Определение положения главных осей и главных моментов инерции сложной фигуры

Дана фигура.docx

Дана фигура составленная из равнобокого и неравнобокого уголка.
Неравнобокий уголок 13×9×4 см
Равнобокий уголок 75×75×4
Выполняется чертеж поперечного сечения сложной фигуры в масштабе.
Определение центра тяжести сложной фигуры.
1 Разбиваем сложное сечение на простые составляющие фигуры: четыре прямоугольника. Наносим на чертеже центры тяжести и проводим собственные оси для каждой составляющей фигуры. Находим координаты центров тяжести каждой фигуры:
2 Находим площади каждой составляющей фигуры.
прямоугольник А1=9×4=36 см2
прямоугольник А2=9×4=36см2
прямоугольник А3=35×4=14 см2
прямоугольник А4=75×4 =30 см2
3 Проводим вспомогательные оси Х и Y параллельно сторонам составляющих фигур и определяем расстояния от вспомогательных осей до центров тяжести составляющих фигур:
4 Определяем координаты центра тяжести всей фигуры относительно вспомогательных осей;
5 . Наносим на чертеж общий центр тяжести фигуры точку С и проводим через него центральные оси Хс и Yc параллельно вспомогательным осям.
Определение моментов инерции сложной фигуры.
1 Определяем осевые моменты инерции составляющих фигур относительно собственных осей.
где b - ширина прямоугольника
h - высота прямоугольника ;
2 Центробежные моменты составляющих фигур относительно собственных осей ( собственные оси являются осями симметрии для составляющих фигур I I I Ix4y4=0
3 Определение расстояния от центральных осей до собственных осей составляющих фигур.
b1=-9 см; b2=-3см; b3=5см; b4=11см
a1=-9см; a2=11см; a3=1см; a4=-9см
4 Определяем осевые и центробежные моменты инерции составляющих фигур относительно центральных осей используя теорему параллельного переноса осей
Ixci=Ixi+Ai× Iyci=Iyi+Ai× Ixciyci=Ixiyi+Ai×
Ixc1=48+36×(-2.47)2 = 267.6 cм4
Iуc1=243+36×(-369)2 = 7332 см4
Ixc1yc1=0+36×(-247)×(-369) = 3281 см4
Ixc2=243+36×(403)2 = 8277 cм4
Iуc2=48+36×(-119)2 = 990 см4
Ixc2yc2=0+36×(403)×(-119) = -1727 см4
Ixc3=143+14×(128)2 = 37.2 cм4
Iуc3=187+14×(281)2 = 1293см4
Ixc3yc3=0+14×(128)×(281) = 504 см4
Ixc4=40+30×(-2.47)2 = 2230 cм4
Iуc4=1406+30×(456)2 = 7644 см4
Ixc4yc4=0+30×(-247)×(456) = 3379 см4
5 Определяем моменты инерции всей фигуры относительно центральных осей
Определение положения главных осей от полученного положения центральных осей определяется из условия
Соответственно величина угла будет:
Определение главных моментов инерции составной фигуры.
Главные моменты инерции определяем с учетом формул поворота осей.
Ix0=Iхсф×cos2α+ Iyсф×sin2 α - I хсфyсф× sin2α
Iy0=Iyсф×cos2α+ Ixсф×sin2 α + I хсфyсф× sin2α
Ix0=1355.5×cos2(-17o45')+1725.9×sin2 (-17o45')+132.1× sin2(-17o45')=1313.21см4 Iy0=17259×cos2(-17o45')+ 13555×sin2(-17o45')+1321× sin2(-17o45')=176818 см4
Проверка по величине полярного момента инерции.
Iz= Iхсф + Iyсф = 13555 + 17259 = 30814 см4
Iz= Iх0 + Iy0 = 131321 + 176818 = 308139 см4
Графическая проверка главных моментов инерции и положения главных осей с помощью круга Мора

Чертеж.cdw

Определение положения главных
осей и главных моментов инерции