Пересечение двух плоскостей

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения K1K2 двух плоскостей Р и Q.

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1—2, с плоскостью Q — по линии 3—4. В пересечении линий 1—2 и 3—4 определена первая общая точка К1 двух плоскостей Р и Q — первая точка линии их пересечения.

Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.

Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т'п', тп линии пересечения MN фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника ABC.

На фронтальной проекции в пересечении проекций а'b' и а'с' со следом P_v находим фронтальные проекции т' и п' двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки т и п проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т'п') находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть — под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).

Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин ABC и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на

рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и bс сторон треугольника АВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции т и п точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а'b' и b'с' строим фронтальные проекции т' и п' точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.

Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника ABC до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а'с'п'т'). Видимая часть фронтальной проекции треугольника DEF на чертеже оттенена.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т'п', тп линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а'b', b'с’, ab, bс двух пересекающихся прямых, другая — проекциями d’e’, f'g', de, fg двух параллельных прямых.

В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами Rv и T_v.

Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1—2, вторую — по прямой 3—4. По фронтальным проекциям 1', 2' и 3', 4' находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях аb, bс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1—2 и 3—4 линий пересечения. Отмечаем точку т — горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей — двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т' на фронтальном следе R_v вспомогательной плоскости.

Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями проведены через проекцию ь параллельно проекции 1—2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3—4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция п второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе T_v вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция п'. Через построенные проекции т', п' и т, п проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.