Пересечение прямой линии с поверхностью
Для построения точки пересечения прямой линии (АВ на рис. 9.16) с кривой поверхностью (Q) выполняют следующие построения:
заключают прямую линию во вспомогательную проецирующую плоскость, например плоскость Т
строят линию пересечения (CD) вспомогательной проецирующей плоскости Т с заданной поверхностью;
определяют точку пересечения (К) прямой (АВ) с построенной линией пересечения (CD).
С замкнутой поверхностью прямая пересекается в двух и более точках. Если прямая пересекает поверхность в одной точке, то она обычно является касательной к поверхности.
Вспомогательную проецирующую плоскость, проводимую через прямую при построении точек пересечения прямой с поверхностью, стремятся выбрать так, чтобы она пересекала поверхность по линии, простейшей для построения на чертеже. Желательно, чтобы это были прямые или окружности.
Рассмотрим некоторые примеры.
Построение точек пересечения прямой линии с цилиндром (рис. 9.17). Для построения точек пересечения прямой АВ общего положения с поверхностью наклонного кругового цилиндра выберем вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по прямым — образующим, параллельным оси.
В соответствии с общим планом решения задачи на рисунке 9.17 выполнены построения в следующем порядке:
прямая АВ заключена во вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра, для чего через проекции т', т произвольной точки М на прямой АВ проведены проекции т'п', тп прямой MN, параллельной оси цилиндра. Проекции пересекающихся прямых А В и MN задают на чертеже вспомогательную плоскость;
построены проекции 3'5', 3—5 и 4'6', 4—6 линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра. Для этого построена горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью основания цилиндра — плоскостью Н, проходящая через проекции 1 и 2, найдены точки с проекциями 3, 4 ее пересечения с окружностью основания цилиндра. Искомые проекции линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра проходят через проекции 3', 3 и 4', 4 параллельно проекциям оси цилиндра — проекции 3'5', 3—5 и 4'6', 4 — 6;
Определены проекции к', к и l', l искомых точек К и L пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра в пересечении проекций 3'5' и 4'6' с а'b' и 3—5 и 4—6сab;
определена видимость для участков прямой АВ с учетом того, что цилиндр непрозрачен. Зоны видимости на фронтальной проекции определены по положению горизонтальных проекций точек 3 и 4 цилиндра. При взгляде по стрелке S очевидно, что точки 3, 5 и соответственно образующая 3—5 видимы, а точки 4, 6 и образующая 4—6 невидимы. Соответственно на фронтальной проекции отрезок а'к' проекции прямой видим. Справа от точки к' прямая до точки l' проходит внутри цилиндра и справа от точки l' закрывается цилиндром, т. е. невидима. На горизонтальной проекции образующие 3—5 и 4—6 видимы, невидимая часть прямой АВ — отрезок kl.
Построение точек пересечения прямой линии с конусом
(рис. 9.18). Чертеж конуса с проекциями вершин s, s' и прямой с проекциями a'b', ab приведен на рисунке 9.18, a. Для построения точек пересечения прямой и конуса используют вспомогательную плоскость. Плоскость, проходящая через вершину конуса и заданную прямую (плоскость Р на рис. 9.18, в), пересекает конус по образующим. Плоскость Р пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, являющейся в данном случае горизонталью. Образующие, по которым плоскость Р пересекает конус, определяются вершиной S и точками 1 и 2. На этих образующих и получаются точки М и N, в которых прямая пересекает поверхность конуса.
На рисунке 9.18, б плоскость Р задана проекциями a'b', ab прямой АВ и проекциями s'c', sc прямой, в данном случае горизонтальной, проведенной через вершину S, пересекающей прямую АВ в точке С и параллельной плоскости основания конуса. Плоскость Р пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, параллельной SC. Построив проекции d' и d, проводим de || sc. Образующие, по которым плоскость Р пересекает поверхность конуса, изображены лишь горизонтальными проекциями s—1 и s—2. В пересечении их с горизонтальной проекцией ab найдены горизонтальные проекции т и п точек пересечения, а по ним проекции т' и п'. На горизонтальной
проекции отрезок прямой между точками М и N закрыт поверхностью конуса. На фронтальной проекции образующие S—1 и S—2 видимы. Следовательно, невидимый отрезок прямой А В находится только между проекциями т' и п'.
Построение точки пересечения прямой линии со сферой (рис. 9.19). Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую, получают окружность. Искомые точки К и L получаются при пересечении этой окружности прямой линией. На рисунке 9.19 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций S выбирают параллельной вспомогательной, например горизонтально-проецирующей плоскости R(Rh,). В этом случае линия пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью сферы проецируется на плоскость S в окружность с центром c5, с которой проекция a5b5s прямой линии пересекается в точках к5 и l5. По ним строят горизонтальные к и l и фронтальные к' и l' проекции искомых точек пересечения.
Зоны видимости участков прямой АВ. На фронтальной проекции точки К (к') и L (l') видимы (они на передней полусфере). Следовательно, видимы в проекции лучей а'к' и l'b' прямой. Между точками k' и l' сфера закрывает прямую. На горизонтальной проекции видимым является луч lb прямой (точка L находится на верхней полусфере). Слева от проекции l горизонтальная проекция прямой закрыта сферой.
Построение точки пересечения прямой линии с тором (рис. 9.20).
Построение выполняют, руководствуясь общим правилом. В качестве вспомогательной плоскости выбирают, например, горизонтально-проецирующую плоскость R (Rh).
Построение проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью тора начинают
обычно с построения проекций характерных точек 1', 1— крайней левой и 2', 2 — крайней правой и 3', 3 — высшей точки. (Характерные точки линии пересечения — это высшие и низшие точки по отношению к плоскости Н; ближайшие и наиболее удаленные точки по отношению к наблюдателю; точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой; точки, лежащие в плоскости симметрии; точки пересечения трех поверхностей — при наличии трехи более пересекающихся поверхностей.) Для построения проекции 3' проводят горизонтальную проекцию параллели тора, касательной к плоскости R,, и на ее фронтальной проекции находят проекцию 3'. Проекции промежуточных точек линии пересечения, например точки 4', 4, 5', 5, находят с помощью параллели, проходящей через точку с проекциями к', к. Построенные фронтальные проекции точек соединяют плавной кривой линией, точки пересечения которой т' и п' с фронтальной проекцией а'b' прямой АВ являются фронтальными проекциями искомых точек пересечения прямой АВ с поверхностью тора. По ним в проекционной связи строят горизонтальные проекции тип точек пересечения. Невидимый отрезок MN прямой АВ проведен штриховой линией.
