Пересечение сферы и тора плоскостью
Пример построения линии среза на поверхности тела вращения сложной формы
Пересечение сферы плоскостью. Плоскость всегда пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции. Так, на рисунке 9.10 изображены проекции линий пересечения сферы и плоскостей горизонтальной Р (Pv) и фронтальной S (Sh). Они
пересекают сферу по окружности с центрами С (с' с, с") и C1 (с1', с1, с1") с проекциями в виде окружности и отрезка прямой. В примере, приведенном на рисунке 9.11, горизонтальная и профильная проекции линии пересечения сферы фронтально-проецирующей плоскостью — эллипсы, длины больших осей которых cd и c"d" равны величине диаметра окружности (a'b'). Малые оси эллипсов ab и а"b" получают проецированием. На рисунке 9.11 показано построение проекций некоторых точек. Проекции c u d построены на горизонтальной проекции параллели радиуса о—1, построенной с помощью проекции 1'. Проекции с" и d" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции с' (d') так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций. Проекция е является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции е'. Горизонтальная проекция т произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса о—2, фронтальная проекция которой проходит через проекции т' и 2'. Проекция f" является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.
Линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят при помощи вспомогательных плоскостей, пересекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т. е. расположенные перпендикулярно оси тора или проходящие через его ось.
В примере на рисунке 9.12 показано применение вспомогательных плоскостей 7, (Т1v) и Тг (Tlv), перпендикулярных к оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью Р (Рw). Тор на рисунке 9.12 имеет два изображения — фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R1 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью T1) касается проекции плоскости Р (следа Рw). Тем самым определяются профильная проекция 3" (о"3" перпендикулярна Рw) и по ней — фронтальная проекция 3' одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R2 — профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью Т2. Она пересекает профильную проекцию плоскости Р (след Рw) в двух точках 5" и 7" — профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натуральной величины сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния 11 и l2 на фронтальной проекции для нанесения точек 50, 70 и 30. Точки 60, 80 и 40 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.
Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рисунке 9.13. Они имеют общее название — кривые Персея (Персей — геометр Древней Греции). Это кривые 4-го порядка. Вид кривых зависит от расстояния секущей плоскости до оси тора.
Многие детали приборов и машин имеют в своей основе форму тела вращения со сложной формой поверхности. Такое тело можно рассматривать как состоящее из частей элементарных тел вращения — цилиндра, конуса, сферы и тора или кругового кольца. Детали из такого тела вращения часто конструируют путем среза части тела плоскостью, параллельной оси. При этом в пересечении поверхности тела с плоскостью среза образуются сложные линии, построение которых и рассмотрено ниже. Эти линии, являющиеся частным случаем линии пересечения поверхности вращения с плоскостью (плоскость параллельна оси), называются линиями среза.
Пример чертежа тела вращения с построенными линиями среза приведен на рисунке 9.14. На чертеже оставлены некоторые вспомогательные линии построений и точки. При выполнении построений прежде всего устанавливают границы заданных поверхностей вращения и определяют элементарные поверхности: цилиндр, конус, сфера, тор. Для этого достаточно мысленно или на черновике дополнить участки поверхностей, как показано на рисунке 9.15. (На рисунке все составляющие поверхности для наглядности раздвинуты вдоль оси вращения.)
Разграничение участков элементарных поверхностей позволяет определить характер отдельных участков линий среза и правильно выбрать число и
расположение вспомогательных секущих плоскостей, необходимых для построения промежуточных точек на линии среза.
На чертеже границами поверхностей вращения являются линии касания или пересечения элементарных поверхностей. Их проекции в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси вращения, проводят через проекции точек сопряжения или пересечения образующих. Так, на рисунке 9.14 граница между сферой и конусом проведена через точку сопряжения дуги радиуса R, и образующей конуса. Эта точка определена с помощью перпендикуляра из проекции 0' центра сферы к образующей конуса. Граница между конусом и тором с радиусом образующей R2 проведена через точку касания образующей конуса и дуги радиуса R2. Тоска сопряжения определена с помощью перпендикуляра, проведенного из центра дуги радиуса R2 к образующей конуса. Граница между тором с радиусом образующей R2 и тором с радиусом образующей R3 проведена через точку сопряжения дуг с радиусами R2 и R3. Точка сопряжения найдена с помощью прямой, соединяющей центры дуг. Границы между тором с радиусом образующей R3 и цилиндром, между этим же цилиндром и тором с радиусом образующей R4 проведены через точки сопряжения дуг указанных радиусов с образующей цилиндра.
Построенные границы элементарных поверхностей можно рассматривать и как линии пересечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси, в данном случае профильными плоскостями. Профильные проекции этих линий — окружности. В пересечении их с профильными проекциями плоскостей среза отмечают профильные проекции характерных точек на линии среза. Пример построения профильной проекции d" и по ней фронтальной проекции отмечен на рисунке 9.14. По положению проекции d", с", е", f" строят фронтальные проекции d', с', t', f' точек линии среза. Проекции а', к'(их проекции а", к" совпадают) построены по горизонтальным проекциям а, к.
В данном примере линия среза и ее фронтальная проекция состоят из следующих участков: на сфере радиуса R1 — дуги окружности радиуса а 'о; на конусе — части гиперболы с вершиной т'; на торе с радиусом образующей Rг — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения А—А (см. рис. 9.13); на торе с радиусом образующей R3 — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения В—В (см. рис. 9.13); на цилиндре — отрезков прямых, параллельных оси; на торе с радиусом образующей R4— части кривой Персея, аналогичной кривой сечения Г—Г (см. рис. 9.13). Зная вид линии среза и положение проекций характерных и крайних точек линий, можно ограничиться построением проекций минимального числа промежуточных точек. На рисунке 9.14 показаны построения проекций промежуточных точек на участках k'f' b'c', c'd', d'e'. Следует отметить, что точка 1' симметрична точке с', а точка 2' наиболее удалена от оси. Справа от точки 2' указана точка, симметричная точке 1'.
(Пример детали с линией среза см. на рисунке 16.11.)
