Общие сведения о кривых линиях и их проецировании

Кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки на плоскости или в пространстве, а также как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и плоскости.

Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами.

Кривую линию называют плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. Примеры плоских кривых линий — окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда; примеры пространственных кривых — винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса, оси которых не пересекаются. Для построения проекций кривых линий строят проекции ряда принадлежащих ей точек (рис. 7.1).

Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая — также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости. Кривая, представляющая собой прямоугольную проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Эллипс и окружность проецируются в эллипс (см. рис. 7.3) или в частном случае в окружность; проекция параболы — парабола, гиперболы — гипербола. Техника построения плоских кривых и их проекций подробно рассмотрена в справочниках.

Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной к проекции этой кривой. Например, на рисунке 7.1 касательная DC в точке 3 к кривой АВ проецируется на плоскость Р в виде касательной d_pc_p в точке З_р к проекции а_рь_р кривой. Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Длина некоторого участка кривой линии определяется приближенно путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерением длины звеньев этой ломаной линии (если длину нерационально определять расчетом). Для уменьшения ошибки отрезки ломаной берут мало отличающимися по длине от дуг кривой, хордами которых являются эти отрезки. Пример развертки кривой АБС приведен на рисунке 7.2: горизонтальная проекция — кривая aьc — разбита на малые части и «развернута» в прямую на оси х так, что отрезки ao1o, 1o2o и т.д. соответственно равны хордам al, 1 2 и т. д.; в точках ао, 1о, 2o и т. д. проведены перпендикуляры к оси х, и на них отложены аппликаты точек кривой. Длина ломаной, проходящей через точки развернутой кривой, может быть приближенно принята за длину кривой ABC.