Расчет и исследование динамики АСР давления

7 аср 70-102.doc

7. РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ АСР ДАВЛЕНИЯ
При расчёте АСР давления использовалась литература [78910].
Канал регулирующего воздействия (изменение задания регулятору на
- кривая разгона объекта)
Канал возмущающего воздействия (изменение на 20% хода регулирующего органа) - передаточная функция объекта в виде апериодического звена 1-го порядка:
T=13мин; K=09 ; m=0221
Функциональная схема автоматической системы регулирования
Описание АСР: функциональная и структурная схема системы передаточные функции системы по каналам регулирования и возмущения.
Определение параметров передаточной функции объекта по каналу регулирования путем обработки экспериментальной переходной функции. Проверка адекватности полученной модели.
Расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных частотных характеристик (РАФХ)
Построение в плоскости параметров настройки ПИ-регулятора границы области устойчивости и границы области заданного запаса устойчивости по критерию m=0221. Определение оптимальных настроек ПИ ПИД-регуляторов. Построение графиков переходных процессов АСР с ПИ ПИД-регуляторами:
при ступенчатом воздействии по каналу регулирования
при ступенчатом воздействии по каналу возмущения
Анализ качества переходных процессов в системе с разными законами регулирования.
1. Общая функциональная схема регулятора
Автоматический регулятор объекта предназначенный для регулирования одного параметра как правило содержит следующие основные элементы: чувствительный элемент (ЧЭ) преобразующие и усилительные элементы (УЭ) регулирующий элемент (РЭ). Последний иногда органически сочетается с объектом регулирования.
Чувствительный (измерительный) элемент (ЧЭ) реагирует на отклонение регулируемого параметра от заданного значения. В регуляторе имеется обычно устройство для настройки – задатчик выполненный либо как самостоятельный элемент либо входящий в структуру ЧЭ. Чувствительный элемент воздействует через усилительные элемент на регулирующий элемент. Сигнал от ЧЭ может выражаться например в виде изменения напряжения тока давления усилия. В качестве ЧЭ применяются различные механические электрические и другие устройства. Конструктивно такие элементы могут выполняться в виде поплавка центробежного маятника термопары моста с переменными сопротивлениями фотоэлемента.
Регулирующий элемент непосредственно воздействует на регулируемую среду. При этом сигнал от ЧЭ может поступать к РЭ либо (в простейших случаях) без изменений и усилий либо видоизмененным и значительно усиленным.
В качестве РЭ могут служить: реостаты вентили задвижки рули и т. д.
Преобразующий и усилительный элементы соединяют между собой ЧЭ и РЭ таким образом осуществляют воздействие первого на второй зависящее от изменения регулируемого параметра. Т.к. сигнал получаемый на выходе ЧЭ бывает недостаточен для приведения в действие РЭ то необходимо применять те или иные усилительный элементы использующие внешние источники энергии различного вида а также различные преобразующие элементы (преобразователи фазы частоты тока).
Кроме того может использоваться ряд элементов предназначенных для улучшения динамических свойств системы регулирования. В некоторых регуляторах часть элементов (вторичные усилители преобразователи) могут отсутствовать. Однако в соответствующих случаях схема может быть существенно развита; например ЧЭ может быть сложным и иметь дополнительную часть реагирующую не только на изменение регулируемого параметра но и на скорость этого изменения. В систему могут быть включены сложные корректирующие логические и вычислительные устройства.
1.2. Структурная схема данной автоматической системы регулирования
-передаточная функция объекта
- передаточная функция канала возмущающего воздействия
-передаточная функция канала регулирующего воздействия (для ПИД-регулирования а для П - И- и ПИ- регулирования –частные случаи из этого выражения).
2. Определение параметров передаточной функции объекта регулирования по экспериментальной переходной функции методом “площадей”
Построение математической модели линейной системы по экспериментальной переходной функции производится в следующем порядке:
На основании формы переходной функции и в зависимости от физических свойств исследуемой системы устанавливается вид передаточной функции модели;
Определяются значения коэффициентов передаточной функции из условия наилучшего приближения модели и объекта;
Производится оценка точности аппроксимации:
Рассмотрим метод площадей:
Рассмотрим функцию h(t) которая получена из экспериментальной переходной функции объекта путем исключения чистого запаздывания t и нормировки. Пусть h(0)=h’(0)=0.
При аппроксимации функции h(t) на практике обычно задаются следующими структурами передаточной ф. модели:
обратное передаточной функции можно разложить в ряд по степеням p:
Очевидно что для модели 1.1: a1= a2= a3=
для модели 1.2: a1= a2= a3=
для модели 1.3: коэффициенты b1 a1 bi ai где i=123 связаны с коэффициентами Si разложения 1.4 системой уравнений:
Для определения Si воспользуемся связью между S и некоторыми функциями от (1-h). Величину L(1-h) можно представить так:
Разложим функцию e-pt в ряд по степеням pt:
Подставив этот ряд в уравнение (1.6) получим с учетом формулы (1.4) выражение:
Из выражения (1.8) следует что коэффициенты Si связаны с переходной функцией h(t) соотношением:
Моментом i-го порядка функции 1-h(t) называется несобственный интеграл вида:
S2 = S1 М0 - M1 = S12 –
S3 = S2 М0 – S1 M1 + (12)* M2 ;
S4 = S3 М0 - S2 M1 + (12)*S1 M2 – (16)*M3 ;
Определив по графику h(t) значения Mi методом численного интегрирования и вычислив из соотношений величины “площадей” Si определяют значения коэффициентов передаточной функции.
Выбор вида передаточной функции модели производится из следующих соображений если коэффициенты S1 S2 S3 положительны то в зависимости от вида функции h(t) задаются моделью (1.1) или (1.2) если хоть один из коэффициентов S1 S2 S3 отрицателен задаются моделью (1.3).
В соответствии с выше изложенной методикой определяем коэффициенты передаточной функции по программе 1 (KP1.PAS – далее KP1) выбрав шаг дискретизации Dt=1 и произведя нормировку в соответствии с формулой:
График экспериментальных значений (кривая разгона)
Приведение кривой разгона к нормированному то есть безразмерному виду осуществляется с помощью формулы:
(нормирован-ные значения)
(общий вид передаточной функции так как коэффициенты положительны)
Используя программу кп-1 получаем следующие значения:
2.1 Проверка адекватности модели объекта (метод Рунге-Кутта используется для решения систем дифференциальных уравнений)
Заключительным этапом построения математической модели объекта является оценка точности аппроксимации. Обычно принимают что модель адекватна объекту если разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 005007. Расчет переходной функции модели имеющей выше приведенную передаточную функцию удобно производить путем численного интегрирования на ЭВМ описывающей ее системой дифференциальных уравнений по программе (KP2.PAS).
Для этого исходная система приводится к нормальной форме Коши т.е. к системе дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производных.
Полученная система дифференциальных уравнений первого порядка решается с помощью численного интегрирования методом Рунге-Кута второго порядка. Для дифференциального уравнения первого порядка:
при начальном условии алгоритм вычисления этим методом на каждом шаге интегрирования имеет вид:
где шаг интегрирования величина которого должна обеспечивать неравенство: где - наименьшая постоянная времени системы.
Произведем оценку точности аппроксимации системы на случай когда аппроксимирующая передаточная функция имеет вид:
Запишем дифференциальное уравнение и введем новые переменные:
При возмущающем воздействии:
Обозначив запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка:
Полученную систему дифференциальных уравнений решают методом Рунге-Кута второго порядка.
Используя программу кп-2 получаем следующие значения:
(расчетные значения)
Поскольку разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 005-007 то нет необходимости производить сглаживание кривых.
Расчет переходной функции модели на ЭВМ и сравнение ее с экспериментальной переходной функцией показали что расхождение между ними т.е. погрешность аппроксимации составляет менее 4%.
3 Расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных частотных характеристик
Настройки регуляторов:
Система автоматического регулирования должна прежде всего удовлетворять двум основным требованиям. Во-первых система должна иметь достаточный запас устойчивости наличие которого гарантирует защиту системе автоматического регулирования от потерь устойчивости при всегда существующих в реальных условиях изменениях статических и динамических характеристик входящих в нее звеньев. Второе требование заключается в том что в пределах запаса устойчивости не менее заданного качество регулирования должно быть наилучшим.
Рассматриваемый метод базируется на критерии устойчивости Найквиста который можно интерпретировать как критерий запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения если ввести понятие расширенной амплитудно-фазовой характеристики.
Расширенная амплитудно-фазовая характеристика является частным случаем передаточной функции. Для нее оператор p=-mw±jw где w - круговая частота; m - степень колебательности (постоянная величина для данной расширенной амплитудно-фазовой характеристики которая является критерием запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы).
Подобно тому как обычная АФХ есть отображение на плоскости передаточной функции мнимой оси плоскости комплексного переменного p расширенная АФХ есть отображение лучей исходящих из начала координат в левой полуплоскости под углом arctg m по отношению к положительной и отрицательной полуосям. Эта характеристика может быть получена из передаточной функции подстановкой p=-mw±jw или определена графоаналитическим методом по обычной АФХ.
Собственно расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных АФХ:
Амплитудно- фазовый критерий устойчивости как критерий запаса устойчивости по РАФХ можно сформулировать: “Если расширенная АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы Wpo(m jw) при изменении w от 0 до проходит через точку с координатами (-1; j0) не охватывая ее на более высоких частотах то корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены в левой полуплоскости на лучах -mw±jw и внутри сектора ограниченного этими лучами”.
Аналитически это условие записывают в виде:
Wpo(m jw)= W0(m jw)Wp(m jw) = -1; (2.1)
Имея в качестве исходных данных математическую модель объекта из условия (2.1) можно найти параметры регулятора обеспечивающего работу системы с заданным запасом устойчивости m=mзад. П- И- ПИ-закон регулирования.
Wpo(m jw)= W0(m jw) Wp(m jw) (2.2)
-амплитудно-фазовая характеристика объекта по каналу регулирующего воздействия.
-амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора. Подставляя (2.2) (2.3) (2.4) в выражение (2.1) получим:
из уравнения (2.6) получим систему двух уравнений с тремя неизвестными w Kp Kp Ти :
Решая систему (2.7) относительно неизвестных (KpТи) и Kp будем иметь:
АФХ объекта удобно представить в следующей форме:
где А0(mw) - РАЧХ объекта
F0(mw) - РФЧХ объекта
Из сравнения выражений (2.3) и (2.10) следует что:
U=A0(mw) cos F0(mw) (2.11)
V= - A0(mw) sin F0(mw)
Подставляя эти выражения в формулы (2.8) и (2.9) получим окончательно:
В плоскости параметров настройки ПИ-регулятора (в плоскости с координатами KpТи Kp) выражения (2.11) и (2.12) описывают параметрическую кривую которая вместе с прямой (KpТи)=0 ограничивает область заданного запаса устойчивости. Эта область является отображением на плоскости параметров настройки KpТи Kp сектора в плоскости комплексного переменного p ограниченного лучами исходящими из начала координат в левой полуплоскости под углом arctg m. Изменение частоты w а следовательно и изменение положения точки на кривой описываемой уравнениями (2.11) и (2.12) соответствует перемещению пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения по лучам p=- mw ± jw.
Настройки лежащие вне области ограниченной кривой (2.11) (2.12) и прямой (KpТи)=0 соответствуют корням характеристического уравнения вне сектора ограниченного лучами p=- mw ± jw И- и П-регуляторы являются частыми случаями ПИ-регулятора. Настройки их лежат соответственно на оси Kp=0 и (KpТи)=0.
Для И-регулятора из выражения (2.12) следует что:
С учетом этого из (2.11) получим:
где w* - частота для которой выполняется условие:
Для П-регулятора из выражения (2.11) следует что:
С учетом этого из (2.12) получим:
где w** - частота для которой выполняется условие:
Для определения параметров настройки ПИД-регулятора из условия (2.1) получим формулы следующего вида:
Пространство параметров настройки регуляторов при этом трехмерное. Задаваясь различными значениями параметра KpTпр строят в плоскости Kp KpТи кривые равной степени колебательности. Определив оптимальные настройки (KpТи)0 и (Kp)0 для каждого значения KpTпр выбирают лучшую из них.
Оптимальные настроечные параметры регуляторов находятся из условия минимума интегрального квадратичного критерия качества:
Согласно которому определяется wр=12w0 соответствующая т. А на кривой m=mзад. П- и И-регуляторы являются частными случаями ПИ-регулятора. Настройку П-регулятора определяют при S0=0 а настройку И-регулятора - при S1=0 на кривой m=mзад.
Оптимальная настройка ПИД регулятора соответствующая min критерию качества имеет вид:
В соответствии с выше изложенной методикой по программе KP4 производят расчет настроек регуляторов.
Результатом работы программы будет задаваемый интервал изменения частоты w с задаваемым шагом дискретизации на основе которых строятся границы области устойчивости и границы области заданного запаса устойчивости по критерию m=0366. А также соответствующей этой частоте модуль фаза настройки S0 S1.
По табличным данным строим график зависимости S0(S1) по этому графику определяем w0 соответствующей ma Настройки И-регулятора при S1=0;
Для определения настроек ПИД-регулятора рассчитываем настройку S2 регулятора из условий: S2=02S12 S0
где - время изодрома;
- время предварения;
(крв-канал регулирующего воздействия)
Используя программу кп-4 получаем следующие значения: [9]
S1опт=0308 S0опт=0411
Настройка И-регулятора Sо=04(при S1=0)
Настройка П-регулятора S1=0433(при Sо=0)
Настройка ПИД-регулятора:
Определим постоянную времени интегрирования по оптимальным настроечным параметрам ПИ-регулятора:
Зададимся тремя значениями постоянной времени дифференцирования: Tпр=02*Ти=01498
Соответственно настройка Д-регулятора будет равна:S2=0.2*(0.4112 0.308)=0.11
По полученным значениям определим и для ПИД-регулятора (кп-4 ПИД):
Настройки ПИД-регулятора:
S0=067; S1=0381; S2=0236.
4 Построение графиков переходных процессов АСР с различными типовыми законами регулирования:
) при ступенчатом воздействии по каналу регулирования
) при ступенчатом воздействии по каналу возмущения
Найдем выражение передаточной функции всей АСР:
Произведем обратное преобразование Лапласа левой и правой части уравнения (т.е. найдем оригинал):
При воздействии тогда
Полученную систему дифференциальных уравнений решим методом Рунге-Кутта (программа КП-5)
Системы автоматического регулирования (САР) работающие с замкнутой цепью воздействия в общем виде могут рассматриваться состоящими из двух взаимно воздействующих частей - объекта регулирования и автоматического регулятора.
Предположим что при отсутствии изменения возмущений и изменения управляющих воздействий или спустя некоторое время после прекращения их действия на время выведшего систему из равновесия система автоматического регулирования находится в состоянии равновесия т.е. регулируемый параметр объекта регулирования имеет в пределах допустимой точности не меняющееся со временем заданное значение. При появлении какого-либо возмущения или изменении управляющего воздействия система регулирования приходит в движение. При этом так называемая устойчивая система при установившихся значениях управляющих и возмущающих воздействий спустя некоторое время вновь приходит к установившемуся состоянию равновесия а неустойчивая система придя в движение не приходит к установившемуся состоянию равновесия а отклонение ее от состояния равновесия будет либо все время увеличиваться либо непрерывно изменяться в форме постоянных незатухающих колебаний.
Условие устойчивости системы состоит в том что абсолютная величина отклонения регулируемого параметра от заданного значения по истечении достаточно большого времени должна стать меньше наперед заданного значения.
Процесс перехода системы от одного состояния равновесия в другое состояние равновесия называется переходным процессом.
При этом качество переходного процесса в устойчивой системе при прочих равных условиях будет тем выше чем быстрее протекает переходный процесс и чем меньше за время его протекания изменяющиеся значения регулируемого параметра отклоняются от тех их постоянных значений которые соответствуют новому установившемуся состоянию равновесия.
При рассмотрении характера переходных процессов обычно пользуются безразмерными значениями анализируемых величин. Для этого текущие абсолютные отклонения величин относят к каким-либо постоянным их значениям характерным для данной системы. Обычно это бывают либо номинальные либо максимальные значения.
Исходными данными для программы КП-5 являются:
расчетный коэффициент передачи ;
a1 a2 a3 - коэффициенты передаточной функции;
K2 - коэффициент передачи передаточной функции объекта по каналу возмущения;
S0 S1 S2 - настройки соответствующих регуляторов;
V1 - задающее воздействие;
f3 - возмущающее воздействие;
n=5 - число уравнений;
h - шаг интегрирования;
w1 –начальное значение времени;
w2 - конечное значение времени;
Используя программу кп-5 получаем следующие значения:
Для АСР с П-регулятором:
По задающему воздействию По возмущающему воздействию
(значению): (значению):
По задающему воздействию (значению)
По возмущающему воздействию (значению)
Для АСР с И-регулятором:
Для АСР с ПИ-регулятором:
Для АСР с ПИД-регулятором:
По задающему воздействию (значению)
5 Анализ качества переходных процессов в системе с разными законами регулирования
Переходный процесс в системе является ее реакцией на внешнее воздействие которое в общем случае может быть сложной функцией времени. чаще всего прямые оценки качества получают по кривой переходной характеристики h(t) т.е. при воздействии единичной ступенчатой функции:
и нулевых начальных условиях.
К прямым оценкам качества относят:
Время регулирования. tp - минимальное время по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью:
где D обычно =005hуст или оговаривается дополнительно.
Перерегулирование d - максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины выраженное в относительных единицах или процентах:
Обычно d=1030 но может и выходить за указанные пределы это зависит от конкретной системы.
Коэффициент затухания
В соответствии с выше изложенным сведем анализ качества переходных процессов в таблицу:
Время регулирования
При выборе регулятора необходимо строго знать что П-регуляторы обеспечивают максимальное быстродействие системы но уступают ПИ и ПИД-регуляторам в минимизации динамической ошибки. Кроме того использование П-регулятора приводит к возникновению статической ошибки регулирования.
Для И-регулятора статическая ошибка регулирования отсутствует однако имеет место значительная динамическая ошибка. На практике в большинстве случаев применяют ПИ-регуляторы поскольку они практически исключают статическую и динамическую ошибку регулирования и имеют средние стоимостные показатели. ПИД-регуляторы обеспечивают наиболее высокое качество регулирования однако их следует использовать только в случае крайней необходимости так как они наиболее сложные по конструкции приборы и более дорогие в эксплуатации.
На основе анализа качества переходных процессов определяется оптимальный регулятор. В данном случае можно выбрать ПИД-регулятор с настройкой S0=0.67 S1=0.381 так как он обладает наилучшими показателями качества по сравнению с ПИ-регулятором.

Л6 АСР.dwg

Алгоритм управления краном
Расчёт автоматической
системы регулирования
Функциональная схема АСР