посредством тарировочных ключей как в процессе монтажа так и в условиях
- отсутствием саморазвинчивания гаек при переменных нагрузках;
- большей прочностью при работе болтов на отрыв головок.
Высокопрочные болты могут быть рекомендованы для монтажных узлов
металлоконструкций грузоподъемных сооружений например в местах крепления
главных балок крановых мостов к концевым балкам и т. п. Особенно
рекомендуется применять высокопрочные болты в узлах где сварка (заводская
или монтажная) может вызвать недопустимые деформации и неправильное
взаимное расположение сопрягаемых элементов (например буксы ходовых колес
Высокопрочные болты применяются диаметром М16 .М24 получистыми с
шестигранными головками. Длина болта принимается на 30—40 мм больше толщины
стягиваемого пакета. Предполагается что для соединений работающих на
продольные усилия последние равномерно распределяются между всеми болтами
соединения. Необходимое число п болтов определяется из условия
равнопрочности по формуле: [pic] где F — рабочая площадь сечения
соединяемого элемента (с учетом ослабления отверстиями); [pic]—
предел текучести материала стержня; N — расчетное усилие предварительного
натяжения болта. N ( 0.55(вFраб (1) где (в - предел прочности стали
высокопрочных болтов после термической обработки; Fраб — площадь
сечения болта (по резьбе); f — коэффициент трения между
соединенными поверхностями; f = 045 — при пескоструйной или
огневой очистке соединяемых поверхностей; f = 035 — при
ручной очистке стальными щетками; m — число плоскостей трения в стыке
(или соединении) (см.рис.1).
Число высокопрочных болтов в соединении должно быть не менее двух.
Необходимое расчетное усилие предварительного натяжения достигается
приложением к гайкам болтов крутящего момента определяемого по формуле
[pic] где d — диаметр болта.
Расчет высокопрочных болтов стыка стенки балки при совместном действии
изгибающего момента и поперечной силы.
В соответствии с расчетной схемой стыка приведенной на рис.2
равнодействующая поперечного усилия приходящегося на один болт крайнего
ряда определяется по формуле: [pic] где [pic]- поперечное усилие
приходящееся крайний ряд болтов [p Q – наибольшая поперечная сила в
рассматриваемом сечении; nm- количество болтов в горизонтальном и
вертикальном рядах. Усилие затяжки болта N определяется по формуле N =
75Tf для стальных конструкций. По формуле (1) определяется рабочая
П.Е. Богуславский. Металлические конструкции грузоподъемных машин и
сооружений.-М.: Машиностроение 1961.-520с.
А.И. Дыховичный. Строительная механика.-М.: Высшая школа 1966.-
В.А. Киселев. Строительная механика.- М.: Изд-во литературы по
строительству 1967.-с.548
Н.К. Снитко. Строительная механика.- М.: Высшая школа 1972.-с.487.
С.А. Соколов. Металлические конструкции подъемно- транспортных
машин.-СПб.:Политехника2005.-с.423.
Справочник по кранам. В 2-х томах. Под редакцией М.М. Гохберга.-
Л.: Машиностроение 1988.
И.М. Рабинович. Курс строительной механики стержневых систем. ч.1
Статически определимые системы.-М.: Госстройиздат 1950.
И.М. Рабинович. Курс строительной механики. ч.2. Статически
неопределимые системы.-М.: Изд-во литературы по строительству и
архитектуре 1954.-с.544.
Экзаменационные вопросы
по курсу “Строительная механика и металлоконструкции”
Классификация нагрузок.
Соединения на высокопрочных болтах.
Методы прочностного расчета элементов стальных конструкций.
Классификация расчетных схем.
Расчет рам методом сил .
Расчет статически неопределимых балок.
Кинематический анализ статически определимых систем.
Определение перемещений. Формула Мора.
Кинематический анализ статически неопределимых систем. Мгновенно
Графический метод определения усилий в стержнях ферм.
Подбор сечений растянутых стержней.
Линии влияния усилий в стержнях ферм
Подбор сечений сжатых стержней.
Аналитические методы определения усилий в стержнях ферм.
Основы конструирования и прочностного расчета балок.
Балки. Линии влияния усилий в простой балке.
Основы метода сил. .
Линии влияния усилий в консольной балке.
Кинематический метод построения линий влияния усилий в простых балках.
Основные понятия расчета по методу предельных состояний.
Расчет элементов конструкций на выносливость..
Замена нескольких сосредоточенных грузов их равнодейсвующей.
Определение невыгодного загружения линий влияния.
Общие понятия о статически неопределимых системах.
Многопролетные шарнирные статически определимые балки. Линии влияния
Статически определимые системы.

Фрагмент (2).frw

1.docx

Санкт-Петербургский государственный
Политехнический университет
Расчетное задание №1
По курсу: Строительная механика
Подготовил: Данылив А.О.
41780-429260Начальные данные
a = 2 м b = 3 м c = 1.5 м P1 = 100kH.
Определение реакций в опорах:
Построение эпюр и линий влияния:
Определим максимальное значение МВВ и RС от движущейся тележки:
Эпюры и линии влияния.

2.doc

[pic] Министерство образования Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Механико-машиностроительный факультет
Кафедра "Подъемно-транспортные и строительные машины
Металлические конструкции машин
Студент: Машков И.А.
Преподаватель: Кузьмичев В.А.
На рисунке 1 представлена ферма и схема её нагружения (масштаб 1:100):
где a=2 м; c=1.5 м; P1=100 кН; P2=50 кН;
Выполнить кинематический анализ системы. Выявить нулевые стержни.
Построить линии влияния усилий в стержнях S1 S2 S3.
Вычислить наибольшие усилия в стержнях S1 S2 S3 от системы сил P.
Кинематический анализ системы определение нулевых стержней.
Конструкция является внешне статически определимой т.к. три
неизвестные реакции можно определить с помощью трех уравнений статики.
Для внутренней характеристики конструкции определим число степеней
где n – число степеней свободы; С-количество стержней; У- количество узлов.
следовательно система является статически определимой.
Нулевые стержни изображены на рисунке 2:
Построение линий влияния S1 S2 S3.
Определим линию влияния в стержне S1 (методом моментных точек):
Груз находится с лева от точки O следовательно рассмотрим
равновесие правой части фермы. Уравнение будет иметь вид:
Если груз находится с права от точки O уравнение будет иметь вид:
где М- момент относительно точки О внешних сил:
Линия влияния усилий в стержне S1 представлена на рисунке 3:
Определим линию влияния в стержне S2 (методом проекций):
Груз находится с лева от секущей плоскости следовательно рассмотрим
Если груз находится с права от секущей плоскости уравнение будет иметь вид:
Линия влияния усилий в стержне S2 представлена на рисунке 4:
Определим линию влияния в стержне S3 (методом вырезания узла):
Уравнение будет иметь вид:
Линия влияния усилий в стержне S3 представлена на рисунке 5:
Определим наибольшие усилия в стержнях S1 S2 S3 от системы сил P.
Невыгоднейшее положение груза для всех стержней показано на рисунке 6:

3.docx

Санкт-Петербургский государственный
Политехнический университет
Расчетное задание №3
По курсу: Строительная механика
Подготовил: Данылив А.О.
a = 2 м b = 3 м c = 1.5 м P1 = 100kH P2=50kH P3 = 150kH J2J1=2.
Определение реакций в опорах и стержнях:
Построение эпюр моментов:
Опасным сечением считается место соединения 3-х балок:
Момент инерции 928105 см4 радиус 279.
Определим угол поворота в точке А:
Определим внутренний момент на участках:
Составим интеграл Мора:

Фрагмент4.frw

1.frw

Задание №2.docx

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет
«Транспортные и технологические системы»
Санкт-Петербург 200..г.
TOC o "1-3" h z u 1.Задание. PAGEREF _Toc244892727 h 3
Выполнить кинематический анализ системы. Выявить нулевые стрежни. PAGEREF _Toc244892728 h 3
Определение усилий в стержнях S1 S2 S3 от сил P3. PAGEREF _Toc244892729 h 3
Построить линии влияния усилий в стержнях S1S2S3. PAGEREF _Toc244892730 h 3
Линия влияния усилия в стержне S1. PAGEREF _Toc244892731 h 3
Линия влияния усилия в стержне S2. PAGEREF _Toc244892732 h 3
Линия влияния усилия в стержне S3. PAGEREF _Toc244892733 h 3
Вычислить наибольшие усилия в стержнях от действия системы сил. PAGEREF _Toc244892734 h 3
Р1=100кН; Р2=50кН; Р3=10кН; а=2м; с=1м;
Выполнить кинематический анализ системы. Выявить нулевые стрежни.
Условие геометрической неизменяемости 2У-3=С число узлов У=20 с число
стержней С=37. Таким образом 2·20-3=37. Ферма геометрически неизменяема и статически определимая. Нулевые стержни обозначены на рисунке 2 тонкими линиями.
Рис. 2. Нулевые стержни.
Определение усилий в стержнях S1 S2 S3 от сил P3.
В предыдущем пункте мы определили стержни S2 и S3 как нулевые это означает
что нам остается определить только усилие в S1. Для этого необходимо найти реакцию опоры и рассмотреть право-отсеченную часть фермы.
Рис. 3. Усилие в стержне S1.
Запишем сумму моментов относительно точки А и вычислим
Теперь рассмотрим сумму моментов относительно точки право-отсеченной части фермы
Построить линии влияния усилий в стержнях S1S2S3.
Линия влияния усилия в стержне S1.
Произведем расчеты для двух положений силы . Справа и слева от стержня S1. При определении усилий в стержне S1 будим рассматривать право-отсеченную часть фермы. Поэтому необходимо определить функцию .
Рис. 4. Расчетная схема для линии влияния усилия в S1.
Определим усилие в стержне S1 в случае когда находится слева от него
Определим усилие в стержне S1 в случае когда находится справа от него
Линия влияния усилия в стержне S2.
Усилие в стержне S2 возникает только когда сила находится в пределах соседних раскосов.
Рис. 5. Расчетная схема для линии влияния усилия в S2.
Рассмотрим один из этих отрезков
Линия влияния усилия в стержне S3.
Усилие в стержне S3 возникает только когда сила находится правее точки . Воспользуемся методом вырезания узлов для его определения.
Рис. 6. Расчетная схема для линии влияния усилия в S3.
Найдем для этого запишем сумму моментов относительно
Зная по теореме синусов определим а за тем из прямоугольного треугольника найдем
Углы и определяются решением геометрической задачи
Вычислить наибольшие усилия в стержнях от действия системы сил.
Наибольшее усилие в стержне S1.
Подставим значения и координаты сил в функцию линии влияния S1
Наибольшее усилие в стержне S2.
Подставим значения и координаты сил в функцию линии влияния S2
Наибольшее усилие в стержне S3.
Подставим значения и координаты сил в функцию линии влияния S3
Рис. 7. Линии влияния и положения тележки (системы сил).

Фрагмент.frw

Фрагмент5.frw

Фрагмент3.frw

2 (2).doc

[pic] Министерство образования Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Механико-машиностроительный факультет
Кафедра "Подъемно-транспортные и строительные машины
Металлические конструкции машин
Студент: Куцемакин А.Л.
Преподаватель: Соколов С.А.
На рисунке 1 представлена ферма и схема её нагружения:
где a=2 м; c=1 м; P1=100 кН; P2=50 кН;
Выполнить кинематический анализ системы. Выявить нулевые стержни.
Построить линии влияния усилий в стержнях S1 S2 S3.
Вычислить наибольшие усилия в стержнях S1 S2 S3 от системы сил P.
Кинематический анализ системы определение нулевых стержней.
Конструкция является внешне статически определимой т.к. три
неизвестные реакции можно определить с помощью трех уравнений статики.
Для внутренней характеристики конструкции определим число степеней
где n – число степеней свободы; С-количество стержней; У- количество узлов.
следовательно система является статически определимой.
Нулевые стержни изображены на рисунке 2:
Построение линий влияния S1 S2 S3.
Построим линии влияния Ra Rb Rc:
Для построения линий влияния выразим реакции через подвижную нагрузку:
Определим линию влияния в стержне S1:
Если груз находится слева от точки О то нагрузка на участок
находящийся справа от точки О не передается т.к. он является
Груз справа от точки О: рассмотрим уравнение моментов для правой отсеченной
части относительно точки 1: [pic]
[pic](груз слева от сечения)
[pic](груз справа от сечения).
Линия влияния усилий в стержне S1 представлена на рисунке 4:
Определим линию влияния в стержне S2:
Спроектируем силы на вертикальную ось получим:
[pic](груз справа от сечения)
[pic] (груз слева от сечения)
Линия влияния усилий в стержне S2 представлена на рисунке 4:
Определим линию влияния в стержне S3 :
Уравнение моментов относительно точки 2:
[pic] (груз справа от сечения)
Линия влияния усилий в стержне S3 представлена на рисунке 4:
Определим наибольшие усилия в стержнях S1 S2 S3 от системы сил P.

Куцемакин 5.doc

[pic] - высота сечения
[pic] - толщина стенок
[pic] - толщина поясов
[pic] - ширина пояса
[pic] - расстояние между стенками.
Проектный расчет из условия прочности
Момент инерции сечения:
Момент сопротивления:
Условие прочности в расчете по допускаемым напряжениям:
Из условия связанного с обеспечением устойчивости пояса:
Толщины стенок и поясов принимаем четными из интервала значений [pic].
Следовательно [pic].
Расстояние между стенками:
Полученные [pic] и [pic] не удовлетворяют условиям – скорректируем их.
Проведем проверку на прочность сечения по допускаемым напряжениям:
Условие прочности выполняется.
Проверка по условию жесткости
Перемещение балки в опасном сечении [pic]:
Условие жесткости выполняется.
Проверка местной устойчивости
Диафрагмы внутри сечения устанавливаем на расстоянии “a” друг от
Проверяем местную устойчивость:
- Пояса коробчатой балки (по нормальным напряжениям).
- Стенки коробчатой балки (по нормальным и касательным напряжениям).
1. Пояс коробчатой балки
Рис.3.1 Расчетная схема пояса коробчатой балки
Пояс - прямоугольная пластина все четыре кромки которой закреплены
В опасном сечении в поясе действуют растягивающие напряжения
вызванные изгибающим моментом.
Критическое напряжение:
[pic] - толщина пояса.
[pic] - ширина пояса.
[pic] - расстояние между соседними диафрагмами в коробчатом сечении рамы.
Условие местной устойчивости для пояса при расчете по допускаемым
Условие местной устойчивости пояса выполняется.
2. Стенка коробчатой балки
Рис.3.2 Расчетная схема стенки коробчатой балки
Рассматриваем отдельную боковую панель балки (стенку) между двумя
соседними диафрагмами.
Панель теряет устойчивость снизу. Искривляется нейтральная ось
Критические нормальные напряжения:
[pic] - коэффициент устойчивости отражающий влияние условий закрепления и
распределения напряжений по ширине пластины.
[pic] - толщина стенки.
[pic] - высота стенки.
Критическое касательное напряжение:
Максимальное нормальное напряжение:
Максимальное касательное напряжение:
где [pic] - максимальная перерезывающая сила.
[pic] - площадь стенки.
При расчете по допускаемым напряжениям (по нормальным и касательным
напряжениям) условие местной устойчивости имеет вид:
Условие местной устойчивости стенки выполняется.
Таким образом окончательно приняты следующие параметры коробчатого сечения
Спроектировать раму по данным задачи 1 считая что:
- элементы рамы имеют постоянное сечение коробчатого типа;
- обеспечить условия прочности при [p
- условие жесткости при [p
- условие местной устойчивости.

Фрагмент2.frw

Задача 3!.doc

Барановской Екатерины
Расчетное задание №4 по курсу
«Строительная механика и металлические конструкции»
Выполнить кинематический анализ системы.
i=3s-2u-3h-r=3*2-2*1-3*0-4=0
s – количество стержней;
u – количество шарниров;
h – количество заделок;
r – количество опорных стержней.
Вычислить перемещение точки А в указанном направлении от нагрузки Р.
Σ Mшарнлев=Bx(a+b)+Pa=0 => Bx=-Pa(a+b)=-40 кН
Σ Fx=Bx+P+Cx=0 => Cx=-P-Bx=-P+ Pa(a+b)=-P(1- a(a+b))=-60 кН
Cy=-Cxab= P(1- a(a+b))ab=40 кН
Σ Fy=By+Cy=0 => By=-Cy= -P(1+ a(a+b))ab=-40 кН
M1’=-Bxx1= Pa(a+b)* x1=40х1
M1”=-Bxx1-P(x1-b) = Pa(a+b)* x1- P(x1-b)=-60х1+300
M2=Cxx2 =-P(1- a(a+b)) x2=-60х2
M3=Cyx3+Cxa= P(1- a(a+b))ab* x3- P(1- a(a+b))a=40х3-120
Построим эпюру моментов для единичной нагрузки:
Σ Mшарнлев=Bx(a+b)=0 => Bx=0
Σ Fx=Bx+1+Cx=0 => Cx=-1
Σ Fy=By+Cy=0 => By=-Cy=-ab=-23
M3=Cyx3+Cxa= ab* x3-a=23*х3-2

04 Динамические расчеты-1.doc

Динамические расчеты конструкций
При работе машины ее металлическая конструкция воспринимает переменные
усилия от работы приводов веса груза усилия копания давления ветра и пр.
Если нагружение происходит за время [pic] ([pic] – период свободных
колебаний конструкции) то в конструкции возникают упругие колебания и
дополнительные инерционные силы которые должны учитываться в расчетах
конструкций на прочность и долговечность. Такое нагружение называют
динамическим. Основными целями динамических расчетов несущих конструкций
– параметры свободных колебаний необходимые для прогнозирования
динамического поведения конструкции;
– динамические нагрузки которые должны быть учтены в расчетах
элементов конструкции на прочность устойчивость и сопротивление усталости;
– проверка возможности резонанса.
Машина в целом включающая приводы механизмов трансмиссии
металлическую конструкцию представляет собой весьма сложную динамическую
систему. Для динамических расчетов используют ее приближенное описание
которое называют динамической моделью. При этом для упрощения расчетов
– элементы механизмов являются абсолютно жесткими;
– перемещения возникающие при колебаниях конструкции весьма
малы по сравнению с размерами сечений;
– высокочастотные составляющие колебательного процесса
быстро затухают и имеют малую амплитуду поэтому ими можно
Если в течение рассматриваемого периода геометрия массы или жесткости
элементов системы не меняются то ее описывают с помощью стационарных
моделей. Такой системой является например пролетное строение мостового
крана с неподвижной тележкой. Если же на рассматриваемом отрезке времени
параметры динамической системы изменяются как например у экскаватора или
крана при изменении вылета стрелы с грузом то систему и описывающие ее
модели называют нестационарными. Для упрощения расчета нестационарных
систем их рассматривают на некотором коротком промежутке времени как
стационарные с текущими значениями параметров.
Внешние воздействия вызывающие колебания конструкции делят на
силовые (нагрузки) и кинематические (например смещение основания при
землетрясении). Колебания конструкции предоставленной самой себе после
прекращения внешнего силового или кинематического воздействия называют
свободными. Внешние воздействия могут быть периодическими то есть
изменяющимися по некоторому закону с определенным периодом и
непериодическими (отрыв груза от основания одиночный порыв ветра).
Колебания происходящие под влиянием периодических внешних воздействий
называют вынужденными.
Компактные конструкции обладающие высокой жесткостью (например
механизм с жесткими элементами тележка крана или короткая жесткая
поворотная платформа) можно рассматривать как абсолютно жесткие. При этом
инерционные силы которые возникают при разгоне или торможении таких
элементов вычисляются по второму закону Ньютона. Такая модель называется
жесткой. Жесткие модели используют для предварительных расчетов
конструкций учитывая влияние колебательных процессов с помощью
динамических коэффициентов.
Если же конструкция имеет большую протяженность и податливость то при
динамическом нагружении ее элементы совершают упругие колебания которые
могут привести к возникновению напряжений больших чем в том случае как
если бы они были абсолютно жесткими. Для оценки этих явлений используют
динамические модели с упругими связями. Сложность динамической модели
обусловлена количеством степеней свободы то есть независимых координат
характеризующих перемещения масс системы. Протяженные элементы с
распределенной массой имеют бесконечное число степеней свободы. Компактные
жесткие элементы в динамических моделях представляют в виде сосредоточенных
(точечных) масс имеющих ограниченное количество степеней свободы (в
плоских системах одну или две).
Рассмотрим построение простейшей динамической модели однобалочного
мостового крана пролетом [pic] с тележкой массой [pic] расположенной
посередине (рис.4.1а). Если считать балку невесомой то для динамического
анализа такой конструкции следует использовать одномассовую модель в
которой масса [pic] соединена упругой связью с основанием (рис.4.1бв).
Коэффициент жесткости упругой связи обусловлен упругими свойствами
Однако реальная балка имеет массу которая равномерно распределена по
ее длине. При колебаниях эта масса также создает инерционные силы. Упругая
балка с распределенной массой имеет бесконечное количество степеней
свободы так как состоит из бесконечного количества материальных точек
обладающих массой и может иметь бесчисленное множество форм колебаний
(рис.4.1г). Такая система описывается с помощью дифференциальных уравнений
в частных производных или может быть рассчитана с использованием МКЭ.
Однако для аналитического инженерного анализа такая модель не пригодна.
Можно упростить схему заменив распределенную массу рядом
сосредоточенных приведенных масс связанных невесомыми упругими
соединительными элементами (рис.4.1д). При этом должны быть выполнены
– сумма приведенных масс должна быть равна исходной
распределенной массе [p
– обеспечена динамическая эквивалентность исходной и
приведенной систем (см. п.4.1.2.).
Перемещения этой системы полностью определяются перемещениями
сосредоточенных масс следовательно и количество степеней свободы модели
([pic]) равно количеству движущихся масс. Конфигурации системы при
наибольшем отклонении в процессе свободных колебаниях называются
собственными формами. На упрощенной модели с приведенными массами можно
смоделировать не более чем [pic] собственных форм и частот свободных
колебаний заданной системы.
Модель на рис.4.1в имеет три подвижные массы и соответственно три
степени свободы характеризуемые координатами [pic] (рис.4.1д). Поскольку
исходное распределение масс симметрично относительно центра пролета то и
приведенные массы должны быть симметричны то есть [pic] и [pic].
Неподвижные массы [pic] не участвуют в колебательном процессе. Однако если
данная конструкция совершает переносное движение то инерционные силы от
этих масс необходимо учитывать. С учетом симметрии системы данная модель
позволяет описать только две формы свободных колебаний балки симметричную
и обратносимметричную (рис.4.1е).
Число степеней свободы дискретной модели должно соответствовать числу
форм свободных колебаний которые требуется выявить для анализа
рассматриваемого вида нагружения. Для системы на рис.4.1а основное
значение имеет первая форма колебаний при которой происходит наибольшее
перемещение массы [pic] поэтому распределенную массу балки можно заменить
одной приведенной массой в центре [pic] (рис.4.1 ж з).
Если к тележке на полиспасте подвешен груз массой [pic] (рис.4.2 а)
то для учета упругости подвеса следует использовать двухмассовую модель (б
в). Здесь упругая связь с коэффициентом жесткости [pic] моделирует упругую
металлическую конструкцию а связь с коэффициентом жесткости [pic] –
Компактные аналитические решения могут быть получены только для
одномассовых и двухмассовых моделей. Более сложные конструкции для
динамического анализа которых требуется учитывать большее число частот
должны рассчитываться численными методами.
Рис.4.1. К построению динамических моделей
Рис.4.2. Двухмассовая динамическая модель
Для формирования дискретной динамической модели конструкции имеющей
распределенную массу необходимо решить какое количество степеней свободы
будет иметь модель и определить значения приведенных масс. В аналитических
расчетах следует стремиться к использованию одномассовых или двухмассовых
моделей. При необходимости более точного описания поведения конструкции
следует переходить к численным методам.
Заменяя распределенную массу несколькими дискретными следует
обеспечить динамическую эквивалентность системы. В качестве критерия
эквивалентности используют условие равенства максимальных значений
кинетических энергий колебаний исходной системы и дискретной модели при
одинаковых амплитудах. Рассмотрим примеры приведения масс для некоторых
а) Построим одномассовую модель (то есть модель с одной степенью
свободы) для двухопорной балки с пролет [pic] и равномерно распределенной
массой [pic](рис.4.3 а).
Зависимость перемещений точек балки от их положения ([pic]) и времени
([pic]) при колебаниях описывается синусоидальной зависимостью
– круговая частота колебаний. Скорость движения произвольной точки балки
при колебании равна [pic] (здесь использовано обозначение [pic]). Как видно
максимальное перемещение получается при [pic] и имеет значение [pic] а
максимальная скорость – при [pic] и равна [pic].
Дискретная модель содержит три массы одна из которых ([pic])
подвижная (рис.4.3 б). Равенство кинетических энергий колеблющейся
распределенной массы и приведенной дискретной массы расположенной в
середине пролета ([pic]) имеет вид
Здесь [pic] и [pic] – амплитуда колебаний.
Считая что упругая линия двухопорной балки при колебаниях приближенно
описывается синусоидой
Если упругую линию описывать параболой второго порядка то получается
[pic] при использовании линии прогибов получающейся при равномерно
распределенной нагрузке то [pic]. Таким образом результат достаточно
устойчив и мало зависит от небольших вариаций при описании формы колебаний.
Для инженерных расчетов принимают [pic] и [pic].
б) Для консольной балки вылетом [pic] и равномерно распределенной
собственной массой [pic] одномассовая модель имеет приведенную массу [pic]
на конце и неподвижную массу [pic] в заделке (рис.4.1д).
[pic] вычисляется по формуле (4.2) в которой следует задать
выражение упругой линии балки при колебаниях. Если использовать выражение
то получится [pic]. При описании упругой линии параболой получится [pic] а
при использовании линии прогибов которая соответствует равномерно
распределенной нагрузке – [pic]. Таким образом в инженерных расчетах для
консолей постоянного сечения можно принимать [pic] и [pic].
Обычно консоль имеет переменное сечение уменьшающееся к концу.
Распределение масс в этом случае можно описать линейным законом: [pic] где
[p [pic] и [pic] – погонные массы балки в основании и на конце.
Подставив эту зависимость в формулу (4.2) найдем приведенную массу такой
консоли при [pic] равную соответственно [pic]. Если на конце консоли
имеется сосредоточенная масса груза оголовка или блоков то она должна
быть добавлена к приведенной массе.
Рис.4.3. Схемы к расчету приведенных масс
Свободные колебания одномассовой системы
Одномассовая модель является простейшим описанием динамической
системы. Она представляет собой массу [pic] связанную с основанием упругой
связью имеющей коэффициент жесткости [pic] (рис.4.4а). Положение массы
характеризуется координатой [pic] которая отсчитывается от ее начального
положения. После прекращения некоторого внешнего воздействия масса будет
совершать свободные колебания. Используя принцип Даламбера (кинетостатики)
составим уравнение движения в форме условия равновесия массы [pic] с учетом
сил инерции. Оно запишется следующим образом:
Преобразуем это уравнение к виду
и обозначив [pic] представим как
Полученное выражение является обыкновенным однородным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения
составим характеристическое уравнение
Оно имеет два сопряженных мнимых корня [pic] следовательно решения
Общим решением однородного уравнения является сумма двух линейно
независимых частных решений в качестве которых используем две комбинации
Следовательно общее решение однородного уравнения можно записать с
использованием произвольных постоянных как
Отсюда видно что величина [pic] является круговой частотой свободных
колебаний одномассовой системы. Она количественно равна числу колебаний за
время [pic] секунд. Соответственно период колебаний составляет [pic] а
частота [pic]. Таким образом частота свободных колебаний одномассовой
С помощью такой модели например можно определить первую собственная
частота колебаний балки постоянного сечения с моментом инерции [pic]
(рис.4.3 а в). При этом в (4.6) следует подставлять:
– для двухопорной балки [p
– для консольной балки [pic] и [pic].
Если кроме распределенной собственной массы балки в середине
двухопорной балки или на конце консоли имеется сосредоточенная масса [pic]
то в этих формулах следует считать [pic].
Анализ одномассовой динамической модели при однократном силовом
Используем одномассовую модель (рис.4.4 а) с параметрами [pic]и [pic]
(п.4.1.3.) для анализа динамики возникающей при разгоне механизма
передвижения однобалочного мостового крана. Основанием системы являются
колеса движущиеся по рельсу без скольжения.равна сумме приведенной
массы и массы тележки с грузом (груз будем считать жестко связанным с
тележкой) [pic]. В процессе разгона на массу действует сила [pic] где а –
среднее ускорение при разгоне. Сила действует в течение времени Т после
этого она исчезает и мост движется с постоянной скоростью. Таким образом
при [pic] [pic] а при [pic] [pic] и конструкция совершает свободные
колебания. Проанализируем поведение модели под воздействием силы [pic]
действующей на массу [pic] в течение времени [pic] (рис.4.4 б).
Используя принцип Даламбера (кинетостатики) составим уравнения
движения без учета сил сопротивления вызывающих затухание колебаний
при [pic] [pic]. (4.7б)
Начальные условия для решения уравнения (4.7а):
при [pic] [pic] и [pic]. (4.8)
Преобразуем уравнение (4.7а) к виду
и обозначив [pic] и [pic] представим как
Полученное выражение является обыкновенным неоднородным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Его решение
находится как сумма [pic] общего решения ([pic]) соответствующего
однородного уравнения [pic] и частного решения ([pic]) неоднородного
Общее решение однородного уравнения имеет вид (4.5)
Частное решение неоднородного уравнения [pic] ищем в форме правой
части то есть как постоянную величину [pic]. Ее значение найдем подставив
в исходное уравнение (4.9) [pic] и [pic]. При этом получится [pic] откуда
Таким образом общее решение неоднородного уравнения (4.7а) имеет вид
Постоянные интегрирования найдем подставив сюда начальные условия
(4.8). При этом получится [pic]. Общее решение дифференциального уравнения
(4.7а) записывается как
Максимальное перемещение получающееся при [pic] или [pic] равно [pic].
Подставив в это выражение [pic] найдем [pic] То есть перемещение
массы при внезапном приложении нагрузки дает перемещение в два раза
большее чем при статическом нагружении при котором [pic]. Следовательно
мгновенное приложение силы характеризуется динамическим коэффициентом
Если время действия силы [pic] то перемещение (4.12) не будет
достигнуто. Рассмотрим второй этап движения системы при [pic] когда
действие силы прекратилось. Уравнение движения при этом имеет вид (4.7б)
Общее решение этого уравнения в данном случае записывается как (4.5)
Для определения произвольных постоянных используем значения начальных
условий соответствующих окончанию первого этапа движения (4.11)
при [pic]: [pic] и [pic].
Подставив выражение (4.13) в начальные условия найдем произвольные
С учетом того что [pic] решение уравнения приобретет вид
В дифференциальных уравнениях использованных в данном решении не
учитывается затухание возникающее в результате рассеивания части энергии
на внутреннее трение в элементах конструкции сопротивление среды и пр. Это
вполне допустимо при вычислении наибольших перемещений и динамических
нагрузок которые реализуются в первых циклах колебаний. Если же
анализируется поведение конструкции в течении многих циклов то влияние
затухания учитывать надо. Для этого часто используют модель вязкого трения
(гипотеза Фойгта) которая предполагает что сила сопротивления прямо
пропорциональна скорости движения приведенной массы то есть [pic] где
[pic] – коэффициент пропорциональности. При этом уравнение свободных
колебаний (4.7б) примет вид
Поскольку определение числовых значений коэффициентов [pic] и [pic]
для реальной машины практически невозможно то процесс затухания обычно
характеризуют декрементом колебаний [pic] где [pic] и [pic] – амплитуды i-
го и (i+1)-го колебаний. Исследование этой величины производят на машине в
целом поэтому она учитывает потери энергии не только в металлоконструкции
но и от трения в шарнирах проскальзывания колес по основанию
сопротивлений в механизмах и пр. Декремент для пролетных строений мостовых
кранов приближенно вычисляется по эмпирической формуле
где [pic] – период свободных колебаний конструкции низшей частоты (с). Для
конструкций портальных кранов [pic].
Примеры реализации полученных решений показаны на рис.4.5. (расчеты
выполнены в среде Mathcad) где приведены графики зависимости безразмерного
отношения (кривая 1)
от времени [pic] для системы с частотой [pic]= 121 Гц ([pic] с) и
различных значениях длительности [pic] действия нагрузки [pic] (кривая 2).
При [pic] с когда оказывается [pic] с на первом этапе достигается
наибольшее отклонение массы [pic] (рис.4.5 а) и динамический коэффициент
[pic]. При кратковременном силовом воздействии при [pic]025 с
максимальные амплитуды колебаний и динамический коэффициент уменьшаются
[pic]165 а размах колебаний возрастает (б). На графике (рис.4.5 в)
показан тот же процесс с декрементом колебаний [pic].
Рис.4.4. Схемы к расчету одномассовой модели
Примеры динамических расчетов
Пример 4.1. Используем одномассовую модель для расчета динамического
воздействия на конструкцию мостового крана при отрыве груза от основания.
Для этого будем считать подвес абсолютно жестким. равна сумме
приведенной массы конструкции массы тележки и массы груза: [pic].
Коэффициент жесткости конструкции – [pic](п.4.3.). Процесс нагружения
представим в виде усилия в канате [pic] линейно возрастающего в течение
времени [pic] и сохраняющего в дальнейшем постоянное значение [pic]
(рис.4.6 а б). Следует обратить внимание на то что здесь учитывается
масса конструкции и тележки но не учитывается их вес так как эта нагрузка
не меняется в течение рассматриваемого отрезка времени.
Дифференциальное уравнение колебаний массы имеет вид (4.7а)
Его аналитическое решение выполняется по схеме изложенной в п.4.4.
[ ]. Максимальное перемещение конструкции всегда получается при [pic] и
Поскольку усилие действующее на упругую связь (конструкцию) прямо
пропорционально ее деформации ([pic]) то динамический коэффициент [pic]
где [p [pic] – статическая
нагрузка равная весу груза. В связи с тем что значение отношения [pic]
точно определить невозможно а влияние его очень велико то для определения
динамического коэффициента используют огибающую графика этой функции
(рис.4.6 в) которая описывается уравнениями:
Как видно из второго уравнения при [pic] получается значение
динамического коэффициента [pic] 105. Такое нагружение считают
Пример численного расчета динамического коэффициента непосредственно
по дифференциальному уравнению и по формулам (4.15) показан в форме 4.1.
Как видно значения динамического коэффициента полученные численным
интегрированием и аналитическим методом по полной формуле практически
одинаковы и составляют [pic]. Расчет по огибающему графику естественно дает
большее значение [pic].
Рис.4.5. Результаты расчета одномассовой модели
Рис.4.6. Схемы к расчету динамического коэффициента по одномассовой модели
Пример 4.2. Проверка динамической жесткости консоли несущей привод
передвижения мостового крана. Привод включающий двигатель муфту редуктор
и промежуточный вал с зубчатыми муфтами имеет массу 180 кг. Двигатель
вращается со скоростью 920 обмин. Момент на тихоходном валу редуктора
составляет [pic] кНм. Центр тяжести привода находится на расстоянии [pic]
от корня консоли. Консоль состоит из двух гнутых швеллеров №100х80х4 с
моментом инерции [pic] см4 изготовленных из стали Ст3 (рис.4.7 а).
Максимальные напряжения в корне консоли от веса привода [pic] и
момента [pic] найдем по известной формуле (рис.4.7 б)
где [pic] – динамический коэффициент приложения момента (п.4.4.). Условие
прочности консоли выполнено: [pic] МПа.
Частота свободных колебаний консоли с приводом определяется по
динамической модели на рис.4.7 в для которой коэффициент жесткости
Частоту найдем по формуле (4.6)
Возмущающая сила которую может создавать двигатель при наличии
некоторой неуравновешенности ротора будет действовать с частотой [pic] с-
Таким образом частота свободных колебаний отличается от частоты
возмущающей силы примерно на 10%. Такое положение может вызвать
чрезвычайно большие колебаний конструкции и привести к возникновению
усталостного повреждения в сварном соединении швеллеров с основанием. Для
решения этой проблемы необходимо повысить жесткость консоли.
Рис.4.7. Схемы к расчету консоли с приводом

Задача 3.doc

Барановской Екатерины
Расчетное задание №4 по курсу
«Строительная механика и металлические конструкции»
Выполнить кинематический анализ системы.
i=3s-2u-3h-r=3*2-2*1-3*0-4=0
s – количество стержней;
u – количество шарниров;
h – количество заделок;
r – количество опорных стержней.
Вычислить перемещение точки А в указанном направлении от нагрузки Р.
Σ Mшарнлев=Bx(a+b)+Pa=0 => Bx=-Pa(a+b)=-40 кН
Σ Fx=Bx+P+Cx=0 => Cx=-P-Bx=-P- Pa(a+b)=-P(1+ a(a+b))=-140 кН
Cy=-Cxab= P(1+ a(a+b))ab=93 кН
Σ Fy=By+Cy=0 => By=-Cy= -P(1+ a(a+b))ab=-93 кН
M1’=-Bxx1= Pa(a+b)* x1=40х1
M1”=-Bxx1-P(x1-b) = Pa(a+b)* x1- P(x1-b)=-60х1+300
M2=Cxx2 =-P(1+ a(a+b)) x2=-140х2
M3=Cyx3+Cxa= P(1+ a(a+b))ab* x3- P(1+ a(a+b))a=93х3-280
Построим эпюру моментов для единичной нагрузки:
Σ Mшарнлев=Bx(a+b)=0 => Bx=0
Σ Fx=Bx+1+Cx=0 => Cx=-1
Σ Fy=By+Cy=0 => By=-Cy=-ab=-23
M3=Cyx3+Cxa= ab* x3-a=23*х3-2

Строймех(лекции).doc

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕХАНИКО-МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ
(конспект лекций по специальности: «Подъемно-транспортные и строительные
Составил: профессор докт. техн. наук Виктор Алексеевич Кузьмичев.
Документ выполнен в программе Microsoft Word – 2000
§ 1. Классификация нагрузок.
§ 2. Методы прочностного расчета элементов стальных конструкций.
§ 3. Классификация расчетных схем сооружений
§ 4. Классификация опор.
§ 5. Кинематический анализ конструкций.
§ 6. Статически определимые балки.
§ 8. Расчет статически неопределимые системы.
§ 9. Соединения и стыки элементов металлоконструкций
Строительная механика — это наука о способах расчета на прочность
жесткость и устойчивость сооружений в целом в то время как в сопротивлении
материалов рассматриваются вопросы прочности жесткости и устойчивости
отдельных элементов сооружения. В строительной механике используют методы
теоретической механики графической статики сопротивления материалов
теории упругости и теории пластичности. Рассматривают методы расчета
обеспечивающие возможность проектировать конструкции
рациональные с точки зрения указанных расчетных требований и одновременно
удовлетворяющие экономическим требованиям.
Сложность строгого учета взаимодействия отдельных частей сооружения
всех факторов влияющих на его поведение вызывает необходимость
рассматривать при расчете не действительное сооружение а его упрощенную
схему называемую расчетной схемой сооружения. При выборе ее
руководствуются двумя основными требованиями: схема должна соответствовать
действительным условиям работы сооружения и должна быть простой чтобы
избежать излишней сложности при расчете. Искусство расчета в значительной
степени зависит от умелого сочетания этих требований от умения выбрать
расчетную схему сооружения достаточно простую и одновременно правильно
отражающую условия работы действительного сооружения.
При расчете сооружений в строительной механике используется как
аналитические так и графические методы.
Ценным качеством аналитического метода является возможность получать
решения в общем виде позволяющие применять полученные выводы к разрешению
целого ряда аналогичных частных задач. Аналитический метод обеспечивает
возможность проводить глубокий анализ изучаемого явления — выявлять степень
влияния отдельных факторов на работу сооружения. Кроме того он обладает
значительно большей точностью чем графический.
Достоинство графического метода заключается в наглядности простоте
решения возможности в ряде случаев получать быстрое решение задачи с
достаточной для практических целей точностью. Однако в отличие от
аналитического метода он не дает общих решений: каждая частная задача
требует применения отдельного решения.
§ 1. Классификация нагрузок
Внешние активные силы действующие на конструкцию называются
нагрузками. Нагрузки бывают сплошные и сосредоточенные. Сплошные нагрузки -
нагрузки распределенные по поверхности измеряемые интенсивностью в Нм2
или распределенные по объему измеряемые интенсивностью в Нм3. Сплошные
поверхностные и объемные силы действующие на брус обычно заменяются
сплошной нагрузкой по длине бруса измеряемой интенсивностью в Нм.
Если поверхностные нагрузки распределены по малой площади то их
равнодействующая представляется в виде сосредоточенной силы. Расчет
конструкций начинают с определения действующих на них нагрузок: их
величины продолжительности и характера действия.
Нагрузки действующие на сооружение подразделяются:
Функциональные нагрузки для восприятия которых и проектируется
конструкция. Например нагрузки от установленного оборудования крановая
нагрузка нагрузка от транспортных средств (от железнодорожных
поездов от автомобилей) от гидростатического давления в плотинах от
давления земли в подпорных стенках и т. д.
По продолжительности действия различают постоянные и временные
Постоянные нагрузки - это такие нагрузки которые всегда находятся на
сооружении как например его собственный вес. Временные нагрузки
наоборот не всегда действуют на сооружение. Временные нагрузки
дополнительно разделяются на подвижные и неподвижные. Подвижные нагрузки -
это нагрузки перемещающиеся по сооружению как например автомобили
трамваи троллейбусы поезда и другие транспортные средства. Неподвижные
нагрузки - это нагрузки сохраняющие на сооружении продолжительное время
неизменное положение в виде различного оборудования.
К особым нагрузкам относятся сейсмические воздействия а также
воздействия просадок оснований.
По характеру действия различают статические и динамические нагрузки.
Статической называют такую нагрузку величина и положение которой при
расчете принимаются не зависящими от времени или изменяющимися столь
медленно что введение в расчет сил инерции не является необходимым.
Динамической называют такую нагрузку величина и положение которой
изменяются во времени настолько быстро что становится необходимым вводить
в расчет силы инерции.
Атмосферные нагрузки - снег и ветер.
При расчете конструкций должны приниматься сочетания нагрузок и
воздействий в наиболее невыгодных комбинациях для отдельных элементов или
для всего сооружения. Различают основные дополнительные и особые сочетания
Числовые значения нагрузок принимают в соответствии с нормативными
документами (CНиП и др.). Этими нормами устанавливаются наибольшие величины
внешних воздействий при нормальной эксплуатации конструкций так называемые
нормативные нагрузки. Расчетные нагрузки получают путем умножения
нормативных нагрузок на коэффициенты перегрузки которые учитывают
возможность превышения (а в отдельных случаях уменьшения) нагрузок по
сравнению с их нормативными значениями вследствие изменчивости нагрузок.
§ 2. Методы прочностного расчета элементов
стальных конструкций.
Прочность устойчивость и жесткость конструкций зависят не только от
материала размеров и формы его элементов но и от внутренних сил которые
возникают и развиваются в них при действии нагрузки. Следовательно размеры
конструкции в целом и ее элементов определяются величинами внутренних сил
и как следствие напряжениями и деформациями возникающими в этих
элементах. Поэтому при всяком расчете должны быть в первую очередь найдены
Если размеры элементов конструкции заданы то по внутренним силам
можно в результате расчета судить о прочности устойчивости и жесткости
конструкции в целом (поверочный расчет). Если размеры элементов конструкции
не известны то по внутренним силам в результате расчета можно определить
их размеры удовлетворяющие прочности устойчивости и жесткости сооружения
( проектировочный расчет).
Таким образом основная задача состоит в определении внутренних сил.
Внутренние силы определяются при помощи известного метода сечений и
представляются в виде изгибающих и крутящих моментов продольных и
При определении внутренних сил надо иметь в виду что всякая
конструкция под нагрузкой меняет свою форму — деформируется. Деформация
нарастает до тех пор пока внутренние силы не будут в состоянии
препятствовать дальнейшему ее росту после чего наступает равновесие
конструкции в деформированном состоянии. Так как скорость развития
деформаций в обычных строительных материалах велика то равновесие в
деформированном состоянии практически наступает одновременно с приложением
Расчет сооружений в конечном счете сводится к оценке его прочности
устойчивости и жесткости.
Различают два принципиально различных метода прочностного расчета
элементов стальных конструкций а именно: метод допускаемых напряжений и
метод предельных состояний.
Метод допускаемых напряжений был разработан еще в начале 19-ого века и
являлся единственным методом прочностного расчета вплоть до тридцатых годов
Основой этого метода является использование в расчетах понятия о
допускаемом напряжении [pic] определяемом как часть напряжения которое
принимается за опасное с точки зрения исчерпания несущей способности
элемента. Сначала за такое принималось временное сопротивление ([pic]-
предел прочности) а затем предел текучести [pic] стали. Отношение опасного
напряжения к допускаемому называется коэффициентом запаса.
При расчете по методу допускаемых напряжений коэффициенты запаса
принимается в зависимости от назначения и условий работы (эксплуатации)
конструкции. Допускаемое напряжение [pic] определяется по формуле:
n—коэффициент запаса принимаемый в пределах 13—17. Коэффициент запаса
зависит от ряда факторов например назначение конструкции сочетания
нагрузок качества материала (стали) и т. п..
Допускаемые напряжения регламентируются соответствующими техническими
условиями проектирования различных машин.
По мере накопления опыта эксплуатации и развития теории работы
конструкций выявляется неудовлетворительность проектировщиков сооружений
методом расчета по допускаемым напряжениям. Например допускаемые
напряжения для стали марки Ст. 3 были увеличены на 60% а конструкции
оказывались все такими же работоспособными как и при меньших значениях
допускаемых напряжений. Это указывало на то что величины коэффициентов
запаса были недостаточно обоснованы. Причиной этого было главным образом
отсутствие четкого представления о влиянии на величину коэффициента запаса
таких факторов как изменчивость качества материала (стали); изменчивость
эксплуатационных нагрузок; условия работы конструкции; отсутствие в
некоторых случаях прямой пропорциональности между нагрузками и напряжениями
(деформациями); точность расчета и т. п. Таким образом коэффициент запаса
является величиной обобщенной благодаря чему в одних случаях конструкций
может обладать чрезмерным запасом а в других — недостаточным.
Метод предельных состояний. Для металлических конструкций подъемно -
транспортных машин должны удовлетворятся два предельных состояния: первое –
по прочности устойчивости и выносливости; второе – по общим деформациям.
Впервые научное обоснование коэффициента запаса было дано
Н. С. Стрелецким на основе изучения закономерностей факторов влияющих на
условия неразрушимости конструкции методами теории вероятностей и
математической статистики. В результате указанного исследования обобщенный
коэффициент запаса может быть расчленен на три отдельных коэффициента
каждый из которых может быть детально изучен и количественно определен.
Такими коэффициентами являются:
а) коэффициент однородности k стали учитывающий изменчивость ее
механических свойств а также и изменения площадей сечения проката в
меньшую сторону в соответствии с минусовыми допусками на прокат;
б) коэффициент перегрузки п учитывающий изменчивость эксплуатационных
нагрузок; как правило этот коэффициент больше единицы.
в) коэффициент условий работы т учитывающий отличие работы
конструкции в эксплуатационных условиях от теоретических и расчетных
На основе изучения законов изменения трех указанных коэффициентов
условие гарантирующее неразрушимость конструкции записывается в общем
виде: [pic](1) где [pic] - усилия от нормативных нагрузок т. е. нагрузок
определяемых соответствующими Техническими условиями проектирования
ГОСТами и тому подобными официальными документами;
F- геометрический фактор сечения (площадь момент сопротивления и т. п.);
Rн - нормативное сопротивление материала (стали) определяемое
соответствующими ГОСТами или Техническими условиями; k п т —
вышеуказанные коэффициенты регламентируемые соответствующими техническими
Формула (1) состоит из ряда величин называемых нормативными (т. е
заданными определенными нормами или ГОСТами) и коэффициентов посредством
которых нормативные величины приводятся к расчетным. Таким образом
расчетное усилие [pic]и расчетное сопротивление материала (стали) [pic]
Расчетное сопротивление R — это возможное наименьшее сопротивление
стали. Для стали за нормативное сопротивление [pic] принимается предел
текучести. Коэффициент однородности получается в результате обработки
статистических данных по испытаниям образцов стали.
Условие неразрушимости (1) можно переписать в виде: [pic] (2) где
m=m1·m2·m3. Здесь m1= 1.0 075 учитывает ответственность элемента;
m2=09 095 – неточность изготовления; m3 – несовершенства расчета.
Формулы (1) и (2) показывают что условие прочности здесь записано для
разрушающих т. е. предельных нагрузок. Отсюда и название «метода
предельных состояний». В общем предельным называется состояние при
котором исчерпывается возможность дальнейшей эксплуатации конструкции.
Этот метод прочностного расчета в полной мере отвечает важнейшему
принципу проектирования стальных конструкций а именно принципу равной
прочности элементов и соединений.
Применительно к металлоконструкциям грузоподъемных конструкций[pic]
метод предельных состояний в настоящее время разработан для кранов
различных назначений. В области дорожных машин и оборудования для
производства строительных материалов там где рабочие нагрузки носят
нестационарный характер и не могут быть регламентированы в основном
применяется метод допускаемых напряжений.
Основной смысл расчета сооружений по предельным состояниям
заключается в разделении единого коэффициента запаса как отмечалось выше
на три самостоятельных: коэффициент перегрузки коэффициент однородности и
коэффициент условий работы которые в разных условиях различны что
позволяет более гибко оперировать с ними. Разумеется что такое деление
коэффициента запаса возможно и в методах расчета по допускаемым
напряжениям. В самом деле если за предельное состояние принять например
наибольшее напряжение в одной точке сечения равное пределу упругости или
текучести то расчет по предельному состоянию по существу будет расчетом по
допускаемым напряжениям при повышенном допускаемом напряжении равном
расчетному сопротивлению.
Оценка жесткости конструкции по двум методам проводится путем
сопоставления наибольших перемещений от действительной или нормативной
нагрузки с перемещениями приемлемыми для эксплуатации конструкции по
Выносливость металлических конструкций.
При длительном действии переменных нагрузок элементы металлических
конструкций могут разрушаться при напряжениях меньших предела прочности или
предела текучести. Такое разрушение определяется явлением усталости
металла. Способность материала сопротивляться воздействию переменных
нагрузок называется выносливостью. Выносливость характеризуется «кривой
усталости металла» впервые полученной Веллером. Типовая зависимость кривой
усталости в полулогарифмических координатах представлена на рис.1. [pic]
N0 – базовое число циклов характеризует наибольшее число повторно-
переменных нагружений существенное превышение которого не приводит к
усталостному разрушению испытуемого образца при данном напряжении.
Опыт эксплуатации сварных металлических конструкций показал что в
некоторых случаях происходит преждевременное разрушение конструкций
носящее усталостный характер. Развитию усталостных повреждений содействуют
концентраторы напряжений возникающие в процессе изготовления металлических
конструкций например сварка резкие изменения сечений и т.п.
Расчет на выносливость металлических конструкций подъемно-транспортных
машин проводится по методике предложенный М.М. Гохбергом. Условие
выносливости имеет вид: [pic] где [pic] - предел выносливости элемента
принимаемый за опасное напряжение с эффективным коэффициентом концентрации
k при коэффициенте асимметрии цикла r; n – коэффициент запаса n = 13-15
для стали Ст.3. В качестве примера на рис.2 представлен характер
изменения допускаемого напряжения [pic] симметричного и пульсирующего
положительного циклов для стали Ст. 3.
Рис.2. : 1.- симметричный цикл; 2.- пульсирующий положительный цикл.
Очевидно существенное влияние как эффективного концентратора
напряжений к так и коэффициента асимметрии цикла r на величину
допускаемого напряжения при расчете на выносливость.
Следовательно при динамических нагрузках на конструкцию кроме расчета
на прочность необходимо проводить проверку на выносливость.
Классификация расчетных схем сооружений может быть проведена по
нескольким признакам.
По геометрическим признакам различают следующие типы сооружений:
) сооружения массивные у которых поперечные размеры по сравнению с
длиной достаточно велики; сооружения этой категории выполняют из материала
способного воспринимать преимущественно напряжения сжатия (камень бетон);
сюда относятся подпорные стенки плотины опоры мостов и т.п. .
) сооружения составленные из элементов толщина которых
относительно мала по сравнению с шириной и длиной например пластинки
оболочки; элементы этих сооружений выполняют из железобетона металла и
) сооружения составленные из элементов поперечные размеры которых
значительно меньше их длин — стержневые системы; их выполняют из
металла железобетона и дерева.
Стержневые системы подразделяют:
а) на пространственные системы в которых оси всех стержней не лежат
в одной плоскости (рис.3);
б) плоские системы в которых оси всех стержней а также силы
действующие на систему лежат в одной плоскости.
В действительности все сооружения представляют собой пространственные
системы однако в некоторых случаях взаимное расположение частей
сооружения и характер действующих на него сил позволяют расчленить
пространственную систему на ряд плоских что значительно упрощает расчет.
Металлический каркас склада у которого все три измерения — ширина
высота и длина — одного порядка относят к пространственным системам.
Однако при расчете можно расчленить каркас на плоские системы в которых
оси всех элементов лежат в одной плоскости: на основные фермы 1 и на
поперечные 2 опирающиеся на основные и поддерживающие настил.
В зависимости от типа соединений элементов различают:
) рамы - стержневые системы стержни которых во всех или в некоторых
узлах жестко связаны между собой и которые теряют геометрическую
неизменяемость если все узлы заменены шарнирными;
) фермы - стержневые системы остающиеся геометрически неизменяемыми
если в них все жесткие узлы заменены шарнирными;
) комбинированные системы например шпренгельные балки .
В зависимости от направления опорных реакций:
) безраспорные системы — балочные (рис. 4 а) консольные (рис. 4
б) или консольно-балочные (рис. 4 в) в которых вертикальная нагрузка
вызывает только вертикальные опорные реакции;
) распорные системы — арочные (рис.4г) и висячие (рис.4д) в
которых вертикальная нагрузка вызывает наклонные опорные реакции; отличие
арочных систем от висячих заключается в направлении горизонтальной
составляющей реакции (распора Н); в арочных системах распор направлен к
середине пролета в висячих наружу.
§4. Классификация опор.
Опора представляет собой пространственную конструкцию; однако в
плоских системах у которых оси всех элементов и действующие на систему
силы лежат в одной плоскости она может рассматриваться как часть плоской
Опоры плоских систем бывают четырех основных типов. Схемы их даны на
Первый тип. Цилиндрическая подвижная опора (рис.5а). В ее состав
входят: верхний балансир прикрепленный к системе нижний балансир
цилиндрический шарнир расположенный между обоими балансирами и катки
которые могут перемещаться по опорной плоскости. Такая опора допускает
поворот системы вокруг оси шарнира и поступательное перемещение на
незначительное расстояние. Опорная реакция имеет одну неизвестную R.
Второй тип. Цилиндрическая неподвижная опора (рис5б). Эта опора в
конструктивной схеме которой отсутствуют катки отличается от предыдущей
тем что в данном случае известна только точка приложения опорной реакции —
центр шарнира направление же опорной реакции неизвестно. В общем случае
опорная реакция имеет две неизвестные составляющие по осям R1 и R2
Третий тип. Защемляющая неподвижная опора (рис.5в). Такая опора
выполняется путем жесткой заделки конца стержня и не допускает ни
поступательного перемещения ни поворота системы. В данном случае
неизвестными являются не только величина и направление но и точка
приложения опорной реакции. В общем случае опорная реакция имеет две
неизвестные составляющие по осям R1 и R2 и момент М.
Четвертый тип. Защемляющая подвижная опора (рис.5г). В конструктивной
схеме конец стержня опирается на катки заложенные между стержнем и стеной.
Такая опора допускает поступательное перемещение и препятствует повороту
узла. В общем случае опорная реакция имеет одну неизвестную составляющую
по оси R1 и момент М.
Таким образом число стержней в стержневой схеме опоры всегда равно
числу неизвестных которые следует найти для определения опорной реакции.
Опоры пространственных систем бывают трех основных типов. Схемы их
Первый тип. Плоско-подвижная шаровая опора. Она допускает вращение
вокруг любой оси проходящей через центр шарового шарнира и поступательное
перемещение по опорной поверхности.
Второй тип. Линейно-подвижная опора. Она допускает вращение вокруг
любой оси проходящей через центр шарового шарнира и поступательное
перемещение на катках.
Третий тип. Неподвижная шаровая опора. Она допускает вращение вокруг
любой оси проходящей через центр шарового шарнира.
Для создания неподвижной геометрически неизменяемой пространственной
конструкции необходимо не менее шести опорных стержней расположенных таким
образом чтобы была обеспечена неизменяемость всего закрепления.
Величины усилий в шести опорных стержнях можно определить на основании
шести условий равновесия статики: [pic]
Для упрощения вычислений усилия в отдельных опорных стержнях
составляют уравнения моментов относительно осей пересекающих возможно
большее число остальных опорных стержней так как в этом случае моменты
усилий стержней пересекаемых осью или параллельных ей равны нулю.
Пример. Определить усилия в опорных стержнях геометрически
неизменяемой пространственной фермы приведенной на рис.7 при действии
Рассечем ферму поверхностью пересекающей все шесть опорных стержней.
Обозначим усилия в опорных стержнях через S1 S2 S3 S4 S5 S6
и при составлении уравнений равновесия условно примем что опорные стержни
Приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси x получим:
[pic] откуда [pic] Знак минус показывает что стержень 4 сжат. Приравняв
нулю сумму моментов всех сил относительно оси у найдем: [pic] откуда
[pic] Итак стержень 5 сжат. Приравняв нулю сумму проекций всех сил на ось
z получим: [pic]. Подставив значения для S4 и S5 найдем: [pic]. Итак
стержень 3 растянут. Приравняв сумму проекций всех сил на оси y и x и
сумму моментов относительно оси z нулю получим: [pic]
Расчетные схемы ряда конструкций могут быть представлены в виде
геометрически неизменяемой системы плоских тел расположенных в одной
плоскости соединенных между собой шарнирами (стержнями) и прикрепленных к
земле при помощи опорных устройств (опорных стержней). Эти шарниры и опоры
называют кинематическими связями или просто связями.
С позиций кинематического анализа конструкции могут быть
классифицированы по следующим признакам ( рис.8.).
При проектировании инженерных сооружений использование геометрически
изменяемых и мгновенно изменяемых конструкций недопустимо.
Геометрически неизменяемой называют такую систему соединенных между
собой тел (дисков) которая не допускает относительного перемещения ее
частей без их деформации.
Для понимания сущности кинематического анализа геометрически
неизменяемых систем предварительно рассмотрим отдельный ничем не связанный
плоский диск (рис.9б). Под диском будем понимать геометрически
неизменяемую конструкцию любой геометрической формы.
Положение такого диска при перемещении его в плоскости определяется
тремя параметрами. Например координатами х и у какой-либо точки А и углом
наклона α к оси абсцисс какой-либо прямой проходящей через эту же точку А.
(точка А и прямая принадлежат диску). Число независимых геометрических
параметров характеризующих положение диска определяет число степеней
свободы диска. Таким образом отдельный ничем не связанный плоский диск
обладает тремя степенями свободы.
Определим число степеней свободы системы приведенной на рис.9а.
Обозначим число дисков через Д число опорных стержней — через С0 и число
шарниров — через Ш. Если бы все диски были свободны то общее число
степеней свободы равнялось бы ЗД. Каждый опорный стержень уменьшает степень
свободы на 1 при С0 опорных стержней степень свободы уменьшается на С0.
Каждый шарнир уменьшает степень свободы на 2 при Ш шарнирах степень
свободы уменьшится на 2Ш. Итак общее число степеней свободы системы n =
Д – С0 - 2Ш. Система будет геометрически изменяема если n>0 или
Необходимое условие для геометрической неизменяемости системы т. е.
для системы соединенных между собой тел не допускающей относительного
перемещения ее частей без их деформации n ≤ 0: 3Д = С0 + 2Ш (1) –
конструкция геометрически неизменяемая и не имеет лишних связей. Такие
системы называют статически определимыми. Если 3Д С0 + 2Ш (2) -
конструкция геометрически неизменяемая и имеет лишние связи. Такие системы
называют статически неопределимыми. В рассматриваемом примере (рис.10а)
·2 - 4 - 2·1 = 0 - конструкция геометрически неизменяемая и статически
Эти условия необходимы но недостаточны для суждения о неизменяемости
системы. Следует еще рассмотреть расположение стержней т. е. проверить
геометрическую структуру системы. Таким образом с кинематической точки
) геометрически неизменяемые системы имеющие лишь необходимое число
кинематических связей (рис. 10аб);
) геометрически неизменяемые системы имеющие лишние связи (рис.10в)
На практике встречаются так называемые кратные шарниры соединяющие не
два а несколько отдельных дисков. Кратный шарнир приведенный на рис.10г
соединяет четыре диска его следует рассматривать как 4 – 1 = 3 простых
шарнира. Кратный шарнир приведенный на рис.10д надо рассматривать как два
простых шарнира; одиночные шарниры на рис.10еж. Шарнир на рис.10е
называют полным а на рис.10ж - неполным. В вышеуказанных формулах под Ш
понимается приведенное число шарниров т. е. эквивалентное число простых
шарниров. Если кратный шарнир соединяет m дисков то он эквивалентен m – 1
Число лишних связей определяется по формуле: Л = С0 + 2Ш - 3Д (3).
Формула (1)(2) (3) применимы для анализа статической неопределимости
шарнирно-стержневой системы при условии что ни в одном из дисков нет
Рассмотрим случай когда диск представляет стержневую систему в виде
фермы. Как отмечалось фермы - стержневые системы остающиеся геометрически
неизменяемыми если в них все жесткие узлы заменены шарнирными.
Шарнирное соединение в виде треугольника представляет собой
геометрически неизменяемую систему.
Геометрически неизменяемая система с числом стержней более трех может
быть образована следующим способом: к основному затемненному треугольнику
последовательно присоединяют узлы при помощи двух стержней оси которых не
лежат на одной прямой (последовательный порядок прикрепления стержней
указан на рисунке цифрами). Фермы образованные таким образом называют
простейшими (рис.11).
Системы полученные из шарнирного треугольника путем
последовательного присоединения узлов представлены на рис.12.
Установим зависимость между числом стержней и числом узлов
геометрически неизменяемой фермы исходя из способа образования простейшей
фермы. Для образования первых трех узлов необходимы три стержня. Обозначим
через У общее число узлов. Для образования остальных (У — 3) узлов
необходимо 2(У — 3) стержня. В результате получим общее число стержней: 3 +
(У — 3) = 2У — 3. Обозначая общее число стержней через С найдем
необходимое условие геометрической неизменяемости фермы: С = 2У — 3
(1). Эта зависимость является необходимым условием для получения
геометрически неизменяемой системы с наименьшим числом стержней. Вполне
понятно что могут быть фермы с большим числом стержней где С>2У —3. Тогда
число лишних связей определяется по формуле: Л=С – (2У-3).
В ферме (рис.12а) число узлов У = 10; 2У -3 = 17; число стержней С =
Следовательно ферма геометрически неизменяема при наименьшем числе
стержней. Геометрическую неизменяемость ферм (рис.12бвд) предлагается
поверить самостоятельно.
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство что условие
С = 2У-3 является необходимым но недостаточным. Так например на
рис.13а ферма имеет число узлов У=8; 2У-3 = 13; число стержней С =13.
Между тем она геометрически изменяема вследствие неправильного расположения
стержней. Ферма (рис.13б) имеет одну лишнюю связь но геометрически
изменяема (правые панели – шарнирные четырехугольники).
Поэтому при анализе геометрической неизменяемости нельзя ограничиться
лишь проверкой соблюдения условия (1) но следует наряду с этим рассмотреть
расположение стержней т. е. провести анализ геометрической структуры
системы. Так для проверки простейших ферм необходимо проследить
соблюдается ли указанный выше порядок последовательного присоединения
Для доказательства статической определимости ферм при соблюдении
условия (1) вырежем узлы фермы и заменим действие удаленных частей
внутренними усилиями направленными по осям стержней (рис.14).
Рассматривая равновесие каждого вырезанного узла под действием внешних и
внутренних сил можно для каждого узла написать два уравнения статики
((X =0; (Y=0) . При числе узлов У будем иметь 2У уравнений.
Из них необходимо 3 использовать для нахождения реакций опор
следовательно для определения внутренних усилий остается 2У-3 уравнений.
Итак число уравнений равно числу неизвестных усилий и следовательно
геометрически неизменяемая система при соблюдении условия С = 2У - 3
является статически определимой.
Фермы статически определимые можно поделить на две группы:
- фермы статически определимые относительно опорных реакций;
- фермы статически определимые относительно усилий в стержнях.
Необходимое условие геометрической неизменяемости и статической
определимости ферм в целом имеет вид: С+С0 -2У=0.
Статически неопределимые системы
Статически неопределимой стержневой системой называют такую систему у
которой при действии любой произвольной нагрузки не все продольные силы
поперечные силы и моменты могут быть найдены из уравнений равновесия
твердого тела или системы твердых тел (уравнений статики). В статически
неопределимых системах имеются так называемые лишние связи которые можно
удалить не нарушая геометрической неизменяемости системы. Наличие таких
связей в геометрически неизменяемой системе является необходимым и
достаточным признаком ее статической неопределимости.
Применение лишних (избыточных) связей дает иногда возможность
проектировать сооружения более экономично (как например неразрезные
балки) что является положительным свойством статически неопределимых
Недостатком статически неопределимых систем является их
чувствительность к осадкам опор к температурным воздействиям и к
неточности изготовления отдельных элементов системы.
Различают связи условно необходимые и безусловно (абсолютно)
необходимые (рис.15 а). Любой из стержней левой панели т. е. АВ ВС CF
FA АС и BF является условно необходимым так как может быть удален при
сохранении других стержней. В то время как стержни СЕ EF а также любой из
трех опорных стержней является абсолютно необходимым так как удаление его
превращает систему в геометрически изменяемую.
Количество лишних связей и соответственно лишних неизвестных
определяет степень статической неопределимости. При наличии одного лишнего
неизвестного система один раз статически неопределима при двух лишних
неизвестных— два раза статически неопределима и т. д.
Дополнительные недостающие уравнения для определения лишних
неизвестных составляются на основании рассмотрения деформаций системы и
будут рассмотрены далее.
Статически неопределимые стержневые системы (фермы рамы и т.п.) можно
поделить на три группы:
- статически неопределимые относительно опорных реакций;
- статически неопределимые относительно усилий в стержнях;
- комбинированные - статически неопределимые относительно опорных
реакций и усилий в стержнях.
Общее число лишних неизвестных Л комбинированных статически
неопределимые ферм с учетом условий статической неопределимости фермы как
отдельного диска рассчитывается по формуле: Л=С+С0 -2У.
В рамных системах можно установить степень статической неопределимости
на основании следующих соображений. Если в замкнутом бесшарнирном контуре
проведем сквозное сечение 1-1(рис.15б) то перерезаем два элемента.
Действие удаленных связей в каждом элементе должно быть заменено тремя
неизвестными усилиями (поперечной и продольной силами изгибающим
моментом). Таким образом получим шесть неизвестных для определения
которых имеются три уравнения статики. Следовательно в каждом замкнутом
контуре имеются 3 лишние связи.
Если в раме имеется К замкнутых бесшарнирных контуров то число лишних
неизвестных Л=3К. В тех случаях когда в контуре имеются шарниры число
лишних неизвестных определяется следующим образом. Как известно каждый
простой шарнир уменьшает количество связей на единицу. Следовательно при
наличии в замкнутом контуре Ш простых шарниров число лишних неизвестных
равно Л=ЗК — Ш. В тех случаях когда шарниры кратные то под Ш понимается
приведенное число шарниров.
Общее число лишних неизвестных с учетом опорных реакций определяется
по формуле: Л=ЗК — Ш+ (Со-3).
Поясним применение этих формул примерами рам приведенных на
рис.15вг. В раме на рис.15в замкнутых контуров 2 число шарниров 0
число опорных стержней 8. Следовательно после подстановки имеем Л=11. В
раме на рис.15г также замкнутых контуров 2 имеются 2 простых
промежуточных шарнира число опорных стержней 6. Следовательно Л=7.
Мгновенно изменяемые системы
При кинематическом анализе системы следует иметь в виду что система
может оказаться мгновенно изменяемой даже при наличии достаточного числа
связей и при геометрической структуре обеспечивающей в общем случае ее
неизменяемость. На рис.16в и рис.17 представлены системы в которых
имеется возможность бесконечно малого перемещения без изменения формы
(длины) ее элементов. Эти системы мгновенно изменяемы так как соединение
двух стержней оси которых лежат на одной прямой недопустимо.
Аналогичное явление имеет место и при присоединении диска к массиву
тремя опорными стержнями пересекающимися при продолжении в одной точке О
(рис.17 а). Точка О в данном случае будет мгновенным центром вокруг
которого система может совершить бесконечно малое перемещение. Такие
системы называют мгновенно изменяемыми. Вполне понятно что и диск
опирающийся на три параллельных стержня следует отнести к мгновенно
изменяемым системам поскольку параллельные линии пересекаются в бесконечно
Усилия возникающие в элементах мгновенно изменяемых систем
теоретически могут оказаться неопределенными или равными бесконечности.
На рис.16б дан пример геометрически неизменяемой системы.
Допустим что в системе на которую действует сила Р опорный стержень
S не проходит через точку О — точку пересечения двух других опорных
стержней. Определим усилие S в опорном стержне.
Так как система находится в равновесии то сумма моментов всех сил
относительно точки О: M = P·r – S ·d = 0 где r d - длины
перпендикуляров опущенных из точки О на направление силы Р и S .
Моменты усилий в двух других опорных стержнях относительно точки О
равны нулю. Из составленного уравнения получим: S=P·rd.
На основании изложенного следует что применение мгновенно изменяемых
систем при проектировании инженерных сооружений недопустимо. Необходимо
избегать не только мгновенно изменяемых систем но и систем близких к ним
поскольку усилия в стержнях таких систем могут достигать значительной
Статически определимые балки разделяются на простые балки (рис.1а)
консольные балки (рис.1бвг) многопролетные шарнирные балки (рис.1д)
составленные из простых и консольных балок соединенных шарнирами.
Сопротивление материалов рассматривает балки при действии на них
неподвижных нагрузок. В курсе строительной механики рассматриваются как
простые балки так и многопролетные шарнирные статически определимые либо
статически неопределимые балки при действии на них подвижных и
неподвижных нагрузок.
При расчете мостов кранов подкрановых балок эстакад и ряда других
инженерных сооружений приходится иметь дело с подвижной нагрузкой
например железнодорожный поезд вагоны трамвая автомобили крановые
тележки и т. п. Нагрузки эти представляют собой системы сосредоточенных
грузов расположенных на определенном расстоянии друг от друга. В некоторых
случаях они могут быть представлены и сплошной нагрузкой.
При расчете на подвижную нагрузку необходимо решать следующие задачи:
) определять опорные реакции поперечные и продольные силы
изгибающие моменты в конструкциях при заданном (стационарном) расположении
) Выбирать наиболее невыгодное расположение нагрузки т. е. такое
ее расположение при котором искомые величины достигают наибольшего
Такие задачи решают при помощи линий влияния.
Линией влияния называют диаграмму изображающую зависимость искомой
величины (силы момента напряжения перемещения и т. п.) от положения
единичного груза (груза равного единице) на сооружении (конструкции).
Линии влияния усилий в простой балке
Опорные реакции. Рассмотрим как изменятся величины опорных реакций
при движении единичного груза по балке. Расположим груз Р = 1 на расстоянии
х от левой опоры (рис.2 а).
Для определения реакции А составим уравнение моментов всех сил
относительно правой опоры В: [pic] [pic]. При движении груза по балке
реакция А изменяется по линейному закону. Строим прямую по двум точкам:
при х=0 А=1; при x=l A=0 . Эта прямая будет линией влияния реакции
Ординаты линии влияния реакции выражаются отвлеченными числами; при
умножении этих ординат на величину нагрузки например в ньютонах получим
значение реакции в [Н].
Линию влияния опорной реакции В предлагается построить самостоятельно.
Поперечная сила. Построим линию влияния поперечной силы в сечении C
балки. Как известно поперечной силой Q называют алгебраическую сумму
проекций всех сил расположенных по одну сторону от сечения.
Рассмотрим сумму сил расположенных левее сечения. Предположим что
поперечная сила положительна если она направлена вверх и откладываем ее в
этом случае при построении линии влияния вверх. Отрицательные же значения
При расположении единичного груза справа от сечения С (рис.2 а)
левые силы представляют собой одну опорную реакцию А. Следовательно
[pic] [pic]. Будем считать ее положительной. Таким образом линией влияния
поперечной силы Q при перемещении груза справа от С на протяжении СВ будет
соответствующая часть линии влияния опорной реакции А на отрезке СВ –
правая ветвь линии влияния. При движении груза слева от сечения С
поперечную силу определяем как сумму сил справа которая сводится лишь к
одной реакции В. Следовательно. [pic] [pic] (поперечная сила имеет
отрицательное значение в силу закона парности сил). Отрезок линии влияния
опорной реакции В на участке АС является линией влияния поперечной силы в
левой части балки т. е. левой ветвью линии влияния. Итак линией влияния
поперечной силы Q в сечении С простой балки является ломаная линия.
Размерность ординат линии влияния поперечной силы та же что и ординат
линий влияния опорных реакций т. е. ординаты выражаются отвлеченными
Изгибающий момент. Построим линию влияния изгибающего момента в
сечении С. При этом положительные значения изгибающего момента будем
располагать от растянутого волокна балки.
Когда единичный груз движется в правой части балки то в левой
действует лишь одна сила - опорная реакция А. Изгибающий момент [pic]
[pic] (1). Следовательно ординаты линии влияния изгибающего момента при
перемещении груза справа от С на протяжении ВС можно получить из линии
влияния реакции опоры А умножая ее ординаты на [pic]. Отрезок на
протяжении СВ представляет собой правую ветвь линии влияния изгибающего
При движении груза слева от С рассмотрим правую часть балки где
действует опорная реакция В. Изгибающий момент [pic] [pic] (2).
Следовательно ординаты линии влияния изгибающего момента в левой части
можно получить умножая ординаты линии влияния опорной реакции В на [pic].
Отрезок на протяжении АС представляет собой правую ветвь линии влияния
изгибающего момента. Ломаная линия будет линией влияния изгибающего
момента в сечении С.
Нетрудно доказать путем подстановки в уравнения (1) и (2) x=l1 что
правая и левая линии влияния искомого момента пересекутся в моментной точке
Ординаты линии влияния изгибающего момента выражаются в единицах
длины например в метрах. При умножении этих ординат на величину нагрузки в
ньютонах получим моменты в [Нм].
Очертание линии влияния изгибающих моментов имеет некоторое сходство с
эпюрой изгибающих моментов. Однако между ними имеется принципиальная
разница. Эпюра моментов дает возможность находить изгибающие моменты в
любом сечении при заданной неподвижной нагрузке. Линии же влияния
изгибающего момента дают возможность найти изгибающие моменты в
определенном сечении при всевозможных положениях подвижной нагрузки.
На рис.2б представлены линии влияния для консольной балки. При
построении линий влияния поперечной силы и изгибающего момента в отличии от
простой двух опорной балки необходимо рассматривать ту часть балки в
которой располагается груз. Линии влияния консольной балки предлагается
построить самостоятельно.
Определение усилий по линиям влияния.
На рис. 3а представлена например линия влияния изгибающего
момента простой балки в сечении с. Требуется определить величину
изгибающего момента при заданной системе сосредоточенных грузов P1 Р2
Ордината линии влияния y1 расположенная под грузом Р1 равна величине
момента который возникает при действии единичного груза Р=1.
Следовательно при действии груза Р1 момент будет равен Р1·y1. Аналогично
при действии груза Р2 момент равен Р2·y2 и т.д. На основании принципа
независимости действия сил момент при действии всех заданных грузов равен:
Определим момент вызываемый равномерной нагрузкой. Пусть на некоторую
часть сооружения действует равномерная нагрузка интенсивностью q нм
(рис.3б). Бесконечно малую часть нагрузки на длине dx можно рассматривать
как сосредоточенную силу равную qdx. Момент вызываемый элементарной
сосредоточенной силой равен уqdx .
Рассматривая всю равномерно распределенную нагрузку как сумму
элементарных сосредоточенных сил получим момент от ее действия [pic]
Интеграл [pic] - площадь ограниченная линией влияния в пределах
загруженного участка.
Линии влияния при узловой передачи нагрузки.
Рассмотрим случай когда нагрузка передается на балку не
непосредственно а при помощи поперечных балок (рис.4). Допустим что груз
Р = 1 располагается между узлами 2 и 3 на расстоянии х от узла 2. Тогда
составляющая груза (опорная реакция) в узле 2 равна [pic] а составляющая
Пусть кривая изображенная на рис. 4а есть линия влияния при
непосредственной передаче нагрузки на балку. Если обозначить ординату линии
влияния под узлом 2 через y2 а под узлом 3 - у3 то усилие вызываемое
грузом Р=1 равно [pic] в соответствии с вышеизложенным (определение
усилий по линиям влияния - имеем две силы приложенные в узлах 2 и 3).
Полученное выражение для усилия S представляет собой уравнение прямой
соединяющей концы ординат y2 и у3.
Следовательно для построения линии влияния при узловой передаче
нагрузки необходимо на линию влияния построенную для непосредственной
нагрузки спроектировать узлы поперечных балок и соединить полученные точки
В качестве примера построены линии влияния поперечной силы и
изгибающего момента при узловой нагрузке в сечении с (рис.4б) .
Линии изображенные пунктиром представляют собой линию влияния
поперечной силы и момента при непосредственной нагрузке. Проектируя узлы 2
и 3 на соответствующие ветви линий влияния и соединяя точки d и k получим
линии влияния при узловой нагрузки.
Кинематический метод построения линий влияния.
Кинематический метод построения линий влияния основан на принципе
возможных перемещений. Всякая неизменяемая и неподвижная статически
определимая плоская система (балка ферма и т. п.) представляет собой
систему с минимально необходимым числом связей. Это значит что если
удалить одну связь то получится система с одной степенью свободы или
механизм. Перемещения всех точек такой системы будут определяться
возможными перемещениями одной какой-либо ее точки.
Усилие для которого строится линия влияния (опорная реакция
поперечная сила изгибающий момент и т. п.) обычно представляет собой
усилие в одной из связей системы. Удалив эту связь и заменив ее влияние
искомым усилием получим механизм на который действуют искомое усилие Х и
Применение принципа возможных перемещений поясним на примере
построения линии влияния какого-либо усилия возникающего в простой балке
при движении груза Р=1.
Линия влияния опорной реакции. Для построения линии влияния опорной
реакции А удалим опорный стержень в котором возникает искомая реакция и
повернем балку на произвольный бесконечно малый угол около точки В.
Ординаты у возможных бесконечно малых перемещений будут представлять в
некотором масштабе ординаты линии влияния реакции опоры. Так как опорная
реакция А при положении груза над опорой равна единице то масштаб
определяют исходя из условия чтобы ( =1. Отложив под опорой А ординату
равную 1 получим линию влияния реакции опоры А (рис.5.а).
Поперечная сила (рис.5б). Разрежем балку в исследуемом сечении С и
представим что разрезанные части балки соединены двумя параллельными
бесконечно малыми стерженьками допускающими относительный сдвиг разрезанных
частей относительно друг друга. Таким образом превратили балку в механизм.
Левая часть балки повернется вокруг шарнира А а правая часть вокруг
шарнира В причем обе части балки повернутся на один и тот же угол. Для
уравновешивания силы Р=1 в месте разреза приложим равные и противоположно
направленные поперечные силы Q. Ординаты эпюры возможных перемещений будут
определять в некотором масштабе ординаты линии влияния поперечной силы в
сечении С. установим из условия чтобы ордината y давала
непосредственно величину Q=1 .
Изгибающий момент (рис.5в). Разрежем балку в исследуемом сечении С и
поставим в этом сечении шарнир. Таким образом балку превратили в механизм.
Для уравновешивания силы Р=1 в шарнире С приложим два равных и
противоположно направленных момента М. Итак ординаты возможных перемещений
у будут определять в некотором масштабе ординаты линии влияния изгибающего
момента М в сечении С . Для того чтобы ордината у непосредственно давала
величину М необходимо чтобы отрезок под опорой А равнялся расстоянию от
точки С до опоры А т.е. а под опорой В равнялся расстоянию от точки С
Ценность кинематического метода заключается в том что пользуясь им
можно легко и быстро строить линии влияния различных систем. Особенно
существенно то обстоятельство что при этом можно не прибегая к каким-либо
сложным построениям ясно представить очертание искомой линии влияния.
Замена нескольких сосредоточенных грузов их равнодействующей
Если линия влияния есть отрезок прямой (рис.6) то искомое усилие
[pic]может быть определено умножением равнодействующей R сосредоточенных
грузов на ординату у0 линии влияния расположенную под точкой приложения
равнодействующей т. е [pic] где[pic] . Таким образом [pic]
Определение невыгоднейшего загружения линии влияния.
Система связанных друг с другом сосредоточенных грузов. Ограничимся
рассмотрением треугольной линии влияния. Предположим что ни один из грузов
не находится над вершиной треугольника (рис.7а).
Искомое усилие S будет равно:[pic] где Рiл Рinp -соответственно
грузы находящиеся слева либо справа от вершины; yiл yinp - ординаты
левого либо правого участка линии влияния.
Возьмем производную от усилий S по абсциссе х:
[pic] (1). Очевидно что для всех точек левого участка линии влияния [pic]
а для всех точек правого участка [pic]. Если[pic] то при дальнейшем
движении системы грузов (слева направо поскольку ось х считается
направленной вправо) искомое усилие возрастает и следовательно опасное
положение нагрузки еще не достигнуто. Если [pic] то при дальнейшее
движении системы грузов искомое усилие будет убывать и следовательно
опасное положение нагрузки уже пройдено. Таким образом при переходе
системы грузов через опасное положение знак производной изменяется на
обратный. Так как в полученном для производной выражении (1) оба члена
постоянны то знак производной может измениться на обратный лишь в том
случае если один из грузов перейдет из одного участка в другой для
чего он должен предварительно оказаться над вершиной линии влияния.
Отсюда вывод: опасное положение системы грузов может иметь место
тогда когда один из грузов системы находится над вершиной линии влияния.
Этот груз называют критическим грузом.
Обозначив сумму левых грузов без включения критического груза через
Rл а сумму правых грузов также без критического груза через Rпр (рис.7б)
можно написать: [pic] (2). Если подставим [pic] (3)
где yкр — ордината линии влияния под вершиной то после подстановки
Полученные неравенства являются условием для определения критического
груза. Вполне понятно что это правило применимо лишь при том условии если
при расположении критического груза над вершиной линии влияния все грузы
составляющие сумму [pic] находятся на сооружении т. е. ни один из них
не сходит с него. В противном случае необходимо провести проверку снова
принимая во внимание лишь те грузы которые находятся на сооружении.
Критический груз можно определить графическим путем при помощи
следующего построения (рис.7в). В конце балки А проводим перпендикуляр к
ее оси и в определенном масштабе откладываем все грузы в том порядке в
каком они расположены от опоры А к опоре В. Конец последней силы (точку D)
соединим с концом балки В. Затем из точки С соответствующей вершине линии
влияния проводим линию параллельную BD. Эта линия пересечет тот груз
который должен быть установлен над вершиной линии влияния т. е.
Сплошная распределенная нагрузка. Ограничиваемся рассмотрением линии
влияния треугольной формы (рис.7г). Заменим распределенную нагрузку слева
и справа от сечения сосредоточенными грузами. Критическим грузом будет
элементарный груз qdx расположенный над сечением. Подставим qdx в
неравенства (4) получим: [pic]. Пренебрегая бесконечно малой величиной
qdx получим вместо двух неравенств одно уравнение: [pic] Это положение
можно формулировать следующим образом: опасным положением нагрузки будет
то при котором средние погонные нагрузки на левом и правом участках балки
Многопролетные шарнирные статически определимые балки.
В качестве примера рассмотрим балку представленную на рис.8.
В шарнирных балках концы одних балок являются опорами для других. Так
например балки АВ и СЕ представляют собой основные балки по отношению к
балкам ВС и ЕF . На рис.8б представлена расчлененная на части балка.
Геометрическая неизменяемость и статическая определимость шарнирных
балок устанавливается по общим правилам: Соп – 3 = Ш где Соп Ш –
соответственно число опорных стержней и число шарниров. Если Соп ( Ш + 3 –
система статически неопределима.
Деление балок на основные и дополнительные имеет смысл для расчета
шарнирных балок который часто удобно проводить в порядке обратном порядку
образования (строительства) системы. Кроме того оно позволяет наиболее
образно представить работу системы в целом имея в виду что нагрузка
расположенная на основных балках не будет вызывать внутренних сил в
дополнительных балках. В тоже время нагрузка расположенная на
дополнительных балках вызывает внутренние силы во всех основных по
отношению к ней балках. Исключение из шарнирной балки только дополнительных
балок оставляет систему геометрически неизменяемой а исключение основной
балки обращает систему в изменяемую.
Построение линий влияния шарнирных балок основано на четком делении их
на основные и дополнительные. Каждая из рассматриваемых балок в отдельности
при действии вертикальной нагрузки является простой либо консольной
геометрически неизменяемой и статически определимой. Следовательно
построение линий влияния искомых усилий для дополнительных балок ни чем не
отличается от изложенного выше.
При построении же линий влияния основных балок необходимо рассмотреть
ее совместно с дополнительными балками для которых она является основной.
Сначала рассматривают движение груза по основной балке для которой линии
влияния строятся по известным правилам. Далее располагают груз Р=1 на
соседнюю дополнительную балку (слева либо справа от основной - в сторону
перемещения груза) которая опирается посредством шарнира на основную и на
нее воздействует. Когда груз располагается над шарниром (первая опора по
движению груза) ордината линии влияния искомого усилия равна ранее
полученной ординате линии влияния основной балки. При расположении груза
над второй опорой ордината линии влияния равна нулю. В качестве примера
приведены линии влияния искомых усилий в балке представленной на рис.9.
Строить линии влияния многоопорных шарнирных балок целесообразно с
использованием кинематического метода описанного выше. Рассмотрим
построение линии влияния опорной реакции Rc . Удалим опору С основной
балки. При удалении опоры С шарнирная балка превращается в геометрически
изменеямую систему – рычажный механизм. Рассмотрим возмозный бесконечно
малый поворот основной балки относительно опоры Д. Дополнительные балки
при этом также повернутся относительно своих неподвижных опор и приобретут
положение указанное на рис.9. Ломаная линия отображающая положение оси
балки при возможном бесконечно малом перемещении опоры С и есть линия
влияния опорной реакции Rc. Очевидно на основании метода построения линии
влияния опорной реакции простой балки ордината линии влияния под опорой С
равна единице. Остальные ординаты линии влияния в характерных точках
определяются в соответствии с линейными размерами шарнирной балки
известными из геометрии методами.
Линии влияния поперечной силы Qk и момента Mk в сечении «к»
предлагается построить самостоятельно.
При известной стационарной нагрузке по линиям влияния можно
определить выше представленными методами величины искомых усилий а также
невыгоднейшее загружение системой подвижных связанных грузов.
Основы конструирования и прочностного расчета.
С позиций геометрии сечения балок простой называют балку состоящую
только из одного прокатного профиля в виде двутавра или швеллера. Составной
называют балку состоящую из нескольких прокатных или гнутых профилей.
Наибольшее распространение имеют сварные балки. Некоторые типы сечений
балок представлены на рис.10
Составные балки применяются двутаврового двухстенчатого замкнутого
сечения и др.. Двухстенчатые балки применяются когда необходимо создать
достаточную жесткость в горизонтальном направлении. Удовлетворяя
требованиям прочности жесткости и устойчивости балка должна обладать
Основные усилия для подбора сечения балки: расчетный изгибающий момент
Мmax от постоянной и подвижной нагрузок и расчетная поперечная сила Qmax от
Предварительный подбор сечения сварных главных балок мостовых и
козловых кранов состоит в определении необходимого момента сопротивления и
выборе толщины стенки и площади сечения поясов. Эти данные определяются по
Искомая Формулы для подбора элементов сечения
величина балок по методу допускаемых напряжений
S — статический момент полусечения относительно горизонтальной
оси х — х (рис. а) определяется по формуле: [pic]где [pic] —
площадь сечения пояса; [pic] — площадь сечения половины вертикальной
[pic] — то же от центра тяжести половины вертикального листа до оси х —
J — момент инерции сечения (без ослабления); h — геометрическая высота
балки (расстояние между центрами тяжести поясов).
Коэффициент 09 учитывает часть общего момента воспринимаемого
только поясами. Остальная часть 01 Мmax воспринимается
вертикальной стенкой.
Высота сечения балки определяется нормами вертикальной жесткости (т. е.
прогибом) и требованием возможно меньшего веса.
При отсутствии требования жесткости высота балки может определяться по
эмпирической формуле: [pic] [см]. При заданном условии жесткости [pic]
необходимая высота балки может быть определена по формуле: [pic] где l -
f - допускаемый прогиб принимаемый по соответствующим нормам
технических условий проектирования металлоконструкций.
Типовое двутавровое сечение сварных балок состоит из трех листов:
одного вертикального и двух горизонтальных поясных (рис.1а). Для
предварительного подбора сечения вертикальной стенки принимают ее высоту
hcm равной высоте балки т. е. hcm = h6. Толщина вертикальной стенки
подбирается из условия прочности и местной устойчивости. Наименьшая толщина
стенки [pic]min принимается по формуле табл.№ 1. Под местной устойчивостью
подразумевается такое состояние части конструкции или отдельного элемента
при котором эта часть конструкции или элемента устойчиво сохраняет свою
прямолинейную форму упругого равновесия при действии эксплуатационной
нагрузки. Толщина стенок принимается в пределах 6—18 мм в зависимости
от величины расчетных силовых факторов и высоты стенки.
Ширина b поясных листов принимается:
для двутавров [p для двухстенчатых балок [pic]
Исходя из условия местной устойчивости толщину [pic] поясного листа
двутавровых балок принимают[pic] где b — полная ширина пояса.
В целях получения необходимого момента сопротивления сечения балки
толщину поясных листов принимают больше толщины стенки. В общем весе балки
вес вертикальных листов составляет (40—50%) в то время как на значительной
высоте этих листов напряжения используются незначительно. Поэтому выгоднее
толщину вертикальных листов принимать возможно меньшую и обычно таковую
лимитирует местная устойчивость а горизонтальные листы воспринимающие
большую часть изгибающего момента следует принимать более мощными.
Приведенные выше формулы для подбора сечений элементов балки
ориентируют конструктора в выборе основных размеров. Окончательные размеры
устанавливаются после нескольких пробных попыток расчета. Проверочные
формулы прочности сечений приведены в табл.№2. В формулы подставляются
окончательно принятые характеристики сечения Wpa6 Jx[pic]. Необходимо
проверить прогиб конструкции по известным формулам или способами
строительной механики.
Вид напряжения Формулы прочности сечений балок по методу
допускаемых напряжений
Касательное (срез) [pic]
Сопряжение пояса со стенкой. При деформации (прогибе) балки пояса
стремятся сдвинуться относительно вертикальной стенки. Поясные швы большей
частью принимаются непрерывными (рис.10б) и реже прерывистыми. При
действии переменной и динамической нагрузок необходимая прочность в большей
мере обеспечивается непрерывными швами. Рекомендуется применять тонкие
непрерывные швы с катетом не превышающим толщины вертикальной стенки.
Поясные швы работают на скалывание. Напряжение в шве определяются по
формуле: [p Sn — статический момент пояса
относительно общей оси х—х (рис.1а); J — момент инерции всего сечения
относительно оси х — х . Sn =F1 h1
Стыки сварных балок. По условиям проката профили (двутавры швеллера
листы и т.п.) имеют ограниченные длины что вызывает необходимость
устраивать стыки элементов составляющих балки. Кроме того стыки необходимо
устраивать для возможности транспортировки конструкций и их монтажа.
Соединение элементов (листов) балок следует производить в стык
избегая по возможности накладок. Наклонный под углом 45° (равнопрочный)
стык (рис.10б) вертикальной стенки устраивается при небольшой высоте
балок. Прямой стык стенки (рис.10б) применяется в сечении с небольшими
напряжениями в стенке. В обоих указанных случаях расчет стыка не
производится. Если стык стенки произведен сваркой автоматической или
полуавтоматической то возможно стык разместить в наиболее напряженном
сечении с наибольшим изгибающим моментом. Стыки поясов и стенок следует
располагать со смещением относительно друг друга.
Устойчивость балок. Различают общую и местную устойчивость. На рис.11
представлена двухопорная двутавровая балка несущая нагрузку приложенную к
верхнему поясу. Опорное сечение балки закреплено только от поворота. При
некоторых значениях сжимающих напряжений в верхнем поясе балка искривляется
в плане. Это явление называют потерей общей устойчивости балки. Нагрузка
при которой теряется общая устойчивость балки называется критической.
Величина критического изгибающего момента Мкрит для простой
двухопорной балки определяется по формуле С.П. Тимошенко: [pic] где m –
коэффициент зависящий от вида нагрузки; ВС – соответственно жесткости
балки на изгиб и кручение.
Очевидно что устойчивость балки во многом определяется ее жесткостью
на кручение. Проверка общей устойчивости балок производится по формуле:
[pic] где (б – коэффициент понижения допускаемых напряжений.
Рекомендуемые значения коэффициента (б представлены в [1]. Для
обеспечения общей устойчивости в плоскости сжатого пояса балок располагают
связи в виде фермы или сплошного настила (рис.11). Рекомендуемые значения
отношения l0 b ( 25 для прокатных и сварных балок
Рассматривая местную устойчивость стенки балки можно отметить что она
находится под воздействием различных по длине напряжений. Так на участках
примыкающим к опорам стенка воспринимает главным образом поперечные силы.
В середине – максимальный изгибающий момент. На расстоянии четверти пролета
одновременно действуют поперчная сила и изгибающий момент. В результате
действия нагрузки может произойти потеря местной устойчивости стенки
(выпучивание стенки). При этом потеря местной устойчивости может произойти
раньше чем балка потеряет общую устойчивость.
Состояние устойчивой прямолинейной формы упругого равновесия
обеспечивается установкой продольных и поперечных ребер жесткости по длине
Поперечные ребра жесткости устанавливаются для конструкций из стали
Ст.3 при условии 80( hст (ст( 160; продольные - hст (ст ( 160. Проверка
местной устойчивости стенки и сжатого пояса балки производится по формулам
При расчете балок работающих на поперечный изгиб нормальное
напряжение определяют: [pic]. Из этой формулы следует что напряжение
пропорционально изгибающему моменту М т. е. изменяется по длине балки и
пропорционально у — расстоянию от исследуемого волокна до нейтрального
слоя т. е. изменяется по высоте балки.
Таким образом при изгибе балки не во всех волокнах и не во всех
поперечных сечениях могут одновременно возникнуть принятые при расчете
предельные допускаемые напряжения и следовательно значительная часть
материала изгибаемой балки используется слабо.
Иная картина наблюдается в стержнях ферм растягиваемых или сжимаемых
постоянной осевой силой. Напряжение в этом случае определяют:
[pic] т. е. напряжения во всех волокнах и во всех поперечных сечениях
стержня равны и могут одновременно достигнуть предельных значений.
Очевидно что в целях максимального использования материала при
проектировании сооружений рационально выбирать такие системы в которых
стержни подвергаются действию лишь осевых сил вызывающих растяжение или
Для образования конструкций в которых изгиб полностью уничтожен
необходимо соблюдение следующих условий:
) соединение концов отдельных стержней должно быть
шарнирным допускающим свободное вращение (без трения) каждого
стержня относительно центра шарнира; оси стержней должны проходить через
центр шарнира совпадающего с центром узла;
) внешние силы должны быть приложены только в узлах; при
наличии же нагрузок расположенных между узлами в стержнях будут
возникать не только продольные но и поперечные силы и изгибающие моменты;
) стержни должны быть прямолинейны в противном случае в них
возникают изгибающие моменты.
Фермы классифицируют по нескольким признакам.
По направлению опорных реакций. Фермы подразделяют на безраспорные —
балочные (рис.1 а) консольные (рис.1б) консольно-балочные (рис.1в);
распорные— арочные (рис.1г) или висячие (рис.1 д).
Кроме указанных основных типов существуют комбинированные системы
например сочетание висячей системы с арочной арочной с балочной и др.
По очертанию поясов фермы. Стержни расположенные по внешнему контуру
фермы образуют пояса: верхний и нижний. Пояса фермы могут быть
прямолинейного или ломаного очертания. В зависимости от этого различают
фермы с параллельными поясами (рис.2а) с полигональными поясами
(рис.2бв) треугольными (рис.2г)
Если узлы фермы расположены по кривой то пояса фермы называют
криволинейными. В частных случаях когда узлы расположены по параболе
пояса называют параболическими; при расположении по окружности—круговыми и
т. п. Кроме ферм с криволинейным верхним поясом встречаются фермы в
которых и верхний и нижний пояса имеют криволинейное очертание.
В фермах с криволинейными поясами элементы поясов прямолинейны и их
оси представляют собой хорды кривой очертания пояса.
По системе решетки. Решеткой называют совокупность стержней
расположенных между поясами.
Системы решеток могут быть простые и сложные. В простых системах
различают два основных типа решетки — простую раскосную (рис.3а) и простую
треугольную (рис.3б). Применяются также фермы треугольной решетки с
дополнительными стойками (рис.3в) полураскосную (рис.3г) и др. .
Кроме перечисленных типов решеток существуют еще так называемые
составные решетки они состоят из простой основной решетки и
вспомогательных которые предназначены для замены больших панелей поясов
несколькими меньшими. Пример фермы с составной решеткой приведен на
рис.3д. Основная решетка — раскосной системы а вспомогательная образована
из небольших треугольных ферм называемых шпренгелями. Система решетки
включающая в свой состав шпренгели называется шпренгельной. В тяжелых
фермах шпренгели очень часто применяются с большой выгодой в целях
разделения панелей сокращения свободной длины сжатых элементов пояса и
уменьшения опасности выпучивания их в плоскости фермы от продольного
Шпренгели как и дополнительные стойки (рис.3в) в треугольной
решетке работают только на местную нагрузку т. е. на нагрузку
действующую только в пределах той панели в которой находится шпренгель или
дополнительная стойка.
Аналитическое определение усилий в стержнях.
Нулевые стержни. При расчете ферм встречаются случаи когда в
некоторых стержнях при заданной нагрузке не возникает усилий; будем
называть эти стержни нулевыми. Наличие нулевых стержней даст возможность
упростить решение задач по определению усилий в фермах. Рассмотрим
В ненагруженном двухстержневом узле оба стержня являются нулевыми
(рис.4а). В самом деле если в этих стержнях возникнут усилия то
равнодействующая этих усилий ничем не уравновесится и узел не сможет
находиться в равновесии.
В ненагруженном трехстержневом узле в котором оси двух стержней
расположены по одной прямой (рис.4б) третий стержень так называемый
одиночный — нулевой.
Если в двухстержневом узле нагрузка действует по направлению
одного из стержней (рис.4в) то другой стержень нулевой.
Пользуясь этими положениями можно в некоторых случаях значительно
упростить определение усилий.
Определение усилий способом вырезания узлов . Вырежем последовательно
узлы фермы (рис.5а) начиная с узла 1 в котором сходятся два стержня.
Действие удаленной части заменим усилиями S1 и S2 направленными по осям
стержней. Рассматривая равновесие вырезанного узла составим два уравнения
равновесия приравнивая нулю сумму проекций всех сил на две произвольные
Направление искомых усилий принимаем (условно) от узла
(рис.5б) и считаем что стержни растянуты. Если после решения уравнений
искомое усилие получится се знаком минус то стержень сжат.
Для получения уравнений в которые входит лишь по одному из
неизвестных усилий следует выбирать оси таким образом чтобы проекции на
них другого неизвестного усилия были равны нулю. Выбрав например одну из
осей перпендикулярно усилию S2 (рис.5 б) и приравняв сумму проекций всех
сил на эту ось нулю получим: [pic]. Знак минус указывает на то что
направление усилия S1 было намечено неправильно т. е. что стержень сжат
(направление усилия S1 показано пунктиром).
Проектируя силы на горизонтальную ось и подставляя значение S1
получим: [pic]. Знак плюс указывает на то что стержень S2 растянут.
Определив усилия S1 и S2 перейдем к узлу 2. В нем сходятся три
стержня но усилие одного из них S2 уже известно. Следовательно усилия в
двух других стержнях можно найти методом проекций на оси координат. Переход
от одного узла к другому осуществляется таким образом чтобы в следующем
узле сходилось только два стержня усилия в которых необходимо определить.
Способ моментных точек. Рассечем ферму линией n-n (рис.6а) таким
образом чтобы эта линия пересекала не более трех стержней; заменим
действие перерезанных стержней внутренними усилиями и рассмотрим условия
равновесия одной из отрезанной части (рис.6 б).
Используем условие статики: сумма моментов всех сил действующих па
систему находящуюся в равновесии относительно любой точки равна нулю. Для
того чтобы получить уравнение в которое входит лишь одно неизвестное
усилие сумму моментов сил определим относительно такой точки в которой
пересекаются две другие неизвестные силы. Такую точку называют моментной.
Например для определения усилия S1 за моментную точку принимают точку O1 —
точку пересечения усилий S 2 и S3. Уравнение равновесия примет следующий
Для определения усилия S2 за моментную точку принимаем точку 02 а для
определения усилия S3 — точку 03. При составлении уравнений направление
усилий считаем в предположении что стержни растянуты. Если при решении
уравнений усилие какого-либо стержня получится со знаком минус то это
означает что стержень сжат. Способ моментных точек удобно применять при
определении усилий в отдельных стержнях фермы т. е. в тех случаях когда
не требуется определить усилия во всех стержнях.
Способ моментных точек может быть применен и в тех случаях когда
сечение пересекает более трех стержней при условии что все стержни кроме
одного пересекаются в одной точке.
Способ проекций. В фермах с параллельными поясами (рис.7а) усилия в
раскосах и стойках не могут быть определены способом моментных точек так
как точки пересечения стержней поясов находятся в бесконечно удаленных
В этом случае для определения усилий в раскосе проводят сечение n1 -
n1 перерезывающее оба пояса и раскос и исходя из условия равновесия
одной из отрезанных частей (рис.7б) приравнивают нулю сумму проекций всех
внешних и внутренних сил на ось перпендикулярную поясам. Например для
определения усилия в раскосе S1 получим:[pic]
Для определения усилия в стойке следует провести сечение
перерезывающее стойку например n2 - n2 и приравнять нулю сумму проекций
на вертикальную ось всех сил действующих на отрезанную часть фермы.
Известны и более сложные случаи применения способа сечений например
способ замкнутого сечения способ двух сечений и др.
Графическое определение усилий в стержнях.
Рассмотрим ферму приведенную на рис.8а. [pic]
Вырежем последовательно узлы таким образом чтобы в каждом узле было
не более двух стержней усилия в которых неизвестны. Определение усилий
В этом узле должны уравновешиваться четыре силы из которых две
неизвестны. При построении многоугольника сил сходящихся в узле примем
обход по часовой стрелке. Выбираем масштаб и строим многоугольник сил
начиная с опорной реакции равной 2Р (рис.8б). По масштабу определяем
величины неизвестных усилий в стержнях I I I -a и a-I. Направление их
определяем порядком обхода. Перенося найденные направления усилий в
вырезанный узел установим знак усилий: если усилие направлено от узла
то стержень растянут и наоборот если усилие - к узлу то
стержень сжат. Следовательно стержни I I I -a сжат и a-I растянут. Затем
переходим к следующему узлу в котором сходятся два стержня с неизвестными
Подобный способ имеет существенный недостаток: разбросанность
многоугольников сил по всему чертежу. Целесообразнее вычерчивать все
многоугольники сил не отдельно а вместе на одном чертеже путем построения
диаграммы усилий (диаграммы Максвелла — Кремоны).
Буквами или цифрами обозначают полигоны (поля) т.е. площади
ограниченные со всех сторон стержнями или примыкающие к наружному контуру
фермы внешними силами включая опорные реакции (рис.8а). В результате
усилие в стержнях и внешние силы обозначаются двумя значками
соответствующими обозначением тех полигонов границей которых они
является. Выбирают направление обхода например по часовой стрелке и
масштаб. Строят многоугольник внешних сил включая опорные реакции. Затем
выбирают узел в котором сходятся два стержня усилия в которых необходимо
определить и строят многоугольник сил сходящихся в этом узле как было
показано выше. После этого переходят к следующему узлу и для него проводят
аналогичные построения. Таким образом определяют усилия во всех стержнях
В частных случаях когда это целесообразно можно использовать
комбинирование аналитического и графического методов решений.
Линии влияния усилий в стержнях ферм.
Для построения линии влияния усилия в каком-либо стержне фермы
необходимо выразить на основании уравнений статики усилие в этом стержне от
действия единичного груза (в зависимости от его положения в пролете) и
затем представить графически закон изменения этого усилия.
В качестве примера рассмотрим ферму с ломаным верхним поясом (рис.9а)
при передаче нагрузки через узлы нижнего пояса.
Линия влияния усилия в стержне верхнего пояса S1. Проведем сечение n-
n пересекающее три стержня.
Для определения усилия S1 воспользуемся моментной точкой О1
(рис.9а бв) в которой пересекаются оси двух других стержней S3 и S2.
Груз Р=1 располагается справа от точки О1. Рассмотрим равновесие
левой части фермы. Приняв что усилие S1 растягивает стержень и приравняв
нулю сумму моментов всех внутренних и внешних сил относительно точки О1
получим: S1[pic]h1 + M1 =0 где M1 — момент относительно точки 01 всех
внешних сил расположенных слева от точки О1; h1 - плечо усилия S1
относительно точки О1. Величина момента M1 определяется как произведение
линии влияния опорной реакции RA на плечо l1 : М1 = Л.в.RA ·l1 = l1 ·
·(l-x)l (см. раздел линии влияния простых балок). Следовательно S1= -
M1h1. После подстановки имеем: S1= - l1 · 1·(l-x)lh1
((l1( x ( l( (1) . Знак минус показывает что усилие имеет направление
обратное принятому т. е. стержень не растянут а сжат. При x=0 (под
опорой А) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =-l1h1. При x=l (под
опорой B) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =0. Соединив найденные
значения получим линию влияния (закон изменения) усилия в стержне S1 на
участке перемещения груза Р=1 от точек О1 до В.
При расположении груза Р=1 слева от точки О1 рассмотрим равновесие
правой части фермы. Имеем: S1[p М2 = Л.в.RВ ·(l-l1)= (l-
l1)· 1· S1= -(l- l1 )· 1·xlh1 (0( x ( l1( (2). При x=0 (под
опорой А) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =0. При x=l (под
опорой B) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =-(l- l1 )h1.
Соединив найденные значения получим линию влияния (закон изменения) усилия
в стержне S1 на участке перемещения груза Р=1 от точек А до О1. Не трудно
показать что пересекутся левая и правая ветви линий влияния под моментной
точкой. Подставив в уравнения (1) и (2) значение x= l1 получим
тождественное равенство.
В фермах передача нагрузки осуществляется через шарниры (узлы). В
соответствии с правилом поузловой передачи нагрузки следует спроектировать
узлы на полученную линию влияния. Если моментная точка совпадает узлом
передачи нагрузки то передаточная прямая в пределах разрезанной панели
совмещается с линией влияния (рис.9г). Условимся ординаты линий влияния
сжимающих усилий откладывать вниз а растягивающих — вверх. Линия влияния
усилия в стержне S1 представлена на рис.9г
Ординаты линии влияния усилия измеряют в отвлеченных единицах. При
умножении их значения на величину нагрузки в ньютонах получим значения
При построении линий влияния (закона изменения) усилий в стержнях S2 и
S3 воспользумся моментными точками соответсвенно О2 и О3 . Предлагается
построить их самостоятельно. Существенное отличие данных линий влияния от
предыдущей состоит в том что моментные точки не совпадают с узлами
передачи нагрузки. Следовательно передаточные прямые явно выражены
(рис.9де). Обратим внимание на то что при перемещении груза усилие в
раскосе меняет знак.
Первым этапом расчета ферм является определение сил приложенных в
узлах (шарнирах) от нагрузок действующих на сооружение: функциональных
собственного веса и т.п. . Затем определяют усилия в стержнях способами
рассмотренными выше. При этом рекомендуется определять усилия вызываемые
каждым видом нагрузки отдельно. Найдя таким образом усилия в каждом
стержне определяют усилия при невыгодном сочетании нагрузок.
Подбор сечений производят методами известными из сопротивления
Подбор сечений растянутых и сжатых стержней.
Некоторые типы сечений для растянутых (сжатых) стержней показаны на
рис.10 . Различают сечения одностенчатые (рис.10 а) и двухстенчатые
Сечения состоящие из одиночного уголка применяются для слабо
нагруженных стержней. Они обладают незначительной жесткостью и для
стержней изготовленных из равнобоких уголков допускаемые напряжения при
расчете уменьшаются на 25% вследствие несимметричного крепления в узлах
только одной полкой. Если же неравнобокий уголок прикрепляется более
широкой полкой то уменьшения не требуется.
Одностенчатые сечения кроме одиночных уголков применяются для
стержней с усилием до 60 - 70 т двухстенчатые - при усилиях более 70 - 80
т. Такие сечения обладают большей жесткостью чем сечения одностенчатые.
Для сжатых стержней весьма рациональным является замкнутое сечение в
виде трубы. Это сечение в отличие от выше рассмотренных обладает одинаковой
жесткостью по всем направлениям.
Другим весьма важным преимуществом трубчатого сечения является его
положительные аэродинамические свойства а именно значительно меньший
коэффициент сопротивления ветровой нагрузке по сравнению с другими
прокатными профилями. В настоящее время сечение в виде трубы находит все
большее применение в металлоконструкциях грузоподъемных сооружений. Толщина
стенок труб может быть принята в целях обеспечения местной устойчивости по
формуле: [p D — наружный диаметр трубы.
Характеристиками сечения являются: площадь F момент инерции J
относительно горизонтальной вертикальной и или наклонной (одиночный
уголок) осей. При использовании одиночных стандартных профилей значения F
и J принимается по ГОСТу. Для составных стержней рассчитывается по
известным формулам сопротивления материалов: [pic] где [pic] -
соответственно моменты инерции сечения общий и отдельного элемента; [pic]-
расстояние между осями относительно которых определены моменты инерции.
Растянутые стержни проверяются на прочность и жесткость. Проверка
прочности состоит в определении расчетного напряжения : [pic] где Nрасч -
предельное и расчетное усилия. Fраб - площадь рабочего сечения стержня.
[(]р—допускаемое напряжение на растяжение.
Жесткость растянутого стержня характеризуется величиной гибкости
λ λдоп. Допускаемая гибкость λдоп для растянутых стержней
нормируется соответствующими нормами и техническими условиями
проектирования металлоконструкций.
Гибкость стержня определяется по формуле: [pic] где l-расчетная длина
стержня. Принимается для поясов - расстояние между соседними узлами а для
раскосов и стоек — в зависимости от направления рассматриваемой плоскости
(если в плоскости фермы то 09 от полной геометрической длины т. е.
расстояния между центрами узлов а если из плоскости фермы то полная
геометрическая длина); rmin – минимальный радиус инерции сечения. [pic].
Подбор сечений сжатых стержней. Рассмотрим прямой стержень (рис.11).
Состояние устойчивости сжатого стержня характеризуется сохранением
прямолинейной формы упругого равновесия при действии эксплуатационных
нагрузок. Пусть стержень постоянной жесткости сжат нагрузкой Р
направленной вдоль продольной оси. Предполагается что стержень работает в
пределах упругих деформаций. Под влиянием нагрузки Р стержень получает
продольную деформацию [pic] и сохраняет в условиях равновесия свою
прямолинейную форму. Напряжения при этом распределяются равномерно по
При увеличении нагрузки Р деформация а следовательно и напряжения
линейно возрастают до тех пор пока нагрузка не достигнет некоторой
величины Ркр называемой Эйлеровой критической нагрузкой. При нагрузке выше
критической Р > Ркр стержень изгибается и теряет свою прямолинейную форму
упругого равновесия принимая качественно новые а именно криволинейные
формы равновесия. Это явление продольного изгиба называется потерей
устойчивости первого рода.
Критическая нагрузка определяется по формуле Эйлера: [pic] где
— коэффициент длины стержня зависящий от типа опорных закреплений и
принимаемый по рис.12 .
Критическое (Эйлерово) напряжение равно [pic]
Для сжатых стержней [pic]. После подстановки получим [pic] где пц -
предел пропорциональности для стали при котором соблюдается линейная
зависимость между нагрузкой и деформацией (пц ( (т ).
Окончательно проверка устойчивости сжатых стержней производится по
методу допускаемых напряжений по формуле: [pic] где φ - коэффициент
уменьшения допускаемого напряжения при продольном изгибе. На рис.13
представлен график зависимости коэффициента ( от (.
Например предельная гибкость поясов главных ферм стрел колонн
изготовленных из стали составляет 120 150 соответственно ( = 045 0.32.
Остановимся на соображениях по выбору расчетной длины сжатых стержней
при проверке их на продольный изгиб.
Если бы узлы ферм были идеально шарнирными то расчетная длина стержня
равнялась бы расстоянию между центрами узлов. В действительности стержни
фермы соединены в концах при помощи косынок и примыкающие к узлам
растянутые стержни оказывают заметное сопротивление повороту узла
препятствуя этим свободному изгибу стержня теряющего устойчивость. Поэтому
расчетная длина сжатого стержня при проверке его на продольный изгиб в
плоскости фермы должна быть уменьшена против его геометрической длины в
зависимости от количества примыкающих к рассматриваемому стержню с обоих
его концов растянутых стержней и от их погонной жесткости.
При рассмотрении сжатого элемента пояса можно (в запас прочности)
пренебречь влиянием примыкающих растянутых элементов. Кроме того погонная
жесткость растянутых раскосов значительно меньше погонной жесткости пояса.
Поэтому по нормам расчетную длину элемента сжатого пояса принимают равной
его геометрической длине (( =1) т. е. расстоянию между центрами узлов. Для
сжатых же элементов решетки (стоек раскосов) расчетную длину элемента в
плоскости фермы принимают с учетом что ( =07.
При проверке сжатых элементов на продольный изгиб в плоскости
перпендикулярной плоскости фермы (из плоскости фермы) узловые косынки не
имеют особого значения так как в этом направлении они достаточно гибки.
Поэтому расчетную длину сжатых элементов решетки принимают в этом случае
равной расстоянию между центрами узлов (( =1) т. е. геометрической длине
элементов. Расчетную длину элементов сжатого пояса при проверке его на
продольный изгиб из плоскости фермы принимают равной расстоянию между
узлами закрепленными связями от смещения из плоскости фермы.
Если на элемент фермы действует местная нагрузка т. е. такая которая
приложена между узлами то расчет элемента производят с учетом совместного
действия продольной силы и изгибающего момента.
Отличие действительной работы конструкции от теоретической.
По своей расчетной схеме ферма представляет собой стержневую систему с
идеальными шарнирными соединениями в которой все стержни испытывают только
осевые усилия — растяжение или сжатие. В действительности же узлы фермы
выполняются при помощи узловых косынок на сварке. В результате этого в
стержнях фермы появляются дополнительные напряжения обусловливаемые
жесткостью узлов. Более существенное значение имеют добавочные напряжения
от неправильного центрирования узлов. Последнее особенно опасно для сжатых
При простых системах решетки - раскосной треугольной (без стоек)
полураскосной - дополнительные напряжения от жесткости узлов меньше чем в
системах со стойками и шпренгелями.
Отличие действительной работы сооружения от теоретической
определяемой расчетом не должно вызывать недоверия к установленным
строительной механикой методам расчета. Практика показывает что
сооружения рассчитанные этими методами существуют длительное время и
имеют достаточный запас прочности.
§ 8 . Расчет статически неопределимые системы.
неточности изготовления отдельных элементов системы. В то время как
статически определимая система например простая балка при осадке опоры
займет новое положение оставаясь прямолинейной и не испытывая никаких
добавочных напряжений в статически неопределимой системе например
неразрезной балке осадка опоры будет сопровождаться искривлением оси балки
и появлением добавочных напряжений.
В статически определимой ферме изменение длин отдельных стержней
вследствие например неравномерного нагревания или неточности изготовления
сопровождается незначительным изменением формы всей системы но не вызывает
никаких добавочных усилий. В статически неопределимой ферме изменение формы
системы может сопровождаться деформациями элементов и при изменении длины
отдельных стержней в них могут возникать дополнительные усилия.
В конце XIX и начале XX столетия сложные статически неопределимые
системы применялись лишь в виде исключения; инженеры стремились заменять
статически неопределимые системы простыми схемами часто не вполне
рациональными. Если же статически неопределимые системы и применялись то в
большинстве случаев их рассчитывали упрощенно.
Появление в дальнейшем новых конструктивных форм применение
железобетона и т. д. настоятельно диктовали необходимость развития точных
методов расчета статически неопределимых систем и внедрения их в практику
строительства. К ним относятся метод сил метод перемещений метод
моментных фокусных отношений метод конечных элементов и др.. Ниже
рассматривается метод сил.
Определение перемещений.
Строительная механика рассматривает сооружения как системы состоящие
внешними силами и перемещениями существует линейная зависимость.
При допускаемых на практике напряжениях возникающие в сооружениях
перемещения весьма малы. Вследствие этого при определении напряжений можно
пренебречь изменением взаимного расположения внешних сил при деформации
системы. Тем не менее вычисление перемещений оказывается необходимым для
проверки соблюдения существующих на этот счет норм. Важное значение
приобретает вопрос о перемещениях при расчете статически неопределимых
Кроме методов определения перемещений изложенных в курсе
сопротивления материалов существуют общие методы которые рассматриваются
Определение перемещений при совместном действии нескольких сил. При
определении перемещений линейно деформируемых систем можно применять
принцип независимости действия сил называемый принципом суперпозиций.
Сущность принципа суперпозиций заключается в том что суммарный
эффект вызываемый действием нескольких сил равен суммe эффектов
вызываемых действием каждой силы в отдельности. В частности если эффект
вызываемый действием единичной силы (Рi =1) равен ( i то эффект
вызываемый действием силы Р равен [pic]. В соответствии с принципом
независимости действия сил перемещение [pic] любой точки п по направлению
силы Рn (рис.1) от воздействия группы сил определяется следующим
[pic] - перемещения точки n по направлению силы [pic] при действии
единичных сил приложенных в точках 1 k; (nn - перемещение точки n по
направлению силы Рn при действии единичной силы приложенной в точке п .
Обратим внимание на стандартные обозначения перемещений:
[pic]- соответственно перемещения от заданной нагрузки (называемое
грузовым перемещением) и единичной нагрузки (называемое удельным
перемещением). Первый индекс i указывает точку перемещение которой
определяется (направление перемещения); второй индекс j - силу вызвавшую
данное перемещение. У грузовых перемещений i ( j. Удельное перемещение при
условии при i ( j - называют
побочным удельным перемещением.
Вывод общей формулы для определения перемещений базируется на основных
теоремах об упругих системах: “работа при статическом приложении внешних
сил” “принцип возможных перемещений упругих систем” “теорема о взаимности
работ” [2346]. При решении статически неопределимых систем практически
значимой из них является теорема о взаимности перемещений (теорема
Перемещение точки приложения первой единичной силы (по ее
направлению) возникающее при действии второй единичной силы равно
перемещению точки приложения второй единичной силы (по ее направлению)
вызванному первой единичной силой: (12=(21.
Общая формула для определения перемещений. Метод Мора
Общие формулы перемещений (деформаций элементов конструкции) легко
получить пользуясь принципом возможных перемещений если в качестве
вспомогательного состояния принять систему нагруженную в точке
перемещение которой определяется соответствующей единичной обобщенной
силой Xi =1. Эта сила должна совершать работу под действием внешних
нагрузок на возможном перемещении каким и является интересующее нас
Обозначим усилия в элементах конструкции через [pic] вызванные
системой внешних сил. Усилия вызванные единичной силой Xi =1 через Ni
Qi Mi. Искомое перемещение для трех компонентов внутренних сил можно
записать в виде: [pic](1) где FJ- соответственно площадь и момент инерции
сечения элемента конструкции; [pic] - соответственно модули упругости при
растяжении (сжатии) и сдвиге.
Формулу (1) называют формулой Мора.
В частных случаях формула (1) принимает более простой вид а именно:
) при расчете ферм где имеют место лишь осевые усилия N [pic]
) при расчете балок и рам влияние продольных и поперечных сил
незначительно и ими можно пренебречь; в этом случае [pic] (3.а) . Если
жесткость EJ каждого элемента системы постоянна [pic] (3.б).
Выражение[pic] носит название интеграла Мора
Перемножение эпюр (способ Верещагина)
Пусть эпюра моментов Мa состояния (a) имеет криволинейное очертание
(рис.2) а эпюра моментов Mb состояния (б) прямолинейна. В этом случае
можно применить преобразование интеграла [pic] предложенное А. Н.
Приняв за начало координат точку пересечения прямой ограничивающей
прямолинейную эпюру Mb c осью абсцисс получим Mb=xtg(. Следовательно
Как известно [pic] представляет собой статический момент S площади
эпюры Ma относительно вертикальной оси. Обозначая площадь эпюры Ma через (a
и абсциссу центра тяжести площади эпюры через x0 получим: S=x0(a.
Следовательно [pic] где уb - ордината эпюры Мb расположенная под
центром тяжести эпюры Ma . В тех случаях когда одна из эпюр моментов
прямолинейна интеграл Мора равен произведению площади криволинейной эпюры
моментов на расположенную под ее центром тяжести ординату прямолинейной
Для часто встречающихся в расчетной практике эпюр имеются таблицы в
которых даны значения [pic] (см. приложение табл.№1 ).
Направление перемещения т. е. знак его зависит от знаков эпюр.
Рекомендуется располагать эпюры со стороны растянутых волокон.
Произведение эпюр (а следовательно и знак перемещения) положительно если
обе эпюры расположены по одну сторону от оси стержня и отрицательно если
эпюры расположены по различным сторонам от оси стержня.
Определение перемещений от внешней нагрузки.
Статически определимая балка. Определить прогиб свободного конца балки
при действии равномерно распределенной нагрузки q (рис.3). При определении
прогиба балки влиянием продольных и поперечных сил можно пренебречь.
Перемещение определяется при постоянной жесткости балки на основании
В качестве вспомогательного состояния примем состояние балки (b) под
действием силы Р = 1 приложенной к ее свободному концу.
Вспомогательное состояние (b) и соответственная эпюра Мb а также
действительное состояние а и соответственная эпюра Мa даны на рис.3.
Перемещение [pic]. Здесь [pic].
Основы расчета статически неопределимых систем методом сил.
В основе методов расчета статически неопределимых систем лежит общий
метод определения перемещений. Одним из основных методов расчета статически
неопределимых систем является метод сил. Сущность этого метода заключается
Устанавливают общее число лишних неизвестных.
Удаляют лишние связи и таким образом заменяют заданную (исходную)
систему статически определимой геометрически неизменяемой системой
называемой основной.
Заменяют действие отброшенных опорных стержней либо внутренних
усилий (поперечных и продольных сил моментов) в случаях разреза замкнутых
контуров лишними неизвестными X1 X2 Хn и загружают основную систему
лишними неизвестными и заданной нагрузкой.
Значения лишних неизвестных подбирают таким образом чтобы
перемещения основной системы были равны перемещениям заданной системы.
Например чтобы перемещения точек приложения лишних неизвестных по их
направлению равнялись нулю если лишнее неизвестное является опорной
реакцией или усилием в перерезанном элементе.
В первом случае перемещению по направлению лишнего неизвестного в
действительной системе препятствует наличие опорной связи; во втором случае
оба смежных сечения разделенные разрезом в действительности представляют
собой одно сечение а потому их взаимное перемещение также невозможно.
Составляются канонические уравнения метода сил которые служат для
определения лишних неизвестных и обладают свойством взаимности
коэффициентов. Перемещения определяются на основании принципа независимости
действия сил. Канонические уравнения имеют вид:
(11X1+(12X2+(13X3+(+(1nXn+(1P=0
(21X1+(22X2+(23X3+(+21nXn+21P=0
(n1X1+(n2X2+(n3X3+(+(nn Xn+(nP=0 .
Если перемещение в заданном направлении направление не равно нулю то
справа (после знака равенства) записывается его значение.
При составлении канонических необходимо придерживаться следующих
Лишние неизвестные записывают в каждой строке последовательно от X1
Коэффициенты при лишних неизвестных (ij представляют собой
единичные перемещения с соответствующими индексами: первый индекс i
указывает номер строки (направление перемещения) второй j – номер лишней
Свободный член (iP представляет собой перемещение от заданной
нагрузки; первый индекс указывает номер строки второй – нагрузку. Решив
полученную систему уравнений найдем все лишние неизвестные.
Величины и знаки перемещений (1P ( (1n ( (11((nn в
случае незначительного влияния продольных и поперечных сил рассчитывают по
формулам применяя способ перемножения эпюр (способ Верещагина):
Очевидно что при решении статически неопределимых задач необходимо
знать величины моментов инерции поперечных сечений всех элементов
конструкции относительно их нейтральных осей.
Поэтому приступая к расчету статически неопределимых систем
необходимо первоначально задаться на основании практических знаний
моментами инерции поперечных сечений различных элементов конструкции или их
отношениями. В тех случаях когда все элементы системы сделаны из одного
материала величина модуля упругости Е не учитывается расчетом так как Е
входит множителем во все члены канонических уравнений. Определив значение
лишних неизвестных строят эпюры изгибающих моментов продольных и
поперечных сил и подбирают размеры поперечных сечений элементов в
конструкции. После этого производят вторичный расчет системы учитывая
найденные моменты инерции поперечных сечений.
Обычно второй пересчет является достаточным для определения
окончательных значений лишних неизвестных.
Выбор лишних неизвестных определяет выбор удаляемых связей а
следовательно и выбор основной системы. Путем рационального выбора лишних
неизвестных и соответственно основной системы решение задачи можно
значительно упростить.
К неразрезным балкам относятся неразрывные бесшарнирные балки имеющие
два и более пролетов (рис.4).
Степень статический неопределимости (число лишних неизвестных)
определяется по формуле: Л = Соп –3 где Соп – количество опорных
Расчет неразрезных балок. Имеем неразрезную балку представленную на
В качестве основной системы можно выбрать систему представленную на
рис.5а либо рис.5б. При количестве промежуточных опор более трех
целесообразней использовать основную систему (рис.5.б).
Канонические уравнения имеют вид: [pic].
Для того чтобы найти лишние неизвестные Х1 и Х2 необходимо определить
главные побочные и грузовые перемещения по формуле Мора (3а) либо (3б)
подставить их значения в канонические уравнения и решить их.
Следующим этапом необходимо перестроить эпюры моментов от единичных
лишних неизвестных с учетом их реальных значений.
На основании принципа независимости действия сил суммируя построенные
эпюры моментов получим ее окончательный вид. Суммирование осуществляется
как аналитическим так и графическим методами.
Пример расчета главных побочных и грузовых перемещений представлен
Определения прогиба. Определить прогиб в середине пролета балки при
действии сосредоточенной нагрузки R (рис.6). [pic]
При решении задачи влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем.
Определим число лишних неизвестных. Л=Соп – 3 . Имеем Л = 1.
Для определения величины и направления лишней неизвестной выберем
основную систему как указано на рис.6б. Каноническое уравнение имеет вид:
[pic]. При определении перемещений используем способ Верещагина.
При определении прогиба в середине пролета применим метод
(2 - произведение эпюр состояния в на состояние б при X1= 49R.
Наличие дополнительной опоры уменьшило прогиб в середине пролета на
Рамой называют стержневую систему стержни которой во всех или в
некоторых узлах жестко связаны между собой и которая теряет геометрическую
неизменяемость если все узлы заменить шарнирными. По аналогии с фермами
различают плоские и пространственные рамы.
[pic] Элементы рамы применяемые в строительных конструкциях
мало отклоняющиеся от вертикали называют стойками а мало отклоняющиеся от
горизонтали — ригелями. Ригели бывают горизонтальные наклонные ломаные
криволинейные. Рамы бывают с двумя стойками — однопролетные (рис.7а б)
со многими стойками — многопролетные (рис.7в) и замкнутые рамы (рис.7 г).
В зависимости от числа этажей различают рамы одноэтажные (рис. 7а б в
г) и многоэтажные (рис.7 д). В зависимости от типа опор различают
шарнирные (рис.7гд) и бесшарнирные рамы (рис.7 а б в г).
Из сопоставления эпюр изгибающих моментов однопролетных рам с эпюрой
простой балки (рис.8) можно видеть преимущество рамы заключающееся в
значительном уменьшение изгибающих моментов в ригеле. Многопролетные рамы
не имеют столь значительного преимущества по сравнению с обычной
конструкцией — неразрезной балкой.
Необходимо также учесть что в бесшарнирных рамах сильнее сказывается
влияние изменения температуры. Рамные конструкции широко применяют при
сооружении зданий мостов и других видов сооружений в особенности в
последнее время в связи с все большим распространением железобетонных
Рациональный выбор основной системы
Расчет статически неопределимых рам может быть значительно упрощен при
удачном выборе варианта основной системы. Поэтому остановимся несколько
подробнее на этом вопросе и сопоставим варианты основных систем при расчете
некоторых часто встречающихся видов рам. Рассмотрим несколько примеров.
Однопролетная рама с шарнирными опорами (рис.9). Переход от заданной
системы к основной можно осуществить различными способами.
На рис.9б основная система получена путем замены неподвижной опоры
заданной системы подвижной. В другом случае переход к основной системе
осуществлен путем введения в систему шарнира. В обоих случаях отбрасывается
одна связь и действие этой связи заменяют в основной системе лишним
неизвестным — силой X1 или двумя взаимно противоположными моментами т. е.
обобщенной силой Х2. Таким образом оба варианта основной системы
Однопролетная рама с защемленными опорами. Варианты выбора
основной системы представлены на рис.10
Вариант №1. Отбросим правую опору рамы (рис.10б) и заменим ее
действие моментом X1 горизонтальной силой Х2 и вертикальной силой Хз. Из
приведенных на рис.10б единичных эпюр М1 М2 М3 видно что ни одно из
побочных перемещений не обращается в нуль. Система канонических уравнений
Вариант 2. Разрежем ригель рамы по оси симметрии и заменим действие
отброшенных связей двумя моментами Хз двумя горизонтальными силами X1 и
двумя вертикальными силами Х2 (рис.10в).
Из эпюр M1 M2 M3 видно что побочные перемещения [pic].
Канонические уравнения принимают вид: [pic]
В данном случае система трех уравнений с тремя неизвестными
распадается на два уравнения с двумя неизвестными X1 X2 и одно уравнение с
одним неизвестным Хз.
Вариант 3. Для получения основной системы разрежем раму по оси
симметрии и в месте разреза прикрепим бесконечно жесткие консоли (момент
инерции поперечного сечения консоли принимают равным бесконечности).
Заменим действие отброшенных связей в ригеле обобщенными силами: X1 X2 и
Длину консолей в конце которых приложены горизонтальные силы Хз
выбираем с таким расчетом чтобы точка приложения этих сил находилась на
уровне центра тяжести эпюры М2 т. е. на расстоянии 23 h от ригеля.
При этом условии ордината эпюры М3 против центра тяжести эпюры М2 в
стойке равна нулю и побочные перемещения [pic]. Так как эпюра моментов М1
кососимметрична а эпюры М2 и М3 симметричны то и побочные перемещения
[pic]. С учетом вышесказанного
канонические уравнения примут вид: [pic]
Таким образом удается полностью разделить лишние неизвестные и
получить три уравнения в каждое из которых входит лишь одно неизвестное.
Поэтому для рассматриваемой рамы третий вариант основной системы является
наиболее рациональным.
Группировка неизвестных. Обращению побочных перемещений в нуль ведет
также способ группировки неизвестных. Сущность этого способа заключается в
том что в симметричной системе при действии несимметричной нагрузки за
лишние неизвестные принимают не отдельные неизвестные а объединения их в
группы так называемые групповые неизвестные которые выбирают таким
образом чтобы единичные эпюры были взаимно ортогональны.
Разложение нагрузки на симметричную и обратно симметричную. Свойство
взаимной ортогональности симметричных и обратно симметричных эпюр можно
использовать также для обращения в нуль некоторых свободных членов
(грузовых перемещений (ip) т. е. перемещений вызываемых заданной
нагрузкой. При этом заданную нагрузку заменяют двумя системами нагрузок:
симметричной и обратно симметричной. Таким образом в симметричной системе
при симметричной нагрузке обратно симметричные неизвестные равны нулю и
наоборот при обратно симметричной нагрузке симметричные неизвестные равны
Следовательно при разложении нагрузки на симметричную и обратно
симметричную решение задачи упрощается так как система уравнений
распадается на несколько более простых систем.
Когда лишние неизвестные найдены возможно построение окончательных
эпюр изгибающих моментов а также продольных и поперечных сил.
Контроль решения статически неопределимых систем.
При расчете статически неопределимых систем всегда необходимо
производить проверку получаемых окончательных результатов. Повторный
пересчет не всегда ведет к цели так как допущенная ошибка может остаться
незамеченной. Поэтому контроль окончательных эпюр производят при помощи
специальной проверки условий равновесия и деформаций.
Проверка условий равновесия является частным контролем правильности
найденных ординат окончательных эпюр М и проводится исходя из условий что
любая отсеченная часть системы должна находиться в равновесии: [pic]
Проверка деформаций является общим контролем как правильности
окончательной эпюры так и правильности вычисления значений лишних
неизвестных. Она основана на том что в заданной статически неопределимой
системе перемещения по направлению любой лишней связи должно быть равно
моментов любого состояния (i) основной системы при Xi = 1.
Таким образом если решение правильно то произведение окончательной
эпюры моментов системы на эпюру моментов любого состояния k основной
системы должно равняться нулю. Ввиду возможных неточностей при подсчетах
можно допустить некоторое отклонение общей суммы от нуля. Если при
определении суммы всех членов просуммируем отдельно положительные и
отрицательные члены то алгебраическая сумма представится в виде:
[pic] где [pic]- соответственно обозначают моментную площадь эпюры
моментов на элементах пролета
А - сумма всех положительных членов; В - сумма абсолютных величин
отрицательных членов. Полученные при таком подсчете результаты можно
считать вполне приемлемыми для практики если разность А и В разделенная
на меньшее из них окажется не более 5%
Выражения интеграла Мора для различного сочетания эпюр моментов
Примечание. Mm ( Mi либо Mm ( Mi
§ 9. Соединения элементов металлоконструкций
Металлоконструкций грузоподъемных сооружений изготовляются при помощи
ручной автоматической или полуавтоматической сварки.
В клепаных конструкциях соединение элементов осуществляется
посредством заклепок; это приводит к большей затрате металла так как
сечения ослабляются заклепочными отверстиями и требуется соответствующая
компенсация металла. Этот старый вид соединений в тридцатых годах 20-ого
столетия был вытеснен электросваркой во многих металлоконструкциях.
Сварные швы образуются ручной или автоматической (полуавтоматической)
электросваркой. Основа доброкачественной сварки получение провара основного
металла на толщину 1-2 мм. При сварке часть компонентов металла (углерод
марганец и др.) выгорает вследствие чего наплавленный металл
представляющий собой соединение расплавленных основного металла и
электродной проволоки обладает несколько пониженной вязкостью.
Одним из способов получения наплавленного металла сварного шва
приближающегося по свойствам к основному металлу является применение
электродов со специальными обмазками. Обмазка при температуре плавления
электрода выделяет пары предохраняющие расплавленный металл от соединения
с кислородом и азотом окружающего воздуха. Обмазанные электроды
способствуют получению более устойчивой дуги что особенно важно если
сварочный агрегат работает на переменном токе. Швы образованные
обмазанными электродами более прочные и плотные. Сварка не обмазанными
(голыми) электродами запрещается.
Различают обмазки тонкие и толстые. Тонкие обмазки предназначенные
для создания устойчивости дуги состоят из металла и жидкого стекла.
Электроды с тонкой обмазкой относятся к электродам марки Э34. Число в
обозначении марки соответствует наименьшему пределу прочности металла шва.
Обычно предел прочности такого металла колеблется в пределах 34—40 кгмм2
а предел текучести в пределах 25—30 кгмм2 при относительном удлинении
Тонкообмазанные электроды разрешается применять только при сварке
второстепенных элементов (неработающие настилы перила лестницы
обслуживающих площадок и т. п.).
Для получения прочностных швов предназначенных воспринимать усилия
необходимо применять качественные электроды с толстой обмазкой. Обмазка
состоит из большого числа компонентов каждый из них придает процессу
сварки и наплавленному металлу соответствующие положительные свойства.
Основные компоненты - марганцевая руда полевой шпат крахмал
ферромарганец графит мел и др. В металле электрода содержание
углерода не должно превышать 020%.
При пользовании толстообмазанными электродами наплавленный металл
получается мелкозернистым без посторонних включений пластичным.
Для металлоконструкций грузоподъемных сооружений широко применяется
имени акад. Е. О. Патона.
Электродная проволока навитая на барабан подается через сварочную
головку с автоматическим электроуправлением к месту сварки. В процессе
сварки по мере передвижения установки (трактора) флюс в виде
гранулированного шлака равномерно поступает из бункера (вмонтированного в
установку) к месту образования шва вследствие чего последний
предохраняется от окисления.
В пространстве ограниченном шлаком сильно концентрируется тепло что
обеспечивает большую глубину провара. Шов образуемый автоматической
сваркой имеет более правильную форму чем при ручной сварке и обладает
хорошей плотностью высокой вязкостью и прочностью. Автоматическая сварка
характеризуется большой производительностью — при скорости сварки 40—50
Автоматическая сварка особенно эффективна при образовании прямых швов
большой протяженности. При швах относительно малой длины (например в
стыках стенок балок и т. п.) следует применять полуавтоматическую сварку
при которой самый процесс сварки происходит так же как и при
автоматической сварке но установку перемещают вручную. Качество шва при
полуавтоматической сварке получается высоким.
При сварке происходит сложный тепловой процесс на участках металла
прилегающего к шву что приводит к изменению структуры а следовательно и
механических свойств в определенных зонах соединения (рис.1).
Участок 1 весьма малой протяженности характеризуется образованием
крупных зерен. Участок 2 соответствует зоне перегрева (температура 1100 —
00°) и имеет крупнозернистую структуру с крайне неравномерным зерном.
Именно на этом участке заметно снижаются пластические и прочностные
свойства металла что приводит к низким значениям ударной вязкости. В этой
зоне возможно появление очагов усталости при переменной нагрузке. Участок 3
характеризуется мелкозернистой структурой и высокими механическими
свойствами. Здесь возникает процесс аналогичный нормализации. Участок 4 —
переходный (неполный отжиг металла). Участок 5 соответствует состоянию
рекристаллизации (особенно в наклепанном металле у которого зерна
раздроблены механической обработкой еще до нагрева металла). За участком 5
расположен металл с нормальными свойствами. Однако здесь при температуре
0—300° может проявиться синеломкость металла а следовательно и
хрупкость (склонность к образованию трещин) при сварке.
Вследствие температурного воздействия сварки в элементах конструкции
возникают сварочные напряжения и соответствующие им деформации. При нагреве
металла возникают пластические деформации и поэтому после остывания в зоне
шва появляются растягивающие напряжения а на свободных кромках —
сжимающие. Сварочные напряжения возникающие лишь в определенном интервале
температур и затем исчезающие называются временными а напряжения
остающиеся в конструкции после охлаждения швов — остаточными или
усадочными. Сварочные напряжения могут быть линейные плоскостные и
объемные. Наиболее неблагоприятное влияние на прочность сварных
металлоконструкций оказывают напряжения плоскостные и особенно объемные.
Виды сварных соединений. По положению в пространстве различают швы
нижние вертикальные верхние (потолочные) и горизонтальные. Наименее
качественными получаются швы потолочные так как во время их сварки
расплавленный металл частично стекает вниз по электроду. Поэтому при
проектировании сварных конструкций рекомендуется предусматривать такую
последовательность процесса при которой прочностные швы выполнялись бы в
нижнем положении или в вертикальном (при движении электрода сверху вниз).
По протяженности швы могут быть сплошные или прерывистые. В соединениях
работающих на переменные нагрузки следует применять швы тонкие и
Различают соединения выполненные швами «в стык» (рис.2а) и швами
валиковыми (рис.2б).
Швы встык применяются для соединения элементов лежащих в одной
плоскости. Такие соединения могут работать на растяжение сжатие и срез.
Для получения швов в стык надлежащей прочности производится соответствующая
обработка кромок соединяемых элементов в зависимости от толщины последних.
При толщине листов до 10 мм разделки кромок не требуется. Расчетная толщина
швов в стык принимается равной толщине стыкуемых элементов hce = (. Для
обеспечения расчетной толщины дается наплыв около 1—2 мм толщины
который в расчет не принимается. Расчетная длина принимается равной ширине
b стыкуемых листов за вычетом концевых участков шва где имеются
углубления (кратеры) возникающие при сварке. Длина такого участка
принимается равной толщине шва следовательно расчетная длина шва равна
lрасч = b -2(. Расчетная площадь сечения шва в стык [pic]. При
устройстве наклонного шва под углом 45° к продольной оси элемента шов
считается равнопрочным сечению и не проверяется расчетом. Однако при этом
получаются заметные отходы металла. Поэтому наклонные стыковые швы следует
применять в крайних случаях .
При соединении листов разной толщины расчетная толщина шва принимается
по наименьшей из толщин соединения. Для осуществления в соединении плавного
перехода элемент с большей толщиной сглаживается на длине равной
пятикратной толщине более тонкого элемента.
Валиковые (угловые) швы применяются в соединениях внахлестку
(фиг.2б). Чаще всего такие швы в сечении имеют одинаковые катеты k.
Расчетная высота шва принимается hcв = 07k . Валиковые швы делаются с
наплывом 1—2 мм который в расчете не учитывается. В случае переменных
нагрузок шов рекомендуется делать вогнутым с более длинным катетом в
направлении действия нагрузки. Различают валиковые швы лобовые
расположенные перпендикулярно направлению усилия и фланговые
расположенные вдоль направления усилия (рис.34).
Независимо от рода усилия (растяжение сжатие или срез) валиковые швы
всегда рассчитываются на срез. Расчетная площадь сечения шва принимается
— катет шва; при автоматической сварке [p
При наличии валиковых швов различного направления действующее усилие Р
распределяется между всеми швами соединения пропорционально площадям их
сечений: [pic] где F1 F2 F3 - площади сечений швов.
В соединениях с накладками (рис.3) за расчетные принимаются швы
расположенные на одной половине соединения (на рис.3 обведено жирной
линией) в соответствии с последовательностью передачи нагрузки с одной
части стыкуемого элемента на другую.
В случае прикрепления уголков (или вообще несимметричных сечении)
усилие S между продольными швами распределяется следующим образом: [pic]
ширина полки уголка.
При наличии лобового шва сначала находится усилие воспринимаемое этим
швом S3 = [[pic]]срFрасч и затем общее усилие передающееся фланговыми
швами S = S( - S3 которое распределяется между этими швами в
соответствии с вышеуказанным.
Расчетная проверка прочности сварных соединений производится по
формулам табл.№1 и допускаемые напряжения принимаются по табл.№2.
Вид сварного шваХарактер усилия Расчетное напряжение
В стык Сжатие [pic]
Тип сварного шва Характер усилия
Ручная Автоматическая
(полуавтоматическая)
Допускаемое напряжение
В стык Растяжение 08[(] [(]
В стык и валиковый Срез 06[(] 065[(]
Здесь [(] – допускаемое напряжение основного металла свариваемых элементов
Расчет сварных соединений в более сложные случаях сочетания нагрузок
Соединения на высокопрочных предварительно напряженных
В соединениях на высокопрочных предварительно напряженных болтах
усилия передаются за счет сил трения возникающих между соприкасающимися
поверхностями соединения. Болты при этом не передают срезывающих усилий
так как диаметры отверстий принимаются больше диаметра болтов на 1—3 мм.
Для обеспечения указанной схемы передачи усилий необходимо болтам
придавать значительные усилия натяжения. Поэтому для высокопрочных
болтов применяется легированная хромистая термически обработанная сталь
марки 40Х обладающая пределом прочности 1400- 2000 МПа.
Напряжения высокопрочных болтов контролируются при завинчивании гаек
специальными ручными гаечными ключами с встроенным динамометром. Могут
также применяться электрические ключи импульсного действия или
Соединения на высокопрочных болтах характеризуются
следующими положительными качествами:
- меньшей трудоемкостью изготовления соединений (работы могут производиться
менее квалифицированными рабочими и не требуется большой тщательности в
обработке отверстий под болты);
- относительной простотой контроля необходимого натяжения болтов
посредством тарировочных ключей как в процессе монтажа так и в условиях
- отсутствием саморазвинчивания гаек при переменных нагрузках;
- большей прочностью при работе болтов на отрыв головок.
Высокопрочные болты могут быть рекомендованы для монтажных узлов
металлоконструкций грузоподъемных сооружений например в местах крепления
главных балок крановых мостов к концевым балкам и т. п. Особенно
рекомендуется применять высокопрочные болты в узлах где сварка (заводская
или монтажная) может вызвать недопустимые деформации и неправильное
взаимное расположение сопрягаемых элементов (например буксы ходовых колес
кранов). Кроме того высокопрочные болты рекомендуется применять в случае
усиления эксплуатируемых конструкций.
Высокопрочные болты применяются диаметром М16 .М24 получистыми с
шестигранными головками. Длина болта принимается на 30—40 мм больше толщины
стягиваемого пакета. Предполагается что для соединений работающих на
продольные усилия последние равномерно распределяются между всеми болтами
соединения. Необходимое число п болтов определяется из условия
равнопрочности по формуле: [pic] где F — рабочая (с учетом
ослабления отверстиями) площадь сечения стержня ; [pic]— предел
текучести материала стержня; N — расчетное усилие предварительного
натяжения болта. N ( 0.55(вFраб (1) где (в - предел прочности стали
высокопрочных болтов после термической обработки; Fраб — площадь
сечения болта (по резьбе); f — коэффициент трения между
соединенными поверхностями; f = 045 — при пескоструйной или
огневой очистке соединяемых поверхностей; f = 035 — при
ручной очистке стальными щетками; m — число плоскостей трения в стыке
(или соединении) (см.рис.1).
Число высокопрочных болтов в соединении должно быть не менее двух.
Необходимое расчетное усилие предварительного натяжения достигается
приложением к гайкам болтов крутящего момента определяемого по формуле
[pic] где d — диаметр болта.
Расчет высокопрочных болтов стыка стенки балки при совместном действии
изгибающего момента и поперечной силы.
В соответствии с расчетной схемой стыка приведенной на рис.2
равнодействующая поперечного усилия приходящегося на один болт крайнего
ряда определяется по формуле: [pic] где [pic]- поперечное усилие
приходящееся крайний ряд болтов [p Q – наибольшая
поперечная сила в рассматриваемом сечении; nm- количество болтов в
горизонтальном и вертикальном рядах. Усилие затяжки болта N определяется по
формуле N = 0.75Tf для стальных конструкций. По формуле (1) определяется
рабочая площадь Fраб болта.
П.Е. Богуславский. Металлические конструкции грузоподъемных машин и
сооружений.-М.: Машиностроение 1961.-520с.
А.И. Дыховичный. Строительная механика.-М.: Высшая школа 1966.-
В.А. Киселев. Строительная механика.- М.: Изд-во литературы по
строительству 1967.-с.548
Н.К. Снитко. Строительная механика.- М.: Высшая школа 1972.-с.487.
Справочник по кранам. В 2-х томах. Под редакцией М.М. Гохберга.-
Л.: Машиностроение 1988.
И.М. Рабинович. Курс строительной механики стержневых систем. ч.1
Статически определимые системы.-М.: Госстройиздат 1950.
И.М. Рабинович. Курс строительной механики. ч.2. Статически
неопределимые системы.-М.: Изд-во литературы по строительству и
архитектуре 1954.-с.544.
Экзаменационные вопросы по курсу “Строительная механика и
Классификация нагрузок.
Соединения на высокопрочных болтах.
Методы прочностного расчета элементов стальных конструкций.
Классификация расчетных схем.
Расчет рам методом сил .
Расчет статически неопределимых балок.
Кинематический анализ статически определимых систем.
Определение перемещений. Формула Мора.
Кинематический анализ статически неопределимых систем. Мгновенно
Графический метод определения усилий в стержнях ферм.
Подбор сечений растянутых стержней.
Линии влияния усилий в стержнях ферм
Подбор сечений сжатых стержней.
Аналитические методы определения усилий в стержнях ферм.
Основы конструирования и прочностного расчета балок.
Балки. Линии влияния усилий в простой балке.
Основы метода сил. .
Линии влияния усилий в консольной балке.
Кинематический метод построения линий влияния усилий в простых балках.
Основные понятия расчета по методу предельных состояний.
Расчет элементов конструкций на выносливость..
Замена нескольких сосредоточенных грузов их равнодейсвующей.
Определение невыгодного загружения линий влияния.
Общие понятия о статически неопределимых системах.
Многопролетные шарнирные статически определимые балки. Линии влияния
Статически определимые системы.

Задание №3.doc

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет
«Транспортные и технологические системы»
Санкт-Петербург 200..г.
Выполнить кинематический анализ ситемы. 3
Вычислить перемещение точки А в указанном направлении от действия
Определение реакций опор и построение эпюр от действия силы [pic]. 3
Определение реакций опор и построение эпюр от действия силы [pic]. 5
Расчет перемешения точки [pic]. 6
Выполнить кинематический анализ ситемы.
Необходимое условие для геометрической неизменяемости системы 3Д = С0 +
Д = 2 – кол-во звеньев; С0 = 4 – число опорных стержней; Ш = 1 – число
Определение реакций опор и построение эпюр от действия силы [pic].
Рассмотрим левую балку (Рис. 2.). Запишем сумму моментов относительно
Из условия сумм сил по осям получим.
Рассмотрим правую балку (Рис. 3.). Запишем сумму моментов относительно
Рис. 2. Схема расчета левой балки в случае приложения силы [pic].
Рис. 3. Схема расчета правой балки в случае приложения силы [pic].
На основании поученных данных постоим эпюры и запишем интересующую
Рис. 4. Эпюры от действия силы [pic].
Рассмотрим левую балку.(Рис. 5.)
Приложенные к балке реакции направленные по оси [pic] будут создавать
не чем не уравновешенный момент. Из условия статичности они ровны 0. А
реакции направленные вдоль балки будут компенсировать друг друга.
Рис. 5. Схема расчета левой балки в случае приложения силы [pic].
Рассмотрим правую балку (Рис. 6.). Запишем сумму моментов относительно
Из баланса сил определим.
Рис. 6. Схема расчета правой балки в случае приложения силы [pic].
На основании поученных данных постоим эпюры и запишем Интересующую нас
Рис. 7. Эпюры от действия силы [pic].
Расчет перемешения точки [pic].

4.frw

Петров 5.doc

Расчетное задание №15
по курсу «Строительная механика и металлические конструкции»
Группа 40453 Студент Петров А.В.
Сечение которое необходимо спроектировать представляет собой
составное сечение коробчатого типа. Оно имеет вид:
[pic] - высота сечения
[pic] - толщина стенок
[pic] - толщина поясов
[pic] - ширина пояса
[pic] - расстояние между стенками.
В расчетах рассматривается сечение балки в котором действует
максимальный изгибающий момент.
Необходимо определить основные параметры сечения: [pic] [pic] [pic]
Проектный расчет из условия прочности
Поскольку из условия прочности можно определить только один
неизвестный параметр то для определения остальных параметров необходимы
дополнительные конструктивные соображения.
Высота сечения двухопорной балки (в данной задаче рассматривается
балка с наибольшим изгибающим моментом которая является двухопорной) может
быть ориентировочно принята из условия:
Сечение следует располагать так чтобы наиболее нагруженными были
пояса. Это достигается при вертикальном расположении сечения (когда пояса
Толщина стенок должна быть минимальна поскольку основная нагрузка
приходится на пояса. Ее выбираем из условия:
Найдем момент инерции сечения:
Момент сопротивления:
Условие прочности в расчете по допускаемым напряжениям имеет вид:
где [pic] - коэффициент запаса
[pic] - предел текучести ([pic])
[pic] - максимальный изгибающий момент (в опасном сечении).
Отсюда выражаем площадь пояса и находим ее:
Из условия связанного с обеспечением устойчивости пояса:
Толщины стенок и поясов принимаем четными из интервала значений [pic].
Таким образом [pic].
Расстояние между стенками выбираем исходя из возможности сварки. Она
представлена двумя условиями:
Очевидно что ширина пояса [pic] меньше чем минимально возможное
расстояние между опорами [pic]. Значит необходимо скорректировать
параметры [pic] и [pic].
Таким образом выбраны следующие геометрические параметры коробчатого
Проведем проверку на прочность сечения по допускаемым напряжениям:
Условие прочности выполняется.
Проверка по условию жесткости
Допускаемое перемещение балки задано в условии:
Определим перемещение балки в опасном сечении [pic] по нагрузкам из
Для этого воспользуемся правилом перемножения эпюр Верещагина.
Условие жесткости выполняется.
Проверка местной устойчивости
Проверку проводим по сечению с наибольшим изгибающим моментом.
При этом исходим из условия что ребра (диафрагмы) внутри сечения
устанавливаем на расстоянии “a” друг от друга определяемое условием:
Примем предварительно [pic].
Проверяем местную устойчивость:
- Пояса коробчатой балки (по нормальным напряжениям).
- Стенки коробчатой балки (по нормальным и касательным напряжениям).
Пояс коробчатой балки
Рассматриваем пояс в опасном сечении балки как прямоугольную пластину
все четыре кромки которой закреплены шарнирно.
В опасном сечении в поясе действуют растягивающие напряжения
вызванные наибольшим изгибающим моментом.
Определяем критическое напряжение по формуле:
где [pic] - коэффициент имеющий размерность “МПа”.
[pic] - коэффициент устойчивости отражающий влияние условий закрепления и
распределения напряжений по ширине пластины.
[pic] - толщина пояса.
[pic] - ширина пояса.
[pic] - расстояние между соседними диафрагмами в коробчатом сечении рамы.
Условие местной устойчивости для пояса при расчете по допускаемым
напряжениям имеет вид:
Таким образом условие местной устойчивости пояса выполняется.
Стенка коробчатой балки
Рассматриваем отдельную боковую панель балки (стенку) между двумя
соседними диафрагмами которая может потерять устойчивость (в опасном
Панель будет терять устойчивость снизу. При этом искривляется
нейтральная ось стержня.
Критическое нормальное напряжение определяем по формуле:
[pic] - толщина стенки.
[pic] - высота стенки.
Критическое касательное напряжение определяем по формуле:
Максимальное нормальное напряжение:
Максимальное касательное напряжение:
где [pic] - максимальная перерезывающая сила.
[pic] - площадь стенки (панели).
Для расчета по допускаемым напряжениям (по нормальным и касательным
напряжениям) условие местной устойчивости можно записать в виде:
Очевидно что условие местной устойчивости стенки не выполняется
Уменьшим шаг диафрагм. Примем [pic].
Тогда необходимо пересчитать все напряжения в условии местной
Критическое нормальное напряжение:
Условие местной устойчивости стенки выполняется.
Таким образом окончательно приняты следующие параметры коробчатого сечения
Спроектировать раму по данным задачи 1 считая что:
- элементы рамы имеют постоянное сечение коробчатого типа;
- обеспечить условия прочности при [p
- условие жесткости при [p
- условие местной устойчивости.

3 (2).docx

Санкт-Петербургский государственный Политехнический Университет
Транспортные и технологические системы
Расчетное задание по курсу «Металлические конструкции машин»
Студент гр. 40451: Якобенко К. В.
Преподаватель:Кузьмичев В.А.
Выполнить кинематический анализ системы.
Вычислить перемещение точки А в указанном направлении от нагрузки Р.
Определим является ли балка статически определимой. Число неизвестных реакций равняется трем то есть количеству уравнений статики - следовательно балка статически определима.
Найдем все неизвестные реакции при приложении силы Р1:
Реакции найдены верно.
Строим эпюру изгибающего момента – Рис.1.
Приложим единичную силу Р=1 в точке А найдем новые значения реакций в опорах и построим эпюру изгибающего момента.
Строим эпюру изгибающего момента – Рис.2.
Вычислим перемещение точки А в указанном направлении от нагрузки Р.
Сечением рамы выбран Двутавр 33 ГОСТ 8239-89.

Вопросы-строймех.doc

“СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ”
Кинематический анализ расчетных схем плоских и пространственных
стержневых систем. Опоры в расчетных схемах.
Построение эпюр моментов и перерезывающих сил для балок и плоских рам.
Общие положения метод и примеры
Два типа задач при расчете конструкций на действие подвижной нагрузки.
Нахождение наиболее нагруженного сечения балки по которой движется
двухколесная тележка.
Линии влияния опорных реакций и внутренних усилий для балочных
конструкций в том числе шарнирных.
Расчет конструкций по линиям влияния. Нагружение системой сил моментом и
распределенной нагрузкой.
Линии влияния для случая узловой передачи нагрузки.
Плоские фермы определение виды решеток кинематический анализ.
Определение усилий в стержнях методом вырезания узлов и метод сечений.
Определение нулевых стержней.
Расчет плоских ферм при действии подвижной нагрузки. Линии влияния
опорных реакций и усилий в стержнях.
Линейные системы. Принцип возможных перемещений для абсолютно жестких и
Определение перемещения точек упругой стержневой системы. Вывод формулы
Мора для пространственных стержневых систем.
Формула Мора в общем виде и ее частные случаи для плоских стержневых и
ферменных конструкций.
Теоремы о взаимности работ и перемещений доказательство на основе
Метод Верещагина для решения интегралов Мора (вывод и пример
Определение линейных и угловых перемещений элементов статически
определимой рамы (на примере).
Перемещение фермы как эквивалентной балки. Определение толщины
эквивалентной стенки.
Статически неопределимые стержневые системы их свойства определение
степени статической неопределимости.
Метод сил для расчета статически неопределимых стержневых систем идея
метода система канонических уравнений определение коэффициентов
канонических уравнений. Реализация метода на примере. Проверка правильности
Проверка правильности расчета конструкции методом сил. Обоснование
Учет неточности изготовления и температурных деформаций при расчете
конструкций методом сил. Методы проверки расчета конструкции методом сил.
Метод перемещений для расчета статически неопределимых стержневых систем
идея метода определение степени кинематической неопределимости система
канонических уравнений (на примере).
Требования предъявляемые к несущим металлическим конструкциям машин.
Виды предельных состояний элементов конструкций и их краткая
Методы расчета элементов конструкций по допускаемым напряжениям по
предельным состояниям и вероятностный. Назначение методов расчета их
сравнительный анализ.
Нагрузки для расчета конструкций их классификация. Расчетные случаи
нагружения их назначение и состав. Комбинации нагрузок. Таблица нагрузок.
Сечения элементов конструкций принципы построения выбор оптимальных
Кручение балок открытого и замкнутого сечения. Свободное и стесненное
кручение. Определение центра изгиба угла закручивания и касательных
Определение нормальных и касательных напряжений в балках при изгибе.
Устойчивость сжатых стержней суть явления условия обеспечения
устойчивости и методика выбора сечения стержня.
Устойчивость сжато-изогнутых стержней суть явления расчет по
деформированной схеме. Условие обеспечения прочности и устойчивости.
Общая устойчивость балок методика расчета и обеспечение устойчивости.
Местная устойчивость поясов коробчатых и двутавровых балок. Расчетная
схема методика проверки на местную устойчивость и обеспечение
Местная устойчивость стенки балки при действии нормальных и касательных
напряжений. Методика проверки на местную устойчивость.
Сопротивление усталости элементов сварных конструкций. Характеристики
процесса нагружения усталостные кривые образцов и элементов конструкций
их экспериментальное получение и математическое описание. Факторы влияющие
на пределы выносливости сварных соединений.
Влияние параметров нагружения на сопротивление усталости сварных узлов.
Диаграмма предельных напряжений.
Сопротивление усталости. Расчетная оценка процесса эксплуатационного
циклического нагружения элемента конструкции схематизация процесса
Приведение схематизированного нестационарного процесса нагружения к
симметричному циклу. Расчет конструкций на сопротивление усталости и оценка
Трещиностойкость конструкций. Понятие коэффициента интенсивности
напряжений и условие развития трещины при однократном нагружении.
напряжений и условие развития трещины при циклическом нагружении. Расчет
длительности развития трещины.
Материалы и сортамент применяемые для металлических конструкций.
Классификация требования предъявляемые к ним и принципы рационального
Ездовые балки. Виды повреждений принципы расчета и проектирования балок
с катанием по нижнему поясу.
Ездовые балки. Виды повреждений и принципы проектирования балок с рельсом
над стенкой и посередине пояса.
Проектирование ферм. Виды и выбор решетки. Проектирование узлов расчет
Типы сварных соединений. Расчет и проектирование стыковых сварных
Типы сварных соединений. Расчет и проектирование сварных соединений с
Расчет и проектирование болтовых фланцевых соединений.
Расчет и проектирование болтовых соединений на накладках.
Вершинский А.В. Гохберг М.М. Семенов В.П. Строительная механика и
металлические конструкции. Л. Машиностроение. 1984.
Соколов С.А. Металлические конструкции ПТМ. СПб. Политехника. 2005 г.
Саргсян А.Е. и др. Строительная механика. М. АСВ. 1998. и др.

Фрагмент2 (2).frw

Строймех (лекции).docx

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕХАНИКО-МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ
(конспект лекций по специальности: «Подъемно-транспортные и строительные машины)
Составил: профессор докт. техн. наук Виктор Алексеевич Кузьмичев.
Документ выполнен в программе Microsoft Word – 2000
§ 1. Классификация нагрузок.
§ 2. Методы прочностного расчета элементов стальных конструкций.
§ 3. Классификация расчетных схем сооружений
§ 4. Классификация опор.
§ 5. Кинематический анализ конструкций.
§ 6. Статически определимые балки.
§ 8. Расчет статически неопределимые системы.
§ 9. Соединения и стыки элементов металлоконструкций
Строительная механика — это наука о способах расчета на прочность жесткость и устойчивость сооружений в целом в то время как в сопротивлении материалов рассматриваются вопросы прочности жесткости и устойчивости отдельных элементов сооружения. В строительной механике используют методы теоретической механики графической статики сопротивления материалов теории упругости и теории пластичности. Рассматривают методы расчета обеспечивающие возможность проектировать конструкции рациональные с точки зрения указанных расчетных требований и одновременно удовлетворяющие экономическим требованиям.
Сложность строгого учета взаимодействия отдельных частей сооружения всех факторов влияющих на его поведение вызывает необходимость рассматривать при расчете не действительное сооружение а его упрощенную схему называемую расчетной схемой сооружения. При выборе ее руководствуются двумя основными требованиями: схема должна соответствовать действительным условиям работы сооружения и должна быть простой чтобы избежать излишней сложности при расчете. Искусство расчета в значительной степени зависит от умелого сочетания этих требований от умения выбрать расчетную схему сооружения достаточно простую и одновременно правильно отражающую условия работы действительного сооружения.
При расчете сооружений в строительной механике используется как аналитические так и графические методы.
Ценным качеством аналитического метода является возможность получать решения в общем виде позволяющие применять полученные выводы к разрешению целого ряда аналогичных частных задач. Аналитический метод обеспечивает возможность проводить глубокий анализ изучаемого явления — выявлять степень влияния отдельных факторов на работу сооружения. Кроме того он обладает значительно большей точностью чем графический.
Достоинство графического метода заключается в наглядности простоте решения возможности в ряде случаев получать быстрое решение задачи с достаточной для практических целей точностью. Однако в отличие от аналитического метода он не дает общих решений: каждая частная задача требует применения отдельного решения.
§ 1. Классификация нагрузок
Внешние активные силы действующие на конструкцию называются нагрузками. Нагрузки бывают сплошные и сосредоточенные. Сплошные нагрузки - нагрузки распределенные по поверхности измеряемые интенсивностью в Нм2 или распределенные по объему измеряемые интенсивностью в Нм3. Сплошные поверхностные и объемные силы действующие на брус обычно заменяются сплошной нагрузкой по длине бруса измеряемой интенсивностью в Нм.
Если поверхностные нагрузки распределены по малой площади то их равнодействующая представляется в виде сосредоточенной силы. Расчет конструкций начинают с определения действующих на них нагрузок: их величины продолжительности и характера действия.
Нагрузки действующие на сооружение подразделяются:
Функциональные нагрузки для восприятия которых и проектируется конструкция. Например нагрузки от установленного оборудования крановая нагрузка нагрузка от транспортных средств (от железнодорожных поездов от автомобилей) от гидростатического давления в плотинах от давления земли в подпорных стенках и т. д.
По продолжительности действия различают постоянные и временные нагрузки.
Постоянные нагрузки - это такие нагрузки которые всегда находятся на сооружении как например его собственный вес. Временные нагрузки наоборот не всегда действуют на сооружение. Временные нагрузки дополнительно разделяются на подвижные и неподвижные. Подвижные нагрузки - это нагрузки перемещающиеся по сооружению как например автомобили трамваи троллейбусы поезда и другие транспортные средства. Неподвижные нагрузки - это нагрузки сохраняющие на сооружении продолжительное время неизменное положение в виде различного оборудования.
К особым нагрузкам относятся сейсмические воздействия а также воздействия просадок оснований.
По характеру действия различают статические и динамические нагрузки.
Статической называют такую нагрузку величина и положение которой при расчете принимаются не зависящими от времени или изменяющимися столь медленно что введение в расчет сил инерции не является необходимым.
Динамической называют такую нагрузку величина и положение которой изменяются во времени настолько быстро что становится необходимым вводить в расчет силы инерции.
Атмосферные нагрузки - снег и ветер.
При расчете конструкций должны приниматься сочетания нагрузок и воздействий в наиболее невыгодных комбинациях для отдельных элементов или для всего сооружения. Различают основные дополнительные и особые сочетания нагрузок.
Числовые значения нагрузок принимают в соответствии с нормативными документами (CНиП и др.). Этими нормами устанавливаются наибольшие величины внешних воздействий при нормальной эксплуатации конструкций так называемые нормативные нагрузки. Расчетные нагрузки получают путем умножения нормативных нагрузок на коэффициенты перегрузки которые учитывают возможность превышения (а в отдельных случаях уменьшения) нагрузок по сравнению с их нормативными значениями вследствие изменчивости нагрузок.
§ 2. Методы прочностного расчета элементов
стальных конструкций.
Прочность устойчивость и жесткость конструкций зависят не только от материала размеров и формы его элементов но и от внутренних сил которые возникают и развиваются в них при действии нагрузки. Следовательно размеры конструкции в целом и ее элементов определяются величинами внутренних сил и как следствие напряжениями и деформациями возникающими в этих элементах. Поэтому при всяком расчете должны быть в первую очередь найдены внутренние силы.
Если размеры элементов конструкции заданы то по внутренним силам можно в результате расчета судить о прочности устойчивости и жесткости конструкции в целом (поверочный расчет). Если размеры элементов конструкции не известны то по внутренним силам в результате расчета можно определить их размеры удовлетворяющие прочности устойчивости и жесткости сооружения ( проектировочный расчет).
Таким образом основная задача состоит в определении внутренних сил.
Внутренние силы определяются при помощи известного метода сечений и представляются в виде изгибающих и крутящих моментов продольных и поперечных сил.
При определении внутренних сил надо иметь в виду что всякая конструкция под нагрузкой меняет свою форму — деформируется. Деформация нарастает до тех пор пока внутренние силы не будут в состоянии препятствовать дальнейшему ее росту после чего наступает равновесие конструкции в деформированном состоянии. Так как скорость развития деформаций в обычных строительных материалах велика то равновесие в деформированном состоянии практически наступает одновременно с приложением нагрузки.
Расчет сооружений в конечном счете сводится к оценке его прочности устойчивости и жесткости.
Различают два принципиально различных метода прочностного расчета элементов стальных конструкций а именно: метод допускаемых напряжений и метод предельных состояний.
Метод допускаемых напряжений был разработан еще в начале 19-ого века и являлся единственным методом прочностного расчета вплоть до тридцатых годов 20-ого столетия.
Основой этого метода является использование в расчетах понятия о допускаемом напряжении определяемом как часть напряжения которое принимается за опасное с точки зрения исчерпания несущей способности элемента. Сначала за такое принималось временное сопротивление (-предел прочности) а затем предел текучести стали. Отношение опасного напряжения к допускаемому называется коэффициентом запаса.
При расчете по методу допускаемых напряжений коэффициенты запаса принимается в зависимости от назначения и условий работы (эксплуатации) конструкции. Допускаемое напряжение определяется по формуле:
где - предел текучести для соответствующей марки стали; n—коэффициент запаса принимаемый в пределах 13—17. Коэффициент запаса зависит отряда факторов например назначение конструкции сочетания нагрузок качества материала (стали) и т. п..
Допускаемые напряжения регламентируются соответствующими техническими условиями проектирования различных машин.
По мере накопления опыта эксплуатации и развития теории работы конструкций выявляется неудовлетворительность проектировщиков сооружений методом расчета по допускаемым напряжениям. Например допускаемые напряжения для стали марки Ст. 3 были увеличены на 60% а конструкции оказывались все такими же работоспособными как и при меньших значениях допускаемых напряжений. Это указывало на то что величины коэффициентов запаса были недостаточно обоснованы. Причиной этого было главным образом отсутствие четкого представления о влиянии на величину коэффициента запаса таких факторов как изменчивость качества материала (стали); изменчивость эксплуатационных нагрузок; условия работы конструкции; отсутствие в некоторых случаях прямой пропорциональности между нагрузками и напряжениями (деформациями); точность расчета и т. п. Таким образом коэффициент запаса является величиной обобщенной благодаря чему в одних случаях конструкций может обладать чрезмерным запасом а в других — недостаточным.
Метод предельных состояний. Для металлических конструкций подъемно - транспортных машин должны удовлетворятся два предельных состояния: первое – по прочности устойчивости и выносливости; второе – по общим деформациям.
Впервые научное обоснование коэффициента запаса было дано Н. С. Стрелецким на основе изучения закономерностей факторов влияющих на условия неразрушимости конструкции методами теории вероятностей и математической статистики. В результате указанного исследования обобщенный коэффициент запаса может быть расчленен на три отдельных коэффициента каждый из которых может быть детально изучен и количественно определен. Такими коэффициентами являются:
а) коэффициент однородности k стали учитывающий изменчивость ее механических свойств а также и изменения площадей сечения проката в меньшую сторону в соответствии с минусовыми допусками на прокат;
б) коэффициент перегрузки п учитывающий изменчивость эксплуатационных нагрузок; как правило этот коэффициент больше единицы.
в) коэффициент условий работы т учитывающий отличие работы конструкции в эксплуатационных условиях от теоретических и расчетных предположений.
На основе изучения законов изменения трех указанных коэффициентов условие гарантирующее неразрушимость конструкции записывается в общем виде: (1) где - усилия от нормативных нагрузок т. е. нагрузок определяемых соответствующими Техническими условиями проектирования ГОСТами и тому подобными официальными документами;
F- геометрический фактор сечения (площадь момент сопротивления и т. п.);
Rн - нормативное сопротивление материала (стали) определяемое соответствующими ГОСТами или Техническими условиями; k п т — вышеуказанные коэффициенты регламентируемые соответствующими техническими условиями.
Формула (1) состоит из ряда величин называемых нормативными (т. е заданными определенными нормами или ГОСТами) и коэффициентов посредством которых нормативные величины приводятся к расчетным. Таким образом расчетное усилие и расчетное сопротивление материала (стали) где k 1
Расчетное сопротивление R — это возможное наименьшее сопротивление стали. Для стали за нормативное сопротивление принимается предел текучести. Коэффициент однородности получается в результате обработки статистических данных по испытаниям образцов стали.
Условие неразрушимости (1) можно переписать в виде: (2) где m=m1·m2·m3. Здесь m1= 1.0 075 учитывает ответственность элемента; m2=09 095 – неточность изготовления; m3 – несовершенства расчета.
Формулы (1) и (2) показывают что условие прочности здесь записано для разрушающих т. е. предельных нагрузок. Отсюда и название «метода предельных состояний». В общем предельным называется состояние при котором исчерпывается возможность дальнейшей эксплуатации конструкции.
Этот метод прочностного расчета в полной мере отвечает важнейшему принципу проектирования стальных конструкций а именно принципу равной прочности элементов и соединений.
Применительно к металлоконструкциям грузоподъемных конструкций метод предельных состояний в настоящее время разработан для кранов различных назначений. В области дорожных машин и оборудования для производства строительных материалов там где рабочие нагрузки носят нестационарный характер и не могут быть регламентированы в основном применяется метод допускаемых напряжений.
Основной смысл расчета сооружений по предельным состояниям заключается в разделении единого коэффициента запаса как отмечалось выше на три самостоятельных: коэффициент перегрузки коэффициент однородности и коэффициент условий работы которые в разных условиях различны что позволяет более гибко оперировать с ними. Разумеется что такое деление коэффициента запаса возможно и в методах расчета по допускаемым напряжениям. В самом деле если за предельное состояние принять например наибольшее напряжение в одной точке сечения равное пределу упругости или текучести то расчет по предельному состоянию по существу будет расчетом по допускаемым напряжениям при повышенном допускаемом напряжении равном расчетному сопротивлению.
Оценка жесткости конструкции по двум методам проводится путем сопоставления наибольших перемещений от действительной или нормативной нагрузки с перемещениями приемлемыми для эксплуатации конструкции по формуле:
Выносливость металлических конструкций.
При длительном действии переменных нагрузок элементы металлических конструкций могут разрушаться при напряжениях меньших предела прочности или предела текучести. Такое разрушение определяется явлением усталости металла. Способность материала сопротивляться воздействию переменных нагрузок называется выносливостью. Выносливость характеризуется «кривой усталости металла» впервые полученной Веллером. Типовая зависимость кривой усталости в полулогарифмических координатах представлена на рис.1.
N0 – базовое число циклов характеризует наибольшее число повторно-переменных нагружений существенное превышение которого не приводит к усталостному разрушению испытуемого образца при данном напряжении.
Опыт эксплуатации сварных металлических конструкций показал что в некоторых случаях происходит преждевременное разрушение конструкций носящее усталостный характер. Развитию усталостных повреждений содействуют концентраторы напряжений возникающие в процессе изготовления металлических конструкций например сварка резкие изменения сечений и т.п.
Расчет на выносливость металлических конструкций подъемно-транспортных машин проводится по методике предложенный М.М. Гохбергом. Условие выносливости имеет вид: где - предел выносливости элемента принимаемый за опасное напряжение с эффективным коэффициентом концентрации k при коэффициенте асимметрии цикла r; n – коэффициент запаса n = 13-15 для стали Ст.3. В качестве примера на рис.2 представлен характер изменения допускаемого напряжения симметричного и пульсирующего положительного циклов для стали Ст. 3.
Рис.2. : 1.- симметричный цикл; 2.- пульсирующий положительный цикл.
Очевидно существенное влияние как эффективного концентратора напряжений к так и коэффициента асимметрии цикла r на величину допускаемого напряжения при расчете на выносливость.
Следовательно при динамических нагрузках на конструкцию кроме расчета на прочность необходимо проводить проверку на выносливость.
Классификация расчетных схем сооружений может быть проведена по нескольким признакам.
По геометрическим признакам различают следующие типы сооружений:
) сооружения массивные у которых поперечные размеры по сравнению с длиной достаточно велики; сооружения этой категории выполняют из материала способного воспринимать преимущественно напряжения сжатия (камень бетон); сюда относятся подпорные стенки плотины опоры мостов и т.п. .
) сооружения составленные из элементов толщина которых относительно мала по сравнению с шириной и длиной например пластинки оболочки; элементы этих сооружений выполняют из железобетона металла и дерева.
) сооружения составленные из элементов поперечные размеры которых значительно меньше их длин — стержневые системы; их выполняют из металла железобетона и дерева.
Стержневые системы подразделяют:
а) на пространственные системы в которых оси всех стержней не лежат в одной плоскости (рис.3);
б) плоские системы в которых оси всех стержней а также силы действующие на систему лежат в одной плоскости.
В действительности все сооружения представляют собой пространственные системы однако в некоторых случаях взаимное расположение частей сооружения и характер действующих на него сил позволяют расчленить пространственную систему на ряд плоских что значительно упрощает расчет.
Металлический каркас склада у которого все три измерения — ширина высота и длина — одного порядка относят к пространственным системам. Однако при расчете можно расчленить каркас на плоские системы в которых оси всех элементов лежат в одной плоскости: на основные фермы 1 и на поперечные 2 опирающиеся на основные и поддерживающие настил.
В зависимости от типа соединений элементов различают:
) рамы - стержневые системы стержни которых во всех или в некоторых узлах жестко связаны между собой и которые теряют геометрическую неизменяемость если все узлы заменены шарнирными;
) фермы - стержневые системы остающиеся геометрически неизменяемыми если в них все жесткие узлы заменены шарнирными;
) комбинированные системы например шпренгельные балки .
В зависимости от направления опорных реакций:
) безраспорные системы — балочные (рис. 4 а) консольные (рис. 4 б) или консольно-балочные (рис. 4 в) в которых вертикальная нагрузка вызывает только вертикальные опорные реакции;
) распорные системы — арочные (рис.4г) и висячие (рис.4д) в которых вертикальная нагрузка вызывает наклонные опорные реакции; отличие арочных систем от висячих заключается в направлении горизонтальной составляющей реакции (распора Н); в арочных системах распор направлен к середине пролета в висячих наружу.
§4. Классификация опор.
Опора представляет собой пространственную конструкцию; однако в плоских системах у которых оси всех элементов и действующие на систему силы лежат в одной плоскости она может рассматриваться как часть плоской системы.
Опоры плоских систем бывают четырех основных типов. Схемы их даны на рис.5.
Первый тип. Цилиндрическая подвижная опора (рис.5а). В ее состав входят: верхний балансир прикрепленный к системе нижний балансир цилиндрический шарнир расположенный между обоими балансирами и катки которые могут перемещаться по опорной плоскости. Такая опора допускает поворот системы вокруг оси шарнира и поступательное перемещение на незначительное расстояние. Опорная реакция имеет одну неизвестную R.
Второй тип. Цилиндрическая неподвижная опора (рис5б). Эта опора в конструктивной схеме которой отсутствуют катки отличается от предыдущей тем что в данном случае известна только точка приложения опорной реакции — центр шарнира направление же опорной реакции неизвестно. В общем случае опорная реакция имеет две неизвестные составляющие по осям R1 и R2
Третий тип. Защемляющая неподвижная опора (рис.5в). Такая опора выполняется путем жесткой заделки конца стержня и не допускает ни поступательного перемещения ни поворота системы. В данном случае неизвестными являются не только величина и направление но и точка приложения опорной реакции. В общем случае опорная реакция имеет две неизвестные составляющие по осям R1 и R2 и момент М.
Четвертый тип. Защемляющая подвижная опора (рис.5г). В конструктивной схеме конец стержня опирается на катки заложенные между стержнем и стеной. Такая опора допускает поступательное перемещение и препятствует повороту узла. В общем случае опорная реакция имеет одну неизвестную составляющую по оси R1 и момент М.
Таким образом число стержней в стержневой схеме опоры всегда равно числу неизвестных которые следует найти для определения опорной реакции.
Опоры пространственных систем бывают трех основных типов. Схемы их даны на рис.6.
Первый тип. Плоско-подвижная шаровая опора. Она допускает вращение вокруг любой оси проходящей через центр шарового шарнира и поступательное перемещение по опорной поверхности.
Второй тип. Линейно-подвижная опора. Она допускает вращение вокруг любой оси проходящей через центр шарового шарнира и поступательное перемещение на катках.
Третий тип. Неподвижная шаровая опора. Она допускает вращение вокруг любой оси проходящей через центр шарового шарнира.
Для создания неподвижной геометрически неизменяемой пространственной конструкции необходимо не менее шести опорных стержней расположенных таким образом чтобы была обеспечена неизменяемость всего закрепления.
Величины усилий в шести опорных стержнях можно определить на основании шести условий равновесия статики:
Для упрощения вычислений усилия в отдельных опорных стержнях составляют уравнения моментов относительно осей пересекающих возможно большее число остальных опорных стержней так как в этом случае моменты усилий стержней пересекаемых осью или параллельных ей равны нулю.
Пример. Определить усилия в опорных стержнях геометрически неизменяемой пространственной фермы приведенной на рис.7 при действии силы Р.
Рассечем ферму поверхностью пересекающей все шесть опорных стержней. Обозначим усилия в опорных стержнях через S1 S2 S3 S4 S5 S6 и при составлении уравнений равновесия условно примем что опорные стержни растянуты.
Приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси x получим:
откуда Знак минус показывает что стержень 4 сжат. Приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси у найдем: откуда Итак стержень 5 сжат. Приравняв нулю сумму проекций всех сил на ось z получим: . Подставив значения для S4 и S5 найдем: . Итак стержень 3 растянут. Приравняв сумму проекций всех сил на оси y и x и сумму моментов относительно оси z нулю получим:
Расчетные схемы ряда конструкций могут быть представлены в виде геометрически неизменяемой системы плоских тел расположенных в одной плоскости соединенных между собой шарнирами (стержнями) и прикрепленных к земле при помощи опорных устройств (опорных стержней). Эти шарниры и опоры называют кинематическими связями или просто связями.
С позиций кинематического анализа конструкции могут быть классифицированы по следующим признакам ( рис.8.).
При проектировании инженерных сооружений использование геометрически изменяемых и мгновенно изменяемых конструкций недопустимо.
Геометрически неизменяемой называют такую систему соединенных между собой тел (дисков) которая не допускает относительного перемещения ее частей без их деформации.
Для понимания сущности кинематического анализа геометрически неизменяемых систем предварительно рассмотрим отдельный ничем не связанный плоский диск (рис.9б). Под диском будем понимать геометрически неизменяемую конструкцию любой геометрической формы.
Положение такого диска при перемещении его в плоскости определяется тремя параметрами. Например координатами х и у какой-либо точки А и углом наклона α к оси абсцисс какой-либо прямой проходящей через эту же точку А. (точка А и прямая принадлежат диску). Число независимых геометрических параметров характеризующих положение диска определяет число степеней свободы диска. Таким образом отдельный ничем не связанный плоский диск обладает тремя степенями свободы.
Определим число степеней свободы системы приведенной на рис.9а. Обозначим число дисков через Д число опорных стержней — через С0 и число шарниров — через Ш. Если бы все диски были свободны то общее число степеней свободы равнялось бы ЗД. Каждый опорный стержень уменьшает степень свободы на 1 при С0 опорных стержней степень свободы уменьшается на С0. Каждый шарнир уменьшает степень свободы на 2 при Ш шарнирах степень свободы уменьшится на 2Ш. Итак общее число степеней свободы системы n = 3Д – С0 - 2Ш. Система будет геометрически изменяема если n>0 или 3Д > С0 +2Ш .
Необходимое условие для геометрической неизменяемости системы т. е. для системы соединенных между собой тел не допускающей относительного перемещения ее частей без их деформации n ≤ 0: 3Д = С0 + 2Ш (1) – конструкция геометрически неизменяемая и не имеет лишних связей. Такие системы называют статически определимыми. Если 3Д С0 + 2Ш (2) - конструкция геометрически неизменяемая и имеет лишние связи. Такие системы называют статически неопределимыми. В рассматриваемом примере (рис.10а) 3·2 - 4 - 2·1 = 0 - конструкция геометрически неизменяемая и статически определимая.
Эти условия необходимы но недостаточны для суждения о неизменяемости системы. Следует еще рассмотреть расположение стержней т. е. проверить геометрическую структуру системы. Таким образом с кинематической точки зрения различают:
) геометрически неизменяемые системы имеющие лишь необходимое число кинематических связей (рис. 10аб);
) геометрически неизменяемые системы имеющие лишние связи (рис.10в) .
На практике встречаются так называемые кратные шарниры соединяющие не два а несколько отдельных дисков. Кратный шарнир приведенный на рис.10г соединяет четыре диска его следует рассматривать как 4 – 1 = 3 простых шарнира. Кратный шарнир приведенный на рис.10д надо рассматривать как два простых шарнира; одиночные шарниры на рис.10еж. Шарнир на рис.10е называют полным а на рис.10ж - неполным. В вышеуказанных формулах под Ш понимается приведенное число шарниров т. е. эквивалентное число простых шарниров. Если кратный шарнир соединяет m дисков то он эквивалентен m – 1 простым шарнирам.
Число лишних связей определяется по формуле: Л = С0 + 2Ш - 3Д (3). Формула (1)(2) (3) применимы для анализа статической неопределимости шарнирно-стержневой системы при условии что ни в одном из дисков нет лишних связей.
Рассмотрим случай когда диск представляет стержневую систему в виде фермы. Как отмечалось фермы - стержневые системы остающиеся геометрически неизменяемыми если в них все жесткие узлы заменены шарнирными.
Шарнирное соединение в виде треугольника представляет собой геометрически неизменяемую систему.
Геометрически неизменяемая система с числом стержней более трех может быть образована следующим способом: к основному затемненному треугольнику последовательно присоединяют узлы при помощи двух стержней оси которых не лежат на одной прямой (последовательный порядок прикрепления стержней указан на рисунке цифрами). Фермы образованные таким образом называют простейшими (рис.11).
Системы полученные из шарнирного треугольника путем последовательного присоединения узлов представлены на рис.12.
Установим зависимость между числом стержней и числом узлов геометрически неизменяемой фермы исходя из способа образования простейшей фермы. Для образования первых трех узлов необходимы три стержня. Обозначим через У общее число узлов. Для образования остальных (У — 3) узлов необходимо 2(У — 3) стержня. В результате получим общее число стержней: 3 + 2(У — 3) = 2У — 3. Обозначая общее число стержней через С найдем необходимое условие геометрической неизменяемости фермы: С = 2У — 3 (1). Эта зависимость является необходимым условием для получения геометрически неизменяемой системы с наименьшим числом стержней. Вполне понятно что могут быть фермы с большим числом стержней где С>2У —3. Тогда число лишних связей определяется по формуле: Л=С – (2У-3).
В ферме (рис.12а) число узлов У = 10; 2У -3 = 17; число стержней С = 17. Следовательно ферма геометрически неизменяема при наименьшем числе стержней. Геометрическую неизменяемость ферм (рис.12бвд) предлагается поверить самостоятельно.
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство что условие С = 2У-3 является необходимым но недостаточным. Так например на рис.13а ферма имеет число узлов У=8; 2У-3 = 13; число стержней С =13. Между тем она геометрически изменяема вследствие неправильного расположения стержней. Ферма (рис.13б) имеет одну лишнюю связь но геометрически изменяема (правые панели – шарнирные четырехугольники).
Поэтому при анализе геометрической неизменяемости нельзя ограничиться лишь проверкой соблюдения условия (1) но следует наряду с этим рассмотреть расположение стержней т. е. провести анализ геометрической структуры системы. Так для проверки простейших ферм необходимо проследить соблюдается ли указанный выше порядок последовательного присоединения узлов.
Для доказательства статической определимости ферм при соблюдении условия (1) вырежем узлы фермы и заменим действие удаленных частей внутренними усилиями направленными по осям стержней (рис.14). Рассматривая равновесие каждого вырезанного узла под действием внешних и внутренних сил можно для каждого узла написать два уравнения статики (X =0; Y=0) . При числе узлов У будем иметь 2У уравнений.
Из них необходимо 3 использовать для нахождения реакций опор следовательно для определения внутренних усилий остается 2У-3 уравнений.
Итак число уравнений равно числу неизвестных усилий и следовательно геометрически неизменяемая система при соблюдении условия С = 2У - 3 является статически определимой.
Фермы статически определимые можно поделить на две группы:
фермы статически определимые относительно опорных реакций;
фермы статически определимые относительно усилий в стержнях.
Необходимое условие геометрической неизменяемости и статической определимости ферм в целом имеет вид: С+С0 -2У=0.
Статически неопределимые системы
Статически неопределимой стержневой системой называют такую систему у которой при действии любой произвольной нагрузки не все продольные силы поперечные силы и моменты могут быть найдены из уравнений равновесия твердого тела или системы твердых тел (уравнений статики). В статически неопределимых системах имеются так называемые лишние связи которые можно удалить не нарушая геометрической неизменяемости системы. Наличие таких связей в геометрически неизменяемой системе является необходимым и достаточным признаком ее статической неопределимости.
Применение лишних (избыточных) связей дает иногда возможность проектировать сооружения более экономично (как например неразрезные балки) что является положительным свойством статически неопределимых систем.
Недостатком статически неопределимых систем является их чувствительность к осадкам опор к температурным воздействиям и к неточности изготовления отдельных элементов системы.
Различают связи условно необходимые и безусловно (абсолютно) необходимые (рис.15 а). Любой из стержней левой панели т. е. АВ ВС CF FA АС и BF является условно необходимым так как может быть удален при сохранении других стержней. В то время как стержни СЕ EF а также любой из трех опорных стержней является абсолютно необходимым так как удаление его превращает систему в геометрически изменяемую.
Количество лишних связей и соответственно лишних неизвестных определяет степень статической неопределимости. При наличии одного лишнего неизвестного система один раз статически неопределима при двух лишних неизвестных— два раза статически неопределима и т. д.
Дополнительные недостающие уравнения для определения лишних неизвестных составляются на основании рассмотрения деформаций системы и будут рассмотрены далее.
Статически неопределимые стержневые системы (фермы рамы и т.п.) можно поделить на три группы:
статически неопределимые относительно опорных реакций;
статически неопределимые относительно усилий в стержнях;
- комбинированные - статически неопределимые относительно опорных реакций и усилий в стержнях.
Общее число лишних неизвестных Л комбинированных статически неопределимые ферм с учетом условий статической неопределимости фермы как отдельного диска рассчитывается по формуле: Л=С+С0 -2У.
В рамных системах можно установить степень статической неопределимости на основании следующих соображений. Если в замкнутом бесшарнирном контуре проведем сквозное сечение 1-1(рис.15б) то перерезаем два элемента. Действие удаленных связей в каждом элементе должно быть заменено тремя неизвестными усилиями (поперечной и продольной силами изгибающим моментом). Таким образом получим шесть неизвестных для определения которых имеются три уравнения статики. Следовательно в каждом замкнутом контуре имеются 3 лишние связи.
Если в раме имеется К замкнутых бесшарнирных контуров то число лишних неизвестных Л=3К. В тех случаях когда в контуре имеются шарниры число лишних неизвестных определяется следующим образом. Как известно каждый простой шарнир уменьшает количество связей на единицу. Следовательно при наличии в замкнутом контуре Ш простых шарниров число лишних неизвестных равно Л=ЗК — Ш. В тех случаях когда шарниры кратные то под Ш понимается приведенное число шарниров.
Общее число лишних неизвестных с учетом опорных реакций определяется по формуле: Л=ЗК — Ш+ (Со-3).
Поясним применение этих формул примерами рам приведенных на рис.15вг. В раме на рис.15в замкнутых контуров 2 число шарниров 0 число опорных стержней 8. Следовательно после подстановки имеем Л=11. В раме на рис.15г также замкнутых контуров 2 имеются 2 простых промежуточных шарнира число опорных стержней 6. Следовательно Л=7.
Мгновенно изменяемые системы
При кинематическом анализе системы следует иметь в виду что система может оказаться мгновенно изменяемой даже при наличии достаточного числа связей и при геометрической структуре обеспечивающей в общем случае ее неизменяемость. На рис.16в и рис.17 представлены системы в которых имеется возможность бесконечно малого перемещения без изменения формы (длины) ее элементов. Эти системы мгновенно изменяемы так как соединение двух стержней оси которых лежат на одной прямой недопустимо.
Аналогичное явление имеет место и при присоединении диска к массиву тремя опорными стержнями пересекающимися при продолжении в одной точке О (рис.17 а). Точка О в данном случае будет мгновенным центром вокруг которого система может совершить бесконечно малое перемещение. Такие системы называют мгновенно изменяемыми. Вполне понятно что и диск опирающийся на три параллельных стержня следует отнести к мгновенно изменяемым системам поскольку параллельные линии пересекаются в бесконечно удаленной точке.
Усилия возникающие в элементах мгновенно изменяемых систем теоретически могут оказаться неопределенными или равными бесконечности.
На рис.16б дан пример геометрически неизменяемой системы.
Допустим что в системе на которую действует сила Р опорный стержень S не проходит через точку О — точку пересечения двух других опорных стержней. Определим усилие S в опорном стержне.
Так как система находится в равновесии то сумма моментов всех сил относительно точки О: M = P·r – S ·d = 0 где r d - длины перпендикуляров опущенных из точки О на направление силы Р и S .
Моменты усилий в двух других опорных стержнях относительно точки О равны нулю. Из составленного уравнения получим: S=P·rd.
На основании изложенного следует что применение мгновенно изменяемых систем при проектировании инженерных сооружений недопустимо. Необходимо избегать не только мгновенно изменяемых систем но и систем близких к ним поскольку усилия в стержнях таких систем могут достигать значительной величины.
Статически определимые балки разделяются на простые балки (рис.1а) консольные балки (рис.1бвг) многопролетные шарнирные балки (рис.1д) составленные из простых и консольных балок соединенных шарнирами.
Сопротивление материалов рассматривает балки при действии на них неподвижных нагрузок. В курсе строительной механики рассматриваются как простые балки так и многопролетные шарнирные статически определимые либо статически неопределимые балки при действии на них подвижных и неподвижных нагрузок.
При расчете мостов кранов подкрановых балок эстакад и ряда других инженерных сооружений приходится иметь дело с подвижной нагрузкой например железнодорожный поезд вагоны трамвая автомобили крановые тележки и т. п. Нагрузки эти представляют собой системы сосредоточенных грузов расположенных на определенном расстоянии друг от друга. В некоторых случаях они могут быть представлены и сплошной нагрузкой.
При расчете на подвижную нагрузку необходимо решать следующие задачи:
) определять опорные реакции поперечные и продольные силы изгибающие моменты в конструкциях при заданном (стационарном) расположении нагрузки.
) Выбирать наиболее невыгодное расположение нагрузки т. е. такое ее расположение при котором искомые величины достигают наибольшего значения.
Такие задачи решают при помощи линий влияния.
Линией влияния называют диаграмму изображающую зависимость искомой величины (силы момента напряжения перемещения и т. п.) от положения единичного груза (груза равного единице) на сооружении (конструкции).
Линии влияния усилий в простой балке
Опорные реакции. Рассмотрим как изменятся величины опорных реакций при движении единичного груза по балке. Расположим груз Р = 1 на расстоянии х от левой опоры (рис.2 а).
Для определения реакции А составим уравнение моментов всех сил относительно правой опоры В: . При движении груза по балке реакция А изменяется по линейному закону. Строим прямую по двум точкам: при х=0 А=1; при x=l A=0 . Эта прямая будет линией влияния реакции опоры А .
Ординаты линии влияния реакции выражаются отвлеченными числами; при умножении этих ординат на величину нагрузки например в ньютонах получим значение реакции в [Н].
Линию влияния опорной реакции В предлагается построить самостоятельно.
Поперечная сила. Построим линию влияния поперечной силы в сечении C балки. Как известно поперечной силой Q называют алгебраическую сумму проекций всех сил расположенных по одну сторону от сечения.
Рассмотрим сумму сил расположенных левее сечения. Предположим что поперечная сила положительна если она направлена вверх и откладываем ее в этом случае при построении линии влияния вверх. Отрицательные же значения откладываем вниз.
При расположении единичного груза справа от сечения С (рис.2 а) левые силы представляют собой одну опорную реакцию А. Следовательно . Будем считать ее положительной. Таким образом линией влияния поперечной силы Q при перемещении груза справа от С на протяжении СВ будет соответствующая часть линии влияния опорной реакции А на отрезке СВ – правая ветвь линии влияния. При движении груза слева от сечения С поперечную силу определяем как сумму сил справа которая сводится лишь к одной реакции В. Следовательно. (поперечная сила имеет отрицательное значение в силу закона парности сил). Отрезок линии влияния опорной реакции В на участке АС является линией влияния поперечной силы в левой части балки т. е. левой ветвью линии влияния. Итак линией влияния поперечной силы Q в сечении С простой балки является ломаная линия.
Размерность ординат линии влияния поперечной силы та же что и ординат линий влияния опорных реакций т. е. ординаты выражаются отвлеченными числами.
Изгибающий момент. Построим линию влияния изгибающего момента в сечении С. При этом положительные значения изгибающего момента будем располагать от растянутого волокна балки.
Когда единичный груз движется в правой части балки то в левой действует лишь одна сила - опорная реакция А. Изгибающий момент (1). Следовательно ординаты линии влияния изгибающего момента при перемещении груза справа от С на протяжении ВС можно получить из линии влияния реакции опоры А умножая ее ординаты на . Отрезок на протяжении СВ представляет собой правую ветвь линии влияния изгибающего момента.
При движении груза слева от С рассмотрим правую часть балки где действует опорная реакция В. Изгибающий момент (2). Следовательно ординаты линии влияния изгибающего момента в левой части можно получить умножая ординаты линии влияния опорной реакции В на . Отрезок на протяжении АС представляет собой правую ветвь линии влияния изгибающего момента. Ломаная линия будет линией влияния изгибающего момента в сечении С.
Нетрудно доказать путем подстановки в уравнения (1) и (2) x=l1 что правая и левая линии влияния искомого момента пересекутся в моментной точке С.
Ординаты линии влияния изгибающего момента выражаются в единицах длины например в метрах. При умножении этих ординат на величину нагрузки в ньютонах получим моменты в [Нм].
Очертание линии влияния изгибающих моментов имеет некоторое сходство с эпюрой изгибающих моментов. Однако между ними имеется принципиальная разница. Эпюра моментов дает возможность находить изгибающие моменты в любом сечении при заданной неподвижной нагрузке. Линии же влияния изгибающего момента дают возможность найти изгибающие моменты в определенном сечении при всевозможных положениях подвижной нагрузки.
На рис.2б представлены линии влияния для консольной балки. При построении линий влияния поперечной силы и изгибающего момента в отличии от простой двух опорной балки необходимо рассматривать ту часть балки в которой располагается груз. Линии влияния консольной балки предлагается построить самостоятельно.
Определение усилий по линиям влияния.
На рис. 3а представлена например линия влияния изгибающего момента простой балки в сечении с. Требуется определить величину изгибающего момента при заданной системе сосредоточенных грузов P1 Р2 Рn .
Ордината линии влияния y1 расположенная под грузом Р1 равна величине момента который возникает при действии единичного груза Р=1. Следовательно при действии груза Р1 момент будет равен Р1·y1. Аналогично при действии груза Р2 момент равен Р2·y2 и т.д. На основании принципа независимости действия сил момент при действии всех заданных грузов равен:
Определим момент вызываемый равномерной нагрузкой. Пусть на некоторую часть сооружения действует равномерная нагрузка интенсивностью q нм (рис.3б). Бесконечно малую часть нагрузки на длине dx можно рассматривать как сосредоточенную силу равную qdx. Момент вызываемый элементарной сосредоточенной силой равен уqdx .
Рассматривая всю равномерно распределенную нагрузку как сумму элементарных сосредоточенных сил получим момент от ее действия Интеграл - площадь ограниченная линией влияния в пределах загруженного участка.
Линии влияния при узловой передачи нагрузки.
Рассмотрим случай когда нагрузка передается на балку не непосредственно а при помощи поперечных балок (рис.4). Допустим что груз Р = 1 располагается между узлами 2 и 3 на расстоянии х от узла 2. Тогда составляющая груза (опорная реакция) в узле 2 равна а составляющая в узле 3 -.
Пусть кривая изображенная на рис. 4а есть линия влияния при непосредственной передаче нагрузки на балку. Если обозначить ординату линии влияния под узлом 2 через y2 а под узлом 3 - у3 то усилие вызываемое грузом Р=1 равно в соответствии с вышеизложенным (определение усилий по линиям влияния - имеем две силы приложенные в узлах 2 и 3). Полученное выражение для усилия S представляет собой уравнение прямой соединяющей концы ординат y2 и у3.
Следовательно для построения линии влияния при узловой передаче нагрузки необходимо на линию влияния построенную для непосредственной нагрузки спроектировать узлы поперечных балок и соединить полученные точки прямыми линиями.
В качестве примера построены линии влияния поперечной силы и изгибающего момента при узловой нагрузке в сечении с (рис.4б) .
Линии изображенные пунктиром представляют собой линию влияния поперечной силы и момента при непосредственной нагрузке. Проектируя узлы 2 и 3 на соответствующие ветви линий влияния и соединяя точки d и k получим линии влияния при узловой нагрузки.
Кинематический метод построения линий влияния.
Кинематический метод построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений. Всякая неизменяемая и неподвижная статически определимая плоская система (балка ферма и т. п.) представляет собой систему с минимально необходимым числом связей. Это значит что если удалить одну связь то получится система с одной степенью свободы или механизм. Перемещения всех точек такой системы будут определяться возможными перемещениями одной какой-либо ее точки.
Усилие для которого строится линия влияния (опорная реакция поперечная сила изгибающий момент и т. п.) обычно представляет собой усилие в одной из связей системы. Удалив эту связь и заменив ее влияние искомым усилием получим механизм на который действуют искомое усилие Х и груз Р= 1.
Применение принципа возможных перемещений поясним на примере построения линии влияния какого-либо усилия возникающего в простой балке при движении груза Р=1.
Линия влияния опорной реакции. Для построения линии влияния опорной реакции А удалим опорный стержень в котором возникает искомая реакция и повернем балку на произвольный бесконечно малый угол около точки В. Ординаты у возможных бесконечно малых перемещений будут представлять в некотором масштабе ординаты линии влияния реакции опоры. Так как опорная реакция А при положении груза над опорой равна единице то масштаб определяют исходя из условия чтобы =1. Отложив под опорой А ординату равную 1 получим линию влияния реакции опоры А (рис.5.а).
Поперечная сила (рис.5б). Разрежем балку в исследуемом сечении С и представим что разрезанные части балки соединены двумя параллельными бесконечно малыми стерженьками допускающими относительный сдвиг разрезанных частей относительно друг друга. Таким образом превратили балку в механизм.
Левая часть балки повернется вокруг шарнира А а правая часть вокруг шарнира В причем обе части балки повернутся на один и тот же угол. Для уравновешивания силы Р=1 в месте разреза приложим равные и противоположно направленные поперечные силы Q. Ординаты эпюры возможных перемещений будут определять в некотором масштабе ординаты линии влияния поперечной силы в сечении С. установим из условия чтобы ордината y давала непосредственно величину Q=1 .
Изгибающий момент (рис.5в). Разрежем балку в исследуемом сечении С и поставим в этом сечении шарнир. Таким образом балку превратили в механизм.
Для уравновешивания силы Р=1 в шарнире С приложим два равных и противоположно направленных момента М. Итак ординаты возможных перемещений у будут определять в некотором масштабе ординаты линии влияния изгибающего момента М в сечении С . Для того чтобы ордината у непосредственно давала величину М необходимо чтобы отрезок под опорой А равнялся расстоянию от точки С до опоры А т.е. а под опорой В равнялся расстоянию от точки С до опоры В т.е. l2.
Ценность кинематического метода заключается в том что пользуясь им можно легко и быстро строить линии влияния различных систем. Особенно существенно то обстоятельство что при этом можно не прибегая к каким-либо сложным построениям ясно представить очертание искомой линии влияния.
Замена нескольких сосредоточенных грузов их равнодействующей
Если линия влияния есть отрезок прямой (рис.6) то искомое усилие может быть определено умножением равнодействующей R сосредоточенных грузов на ординату у0 линии влияния расположенную под точкой приложения равнодействующей т. е где . Таким образом
Определение невыгоднейшего загружения линии влияния.
Система связанных друг с другом сосредоточенных грузов. Ограничимся рассмотрением треугольной линии влияния. Предположим что ни один из грузов не находится над вершиной треугольника (рис.7а).
Искомое усилие S будет равно: где Р yiл yinp - ординаты левого либо правого участка линии влияния.
Возьмем производную от усилий S по абсциссе х:
(1). Очевидно что для всех точек левого участка линии влияния а для всех точек правого участка . Если то при дальнейшем движении системы грузов (слева направо поскольку ось х считается направленной вправо) искомое усилие возрастает и следовательно опасное положение нагрузки еще не достигнуто. Если то при дальнейшее движении системы грузов искомое усилие будет убывать и следовательно опасное положение нагрузки уже пройдено. Таким образом при переходе системы грузов через опасное положение знак производной изменяется на обратный. Так как в полученном для производной выражении (1) оба члена постоянны то знак производной может измениться на обратный лишь в том случае если один из грузов перейдет из одного участка в другой для чего он должен предварительно оказаться над вершиной линии влияния.
Отсюда вывод: опасное положение системы грузов может иметь место тогда когда один из грузов системы находится над вершиной линии влияния. Этот груз называют критическим грузом.
Обозначив сумму левых грузов без включения критического груза через Rл а сумму правых грузов также без критического груза через Rпр (рис.7б) можно написать: (2). Если подставим (3)
где yкр — ордината линии влияния под вершиной то после подстановки получим:
Полученные неравенства являются условием для определения критического груза. Вполне понятно что это правило применимо лишь при том условии если при расположении критического груза над вершиной линии влияния все грузы составляющие сумму находятся на сооружении т. е. ни один из них не сходит с него. В противном случае необходимо провести проверку снова принимая во внимание лишь те грузы которые находятся на сооружении.
Критический груз можно определить графическим путем при помощи следующего построения (рис.7в). В конце балки А проводим перпендикуляр к ее оси и в определенном масштабе откладываем все грузы в том порядке в каком они расположены от опоры А к опоре В. Конец последней силы (точку D) соединим с концом балки В. Затем из точки С соответствующей вершине линии влияния проводим линию параллельную BD. Эта линия пересечет тот груз который должен быть установлен над вершиной линии влияния т. е. критический груз.
Сплошная распределенная нагрузка. Ограничиваемся рассмотрением линии влияния треугольной формы (рис.7г). Заменим распределенную нагрузку слева и справа от сечения сосредоточенными грузами. Критическим грузом будет элементарный груз qdx расположенный над сечением. Подставим qdx в неравенства (4) получим: . Пренебрегая бесконечно малой величиной qdx получим вместо двух неравенств одно уравнение: Это положение можно формулировать следующим образом: опасным положением нагрузки будет то при котором средние погонные нагрузки на левом и правом участках балки равны.
Многопролетные шарнирные статически определимые балки.
В качестве примера рассмотрим балку представленную на рис.8.
В шарнирных балках концы одних балок являются опорами для других. Так например балки АВ и СЕ представляют собой основные балки по отношению к балкам ВС и ЕF . На рис.8б представлена расчлененная на части балка.
Геометрическая неизменяемость и статическая определимость шарнирных балок устанавливается по общим правилам: Соп – 3 = Ш где Соп Ш – соответственно число опорных стержней и число шарниров. Если Соп Ш + 3 – система статически неопределима.
Деление балок на основные и дополнительные имеет смысл для расчета шарнирных балок который часто удобно проводить в порядке обратном порядку образования (строительства) системы. Кроме того оно позволяет наиболее образно представить работу системы в целом имея в виду что нагрузка расположенная на основных балках не будет вызывать внутренних сил в дополнительных балках. В тоже время нагрузка расположенная на дополнительных балках вызывает внутренние силы во всех основных по отношению к ней балках. Исключение из шарнирной балки только дополнительных балок оставляет систему геометрически неизменяемой а исключение основной балки обращает систему в изменяемую.
Построение линий влияния шарнирных балок основано на четком делении их на основные и дополнительные. Каждая из рассматриваемых балок в отдельности при действии вертикальной нагрузки является простой либо консольной геометрически неизменяемой и статически определимой. Следовательно построение линий влияния искомых усилий для дополнительных балок ни чем не отличается от изложенного выше.
При построении же линий влияния основных балок необходимо рассмотреть ее совместно с дополнительными балками для которых она является основной. Сначала рассматривают движение груза по основной балке для которой линии влияния строятся по известным правилам. Далее располагают груз Р=1 на соседнюю дополнительную балку (слева либо справа от основной - в сторону перемещения груза) которая опирается посредством шарнира на основную и на нее воздействует. Когда груз располагается над шарниром (первая опора по движению груза) ордината линии влияния искомого усилия равна ранее полученной ординате линии влияния основной балки. При расположении груза над второй опорой ордината линии влияния равна нулю. В качестве примера приведены линии влияния искомых усилий в балке представленной на рис.9.
Строить линии влияния многоопорных шарнирных балок целесообразно с использованием кинематического метода описанного выше. Рассмотрим построение линии влияния опорной реакции Rc . Удалим опору С основной балки. При удалении опоры С шарнирная балка превращается в геометрически изменеямую систему – рычажный механизм. Рассмотрим возмозный бесконечно малый поворот основной балки относительно опоры Д. Дополнительные балки при этом также повернутся относительно своих неподвижных опор и приобретут положение указанное на рис.9. Ломаная линия отображающая положение оси балки при возможном бесконечно малом перемещении опоры С и есть линия влияния опорной реакции Rc. Очевидно на основании метода построения линии влияния опорной реакции простой балки ордината линии влияния под опорой С равна единице. Остальные ординаты линии влияния в характерных точках определяются в соответствии с линейными размерами шарнирной балки известными из геометрии методами.
Линии влияния поперечной силы Qk и момента Mk в сечении «к» предлагается построить самостоятельно.
При известной стационарной нагрузке по линиям влияния можно определить выше представленными методами величины искомых усилий а также невыгоднейшее загружение системой подвижных связанных грузов.
Основы конструирования и прочностного расчета.
С позиций геометрии сечения балок простой называют балку состоящую только из одного прокатного профиля в виде двутавра или швеллера. Составной называют балку состоящую из нескольких прокатных или гнутых профилей. Наибольшее распространение имеют сварные балки. Некоторые типы сечений балок представлены на рис.10
Составные балки применяются двутаврового двухстенчатого замкнутого сечения и др.. Двухстенчатые балки применяются когда необходимо создать достаточную жесткость в горизонтальном направлении. Удовлетворяя требованиям прочности жесткости и устойчивости балка должна обладать наименьшим весом.
Основные усилия для подбора сечения балки: расчетный изгибающий момент Мmax от постоянной и подвижной нагрузок и расчетная поперечная сила Qmax от тех же нагрузок.
Предварительный подбор сечения сварных главных балок мостовых и козловых кранов состоит в определении необходимого момента сопротивления и выборе толщины стенки и площади сечения поясов. Эти данные определяются по формулам табл.№ 1.
Формулы для подбора элементов сечения балок по методу допускаемых напряжений
Момент сопротивления
S — статический момент полусечения относительно горизонтальной оси х — х (рис. а) определяется по формуле: где — площадь сечения пояса; — площадь сечения половины вертикальной стенки; - расстояние от центра тяжести поясного листа до оси х — х; — то же от центра тяжести половины вертикального листа до оси х — x;
J — момент инерции сечения (без ослабления); h — геометрическая высота балки (расстояние между центрами тяжести поясов).
Коэффициент 09 учитывает часть общего момента воспринимаемого только поясами. Остальная часть 01 Мmax воспринимается вертикальной стенкой.
Высота сечения балки определяется нормами вертикальной жесткости (т. е. прогибом) и требованием возможно меньшего веса.
При отсутствии требования жесткости высота балки может определяться по эмпирической формуле: [см]. При заданном условии жесткости необходимая высота балки может быть определена по формуле: где []и -допускаемое напряжение изгиба;
f - допускаемый прогиб принимаемый по соответствующим нормам технических условий проектирования металлоконструкций.
Типовое двутавровое сечение сварных балок состоит из трех листов: одного вертикального и двух горизонтальных поясных (рис.1а). Для предварительного подбора сечения вертикальной стенки принимают ее высоту hcm равной высоте балки т. е. hcm = h6. Толщина вертикальной стенки подбирается из условия прочности и местной устойчивости. Наименьшая толщина стенки min принимается по формуле табл.№ 1. Под местной устойчивостью подразумевается такое состояние части конструкции или отдельного элемента при котором эта часть конструкции или элемента устойчиво сохраняет свою прямолинейную форму упругого равновесия при действии эксплуатационной нагрузки. Толщина стенок принимается в пределах 6—18 мм в зависимости от величины расчетных силовых факторов и высоты стенки.
Ширина b поясных листов принимается:
для двутавров ; для двухстенчатых балок
Исходя из условия местной устойчивости толщину поясного листа двутавровых балок принимают где b — полная ширина пояса.
В целях получения необходимого момента сопротивления сечения балки толщину поясных листов принимают больше толщины стенки. В общем весе балки вес вертикальных листов составляет (40—50%) в то время как на значительной высоте этих листов напряжения используются незначительно. Поэтому выгоднее толщину вертикальных листов принимать возможно меньшую и обычно таковую лимитирует местная устойчивость а горизонтальные листы воспринимающие большую часть изгибающего момента следует принимать более мощными.
Приведенные выше формулы для подбора сечений элементов балки ориентируют конструктора в выборе основных размеров. Окончательные размеры устанавливаются после нескольких пробных попыток расчета. Проверочные формулы прочности сечений приведены в табл.№2. В формулы подставляются окончательно принятые характеристики сечения Wpa6 Jx. Необходимо проверить прогиб конструкции по известным формулам или способами строительной механики.
Формулы прочности сечений балок по методу допускаемых напряжений
Сопряжение пояса со стенкой. При деформации (прогибе) балки пояса стремятся сдвинуться относительно вертикальной стенки. Поясные швы большей частью принимаются непрерывными (рис.10б) и реже прерывистыми. При действии переменной и динамической нагрузок необходимая прочность в большей мере обеспечивается непрерывными швами. Рекомендуется применять тонкие непрерывные швы с катетом не превышающим толщины вертикальной стенки. Поясные швы работают на скалывание. Напряжение в шве определяются по формуле: где k — катет шва; Sn — статический момент пояса относительно общей оси х—х (рис.1а); J — момент инерции всего сечения относительно оси х — х . Sn =F1 h1
Стыки сварных балок. По условиям проката профили (двутавры швеллера листы и т.п.) имеют ограниченные длины что вызывает необходимость устраивать стыки элементов составляющих балки. Кроме того стыки необходимо устраивать для возможности транспортировки конструкций и их монтажа.
Соединение элементов (листов) балок следует производить в стык избегая по возможности накладок. Наклонный под углом 45° (равнопрочный) стык (рис.10б) вертикальной стенки устраивается при небольшой высоте балок. Прямой стык стенки (рис.10б) применяется в сечении с небольшими напряжениями в стенке. В обоих указанных случаях расчет стыка не производится. Если стык стенки произведен сваркой автоматической или полуавтоматической то возможно стык разместить в наиболее напряженном сечении с наибольшим изгибающим моментом. Стыки поясов и стенок следует располагать со смещением относительно друг друга.
Устойчивость балок. Различают общую и местную устойчивость. На рис.11 представлена двухопорная двутавровая балка несущая нагрузку приложенную к верхнему поясу. Опорное сечение балки закреплено только от поворота. При некоторых значениях сжимающих напряжений в верхнем поясе балка искривляется в плане. Это явление называют потерей общей устойчивости балки. Нагрузка при которой теряется общая устойчивость балки называется критической.
Величина критического изгибающего момента Мкрит для простой двухопорной балки определяется по формуле С.П. Тимошенко: где m – коэффициент зависящий от вида нагрузки; ВС – соответственно жесткости балки на изгиб и кручение.
Очевидно что устойчивость балки во многом определяется ее жесткостью на кручение. Проверка общей устойчивости балок производится по формуле: где б – коэффициент понижения допускаемых напряжений.
Рекомендуемые значения коэффициента б представлены в [1]. Для обеспечения общей устойчивости в плоскости сжатого пояса балок располагают связи в виде фермы или сплошного настила (рис.11). Рекомендуемые значения отношения l0 b 25 для прокатных и сварных балок
Рассматривая местную устойчивость стенки балки можно отметить что она находится под воздействием различных по длине напряжений. Так на участках примыкающим к опорам стенка воспринимает главным образом поперечные силы. В середине – максимальный изгибающий момент. На расстоянии четверти пролета одновременно действуют поперчная сила и изгибающий момент. В результате действия нагрузки может произойти потеря местной устойчивости стенки (выпучивание стенки). При этом потеря местной устойчивости может произойти раньше чем балка потеряет общую устойчивость.
Состояние устойчивой прямолинейной формы упругого равновесия обеспечивается установкой продольных и поперечных ребер жесткости по длине балки (см. рис.12).
Поперечные ребра жесткости устанавливаются для конструкций из стали Ст.3 при условии 80 hст ст 160; продольные - hст ст 160. Проверка местной устойчивости стенки и сжатого пояса балки производится по формулам [14].
При расчете балок работающих на поперечный изгиб нормальное напряжение определяют: . Из этой формулы следует что напряжение пропорционально изгибающему моменту М т. е. изменяется по длине балки и пропорционально у — расстоянию от исследуемого волокна до нейтрального слоя т. е. изменяется по высоте балки.
Таким образом при изгибе балки не во всех волокнах и не во всех поперечных сечениях могут одновременно возникнуть принятые при расчете предельные допускаемые напряжения и следовательно значительная часть материала изгибаемой балки используется слабо.
Иная картина наблюдается в стержнях ферм растягиваемых или сжимаемых постоянной осевой силой. Напряжение в этом случае определяют:
т. е. напряжения во всех волокнах и во всех поперечных сечениях стержня равны и могут одновременно достигнуть предельных значений.
Очевидно что в целях максимального использования материала при проектировании сооружений рационально выбирать такие системы в которых стержни подвергаются действию лишь осевых сил вызывающих растяжение или сжатие.
Для образования конструкций в которых изгиб полностью уничтожен необходимо соблюдение следующих условий:
) соединение концов отдельных стержней должно быть шарнирным допускающим свободное вращение (без трения) каждого стержня относительно центра шарнира; оси стержней должны проходить через центр шарнира совпадающего с центром узла;
) внешние силы должны быть приложены только в узлах; при наличии же нагрузок расположенных между узлами в стержнях будут возникать не только продольные но и поперечные силы и изгибающие моменты;
) стержни должны быть прямолинейны в противном случае в них возникают изгибающие моменты.
Фермы классифицируют по нескольким признакам.
По направлению опорных реакций. Фермы подразделяют на безраспорные — балочные (рис.1 а) консольные (рис.1б) консольно-балочные (рис.1в); распорные— арочные (рис.1г) или висячие (рис.1 д).
Кроме указанных основных типов существуют комбинированные системы например сочетание висячей системы с арочной арочной с балочной и др.
По очертанию поясов фермы. Стержни расположенные по внешнему контуру фермы образуют пояса: верхний и нижний. Пояса фермы могут быть прямолинейного или ломаного очертания. В зависимости от этого различают фермы с параллельными поясами (рис.2а) с полигональными поясами (рис.2бв) треугольными (рис.2г)
Если узлы фермы расположены по кривой то пояса фермы называют криволинейными. В частных случаях когда узлы расположены по параболе пояса называют параболическими; при расположении по окружности—круговыми и т. п. Кроме ферм с криволинейным верхним поясом встречаются фермы в которых и верхний и нижний пояса имеют криволинейное очертание.
В фермах с криволинейными поясами элементы поясов прямолинейны и их оси представляют собой хорды кривой очертания пояса.
По системе решетки. Решеткой называют совокупность стержней расположенных между поясами.
Системы решеток могут быть простые и сложные. В простых системах различают два основных типа решетки — простую раскосную (рис.3а) и простую треугольную (рис.3б). Применяются также фермы треугольной решетки с дополнительными стойками (рис.3в) полураскосную (рис.3г) и др. .
Кроме перечисленных типов решеток существуют еще так называемые составные решетки они состоят из простой основной решетки и вспомогательных которые предназначены для замены больших панелей поясов несколькими меньшими. Пример фермы с составной решеткой приведен на рис.3д. Основная решетка — раскосной системы а вспомогательная образована из небольших треугольных ферм называемых шпренгелями. Система решетки включающая в свой состав шпренгели называется шпренгельной. В тяжелых фермах шпренгели очень часто применяются с большой выгодой в целях разделения панелей сокращения свободной длины сжатых элементов пояса и уменьшения опасности выпучивания их в плоскости фермы от продольного изгиба.
Шпренгели как и дополнительные стойки (рис.3в) в треугольной решетке работают только на местную нагрузку т. е. на нагрузку действующую только в пределах той панели в которой находится шпренгель или дополнительная стойка.
Аналитическое определение усилий в стержнях.
Нулевые стержни. При расчете ферм встречаются случаи когда в некоторых стержнях при заданной нагрузке не возникает усилий; будем называть эти стержни нулевыми. Наличие нулевых стержней даст возможность упростить решение задач по определению усилий в фермах. Рассмотрим несколько случаев.
В ненагруженном двухстержневом узле оба стержня являются нулевыми (рис.4а). В самом деле если в этих стержнях возникнут усилия то равнодействующая этих усилий ничем не уравновесится и узел не сможет находиться в равновесии.
В ненагруженном трехстержневом узле в котором оси двух стержней расположены по одной прямой (рис.4б) третий стержень так называемый одиночный — нулевой.
Если в двухстержневом узле нагрузка действует по направлению одного из стержней (рис.4в) то другой стержень нулевой.
Пользуясь этими положениями можно в некоторых случаях значительно упростить определение усилий.
Определение усилий способом вырезания узлов . Вырежем последовательно узлы фермы (рис.5а) начиная с узла 1 в котором сходятся два стержня. Действие удаленной части заменим усилиями S1 и S2 направленными по осям стержней. Рассматривая равновесие вырезанного узла составим два уравнения равновесия приравнивая нулю сумму проекций всех сил на две произвольные оси.
Направление искомых усилий принимаем (условно) от узла (рис.5б) и считаем что стержни растянуты. Если после решения уравнений искомое усилие получится се знаком минус то стержень сжат.
Для получения уравнений в которые входит лишь по одному из неизвестных усилий следует выбирать оси таким образом чтобы проекции на них другого неизвестного усилия были равны нулю. Выбрав например одну из осей перпендикулярно усилию S2 (рис.5 б) и приравняв сумму проекций всех сил на эту ось нулю получим: . Знак минус указывает на то что направление усилия S1 было намечено неправильно т. е. что стержень сжат (направление усилия S1 показано пунктиром).
Проектируя силы на горизонтальную ось и подставляя значение S1 получим: . Знак плюс указывает на то что стержень S2 растянут.
Определив усилия S1 и S2 перейдем к узлу 2. В нем сходятся три стержня но усилие одного из них S2 уже известно. Следовательно усилия в двух других стержнях можно найти методом проекций на оси координат. Переход от одного узла к другому осуществляется таким образом чтобы в следующем узле сходилось только два стержня усилия в которых необходимо определить.
Способ моментных точек. Рассечем ферму линией n-n (рис.6а) таким образом чтобы эта линия пересекала не более трех стержней; заменим действие перерезанных стержней внутренними усилиями и рассмотрим условия равновесия одной из отрезанной части (рис.6 б).
Используем условие статики: сумма моментов всех сил действующих па систему находящуюся в равновесии относительно любой точки равна нулю. Для того чтобы получить уравнение в которое входит лишь одно неизвестное усилие сумму моментов сил определим относительно такой точки в которой пересекаются две другие неизвестные силы. Такую точку называют моментной. Например для определения усилия S1 за моментную точку принимают точку O1 — точку пересечения усилий S 2 и S3. Уравнение равновесия примет следующий вид: .
Для определения усилия S2 за моментную точку принимаем точку 02 а для определения усилия S3 — точку 03. При составлении уравнений направление усилий считаем в предположении что стержни растянуты. Если при решении уравнений усилие какого-либо стержня получится со знаком минус то это означает что стержень сжат. Способ моментных точек удобно применять при определении усилий в отдельных стержнях фермы т. е. в тех случаях когда не требуется определить усилия во всех стержнях.
Способ моментных точек может быть применен и в тех случаях когда сечение пересекает более трех стержней при условии что все стержни кроме одного пересекаются в одной точке.
Способ проекций. В фермах с параллельными поясами (рис.7а) усилия в раскосах и стойках не могут быть определены способом моментных точек так как точки пересечения стержней поясов находятся в бесконечно удаленных точках.
В этом случае для определения усилий в раскосе проводят сечение n1 - n1 перерезывающее оба пояса и раскос и исходя из условия равновесия одной из отрезанных частей (рис.7б) приравнивают нулю сумму проекций всех внешних и внутренних сил на ось перпендикулярную поясам. Например для определения усилия в раскосе S1 получим:
Для определения усилия в стойке следует провести сечение перерезывающее стойку например n2 - n2 и приравнять нулю сумму проекций на вертикальную ось всех сил действующих на отрезанную часть фермы.
Известны и более сложные случаи применения способа сечений например способ замкнутого сечения способ двух сечений и др.
Графическое определение усилий в стержнях.
Рассмотрим ферму приведенную на рис.8а.
Вырежем последовательно узлы таким образом чтобы в каждом узле было не более двух стержней усилия в которых неизвестны. Определение усилий начнем с узла 1.
В этом узле должны уравновешиваться четыре силы из которых две неизвестны. При построении многоугольника сил сходящихся в узле примем обход по часовой стрелке. Выбираем масштаб и строим многоугольник сил начиная с опорной реакции равной 2Р (рис.8б). По масштабу определяем величины неизвестных усилий в стержнях I I I -a и a-I. Направление их определяем порядком обхода. Перенося найденные направления усилий в вырезанный узел установим знак усилий: если усилие направлено от узла то стержень растянут и наоборот если усилие - к узлу то стержень сжат. Следовательно стержни I I I -a сжат и a-I растянут. Затем переходим к следующему узлу в котором сходятся два стержня с неизвестными усилиями и т.д..
Подобный способ имеет существенный недостаток: разбросанность многоугольников сил по всему чертежу. Целесообразнее вычерчивать все многоугольники сил не отдельно а вместе на одном чертеже путем построения диаграммы усилий (диаграммы Максвелла — Кремоны).
Буквами или цифрами обозначают полигоны (поля) т.е. площади ограниченные со всех сторон стержнями или примыкающие к наружному контуру фермы внешними силами включая опорные реакции (рис.8а). В результате усилие в стержнях и внешние силы обозначаются двумя значками соответствующими обозначением тех полигонов границей которых они является. Выбирают направление обхода например по часовой стрелке и масштаб. Строят многоугольник внешних сил включая опорные реакции. Затем выбирают узел в котором сходятся два стержня усилия в которых необходимо определить и строят многоугольник сил сходящихся в этом узле как было показано выше. После этого переходят к следующему узлу и для него проводят аналогичные построения. Таким образом определяют усилия во всех стержнях фермы.
В частных случаях когда это целесообразно можно использовать комбинирование аналитического и графического методов решений.
Линии влияния усилий в стержнях ферм.
Для построения линии влияния усилия в каком-либо стержне фермы необходимо выразить на основании уравнений статики усилие в этом стержне от действия единичного груза (в зависимости от его положения в пролете) и затем представить графически закон изменения этого усилия.
В качестве примера рассмотрим ферму с ломаным верхним поясом (рис.9а) при передаче нагрузки через узлы нижнего пояса.
Линия влияния усилия в стержне верхнего пояса S1. Проведем сечение n-n пересекающее три стержня.
Для определения усилия S1 воспользуемся моментной точкой О1 (рис.9а бв) в которой пересекаются оси двух других стержней S3 и S2.
Груз Р=1 располагается справа от точки О1. Рассмотрим равновесие левой части фермы. Приняв что усилие S1 растягивает стержень и приравняв нулю сумму моментов всех внутренних и внешних сил относительно точки О1 получим: S1h1 + M1 =0 где M1 — момент относительно точки 01 всех внешних сил расположенных слева от точки О1; h1 - плечо усилия S1 относительно точки О1. Величина момента M1 определяется как произведение линии влияния опорной реакции RA на плечо l1 : М1 = Л.в.RA ·l1 = l1 · 1·(l-x)l (см. раздел линии влияния простых балок). Следовательно S1= - M1h1. После подстановки имеем: S1= - l1 · 1·(l-x)lh1 (l1 x l (1) . Знак минус показывает что усилие имеет направление обратное принятому т. е. стержень не растянут а сжат. При x=0 (под опорой А) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =-l1h1. При x=l (под опорой B) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =0. Соединив найденные значения получим линию влияния (закон изменения) усилия в стержне S1 на участке перемещения груза Р=1 от точек О1 до В.
При расположении груза Р=1 слева от точки О1 рассмотрим равновесие правой части фермы. Имеем: S1h1 + M2 =0; М2 = Л.в.RВ ·(l-l1)= (l- l1)· 1· S1= -(l- l1 )· 1·xlh1 0 x l1 (2). При x=0 (под опорой А) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =0. При x=l (под опорой B) ордината линии влияния усилия в стержне S1 =-(l- l1 )h1. Соединив найденные значения получим линию влияния (закон изменения) усилия в стержне S1 на участке перемещения груза Р=1 от точек А до О1. Не трудно показать что пересекутся левая и правая ветви линий влияния под моментной точкой. Подставив в уравнения (1) и (2) значение x= l1 получим тождественное равенство.
В фермах передача нагрузки осуществляется через шарниры (узлы). В соответствии с правилом поузловой передачи нагрузки следует спроектировать узлы на полученную линию влияния. Если моментная точка совпадает узлом передачи нагрузки то передаточная прямая в пределах разрезанной панели совмещается с линией влияния (рис.9г). Условимся ординаты линий влияния сжимающих усилий откладывать вниз а растягивающих — вверх. Линия влияния усилия в стержне S1 представлена на рис.9г
Ординаты линии влияния усилия измеряют в отвлеченных единицах. При умножении их значения на величину нагрузки в ньютонах получим значения усилия в ньютонах.
При построении линий влияния (закона изменения) усилий в стержнях S2 и S3 воспользумся моментными точками соответсвенно О2 и О3 . Предлагается построить их самостоятельно. Существенное отличие данных линий влияния от предыдущей состоит в том что моментные точки не совпадают с узлами передачи нагрузки. Следовательно передаточные прямые явно выражены (рис.9де). Обратим внимание на то что при перемещении груза усилие в раскосе меняет знак.
Первым этапом расчета ферм является определение сил приложенных в узлах (шарнирах) от нагрузок действующих на сооружение: функциональных собственного веса и т.п. . Затем определяют усилия в стержнях способами рассмотренными выше. При этом рекомендуется определять усилия вызываемые каждым видом нагрузки отдельно. Найдя таким образом усилия в каждом стержне определяют усилия при невыгодном сочетании нагрузок.
Подбор сечений производят методами известными из сопротивления материалов.
Подбор сечений растянутых и сжатых стержней.
Некоторые типы сечений для растянутых (сжатых) стержней показаны на рис.10 . Различают сечения одностенчатые (рис.10 а) и двухстенчатые (рис.10б).
Сечения состоящие из одиночного уголка применяются для слабо нагруженных стержней. Они обладают незначительной жесткостью и для стержней изготовленных из равнобоких уголков допускаемые напряжения при расчете уменьшаются на 25% вследствие несимметричного крепления в узлах только одной полкой. Если же неравнобокий уголок прикрепляется более широкой полкой то уменьшения не требуется.
Одностенчатые сечения кроме одиночных уголков применяются для стержней с усилием до 60 - 70 т двухстенчатые - при усилиях более 70 - 80 т. Такие сечения обладают большей жесткостью чем сечения одностенчатые.
Для сжатых стержней весьма рациональным является замкнутое сечение в виде трубы. Это сечение в отличие от выше рассмотренных обладает одинаковой жесткостью по всем направлениям.
Другим весьма важным преимуществом трубчатого сечения является его положительные аэродинамические свойства а именно значительно меньший коэффициент сопротивления ветровой нагрузке по сравнению с другими прокатными профилями. В настоящее время сечение в виде трубы находит все большее применение в металлоконструкциях грузоподъемных сооружений. Толщина стенок труб может быть принята в целях обеспечения местной устойчивости по формуле: где ст - толщина стенки; D — наружный диаметр трубы.
Характеристиками сечения являются: площадь F момент инерции J относительно горизонтальной вертикальной и или наклонной (одиночный уголок) осей. При использовании одиночных стандартных профилей значения F и J принимается по ГОСТу. Для составных стержней рассчитывается по известным формулам сопротивления материалов: где - соответственно моменты инерции сечения общий и отдельного элемента; - расстояние между осями относительно которых определены моменты инерции.
Растянутые стержни проверяются на прочность и жесткость. Проверка прочности состоит в определении расчетного напряжения : где Nрасч - предельное и расчетное усилия. Fраб - площадь рабочего сечения стержня. []р—допускаемое напряжение на растяжение.
Жесткость растянутого стержня характеризуется величиной гибкости λ λдоп. Допускаемая гибкость λдоп для растянутых стержней нормируется соответствующими нормами и техническими условиями проектирования металлоконструкций.
Гибкость стержня определяется по формуле: где rmin – минимальный радиус инерции сечения. .
Подбор сечений сжатых стержней. Рассмотрим прямой стержень (рис.11). Состояние устойчивости сжатого стержня характеризуется сохранением прямолинейной формы упругого равновесия при действии эксплуатационных нагрузок. Пусть стержень постоянной жесткости сжат нагрузкой Р направленной вдоль продольной оси. Предполагается что стержень работает в пределах упругих деформаций. Под влиянием нагрузки Р стержень получает продольную деформацию и сохраняет в условиях равновесия свою прямолинейную форму. Напряжения при этом распределяются равномерно по сечению .
При увеличении нагрузки Р деформация а следовательно и напряжения линейно возрастают до тех пор пока нагрузка не достигнет некоторой величины Ркр называемой Эйлеровой критической нагрузкой. При нагрузке выше критической Р > Ркр стержень изгибается и теряет свою прямолинейную форму упругого равновесия принимая качественно новые а именно криволинейные формы равновесия. Это явление продольного изгиба называется потерей устойчивости первого рода.
Критическая нагрузка определяется по формуле Эйлера: где
— коэффициент длины стержня зависящий от типа опорных закреплений и принимаемый по рис.12 .
Критическое (Эйлерово) напряжение равно
Для сжатых стержней . После подстановки получим где пц - предел пропорциональности для стали при котором соблюдается линейная зависимость между нагрузкой и деформацией (пц т ).
Окончательно проверка устойчивости сжатых стержней производится по методу допускаемых напряжений по формуле: где φ - коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при продольном изгибе. На рис.13 представлен график зависимости коэффициента от .
Например предельная гибкость поясов главных ферм стрел колонн изготовленных из стали составляет 120 150 соответственно = 045 0.32.
Остановимся на соображениях по выбору расчетной длины сжатых стержней при проверке их на продольный изгиб.
Если бы узлы ферм были идеально шарнирными то расчетная длина стержня равнялась бы расстоянию между центрами узлов. В действительности стержни фермы соединены в концах при помощи косынок и примыкающие к узлам растянутые стержни оказывают заметное сопротивление повороту узла препятствуя этим свободному изгибу стержня теряющего устойчивость. Поэтому расчетная длина сжатого стержня при проверке его на продольный изгиб в плоскости фермы должна быть уменьшена против его геометрической длины в зависимости от количества примыкающих к рассматриваемому стержню с обоих его концов растянутых стержней и от их погонной жесткости.
При рассмотрении сжатого элемента пояса можно (в запас прочности) пренебречь влиянием примыкающих растянутых элементов. Кроме того погонная жесткость растянутых раскосов значительно меньше погонной жесткости пояса. Поэтому по нормам расчетную длину элемента сжатого пояса принимают равной его геометрической длине ( =1) т. е. расстоянию между центрами узлов. Для сжатых же элементов решетки (стоек раскосов) расчетную длину элемента в плоскости фермы принимают с учетом что =07.
При проверке сжатых элементов на продольный изгиб в плоскости перпендикулярной плоскости фермы (из плоскости фермы) узловые косынки не имеют особого значения так как в этом направлении они достаточно гибки. Поэтому расчетную длину сжатых элементов решетки принимают в этом случае равной расстоянию между центрами узлов ( =1) т. е. геометрической длине элементов. Расчетную длину элементов сжатого пояса при проверке его на продольный изгиб из плоскости фермы принимают равной расстоянию между узлами закрепленными связями от смещения из плоскости фермы.
Если на элемент фермы действует местная нагрузка т. е. такая которая приложена между узлами то расчет элемента производят с учетом совместного действия продольной силы и изгибающего момента.
Отличие действительной работы конструкции от теоретической.
По своей расчетной схеме ферма представляет собой стержневую систему с идеальными шарнирными соединениями в которой все стержни испытывают только осевые усилия — растяжение или сжатие. В действительности же узлы фермы выполняются при помощи узловых косынок на сварке. В результате этого в стержнях фермы появляются дополнительные напряжения обусловливаемые жесткостью узлов. Более существенное значение имеют добавочные напряжения от неправильного центрирования узлов. Последнее особенно опасно для сжатых стержней.
При простых системах решетки - раскосной треугольной (без стоек) полураскосной - дополнительные напряжения от жесткости узлов меньше чем в системах со стойками и шпренгелями.
Отличие действительной работы сооружения от теоретической определяемой расчетом не должно вызывать недоверия к установленным строительной механикой методам расчета. Практика показывает что сооружения рассчитанные этими методами существуют длительное время и имеют достаточный запас прочности.
§ 8 . Расчет статически неопределимые системы.
Недостатком статически неопределимых систем является их чувствительность к осадкам опор к температурным воздействиям и к неточности изготовления отдельных элементов системы. В то время как статически определимая система например простая балка при осадке опоры займет новое положение оставаясь прямолинейной и не испытывая никаких добавочных напряжений в статически неопределимой системе например неразрезной балке осадка опоры будет сопровождаться искривлением оси балки и появлением добавочных напряжений.
В статически определимой ферме изменение длин отдельных стержней вследствие например неравномерного нагревания или неточности изготовления сопровождается незначительным изменением формы всей системы но не вызывает никаких добавочных усилий. В статически неопределимой ферме изменение формы системы может сопровождаться деформациями элементов и при изменении длины отдельных стержней в них могут возникать дополнительные усилия.
В конце XIX и начале XX столетия сложные статически неопределимые системы применялись лишь в виде исключения; инженеры стремились заменять статически неопределимые системы простыми схемами часто не вполне рациональными. Если же статически неопределимые системы и применялись то в большинстве случаев их рассчитывали упрощенно.
Появление в дальнейшем новых конструктивных форм применение железобетона и т. д. настоятельно диктовали необходимость развития точных методов расчета статически неопределимых систем и внедрения их в практику строительства. К ним относятся метод сил метод перемещений метод моментных фокусных отношений метод конечных элементов и др.. Ниже рассматривается метод сил.
Определение перемещений.
При допускаемых на практике напряжениях возникающие в сооружениях перемещения весьма малы. Вследствие этого при определении напряжений можно пренебречь изменением взаимного расположения внешних сил при деформации системы. Тем не менее вычисление перемещений оказывается необходимым для проверки соблюдения существующих на этот счет норм. Важное значение приобретает вопрос о перемещениях при расчете статически неопределимых систем.
Кроме методов определения перемещений изложенных в курсе сопротивления материалов существуют общие методы которые рассматриваются ниже.
Определение перемещений при совместном действии нескольких сил. При определении перемещений линейно деформируемых систем можно применять принцип независимости действия сил называемый принципом суперпозиций.
Сущность принципа суперпозиций заключается в том что суммарный эффект вызываемый действием нескольких сил равен суммe эффектов вызываемых действием каждой силы в отдельности. В частности если эффект вызываемый действием единичной силы (Рi =1) равен i то эффект вызываемый действием силы Р равен . В соответствии с принципом независимости действия сил перемещение любой точки п по направлению силы Рn (рис.1) от воздействия группы сил определяется следующим образом:
где Р1.. Рn - силы действующие в точках 1 2 k п; - перемещения точки n по направлению силы при действии единичных сил приложенных в точках 1 k; nn - перемещение точки n по направлению силы Рn при действии единичной силы приложенной в точке п .
Обратим внимание на стандартные обозначения перемещений:
- соответственно перемещения от заданной нагрузки (называемое грузовым перемещением) и единичной нагрузки (называемое удельным перемещением). Первый индекс второй индекс j - силу вызвавшую данное перемещение. У грузовых перемещений при i j - называют побочным удельным перемещением.
Вывод общей формулы для определения перемещений базируется на основных теоремах об упругих системах: “работа при статическом приложении внешних сил” “принцип возможных перемещений упругих систем” “теорема о взаимности работ” [2346]. При решении статически неопределимых систем практически значимой из них является теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла).
Перемещение точки приложения первой единичной силы (по ее направлению) возникающее при действии второй единичной силы равно перемещению точки приложения второй единичной силы (по ее направлению) вызванному первой единичной силой: 12=21.
Общая формула для определения перемещений. Метод Мора
Общие формулы перемещений (деформаций элементов конструкции) легко получить пользуясь принципом возможных перемещений если в качестве вспомогательного состояния принять систему нагруженную в точке перемещение которой определяется соответствующей единичной обобщенной силой Xi =1. Эта сила должна совершать работу под действием внешних нагрузок на возможном перемещении каким и является интересующее нас перемещение .
Обозначим усилия в элементах конструкции через вызванные системой внешних сил. Усилия вызванные единичной силой X - соответственно модули упругости при растяжении (сжатии) и сдвиге.
Формулу (1) называют формулой Мора.
В частных случаях формула (1) принимает более простой вид а именно:
) при расчете ферм где имеют место лишь осевые усилия N (2)
) при расчете балок и рам влияние продольных и поперечных сил незначительно и ими можно пренебречь; в этом случае (3.а) . Если жесткость EJ каждого элемента системы постоянна (3.б). Выражение носит название интеграла Мора
Перемножение эпюр (способ Верещагина)
Пусть эпюра моментов Мa состояния (a) имеет криволинейное очертание (рис.2) а эпюра моментов Mb состояния (б) прямолинейна. В этом случае можно применить преобразование интеграла предложенное А. Н. Верещагиным.
Приняв за начало координат точку пересечения прямой ограничивающей прямолинейную эпюру Mb c осью абсцисс получим Mb=xtg. Следовательно
Как известно представляет собой статический момент S площади эпюры Ma относительно вертикальной оси. Обозначая площадь эпюры Ma через a и абсциссу центра тяжести площади эпюры через x0 получим: S=x0a. Следовательно где уb - ордината эпюры Мb расположенная под центром тяжести эпюры Ma . В тех случаях когда одна из эпюр моментов прямолинейна интеграл Мора равен произведению площади криволинейной эпюры моментов на расположенную под ее центром тяжести ординату прямолинейной эпюры.
Для часто встречающихся в расчетной практике эпюр имеются таблицы в которых даны значения (см. приложение табл.№1 ).
Направление перемещения т. е. знак его зависит от знаков эпюр. Рекомендуется располагать эпюры со стороны растянутых волокон. Произведение эпюр (а следовательно и знак перемещения) положительно если обе эпюры расположены по одну сторону от оси стержня и отрицательно если эпюры расположены по различным сторонам от оси стержня.
Определение перемещений от внешней нагрузки.
Статически определимая балка. Определить прогиб свободного конца балки при действии равномерно распределенной нагрузки q (рис.3). При определении прогиба балки влиянием продольных и поперечных сил можно пренебречь. Перемещение определяется при постоянной жесткости балки на основании формулы (3б).
В качестве вспомогательного состояния примем состояние балки (b) под действием силы Р = 1 приложенной к ее свободному концу.
Вспомогательное состояние (b) и соответственная эпюра Мb а также действительное состояние а и соответственная эпюра Мa даны на рис.3.
Перемещение . Здесь .
Основы расчета статически неопределимых систем методом сил.
В основе методов расчета статически неопределимых систем лежит общий метод определения перемещений. Одним из основных методов расчета статически неопределимых систем является метод сил. Сущность этого метода заключается в следующем:
Устанавливают общее число лишних неизвестных.
Удаляют лишние связи и таким образом заменяют заданную (исходную) систему статически определимой геометрически неизменяемой системой называемой основной.
Заменяют действие отброшенных опорных стержней либо внутренних усилий (поперечных и продольных сил моментов) в случаях разреза замкнутых контуров лишними неизвестными X1 X2 Хn и загружают основную систему лишними неизвестными и заданной нагрузкой.
Значения лишних неизвестных подбирают таким образом чтобы перемещения основной системы были равны перемещениям заданной системы. Например чтобы перемещения точек приложения лишних неизвестных по их направлению равнялись нулю если лишнее неизвестное является опорной реакцией или усилием в перерезанном элементе.
В первом случае перемещению по направлению лишнего неизвестного в действительной системе препятствует наличие опорной связи; во втором случае оба смежных сечения разделенные разрезом в действительности представляют собой одно сечение а потому их взаимное перемещение также невозможно.
Составляются канонические уравнения метода сил которые служат для определения лишних неизвестных и обладают свойством взаимности коэффициентов. Перемещения определяются на основании принципа независимости действия сил. Канонические уравнения имеют вид:
X1+12X2+13X3++1nXn+1P=0
X1+22X2+23X3++21nXn+21P=0
n1X1+n2X2+n3X3++nn Xn+nP=0 .
Если перемещение в заданном направлении направление не равно нулю то справа (после знака равенства) записывается его значение.
При составлении канонических необходимо придерживаться следующих правил:
Лишние неизвестные записывают в каждой строке последовательно от X1 до Хn.
Коэффициенты при лишних неизвестных ij представляют собой единичные перемещения с соответствующими индексами: первый индекс i указывает номер строки (направление перемещения) второй j – номер лишней неизвестной.
Свободный член первый индекс указывает номер строки второй – нагрузку. Решив полученную систему уравнений найдем все лишние неизвестные.
Величины и знаки перемещений 1P 1n 11nn в случае незначительного влияния продольных и поперечных сил рассчитывают по формулам применяя способ перемножения эпюр (способ Верещагина):
Очевидно что при решении статически неопределимых задач необходимо знать величины моментов инерции поперечных сечений всех элементов конструкции относительно их нейтральных осей.
Поэтому приступая к расчету статически неопределимых систем необходимо первоначально задаться на основании практических знаний моментами инерции поперечных сечений различных элементов конструкции или их отношениями. В тех случаях когда все элементы системы сделаны из одного материала величина модуля упругости Е не учитывается расчетом так как Е входит множителем во все члены канонических уравнений. Определив значение лишних неизвестных строят эпюры изгибающих моментов продольных и поперечных сил и подбирают размеры поперечных сечений элементов в конструкции. После этого производят вторичный расчет системы учитывая найденные моменты инерции поперечных сечений.
Обычно второй пересчет является достаточным для определения окончательных значений лишних неизвестных.
Выбор лишних неизвестных определяет выбор удаляемых связей а следовательно и выбор основной системы. Путем рационального выбора лишних неизвестных и соответственно основной системы решение задачи можно значительно упростить.
К неразрезным балкам относятся неразрывные бесшарнирные балки имеющие два и более пролетов (рис.4).
Степень статический неопределимости (число лишних неизвестных) определяется по формуле: Л = Соп –3 где Соп – количество опорных стержней.
Расчет неразрезных балок. Имеем неразрезную балку представленную на рис.5.
В качестве основной системы можно выбрать систему представленную на рис.5а либо рис.5б. При количестве промежуточных опор более трех целесообразней использовать основную систему (рис.5.б).
Канонические уравнения имеют вид: .
Для того чтобы найти лишние неизвестные Х1 и Х2 необходимо определить главные побочные и грузовые перемещения по формуле Мора (3а) либо (3б) подставить их значения в канонические уравнения и решить их.
Следующим этапом необходимо перестроить эпюры моментов от единичных лишних неизвестных с учетом их реальных значений.
На основании принципа независимости действия сил суммируя построенные эпюры моментов получим ее окончательный вид. Суммирование осуществляется как аналитическим так и графическим методами.
Пример расчета главных побочных и грузовых перемещений представлен ниже.
Определения прогиба. Определить прогиб в середине пролета балки при действии сосредоточенной нагрузки R (рис.6).
При решении задачи влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем. Определим число лишних неизвестных. Л=Соп – 3 . Имеем Л = 1.
Для определения величины и направления лишней неизвестной выберем основную систему как указано на рис.6б. Каноническое уравнение имеет вид: . При определении перемещений используем способ Верещагина.
При определении прогиба в середине пролета применим метод суперпозиций: где 1 – произведение эпюр состояния в на состояние а; 2 - произведение эпюр состояния в на состояние б при X1= 49R.
Наличие дополнительной опоры уменьшило прогиб в середине пролета на 70%.
Рамой называют стержневую систему стержни которой во всех или в некоторых узлах жестко связаны между собой и которая теряет геометрическую неизменяемость если все узлы заменить шарнирными. По аналогии с фермами различают плоские и пространственные рамы.
Элементы рамы применяемые в строительных конструкциях мало отклоняющиеся от вертикали называют стойками а мало отклоняющиеся от горизонтали — ригелями. Ригели бывают горизонтальные наклонные ломаные криволинейные. Рамы бывают с двумя стойками — однопролетные (рис.7а б) со многими стойками — многопролетные (рис.7в) и замкнутые рамы (рис.7 г). В зависимости от числа этажей различают рамы одноэтажные (рис. 7а б в г) и многоэтажные (рис.7 д). В зависимости от типа опор различают шарнирные (рис.7гд) и бесшарнирные рамы (рис.7 а б в г).
Из сопоставления эпюр изгибающих моментов однопролетных рам с эпюрой простой балки (рис.8) можно видеть преимущество рамы заключающееся в значительном уменьшение изгибающих моментов в ригеле. Многопролетные рамы не имеют столь значительного преимущества по сравнению с обычной конструкцией — неразрезной балкой.
Необходимо также учесть что в бесшарнирных рамах сильнее сказывается влияние изменения температуры. Рамные конструкции широко применяют при сооружении зданий мостов и других видов сооружений в особенности в последнее время в связи с все большим распространением железобетонных конструкций.
Рациональный выбор основной системы
Расчет статически неопределимых рам может быть значительно упрощен при удачном выборе варианта основной системы. Поэтому остановимся несколько подробнее на этом вопросе и сопоставим варианты основных систем при расчете некоторых часто встречающихся видов рам. Рассмотрим несколько примеров.
Однопролетная рама с шарнирными опорами (рис.9). Переход от заданной системы к основной можно осуществить различными способами.
На рис.9б основная система получена путем замены неподвижной опоры заданной системы подвижной. В другом случае переход к основной системе осуществлен путем введения в систему шарнира. В обоих случаях отбрасывается одна связь и действие этой связи заменяют в основной системе лишним неизвестным — силой X1 или двумя взаимно противоположными моментами т. е. обобщенной силой Х2. Таким образом оба варианта основной системы равноценны.
Однопролетная рама с защемленными опорами. Варианты выбора основной системы представлены на рис.10
Вариант №1. Отбросим правую опору рамы (рис.10б) и заменим ее действие моментом X1 горизонтальной силой Х2 и вертикальной силой Хз. Из приведенных на рис.10б единичных эпюр М1 М2 М3 видно что ни одно из побочных перемещений не обращается в нуль. Система канонических уравнений имеет вид:
Вариант 2. Разрежем ригель рамы по оси симметрии и заменим действие отброшенных связей двумя моментами Хз двумя горизонтальными силами X1 и двумя вертикальными силами Х2 (рис.10в).
Из эпюр M1 M2 M3 видно что побочные перемещения .
Канонические уравнения принимают вид:
В данном случае система трех уравнений с тремя неизвестными распадается на два уравнения с двумя неизвестными X1 X2 и одно уравнение с одним неизвестным Хз.
Вариант 3. Для получения основной системы разрежем раму по оси симметрии и в месте разреза прикрепим бесконечно жесткие консоли (момент инерции поперечного сечения консоли принимают равным бесконечности). Заменим действие отброшенных связей в ригеле обобщенными силами: X1 X2 и Хз.
Длину консолей в конце которых приложены горизонтальные силы Хз выбираем с таким расчетом чтобы точка приложения этих сил находилась на уровне центра тяжести эпюры М2 т. е. на расстоянии 23 h от ригеля.
При этом условии ордината эпюры М3 против центра тяжести эпюры М2 в стойке равна нулю и побочные перемещения . Так как эпюра моментов М1 кососимметрична а эпюры М2 и М3 симметричны то и побочные перемещения . С учетом вышесказанного
канонические уравнения примут вид:
Таким образом удается полностью разделить лишние неизвестные и получить три уравнения в каждое из которых входит лишь одно неизвестное. Поэтому для рассматриваемой рамы третий вариант основной системы является наиболее рациональным.
Группировка неизвестных. Обращению побочных перемещений в нуль ведет также способ группировки неизвестных. Сущность этого способа заключается в том что в симметричной системе при действии несимметричной нагрузки за лишние неизвестные принимают не отдельные неизвестные а объединения их в группы так называемые групповые неизвестные которые выбирают таким образом чтобы единичные эпюры были взаимно ортогональны.
Разложение нагрузки на симметричную и обратно симметричную. Свойство взаимной ортогональности симметричных и обратно симметричных эпюр можно использовать также для обращения в нуль некоторых свободных членов (грузовых перемещений ip) т. е. перемещений вызываемых заданной нагрузкой. При этом заданную нагрузку заменяют двумя системами нагрузок: симметричной и обратно симметричной. Таким образом в симметричной системе при симметричной нагрузке обратно симметричные неизвестные равны нулю и наоборот при обратно симметричной нагрузке симметричные неизвестные равны нулю.
Следовательно при разложении нагрузки на симметричную и обратно симметричную решение задачи упрощается так как система уравнений распадается на несколько более простых систем.
Когда лишние неизвестные найдены возможно построение окончательных эпюр изгибающих моментов а также продольных и поперечных сил.
Контроль решения статически неопределимых систем.
При расчете статически неопределимых систем всегда необходимо производить проверку получаемых окончательных результатов. Повторный пересчет не всегда ведет к цели так как допущенная ошибка может остаться незамеченной. Поэтому контроль окончательных эпюр производят при помощи специальной проверки условий равновесия и деформаций.
Проверка условий равновесия является частным контролем правильности найденных ординат окончательных эпюр М и проводится исходя из условий что любая отсеченная часть системы должна находиться в равновесии: (рис.11)
Проверка деформаций является общим контролем как правильности окончательной эпюры так и правильности вычисления значений лишних неизвестных. Она основана на том что в заданной статически неопределимой системе перемещения по направлению любой лишней связи должно быть равно нулю: где М — окончательная эпюра моментов системы; Мk — эпюра моментов любого состояния (i) основной системы при Xi = 1.
Таким образом если решение правильно то произведение окончательной эпюры моментов системы на эпюру моментов любого состояния k основной системы должно равняться нулю. Ввиду возможных неточностей при подсчетах можно допустить некоторое отклонение общей суммы от нуля. Если при определении суммы всех членов просуммируем отдельно положительные и отрицательные члены то алгебраическая сумма представится в виде:
где - соответственно обозначают моментную площадь эпюры моментов на элементах пролета
А - сумма всех положительных членов; В - сумма абсолютных величин отрицательных членов. Полученные при таком подсчете результаты можно считать вполне приемлемыми для практики если разность А и В разделенная на меньшее из них окажется не более 5%
Приложение Таблица №1
Выражения интеграла Мора для различного сочетания эпюр моментов
Примечание. Mm Mi либо Mm Mi
§ 9. Соединения элементов металлоконструкций
Металлоконструкций грузоподъемных сооружений изготовляются при помощи ручной автоматической или полуавтоматической сварки.
В клепаных конструкциях соединение элементов осуществляется посредством заклепок; это приводит к большей затрате металла так как сечения ослабляются заклепочными отверстиями и требуется соответствующая компенсация металла. Этот старый вид соединений в тридцатых годах 20-ого столетия был вытеснен электросваркой во многих металлоконструкциях.
Сварные швы образуются ручной или автоматической (полуавтоматической) электросваркой. Основа доброкачественной сварки получение провара основного металла на толщину 1-2 мм. При сварке часть компонентов металла (углерод марганец и др.) выгорает вследствие чего наплавленный металл представляющий собой соединение расплавленных основного металла и электродной проволоки обладает несколько пониженной вязкостью.
Одним из способов получения наплавленного металла сварного шва
приближающегося по свойствам к основному металлу является применение электродов со специальными обмазками. Обмазка при температуре плавления электрода выделяет пары предохраняющие расплавленный металл от соединения с кислородом и азотом окружающего воздуха. Обмазанные электроды способствуют получению более устойчивой дуги что особенно важно если сварочный агрегат работает на переменном токе. Швы образованные обмазанными электродами более прочные и плотные. Сварка не обмазанными (голыми) электродами запрещается.
Различают обмазки тонкие и толстые. Тонкие обмазки предназначенные для создания устойчивости дуги состоят из металла и жидкого стекла. Электроды с тонкой обмазкой относятся к электродам марки Э34. Число в обозначении марки соответствует наименьшему пределу прочности металла шва. Обычно предел прочности такого металла колеблется в пределах 34—40 кгмм2 а предел текучести в пределах 25—30 кгмм2 при относительном удлинении 6—10%.
Тонкообмазанные электроды разрешается применять только при сварке второстепенных элементов (неработающие настилы перила лестницы обслуживающих площадок и т. п.).
Для получения прочностных швов предназначенных воспринимать усилия необходимо применять качественные электроды с толстой обмазкой. Обмазка состоит из большого числа компонентов каждый из них придает процессу сварки и наплавленному металлу соответствующие положительные свойства.
Основные компоненты - марганцевая руда полевой шпат крахмал ферромарганец графит мел и др. В металле электрода содержание углерода не должно превышать 020%.
При пользовании толстообмазанными электродами наплавленный металл получается мелкозернистым без посторонних включений пластичным.
Электродная проволока навитая на барабан подается через сварочную головку с автоматическим электроуправлением к месту сварки. В процессе сварки по мере передвижения установки (трактора) флюс в виде гранулированного шлака равномерно поступает из бункера (вмонтированного в установку) к месту образования шва вследствие чего последний предохраняется от окисления.
В пространстве ограниченном шлаком сильно концентрируется тепло что обеспечивает большую глубину провара. Шов образуемый автоматической сваркой имеет более правильную форму чем при ручной сварке и обладает хорошей плотностью высокой вязкостью и прочностью. Автоматическая сварка характеризуется большой производительностью — при скорости сварки 40—50 мчас.
Автоматическая сварка особенно эффективна при образовании прямых швов большой протяженности. При швах относительно малой длины (например в стыках стенок балок и т. п.) следует применять полуавтоматическую сварку при которой самый процесс сварки происходит так же как и при автоматической сварке но установку перемещают вручную. Качество шва при полуавтоматической сварке получается высоким.
При сварке происходит сложный тепловой процесс на участках металла прилегающего к шву что приводит к изменению структуры а следовательно и механических свойств в определенных зонах соединения (рис.1).
Участок 1 весьма малой протяженности характеризуется образованием крупных зерен. Участок 2 соответствует зоне перегрева (температура 1100 — 1400°) и имеет крупнозернистую структуру с крайне неравномерным зерном. Именно на этом участке заметно снижаются пластические и прочностные свойства металла что приводит к низким значениям ударной вязкости. В этой зоне возможно появление очагов усталости при переменной нагрузке. Участок 3 характеризуется мелкозернистой структурой и высокими механическими свойствами. Здесь возникает процесс аналогичный нормализации. Участок 4 — переходный (неполный отжиг металла). Участок 5 соответствует состоянию рекристаллизации (особенно в наклепанном металле у которого зерна раздроблены механической обработкой еще до нагрева металла). За участком 5 расположен металл с нормальными свойствами. Однако здесь при температуре 200—300° может проявиться синеломкость металла а следовательно и хрупкость (склонность к образованию трещин) при сварке.
Вследствие температурного воздействия сварки в элементах конструкции возникают сварочные напряжения и соответствующие им деформации. При нагреве металла возникают пластические деформации и поэтому после остывания в зоне шва появляются растягивающие напряжения а на свободных кромках — сжимающие. Сварочные напряжения возникающие лишь в определенном интервале температур и затем исчезающие называются временными а напряжения остающиеся в конструкции после охлаждения швов — остаточными или усадочными. Сварочные напряжения могут быть линейные плоскостные и объемные. Наиболее неблагоприятное влияние на прочность сварных металлоконструкций оказывают напряжения плоскостные и особенно объемные.
Виды сварных соединений. По положению в пространстве различают швы нижние вертикальные верхние (потолочные) и горизонтальные. Наименее качественными получаются швы потолочные так как во время их сварки расплавленный металл частично стекает вниз по электроду. Поэтому при проектировании сварных конструкций рекомендуется предусматривать такую последовательность процесса при которой прочностные швы выполнялись бы в нижнем положении или в вертикальном (при движении электрода сверху вниз). По протяженности швы могут быть сплошные или прерывистые. В соединениях работающих на переменные нагрузки следует применять швы тонкие и непрерывные.
Различают соединения выполненные швами «в стык» (рис.2а) и швами валиковыми (рис.2б).
Швы встык применяются для соединения элементов лежащих в одной плоскости. Такие соединения могут работать на растяжение сжатие и срез. Для получения швов в стык надлежащей прочности производится соответствующая обработка кромок соединяемых элементов в зависимости от толщины последних. При толщине листов до 10 мм разделки кромок не требуется. Расчетная толщина швов в стык принимается равной толщине стыкуемых элементов hce = . Для обеспечения расчетной толщины дается наплыв около 1—2 мм толщины который в расчет не принимается. Расчетная длина принимается равной ширине b стыкуемых листов за вычетом концевых участков шва где имеются углубления (кратеры) возникающие при сварке. Длина такого участка принимается равной толщине шва следовательно расчетная длина шва равна lрасч = b -2. Расчетная площадь сечения шва в стык . При устройстве наклонного шва под углом 45° к продольной оси элемента шов считается равнопрочным сечению и не проверяется расчетом. Однако при этом получаются заметные отходы металла. Поэтому наклонные стыковые швы следует применять в крайних случаях .
При соединении листов разной толщины расчетная толщина шва принимается по наименьшей из толщин соединения. Для осуществления в соединении плавного перехода элемент с большей толщиной сглаживается на длине равной пятикратной толщине более тонкого элемента.
Валиковые (угловые) швы применяются в соединениях внахлестку (фиг.2б). Чаще всего такие швы в сечении имеют одинаковые катеты k. Расчетная высота шва принимается hcв = 07k . Валиковые швы делаются с наплывом 1—2 мм который в расчете не учитывается. В случае переменных нагрузок шов рекомендуется делать вогнутым с более длинным катетом в направлении действия нагрузки. Различают валиковые швы лобовые расположенные перпендикулярно направлению усилия и фланговые расположенные вдоль направления усилия (рис.34).
Независимо от рода усилия (растяжение сжатие или срез) валиковые швы всегда рассчитываются на срез. Расчетная площадь сечения шва принимается где - расчетная высота шва (при ручной сварке = 07k; k — катет шва; при автоматической сварке = 09k);
При наличии валиковых швов различного направления действующее усилие Р распределяется между всеми швами соединения пропорционально площадям их сечений: где F1 F2 F3 - площади сечений швов.
В соединениях с накладками (рис.3) за расчетные принимаются швы расположенные на одной половине соединения (на рис.3 обведено жирной линией) в соответствии с последовательностью передачи нагрузки с одной части стыкуемого элемента на другую.
В случае прикрепления уголков (или вообще несимметричных сечении) усилие S между продольными швами распределяется следующим образом: где e1 и е2 — расстояния от продольной оси стержня до швов; b — ширина полки уголка.
При наличии лобового шва сначала находится усилие воспринимаемое этим швом S3 = []срFрасч и затем общее усилие передающееся фланговыми швами S = S - S3 которое распределяется между этими швами в соответствии с вышеуказанным.
Расчетная проверка прочности сварных соединений производится по формулам табл.№1 и допускаемые напряжения принимаются по табл.№2.
Расчетное напряжение
(полуавтоматическая)
Допускаемое напряжение
Здесь [] – допускаемое напряжение основного металла свариваемых элементов
Расчет сварных соединений в более сложные случаях сочетания нагрузок смотри [15].
Соединения на высокопрочных предварительно напряженных болтах
В соединениях на высокопрочных предварительно напряженных болтах усилия передаются за счет сил трения возникающих между соприкасающимися поверхностями соединения. Болты при этом не передают срезывающих усилий так как диаметры отверстий принимаются больше диаметра болтов на 1—3 мм.
Для обеспечения указанной схемы передачи усилий необходимо болтам придавать значительные усилия натяжения. Поэтому для высокопрочных
болтов применяется легированная хромистая термически обработанная сталь марки 40Х обладающая пределом прочности 1400- 2000 МПа.
Напряжения высокопрочных болтов контролируются при завинчивании гаек специальными ручными гаечными ключами с встроенным динамометром. Могут также применяться электрические ключи импульсного действия или пневматические.
Соединения на высокопрочных болтах характеризуются следующими положительными качествами:
- меньшей трудоемкостью изготовления соединений (работы могут производиться менее квалифицированными рабочими и не требуется большой тщательности в обработке отверстий под болты);
- относительной простотой контроля необходимого натяжения болтовпосредством тарировочных ключей как в процессе монтажа так и в условияхэксплуатации;
- отсутствием саморазвинчивания гаек при переменных нагрузках;
- большей прочностью при работе болтов на отрыв головок.
Высокопрочные болты могут быть рекомендованы для монтажных узлов металлоконструкций грузоподъемных сооружений например в местах крепления главных балок крановых мостов к концевым балкам и т. п. Особенно рекомендуется применять высокопрочные болты в узлах где сварка (заводская или монтажная) может вызвать недопустимые деформации и неправильное взаимное расположение сопрягаемых элементов (например буксы ходовых колес кранов). Кроме того высокопрочные болты рекомендуется применять в случае усиления эксплуатируемых конструкций.
Высокопрочные болты применяются диаметром М16 .М24 получистыми с шестигранными головками. Длина болта принимается на 30—40 мм больше толщины стягиваемого пакета. Предполагается что для соединений работающих на продольные усилия последние равномерно распределяются между всеми болтами соединения. Необходимое число п болтов определяется из условия равнопрочности по формуле: где F — рабочая (с учетом ослабления отверстиями) площадь сечения стержня ; — предел текучести материала стержня; N — расчетное усилие предварительного натяжения болта. N 0.55вFраб (1) где в - предел прочности стали высокопрочных болтов после термической обработки; Fраб — площадь сечения болта (по резьбе); f — коэффициент трения между соединенными поверхностями; f = 045 — при пескоструйной или огневой очистке соединяемых поверхностей; f = 035 — при ручной очистке стальными щетками; m — число плоскостей трения в стыке (или соединении) (см.рис.1).
Число высокопрочных болтов в соединении должно быть не менее двух. Необходимое расчетное усилие предварительного натяжения достигается приложением к гайкам болтов крутящего момента определяемого по формуле где d — диаметр болта.
Расчет высокопрочных болтов стыка стенки балки при совместном действии изгибающего момента и поперечной силы.
В соответствии с расчетной схемой стыка приведенной на рис.2 равнодействующая поперечного усилия приходящегося на один болт крайнего ряда определяется по формуле: где - поперечное усилие приходящееся крайний ряд болтов ; Q – наибольшая поперечная сила в рассматриваемом сечении; nm- количество болтов в горизонтальном и вертикальном рядах. Усилие затяжки болта N определяется по формуле N = 0.75Tf для стальных конструкций. По формуле (1) определяется рабочая площадь Fраб болта.
П.Е. Богуславский. Металлические конструкции грузоподъемных машин и сооружений.-М.: Машиностроение 1961.-520с.
А.И. Дыховичный. Строительная механика.-М.: Высшая школа 1966.-с.328.
В.А. Киселев. Строительная механика.- М.: Изд-во литературы по строительству 1967.-с.548
Н.К. Снитко. Строительная механика.- М.: Высшая школа 1972.-с.487.
Справочник по кранам. В 2-х томах. Под редакцией М.М. Гохберга.- Л.: Машиностроение 1988.
И.М. Рабинович. Курс строительной механики стержневых систем. ч.1 Статически определимые системы.-М.: Госстройиздат 1950.
И.М. Рабинович. Курс строительной механики. ч.2. Статически неопределимые системы.-М.: Изд-во литературы по строительству и архитектуре 1954.-с.544.
Экзаменационные вопросы по курсу “Строительная механика и металлоконструкции”
Классификация нагрузок.
Соединения на высокопрочных болтах.
Методы прочностного расчета элементов стальных конструкций.
Классификация расчетных схем.
Расчет рам методом сил .
Классификация опор.
Расчет статически неопределимых балок.
Кинематический анализ статически определимых систем.
Определение перемещений. Формула Мора.
Кинематический анализ статически неопределимых систем. Мгновенно изменяемые системы.
Графический метод определения усилий в стержнях ферм.
Подбор сечений растянутых стержней.
Линии влияния усилий в стержнях ферм
Подбор сечений сжатых стержней.
Аналитические методы определения усилий в стержнях ферм.
Основы конструирования и прочностного расчета балок.
Балки. Линии влияния усилий в простой балке.
Основы метода сил. .
Линии влияния усилий в консольной балке.
Кинематический метод построения линий влияния усилий в простых балках.
Основные понятия расчета по методу предельных состояний.
Расчет элементов конструкций на выносливость..
Замена нескольких сосредоточенных грузов их равнодейсвующей.
Определение невыгодного загружения линий влияния.
Общие понятия о статически неопределимых системах.
Многопролетные шарнирные статически определимые балки. Линии влияния
Статически определимые системы.

03-2 Анализ СНО сист.doc

Статически неопределимые системы
В данной главе рассмотрены методы аналитического расчета статически
неопределимых конструкций. Поскольку применение этих методов целесообразно
только для систем с малой степенью статической неопределимости то
рассматриваются только простейшие плоские схемы. Более сложные конструкции
следует рассчитывать методом конечных элементов (МКЭ см.гл.5).
Свойства статически неопределимых систем
Статически неопределимой называют стержневую систему имеющую
избыточное количество связей опорных или внутренних. Наличие этих связей
приводит к тому что уравнений статики не хватает для определения всех
опорных реакций или внутренних усилий. Статически неопределимые системы
обладают некоторыми специфическими свойствами степень проявления которых
зависит от структуры и условий работы конструкции.
а) При сборке этих конструкций изготовленных с погрешностями или при
изменении температуры элементов этих систем могут возникать внутренние
усилия если имеющиеся избыточные связи затрудняют соответствующие
перемещения (рис.3.1аб). Эти дополнительные усилия могут привести к
существенной и трудно контролируемой перегрузке отдельных элементов
которая снижает их несущую способность. Однако используя это свойство
можно целенаправленно создавать предварительно напряженные конструкции
обладающие повышенной несущей способностью. [pic]
б) Наличие избыточных связей создает некоторый запас живучести
системы так как разрушение одной из связей не превращает конструкцию в
механизм (в) в отличие от статически определимой системы (г).
в) Статически неопределимые системы (д) имеют большую жесткость чем
статически определимые системы тех же параметров (е).
г) Внутренние усилия и опорные реакции возникающие в статически
неопределимой системе от внешней нагрузки зависят от соотношения
жесткостей ее элементов. Это обстоятельство затрудняет проектировочный
расчет таких конструкций.
Как уже отмечалось подавляющее большинство реальных конструкций
статически неопределимы. Аналитическому расчету поддаются только простейшие
из них. Расчетные схемы более сложных конструкций по возможности упрощают
отбрасывая малосущественные связи (как например при расчете ферм
п.2.3.1.) или рассчитывают с помощью МКЭ.
Рис.3.10. Примеры влияния погрешностей изготовления и разрушений на
состояние конструкций
Метод сил для расчета статически неопределимых систем
Алгоритм расчета методом сил
Расчет статически неопределимой системы методом сил имеет целью
нахождение усилий в избыточных связях. После чего значение внутренних
усилий в любом сечении или опорных реакций может быть выполнено обычными
способами из уравнений равновесия. Количество избыточных связей равно
степени статической неопределимости системы. Расчет производится следующим
) Степень статической неопределимости ([pic]) заданной системы
определяется путем анализа по методике изложенной в п.2.1.3. Статическая
неопределимость может быть внешняя связанная с присутствием избыточных
опорных связей (рис.3.11 а г) или внутренняя обусловленная наличием в
системе замкнутых контуров (ж).
) Формируется основная система которая получается из заданной путем
отбрасывания избыточных связей ([pic] штук). Вместо отброшенных связей
прикладываются неизвестные усилия которые в них действуют. Основная
система должна быть геометрически неизменяемой и статически определимой.
Отбрасывая разные связи можно для любой статически неопределимой
конструкции построить несколько вариантов основной системы
(рис.3.2бвдези). Следует выбрать тот вариант который даст менее
Балка на трех опорах один раз внешне статически неопределима ([pic]
рис.3.2а). Удалить одну внешнюю связь можно например отбросив один
опорный стержень (внешняя связь) заменив его влияние неизвестной реакцией
[pic] (б). Можно ввести шарнир (внутренняя связь) (в) тогда исчезает
изгибающий момент в узле который должен быть заменен двумя равными и
противоположно направленными моментами ([pic]). Для дважды статически
неопределимой рамы (рис.3.11 г) также можно получить основную систему
удаляя опорные стержни (д) или вводя шарниры (е).
Замкнутый контур трижды внутренне статически неопределим (п.2.1.3.
рис.3.2ж). Разорвав например верхний ригель получим основную систему с
тремя неизвестными усилиями действовавшими в этом сечении: [pic]. Следует
подчеркнуть что эти силовые факторы отражают взаимодействие берегов
разреза в заданной системе поэтому они изображаются в виде двух сил или
двух моментов приложенных к противоположным берегам разреза равных по
величине и противоположных по направлению.
Внешнюю статическую неопределимость можно исключить удаляя внешние
связи (опоры) или внутренние. Внутреннюю статическую неопределимость можно
снять только путем отбрасывания внутренних связей.
) Неизвестные усилия [pic] вычисляются из условий равенства нулю
суммарных перемещений по направлению каждого из неизвестных усилий ([pic]).
Эти равенства обеспечивают идентичность заданной и основной систем
поскольку в заданной системе указанные перемещения заблокированы связями
которые были отброшены при переходе к основной системе.
С учетом линейности рассматриваемых систем (п.2.1.2.) эти перемещения
можно представить в виде суммы перемещений от всех действующих в основной
системе силовых факторов включая и неизвестные усилия. В общем случае
такие условия для [pic]-го неизвестного перемещения записываются в виде
которое означает что суммарное перемещение точки приложения [pic]-го
неизвестного усилия ([pic]) от сил [pic] и от внешней нагрузки ([pic])
должно быть равно нулю. В обозначениях перемещений например [pic] первый
индекс означает точку и направление перемещения (точка приложения и
направление [pic]-го усилия) а второй – причину возникновения перемещения
(от [pic]-го усилия).
Если неизвестное усилие заменяет собой реакцию в отброшенном опорном
стержне (рис.3.11 б д) то нулю приравнивается линейное перемещение по
направлению этого усилия. Если неизвестное усилие представляет собой
моменты приложенные к стержням соединенным шарниром (рис.312а) то
относительный угол поворота сечений примыкающих к шарниру должен быть
равен нулю ([pic]) так как в заданной системе шарнира нет и упругая
линия не имеет переломов (рис.3.11 в е и). Для основной системы с
разрывом стержня (рис.3.11з) необходимо потребовать чтобы были равны нулю
три относительных перемещения в месте разреза ([pic]) (рис.3.12б).
Для того чтобы в уравнении вида (3.16) в явном виде фигурировали
неизвестные усилия перемещение ([pic]) [pic]-ой точки от действия
некоторой [pic]-ой силы ([pic]) с учетом линейности системы (п.2.1.2.)
записывают в форме [pic] где [pic] – коэффициент податливости [pic]-ой
точки в направлении действия [pic]-ой силы. Этот коэффициент численно равен
перемещению [pic]-ой точки от действия единичного усилия [pic]
приложенного в точке и по направлению действия усилия [pic] (см.п.3.3.1.).
Поэтому коэффициенты [pic] называемые единичными перемещениями имеют
Количество уравнений вида (3.16) равно степени статической
неопределимости системы ([pic]). Они образуют систему канонических
уравнений метода сил которая в общем виде записывается как
Каждое из уравнений системы означает отсутствие перемещений по направлению
действия соответствующего неизвестного усилия номер которого совпадает с
первым индексом обозначения перемещения.
) Коэффициенты канонических уравнений при неизвестных усилиях
являются коэффициентами податливости (см. выше) и находится как [pic] где
[pic] – перемещение k-ой точки от действия j-ой силы [pic]. Вычисляя
перемещение по формулам (3.8) (3.9) и (3.11) получим
Единичные усилия [pic] [pic] в типовой записи обычно опускаются но
об их присутствии необходимо помнить при анализе размерности величины
[pic]. В окончательном виде запишем
Здесь [pic] и [pic] – значения изгибающих моментов в элементах системы на
[pic]-ом участке от действия единичных усилий [pic] и [pic]. Интегрирование
производится по каждому участку схемы и суммирование по всем участкам.
Коэффициенты [pic] при неизвестных усилиях [pic] называют единичными
перемещениями. К этим коэффициентам применима теорема о взаимности
перемещений (3.6) согласно которой [pic]. Перемещения ([pic]) имеющие два
одинаковых индекса называют главными. Они всегда положительны. Остальные
перемещения [pic] – побочные их знак зависит от относительного
расположения перемножаемых эпюр (п.3.2.3.).
Величины [pic] называют грузовыми перемещениями. Их вычисляют по той
же методике и согласно (3.8) (3.9) получается
или в сокращенной записи
Здесь [pic] – изгибающий момент в элементах системы от действия внешней
) Из решения системы канонических уравнений (3.17) находят
неизвестные усилия ([pic]).
Для компьютерных расчетов удобно представить систему канонических
уравнений в матричном виде как
вектор грузовых перемещений.
При этом неизвестные усилия легко находятся например в среде
Mathcad как результат перемножения
Здесь [pic] – транспонированная матрица податливости.
) Значения опорных реакций изгибающих моментов и перерезывающих сил
в любом сечении заданной системы можно вычислить по основной системе
загрузив ее внешними нагрузками и найденными усилиями в отброшенных связях
([pic]). По другому те же величины можно найти суммированием их значений
полученных от отдельных факторов. Например эпюра изгибающих моментов в
заданной системе получается суммированием всех единичных эпюр ([pic])
умноженных на полученные алгебраические значения неизвестных усилий
([pic]) и эпюры моментов от внешней нагрузки то есть
Проверка решения заключается в определении фактических перемещений по
направлению отброшенных связей и производится отдельно для каждой связи.
При правильном решении эти перемещения должны быть равны нулю. Так по
формуле (3.11) перемещение k-той точки в основной системе от действия всех
найденных усилий [pic] и внешней нагрузки [pic] равно
Здесь [pic] и [pic] – эпюры изгибающих моментов от k-той единичной силы и
от суммы всех сил по формуле (3.21).
Рис.3.11. Примеры построения основных систем для расчета статически
неопределимых систем
Рис.3.12. Примеры построения основных систем для расчета статически
Примеры расчета методом сил
Пример 3.4. Произведем расчет П-образной рамы загруженной силой F
посередине ригеля (рис.3.13а). Стойки имеют момент инерции [pic] ригель –
) Выполним кинематический анализ этой системы. Она состоит из трех
стержней соединенных двумя жесткими связями и связанных с основанием
четырьмя опорными стержнями. Согласно (2.2) число степеней свободы равно
то есть система один раз статически неопределима.
) Основную систему получим отбросив одну горизонтальную опору и
приложив вместо нее неизвестную силу [pic] (рис.3.13 б).
) Условие отсутствия горизонтальных перемещений в правой опоре
выражается каноническим уравнением (3.17)
) Для вычисления коэффициентов канонического уравнения следует
построить эпюры изгибающих моментов от единичного вектора [pic] и от
Опорные реакции возникающие при действии единичного вектора [pic]
(рис.3.13 в) равны: [pic] [pic]. Изгибающий момент на первом участке
([pic]) равен [pic]. Левое волокно вертикального стержня растянуто поэтому
эпюра строится слева (п.2.2.1.). На втором участке ([pic]) момент равен
[pic] и растянуто нижнее волокно. Эпюра моментов на левой стойке
описывается уравнением [pic].
При загружении системы нагрузкой [pic] (рис.3.13в) возникают опорные
реакции [pic] [pic]. Изгибающие моменты в стойках равны нулю. Максимальный
изгибающий момент под силой равен [pic] при этом нижнее волокно растянуто
Единичное перемещение [pic] вычисляется по формуле (3.18а)
Как видно здесь производится умножение эпюры [pic] на саму себя. Применяя
метод Верещагина (п.3.2.3.) для вычисления интеграла Мора по трем участкам
(два участка одинаковые) получим
Размерность [pic] согласно (3.18) получается равной мН.
Грузовое перемещение [pic] вычисляется по формуле (3.19а)
Перемножая эпюры [pic] и [pic] по участкам методом Верещагина получим
Но фактическая размерность [pic] согласно (3.19) получается равной м.
) Вычислим значение неизвестного усилия из канонического уравнения
) Построим результирующую эпюру изгибающих моментов для заданной
системы путем суммирования (3.21)
При построении (рис.3.13 д) учтено то что величина [pic] получилась
отрицательной следовательно реакция в отброшенной связи заданной системы
направлена в противоположную по сравнению с указанным направлением сторону.
Изгибающие моменты в узлах равны [pic] момент под силой равен [pic].
В эти выражения подставляется алгебраическое значение [pic].
[pic]Рис.3.13. Пример расчета статически неопределимых систем методом сил
Учет влияния неточностей изготовления и изменения температуры
Метод сил позволяет учесть влияние неточностей изготовления
конструкции а также изменения температуры ее элементов на напряженно
деформированное состояние. Для этого в систему канонических уравнений
добавляются соответствующие перемещения характеризующие погрешность
изготовления ([pic]) и температурную деформацию ([pic]). Система
Обычно погрешность изготовления проявляется в неточности расположения
опоры или ее смещении (осадки) в процессе эксплуатации. Изменение
температуры приводит к изменению размеров конструкции на величину
где [pic] – коэффициент температурного расширения (для стали [pic]
град.); [p [pic] – разность конечной и
начальной температуры. Если деформированию конструкции при изменении
температуры ничего не препятствует то это не влияет на ее напряженное
состояние. Если же опоры не допускают перемещений каких-то точек то в ее
элементах и в опорных связях возникают дополнительные усилия.
Знаки перемещений [pic] и [pic] в уравнениях (3.23) определяются
следующим образом. Если для восстановления отброшенной связи точку
конструкции следует переместить в направлении противоположном принятому
направлению неизвестной силы то данное перемещение подставляется в
уравнения (3.23) со знаком плюс.
При решении канонических уравнений (3.17) в матричной форме следует
Пример 3.5. Произведем расчет Г-образной рамы загруженной силой F
(рис.3.14 а). Стойка рамы имеет момент инерции [pic] ригель – [pic]. В
расчете следует учесть то что по сравнению с проектным состоянием (1) в
системе имеется погрешность изготовления в результате которой шарнирно-
подвижная опора смещена вниз на [pic] (рис.3.14 б). Кроме того в процессе
эксплуатации температура рамы изменится по сравнению с температурой
изготовления на [pic] что приведет к вертикальному смещению опорной точки
на [pic]. Необходимо построить эпюры распределения изгибающих моментов
возникающих в раме в процессе эксплуатации считая что смещения [pic] и
[pic] весьма малы по сравнению с линейными размерами конструкции.
) Кинематический анализ показывает то система один раз статически
) Основная система получается путем замены шарнирно-подвижной опоры
неизвестной силой [pic] (рис.3.14 в).
) Каноническое уравнение в данном случае имеет вид
Поскольку для преодоления расстояния [pic]+ [pic] и восстановления
связи конца ригеля с опорой он должен быть смещен из состояния 2 в сторону
противоположную направлению силы [pic] то указанные смещения должны быть
подставлены в каноническое уравнение со знаком плюс.
построить эпюры изгибающих моментов от единичной силы [pic] ([pic]) и от
внешней нагрузки ([pic]) (рис.3.14 г д). Моменты в заделке имеют значения
Единичное перемещение [pic] по формуле (3.18) найдем с использованием
метода Верещагина как
Аналогичным образом вычисляется грузовое перемещение по (3.4)
) Значение неизвестного усилия находится из канонического уравнения
Как видно из формулы в данном случае смещения [pic]и [pic] приводят к
уменьшению реакции [pic].
) Результирующая эпюра изгибающих моментов строится согласно (3.21)
Изгибающий момент в заделке равен [pic]. Если значение [pic] получится
отрицательным то оно откладывается слева от стержня (как и [pic]). Момент
Рис.3.14. Расчет статически неопределимой системы с учетом погрешности
изготовления и температурной деформации
Пример 3.5. Проанализировать опорные давления четырехстоечного портала
(рис.3.14.) загруженного центральной вертикальной силой [pic] и силой
[pic] приложенной на вылете [pic].
) В кинематическом анализе этой системы всю конструкцию можно считать
одним блоком так как она не имеет замкнутых контуров и шарнирных
соединений. Согласно (2.3) получим
то есть система один раз внешне статически неопределима.
) Основную систему образуется путем удаления одной вертикальной связи
в опоре С. Неизвестное усилие в отброшенной связи обозначим [pic]
) Каноническое уравнение запишем с учетом возможной погрешности
основания под опорой С согласно (3.23) как
Опорные реакции возникающие от действия единичного вектора [pic]
(рис.3.14 в) равны: [pic] [pic] [pic]. Эпюры изгибающих моментов
показаны на рис.3.14 б. Значения максимальных изгибающих моментов в
центральном узле равны [pic] и[pic]. Здесь [pic] – половина длины
Опорные реакции возникающие под действием заданных нагрузок [pic] и
[pic] вычисляются из условий равновесия системы (рис.3.13 в) и получаются
Характер эпюры изгибающих моментов показан на рис.3.14 в.
Максимальный момент в корне стрелы и вертикальной башне равен [pic].
Моменты в месте крепления ног к центральному узлу равны произведениям
Единичное перемещение [pic] вычисляется с использованием метод Верещагина
(п.3.2.3.) по четырем участкам. В результате получается
где [pic] – момент инерции горизонтального ригеля.
Грузовое перемещение [pic] вычисляется путем перемножения эпюр [pic] и
[pic] по пяти участкам методом Верещагина и получается равным
) Значение неизвестного усилия из канонического уравнения получается
Опорные реакции в заданной системе найдем как суммы:
Данный результат получен в предположении что все связи системы
являются двусторонними.
) Проанализируем полученный результат. Найдем угол поворота стрелы
[pic] при котором реакция опоры [pic] будет максимальной. Для этого
продифференцируем выражение для [pic] и приравняем его нулю. В результате
Таким образом значение [pic] будет максимальным при [pic] (рис.3 .
г) то есть когда стрела перпендикулярна диагонали опорной базы портала. В
этом же положении реакция опоры С будет минимальной.
) Считая что стрела стоит в положении [pic] определим условие при
котором реакция в опоре С станет равной нулю. Для этого в равенство [pic]
подставим [pic] и [pic] в результате получим
Как видно из этого решения грузовой момент [pic] при котором
произойдет отрыв опоры С от основания будет тем меньше чем больше
погрешность основания [pic] и жесткость портала [pic] и чем меньше
центральная нагрузка [pic].
В порталах более сложной конфигурации величину [pic] можно найти с
помощью МКЭ как перемещение точки С от силы [pic].
[pic]Рис.3.14. Пример расчета портала методом сил
Метод перемещений для расчета статически неопределимых систем
Алгоритм расчета методом перемещений
Метод перемещений в определенном смысле противоположен методу сил. При
использовании метода сил отбрасываются лишние связи и из кинематических
условий находятся действующие в них усилия. В методе перемещений путем
введения дополнительных фиктивных связей в узлах конструкции
устанавливается контроль над неизвестными перемещениями и из условий
равенства нулю реакций в этих связях вычисляются фактические значения
перемещений. По найденным значениям перемещений узлов можно определить
внутренние усилия в любом элементе конструкции.
Метод перемещений удобен для компьютерной реализации так как в нем в
отличие от метода сил основная система задается единственным образом.
Принципиально этим методом можно рассчитывать и статически определимые
системы но целесообразно это только при использовании соответствующего
программного обеспечения.
Рассмотрим алгоритм расчета этим методом.
) Производится анализ заданной системы с целью определения степени ее
кинематической неопределимости то есть количества неизвестных перемещений.
Неизвестные перемещения могут быть двух видов: линейные и угловые.
Для определения линейных перемещений в заданной системе все жесткие
связи (между стержнями и с основанием) заменяют шарнирами (рис.3.15а)
после чего находят количество опорных стержней которые надо установить
чтобы система стала геометрически неизменяемой (б). Добавленные опорные
стержни (обозначены двойной линией) показывают расположение и количество
неизвестных линейных перемещений.
Количество угловых неизвестных перемещений равно количеству жестких
узлов заданной системы в которых соединяется два или более стержней.
Степень кинематической неопределимости (u) равна суммарному количеству
линейных и угловых неизвестных перемещений. Система на рис. 3.15. три раза
кинематически неопределима ([pic]). Следует отметить что степень
кинематической неопределимости никак не связана со степенью статической
неопределимости (п.2.1.3.). Так например та же система один раз
статически неопределима.
) Основная система получается из заданной путем введения
дополнительных фиктивных (не существующих в реальности) связей ([pic]
штук). Во все жесткие узлы (жесткое соединение двух и более стержней)
вводят заделки препятствующие угловым перемещениям а в тех местах где
обнаружены неизвестные линейные перемещения размещают опорные стержни
(рис.3.15 в). Особенность фиктивных заделок такова что каждая из них
блокирует только одно перемещение поворот узла и не препятствует линейным
перемещениям. Кроме того каждой из фиктивных связей при необходимости
можно задать произвольное перемещение то есть повернуть заделку на какой-
то угол или сместить опорный стержень в его же направлении. Естественно
полученная таким образом основная система статически неопределима.
) Далее необходимо сформулировать условия при выполнении которых
основная система будет полностью идентична заданной. Это произойдет в том
случае если все фиктивные связи получат перемещения равные перемещениям
этих узлов в заданной системе под действием реальных нагрузок. При этом
реакции в них будут равны нулю так как они не отклоняют систему от ее
равновесного состояния. Таким образом должны быть равны нулю суммы
реакций возникающих в каждой фиктивной связи от перемещения всех фиктивных
связей и от внешней нагрузки то есть:
Здесь обозначено [pic] – реакция возникающая в k-ой связи при перемещении
j-ой связи в ее «естественное» положение то есть соответствующее
перемещению в заданной системе. Поскольку рассматриваемые системы линейны
(п.2.1.2.) эта реакция пропорциональна перемещению j-ой связи то есть
[pic] где [pic] – фактическое (искомое) перемещение j-ой связи в заданной
системе; [pic] – коэффициент жесткости численно равный усилию которое
возникает в k-ой связи при единичном перемещении j-ой связи он имеет
размерность [p [pic] – свободный член уравнения равный реакции
возникающей в k-ой связи от внешней нагрузки. С учетом введенных
обозначений можем записать систему канонических уравнений метода
перемещений в следующем виде
Количество уравнений в системе равно степени кинематической
неопределимости системы. Для схемы на рис.3.15. следует записать три
Далее необходимо определить коэффициенты этих уравнений [pic] и
свободные члены [pic].
) Значения коэффициентов канонических уравнений могут быть найдены
общим или статическим методом. Общий метод базируется на использовании
принципа возможных перемещений (п.3.1.1.). Например для нахождения
коэффициента [pic] в качестве состояния 1 рассмотрим деформацию системы от
единичного перемещения [pic]= 1 связи 1 при котором возникают реакции в
фиктивных связях [pic] [pic] и [pic]. Состояние 2 соответствует единичному
перемещению [pic]= 1 связи 2 которое вызывает появление реакций в
фиктивных связях [pic] [pic] и [pic]. Работа внешних сил второго состояния
на перемещениях первого состояния равна [pic] и согласно принципу возможных
перемещений (3.3) [pic]. Другие реакции работы не совершают так как точки
их приложения в состоянии 1 не перемещаются. С учетом введенных обозначений
Величины [pic] и [pic] численно равны единице но имеют размерность
соответствующих перемещений.
Используя для определения работы внутренних сил формулу (3.4) в общем
случае можем записать
или применяя для рамно-балочных систем приближенную запись (п.3.2.2.)
Таким образом коэффициенты вычисляются с помощью интеграла Мора в
котором перемножаются эпюры изгибающих моментов тех состояний которые
соответствуют индексам искомого коэффициента. В сокращенной записи без
единичных перемещений формулы записывают как
Свободные члены уравнений находят по той же методике как
или в сокращенной форме записывают как
Техника вычисления таких интегралов рассмотрена в п.3.2.3. Приведенная
формула еще раз подтверждает положение теоремы о взаимности реакций (3.7)
согласно которой [pic].
Статический способ вычисления коэффициентов заключается в определении
реакций из условий статики. Для этого строятся эпюры изгибающих моментов
для u состояний в каждом из которых задается единичное смещение одной из
фиктивных связей (рис.3.15 д е ж) и от внешней нагрузки (з). После чего
требуемая реакция получается из условия равновесия узла в котором она
Для расчетов обоими методами необходимо иметь готовые решения для
нахождения опорных реакций и изгибающих моментов в статически неопределимых
балочных элементах из которых состоит основная система метода сил. При
расчете конструкций методом перемещений могут встретиться два варианта
закреплений элементов балок: один конец защемлен другой шарнирно оперт или
два конца защемлены (табл.3.1.). Загружение этих балок может быть двух
типов: кинематическое при котором задается смещение одной из опор или
силовое от внешней нагрузки.
Рассмотрим методику определения коэффициентов канонических уравнений
статическим методом на примере системы представленной на рис.3.6.
В состоянии 1 фиктивная связь 1 смещается по своему направлению на
[pic]. Горизонтальный ригель смещается без изгиба. Изгиб вертикального
стержня приводит к возникновению горизонтальной реакции в связи 1 (табл.
и моментной реакции в связи 2 которая находится из условия равновесия узла
(рис.3.15 и вторая линия на вертикальном стержне указывает растянутое
Реакция [pic] равна сумме изгибающих моментов ([pic]) в сечениях
стержней примыкающих к узлу (рис.3.6 е к [pic]). Значения этих моментов
находятся по табл.3.1. (поз. 1 и 4) знак – определяется по расположению
растянутого волокна которое указывает эпюра. В результате получится
Остальные коэффициенты вычисляются по формулам:
[pic] [pic] [pic] [pic].
Свободные члены канонических уравнений равны значениям реакций в
связях 1 2 и 3 от внешней нагрузки F. Как видно из схем на рис.3.15.
) После подстановки всех коэффициентов в систему (3.9) вычисляются
значения перемещений всех фиктивных связей [pic].
) Результирующая эпюра изгибающих моментов вычисляется как сумма эпюр
Проконтролировать правильность решения можно путем проверки условий
Рис.3.15. К расчету статически неопределимых систем методом перемещений
Изгибающие моменты и реакциистатически неопределимых балок
№ Схема балки1 Эпюра моментов Формулы2
Примечание: 1 – На схеме показаны фактические направления реакций.
– Знаки моментов [pic] и [pic] соответствуют направлению реактивных
моментов в заделках. Положительным считается момент направленный против

1 (2).docx

Санкт-Петербургский государственный Политехнический Университет
Транспортные и технологические системы
Расчетное задание по курсу «Металлические конструкции машин»
Студент гр. 40451: Якобенко К. В.
Преподаватель:Кузьмичев В.А.
Выполнить кинематический анализ системы.
Построить эпюры Q и M.
Построить линии влияния А Мвв Qвв.
Вычислить по линиям влияния значения А и Мвв от нагрузок P.
Определим является ли балка статически определимой. Для этого удостоверимся что верно равенство 3D=C0+2Ш0 где D – число дисков C0 – число неизвестных реакций Ш0 – число шарниров.
Равенство верно следовательно балка статически определима.
Разбиваем балку на 2 основные(статически определимые) и 1 дополнительную балки.
Построим эпюры М и Q.
Найдем все неизвестные реакции:
Для 2 диска: E=C=P22=25 кН.
Для 1 диска: А=E=25 кН. MА=E*b=75 кНм.
Для 3 диска: C’=D=P12=50 кН.
Построим линии влияния А Мвв Qвв.
Определим значения А и Мвв от нагрузки P2=50кН.

5.frw

01а Общие принципы.doc

1. Общие положения расчета и проектирования конструкций
1. Виды металлических конструкций
Несущей металлической конструкцией называют основное формообразующее
сооружение или систему элементов машины которые воспринимают и передают на
основание все нагрузки действующие на машину а также обеспечивают силовое
и кинематическое взаимодействие ее механизмов. Для мостовых кранов это
пролетное строение для стреловых кранов и экскаваторов - ходовая и
поворотная рамы стрела и т.д. На металлической конструкции закрепляются
механизмы электро- и гидрооборудование и вспомогательные элементы.
Металлическая конструкция является одним из наиболее ответственных
элементов машины и наиболее долговечной ее частью так как срок службы
металлической конструкции обычно определяет срок службы машины в целом. В
процессе работы машины ее несущая конструкция находится под влиянием
сложного комплекса эксплуатационных силовых тепловых физико-химических
воздействий. Вспомогательными конструкциями являются лестницы и галереи
металлоконструкции кабин управления и машинных помещений кронштейны
поддерживающие механизмы токоподвод и пр.
Задачей проектировщика несущей конструкции является выбор таких
конструктивно-технологических решений которые обеспечат безопасность ее
эксплуатации в течение всего срока службы. При этом из множества вариантов
возможных решений должен быть выбран наиболее экономичный и технологичный
то есть пригодный для качественного изготовления на данном предприятии.
Несущие конструкции можно подразделить на неизменяемые и изменяемые
(кинематические). Элементы неизменяемых конструкций не меняют своего
относительного положения и могут перемещаться только совместно как единое
целое. К таким конструкциям относятся конструкции мостовых и козловых
кранов рамы тракторов и автомобилей и др. (рис.1.1. ). Изменяемые
конструкции представляют собой механизмы элементы которых могут
перемещаться друг относительно друга под действием приводов. Примерами
таких конструкций являются несущие конструкции стреловых кранов и
экскаваторов шарнирно-сочлененные рамы скреперов и пр. (рис.1.1. ).
По конструктивному оформлению несущие конструкции можно разделить на
Балочные и рамные конструкции представляют собой отдельные балки или
системы балок соединенных друг с другом шарнирными или жесткими связями.
Они обычно изготавливаются из листового проката поэтому называются
листовыми. Основным силовым фактором вызывающим наибольшие напряжения в
элементах этих конструкций как правило являются изгибающие моменты.
Дополнительные напряжения создаются продольными усилиями и крутящими
моментами. Балочно-рамными конструкциями являются конструкции многих
мостовых и козловых кранов (рис.8.1.1а) стрелы портальных кранов и
экскаваторов рамы скреперов и пр. Специфическим типом рам являются
платформы которые представляют собой плоские рамные структуры в основном
воспринимающие нагрузки не лежащие в плоскости платформы. Балки
образующие платформу часто объединяются настилом.
Ферменные конструкции представляют собой стержневые конструкции
состоящие из треугольных панелей (рис.8.1.1вг). Такая структура приводит
к тому что при узловом приложении нагрузок стержни ферм в основном
загружаются продольными усилиями. Ферменные конструкции используют в
большинстве башенных кранов в конструкциях строительных козловых кранов и
Шпренгельной называют комбинированную конструкцию которая состоит из
главной балки 2 усиленной треугольной стержневой системой 3 которую
называют шпренгелем (рис.8.1.1д). Такое усиление существенно повышает
жесткость конструкции и снижает напряжения в балке от изгиба. Элементы
шпренгельной системы испытывают как изгибающие моменты так и существенные
продольные усилия. Соотношение между напряжениями от изгиба и продольных
сил зависит от параметров конструкции и соотношения сечений. Эти
конструкции используют в хоботах и стрелах портальных кранов и шагающих
экскаваторов пролетных строениях козловых кранах и пр.
Достоинствами листовых балочно-рамных конструкций являются высокая
технологичность связанная с возможностью применения автоматической сварки
и меньшей номенклатурой используемого проката. Кроме того эти конструкции
значительно лучше приспособлены для работы в условиях низких температур и
интенсивных циклических нагрузок. Недостатком является большая
металлоемкость по сравнению с ферменными и шпренгельными конструкциями.
Основное преимущество ферменных конструкций по сравнению с листовыми
заключается в том что они имеют меньшую массу особенно в конструкциях
большого пролета загруженных в значительной степени собственным весом.
Кроме того ферменные конструкции обычно получаются жестче правда в
основном за счет больших габаритов поперечного сечения. Дополнительными
достоинствами могут оказаться меньшие наветренные и покрасочные площади.
Недостатки этого типа конструкций связаны с низкой технологичностью из-за
большой номенклатуры используемого проката применения ручной сварки и
сложной процедуры сборки что влечет за собой нестабильное качество.
Сложная конфигурация и многочисленные узлы с короткими швами создают
высокую концентрацию напряжений в узлах что обуславливает низкую
хладостойкость и плохое сопротивление усталости. Большие чем у листовых
конструкций габариты сечений также ограничивают область применения ферм.
Поскольку шпренгельные конструкции представляют собой комбинированный
вид то соотношение их достоинств и недостатков зависит от качества
найденного конструктивного решения.
При выборе варианта конструктивного оформления несущей конструкции
проектировщик учитывает:
– функциональные требования и конструктивные ограничения
(необходимость обеспечения заданного пролета или вылета размещения
механизмов реализации определенного набора движений и пр.);
– требования обеспечения надежности в заданных условиях эксплуатации
(условия прочности устойчивости долговечности жесткости возможности
эксплуатации в условиях низких температур коррозионной среды и т.п.);
– условия транспортировки и монтажа (возможность перевозки элементов
конструкции по шоссейным или железным дорогам возможность оперативного
монтажа и демонтажа при необходимости частой перебазировки и т.п.);
– экономические требования направленные на минимизацию затрат на
изготовление монтаж и эксплуатацию.
Сделать тоновые рис (адаптированные) реальных конструкций возможно на
2. Последовательность проектирования конструкции
Несущая конструкция является элементом машины поэтому выбор типа
конструкции ее компоновка и детальное конструктивное оформление
производится в тесной увязке с проектированием основных механизмов
приводов ходовой части и других элементов. Методы выполнения этих
функциональных требований в данной книге не рассматриваются так как они
весьма различны для каждого типа и даже типоразмера машины. Далее
приводится последовательность решения проблем связанных только с
обеспечением работоспособности и долговечности конструкции.
После того как выбран тип конструкции (п.1.1.) и сформирована ее
общая схема и основные геометрические параметры необходимо установить
конфигурацию и размеры сечений элементов и узлов. Примерная структура
действий конструктора на этом этапе следующая:
Определяются виды проката которые могут быть использованы для
изготовления основных элементов конструкции то есть листовой или
фасонный прокат трубы гнутые профили и пр. Предварительно
устанавливается марка стали или перечень сталей которые могут быть
Определяются эксплуатационные нагрузки и формируются их расчетные
комбинации. Устанавливаются расчетные положения и направления
подвижных и переменных нагрузок. Для изменяемых конструкций
определяются расчетные положения элементов при которых можно ожидать
возникновения наибольших напряжений в элементах.
Основным условием для первоначальной оценки требуемых параметров
сечения является условие прочности (гл.5). Расчет на прочность
начинают с наиболее нагруженных сечений основных элементов
конструкций. Если результаты проверки на прочность положительны то
назначенные параметры сечений предварительно принимаются если же
проверка не удовлетворена то производится корректировка размеров
сечения изменяется его конфигурация или выбирается другая марка
стали. Как правило после окончательного выбора материала
конфигурации и размеров конструкции производится повторная проверка
прочности результаты которой и вносятся в расчетно-пояснительную
Проверяется выполнение условия жесткости (гл.6). Допустимое значение
жесткости или податливости зависит от типа машины и условий работы.
Если условие жесткости не выполнено то следует проанализировать вклад
каждого из элементов конструкции (например стрелы колонны и портала)
в суммарное перемещение и начать с корректировки наиболее податливого
Выполняется проверка общей устойчивости балок открытого сечения и
сжатых стержней (п.7.2 7.3). При отрицательных результатах этого
расчета необходимо изменить сечение этих элементов или ввести
дополнительные связи.
Проверка местной устойчивости производится для тонкостенных элементов
конструкции в которых действуют наибольшие напряжения сжатия изгиба
сдвига и их комбинации (гл.7.4.). Если условие местной устойчивости не
выполняется то принимается решение об изменении их размеров или
размещении ребер и диафрагм.
Проверочный расчет на сопротивление усталости выполняют для основных
сечений конструкции подвергаемых достаточно интенсивному циклическому
нагружению (гл.8). Если долговечность конструкции окажется меньше
требуемой то следует скорректировать параметры сечения изменить
конструкцию узлов создающих наибольшую концентрацию напряжений или
предусмотреть технологические меры повышения сопротивления усталости
В процессе проектирования отдельных узлов конструкции производится
расчет на прочность и сопротивление усталости сварных соединений
узлов воспринимающих местные нагрузки шарнирных узлов монтажных
соединений кронштейнов и пр. (гл.11 .).
3. Эксплуатационные воздействия.
В процессе эксплуатации конструкции подвергаются механическим
(силовым) и физико-химическим воздействиям. Силовые воздействия реализуются
в виде внешних нагрузок (см.п.1.6.) и опорных реакций. Наиболее типичными
физико-химическими воздействиями являются тепловые и коррозионные.
Тепловые воздействия в зависимости от причин их вызывающих делятся
на климатические и технологические. Они создают в конструкции температурные
поля обычно переменные по объему конструкции и изменяемые во времени. Эти
поля вызывают появление неравномерных температурных деформаций и
дополнительных напряжений в конструкциях.
Климатические тепловые воздействия на конструкцию связаны с природными
факторами изменением температуры окружающего воздуха потоками солнечного
тепла и пр. Параметры климатических воздействий для технических целей
нормированы. Территория Земли разделена на зоны каждая из которых
характеризуется соответствующим типовым климатом (ГОСТ 15150-69). В
зависимости от климата для которого предназначены изделия они
изготавливаются в исполнении У – для умеренного климата исполнении ХЛ –
для холодного климата УХЛ – для умеренного и холодного климата М – для
умеренно-холодного морского который распространяется на акватории морей и
океанов севернее 30о северной широты и южнее 30о южной широты и т.д.
Территория России расположена в зонах умеренного и холодного климатов.
Параметры климатических воздействий на технику зависят также от
условий ее размещения. Установлено 5 типовых категорий размещения техники:
- на открытом воздухе; 2 - под навесом или в помещении без теплоизоляции;
- в закрытом помещении с естественной вентиляцией; 4 - в помещении с
искусственными климатическими условиями; 5 - в помещениях с повышенной
влажностью (подвалы шахты). Сочетание показателей климатического
исполнения и категории размещения техники определяют вид климатического
исполнения которое обозначается например как У1 или ХЛ2 (ГОСТ 15150-69).
Наиболее значительным негативным климатическим фактором для
металлических конструкций является низкая температура. Минимальные рабочие
температуры установленные для различных условий эксплуатации приведены в
Технологические тепловые воздействия в основном сводятся к нагреву
элементов конструкции от источников тепла расположенных вблизи нее. Такими
источниками являются например металлургические печи жидкий металл
транспортируемый краном в ковше и пр. Для защиты конструкций от локальных
тепловых воздействий используют тепловые экраны.
Коррозионное воздействие на конструкции машин в основном связано с
состоянием атмосферы наличием в ней агрессивных примесей и влаги. В
наибольшей степени ускорению коррозии способствует влажность а также
присутствие в атмосфере сернистого газа SO2 хлористых солей (в приморских
районах) хлора сероводорода аммиака паров кислот и пр. соединений
которые попадают в атмосферу промышленных предприятий.
Минимальные рабочие температуры воздуха по ГОСТ 15150-69 (оС)
Климат Исполнение Категория размещения
Умеренный У -451 -451 -10 +1 -5
Холодный ХЛ -60 -60 -10 +1 -10
Умерен.-холодный морской М -40 -40 -40 -10 -40
Примечание: 1 – для изделий которые могут иметь перерывы в работе (в том
числе для большинства грузоподъемных машин) минимальная рабочая температура
может приниматься равной -40оС.
4. Виды отказов металлических конструкций и процессы их вызывающие
Ухудшение технического состояния конструкции в процессе эксплуатации
зависит от совокупности внешних и внутренних факторов. Внешними – являются
механические и физико-химические воздействия. К внутренним факторам
относятся свойства материала конфигурация и размеры конструкции качество
изготовления накопленные повреждения и пр. Неблагоприятное сочетание
внешних и внутренних факторов создает условие для развития в элементах
конструкций процессов которые могут привести к их отказу то есть
нарушению эксплуатационной пригодности конструкции. Эти отказы делятся на
внезапные возникающие в результате процессов которые развиваются за
время пренебрежимо малое по сравнению со сроком службы изделия и
постепенные которые обусловлены медленным изменением состояния объекта за
время сопоставимое со сроком службы.
В большинстве случаев отказ формируется в результате нескольких
одновременно протекающих процессов характер протекания и интенсивность
которых зависит от совокупности воздействий и свойств изделия. Так развитие
усталостного повреждения интенсифицируется в коррозионной среде
механический износ ускоряется в условиях низких температур хрупкому
разрушению обычно предшествует усталостное повреждение и т.д. Далее кратко
рассмотрены характерные особенности процессов и явлений приводящих к
отказам и факторы влияющие на их развитие.
а) Пластическая деформация. Этот вид повреждения весьма характерен для
элементов сварных конструкций которые как правило изготавливают из
пластичных сталей. При нагружении конструкции он возникает в тех случаях
когда материал находится в пластичном состоянии и напряжения в некоторой
области конструкции достигают предела текучести. Пластические деформации в
небольших объемах не опасны для конструкции. Так местная текучесть обычно
происходит в сварных швах новой сварной конструкции при первых нагружениях.
Пластические деформации могут возникнуть при перегрузках в зонах
концентрации напряжений при местных механических повреждениях тонкостенных
элементов в условиях местного высокотемпературного воздействия и пр. В
этих случаях нарушения несущей способности конструкции как правило не
происходит. Однако такие повреждения влекут за собой искажение размеров и
формы конструкции снижение запаса пластичности материала в зоне текучести.
При больших перегрузках пластическая зона охватывает значительную часть
сечения что приводит к недопустимым деформациям и потере несущей
Для защиты от данного повреждения на основании проектировочного
расчета на прочность выбрают такие размеры и материал конструкции которые
обеспечат невозникновение чрезмерных пластических деформаций при заданном
уровне эксплуатационных нагрузок (см.п.3.3.).
б) Хрупкое разрушение происходит при нагружении конструкции если
развитие пластических деформаций материала затруднено. Этот вид разрушения
заключается в быстром распространении трещины зародившейся в области
максимальных растягивающих напряжений. Факторами затрудняющими
пластическое деформирование и соответственно повышающими вероятность
хрупкого разрушения являются низкая температура высокая скорость
нагружения (ударное нагружение) объемное напряженное состояние с тремя
положительными компонентами которое характерно для зон высокой
концентрации напряжений и сварных швов в элементах большой толщины.
Опасность хрупкого разрушения связана с тем что оно может происходить при
напряжениях меньших предела текучести и приводить к внезапной потере
несущей способности конструкции.
Для предупреждения возникновения хрупких трещин применяют определенные
приемы конструирования (см.п.3.4.) и выбирают стали сохраняющие
пластичность при наименьшей допустимой эксплуатационной температуре
в) Усталостное повреждение постепенно накапливается в процессе
циклического нагружения в местах с большой амплитудой изменения напряжений.
Процесс усталостного повреждения сначала проходит в скрытой форме вплоть до
образования начальной трещины. При дальнейшем нагружении происходит
развитие трещины до критического размера и полное разрушение детали.
Наибольшее влияние на развитие усталостного повреждения оказывают амплитуда
действующих напряжений количество циклов нагружения и концентрация
Сопротивление усталости обеспечивается путем обоснованного выбора
конфигурации и геометрических параметров конструкции (см.п.5.) а также
качественного изготовления.
г) Потеря устойчивости (общей и местной) представляет собой искажение
плоской или прямолинейной формы элемента конструкции под действием
сжимающих напряжений сопровождающееся существенным снижением его
жесткости. Потере устойчивости подвержены сжатые стержни ферм изгибаемые
балки незамкнутого сечения и сжатые элементы тонкостенных конструкций. Этот
вид отказа происходит при перегрузках часто внезапно сопровождается
снижением несущей способности элемента и поэтому может приводить к весьма
тяжелым последствиям.
Устойчивость элементов конструкций обеспечивают выбором
соответствующих геометрических параметров или установкой ребер жесткости
(см.п.4. 9.4. 10.3.1.).
д) Коррозионное повреждение - явление разрушения поверхности детали
в результате химического или электрохимического взаимодействия материала со
средой. Коррозия приводит к снижению несущей способности конструкции за
счет уменьшению сечения конструктивного элемента и образования трещин а
также способствует ускорению развития усталостного повреждения.
Скорость коррозии стальных конструкций с незащищенной горизонтальной
поверхностью составляет в зависимости от условий 002 – 02 ммгод с одной
поверхности и в особо агрессивных условиях достигает 04 .. 05 ммгод.
Скорость коррозии возрастает в области контакта двух разнородных металлов
обладающих разными электрическими потенциалами (например сталь и
алюминий) в местах действия значительных механических напряжений (в
области концентрации напряжений) в местах где скапливается грязь и влага.
Большую опасность представляет щелевая коррозия которая происходит в
местах постоянного контакта двух элементов конструкции например при
нарушении герметичности болтовых и заклепочных соединений. При этом
продукты коррозии имеющие больший объем чем металл из которого они
образовались распирают стык что приводит к разрушению болтов и заклепок.
Основным способом защиты несущих конструкций от коррозии является
применение защитных лакокрасочных покрытий. В обоснованных случаях
применяют цинковые покрытия. Кроме того конструкция предназначенная для
работы в условиях агрессивных воздействий должна быть спроектирована так
чтобы на ней не было карманов и желобов в которых скапливается вода пыль
е) Изнашивание - процесс постепенного изменения размеров и формы
тела в результате удаления частиц материала с его поверхности или его
остаточной деформации при трении о другое тело. Износу подвержены рабочие
органы строительных машин ходовые части шарнирные узлы конструкций а
также рельсы и направляющие по которым передвигаются колеса или опорные
ролики и пр. Этот вид отказа развивается постепенно и при правильном
режиме эксплуатации может быть своевременно обнаружен и ликвидирован.
Снижению скорости износа способствует рациональная конструкция узла
трения обоснованный выбор стали термообработка повышение точности
изготовления и монтажа и пр.
ж) Чрезмерные (по величине или времени затухания) упругие деформации
(перемещения) несущих конструкций могут приводить к нарушению работы
расположенных на них механизмов снижению производительности машины а
также оказывать вредное воздействие на самочувствие оператора. Этот вид
нарушения работоспособности конструкции как правило является результатом
ошибки допущенной на стадии проектирования. Для защиты от него проводят
расчет конструкции на жесткость и при необходимости увеличивают размеры
сечений основных несущих элементов.
и) Деградация свойств стали в процессе длительной эксплуатации в
составе конструкции. Со временем основные механические характеристики стали
(временное сопротивление и предел текучести) практически не меняются но
снижается ее пластичность и сопротивление хрупкому разрушению. Это связано
с процессами деформационного старения которые происходят в сварных
соединениях и местах пластической деформации металла в процессе гибки
гильотинной резки и пр. а также в зонах механических повреждений
полученных в процессе эксплуатации. Интенсивное старение стали происходит в
зонах значительного разогрева конструкции например в литейных кранах.
Снижение пластичности стали повышает риск хрупкого разрушения при
отрицательных температурах.
При проектировании конструкции необходимо на основании накопленного
опыта и анализа условий эксплуатации выбрать возможные виды повреждений и
предпринять меры по защите конструкции от них.
5. Основы расчета конструкций
5.1. Общие положения построения расчетных методик
Для того чтобы выбрать конструктивно-технологические решения и размеры
несущей конструкции обеспечивающие ее эксплуатационную пригодность в
течение установленного срока службы на стадии проектирования производят
расчеты по критериям работоспособности и долговечности (п.1.2.). Расчеты
построенные в форме проверки условия работоспособности при заданной
геометрии конструкции называют поверочными. Если же из условия
работоспособности непосредственно находится какой-либо размер конструкции
или требуемое значение характеристики материала то такой расчет называют
Расчет конструкции представляет собой математическое моделирование
свойств или поведения реального объекта с целью прогнозирования его реакции
на эксплуатационные воздействия. Для его выполнения создают модель
(расчетную схему) и описывают ее математически. Модель представляет собой
условный (упрощенный) образ реального объекта адекватно отражающий его
свойства существенные для целей проводимого исследования (расчета). Модель
никогда не отражает всю полноту свойств объекта их взаимосвязей она
неизбежно содержат более или менее грубые допущения или эмпирические
зависимости полученные в условиях отличных от эксплуатационных. Кроме
того исходные данные используемые в расчете (размеры нагрузки
прочностные и усталостные характеристики и пр.) обычно имеют некоторую
погрешность или неопределенность. Поэтому все расчетные методы приближенны.
Достоверность результатов расчета естественно получается не выше
достоверности использованных теоретических моделей и исходных данных.
Инженерная методика расчета должна удовлетворять следующим требованиям:
а) использовать в качестве исходных данных величины значения которых
доступны для инженера;
б) иметь вид удобный для инженерного применения то есть представлять
собой ясный алгоритм или программный продукт с соответствующими
в) давать результат с приемлемой погрешностью в запас надежности;
г) содержать указания о границах области ее применения.
Инженерные расчеты выполняемые по любому критерию работоспособности
или долговечности строятся в форме сравнения двух параметров. Один
параметр (() характеризует фактическое состояние или поведение конструкции
а другой (() предельное. Так например сравнивается действующее напряжение
с допускаемым напряжением долговечность с требуемой долговечностью прогиб
с допустимым прогибом. В зависимости от характера условия эта проверка
имеет вид неравенства
[pic] или [pic] (1.1)
Структура расчетных условий и правила определения значений величин (
и ( должны обеспечивать достаточно высокую надежность расчета. Это значит
что при нормативном качестве изготовления конструкции и соблюдении
нормативных условий эксплуатации выполнение расчетного условия (1.1) должно
гарантировать необходимый уровень вероятности невозникновения
соответствующего отказа в реальной конструкции. Для этого в основе условия
работоспособности должна лежать математическая модель адекватно
описывающая процесс отказа от которого требуется защитить конструкцию а
исходные данные для расчета должны удовлетворительно отражать реальные
свойства конструкции и условия эксплуатации. Кроме того в структуре
расчетного условия должен быть предусмотрен механизм учета ряда факторов
которые вносят элемент неопределенности в результаты расчета. По своей
природе эти факторы можно разделить на три группы:
Первая из них - вероятностная природа физических величин и процессов
числовые характеристики которых фигурируют в расчете. Таковыми являются
механические характеристики материалов эксплуатационные нагрузки размеры
сварных узлов параметры процесса накопления усталостного повреждения и пр.
Фактические значения всех этих величин достоверно не известны на стадии
Второй группой факторов является приближенность и неполнота
используемых в расчете математических моделей описывающих процессы и
явления приводящие к отказам. Инженерные модели процессов повреждения
игнорируют ряд факторов влияние которых признано несущественным или не
поддающимся описанию на данном уровне. Так например в инженерных расчетах
не учитываются остаточные напряжения от сварки напряжения от
неравномерного нагрева конструкции влияние коррозии на усталостные
характеристики и пр.
Третья группа связана с учетом степени ответственности рассчитываемого
элемента и конструкции в целом а также степени критичности прогнозируемого
повреждения. Увеличение надежности конструкции как правило приводит к
повышению ее стоимости. Поэтому запас надежности конструкции целесообразно
иметь тем выше чем больше тяжесть социально-экономических последствий
потенциального отказа.
Принципы построения расчетных условий вида (1.1) страхующих
конструкцию от возможных отказов (п.1.4.) и правила определения расчетных
параметров (( и Ф) для них образуют систему инженерных расчетов. Учет
перечисленных неопределенностей составляет одну из важнейших проблем
построения такой системы. Для инженерных расчетов металлических конструкций
используются системы расчетов по допускаемым напряжениям и по предельным
состояниям. Поэтому в данном учебнике практически все критерии
работоспособности конструкций даются в двух вариантах для расчетов по
допускаемым напряжениям и по предельным состояниям.
5.2. Системы инженерных расчетов
Рассмотрим основные особенности систем расчета по допускаемым
напряжениям (СРДН) и по предельным состояниям (СРПС).
Система инженерных расчетов по допускаемым напряжениям (СРДН) является
наиболее старой и в настоящее время наряду с другими системами применяется
для расчета конструкций и деталей механизмов [151413861]. Эта система
сформировалась в те времена когда основным или даже единственным видом
расчета был расчет на прочность поэтому все критерии несущей способности и
долговечности (прочность устойчивость сопротивление усталости) в ней
повторяют структуру условия прочности.
Данная система базируется на следующих двух положениях:
– опасным считается состояние при котором максимальные номинальные
напряжения вычисленные в предположении идеально упругого состояния
материала и бездефектного состояния конструкции достигают критического
– все выше перечисленные факторы неопределенности расчета (п.1.5.1.)
учитываются коэффициентом запаса прочности.
В СРДН условия несущей способности и долговечности имеют вид:
где (ДН - расчетное значение действующего напряжения зависящего от
эксплуатационных нагрузок геометрии конструкции и характера расчетного
критерия; индекс «ДН» означает что напряжения вычислены по нагрузкам
найденным по правилам установленным в СРДН; [pic] - допускаемое
напряжение; [pic]- значение опасного предельного или критического
напряжения характеризующее такой уровень нагруженности элемента
конструкции при котором возникает отказ; n- коэффициент запаса прочности
учитывающий все виды неточности расчета.
Достоинством этой системы является ее простота. Она же является и
недостатком поскольку значение допускаемых напряжений и коэффициентов
запаса несмотря на известные исследования в этой области назначаются в
значительной степени волюнтаристски а перенос этого метода на новые
математические модели например расчеты на трещиностойкость долговечность
и др. весьма проблематичен. Однако для типовых расчетов на прочность
система расчетов по допускаемым напряжениям дает вполне надежные
СРДН включает также условие жесткости то есть ограничения упругих
деформаций конструкции. Оно представляет собой неравенство вида:
где [pic] и [pic] - оценка фактического относительного упругого прогиба от
переменных нагрузок и его допускаемая величина. Относительный упругий
прогиб конструкции вычисляется как отношение прогиба ([pic]) возникающего
от статического приложения переменной нагрузки то есть веса груза с
грузозахватом для стреловых кранов или веса груза и тележки для мостовых к
характерному размеру конструкции ([pic]) вылету или пролету. Возможно
также применение условия динамической жесткости
где [pic] и[pic][pic][pic]- оценка фактического времени затухания и его
допускаемое значение.
Система расчетов по предельным состояниям (СРПС) считается
предпочтительной для проектирования в частности строительных и крановых
конструкций (СНиП II-23-81* ГОСТ 28609-90). Основы этой системы разработал
профессор Н.С.Стрелецкий для строительных конструкций в 50-х годах ХХ века.
Сформулированное им определение гласит: предельным называют такое состояние
конструкции при котором ее эксплуатация должна быть прекращена [155].
В основе данной системы лежат два базовых положения принципиально
отличающих ее от СРДН. Во-первых вводится понятие предельного состояния
конструкции которое может отличаться от рабочего наличием некоторых
локальных повреждений пластических деформаций потери устойчивости
отдельных элементов трещин которые не снижают эксплуатационных свойств
конструкции. В связи с этим в условии работоспособности могут фигурировать
не обязательно напряжения но например нагрузки деформации раскрытие
трещины или другие оценки состояния конструкции. Во-вторых вместо одного
коэффициента запаса используется целая система частных коэффициентов
надежности (() раздельно учитывающих различные факторы неточности расчета
(см. выше) что обеспечивает большую прозрачность этой системы.
Для каждой конструкции можно установить множество частных предельных
состояний в соответствии с количеством достаточно интенсивно нагруженных
элементов и видов повреждений которые могут в них произойти. Применительно
к машиностроительным несущим конструкциям возможные предельные состояния
целесообразно разбить на три группы (табл.1.1.) каждой из которых
соответствует свой вид нарушения эксплуатационной пригодности и способ
описания нагруженности.
Первая группа: Исчерпание ресурса. Сюда попадают предельные состояния
ограничивающие долговечность конструкции развитие предельного усталостного
или коррозионного повреждения остаточного прогиба. Эти виды повреждений
связаны с многократно или длительное время действующими эксплуатационными
воздействиями то есть нормальными или типичными условиями эксплуатации и
являются постепенными отказами.
Вторая группа: Нарушение несущей способности. В эту группу входят все
предельные состояния которые могут произойти в результате однократного
нагружения. Этот вид повреждений соответствует понятию внезапного отказа в
теории надежности. При расчетах по этим предельным состояниям используются
максимальные значения нагрузок.
Третья группа: Чрезмерные (по величине или по времени затухания)
упругие деформации конструкции. Предельные состояния этой группы
обусловлены чрезмерной деформативностю конструкции и прогнозируются с
использованием номинальных нагрузок.
Систематизация отказов по группам предельных состояний металлических
№ Группа предельных Виды отказов
Исчерпание ресурса Усталостное повреждение
Исчерпание запаса циклической трещиностойкости
Недопустимый остаточный прогиб
Коррозионное повреждение
Нарушение несущей Развитие чрезмерных пластических деформаций
Потеря устойчивости (общей и местной)
Чрезмерные деформации Чрезмерные упругие деформации
Условия работоспособности в СРПС как уже отмечалось могут иметь
различный вид. Типичная его структура включающая основные коэффициенты и
параметры записывается в виде следующего неравенства
где [pic] – расчетное значение действующего напряжения вычисленного по
нагрузкам найденным по правилам установленным в СРДН. Это значит что
значение каждой расчетной нагрузки ([pic]) умножается на соответствующий
коэффициент надежности [pic] (коэффициенты перегрузки). Кроме того в (1.4)
обозначено [pic] – коэффициент надежности по назначению конструкции или ее
элемента; [p [pic]– коэффициент надежности
по характеристике материала; Rn - нормативное сопротивление материала
узла элемента конструкции соединения.
Коэффициент [pic] учитывает возможность появления в процессе
эксплуатации значения нагрузки [pic] отличающегося от нормативного в
неблагоприятную сторону в результате различных случайных факторов в том
числе и из-за нарушения условий нормальной эксплуатации. Как правило
учитывается возможность перегрузки то есть превышения номинального уровня
нагрузки тогда [pic] > 1. Если какая-либо нагрузка приводит к уменьшению
максимальных напряжений в рассчитываемом сечении то следует предусмотреть
возможность ее снижения по сравнению с нормативным значением то есть
использовать [pic] 1. Этот коэффициент зависит от степени вероятностного
рассеяния значений i-ой нагрузки поэтому он различен для разных видов
нагрузок. Коэффициент [pic] дает возможность учесть в расчете степень
ответственности конструкции или элемента а также степень опасности того
вида повреждения по которому ведется расчет (табл.1.2.). Коэффициент [pic]
предназначен для учета неточностей математической модели процесса
повреждения и методики расчета действующих напряжений несовершенства учета
возможных сочетаний нагрузок и т.п. Коэффициент [pic] учитывает возможные
отклонения фактического значения параметра характеризующего сопротивление
материала узла элемента конструкции или соединения от нормативного
Значения коэффициентов надежности должны быть назначены таким образом
чтобы при выполнении условия работоспособности (1.4) вероятность
невозникновения отказа в течение срока службы конструкции была не меньше
установленного уровня (например 099).
В форме (1.4) строятся условия прочности устойчивости и сопротивления
усталости. Способ определения или назначения нормативного сопротивления
(Rn) зависит от вида расчета. При расчете конструкции на прочность – это
предел текучести материала при расчете на местную устойчивость – это
критическое напряжение и т.д. Условие жесткости конструкции в СРПС имеет
тот же вид что и в СРДН (1.3).
Коэффициент надежности по назначению конструкции
или ее элемента ([pic])
Вид повреждения Последствия повреждения
значительныенезначительные
Прочность (ограничение пластических 095 10
Устойчивость 090 095
Сопротивление усталости 095 10
Трещиностойкость 085 095
5.3. Напряженно-деформированное состояние элементов конструкций
5.3.1. Поля напряжений в элементах конструкций
Основной характеристикой нагруженности элементов конструкции являются
действующие в них напряжения. Напряженное состояние конструкции формируется
из двух компонентов: остаточных напряжений сохраняющихся в конструкции
после снятия всех воздействий включая собственный вес и эксплуатационных
создаваемых эксплуатационными воздействиями.
Остаточные напряжения возникают при сварке сборке болтовых
соединений локальной пластической деформации и пр. Остаточные напряжения
от сварки достигают предела текучести материала конструкции (см. п. ).
Значения и распределения эксплуатационных напряжений в элементах
конструкций обусловлены тремя группами факторов: геометрией конструкции
(конфигурацией и размерами) внешними воздействиями (нагрузками реакциями
опор тепловыми воздействиями) и характером процессов деформирования
протекающих в металле (упругое или упруго-пластическое деформирование). При
суммировании полей остаточных и эксплуатационных напряжений в отдельных
зонах могут происходить пластические деформации которые приводят к
снижению остаточных напряжений.
И те и другие напряжения влияют на работоспособность и долговечность
конструкции но в инженерных расчетах фигурируют напряжения только от
эксплуатационных нагрузок так как их влияние является преобладающим.
Реальное распределение напряжений в конструкции имеет весьма сложный
вид. Оно зависит не только от номинальных (проектных) параметров
конструкции и нагрузок но и от погрешностей изготовления и сборки
неплоскостности листов в результате сварочных поводок и пр. В принятых
методиках инженерных расчетов используют упрощенную расчетную оценку
распределения напряжений которую выполняют в предположении идеально
упругого состояния материала и проектных размеров и формы конструкции.
Уровень требуемой детализации или приближения этой оценки к реальности
зависит от того для какого критерия работоспособности конструкции
используется эта оценка и способа расчета. Можно выделить три уровня
детализации оценки напряженного состояния элементов конструкций:
a) Общее напряженное состояние которое характеризуется номинальными
напряжениями от внешней нагрузки полученными обычно с использованием
гипотезы плоских сечений (рис.1.4. напряжения (AA1). В этих расчетах
фигурируют только нагрузки и номинальные параметры геометрии конструкции
то есть конфигурация и размеры основных сечений. Соответственно и
результаты этих расчетов не отражают никаких локальных особенностей
напряженного состояния конструкции например от концентрации напряжений
погрешностей изготовления и пр. Максимальные напряжения номинального поля
обычно используют для расчетов на прочность и устойчивость при выборе
основных параметров сечения балок и элементов ферм.
b) Местное напряженное состояние нижнего уровня. Этот уровень расчетной
оценки направлен на описание напряженного состояния в зонах локального
искажения номинального поля напряжений вблизи галтелей вырезов и люков в
несущих конструкциях в зонах действия стеснения при изгибе и кручении в
области приложения местной нагрузки от колес тележки или присоединения
кронштейнов и пр. (рис. 1.4. напряжения (AA2). Области местного повышения
напряжений имеют размер не менее чем в 2 – 4 раза превышающий толщину
проката использованного в этих узлах.
В расчетах данного уровня используют параметры номинальной геометрии
конструкции а также конфигурации и размеров рассчитываемого узла. В
необходимых случаях учитывают параметры искривления листов и стержней.
Характеристики этих расчетов фигурируют в условиях прочности и
сопротивления усталости узлов и сварных соединений.
c) Местное напряженное состояние верхнего уровня. Это наибольшая доступная
для инженерных расчетов степень детализации при которой рассчитывают
напряжения действующие в зонах концентрации напряжений возникающей от
конфигурации сварных швов (рис.1.4. напряжения (AA3). Зона концентрации
верхнего уровня имеет характерный размер менее толщины проката образующего
сечение элемента конструкции а распределение напряжений отличается
высокими градиентами. Этот уровень детализации рассматривается при научных
исследованиях долговечности и трещиностойкости конструкций и не
используется в типовых инженерных расчетах.
Далее при описании критериев работоспособности будет указано какого
уровня детализацию следует использовать при моделировании напряженного
Степень местного повышения напряжений в конструкции характеризуется
теоретическим коэффициентом концентрации напряжений который вычисляется
где [pic] и [pic]– соответственно максимальное напряжение в зоне
концентратора и номинальные напряжения в элементе конструкции. Эта
величина зависит только от конфигурации и относительных размеров узла.
5.3.2. Методы анализа напряженного состояния
Для исследования и моделирования напряженно-деформированного состояния
элементов конструкций используют аналитические численные и
экспериментальные методы.
Аналитические методы предназначенные для расчета общего напряженного
состояния стержневых конструкций базируются на принципах строительной
механики и сопротивления материалов и в большинстве случаев используют
гипотезу плоских сечений [149]. Для исследования местного напряженного
состояния нижнего уровня используют решения теории упругости или строят
приближенные методики с применением элементов теории упругости или
строительной механики [21417375142148 и др.].
Основным достоинством аналитических методов является их общность
позволяющая во многих случаях проанализировать влияние отдельных
аргументов найти оптимальное решение сформулировать достаточно
универсальные конструктивные рекомендации.
Численное моделирование полей напряжений в конструкциях производится
методом конечных элементов (МКЭ) который дает возможность рассчитывать
конструкции сколь угодно сложной конфигурации при любых видах нагрузок
при необходимости с учетом нелинейных характеристиках материала
конструкции и процесса нагружения [171114 и др.]. В настоящее время
существует множество универсальных программ для различных расчетов МКЭ
(ANSYS MSCNastran ABAQUS и др.). В некоторые CAD программы (Solidworks
Mechanical Desktop и др.) встраиваются конечно-элементные процессоры что
позволяет производить расчет прямо по создаваемой конструкторской
Методом конечных элементов можно выполнить моделирование напряженного
состояния на любом уровне детализации. Используя линейные (1D) конечные
элементы типа «пространственная балка» можно получить оценку общего
напряженного состояния стержневой конструкции. Плоские (2D) и
пространственные (3D) элементы позволяют моделировать любые конструкции и
получать полную картину местного напряженного состояния нижнего или
верхнего уровня (п.3.3.).
Экспериментальные исследования более трудоемки чем численные поэтому
их доля в общем объеме работ этой направленности постепенно сокращается за
счет расширения области применения расчетов МКЭ. Однако экспериментальные
методы имеют безусловный приоритет в тех случаях когда необходимо получить
фактическую информацию о напряженном состоянии конкретных узлов в условиях
значительной неопределенности то есть в тех случаях когда не хватает
данных для расчетной оценки:
– при реальном эксплуатационном нагружении (от перекоса крана от
раскачивания груза с учетом фактической работы приводов и т.п.);
– под влиянием несовершенств конструкции (неравномерности и степени
затяжки болтов сварочных поводок условий контакта рельса с
балкой погрешности сборки конструкции и пр.);
– при исследовании распределения остаточных сварочных напряжений и
Для повышения надежности результатов экспериментальные методы
целесообразно сочетать с аналитическими и численными методами исследования.
Существует целый ряд методов экспериментального исследования
напряженно-деформированного состояния конструкций [113]. Однако следует
иметь в виду что все существующие методы являются косвенными. Они измеряют
не напряжения а сопутствующие величины: деформации параметры искажения
кристаллической решетки изменение магнитных свойств стали и пр. после
чего напряжения находятся с помощью тарировочных кривых. Следовательно
если тарировочная кривая была получена в условиях упругого деформирования
материала то и результат эксперимента будет корректен только в том
случае если в конструкции или модели материал «работал» упруго.
6. Систематизация нагрузок
6.1. Виды нагрузок действующих на несущие конструкции
В процессе эксплуатации на несущие конструкции ПТМ и СДМ действуют
следующие виды нагрузок:
Весовые нагрузки от собственного веса конструкции и
расположенных на ней механизмов устройств и оборудования.
Значения этих нагрузок на стадии проектирования могут быть
достаточно надежно определены по машинам-аналогам и если они
имеют существенное значение то уточнены по окончании
технического проекта для выполнения проверочного расчета.
Динамические (инерционные) нагрузки возникающие в процессе
неустановившегося движения механизмов а также при
установившемся режиме но движении элементов машины с переменной
скоростью (шарнирно-сочлененные стрелы цепные приводы и др.)
или при прохождении машиной или тележкой движущейся по
конструкции неровностей пути. Динамические нагрузки от ударов в
буфер от колебаний груза на канатах или при резкой разгрузке
(грейферные магнитные краны). Значения и частоты появления этих
нагрузок зависят от многих случайных факторов и могут быть
оценены только приближенно. Методы анализа динамических нагрузок
Технологические нагрузки обусловленные спецификой работы машин
весьма разнообразны. Это вес груза который перемещает кран или
экскаватор сопротивление резанию грунта ковшом или отвалом
бульдозера нагрузки возникающие в конструкциях
металлургических кранов при отрыве слитков очистке
нагревательных колодцев и пр. Параметры технологических нагрузок
также имеют вероятностную природу и зависят от условий
эксплуатации конкретной машины. Поэтому в расчетах учитывают их
Ветровые нагрузки нормированы в ГОСТ 1451-77. Расчетные ветровые
нагрузки действующие во время работы машины то есть
одновременно с технологическими нагрузками и в нерабочем
состоянии различны. Методы их расчета даны в п.1.4.4.
Особые нагрузки учитываемые в специально оговоренных случаях:
сейсмические нагрузки нагрузки от качки судна при работе
судовых и плавучих кранов нагрузка от взрывной волны и пр.
6.2. Расчетные нагрузки
Значения нагрузок действующих на несущие конструкции зависят от
множества факторов и представляют собой случайные величины. В расчетных
моделях (методиках) используемых для прогнозирования работоспособности и
долговечности конструкций в рамках СРДН и СРПС фигурируют расчетные оценки
этих величин. Для систематизации этих данных введены так называемые
расчетные случаи нагружения каждый из которых является информационным
комплексом используемым для прогнозирования определенной группы предельных
состояний (п.1.5.2.).
Первый расчетный случай называется «нормальные нагрузки рабочего
состояния» и включает всю информацию о нормальной эксплуатационной
нагруженности несущей конструкции. Он используется для расчета на
сопротивление усталости и циклическую трещиностойкость (предельные
состояния первой группы). В этот комплекс входят данные о собственном весе
конструкции весах грузов с которыми оперирует машина а также значениях
инерционных нагрузок технологических нагрузках возникающих при штатной
работе машины. Кроме того задаются значения количество циклов или часов
работы машины и структура характерных технологических циклов его работы
(см. п.12 13). Нагрузки от ветрового давления в этом расчетном случае не
учитываются кроме высотных машин с низкой первой частотой собственных
колебаний (см.п.1.4.3.). Инерционные перекосные и технологические нагрузки
вычисляются для случая нормальных условий эксплуатации и режимов работы
всех механизмов то есть при проектных условиях разгона и торможения
функционирования всех предохранительных устройств. При расчете по СРПС
коэффициенты надежности по всем нагрузкам принимаются как [pic] (1.3).
Второй расчетный случай называется «максимальные нагрузки рабочего
состояния» и используется для расчета по условиям прочности устойчивости и
трещиностойкости при однократном нагружении (предельные состояния второй
группы п.1.5.2.). В данном расчетном случае фигурируют максимальные весовые
и инерционные нагрузки максимальные нагрузки от давления ветра в рабочем
состоянии а также данные о наиболее неблагоприятных положениях тележки на
мосту или вылетах и углах установки стрелы направлениях действия ветрового
давления и т.п. Здесь могут фигурировать максимальные перекосные нагрузки
при пуске или торможении мостового козлового или портального крана
возникающие при отказе всех или части приводов расположенных с одной из
сторон. Максимальные технологические нагрузки возникающие при типичных
отклонениях от нормального режима как например упор стрелы в препятствие
и пр. Особенностью этого блока информации является то что при
использовании СРПС все эксплуатационные нагрузки умножаются на
соответствующие коэффициенты перегрузки.
Третий расчетный случай называется «максимальные нагрузки нерабочего
состояния». Он также предназначен для расчета по предельным состояниям
второй группы но при наиболее неблагоприятных нагрузках нерабочего
состояния. К этому случаю относятся нагрузки от собственного веса машины
от ветра нерабочего состояния (ураганного) сейсмические нагрузки
аварийные монтажные особые нагрузок возникающие при аварии на
технологическом оборудовании расположенном в зоне обслуживания крана и пр.
Все эти нагрузки также вводятся с соответствующими коэффициентами
На конструкцию машины в процессе эксплуатации одновременно действуют
несколько различных нагрузок изменяющихся по величине и возникающих в
различных комбинациях. Вероятность того что все возможные нагрузки будут
действовать одновременно практически равна нулю. Поэтому использование
такой комбинации для расчетов привело бы чрезмерному утяжелению
конструкции. Для систематизации переменных силовых воздействий используются
расчетные комбинации нагрузок которые соответствуют определенным типичным
ситуациям возникающим в процессе эксплуатации машины. Как правило они
включают сочетание нагрузок возникающее при неустановившемся движении
одного или двух механизмов крана. Так например для кранов мостового типа
установлены следующие комбинации:
a - кран неподвижен производится подъем груза с основания или
торможение опускающегося груза;
b - разгон или торможение механизма передвижения крана остальные
механизмы не работают или обеспечивают движение с постоянной скоростью;
с - разгон или торможение механизма передвижения тележки остальные
механизмы не работают или обеспечивают движение с постоянной скоростью.
Для машин других типов перечень расчетных комбинаций может быть иной
Таким образом расчетные случаи устанавливают правила вычисления
расчетных нагрузок а комбинации – перечень действующих одновременно
нагрузок. Каждый расчет конструкции по любому критерию работоспособности
выполняется по соответствующему расчетному случаю и определенной комбинации
Общие положения расчета и проектирования конструкций 15
1. Виды металлических конструкций 15
2. Последовательность проектирования конструкции 17
3. Эксплуатационные воздействия. 19
5. Основы расчета конструкций 23
5.1. Общие положения построения расчетных методик 23
5.2. Системы инженерных расчетов 25
5.3.1. Поля напряжений в элементах конструкций 29
5.3.2. Методы анализа напряженного состояния 31
6. Систематизация нагрузок 33
6.1. Виды нагрузок действующих на несущие конструкции 33
6.2. Расчетные нагрузки 33