Пересечение конической поверхности плоскостью. Построение развертки
При пересечении конической поверхности вращения плоскостью получаются различные линии — прямые, замкнутые кривые — окружности и эллипсы, незамкнутые кривые — параболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно
вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и образующей конической поверхности к ее оси.
Если секущая плоскость Р (Ри) проходит через вершину (рис. 9.6, а), то пересечение плоскости с конической поверхностью в зависимости от угла а наклона плоскости к оси поверхности образует:
при β < а < (180° — β ) — точку,
при а = β — прямую, по которой плоскость касается конической поверхности;
при 0 < а < β — две прямые (образующие).
Если плоскость пересекает коническую поверхность и при этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место (рис. 9.6, б, в):
при а = 90° — окружность (плоскость, перпендикулярная оси, окружность АМВ (а'т'b') в пересечении с плоскостью Р (Pv) — рис. 9.6, б);
при β < а < (180°— β ) — эллипс (эллипс CMD (c'm'd') в пересечении с плоскостью Q (Qv) — рис. 9.6, б — плоскость пересекает все образующие конической поверхности);
при а < β — гипербола (плоскость параллельна двум образующим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от вершины, например гипербола с вершинами Е (е') и F (f') в пересечении с плоскостью Т (Ти) или с вершинами 1 (1') и 2 {2') в пересечении с плоскостью Т1 (Tlv) — рис. 9.6, в);
при а = β — парабола (плоскость, параллельная одной из образующих, например парабола с вершиной К (к') в пересечении с плоскостью R (Rv) — рис. 9.6, в).
Наглядное изображение кривых — эллипса, гиперболы, параболы, получающихся при пересечении конической поверхности плоскостями Q, Т, R, приведено на рисунке 9.7.
Пересечение конуса с плоскостью. Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямолинейных или круговых образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально-проецирующей плоскостью Р (Pv) конуса с вершиной S приведен на рисунке 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизонтальные проекции s—1, s—2, ..., s—12 образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью Р (Pv): с', d', /'', q', а также крайних точек а' и b'. Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих — точки а, с, d, f q, b на проекциях образующих s—1, s—2, s—3, s—5, s—6, s—7, а также симметричные им точки на проекциях образующих s—12, s—11, s—9, s—8. Горизонтальную проекцию е точки Е на образующей S—4 и симметричной точки на образующей S—10 строят с помощью окружности радиуса е'е1', проведенной на поверхности конуса.
На фронтальной проекции большая ось АВ эллипса — линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости с конусом — проецируется в натуральную величину: [АВ] = [a'b']. Малая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку т'(п') в середине фронтальной проекции a'b' большой оси.
Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью параллели с проекциями т'14' и т — 14 — п. Горизонтальная проекция тп малой оси эллипса построена в проекционной связи как хорда горизонтальной проекции т—14—ti этой параллели. Профильная проекция линии среза конуса также построена по фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.
Отметим, что на профильной проекции точки а"и b" низшая и высшая, т" и п" — крайние (правая и левая), е" и симметричная ей — точки касания проекций крайних образующих.
Построение натурального вида фигуры среза AoMoBoNo выполнено по координатам в системе координат х1, у1 (см. также рис. 6.9).
Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям. Соответствующий при-
мер приведен на форзаце. Там же приведены построения некоторых плоских кривых и плавных сопряжений.
Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса
представляет собой круговой сектор с углом φ = (d/l)180° при вершине, где d — диаметр основания, l— длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 9.9) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 9.8 конуса).
Используя положение образующих на чертеже и на развертке, находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния SoAo и S0В0 соответствуют фронтальным проекциям s'a', s'b'. Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки Do на развертке найдено при помощи отрезка s'd1' — натуральной величины образующей от вершины S до точки D, точки Е0 — при помощи отрезка s'e1' (или s"e").
Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса l, кривой ВoQoFoEoDoС0Ао и сим-
метрично ей; 2) круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.
На рисунке 9.8 показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К0 этой точки на развертке (см. рис. 9.9). Для построения проведена образующая S0130 через точку К0 на развертке. С помощью отрезка l1 построена горизонтальная проекция 13. Через нее проведены горизонтальная s—13 и фронтальная s'—13' проекции образующей S—13. Отрезок S0K0= s' k1' отмечен на проекции образующей s'7'. Обратным вращением построена фронтальная проекция к' точки К на фронтальной проекции образующей s'13'. Горизонтальная проекция к построена с помощью линии связи.
