Математическое моделирование диффузионных процессов при химико-термической обработке

ХТО.doc

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
Реферат по дисциплине «Технология термической и химико-термической обработки материалов»
«Математическое моделирование диффузионных процессов при химико-термической обработке»
Студент Медведева В.А.
Уравнение диффузии .3
Начальные и граничные условия ..3
Аналитическое решение уравнения диффузии 5
Решение диффузионной задачи методом конечных разностей .8
Строение диффузионной зоны при ХТО 10
Строение диффузионной зоны при цементации 11
Эффективная толщина и распределение углерода по сечению цементированного слоя 12
Список использованной литературы 14
Моделирование диффузионных процессов в металле основывается на первом
и втором уравнениях Фика:
где D – коэффициент диффузии; c – концентрация; – время; x – координата.
Первое уравнение описывает удельный поток диффундирующего элемента в металле. Знак «минус» означает что поток направлен из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией. Второе уравнение Фика описывает изменение концентрации диффундирующего вещества c(x) в пространстве и во времени. Это уравнение непосредственно следует из баланса вещества при диффузии и выражения для потока. Оба уравнения описывают одномерную диффузию вдоль оси x а коэффициент диффузии D не зависит от концентрации диффундирующего элемента и зависит только от температуры процесса что является допущением принимаемым для упрощения решения поставленной задачи.
Начальные и граничные условия
Для решения уравнения (2) аналитическим или численным методом необходимо задать начальные и граничные условия определяемые из анализа процессов происходящих при химико-термической обработке. Начальное распределение (при =0) концентрации диффундирующего элемента в металле определяется условием:
а в случае постоянной начальной концентрации:
Если рост диффузионного слоя контролируется диффузией в металле то используется граничное условие 1-го рода:
т.е. концентрация на поверхности детали cS (при x=0) является функцией времени или в частном случае:
Концентрация на поверхности детали определяется как правило экспериментальным путем.
Иллюстрация для случая для потенциала среды 12% времени выдержки 21600 с (6 ч).
Граничное условие 2-го рода используется когда рост диффузионного слоя контролируется процессами происходящими на поверхности металла например адсорбцией или химической реакцией. В этом случае при решении уравнения задается поток вещества через поверхность металла как функция времени.
Граничное условие третьего рода наиболее достоверно описывает реальный процесс массопереноса на поверхности металла при химико-термической обработке:
где k – константа скорости процесса происходящего на поверхности детали.
Аналитическое решение уравнения диффузии
Достаточно надежной моделью адекватно отражающей основные закономерности диффузионного насыщения металлов при химико-термической обработке является линейная модель с граничными условиями первого рода. Эта модель представляется дифференциальным уравнением в частных производных граничными и начальными условиями:
Начальные и граничные условия представлены соотношениями:
=0 С=С1 для всех x>0
=0 С=С2 для всех x=0
Эти граничные условия определяют случай когда в процессе химико-термической обработки на поверхности изделия постоянная концентрация насыщаемого элемента а между газовой фазой и поверхностью достигнуто равновесие. Последнее возможно при повышенных температурах когда равновесие достигается весьма быстро. При цементации этой концентрации можно соотнести углеродный потенциал газовой среды.
Для решения диффузионной задачи с граничными условиями первого рода воспользуемся подстановкой Больцмана. Введем переменную λ:
Подставим полученные значения производных в дифференциальное уравнение второго закона Фика:
Заметим что . После подстановки этого выражения в последнее дифференциальное уравнение получим:
Первую производную dCdλ представим в виде:
Подставив это выражение в предыдущее дифференциальное уравнение получим:
Приравняв значения показателей степени экспоненты с левой и правой сторон уравнения а также показатели степени при λ получим что n=2 а а=1(4D). Подставив эти значения в предполагаемое решение для первой производной получим:
где А – постоянная интегрирования.
Повторное интегрирование позволяет получить общее решение в виде:
Для удобства интегрирования можно ввести новую переменную
Тогда общее решение будет иметь следующий вид:
Таким образом общее решение диффузионной задачи приводит к известному интегралу ошибок Гаусса. Для него не существует аналитического решения. Его значения представлено в таблицах. Если провести интегрирование в пределах от 0 до получим:
Частное решение соответствующее граничным условиям при химико-термической обработке можно получить соответствующим выбором коэффициентов А и В.
Подставляя условия определяющие граничные и начальные значения решения в общее уравнение определим постоянные интегрирования:
Таким образом при диффузии в полуограниченный образец (0x) с нулевой начальной концентрацией c(x0)=c0=0 через поверхность (x=0) на которой поддерживается постоянная концентрация cS не зависящая от времени c(0)=cS распределение концентрации описывается уравнением:
где функция ошибок erf определяется следующим образом:
Решение диффузионной задачи численным методом конечных разностей
Суть метода конечных разностей используемого для решения уравнения состоит в следующем. На первом этапе проводится дискретизация пространственной и временной областей.
Рис. 1. Пространственно-временная сетка
В пространственной области выбирается конечное число значений координат x1 x2 xN (узлы пространственной сетки) для временной переменной выбирается конечное число значений t0 t1 tJ (узлов временной сетки). Узлы пространственной сетки (рис. 1) располагаются на равном расстоянии т.е.
На втором этапе для каждого узла пространственной сетки записывается уравнение (3) относительно значений искомой функции в узловых точках. Члены входящие в уравнения (3) аппроксимируют выражая их через значения сеточной функции cnj являющейся лишь приближенным значением функции концентрации c(x). Пренебрегая разностью между значением сеточной функции cnj и функции концентрации c(x) для временной производной используется выражение:
для первой производной по координате x:
для второй производной по координате x:
Таким образом получаем конечно-разностное уравнение для объема содержащего узловую точку xn:
При использовании для решения задачи граничного условия первого рода значение концентрации в крайних узловых точках x1 и xN вычисляются по формулам:
Если значения сеточной функции cnj+1 выражается через значения сеточной функции на предыдущем временном шаге cnj то мы имеем дело с явной схемой. Тогда расчет сводится к повторяющимся вычислениям значений сеточной функции cnj+1 на новом (j+1)-м временном слое по явным формулам в которые входят значения cnj+1 на предыдущем временном слое.
При вычислении значений cn1 на первом шаге по времени используются значения предыдущего шага cn0 для =0 т.е. в соответствии с начальными условиями:
Для обеспечения условия устойчивости вычислительного процесса шаг по времени Dt не должен превышать величины:
Строение диффузионной зоны при ХТО.
Химико-термической обработкой (ХТО) называют операции при которых в результате нагрева и выдержки стальных изделий в той или иной активной среде происходит изменение химического состава структуры и свойств их поверхностных слоев. Обычно при химико-термической обработке происходит насыщение поверхностного слоя одним или несколькими элементами но возможно и удаление какого-либо компонента сплава из поверхностного слоя.
Наиболее распространены методы насыщения стали углеродом (цементация) азотом (азотирование) а также различные разновидности одновременного насыщения этими элементами. Применяют насыщение стали и другими неметаллами – бором кремнием. Нередко проводят насыщение поверхности изделий металлами – диффузионную металлизацию. Нужный комплекс свойств в одних случаях достигается в результате собственно ХТО (например при азотировании диффузионной металлизации) в других кроме насыщения требуется дополнительная термическая обработка – закалка с отпуском как например после цементации. Изменение свойств поверхностного слоя в результате ХТО определяется природой насыщающих элементов степенью и глубиной насыщения исходным химическим составом стали и режимом термической обработки после насыщения.
В ходе ХТО протекают сложные процессы как в активной среде так и на поверхности стали и в насыщаемом слое. Реакции протекающие в насыщающей среде обеспечивают получение внедряемого в сталь элемента в активной форме. Процессы переноса – диффузия конвекция – доставляют насыщающий элемент (в виде атомов или ионов молекул соединений с другими элементами) к поверхности изделий. На поверхности стали происходит адсорбция и протекают реакции в результате которых насыщающий элемент переходит в атомарное состояние и диффундирует в глубь изделия. Диффузия насыщающего элемента в сталь может приводить к изменению ее фазового и структурного состояния.
Возможность осуществления химико-термической обработки определяется следующими условиями:
насыщающий элемент должен быть растворим в металле изделия;
скорость подвода насыщающего элемента к поверхности изделий должна быть выше скорости диффузионного оттока его в глубину металла.
При химико-термической обработке может протекать как атомная так и реактивная диффузия. В процессе атомной диффузии новые фазы не образуются и концентрация насыщающего элемента плавно убывает от поверхности в глубь диффузионной зоны. При реактивной или реакционной диффузии возникают новые фазы. В диффузионной зоне может образоваться несколько слоев новых фаз в которых диффузия протекает с различной скоростью.
В процессе атомной диффузии скорость изменения концентрации насыщающего элемента в произвольной точке диффузионной зоны находящейся на расстоянии х от поверхности определяется вторым законом Фика справедливым при условии что коэффициент диффузии D не зависит от концентрации чего обычно не наблюдается при значительном ее изменении. Общего решения уравнения не существует. Известны частные решения для определенных граничных условий на поверхности раздела насыщающая среда-металл. В простейшем случае считается что концентрация насыщающего элемента на поверхности С(0 ) практически мгновенно достигает равновесного значения Спред для данных условий. Это значение концентрации называют потенциалом насыщающей атмосферы.
Строение диффузионной зоны при цементации.
Цементация – это диффузионное насыщение углеродом поверхностного слоя стали при 900 950°С. Цементацию проводят в аустенитном состоянии так как в α-железе углерод практически нерастворим. В результате цементации и последующей термической обработки заключающейся в закалке и низком отпуске повышаются значения твердости износоустойчивости предела усталости сопротивления контактной усталости поверхностного слоя при сохранении низкоуглеродистой вязкой сердцевины. Цементации подвергают многие детали машин: зубчатые колеса трущиеся элементы валов и других деталей. Как правило детали поступают на цементацию с небольшим припуском для последующей шлифовки. Участки не подлежащие цементации защищают слоем электролитически осажденной меди или специальными обмазками. Для повышения сопротивления изгибающим и контактным напряжениям цементированные детали после закалки и низкого отпуска иногда подвергают дробенаклепу. Обычно толщина цементированного слоя находится в пределах от 05 до 20 мм.
Содержание углерода на поверхности цементированных изделий изготавливаемых из малоуглеродистых сталей определяется рядом факторов. Во-первых концентрация углерода должна быть достаточной для получения высокой твердости после закалки и низкого отпуска (58 62 HRC) но при избыточно высокой концентрации углерода будет сохраняться большое количество остаточного аустенита снижающего твердость. Во-вторых при замедленном охлаждении после цементации может выделиться повышенное количество избыточных карбидов снижающих прочность слоя. Особенно опасно образование цементитной сетки и выделение пластинчатых видманштеттовых карбидов приводящих к охрупчиванию цементированного слоя. Поэтому содержание углерода на поверхности цементируемых изделий стремятся получить в пределах от 07 до 11%. С удалением от поверхности в глубь изделия оно постепенно уменьшается до исходного значения (01..03 %).
При температуре цементации содержание углерода в аустените как правило не выходит за пределы растворимости составляющей при 930°С около 136 %. В процессе медленного охлаждения после цементации в результате диффузионного превращения аустенита в цементированном слое образуются различные структуры. В большинстве случаев непосредственно на поверхности залегает заэвтектоидная зона состоящая из перлита и карбидной сетки. Глубже находится узкая эвтектоидная зона со структурой пластинчатою перлита а под ней – доэвтектондная перлитно-ферритная зона количество перлита в которой уменьшается с удалением от поверхности до границы цементированного слоя.
В цементированном слое после закалки обычно не удается четко выделить три вышеназванные зоны. Однако по уменьшению количества остаточного аустенита изменению морфологии мартенсита наличию бейнита можно судить о степени снижения содержания углерода в направлении от поверхности к сердцевине.
Рис.2. Структура науглероженного железа в направлении диффузии (х50)
Рис. 3 Структурные участки a b и c науглероженного железа при более сильном увеличении (х240)
Эффективная толщина и распределение углерода по сечению цементированного слоя
Полная толщина цементированного слоя определяемая расстоянием от поверхности изделия до точки в которой содержание углерода снижается до исходного значения а твердость становится равной твердости сердцевины определяется редко. Обычно контролируют эффективную толщину ХЭ соответствующую содержанию углерода 04% или твердости HRC 50. Эффективную толщину слоя часто определяют иначе – по расстоянию до половины толщины доэвтектоидной зоны или по расстоянию до первых участков феррита. При этом необходимо использовать образцы отожженные после цементации. При одинаковом содержании углерода на поверхности и равной полной толщине цементированного слоя его эффективная толщина может быть различной в зависимости от характера распределения углерода по сечению образца или изделия.
Эффективную толщину слоя по твердости определяют после закалки и низкого отпуска. В этом случае эффективная толщина характеризует не только распределение углерода по сечению слоя но и качество термической обработки. Эффективная толщина определяемая по твердости возрастает с повышением прокаливаемости цементированного слоя.
Эффективную толщину выбирают в зависимости от определяющего или характерного размера изделия. Для цилиндров – это радиус R для шестерен — модуль зубьев m равный отношению шага зубьев к числу . Например при значениях модуля 15 50 и 100 мм эффективная толщина должна составлять 04 11 и 18 мм соответственно. Из этого примера следует что с увеличением модуля зубьев отношение XЭm уменьшается (027 022 и 018 соответственно).
Распределение углерода по сечению цементированного слоя существенно влияет на его свойства и свойства изделия в целом. Оно характеризуется концентрацией углерода на поверхности Спов снижением концентрации ΔС на расстоянии XЭ3 наличием обезуглероживания на поверхности что крайне нежелательно или недопустимо эффективной и полной толщиной слоя (рис. 4). Оптимальное сочетание износоустойчивости прочности при изгибе усталостной прочности достигается при содержании углерода на поверхности 08 10% и только для повышения сопротивления контактной усталости оно может быть увеличено до 11%. В этом случае и эффективную толщину следует выбрать несколько большей чем при необходимости обеспечения высокой усталостной прочности при изгибе. В большинстве случаев необходимо плавное снижение содержания углерода с удалением от поверхности в глубь изделия.
Рис. 4. Параметры цементованного слоя характеризующие распределение углерода по его сечению (схема). XЭ – эффективная толщина Хполн - полная толщина цементованного слоя.
Список использованной литературы
Зайт Вольфганг. Диффузия в металлах [Текст]: Процессы обмена мест под ред. Б.И. Болтакса – 2-е изд. – М.: Издательство иностранной литературы 1958. – 372 с.
Основы термической обработки стали [Текст]: Учебное пособие М.А. Смирнов В.М. Счастливцев Л.Г. Журавлев – М.: Наука и технологии 2002. – 519 с.
Справочник по конструкционным материалам: Справочник Б.Н. Арзамасов Т.В. Соловьева С.А. Герасимов и др.; под ред. Б.Н. Арзамасова Т.В. Соловьевой. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана 2005. – 640 с.

Плакатик.cdw

Эффективная глубина слоя
коэффициент диффузии зависит от температуры