Анализ частотного отклика систем с многими степенями свободы

Добавлен: 08.04.2026
Размер: 7 MB
Закачек: 0

Получить материал

Телеграм бот для поиска материалов

Покупка оптом ваших чертежй

Подписаться на ежедневные обновления каталога:

https://t.me/alldrawings

https://vk.com/alldrawings

Описание

Анализ частотного отклика систем с многими степенями свободы

Состав проекта

analiz-castotnogo-otklika-sistem-s-mnogimi-stepenami-svobody.zip [ 7 MB ]

Фрагмент.frw.bak [ 111 KB ]

Kursovaya primer word.pdf [ 1 MB

]

Фрагмент1.frw [ 243 KB

]

Деталь с вырезом.m3d [ 118 KB

]

Деталь.m3d [ 125 KB

]

22.docx [ 434 KB

]

Фрагмент.frw [ 125 KB

]

Kursovaya primer v sbore s zadaniem i prilozheniami.pdf [ 933 KB

]

Kursovaya primer word 1.docx [ 438 KB

]

Kursovaya primer word.docx [ 393 KB

]

Деталь.cdw [ 88 KB

]

Фрагмент1.frw.bak [ 243 KB ]

Фрагмент.pdf [ 3 MB

]

Материал представляет собой zip архив с файлами, которые открываются в программах:

Adobe Acrobat Reader
Компас или КОМПАС-3D Viewer
Microsoft Word

О форматах файлов и видах материалов

Дополнительная информация

Контент чертежей

Kursovaya primer word.pdf

Фрагмент1.frw

Деталь с вырезом.m3d

Деталь.m3d

22.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Иркутский государственный университет путей сообщения»
Факультет «Транспортные системы»
Кафедра «Физика механика и приборостроение»
АНАЛИЗ ЧАСТОТНОГО ОТКЛИКА СИСТЕМ С МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
по дисциплине «Механика и теория колебаний»
КР.420300.20.03.01.ПЗ
студент гр. ТБ.2-17-1
TOC o "1-3" h z u Введение PAGEREF _Toc34496148 h 3
Основное уравнение движения упругой системы под действием внешних сил PAGEREF _Toc34496149 h 4
Определение коэффициентов матриц податливости жесткости и инерции системы PAGEREF _Toc34496150 h 6
Определение собственных частот и форм колебаний упругой системы без учета демпфирования PAGEREF _Toc34496151 h 12
Главные координаты. Главные матрицы жесткости инерции и демпфирования PAGEREF _Toc34496152 h 15
Анализ частотного отклика системы без учета демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик PAGEREF _Toc34496153 h 19
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при единичном возбуждении PAGEREF _Toc34496154 h 24
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при заданном возбуждении центробежной силой PAGEREF _Toc34496155 h 29
Заключение PAGEREF _Toc34496156 h 34
Список использованных источников PAGEREF _Toc34496157 h 35
Приложение А PAGEREF _Toc34496158 h 36
Приложение Б PAGEREF _Toc34496159 h 39
Вибрации машин зданий и сооружений являются неотъемлемой частью условий их эксплуатации и помимо динамического нагружения представляют собой вредный экологический фактор. Поэтому анализ динамического поведения таких систем представляет собой важную задачу их общего инженерного анализа. С технической точки зрения при анализе динамического поведения систем наибольший интерес представляют их амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) которые наглядно отображают зависимость амплитуды виброперемещения виброскорости виброускорения внутренних сил и т. д. от частоты внешнего возмущения. Получение АЧХ обычно представляет основную трудность в задачах о колебании упругих тел и часто производится путем экспериментального измерения что сопряжено с существенными материальными затратами а также сложностью интерпретации результатов. Независимо от применяемых методов инженер исследующий вибрации должен владеть базовыми навыками анализа динамического поведения. Среди таких навыков наиболее важным является умение определять собственные частоты и формы колебаний системы с конечным числом степеней свободы а также анализ их частотного отклика выявляющий реакцию системы на периодическую нагрузку воздействующую на систему с различной частотой.
Целью курсовой работы по дисциплине «Механика и теория колебаний» является развитие указанных навыков. На сегодняшний день качество проведения инженерного анализа может быть повышено (при одновременном снижении рутинной работы) за счет применения современного программного обеспечения. Поэтому в рамках курсовой работы активно применяются процессоры PTC Matchcad и Microsoft Excel.
Основное уравнение движения упругой системы под действием внешних сил
Предположим упругая система состоит из материальной точки массой m а жесткие связи наложенные на материальную точку ограничивают все ее возможные перемещения кроме одного направления например вдоль оси x (рисунок 1.1). В таком случае система имеет всего одну степень свободы.
Далее предположим что в этом единственном направлении перемещения материальной точки возможны но ограничиваются упругим элементом жесткостью k. Параллельно упругому элементу в систему включен демпфер обеспечивающий сопротивление движению при этом сила сопротивления пропорциональна скорости а коэффициент пропорциональности (коэффициент вязкого демпфирования) – c.
В отсутствии внешних сил материальная точка занимает некоторое положение равновесия при котором деформация пружины равна нулю. Это положение примем за начало отсчета в выбранной системе координат.
На материальную точку может действовать внешняя сила Ft величина которой изменяется в зависимости от времени. Составив дифференциальное уравнение движения материальной точки с учетом что сила сопротивления направлена против скорости и сила упругости – против перемещения получим:
Группируя неизвестные слагаемые в левой части получим:
Если исследуемая упругая система содержит несколько материальных точек или твердых тел (то есть масс и моментов инерции) а связи позволяют движение каждой материальной точки или твердого тел хотя бы в одном направлении то такая система содержит много степеней свободы. Уравнение движения такой системы имеет вид [1 5]:
гдеM C и K – матрицы инерции демпфирования и жесткости соответственно;
X X и X – векторы ускорения скорости и перемещения степеней свободы соответственно;
Ft – вектор сил (нагрузок) приложенных к степеням свободы.
Таким образом решение задачи динамики о колебаниях упругой системы сводится к решению системы дифференциальных уравнений (1.3).
Определение коэффициентов матриц податливости жесткости и инерции системы
Матрица податливости упругой системы характеризует ее способность деформироваться и позволяет сформировать обратную матрицу – матрицу жесткости используемую в дальнейших расчетах параметров колебательной системы.
Коэффициенты матрицы податливости ij представляют собой перемещения в направлении i-ой степени свободы вызванной единичной нагрузкой приложенной в направлении j-ой степени свободы. На основании теоремы о взаимности работ матрица податливости обладает свойством симметрии т.е. ij=ji. Система имеет три степени свободы поэтому размерность матрицы податливости равна 3×3. Для определения коэффициентов рассматривается три вспомогательных состояния в каждом из которых в направлении каждой степени свободы приложена единичная нагрузка (рисунок 1.1):
а) в первом состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в точке расположения сосредоточенной массы
б) во втором состоянии – единичный момент приложенный в точке расположения сосредоточенного момента инерции
в) в третьем состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в точке расположения сосредоточенной массы m3.
Коэффициенты податливости определяются методом Мора-Верещагина. Деформации системы складываются из деформаций растяжения-сжатия пружин и деформаций изгиба податливых брусьев. Продольные силы в пружинах далее будем обозначать N а изгибающие моменты в податливых брусьях – M. На основании метода Мора-Верещагина:
Mcj – высота эпюры изгибающего момента j-го состояния измеренная под центром тяжести площади
I – момент инерции поперечного сечения податливой балки.
Для балки круглого поперечного сечения [4] имеющей диаметр D=20 мм=002 м (в соответствии с заданием на курсовую работу):
I=D464=314002464=78510-9 м4.
Рассматривается первое состояние системы (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Первое вспомогательное состояние
Реакции опор подвесной балки:
Подвесная балка является податливой и в первом состоянии не нагружена поэтому изгибающий момент во всех ее сечениях равен нулю.
Реакции опор основной балки:
R11=F1l2+l3l1+l2+l3=106+104+1+06=08.
Рассматривается второе состояние системы (рисунок 1.2).
Подвесная балка является податливой и во втором состоянии не нагружена поэтому изгибающий момент во всех ее сечениях равен нулю.
Рисунок 1.2 – Второе вспомогательное состояние
R12=-M2l1+l2+l3=-104+1+06=05 1м.
Рассматривается третье состояние системы (рисунок 1.3).
Рисунок 1.3 – Третье вспомогательное состояние
R43=F3l4-l5l4=106-0406=03333.
Изгибающий момент в подвесной балке:
M Mx23l4-l5=-0666706-04=01333 м.
R13=-M2l1+l2+l3=-104+1+06=05 1м.
Для определения коэффициентов податливости (перемещений от единичного усилия) первого состояния вдоль направления каждой степени свободы последовательно перемножаем по способу Верещагина реакции пружин и эпюры изгибающих моментов первого состояния «на себя» «на второе» и «на третье» состояние:
=0821106+02205106=7210-7 мН;
=12=-08051106+020505106=-2010-7 радН;
=13=08021106+020466705106=3466810-7 мН.
Аналогично выбрав в качестве основного второе состояние и последовательно «умножив» его «на себя» и «на третье» находим коэффициенты податливости второго состояния:
=0521106+05205106=7510-7 радНм;
=23=-05021106+050466705106=366710-7 мНм.
Наконец перемножив силы и моменты третьего состояния «на себя» определим коэффициенты податливости третьего состояния.
=0221106+04667205106+06667205106+03333205106+
+1204013332301333210117854-9+1202013332301333210117854-9=
=1586810-7+2262410-7=3849210-7 мН.
Окончательно матрица податливости принимает вид:
=111213212223313233=10-772-2034668-2075366734668366738492.
Для проверки матрицы на сингулярность вычисляется ее определитель:
=10-73727538492-22366734668--346687534668-2238492-3667366772=
следовательно матрица не вырождена и существует обратная ей матрица.
Матрица жесткости вычисляется обращением матрицы податливости:
Обращение матрицы податливости производится в программе MathCad (приложение А). На основании расчета имеем:
K=105163185318-1976531815718-1976-1976-19762964.
Матрица инерции включает в себя инерционные характеристики системы в направлении каждой степени свободы и имеет вид:
M=m1000I2000m3=1000050008.
Таким образом матрицы жесткости и инерции определены.
Определение собственных частот и форм колебаний упругой системы без учета демпфирования
Собственные частоты колебания системы pi (i=1 n где n – число степеней свободы) без учета демпфирования определяются как корни характеристического уравнения:
гдеH – характеристическая матрица:
Вводя обозначения pi2=Ai получим
гдеAi – собственное значение характеристической матрицы.
Определение собственных значений можно провести раскрыв определитель (3.1). Тогда величины Ai определяются как корни полученного уравнения n-ной степени где n – порядок характеристической матрицы (в данном случае n=3). Однако решение нелинейных уравнений часто сопряжено с существенными вычислительными трудностями поэтому определение собственных значений проводится с применением процессора Mathcad встроенной функцией genvals (Приложение А). На основании расчета находим:
A=104349851328431890.
Заметим что собственные значения в векторе A расположены в произвольном порядке.
Из выражения (3.4) видно что все собственные значения положительные поэтому все собственные частоты колебаний – действительные числа. Круговые собственные частоты в порядке увеличения:
pI=p3=31890104=17858 с-1;
pII=p2=13284105=36448 с-1;
pIII=p1=34985105=59148 с-1.
Циклические собственные частоты колебаний:
fI=pI2=178582314=2843 Гц;
fII=pII2=364482314=5804 Гц;
fIII=pIII2=591482314=9418 Гц.
Определим собственные векторы характеристической матрицы Xi содержащие относительные координаты степеней свободы при i-ой собственной частоте колебаний. Расчет собственных векторов производится на основании выражения
гдеHi – характеристическая матрица коэффициенты которой рассчитываются в соответствии с выражением (3.2) при i-ой собственной частоте.
Собственный вектор Xi представляет собой перемещения при i-ой форме колебаний определенные с точностью до постоянного множителя и может содержать любые по величине значения. Поэтому для удобства дальнейшей работы с ними вектор нормируется по максимальному значению. Также для упрощения последующих вычислений из них удобно составить квадратную матрицу собственных векторов:
Определение собственных векторов проводится с применением Mathcad встроенной функцией genvals (Приложение А) которая сразу возвращает матрицу собственных векторов каждый из которых нормирован по максимальному значению. На основании расчета имеем:
X=0296-10111106080098-010201011
Заметим что столбцы здесь расположены в том же порядке что и собственные значения в выражении (3.4). Рассмотрим например первый столбец выражения (3.7):
Этот собственный вектор соответствует собственному значению A1=34985105 или собственной частоте pIII=p1=59148 с-1. При такой частоте максимальное перемещение происходит по направлению второй степени свободы (оно принято за единицу) относительное перемещение по направлению первой степени свободы составляет 0296 а по направлению третьей – минус 0102. Графическое представление указанных перемещений называется формой колебаний.
Главные координаты. Главные матрицы жесткости инерции и демпфирования
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) систем с многими степенями свободы проводится на основании уравнения (1.3).
Решение уравнения (1.3) для систем с многими степенями свободы затруднительно поэтому его следует преобразовать к главным координатам. Главными называют такие условные координаты в которых матрицы K C и M одновременно приводятся к диагональному виду а СЛАУ (1.3) распадается на n не связанных друг с другом уравнений. Определим главные матрицы жесткости демпфирования и масс. Такие матрицы будем обозначать KГ CГ и MГ соответственно. Наиболее просто привести матрицы жесткости и инерции к главным координатам методом нормирования по собственным формам [5]:
Матрица демпфирования по методу Релея определяется по формуле [2]:
гдеα и – константы определяемые по двум данным значениям коэффициентов демпфирования γ относящимся к двум различным частотам колебаний из выражения:
Главная матрица демпфирования:
Из исходных данных для двух нижних частот γI=002 γII=002. Тогда получим систему из двух уравнений:
α+pI2=2pIγIα+pII2=2pIIγ
α+178572=217857002α+364472=236447002; α+31887=71428α+132838=145788.
Вычитая из второго уравнения первое найдем
=7436100951=736610-5.
Из первого уравнения найдем
α=71428-31887=71428-31887736610-5=4794.
На основании расчета в Mathcad (приложение А) найдем:
KГ=10520844000158480002606;
MГ=5958000119300008171;
CГ=18210300017392900058365.
Главный вектор нагрузок получается преобразованием вида
Уравнение движения (1.3) в главных координатах примет вид:
Переход от главных к исходным координатам в векторах основных неизвестных происходит при следующих преобразованиях:
СЛАУ (4.10) распадается представляет собой n независящих друг от друга уравнений каждое из которых описывает колебания системы с одной степенью свободы и имеет вид:
mГiixГi+cГiixГi+kГiixГi=ftГi
ftГi – сила (момент) приложенная к i-ой степени свободы в главных координатах.
Решение уравнения (4.14) для системы с одной степенью свободы при силе ftГi изменяющейся по гармоническому закону известно [5] и имеет вид:
xГi=ftГikГiiKd icost-
– круговая частота возмущающей силы;
Амплитуда перемещений определяется множителем перед функцией косинуса:
Динамический коэффициент определяется выражением [5]:
Kd i=11-2 pi22+2γipi2
гдеγi – относительный коэффициент демпфирования (в долях от критического) определяемый по формуле:
γ1=18210325914785958=00258;
γ2=17392923644791193=002;
γ3=5836521785788171=002.
Продифференцировав выражение (4.15) по времени (полагая что частота остается постоянной (или изменяется очень медленно т.е. t и fft) получим выражения скоростей и ускорений в главных координатах амплитуды которых определяются выражениями:
xГi A=-fГikГiiKd i=-xГi A.
xГi A=-fГikГiiKd i2=-xГi A2.
Таким образом все необходимые для дальнейшего расчета параметры в главных координатах определены.
Анализ частотного отклика системы без учета демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик
При анализе частотного отклика системы без учета демпфирования уравнение движения в главных координатах (4.10) принимает вид
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 1-ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок Ft в исходных координатах имеет вид
Главный вектор нагрузок в соответствии с выражением (4.9):
FtГ=XтFt=02961-0102-106080101011100981100;
Поскольку в главных координатах СЛАУ (5.1) распадается на n не связанных друг с другом уравнений для каждого xГi решение получим в виде выражения (4.15) а амплитуды перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент при отсутствии демпфирования:
Задаваясь различными частотами возмущения так чтобы перекрыть диапазон собственных частот колебаний с небольшим запасом получим величины динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики зависимости динамических коэффициентов от частоты в главных координатах показаны на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – Величины главных динамических коэффициентов в зависимости от циклической частоты (Гц)
Анализ диаграмм показывает что без учета демпфирования каждый главный динамический коэффициент при приближении определенной частоты (fI fII и fIII соответственно) устремляется к бесконечности.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются в соответствии с выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется в соответствии с выражением (4.11). При собственных значениях (3.7) найдем
X=XXГ=0296-10111106080098-010201011
X=0296xГ1 A-xГ2 A+0111xГ3 AxГ1 A+0608xГ2 A+0098xГ3 A-0102xГ1 A+0101xГ2 A+xГ3 A.
Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 5.3-5.5.
Рисунок 5.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 5.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 5.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Анализ диаграмм показывает что без учета демпфирования перемещение скорость и ускорение каждой степени свободы при приближении определенной частоты (fI fII и fIII соответственно) устремляется к бесконечности. На низшей частоте (fI=2843 Гц) в резонанс входит третья степень свободы (Kd 3) на промежуточной частоте (fII=5804 Гц) в резонанс входит первая степень свободы а на высшей частоте (fIII=9418 Гц) – вторая. При прохождении каждой последующей собственной частоты все параметры движения меняют фазу колебаний.
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при единичном возбуждении
При анализе частотного отклика системы с учетом демпфирования уравнение движения в главных координатах сохраняет вид (4.10):
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 2-ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок Ft в исходных координатах имеет вид
FtГ=XтFt=02961-0102-106080101011100981010;
Решение уравнения (4.10) получим в виде выражения (4.15) а амплитуды перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент в соответствии с выражением (4.17):
Kd i=11-2 pi22+2γipi2.
При этом полагаем что собственные частоты колебаний системы с демпфированием несущественно отличаются от собственных частот системы без демпфирования.
Задаваясь различными частотами возмущения так чтобы перекрыть диапазон собственных частот колебаний с запасом получим величины динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики зависимости динамических коэффициентов от частоты возмущающей нагрузки в главных координатах показаны на рисунке 6.1.
Рисунок 6.1 – Величины главных динамических коэффициентов в зависимости от циклической частоты (Гц)
Максимальные величины динамического коэффициента в режиме резонанса (=pi)
Kd 3max=12γ3=12002=250.
Величины максимальных динамических коэффициентов подтверждаются построением диаграмм.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты возмущающей нагрузки показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 6.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5). Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 6.3-6.5.
Рисунок 6.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 6.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 6.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Из анализа АЧХ можно сделать вывод что при данном возбуждении системы максимальный отклик перемещений каждой степени свободы при прохождении каждой собственной частоты колебаний fI fII fIII приблизительно одинаков. При прохождении низшей частоты fI наибольшее перемещение происходит в направлении третьей степени свободы при прохождении fII – в направлении первой а при прохождении fIII – в направлении второй.
Фаза колебаний второй степени свободы остается постоянной во всем интервале исследуемых частот.
Фаза колебаний первой степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами 0 и fI а также дважды в интервале частот fII и fIII. Узловые частоты при которых x1A=0 определяются из приложения Б по смене знака амплитуды x1A и составляют приблизительно 27 Гц 30 Гц и 80 Гц. При этих частотах поступательное перемещение в направлении первой степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Фаза колебаний третьей степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fII и fIII. Узловая частота при которой x3A=0 составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц поступательное перемещение в направлении третьей степени свободы равно нулю а податливая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Амплитуды скоростей и ускорений степеней свободы системы имеют более выраженный отклик на высших частотах. Повышение их амплитуды по сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах обусловлено уменьшением периода колебаний.
Таким образом АЧХ системы при единичном возбуждении второй степени свободы определены.
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при заданном возбуждении центробежной силой
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы при возбуждении центробежной силой проводится для осцилляции системы в направлении 3-ой степени свободы. Предположим что в данной точке установлен двигатель (рисунок 7.1) вращающий массу m3 при этом центр масс не совпадает с осью вращения на величину эксцентриситета e.
Рисунок 7.1 – Схема возбуждения колебаний
Величина амплитуды центробежной силы определяется выражением
При возбуждении системы в направлении 3-ой степени свободы вектор нагрузок в исходных координатах имеет вид
С учетом исходных данных (m3=8 кг e=010 мм=110-4 м)
FtГ=XтFt=02961-0102-10608010101110098100810-42;
FtГ=810-42-010201011.
Графики зависимости компонент главного вектора сил от частоты (в Герцах) показаны на рисунке 7.2.
Рисунок 7.2 – Величины главных сил в зависимости от циклической частоты (Гц)
Решение уравнения движения (4.10) проводится аналогично тому как это было сделано в разделе 6. Поэтому диаграммы зависимости динамического коэффициента от круговой частоты показаны на рисунке 6.1.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются в соответствии с выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты показаны на рисунке 7.3.
Рисунок 7.3 – Амплитуды главных перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5).
Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 7.4-7.6.
Рисунок 7.4 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 7.5 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 7.6 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Из анализа АЧХ можно сделать вывод что при данном возбуждении системы наибольший отклик перемещений наступает при прохождении низшей собственной частоты колебанийfI=2843 Гц. Наибольшие перемещения при этом происходят в направлении третьей степени свободы резонирующей именно при этой частоте. При прохождении других собственных частот fII=5804 Гц и fIII=9418 Гц отклик перемещений системы усиливается по сравнению со значениями при произвольной частоте но не настолько существенно. Фаза колебаний третьей степени свободы остается постоянной во всем интервале исследуемых частот.
Фаза колебаний первой степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fI и fII. Узловая частота при которой x1A=0 определяется из приложения Б по смене знака амплитуды x1A и составляет приблизительно 47 Гц. Вывод: при частоте 47 Гц поступательное перемещение в направлении первой степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Фаза колебаний второй степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fII и fIII. Узловая частота при которой x2A=0 составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц вращательное перемещение в направлении второй степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлено твердое тело при колебаниях остается параллельной своему первоначальному положению.
Амплитуды скоростей и ускорений степеней свободы системы имеют существенный отклик на низшей и высшей частоте. Повышение их амплитуды по сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах обусловлено уменьшением периода колебаний.
Таким образом АЧХ системы при центробежном возбуждении третьей степени свободы определены.
В рамках курсовой работы были определены основные параметры колебательной системы такие как собственные частоты и формы колебаний а также параметры ее динамического поведения при установившемся возбуждении колебаний в направлении различных степеней свобод при отсутствии демпфирования и при его наличии. Построение и анализ АЧХ показывает что при отсутствии демпфирования в резонансных режимах виброперемещения виброскорости и виброускорения системы принимают чрезмерно большие значения теоретически устремляющиеся в бесконечность при неограниченном времени возбуждения. При наличии даже малого демпфирования амплитуды этих величин остаются ограниченными на любых режимах возбуждения.
Амплитудно-частотные диаграммы реальной колебательной системы является наиболее важной динамической характеристикой позволяющей провести интерпретацию ее динамического поведения и выявить опасные режимы эксплуатации. Например это позволяет отстроиться от работы на резонансных режимах представляющих наибольшую опасность ввиду повышенных нагрузок на элементы системы принять меры к изменению жесткости системы для сдвига пиков АЧХ в сторону больших или меньших частот колебаний или принудительно изменить параметры демпфирования системы для ограничения высот пиков АЧХ.
Список использованных источников
Бабаков И. М. Теория колебаний : учеб. пособие И. М. Бабаков. – 4-е изд. испр. – М. : Дрофа 2004. – 591 [1] с.
Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов К. Бате Е.Вильсон. – М.: Стройиздат 1982. – 448 с.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике М. Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель 2006. – 991 с.: ил.
Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов Г.С.Писаренко А. П. Яковлев В. В. Матвеев. – Киев: Наук. думка 1988. – 736 с.
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле С. П. Тимошенко С.Х.Янг У. Уивер. – М.: Машиностроение 1985. – 472 с.
Расчет параметров колебательной системы в Mathcad
Расчет амплитуд колебаний в Excel

Фрагмент.frw

Kursovaya primer v sbore s zadaniem i prilozheniami.pdf

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
«Иркутский государственный университет путей сообщения»
Факультет «Транспортные системы»
Кафедра «Физика механика и приборостроение»
АНАЛИЗ ЧАСТОТНОГО ОТКЛИКА СИСТЕМ
С МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
по дисциплине «Механика и теория колебаний»
КР.420300.20.03.01.ПЗ
студент гр. ТБ.2-17-1
выдано ст. группы ТБ.2-17-1 И. И. Иванову
тема работы: «Анализ частотного отклика и построение амплитудночастотных характеристик систем с многими степенями свободы»
Для упругой системы показанной на рисунке требуется:
Составить матрицы податливости жесткости и инерции в системе
координат связанной со степенями свободы.
Определить собственные частоты и формы колебаний системы без учета
Построить амплитудно-частотные характеристики без учета влияния
демпфирования при единичном силовом (моментном) возбуждении 1-й
Получить матрицы жесткости инерции и демпфирования в главных
Построить амплитудно-частотные характеристики с учетом влияния
демпфирования при единичном силовом (моментном) возбуждении 2-й
демпфирования при центробежном силовом возбуждении 3-й степени
свободы вызванном неуравновешенностью массы.
Примечание: податливая балка на рисунке показана пунктиром. Балку
показанную сплошной линией считать абсолютно жесткой.
Параметры упругой системы представлены в таблице.
Коэффициенты демпфирования относительно критического значения на
двух низших частотах: = % = %.
Величина радиального эксцентриситета неуравновешенной массы
Дата выдачи задания 11. 03. 2020 г.
Дата представления работы руководителю 12. 05. 2020 г.
Руководитель курсовой работы
Основное уравнение движения упругой системы под действием
Определение коэффициентов матриц податливости жесткости и
Определение собственных частот и форм колебаний упругой системы
без учета демпфирования 12
Главные координаты. Главные матрицы жесткости инерции и
Анализ частотного отклика системы без учета демпфирования и
построение амплитудно-частотных характеристик 19
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и
построение амплитудно-частотных характеристик при единичном
построение амплитудно-частотных характеристик при заданном
возбуждении центробежной силой 29
Список использованных источников 35
Анализ частотного отклика систем с
многими степенями свободы
Вибрации машин зданий и сооружений являются неотъемлемой частью
условий их эксплуатации и помимо динамического нагружения представляют
собой вредный экологический фактор. Поэтому анализ динамического
поведения таких систем представляет собой важную задачу их общего
инженерного анализа. С технической точки зрения при анализе динамического
поведения систем наибольший интерес представляют их амплитудночастотные характеристики (АЧХ) которые наглядно отображают зависимость
амплитуды виброперемещения виброскорости виброускорения внутренних
сил и т. д. от частоты внешнего возмущения. Получение АЧХ обычно
представляет основную трудность в задачах о колебании упругих тел и часто
производится путем экспериментального измерения что сопряжено с
интерпретации результатов. Независимо от применяемых методов инженер
исследующий вибрации должен владеть базовыми навыками анализа
динамического поведения. Среди таких навыков наиболее важным является
умение определять собственные частоты и формы колебаний системы с
конечным числом степеней свободы а также анализ их частотного отклика
выявляющий реакцию системы на периодическую нагрузку воздействующую
на систему с различной частотой.
Целью курсовой работы по дисциплине «Механика и теория колебаний»
является развитие указанных навыков. На сегодняшний день качество
проведения инженерного анализа может быть повышено (при одновременном
снижении рутинной работы) за счет применения современного программного
обеспечения. Поэтому в рамках курсовой работы активно применяются
процессоры PTC Matchcad и Microsoft Excel.
Предположим упругая система состоит из материальной точки массой
а жесткие связи наложенные на материальную точку ограничивают все ее
возможные перемещения кроме одного направления например вдоль оси
(рисунок 1.1). В таком случае система имеет всего одну степень свободы.
Далее предположим что в этом единственном направлении перемещения
материальной точки возможны но ограничиваются упругим элементом
жесткостью . Параллельно упругому элементу в систему включен демпфер
обеспечивающий сопротивление движению при этом сила сопротивления
(коэффициент вязкого демпфирования) – .
В отсутствии внешних сил материальная точка занимает некоторое
положение равновесия при котором деформация пружины равна нулю. Это
положение примем за начало отсчета в выбранной системе координат.
На материальную точку может действовать внешняя сила
которой изменяется в зависимости от времени. Составив дифференциальное
уравнение движения материальной точки с учетом что сила сопротивления
направлена против скорости и сила упругости – против перемещения
Группируя неизвестные слагаемые в левой части получим:
Если исследуемая упругая система содержит несколько материальных
точек или твердых тел (то есть масс и моментов инерции) а связи позволяют
движение каждой материальной точки или твердого тел хотя бы в одном
направлении то такая система содержит много степеней свободы. Уравнение
движения такой системы имеет вид [1 5]:
– матрицы инерции демпфирования и жесткости
– векторы ускорения скорости и перемещения степеней
свободы соответственно;
– вектор сил (нагрузок) приложенных к степеням свободы.
Таким образом решение задачи динамики о колебаниях упругой системы
сводится к решению системы дифференциальных уравнений (1.3).
Матрица податливости упругой системы характеризует ее способность
деформироваться и позволяет сформировать обратную матрицу – матрицу
жесткости используемую в дальнейших расчетах параметров колебательной
перемещения в направлении -ой степени свободы вызванной единичной
нагрузкой приложенной в направлении -ой степени свободы. На основании
теоремы о взаимности работ матрица податливости обладает свойством
. Система имеет три степени свободы поэтому
коэффициентов рассматривается три вспомогательных состояния в каждом из
которых в направлении каждой степени свободы приложена единичная
нагрузка (рисунок 1.1):
а) в первом состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в
точке расположения сосредоточенной массы
б) во втором состоянии – единичный момент приложенный в точке
расположения сосредоточенного момента инерции
в) в третьем состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в
Коэффициенты податливости определяются методом Мора-Верещагина.
Деформации системы складываются из деформаций растяжения-сжатия
пружин и деформаций изгиба податливых брусьев. Продольные силы в
пружинах далее будем обозначать
а изгибающие моменты в податливых
. На основании метода Мора-Верещагина:
– площадь эпюры изгибающего момента в -ом состоянии;
– высота эпюры изгибающего момента -го состояния измеренная
под центром тяжести площади
– момент инерции поперечного сечения податливой балки.
Для балки круглого поперечного сечения [4] имеющей диаметр
2 м (в соответствии с заданием на курсовую работу):
Рассматривается первое состояние системы (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Первое вспомогательное состояние
Реакции опор подвесной балки:
Подвесная балка является податливой и в первом состоянии не
нагружена поэтому изгибающий момент во всех ее сечениях равен нулю.
Реакции опор основной балки:
Рассматривается второе состояние системы (рисунок 1.2).
Подвесная балка является податливой и во втором состоянии не
Рисунок 1.2 – Второе вспомогательное состояние
Рассматривается третье состояние системы (рисунок 1.3).
Рисунок 1.3 – Третье вспомогательное состояние
Изгибающий момент в подвесной балке:
Для определения коэффициентов податливости (перемещений от
единичного усилия) первого состояния вдоль направления каждой степени
свободы последовательно перемножаем по способу Верещагина реакции
пружин и эпюры изгибающих моментов первого состояния «на себя» «на
второе» и «на третье» состояние:
Аналогично выбрав в качестве основного второе состояние и
последовательно «умножив» его «на себя» и «на третье» находим
коэффициенты податливости второго состояния:
Наконец перемножив силы и моменты третьего состояния «на себя»
определим коэффициенты податливости третьего состояния.
Окончательно матрица податливости принимает вид:
Для проверки матрицы на сингулярность вычисляется ее определитель:
следовательно матрица не вырождена и существует обратная ей матрица.
Матрица жесткости вычисляется обращением матрицы податливости:
Обращение матрицы податливости производится в программе MathCad
(приложение А). На основании расчета имеем:
Матрица инерции включает в себя инерционные характеристики системы
в направлении каждой степени свободы и имеет вид:
Таким образом матрицы жесткости и инерции определены.
Определение собственных частот и форм колебаний упругой
системы без учета демпфирования
Собственные частоты колебания системы
степеней свободы) без учета демпфирования определяются как корни
характеристического уравнения:
– характеристическая матрица:
– собственное значение характеристической матрицы.
определитель (3.1). Тогда величины
определяются как корни полученного
– порядок характеристической матрицы (в
). Однако решение нелинейных уравнений часто
сопряжено с существенными вычислительными трудностями поэтому
определение собственных значений проводится с применением процессора
Mathcad встроенной функцией genvals (Приложение А). На основании расчета
Заметим что собственные значения в векторе
произвольном порядке.
Из выражения (3.4) видно что все собственные значения положительные
поэтому все собственные частоты колебаний – действительные числа.
Круговые собственные частоты в порядке увеличения:
Циклические собственные частоты колебаний:
Определим собственные векторы характеристической матрицы
содержащие относительные координаты степеней свободы при
собственной частоте колебаний. Расчет собственных векторов производится
на основании выражения
рассчитываются в соответствии с выражением (3.2) при -ой собственной
представляет собой перемещения при -ой
форме колебаний определенные с точностью до постоянного множителя и
может содержать любые по величине значения. Поэтому для удобства
дальнейшей работы с ними вектор нормируется по максимальному значению.
Также для упрощения последующих вычислений из них удобно составить
квадратную матрицу собственных векторов:
Определение собственных векторов проводится с применением Mathcad
встроенной функцией genvals (Приложение А) которая сразу возвращает
матрицу собственных векторов каждый из которых нормирован по
максимальному значению. На основании расчета имеем:
Заметим что столбцы здесь расположены в том же порядке что и
собственные значения в выражении (3.4). Рассмотрим например первый
столбец выражения (3.7):
Этот собственный вектор соответствует собственному значению
или собственной частоте
частоте максимальное перемещение происходит по направлению второй
степени свободы (оно принято за единицу) относительное перемещение по
направлению первой степени свободы составляет 0296 а по направлению
третьей – минус 0102. Графическое представление указанных перемещений
называется формой колебаний.
Главные матрицы жесткости инерции и демпфирования
построение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) систем с многими
степенями свободы проводится на основании уравнения (1.3).
Решение уравнения (1.3) для систем с многими степенями свободы
затруднительно поэтому его следует преобразовать к главным координатам.
Главными называют такие условные координаты в которых матрицы
одновременно приводятся к диагональному виду а СЛАУ (1.3)
не связанных друг с другом уравнений. Определим главные
матрицы жесткости демпфирования и масс. Такие матрицы будем обозначать
соответственно. Наиболее просто привести матрицы
жесткости и инерции к главным координатам методом нормирования по
собственным формам [5]:
Матрица демпфирования по методу Релея определяется по формуле [2]:
– константы определяемые по двум данным значениям
коэффициентов демпфирования
относящимся к двум различным
частотам колебаний из выражения:
Главная матрица демпфирования:
Из исходных данных для двух нижних частот
получим систему из двух уравнений:
Вычитая из второго уравнения первое найдем
Из первого уравнения найдем
На основании расчета в Mathcad (приложение А) найдем:
Главный вектор нагрузок получается преобразованием вида
Уравнение движения (1.3) в главных координатах примет вид:
Переход от главных к исходным координатам в векторах основных
неизвестных происходит при следующих преобразованиях:
СЛАУ (4.10) распадается представляет собой
друга уравнений каждое из которых описывает колебания системы с одной
степенью свободы и имеет вид:
– диагональные коэффициенты матриц масс
демпфирования и жесткости соответственно;
– ускорения скорости и перемещения -ой степени свободы
в главных координатах;
– сила (момент) приложенная к -ой степени свободы в главных
Решение уравнения (4.14) для системы с одной степенью свободы при
Г изменяющейся по гармоническому закону известно [5] и имеет
– динамический коэффициент;
– круговая частота возмущающей силы;
Амплитуда перемещений определяется множителем перед функцией
Динамический коэффициент определяется выражением [5]:
– относительный коэффициент демпфирования (в долях от
критического) определяемый по формуле:
Продифференцировав выражение (4.15) по времени (полагая что частота
остается постоянной (или изменяется очень медленно т.е.
) получим выражения скоростей и ускорений в главных координатах
амплитуды которых определяются выражениями:
Таким образом все необходимые для дальнейшего расчета параметры в
главных координатах определены.
построение амплитудно-частотных характеристик
При анализе частотного отклика системы без учета демпфирования
уравнение движения в главных координатах (4.10) принимает вид
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика
системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 1ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок
в исходных координатах имеет вид
Главный вектор нагрузок в соответствии с выражением (4.9):
Поскольку в главных координатах СЛАУ (5.1) распадается на
связанных друг с другом уравнений для каждого
решение получим в виде
выражения (4.15) а амплитуды перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент при отсутствии демпфирования:
Задаваясь различными частотами возмущения
диапазон собственных частот колебаний с небольшим запасом получим
величины динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики
зависимости динамических коэффициентов от частоты в главных координатах
показаны на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – Величины главных динамических коэффициентов в
зависимости от циклической частоты (Гц)
Анализ диаграмм показывает что без учета демпфирования каждый
главный динамический коэффициент при приближении определенной частоты
соответственно) устремляется к бесконечности.
соответствии с выражением (4.16). Графики зависимости главных координат
от частоты показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от
циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в
исходных координатах определяется в соответствии с выражением (4.11). При
собственных значениях (3.7) найдем
Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и
(4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений
от частоты показаны на рисунках 5.3-5.5.
Рисунок 5.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от
Рисунок 5.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от
Рисунок 5.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от
устремляется к бесконечности. На низшей частоте (
входит третья степень свободы (
) на промежуточной частоте (
04 Гц) в резонанс входит первая степень свободы а на высшей частоте
18 Гц) – вторая. При прохождении каждой последующей
собственной частоты все параметры движения меняют фазу колебаний.
при единичном возбуждении
При анализе частотного отклика системы с учетом демпфирования
уравнение движения в главных координатах сохраняет вид (4.10):
системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 2ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок
Решение уравнения (4.10) получим в виде выражения (4.15) а амплитуды
перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент в соответствии с выражением (4.17):
При этом полагаем что собственные частоты колебаний системы с
демпфированием несущественно отличаются от собственных частот системы
диапазон собственных частот колебаний с запасом получим величины
динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики зависимости
динамических коэффициентов от частоты возмущающей нагрузки в главных
координатах показаны на рисунке 6.1.
Рисунок 6.1 – Величины главных динамических коэффициентов в
Максимальные величины динамического коэффициента в режиме
Величины максимальных динамических коэффициентов подтверждаются
построением диаграмм.
выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты
возмущающей нагрузки показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 6.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от
исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5). Амплитуды
скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики
зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты
показаны на рисунках 6.3-6.5.
Рисунок 6.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от
Рисунок 6.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от
Рисунок 6.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от
Из анализа АЧХ можно сделать вывод что при данном возбуждении
системы максимальный отклик перемещений каждой степени свободы при
приблизительно одинаков. При прохождении низшей частоты
перемещение происходит в направлении третьей степени свободы при
– в направлении первой а при прохождении
Фаза колебаний второй степени свободы остается постоянной во всем
интервале исследуемых частот.
Фаза колебаний первой степени свободы однократно изменяется в
интервале между частотами 0 и
а также дважды в интервале частот
. Узловые частоты при которых
смене знака амплитуды
определяются из приложения Б по
и составляют приблизительно 27 Гц 30 Гц и 80 Гц.
При этих частотах поступательное перемещение в направлении первой
степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлена эта
масса поворачивается относительно центра масс как относительно
Фаза колебаний третьей степени свободы однократно изменяется в
интервале между частотами
. Узловая частота при которой
составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц поступательное
перемещение в направлении третьей степени свободы равно нулю а
податливая балка на которой установлена эта масса поворачивается
относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Амплитуды скоростей и ускорений степеней свободы системы имеют
более выраженный отклик на высших частотах. Повышение их амплитуды по
сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах
обусловлено уменьшением периода колебаний.
Таким образом АЧХ системы при единичном возбуждении второй
степени свободы определены.
возбуждении центробежной силой
системы при возбуждении центробежной силой проводится для осцилляции
системы в направлении 3-ой степени свободы. Предположим что в данной
точке установлен двигатель (рисунок 7.1) вращающий массу
центр масс не совпадает с осью вращения на величину эксцентриситета .
Рисунок 7.1 – Схема возбуждения колебаний
Величина амплитуды центробежной силы определяется выражением
При возбуждении системы в направлении 3-ой степени свободы вектор
нагрузок в исходных координатах имеет вид
С учетом исходных данных (
Графики зависимости компонент главного вектора сил от частоты (в
Герцах) показаны на рисунке 7.2.
Рисунок 7.2 – Величины главных сил
в зависимости от циклической частоты (Гц)
Решение уравнения движения (4.10) проводится аналогично тому как это
было сделано в разделе 6. Поэтому диаграммы зависимости динамического
коэффициента от круговой частоты показаны на рисунке 6.1.
от частоты показаны на рисунке 7.3.
Рисунок 7.3 – Амплитуды главных перемещений (м или рад) в зависимости
от циклической частоты (Гц)
исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5).
от частоты показаны на рисунках 7.4-7.6.
Рисунок 7.4 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от
Рисунок 7.5 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от
Рисунок 7.6 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от
системы наибольший отклик перемещений наступает при прохождении
перемещения при этом происходят в направлении третьей степени свободы
резонирующей именно при этой частоте. При прохождении других
18 Гц отклик перемещений
системы усиливается по сравнению со значениями при произвольной частоте
но не настолько существенно. Фаза колебаний третьей степени свободы
остается постоянной во всем интервале исследуемых частот.
определяется из приложения Б по смене знака амплитуды
приблизительно 47 Гц. Вывод: при частоте 47 Гц поступательное перемещение
в направлении первой степени свободы равно нулю а жесткая балка на
которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как
относительно шарнирной опоры.
Фаза колебаний второй степени свободы однократно изменяется в
составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц вращательное
перемещение в направлении второй степени свободы равно нулю а жесткая
балка на которой установлено твердое тело при колебаниях остается
параллельной своему первоначальному положению.
существенный отклик на низшей и высшей частоте. Повышение их амплитуды
по сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах
Таким образом АЧХ системы при центробежном возбуждении третьей
В рамках курсовой работы были определены основные параметры
колебательной системы такие как собственные частоты и формы колебаний
а также параметры ее динамического поведения при установившемся
возбуждении колебаний в направлении различных степеней свобод при
отсутствии демпфирования и при его наличии. Построение и анализ АЧХ
показывает что при отсутствии демпфирования в резонансных режимах
виброперемещения виброскорости и виброускорения системы принимают
чрезмерно большие значения теоретически устремляющиеся в бесконечность
при неограниченном времени возбуждения. При наличии даже малого
демпфирования амплитуды этих величин остаются ограниченными на любых
режимах возбуждения.
Амплитудно-частотные диаграммы реальной колебательной системы
является наиболее важной динамической характеристикой позволяющей
провести интерпретацию ее динамического поведения и выявить опасные
режимы эксплуатации. Например это позволяет отстроиться от работы на
резонансных режимах представляющих наибольшую опасность ввиду
повышенных нагрузок на элементы системы принять меры к изменению
жесткости системы для сдвига пиков АЧХ в сторону больших или меньших
частот колебаний или принудительно изменить параметры демпфирования
системы для ограничения высот пиков АЧХ.
Список использованных источников
Бабаков И. М. Теория колебаний : учеб. пособие И. М. Бабаков. – 4-е
изд. испр. – М. : Дрофа 2004. – 591 [1] с.
Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов К.
Бате Е. Вильсон. – М.: Стройиздат 1982. – 448 с.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике М. Я. Выгодский.
– М.: АСТ: Астрель 2006. – 991 с.: ил.
Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов
Г. С. Писаренко А. П. Яковлев В. В. Матвеев. – Киев: Наук. думка
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле С. П. Тимошенко
С. Х. Янг У. Уивер. – М.: Машиностроение 1985. – 472 с.
Расчет параметров колебательной системы в Mathcad
Матрица податливости:
K Δ -1 = 5.318 10 5 1.572 10 6 -1.976 10 5
Характеристическая матрица:
Собственные значения характеристической матрицы:
A genvals ((K M)) = 1.328451 10 5
Собственные частоты колебаний:
Матрица собственных векторов:
X genvecs ((K M)) = 1
Главная матрица жесткости:
KГ X T K X = -1.146 10 -10 1.585 10 6 -1.455 10 -11
Главная матрица масс:
MГ X T M X = -1.86 10 -15
Матрица демпфирования и главная матрица демпфирования:
C α M + K = 39.168 139.742 -14.557
Расчет амплитуд колебаний в Excel
Лист 1. Исходные матрицы и векторы
Матрица собственных векторов
Главная матрица жесткости
Отн. коэффициенты демпф.
Лист 2. Колебания без демпф. Глав. координаты. Ед. возб. 1ой СС
645 7109076 100573 1015232 1066668 143E07 64E07 454E07
29 1421815 1023321 1063847 1333342 145E07 67E07 568E07
50963 231045 1064031 1188322 2942646 151E07 75E07 125E06
62575 2488177 1075028 1225184 4266952 153E07 77E07 182E06
74188 2665904 1087096 1267412 8259293 154E07
02091 2710335 1090288 1278907 1092489 155E07 81E07 465E06
29994 2754767 1093552 1290807 1625905 155E07 81E07 693E06
57897 2799199 1096889 130313 3227264 156E07 82E07 137E05
64873 2810307 1097734 1306279 4295504 156E07 82E07 183E05
71848 2821415 1098585 1309456 6433438 156E07 83E07 274E05
78824 2832523 109944 1312661 1285858 156E07 83E07 548E05
003 1315894 487916 156E07 83E07 002078
24 156E07 83E07 52E05
153 157E07 83E07 26E05
07585 287832 1103016 1326177 407033 157E07 84E07 17E05
14847 2889884 1103931 1329669 304723 157E07 84E07 13E05
119 157E07 85E07 64E06
72941 298239 1111445 1358806 100004 158E07 86E07 43E06
01988 3028643 111533 1374219 744158 158E07 87E07 32E06
18175 3213654 1131764 1442169 360743 161E07 91E07 15E06
34363 3398666 1149709 1521881 233373 163E07 96E07 99E07
5055 3583678 1169286 1616212 169994 166E07
96238 5248786 1450475 5490997 041544 206E07 35E06 18E07
12425 5433798 1498915 810099 037715 213E07 51E06 16E07
57659 5665063 1566873 2116829 033682 223E07 13E05 14E07
15753 5757569 1596674 6300876 032262 227E07
23015 5769132 1600514 8393573 032092 227E07 53E05 14E07
30277 5780695 160438 1258019 031922 228E07 79E05 14E07
37538 5792258 1608273 2514967 031755 228E07 000016 14E07
0 1612192 219566 031588 229E07 0138545 13E07
71402 5846181 1626782 682366 030991 231E07 431E05 13E07
80269 5860301 1631728 511195 030796 232E07 323E05 13E07
15738 5916779 165194 254396 030035 235E07 161E05 13E07
879 029304 238E07 107E05 12E07
86675 6029737 1694524 125991 028601 241E07 795E06 12E07
2855 6255653 1789395 618172 026045 254E07
123 6707484 2029138 297928 021911 288E07 188E06 93E08
893 016223 409E07 877E07 69E08
473 8514809 5474079 086775 012553 777E07 548E07 53E08
89175 8740725 7208073 078856 011837 102E06 498E07
3105 896664 1067956 072104 011182 152E06 455E07 48E08
08394 9249035 2805206 064952 010439 398E06
03 596E06 402E07 44E08
79331 9361992 8368871 062421 010163 119E05 394E07 43E08
013 158E05 392E07 43E08
97066 9390232 1672422 061815 010096 237E05
05933 9404352 3346984 061515 010063 475E05 388E07 43E08
003 001707 386E07 43E08
19039 9425221 693376 061077 010014 98E05 385E07 43E08
23278 9431972 347567 060936 009998 49E05 385E07 43E08
27517 9438722 231852 060796 009982 33E05 384E07 43E08
31756 9445472 173911 060656 009967 25E05 383E07 42E08
48713 9472472 868939 060104 009904 12E05 379E07 42E08
65669 9499473 578606 059559 009843 82E06 376E07 42E08
82625 9526473 433388 059023 009781 62E06 372E07 42E08
5045 9634475 215505 056958 009543 31E06 359E07 41E08
861 9850478 106554 053173 009091 15E06 336E07 39E08
574 1028248 521112 046754 008281 74E07 295E07 35E08
287 1071449 339958 041526 007577 48E07 262E07 32E08
0 111465 249615 037195 006961 35E07 235E07
Лист 3. Колебания без демпф.Исходные координаты. Ед. возб. 1ой СС
8E07 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00
4E06 129E08 342E06 207E04 216E06 573E04 346E02 362E04 959E02
7E06 120E07 456E06 233E04 205E05 775E04 397E02 348E03 132E01
3E06 339E07 683E06 282E04 586E05 118E03 488E02 101E02 204E01
9E06 100E06 136E05 421E04 176E04 240E03 740E02 310E02 422E01
0E06 145E06 182E05 512E04 256E04 321E03 904E02 451E02 567E01
1E06 234E06 273E05 694E04 414E04 484E03 123E01 734E02 857E01
5E06 502E06 547E05 124E03 893E04 972E03 220E01 159E01 173E+00
44 231E03 204E03 208E02 412E01 364E01 371E+00 735E+01 650E+01 663E+02
55 491E06 546E06 522E05 880E04 979E04 937E03 158E01 176E01 168E+00
67 201E06 290E06 261E05 362E04 523E04 471E03 652E02 941E02 847E01
78 104E06 205E06 174E05 188E04 371E04 315E03 340E02 670E02 570E01
90 555E07 163E06 131E05 101E04 295E04 237E03 183E02 535E02 431E01
7E03 209E03 418E04 126E+00 736E01 148E01
7E03 282E03 539E04 170E+00 100E+00 192E01
8E03 428E03 781E04 257E+00 153E+00 280E01
4E02 866E03 151E03 520E+00 313E+00 546E01
2E02 116E02 200E03 696E+00 420E+00 723E01
8E02 174E02 297E03 105E+01 633E+00 108E+00
7E02 350E02 589E03 210E+01 127E+01 214E+00
2E02 140E02 505E+01 307E+01 510E+00 184E+04 112E+04 186E+03
8E02 472E03 173E+01 105E+01 172E+00
5E02 233E03 867E+00 530E+00 855E01
9E03 154E03 580E+00 356E+00 565E01
0E03 114E03 436E+00 269E+00 420E01
1E03 546E04 221E+00 138E+00 203E01
1E03 348E04 149E+00 943E01 130E01
2E03 249E04 113E+00 726E01 941E02
3E03 713E03 715E04 108E+00 419E+00 420E01
3E03 946E03 953E04 149E+00 557E+00 561E01
1E03 141E02 143E03 231E+00 834E+00 844E01
8E03 282E02 287E03 477E+00 167E+01 169E+00
4E03 299E+00 101E+01 103E+00 177E+03 597E+03 609E+02
4E03 103E+01 344E+01 352E+00
8E03 526E+00 172E+01 177E+00
9E03 356E+00 115E+01 118E+00
9E03 271E+00 861E+00 885E01
6E04 143E+00 429E+00 444E01
8E04 100E+00 284E+00 297E01
3E04 787E01 212E+00 223E01
6E04 465E01 104E+00 113E01
Лист 4. Колебания с демпф. Глав. координаты. Ед. возб. 2ой СС
479754E07 383645E07 37606E07
25E07 389484E07 4011E07
29 1421815 1023288 1063789 1332869 490927E07 408117E07 50123E07
3935 2132723 1053967 1155948 2280419 505645E07 443473E07 85756E07
50963 231045 1063934 1188109 292928 510427E07 455812E07 11016E06
62575 2488177 1074913 1224914 4220149 515694E07 469932E07 1587E06
74188 2665904 1086959 1267068 7889534 521473E07 486104E07 29669E06
02091 2710335 1090145 1278542 1008505 523002E07 490506E07 37925E06
29994 2754767 1093403 129042 1375637 524565E07 495063E07 51732E06
57897 2799199 1096733 1302719 1995791 526163E07 499781E07 75053E06
64873 2810307 1097578 1305861 2179732 526568E07 500987E07 8197E06
71848 2821415 1098426 1309031 2346139 526975E07 502203E07 88228E06
78824 2832523 109928 131223 2463295 527384E07
4 1100138 1315456 2499974 527796E07 504668E07 94013E06
93062 2855194 1101037 1318846 2439881 528227E07 505968E07 91753E06
00323 2866757 110194 1322266 2298051 528661E07
07585 287832 1102849 1325719 2111521 529096E07 508605E07 79405E06
14847 2889884 1103762 1329203 1914094 529535E07 509942E07 7198E06
43894 2936137 110747 1343468 1282411 531313E07 515414E07 48226E06
72941 298239 1111261 1358277 922167 533133E07 521096E07 34679E06
01988 3028643 1115139 1373654 7093625 534993E07 526995E07 26676E06
18175 3213654 1131539 1441434 3560396 542861E07 552998E07 13389E06
34363 3398666 1149446 1520915 2319342 551452E07 583491E07 8722E07
5055 3583678 1168978 1614926 1693732 560822E07 619558E07 63694E07
153 4323726 1266449 2242152 0761405 607584E07 860189E07 28633E07
8005 5063774 1405523 4144293 0460346 674306E07 158994E06 17312E07
96238 5248786 1449215 5385774 0415249 695267E07 206622E06 15616E07
12425 5433798 1497425 775209 0376991 718396E07 297405E06 14177E07
28613 561881 1550791 1356405 0344181 743999E07 520377E06 12943E07
57659 5665063 1565024 1631672 0336702 750827E07 625982E06 12662E07
86706 5711316 157964 1980614 0329483 757839E07 759852E06 1239E07
15753 5757569 1594653 2339868 0322513 765042E07 897678E06 12128E07
23015 5769132 159847 2409199 0320808 766873E07 924276E06 12064E07
30277 5780695 1602313 2461481 0319117 768717E07 944334E06 12001E07
37538 5792258 1606182 2492651 031744 770573E07 956292E06 11938E07
0 1610078 2499994 0315778 772442E07 959109E06 11875E07
53667 5817941 1614871 2475688 0313768 774741E07 949785E06 11799E07
62534 5832061 1619704 2417643 0311778 77706E07 927516E06 11725E07
71402 5846181 1624578 2332395 0309808 779399E07 894811E06 11651E07
80269 5860301 1629494 2228299 0307859 781757E07 854875E06 11577E07
15738 5916779 1649577 1765539 0300256 791392E07
51206 5973258 167036 1386115 0292951 801362E07 531775E06 11017E07
86675 6029737 1691875 1116172 0285929 811685E07 428214E06 10753E07
2855 6255653 1786039 5973212 0260377 85686E07 229159E06 97916E08
70425 6481568 1895354 3980922 0238297 909305E07 152726E06 89613E08
123 6707484 202352 295142 0219062 970793E07
798 7611146 2861623 138563 0162205 137288E06 531589E07 60998E08
473 8514809 5303877 0866629 0125515 254456E06 332477E07 47201E08
89175 8740725 681359 0787672 0118353 326885E06 302186E07 44507E08
3105 896664 9457094 072032 0111807 453708E06 276347E07 42046E08
72925 9192556 1446066 0662245 0105805 693756E06 254067E07 39789E08
08394 9249035 1614074 064896 0104383 774359E06
43863 9305514 1776902 0636121 0102989 852477E06 244044E07 3873E08
79331 9361992 1898821 0623707 0101625 910968E06 239282E07 38216E08
88198 9376112 1917736 0620667 0101288 920042E06 238116E07 3809E08
97066 9390232 1930807 0617652 0100953 926313E06 236959E07 37964E08
05933 9404352 1937631 0614662 0100619 929587E06 235812E07 37838E08
2 1937976 0611697 0100288 929753E06 234674E07 37714E08
19039 9425221 1935834 0610287 010013 928725E06 234133E07 37654E08
23278 9431972 193221 0608883 0099972 926986E06 233595E07 37595E08
27517 9438722 1927127 0607485 0099815 924548E06 233058E07 37536E08
31756 9445472 1920616 0606092 0099658 921424E06 232524E07 37477E08
48713 9472472 1881228 0600574 0099035 902527E06 230407E07 37243E08
65669 9499473 1823532 059514 0098417 874847E06 228322E07 3701E08
82625 9526473 175239 0589788 0097806 840717E06 226269E07 3678E08
5045 9634475 1422874 0569171 0095417 68263E06 218359E07 35882E08
18275 9742476 1136061 0549736 0093118 54503E06 210903E07 35017E08
861 9850478 9237086 0531389 0090903 443153E06 203864E07 34184E08
574 1028248 5000119 0467286 0082806 239883E06 179272E07 3114E08
287 1071449 333385 0415064 0075768 159943E06 159237E07 28493E08
0 111465 2467642 0371802 0069608 118386E06
Лист 5. Колебания с демпф.Исходные координаты. Ед. возб. 2ой СС
0E07 366E07 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00
9E07 391E07 902E06 339E05 175E05
8E07 492E07 185E05 704E05 440E05
9E07 851E07 266E05 115E04 114E04
6E07 110E06 265E05 130E04 159E04
7E07 158E06 221E05 150E04 247E04
1E06 296E06 405E07 185E04 496E04
3E08 119E06 379E06 145E05 203E04 645E04 247E03 346E02 110E01
4E07 133E06 517E06 406E05 231E04 894E04 702E03 399E02 155E01
9E07 157E06 750E06 860E05 275E04 132E03 151E02 484E02 232E01
5E07 163E06 819E06 997E05 288E04 145E03 176E02 509E02 255E01
3E07 170E06 882E06 112E04 301E04 156E03 199E02 533E02 277E01
1E07 174E06 926E06 121E04 310E04 165E03 215E02 551E02 293E01
5E07 176E06 940E06 124E04 314E04 168E03 222E02 560E02 300E01
9E07 174E06 917E06 120E04 311E04 164E03 215E02 558E02 295E01
8E07 168E06 864E06 110E04 303E04 156E03 197E02 546E02 280E01
9E07 162E06 794E06 957E05 292E04 143E03 173E02 528E02 259E01
6E07 154E06 720E06 809E05 280E04 131E03 147E02 509E02 237E01
7E07 132E06 482E06 327E05 243E04 889E04 602E03 448E02 164E01
6E08 119E06 347E06 405E06 223E04 649E04 759E04 417E02 122E01
2E06 267E06 138E05 212E04 507E04
1E06 134E06 492E05 204E04 270E04
2E07 875E07 690E05 212E04 187E04
0E06 642E07 862E05 225E04 145E04
6E06 311E07 176E04 315E04 845E05
6E06 265E07 436E04 527E04 842E05
7E06 294E07 608E04 648E04 969E05
4E06 369E07 937E04 867E04 126E04
2E06 579E07 175E03 138E03 204E04
7E06 682E07 214E03 163E03 243E04
9E06 814E07 264E03 193E03 292E04
3E06 950E07 316E03 225E03 343E04 114E+00 815E01 124E01
0E06 976E07 326E03 232E03 354E04 118E+00 840E01 128E01
2E06 995E07 334E03 237E03 361E04 121E+00 860E01 131E01
0E06 101E06 339E03 240E03 366E04 123E+00 873E01 133E01
2E06 101E06 341E03 241E03 368E04 124E+00 879E01 134E01
6E06 998E07 338E03 240E03 365E04 124E+00 876E01 133E01
3E06 975E07 331E03 235E03 357E04 121E+00 862E01 131E01
3E06 941E07 320E03 229E03 345E04 117E+00 840E01 127E01
9E06 899E07 306E03 220E03 331E04 112E+00 811E01 122E01
2E06 716E07 243E03 183E03 266E04
5E06 566E07 190E03 152E03 212E04
3E06 457E07 153E03 130E03 173E04
6E06 242E07 796E04 888E04 951E05
5E06 151E07 508E04 752E04 615E05
7E06 977E08 352E04 702E04 412E05
6E07 275E06 179E07 228E04 147E03
0E07 346E06 258E07 368E04 190E03
2E04 202E01 104E+00 779E02
7E06 471E06 393E07 603E04 265E03
1E04 340E01 149E+00 125E01
0E06 710E06 642E07 104E03 410E03
1E04 601E01 236E+00 214E01
5E06 790E06 725E07 119E03 459E03
1E04 691E01 266E+00 245E01
8E06 868E06 806E07 133E03 507E03
1E04 780E01 296E+00 275E01
6E06 926E06 867E07 145E03 544E03
0E04 851E01 320E+00 300E01
9E06 935E06 876E07 147E03 550E03
6E04 863E01 324E+00 304E01
1E06 941E06 883E07 148E03 555E03
1E04 873E01 327E+00 307E01
2E06 944E06 887E07 149E03 558E03
4E04 879E01 329E+00 309E01
2E06 944E06 887E07 149E03 559E03
5E04 882E01 330E+00 310E01
2E06 943E06 886E07 149E03 558E03
4E04 883E01 330E+00 310E01
1E06 942E06 884E07 149E03 558E03
4E04 882E01 330E+00 310E01
1E06 939E06 882E07 149E03 557E03
3E04 881E01 330E+00 310E01
0E06 936E06 879E07 148E03 555E03
1E04 879E01 329E+00 309E01
5E06 917E06 860E07 145E03 545E03
2E04 865E01 324E+00 304E01
7E06 889E06 832E07 141E03 530E03
7E04 842E01 316E+00 296E01
7E06 855E06 798E07 136E03 511E03
7E04 811E01 306E+00 286E01
1E06 696E06 638E07 109E03 421E03
6E04 661E01 255E+00 234E01
1E06 558E06 500E07 860E04 342E03
6E04 526E01 209E+00 187E01
1E06 456E06 397E07 688E04 282E03
6E04 425E01 174E+00 152E01
282 534E07 251E06 195E07 345E04 162E03
6E04 223E01 105E+00 815E02
714 317E07 170E06 119E07 214E04 114E03
146 211E07 127E06 802E08 147E04 891E04
Лист 6. Колебания с демпф. Глав. координаты. Центробежное. возб. 3ей СС
Лист 7. Колебания с демпф.Исходные координаты. Центробежное возб. 3ей СС
0 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00 000E+00
8E07 624E07 654E06 267E05 279E05 292E04 119E03 124E03 130E02
9E06 314E06 327E05 276E04 280E04 292E03 247E02 250E02 261E01
7E05 122E05 126E04 170E03 164E03 168E02 227E01 219E01 226E+00
5E05 185E05 190E04 283E03 268E03 275E02 410E01 388E01 399E+00
3E05 309E05 317E04 520E03 483E03 495E02 813E01 754E01 773E+00
2E05 664E05 679E04 123E02 111E02 114E01 205E+00 186E+00 190E+01
3E05 878E05 897E04 166E02 149E02 153E01 282E+00 254E+00 260E+01
8E04 124E04 126E03 239E02 214E02 219E01 413E+00 370E+00 378E+01
8E04 185E04 189E03 365E02 326E02 333E01 642E+00 573E+00 585E+01
9E04 204E04 208E03 404E02 360E02 368E01 713E+00 636E+00 649E+01
8E04 222E04 226E03 440E02 392E02 401E01 780E+00 695E+00 710E+01
3E04 234E04 239E03 468E02 417E02 426E01 832E+00 742E+00 757E+01
9E04 240E04 245E03 481E02 428E02 437E01 858E+00 765E+00 781E+01
5E04 236E04 241E03 475E02 423E02 432E01 851E+00 759E+00 774E+01
1E04 224E04 229E03 452E02 403E02 412E01 814E+00 726E+00 741E+01
2E04 207E04 212E03 420E02 375E02 383E01 760E+00 678E+00 692E+01
2E04 190E04 194E03 385E02 344E02 351E01 699E+00 624E+00 638E+01
6E04 131E04 134E03 269E02 242E02 247E01 496E+00 446E+00 455E+01
7E04 973E05 993E04 201E02 182E02 186E01 377E+00 341E+00 348E+01
4E05 772E05 788E04 161E02 147E02 150E01 305E+00 279E+00 285E+01
9E05 436E05 446E04 926E03 881E03 899E02 187E+00 178E+00 182E+01
9E05 319E05 325E04 680E03 681E03 693E02 145E+00 145E+00 148E+01
4E05 260E05 264E04 549E03 586E03 594E02 123E+00 132E+00 134E+01
2E06 184E05 174E04 261E03 498E03 471E02 709E01 135E+00 128E+01
4E05 146E04 227E03 682E03 463E02
3E01 217E+00 147E+01
5E05 142E04 537E03 842E03 469E02 177E+00 278E+00 154E+01
4E05 140E04 113E02 117E02 478E02 385E+00 400E+00 163E+01
7E05 141E04 260E02 204E02 498E02 918E+00 718E+00 176E+01
1E05 142E04 331E02 246E02 506E02 118E+01 874E+00 180E+01
8E05 144E04 423E02 300E02 517E02 152E+01 108E+01 185E+01
3E05 146E04 521E02 359E02 528E02 188E+01 130E+01 191E+01
2E04 146E04 541E02 371E02 530E02 196E+01 135E+01 192E+01
5E04 147E04 557E02 381E02 532E02 202E+01 138E+01 193E+01
7E04 147E04 569E02 388E02 534E02 207E+01 141E+01 194E+01
7E04 147E04 574E02 391E02 535E02 209E+01 142E+01 195E+01
7E04 146E04 573E02 390E02 535E02 209E+01 142E+01 196E+01
5E04 146E04 563E02 383E02 535E02 206E+01 140E+01 196E+01
1E04 145E04 546E02 372E02 533E02 200E+01 137E+01 196E+01
5E05 144E04 523E02 359E02 532E02 193E+01 132E+01 196E+01
1E05 141E04 419E02 294E02 523E02 156E+01 109E+01 194E+01
7E05 138E04 331E02 239E02 516E02 124E+01 896E+00 194E+01
4E05 135E04 267E02 199E02 511E02 101E+01 752E+00 194E+01
9E05 129E04 143E02 117E02 508E02 563E+00 461E+00 199E+01
0E05 126E04 969E03 815E03 512E02 395E+00 332E+00 209E+01
9E05 123E04 742E03 584E03 520E02 313E+00 246E+00 219E+01
8E04 530E03 221E03 564E02 253E+00 106E+00 270E+01
8E04 961E03 219E02 628E02 514E+00 117E+01 336E+01
9E04 130E02 342E02 653E02 715E+00 188E+01 358E+01
2E04 193E02 561E02 687E02 109E+01 316E+01 387E+01
9E04 318E02 988E02 743E02 184E+01 571E+01 429E+01
1E04 362E02 114E01 761E02 210E+01 661E+01 442E+01
3E04 406E02 129E01 779E02 237E+01 752E+01 455E+01
5E04 441E02 141E01 795E02 260E+01 829E+01 467E+01
5E04 448E02 143E01 798E02 264E+01 843E+01 470E+01
6E04 453E02 145E01 800E02 267E+01 854E+01 472E+01
6E04 456E02 146E01 802E02 270E+01 863E+01 474E+01
6E04 459E02 147E01 804E02 271E+01 868E+01 475E+01
6E04 459E02 147E01 804E02 272E+01 870E+01 476E+01
6E04 459E02 147E01 805E02 272E+01 871E+01 477E+01
6E04 458E02 147E01 805E02 272E+01 870E+01 478E+01
5E04 452E02 145E01 805E02 269E+01 862E+01 479E+01
5E04 442E02 141E01 803E02 264E+01 843E+01 479E+01
4E04 428E02 137E01 799E02 256E+01 818E+01 478E+01
9E04 357E02 113E01 781E02 216E+01 684E+01 473E+01
5E04 293E02 915E02 765E02 179E+01 560E+01 468E+01
2E04 244E02 752E02 754E02 151E+01 465E+01 467E+01
5E04 144E02 421E02 745E02 931E+00 272E+01 481E+01
2E04 104E02 289E02 756E02 696E+00 194E+01 508E+01
0E04 817E03 220E02 773E02 572E+00 154E+01 541E+01

Kursovaya primer word 1.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Иркутский государственный университет путей сообщения»
Факультет «Транспортные системы»
Кафедра «Физика механика и приборостроение»
АНАЛИЗ ЧАСТОТНОГО ОТКЛИКА СИСТЕМ С МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
по дисциплине «Механика и теория колебаний»
КР.420300.20.03.01.ПЗ
студент гр. ТБ.2-17-1
TOC o "1-3" h z u Введение PAGEREF _Toc34496148 h 3
Основное уравнение движения упругой системы под действием внешних сил PAGEREF _Toc34496149 h 4
Определение коэффициентов матриц податливости жесткости и инерции системы PAGEREF _Toc34496150 h 6
Определение собственных частот и форм колебаний упругой системы без учета демпфирования PAGEREF _Toc34496151 h 12
Главные координаты. Главные матрицы жесткости инерции и демпфирования PAGEREF _Toc34496152 h 15
Анализ частотного отклика системы без учета демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик PAGEREF _Toc34496153 h 19
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при единичном возбуждении PAGEREF _Toc34496154 h 24
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при заданном возбуждении центробежной силой PAGEREF _Toc34496155 h 29
Заключение PAGEREF _Toc34496156 h 34
Список использованных источников PAGEREF _Toc34496157 h 35
Приложение А PAGEREF _Toc34496158 h 36
Приложение Б PAGEREF _Toc34496159 h 39
Вибрации машин зданий и сооружений являются неотъемлемой частью условий их эксплуатации и помимо динамического нагружения представляют собой вредный экологический фактор. Поэтому анализ динамического поведения таких систем представляет собой важную задачу их общего инженерного анализа. С технической точки зрения при анализе динамического поведения систем наибольший интерес представляют их амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) которые наглядно отображают зависимость амплитуды виброперемещения виброскорости виброускорения внутренних сил и т. д. от частоты внешнего возмущения. Получение АЧХ обычно представляет основную трудность в задачах о колебании упругих тел и часто производится путем экспериментального измерения что сопряжено с существенными материальными затратами а также сложностью интерпретации результатов. Независимо от применяемых методов инженер исследующий вибрации должен владеть базовыми навыками анализа динамического поведения. Среди таких навыков наиболее важным является умение определять собственные частоты и формы колебаний системы с конечным числом степеней свободы а также анализ их частотного отклика выявляющий реакцию системы на периодическую нагрузку воздействующую на систему с различной частотой.
Целью курсовой работы по дисциплине «Механика и теория колебаний» является развитие указанных навыков. На сегодняшний день качество проведения инженерного анализа может быть повышено (при одновременном снижении рутинной работы) за счет применения современного программного обеспечения. Поэтому в рамках курсовой работы активно применяются процессоры PTC Matchcad и Microsoft Excel.
Основное уравнение движения упругой системы под действием внешних сил
Предположим упругая система состоит из материальной точки массой m а жесткие связи наложенные на материальную точку ограничивают все ее возможные перемещения кроме одного направления например вдоль оси x (рисунок 1.1). В таком случае система имеет всего одну степень свободы.
Далее предположим что в этом единственном направлении перемещения материальной точки возможны но ограничиваются упругим элементом жесткостью k. Параллельно упругому элементу в систему включен демпфер обеспечивающий сопротивление движению при этом сила сопротивления пропорциональна скорости а коэффициент пропорциональности (коэффициент вязкого демпфирования) – c.
В отсутствии внешних сил материальная точка занимает некоторое положение равновесия при котором деформация пружины равна нулю. Это положение примем за начало отсчета в выбранной системе координат.
На материальную точку может действовать внешняя сила Ft величина которой изменяется в зависимости от времени. Составив дифференциальное уравнение движения материальной точки с учетом что сила сопротивления направлена против скорости и сила упругости – против перемещения получим:
Группируя неизвестные слагаемые в левой части получим:
Если исследуемая упругая система содержит несколько материальных точек или твердых тел (то есть масс и моментов инерции) а связи позволяют движение каждой материальной точки или твердого тел хотя бы в одном направлении то такая система содержит много степеней свободы. Уравнение движения такой системы имеет вид [1 5]:
гдеM C и K – матрицы инерции демпфирования и жесткости соответственно;
X X и X – векторы ускорения скорости и перемещения степеней свободы соответственно;
Ft – вектор сил (нагрузок) приложенных к степеням свободы.
Таким образом решение задачи динамики о колебаниях упругой системы сводится к решению системы дифференциальных уравнений (1.3).
Определение коэффициентов матриц податливости жесткости и инерции системы
Матрица податливости упругой системы характеризует ее способность деформироваться и позволяет сформировать обратную матрицу – матрицу жесткости используемую в дальнейших расчетах параметров колебательной системы.
Коэффициенты матрицы податливости ij представляют собой перемещения в направлении i-ой степени свободы вызванной единичной нагрузкой приложенной в направлении j-ой степени свободы. На основании теоремы о взаимности работ матрица податливости обладает свойством симметрии т.е. ij=ji. Система имеет три степени свободы поэтому размерность матрицы податливости равна 3×3. Для определения коэффициентов рассматривается три вспомогательных состояния в каждом из которых в направлении каждой степени свободы приложена единичная нагрузка (рисунок 1.1):
а) в первом состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в точке расположения сосредоточенной массы
б) во втором состоянии – единичный момент приложенный в точке расположения сосредоточенного момента инерции
в) в третьем состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в точке расположения сосредоточенной массы m3.
Коэффициенты податливости определяются методом Мора-Верещагина. Деформации системы складываются из деформаций растяжения-сжатия пружин и деформаций изгиба податливых брусьев. Продольные силы в пружинах далее будем обозначать N а изгибающие моменты в податливых брусьях – M. На основании метода Мора-Верещагина:
Mcj – высота эпюры изгибающего момента j-го состояния измеренная под центром тяжести площади
I – момент инерции поперечного сечения податливой балки.
Для балки квадратного поперечного сечения [4] имеющей ширину b=20 мм=002 м и высоту h=20 мм=002 м (в соответствии с заданием на курсовую работу):
I=b412=002412=13310-9 м4.
Рассматривается первое состояние системы (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Первое вспомогательное состояние
Реакции опор подвесной балки:
Подвесная балка является податливой и в первом состоянии не нагружена поэтому изгибающий момент во всех ее сечениях равен нулю.
Реакции опор основной балки:
R11=F1l1l2=10604=15.
Рассматривается второе состояние системы (рисунок 1.2).
Подвесная балка является податливой и во втором состоянии не нагружена поэтому изгибающий момент во всех ее сечениях равен нулю.
Рисунок 1.2 – Второе вспомогательное состояние
Рассматривается третье состояние системы (рисунок 1.3).
Рисунок 1.3 – Третье вспомогательное состояние
R43=-F3l4(l5-l4)=-1025(06-025)=0714.
Изгибающий момент в подвесной балке:
M Mx23l4=-1714025=0428 м.
Для определения коэффициентов податливости (перемещений от единичного усилия) первого состояния вдоль направления каждой степени свободы последовательно перемножаем по способу Верещагина реакции пружин и эпюры изгибающих моментов первого состояния «на себя» «на второе» и «на третье» состояние:
=R1121106+R21205106=1521106+25205106=107510-6 мН;
=12=R11R121106+R21R2205106=15251106+252505106=137510-7 радН;
=13=R11R131106+R21R2305106=15251106+252505106=3510-7 мН.
Не могу понять правильно ли эти формулы записаны?
Аналогично выбрав в качестве основного второе состояние и последовательно «умножив» его «на себя» и «на третье» находим коэффициенты податливости второго состояния:
=0521106+05205106=7610-7 радНм;
=23=-05021106+050466705106=3710-7 мНм.
Наконец перемножив силы и моменты третьего состояния «на себя» определим коэффициенты податливости третьего состояния.
=0221106+045205106+07205106+03205106+
+1204013332301333210111334-9+1202013332301333210111334-9=
=1586810-7+2262410-7=3849210-7 мН.
Окончательно матрица податливости принимает вид:
=111213212223313233=10-771-2234-2274383737385.
Для проверки матрицы на сингулярность вычисляется ее определитель:
=10-737476385-223735--357635-22385-373774=
следовательно матрица не вырождена и существует обратная ей матрица.
Матрица жесткости вычисляется обращением матрицы податливости:
Обращение матрицы податливости производится в программе MathCad (приложение А). На основании расчета имеем:
K=10519263-1873135-18-19-1739.
Матрица инерции включает в себя инерционные характеристики системы в направлении каждой степени свободы и имеет вид:
M=m1000I2000m3=27000150001.
Таким образом матрицы жесткости и инерции определены.
Определение собственных частот и форм колебаний упругой системы без учета демпфирования
Собственные частоты колебания системы pi (i=1 n где n – число степеней свободы) без учета демпфирования определяются как корни характеристического уравнения:
гдеH – характеристическая матрица:
Вводя обозначения pi2=Ai получим
гдеAi – собственное значение характеристической матрицы.
Определение собственных значений можно провести раскрыв определитель (3.1). Тогда величины Ai определяются как корни полученного уравнения n-ной степени где n – порядок характеристической матрицы (в данном случае n=3). Однако решение нелинейных уравнений часто сопряжено с существенными вычислительными трудностями поэтому определение собственных значений проводится с применением процессора Mathcad встроенной функцией genvals (Приложение А). На основании расчета находим:
A=104349851328431890.
Заметим что собственные значения в векторе A расположены в произвольном порядке.
Из выражения (3.4) видно что все собственные значения положительные поэтому все собственные частоты колебаний – действительные числа. Круговые собственные частоты в порядке увеличения:
pI=p3=31890104=17858 с-1;
pII=p2=13284105=36448 с-1;
pIII=p1=34985105=59148 с-1.
Циклические собственные частоты колебаний:
fI=pI2=178582314=2843 Гц;
fII=pII2=364482314=5804 Гц;
fIII=pIII2=591482314=9418 Гц.
Определим собственные векторы характеристической матрицы Xi содержащие относительные координаты степеней свободы при i-ой собственной частоте колебаний. Расчет собственных векторов производится на основании выражения
гдеHi – характеристическая матрица коэффициенты которой рассчитываются в соответствии с выражением (3.2) при i-ой собственной частоте.
Собственный вектор Xi представляет собой перемещения при i-ой форме колебаний определенные с точностью до постоянного множителя и может содержать любые по величине значения. Поэтому для удобства дальнейшей работы с ними вектор нормируется по максимальному значению. Также для упрощения последующих вычислений из них удобно составить квадратную матрицу собственных векторов:
Определение собственных векторов проводится с применением Mathcad встроенной функцией genvals (Приложение А) которая сразу возвращает матрицу собственных векторов каждый из которых нормирован по максимальному значению. На основании расчета имеем:
X=0296-10111106080098-010201011
Заметим что столбцы здесь расположены в том же порядке что и собственные значения в выражении (3.4). Рассмотрим например первый столбец выражения (3.7):
Этот собственный вектор соответствует собственному значению A1=34985105 или собственной частоте pIII=p1=59148 с-1. При такой частоте максимальное перемещение происходит по направлению второй степени свободы (оно принято за единицу) относительное перемещение по направлению первой степени свободы составляет 0296 а по направлению третьей – минус 0102. Графическое представление указанных перемещений называется формой колебаний.
Главные координаты. Главные матрицы жесткости инерции и демпфирования
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) систем с многими степенями свободы проводится на основании уравнения (1.3).
Решение уравнения (1.3) для систем с многими степенями свободы затруднительно поэтому его следует преобразовать к главным координатам. Главными называют такие условные координаты в которых матрицы K C и M одновременно приводятся к диагональному виду а СЛАУ (1.3) распадается на n не связанных друг с другом уравнений. Определим главные матрицы жесткости демпфирования и масс. Такие матрицы будем обозначать KГ CГ и MГ соответственно. Наиболее просто привести матрицы жесткости и инерции к главным координатам методом нормирования по собственным формам [5]:
Матрица демпфирования по методу Релея определяется по формуле [2]:
гдеα и – константы определяемые по двум данным значениям коэффициентов демпфирования γ относящимся к двум различным частотам колебаний из выражения:
Главная матрица демпфирования:
Из исходных данных для двух нижних частот γI=002 γII=002. Тогда получим систему из двух уравнений:
α+pI2=2pIγIα+pII2=2pIIγ
α+178572=217857002α+364472=236447002; α+31887=71428α+132838=145788.
Вычитая из второго уравнения первое найдем
=7436100951=736610-5.
Из первого уравнения найдем
α=71428-31887=71428-31887736610-5=4794.
На основании расчета в Mathcad (приложение А) найдем:
KГ=10520844000158480002606;
MГ=5958000119300008171;
CГ=18210300017392900058365.
Главный вектор нагрузок получается преобразованием вида
Уравнение движения (1.3) в главных координатах примет вид:
Переход от главных к исходным координатам в векторах основных неизвестных происходит при следующих преобразованиях:
СЛАУ (4.10) распадается представляет собой n независящих друг от друга уравнений каждое из которых описывает колебания системы с одной степенью свободы и имеет вид:
mГiixГi+cГiixГi+kГiixГi=ftГi
ftГi – сила (момент) приложенная к i-ой степени свободы в главных координатах.
Решение уравнения (4.14) для системы с одной степенью свободы при силе ftГi изменяющейся по гармоническому закону известно [5] и имеет вид:
xГi=ftГikГiiKd icost-
– круговая частота возмущающей силы;
Амплитуда перемещений определяется множителем перед функцией косинуса:
Динамический коэффициент определяется выражением [5]:
Kd i=11-2 pi22+2γipi2
гдеγi – относительный коэффициент демпфирования (в долях от критического) определяемый по формуле:
γ1=18210325914785958=00258;
γ2=17392923644791193=002;
γ3=5836521785788171=002.
Продифференцировав выражение (4.15) по времени (полагая что частота остается постоянной (или изменяется очень медленно т.е. t и fft) получим выражения скоростей и ускорений в главных координатах амплитуды которых определяются выражениями:
xГi A=-fГikГiiKd i=-xГi A.
xГi A=-fГikГiiKd i2=-xГi A2.
Таким образом все необходимые для дальнейшего расчета параметры в главных координатах определены.
Анализ частотного отклика системы без учета демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик
При анализе частотного отклика системы без учета демпфирования уравнение движения в главных координатах (4.10) принимает вид
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 1-ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок Ft в исходных координатах имеет вид
Главный вектор нагрузок в соответствии с выражением (4.9):
FtГ=XтFt=02961-0102-106080101011100981100;
Поскольку в главных координатах СЛАУ (5.1) распадается на n не связанных друг с другом уравнений для каждого xГi решение получим в виде выражения (4.15) а амплитуды перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент при отсутствии демпфирования:
Задаваясь различными частотами возмущения так чтобы перекрыть диапазон собственных частот колебаний с небольшим запасом получим величины динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики зависимости динамических коэффициентов от частоты в главных координатах показаны на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – Величины главных динамических коэффициентов в зависимости от циклической частоты (Гц)
Анализ диаграмм показывает что без учета демпфирования каждый главный динамический коэффициент при приближении определенной частоты (fI fII и fIII соответственно) устремляется к бесконечности.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются в соответствии с выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется в соответствии с выражением (4.11). При собственных значениях (3.7) найдем
X=XXГ=0296-10111106080098-010201011
X=0296xГ1 A-xГ2 A+0111xГ3 AxГ1 A+0608xГ2 A+0098xГ3 A-0102xГ1 A+0101xГ2 A+xГ3 A.
Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 5.3-5.5.
Рисунок 5.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 5.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 5.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Анализ диаграмм показывает что без учета демпфирования перемещение скорость и ускорение каждой степени свободы при приближении определенной частоты (fI fII и fIII соответственно) устремляется к бесконечности. На низшей частоте (fI=2843 Гц) в резонанс входит третья степень свободы (Kd 3) на промежуточной частоте (fII=5804 Гц) в резонанс входит первая степень свободы а на высшей частоте (fIII=9418 Гц) – вторая. При прохождении каждой последующей собственной частоты все параметры движения меняют фазу колебаний.
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при единичном возбуждении
При анализе частотного отклика системы с учетом демпфирования уравнение движения в главных координатах сохраняет вид (4.10):
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 2-ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок Ft в исходных координатах имеет вид
FtГ=XтFt=02961-0102-106080101011100981010;
Решение уравнения (4.10) получим в виде выражения (4.15) а амплитуды перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент в соответствии с выражением (4.17):
Kd i=11-2 pi22+2γipi2.
При этом полагаем что собственные частоты колебаний системы с демпфированием несущественно отличаются от собственных частот системы без демпфирования.
Задаваясь различными частотами возмущения так чтобы перекрыть диапазон собственных частот колебаний с запасом получим величины динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики зависимости динамических коэффициентов от частоты возмущающей нагрузки в главных координатах показаны на рисунке 6.1.
Рисунок 6.1 – Величины главных динамических коэффициентов в зависимости от циклической частоты (Гц)
Максимальные величины динамического коэффициента в режиме резонанса (=pi)
Kd 3max=12γ3=12002=250.
Величины максимальных динамических коэффициентов подтверждаются построением диаграмм.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты возмущающей нагрузки показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 6.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5). Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 6.3-6.5.
Рисунок 6.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 6.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 6.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Из анализа АЧХ можно сделать вывод что при данном возбуждении системы максимальный отклик перемещений каждой степени свободы при прохождении каждой собственной частоты колебаний fI fII fIII приблизительно одинаков. При прохождении низшей частоты fI наибольшее перемещение происходит в направлении третьей степени свободы при прохождении fII – в направлении первой а при прохождении fIII – в направлении второй.
Фаза колебаний второй степени свободы остается постоянной во всем интервале исследуемых частот.
Фаза колебаний первой степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами 0 и fI а также дважды в интервале частот fII и fIII. Узловые частоты при которых x1A=0 определяются из приложения Б по смене знака амплитуды x1A и составляют приблизительно 27 Гц 30 Гц и 80 Гц. При этих частотах поступательное перемещение в направлении первой степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Фаза колебаний третьей степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fII и fIII. Узловая частота при которой x3A=0 составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц поступательное перемещение в направлении третьей степени свободы равно нулю а податливая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Амплитуды скоростей и ускорений степеней свободы системы имеют более выраженный отклик на высших частотах. Повышение их амплитуды по сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах обусловлено уменьшением периода колебаний.
Таким образом АЧХ системы при единичном возбуждении второй степени свободы определены.
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при заданном возбуждении центробежной силой
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы при возбуждении центробежной силой проводится для осцилляции системы в направлении 3-ой степени свободы. Предположим что в данной точке установлен двигатель (рисунок 7.1) вращающий массу m3 при этом центр масс не совпадает с осью вращения на величину эксцентриситета e.
Рисунок 7.1 – Схема возбуждения колебаний
Величина амплитуды центробежной силы определяется выражением
При возбуждении системы в направлении 3-ой степени свободы вектор нагрузок в исходных координатах имеет вид
С учетом исходных данных (m3=8 кг e=010 мм=110-4 м)
FtГ=XтFt=02961-0102-10608010101110098100810-42;
FtГ=810-42-010201011.
Графики зависимости компонент главного вектора сил от частоты (в Герцах) показаны на рисунке 7.2.
Рисунок 7.2 – Величины главных сил в зависимости от циклической частоты (Гц)
Решение уравнения движения (4.10) проводится аналогично тому как это было сделано в разделе 6. Поэтому диаграммы зависимости динамического коэффициента от круговой частоты показаны на рисунке 6.1.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются в соответствии с выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты показаны на рисунке 7.3.
Рисунок 7.3 – Амплитуды главных перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5).
Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 7.4-7.6.
Рисунок 7.4 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 7.5 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 7.6 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Из анализа АЧХ можно сделать вывод что при данном возбуждении системы наибольший отклик перемещений наступает при прохождении низшей собственной частоты колебанийfI=2843 Гц. Наибольшие перемещения при этом происходят в направлении третьей степени свободы резонирующей именно при этой частоте. При прохождении других собственных частот fII=5804 Гц и fIII=9418 Гц отклик перемещений системы усиливается по сравнению со значениями при произвольной частоте но не настолько существенно. Фаза колебаний третьей степени свободы остается постоянной во всем интервале исследуемых частот.
Фаза колебаний первой степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fI и fII. Узловая частота при которой x1A=0 определяется из приложения Б по смене знака амплитуды x1A и составляет приблизительно 47 Гц. Вывод: при частоте 47 Гц поступательное перемещение в направлении первой степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Фаза колебаний второй степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fII и fIII. Узловая частота при которой x2A=0 составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц вращательное перемещение в направлении второй степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлено твердое тело при колебаниях остается параллельной своему первоначальному положению.
Амплитуды скоростей и ускорений степеней свободы системы имеют существенный отклик на низшей и высшей частоте. Повышение их амплитуды по сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах обусловлено уменьшением периода колебаний.
Таким образом АЧХ системы при центробежном возбуждении третьей степени свободы определены.
В рамках курсовой работы были определены основные параметры колебательной системы такие как собственные частоты и формы колебаний а также параметры ее динамического поведения при установившемся возбуждении колебаний в направлении различных степеней свобод при отсутствии демпфирования и при его наличии. Построение и анализ АЧХ показывает что при отсутствии демпфирования в резонансных режимах виброперемещения виброскорости и виброускорения системы принимают чрезмерно большие значения теоретически устремляющиеся в бесконечность при неограниченном времени возбуждения. При наличии даже малого демпфирования амплитуды этих величин остаются ограниченными на любых режимах возбуждения.
Амплитудно-частотные диаграммы реальной колебательной системы является наиболее важной динамической характеристикой позволяющей провести интерпретацию ее динамического поведения и выявить опасные режимы эксплуатации. Например это позволяет отстроиться от работы на резонансных режимах представляющих наибольшую опасность ввиду повышенных нагрузок на элементы системы принять меры к изменению жесткости системы для сдвига пиков АЧХ в сторону больших или меньших частот колебаний или принудительно изменить параметры демпфирования системы для ограничения высот пиков АЧХ.
Список использованных источников
Бабаков И. М. Теория колебаний : учеб. пособие И. М. Бабаков. – 4-е изд. испр. – М. : Дрофа 2004. – 591 [1] с.
Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов К. Бате Е.Вильсон. – М.: Стройиздат 1982. – 448 с.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике М. Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель 2006. – 991 с.: ил.
Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов Г.С.Писаренко А. П. Яковлев В. В. Матвеев. – Киев: Наук. думка 1988. – 736 с.
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле С. П. Тимошенко С.Х.Янг У. Уивер. – М.: Машиностроение 1985. – 472 с.
Расчет параметров колебательной системы в Mathcad
Расчет амплитуд колебаний в Excel

Kursovaya primer word.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Иркутский государственный университет путей сообщения»
Факультет «Транспортные системы»
Кафедра «Физика механика и приборостроение»
АНАЛИЗ ЧАСТОТНОГО ОТКЛИКА СИСТЕМ С МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
по дисциплине «Механика и теория колебаний»
КР.420300.20.03.01.ПЗ
студент гр. ТБ.2-17-1
TOC o "1-3" h z u Введение PAGEREF _Toc34496148 h 3
Основное уравнение движения упругой системы под действием внешних сил PAGEREF _Toc34496149 h 4
Определение коэффициентов матриц податливости жесткости и инерции системы PAGEREF _Toc34496150 h 6
Определение собственных частот и форм колебаний упругой системы без учета демпфирования PAGEREF _Toc34496151 h 12
Главные координаты. Главные матрицы жесткости инерции и демпфирования PAGEREF _Toc34496152 h 15
Анализ частотного отклика системы без учета демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик PAGEREF _Toc34496153 h 19
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при единичном возбуждении PAGEREF _Toc34496154 h 24
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при заданном возбуждении центробежной силой PAGEREF _Toc34496155 h 29
Заключение PAGEREF _Toc34496156 h 34
Список использованных источников PAGEREF _Toc34496157 h 35
Приложение А PAGEREF _Toc34496158 h 36
Приложение Б PAGEREF _Toc34496159 h 39
Вибрации машин зданий и сооружений являются неотъемлемой частью условий их эксплуатации и помимо динамического нагружения представляют собой вредный экологический фактор. Поэтому анализ динамического поведения таких систем представляет собой важную задачу их общего инженерного анализа. С технической точки зрения при анализе динамического поведения систем наибольший интерес представляют их амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) которые наглядно отображают зависимость амплитуды виброперемещения виброскорости виброускорения внутренних сил и т. д. от частоты внешнего возмущения. Получение АЧХ обычно представляет основную трудность в задачах о колебании упругих тел и часто производится путем экспериментального измерения что сопряжено с существенными материальными затратами а также сложностью интерпретации результатов. Независимо от применяемых методов инженер исследующий вибрации должен владеть базовыми навыками анализа динамического поведения. Среди таких навыков наиболее важным является умение определять собственные частоты и формы колебаний системы с конечным числом степеней свободы а также анализ их частотного отклика выявляющий реакцию системы на периодическую нагрузку воздействующую на систему с различной частотой.
Целью курсовой работы по дисциплине «Механика и теория колебаний» является развитие указанных навыков. На сегодняшний день качество проведения инженерного анализа может быть повышено (при одновременном снижении рутинной работы) за счет применения современного программного обеспечения. Поэтому в рамках курсовой работы активно применяются процессоры PTC Matchcad и Microsoft Excel.
Основное уравнение движения упругой системы под действием внешних сил
Предположим упругая система состоит из материальной точки массой m а жесткие связи наложенные на материальную точку ограничивают все ее возможные перемещения кроме одного направления например вдоль оси x (рисунок 1.1). В таком случае система имеет всего одну степень свободы.
Далее предположим что в этом единственном направлении перемещения материальной точки возможны но ограничиваются упругим элементом жесткостью k. Параллельно упругому элементу в систему включен демпфер обеспечивающий сопротивление движению при этом сила сопротивления пропорциональна скорости а коэффициент пропорциональности (коэффициент вязкого демпфирования) – c.
В отсутствии внешних сил материальная точка занимает некоторое положение равновесия при котором деформация пружины равна нулю. Это положение примем за начало отсчета в выбранной системе координат.
На материальную точку может действовать внешняя сила Ft величина которой изменяется в зависимости от времени. Составив дифференциальное уравнение движения материальной точки с учетом что сила сопротивления направлена против скорости и сила упругости – против перемещения получим:
Группируя неизвестные слагаемые в левой части получим:
Если исследуемая упругая система содержит несколько материальных точек или твердых тел (то есть масс и моментов инерции) а связи позволяют движение каждой материальной точки или твердого тел хотя бы в одном направлении то такая система содержит много степеней свободы. Уравнение движения такой системы имеет вид [1 5]:
гдеM C и K – матрицы инерции демпфирования и жесткости соответственно;
X X и X – векторы ускорения скорости и перемещения степеней свободы соответственно;
Ft – вектор сил (нагрузок) приложенных к степеням свободы.
Таким образом решение задачи динамики о колебаниях упругой системы сводится к решению системы дифференциальных уравнений (1.3).
Определение коэффициентов матриц податливости жесткости и инерции системы
Матрица податливости упругой системы характеризует ее способность деформироваться и позволяет сформировать обратную матрицу – матрицу жесткости используемую в дальнейших расчетах параметров колебательной системы.
Коэффициенты матрицы податливости ij представляют собой перемещения в направлении i-ой степени свободы вызванной единичной нагрузкой приложенной в направлении j-ой степени свободы. На основании теоремы о взаимности работ матрица податливости обладает свойством симметрии т.е. ij=ji. Система имеет три степени свободы поэтому размерность матрицы податливости равна 3×3. Для определения коэффициентов рассматривается три вспомогательных состояния в каждом из которых в направлении каждой степени свободы приложена единичная нагрузка (рисунок 1.1):
а) в первом состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в точке расположения сосредоточенной массы
б) во втором состоянии – единичный момент приложенный в точке расположения сосредоточенного момента инерции
в) в третьем состоянии – вертикальная единичная сила приложенная в точке расположения сосредоточенной массы m3.
Коэффициенты податливости определяются методом Мора-Верещагина. Деформации системы складываются из деформаций растяжения-сжатия пружин и деформаций изгиба податливых брусьев. Продольные силы в пружинах далее будем обозначать N а изгибающие моменты в податливых брусьях – M. На основании метода Мора-Верещагина:
Mcj – высота эпюры изгибающего момента j-го состояния измеренная под центром тяжести площади
I – момент инерции поперечного сечения податливой балки.
Для балки квадратного поперечного сечения [4] имеющей ширину b=20 мм=002 м и высоту h=20 мм=002 м (в соответствии с заданием на курсовую работу):
I=b412=002412=13310-9 м4.
Рассматривается первое состояние системы (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Первое вспомогательное состояние
Реакции опор подвесной балки:
Подвесная балка является податливой и в первом состоянии не нагружена поэтому изгибающий момент во всех ее сечениях равен нулю.
Реакции опор основной балки:
R11=F1l2+l3l1+l2+l3=104+06506+04+065=064.
Рассматривается второе состояние системы (рисунок 1.2).
Подвесная балка является податливой и во втором состоянии не нагружена поэтому изгибающий момент во всех ее сечениях равен нулю.
Рисунок 1.2 – Второе вспомогательное состояние
R12=-M2l1+l2+l3=-106+045+065=06 1м.
Рассматривается третье состояние системы (рисунок 1.3).
Рисунок 1.3 – Третье вспомогательное состояние
R43=F3l4-l5l4=1025-06025=14.
Изгибающий момент в подвесной балке:
M Mx23l4-l5=-24025-06=084 м.
R13=-M2l1+l2+l3=-106+04+065=065 1м.
Для определения коэффициентов податливости (перемещений от единичного усилия) первого состояния вдоль направления каждой степени свободы последовательно перемножаем по способу Верещагина реакции пружин и эпюры изгибающих моментов первого состояния «на себя» «на второе» и «на третье» состояние:
=06421106+036205106=7110-7 мН;
=12=-064051106+0360505106=-2210-7 радН;
=13=064021106+0360466705106=3510-7 мН.
Аналогично выбрав в качестве основного второе состояние и последовательно «умножив» его «на себя» и «на третье» находим коэффициенты податливости второго состояния:
=0521106+05205106=7610-7 радНм;
=23=-05021106+050466705106=3710-7 мНм.
Наконец перемножив силы и моменты третьего состояния «на себя» определим коэффициенты податливости третьего состояния.
=0221106+045205106+07205106+03205106+
+1204013332301333210111334-9+1202013332301333210111334-9=
=1586810-7+2262410-7=3849210-7 мН.
Окончательно матрица податливости принимает вид:
=111213212223313233=10-771-2234-2274383737385.
Для проверки матрицы на сингулярность вычисляется ее определитель:
=10-737476385-223735--357635-22385-373774=
следовательно матрица не вырождена и существует обратная ей матрица.
Матрица жесткости вычисляется обращением матрицы податливости:
Обращение матрицы податливости производится в программе MathCad (приложение А). На основании расчета имеем:
K=10519263-1873135-18-19-1739.
Матрица инерции включает в себя инерционные характеристики системы в направлении каждой степени свободы и имеет вид:
M=m1000I2000m3=27000150001.
Таким образом матрицы жесткости и инерции определены.
Определение собственных частот и форм колебаний упругой системы без учета демпфирования
Собственные частоты колебания системы pi (i=1 n где n – число степеней свободы) без учета демпфирования определяются как корни характеристического уравнения:
гдеH – характеристическая матрица:
Вводя обозначения pi2=Ai получим
гдеAi – собственное значение характеристической матрицы.
Определение собственных значений можно провести раскрыв определитель (3.1). Тогда величины Ai определяются как корни полученного уравнения n-ной степени где n – порядок характеристической матрицы (в данном случае n=3). Однако решение нелинейных уравнений часто сопряжено с существенными вычислительными трудностями поэтому определение собственных значений проводится с применением процессора Mathcad встроенной функцией genvals (Приложение А). На основании расчета находим:
A=104349851328431890.
Заметим что собственные значения в векторе A расположены в произвольном порядке.
Из выражения (3.4) видно что все собственные значения положительные поэтому все собственные частоты колебаний – действительные числа. Круговые собственные частоты в порядке увеличения:
pI=p3=31890104=17858 с-1;
pII=p2=13284105=36448 с-1;
pIII=p1=34985105=59148 с-1.
Циклические собственные частоты колебаний:
fI=pI2=178582314=2843 Гц;
fII=pII2=364482314=5804 Гц;
fIII=pIII2=591482314=9418 Гц.
Определим собственные векторы характеристической матрицы Xi содержащие относительные координаты степеней свободы при i-ой собственной частоте колебаний. Расчет собственных векторов производится на основании выражения
гдеHi – характеристическая матрица коэффициенты которой рассчитываются в соответствии с выражением (3.2) при i-ой собственной частоте.
Собственный вектор Xi представляет собой перемещения при i-ой форме колебаний определенные с точностью до постоянного множителя и может содержать любые по величине значения. Поэтому для удобства дальнейшей работы с ними вектор нормируется по максимальному значению. Также для упрощения последующих вычислений из них удобно составить квадратную матрицу собственных векторов:
Определение собственных векторов проводится с применением Mathcad встроенной функцией genvals (Приложение А) которая сразу возвращает матрицу собственных векторов каждый из которых нормирован по максимальному значению. На основании расчета имеем:
X=0296-10111106080098-010201011
Заметим что столбцы здесь расположены в том же порядке что и собственные значения в выражении (3.4). Рассмотрим например первый столбец выражения (3.7):
Этот собственный вектор соответствует собственному значению A1=34985105 или собственной частоте pIII=p1=59148 с-1. При такой частоте максимальное перемещение происходит по направлению второй степени свободы (оно принято за единицу) относительное перемещение по направлению первой степени свободы составляет 0296 а по направлению третьей – минус 0102. Графическое представление указанных перемещений называется формой колебаний.
Главные координаты. Главные матрицы жесткости инерции и демпфирования
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) систем с многими степенями свободы проводится на основании уравнения (1.3).
Решение уравнения (1.3) для систем с многими степенями свободы затруднительно поэтому его следует преобразовать к главным координатам. Главными называют такие условные координаты в которых матрицы K C и M одновременно приводятся к диагональному виду а СЛАУ (1.3) распадается на n не связанных друг с другом уравнений. Определим главные матрицы жесткости демпфирования и масс. Такие матрицы будем обозначать KГ CГ и MГ соответственно. Наиболее просто привести матрицы жесткости и инерции к главным координатам методом нормирования по собственным формам [5]:
Матрица демпфирования по методу Релея определяется по формуле [2]:
гдеα и – константы определяемые по двум данным значениям коэффициентов демпфирования γ относящимся к двум различным частотам колебаний из выражения:
Главная матрица демпфирования:
Из исходных данных для двух нижних частот γI=002 γII=002. Тогда получим систему из двух уравнений:
α+pI2=2pIγIα+pII2=2pIIγ
α+178572=217857002α+364472=236447002; α+31887=71428α+132838=145788.
Вычитая из второго уравнения первое найдем
=7436100951=736610-5.
Из первого уравнения найдем
α=71428-31887=71428-31887736610-5=4794.
На основании расчета в Mathcad (приложение А) найдем:
KГ=10520844000158480002606;
MГ=5958000119300008171;
CГ=18210300017392900058365.
Главный вектор нагрузок получается преобразованием вида
Уравнение движения (1.3) в главных координатах примет вид:
Переход от главных к исходным координатам в векторах основных неизвестных происходит при следующих преобразованиях:
СЛАУ (4.10) распадается представляет собой n независящих друг от друга уравнений каждое из которых описывает колебания системы с одной степенью свободы и имеет вид:
mГiixГi+cГiixГi+kГiixГi=ftГi
ftГi – сила (момент) приложенная к i-ой степени свободы в главных координатах.
Решение уравнения (4.14) для системы с одной степенью свободы при силе ftГi изменяющейся по гармоническому закону известно [5] и имеет вид:
xГi=ftГikГiiKd icost-
– круговая частота возмущающей силы;
Амплитуда перемещений определяется множителем перед функцией косинуса:
Динамический коэффициент определяется выражением [5]:
Kd i=11-2 pi22+2γipi2
гдеγi – относительный коэффициент демпфирования (в долях от критического) определяемый по формуле:
γ1=18210325914785958=00258;
γ2=17392923644791193=002;
γ3=5836521785788171=002.
Продифференцировав выражение (4.15) по времени (полагая что частота остается постоянной (или изменяется очень медленно т.е. t и fft) получим выражения скоростей и ускорений в главных координатах амплитуды которых определяются выражениями:
xГi A=-fГikГiiKd i=-xГi A.
xГi A=-fГikГiiKd i2=-xГi A2.
Таким образом все необходимые для дальнейшего расчета параметры в главных координатах определены.
Анализ частотного отклика системы без учета демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик
При анализе частотного отклика системы без учета демпфирования уравнение движения в главных координатах (4.10) принимает вид
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 1-ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок Ft в исходных координатах имеет вид
Главный вектор нагрузок в соответствии с выражением (4.9):
FtГ=XтFt=02961-0102-106080101011100981100;
Поскольку в главных координатах СЛАУ (5.1) распадается на n не связанных друг с другом уравнений для каждого xГi решение получим в виде выражения (4.15) а амплитуды перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент при отсутствии демпфирования:
Задаваясь различными частотами возмущения так чтобы перекрыть диапазон собственных частот колебаний с небольшим запасом получим величины динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики зависимости динамических коэффициентов от частоты в главных координатах показаны на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – Величины главных динамических коэффициентов в зависимости от циклической частоты (Гц)
Анализ диаграмм показывает что без учета демпфирования каждый главный динамический коэффициент при приближении определенной частоты (fI fII и fIII соответственно) устремляется к бесконечности.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются в соответствии с выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется в соответствии с выражением (4.11). При собственных значениях (3.7) найдем
X=XXГ=0296-10111106080098-010201011
X=0296xГ1 A-xГ2 A+0111xГ3 AxГ1 A+0608xГ2 A+0098xГ3 A-0102xГ1 A+0101xГ2 A+xГ3 A.
Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 5.3-5.5.
Рисунок 5.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 5.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 5.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Анализ диаграмм показывает что без учета демпфирования перемещение скорость и ускорение каждой степени свободы при приближении определенной частоты (fI fII и fIII соответственно) устремляется к бесконечности. На низшей частоте (fI=2843 Гц) в резонанс входит третья степень свободы (Kd 3) на промежуточной частоте (fII=5804 Гц) в резонанс входит первая степень свободы а на высшей частоте (fIII=9418 Гц) – вторая. При прохождении каждой последующей собственной частоты все параметры движения меняют фазу колебаний.
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при единичном возбуждении
При анализе частотного отклика системы с учетом демпфирования уравнение движения в главных координатах сохраняет вид (4.10):
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы в этом случае проводится для возбуждения системы в направлении 2-ой степени свободы единичной нагрузкой. В таком случае вектор нагрузок Ft в исходных координатах имеет вид
FtГ=XтFt=02961-0102-106080101011100981010;
Решение уравнения (4.10) получим в виде выражения (4.15) а амплитуды перемещений – в виде выражения (4.16).
Динамический коэффициент в соответствии с выражением (4.17):
Kd i=11-2 pi22+2γipi2.
При этом полагаем что собственные частоты колебаний системы с демпфированием несущественно отличаются от собственных частот системы без демпфирования.
Задаваясь различными частотами возмущения так чтобы перекрыть диапазон собственных частот колебаний с запасом получим величины динамических коэффициентов (см. приложение Б). Графики зависимости динамических коэффициентов от частоты возмущающей нагрузки в главных координатах показаны на рисунке 6.1.
Рисунок 6.1 – Величины главных динамических коэффициентов в зависимости от циклической частоты (Гц)
Максимальные величины динамического коэффициента в режиме резонанса (=pi)
Kd 3max=12γ3=12002=250.
Величины максимальных динамических коэффициентов подтверждаются построением диаграмм.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты возмущающей нагрузки показаны на рисунке 5.2.
Рисунок 6.2 – Амплитуды главных перемещений в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5). Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 6.3-6.5.
Рисунок 6.3 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 6.4 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 6.5 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Из анализа АЧХ можно сделать вывод что при данном возбуждении системы максимальный отклик перемещений каждой степени свободы при прохождении каждой собственной частоты колебаний fI fII fIII приблизительно одинаков. При прохождении низшей частоты fI наибольшее перемещение происходит в направлении третьей степени свободы при прохождении fII – в направлении первой а при прохождении fIII – в направлении второй.
Фаза колебаний второй степени свободы остается постоянной во всем интервале исследуемых частот.
Фаза колебаний первой степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами 0 и fI а также дважды в интервале частот fII и fIII. Узловые частоты при которых x1A=0 определяются из приложения Б по смене знака амплитуды x1A и составляют приблизительно 27 Гц 30 Гц и 80 Гц. При этих частотах поступательное перемещение в направлении первой степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Фаза колебаний третьей степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fII и fIII. Узловая частота при которой x3A=0 составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц поступательное перемещение в направлении третьей степени свободы равно нулю а податливая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Амплитуды скоростей и ускорений степеней свободы системы имеют более выраженный отклик на высших частотах. Повышение их амплитуды по сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах обусловлено уменьшением периода колебаний.
Таким образом АЧХ системы при единичном возбуждении второй степени свободы определены.
Анализ частотного отклика системы с учетом демпфирования и построение амплитудно-частотных характеристик при заданном возбуждении центробежной силой
В соответствии с заданием на курсовую работу анализ частотного отклика системы при возбуждении центробежной силой проводится для осцилляции системы в направлении 3-ой степени свободы. Предположим что в данной точке установлен двигатель (рисунок 7.1) вращающий массу m3 при этом центр масс не совпадает с осью вращения на величину эксцентриситета e.
Рисунок 7.1 – Схема возбуждения колебаний
Величина амплитуды центробежной силы определяется выражением
При возбуждении системы в направлении 3-ой степени свободы вектор нагрузок в исходных координатах имеет вид
С учетом исходных данных (m3=8 кг e=010 мм=110-4 м)
FtГ=XтFt=02961-0102-10608010101110098100810-42;
FtГ=810-42-010201011.
Графики зависимости компонент главного вектора сил от частоты (в Герцах) показаны на рисунке 7.2.
Рисунок 7.2 – Величины главных сил в зависимости от циклической частоты (Гц)
Решение уравнения движения (4.10) проводится аналогично тому как это было сделано в разделе 6. Поэтому диаграммы зависимости динамического коэффициента от круговой частоты показаны на рисунке 6.1.
Амплитуды колебаний в главных координатах определяются в соответствии с выражением (4.16). Графики зависимости главных координат от частоты показаны на рисунке 7.3.
Рисунок 7.3 – Амплитуды главных перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Переход от амплитуд колебаний в главных координатах к амплитудам в исходных координатах определяется выражением (4.11) или (5.5).
Амплитуды скоростей и ускорений определяются выражениями (4.19) и (4.20). Графики зависимости амплитуд перемещений скоростей и ускорений от частоты показаны на рисунках 7.4-7.6.
Рисунок 7.4 – Амплитуды перемещений (м или рад) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 7.5 – Амплитуды скоростей (мс или радс) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Рисунок 7.6 – Амплитуды ускорений (мс2 или радс2) в зависимости от циклической частоты (Гц)
Из анализа АЧХ можно сделать вывод что при данном возбуждении системы наибольший отклик перемещений наступает при прохождении низшей собственной частоты колебанийfI=2843 Гц. Наибольшие перемещения при этом происходят в направлении третьей степени свободы резонирующей именно при этой частоте. При прохождении других собственных частот fII=5804 Гц и fIII=9418 Гц отклик перемещений системы усиливается по сравнению со значениями при произвольной частоте но не настолько существенно. Фаза колебаний третьей степени свободы остается постоянной во всем интервале исследуемых частот.
Фаза колебаний первой степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fI и fII. Узловая частота при которой x1A=0 определяется из приложения Б по смене знака амплитуды x1A и составляет приблизительно 47 Гц. Вывод: при частоте 47 Гц поступательное перемещение в направлении первой степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлена эта масса поворачивается относительно центра масс как относительно шарнирной опоры.
Фаза колебаний второй степени свободы однократно изменяется в интервале между частотами fII и fIII. Узловая частота при которой x2A=0 составляет приблизительно 72 Гц. Вывод: при частоте 72 Гц вращательное перемещение в направлении второй степени свободы равно нулю а жесткая балка на которой установлено твердое тело при колебаниях остается параллельной своему первоначальному положению.
Амплитуды скоростей и ускорений степеней свободы системы имеют существенный отклик на низшей и высшей частоте. Повышение их амплитуды по сравнению с амплитудой перемещений на более высоких частотах обусловлено уменьшением периода колебаний.
Таким образом АЧХ системы при центробежном возбуждении третьей степени свободы определены.
В рамках курсовой работы были определены основные параметры колебательной системы такие как собственные частоты и формы колебаний а также параметры ее динамического поведения при установившемся возбуждении колебаний в направлении различных степеней свобод при отсутствии демпфирования и при его наличии. Построение и анализ АЧХ показывает что при отсутствии демпфирования в резонансных режимах виброперемещения виброскорости и виброускорения системы принимают чрезмерно большие значения теоретически устремляющиеся в бесконечность при неограниченном времени возбуждения. При наличии даже малого демпфирования амплитуды этих величин остаются ограниченными на любых режимах возбуждения.
Амплитудно-частотные диаграммы реальной колебательной системы является наиболее важной динамической характеристикой позволяющей провести интерпретацию ее динамического поведения и выявить опасные режимы эксплуатации. Например это позволяет отстроиться от работы на резонансных режимах представляющих наибольшую опасность ввиду повышенных нагрузок на элементы системы принять меры к изменению жесткости системы для сдвига пиков АЧХ в сторону больших или меньших частот колебаний или принудительно изменить параметры демпфирования системы для ограничения высот пиков АЧХ.
Список использованных источников
Бабаков И. М. Теория колебаний : учеб. пособие И. М. Бабаков. – 4-е изд. испр. – М. : Дрофа 2004. – 591 [1] с.
Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов К. Бате Е.Вильсон. – М.: Стройиздат 1982. – 448 с.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике М. Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель 2006. – 991 с.: ил.
Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов Г.С.Писаренко А. П. Яковлев В. В. Матвеев. – Киев: Наук. думка 1988. – 736 с.
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле С. П. Тимошенко С.Х.Янг У. Уивер. – М.: Машиностроение 1985. – 472 с.
Расчет параметров колебательной системы в Mathcad
Расчет амплитуд колебаний в Excel

Деталь.cdw

Сталь 10 ГОСТ 1050-2013