Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят: проведение любой прямой в плоскости, построение в плоскости некоторой точки, построение недостающей проекции точки, проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии:

прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной. При этом используется известное условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

Проведение любой прямой в плоскости. Для этого достаточно (рис. 3.10) на проекциях плоскости взять проекции двух произвольных точек, например а', а и l', l, и через них провести проекции а' l', а—1 прямой А—1. На рисунке 3.11 проекции b'l', b—1 прямой В—1 проведены параллельно проекциям а'с', ас стороны А С треугольника, заданного проекциями a’b’с', abc. Прямая В—1 принадлежит плоскости треугольника ABC.

Построение в плоскости некоторой точки. Для построения в плоскости точки в ней проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку. На чертеже (рис. 3.12) плоскости, заданной проекциями а’, а точки, b'с', bс прямой, проведены проекции а'l', а—1 вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции d', d точки D, принадлежащей плоскости.

Построение недостающей проекции точки. На рисунке 3.13 плоскость задана проекциями а’b’с’, abc треугольника. Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d'. Следует достроить горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку D. Для этого проводят, например, фронтальную проекцию b'l'd' прямой, строят ее горизонтальную проекцию b—1 и на ней отмечают горизонтальную проекцию d точки.

Проверка принадлежности точки плоскости. Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так, на рисунке 3.14 плоскость Р задана проекциями a’b’, ab и c’d’, cd параллельных прямых, точка — проекциями е’, е. Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, фронтальная проекция 1’2' вспомогательной прямой проходит через проекцию е'. Построив горизонтальную проекцию 1—2 вспомогательной прямой, убеждаемся, что точка Е не принадлежит плоскости Р.